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不定积分的求解方法论文
不定积分的求解方法论文标题：不定积分的求解方法综述摘要：不定积分是微积分中的重要概念，用于求解函数的原函数。
本文对不定积分的求解方法进行综述，旨在系统地介绍现有的主要方法，并分析其优缺点。
具体而言，本文将介绍基本积分法、代换法、分部积分法和特殊函数法等常用的不定积分解法。
此外，还将介绍近代数学中对不定积分的一些研究成果，如级数法和微分方程法。
通过对这些方法的比较与分析，读者能够全面了解不定积分的求解方法，为实际问题的求解提供参考。
1.引言不定积分作为微积分的基本工具，广泛应用于数学、物理学、工程学等领域。
通过求解不定积分，我们可以得到函数的原函数，进而求解定积分和解微分方程等问题。
2.基本积分法基本积分法是最基础、最直接的不定积分求解方法。
该方法利用已知的函数导数的求导公式，例如多项式函数、指数函数、三角函数等的积分求解方法。
通过运用这些积分公式，我们可以将一个复杂的函数积分化简为基本函数的积分。
基本积分法虽然简单易用，但只适用于特定的函数类型，对于一些复杂的函数求解效果不佳。
3.代换法代换法又称变量代换法，它通过引入新的变量，将原函数变换为一个新的函数，从而简化积分的求解过程。
其中，常用的代换方法有三角代换法、倒代换法、指数代换法等。
代换法具有广泛的适用性，能够处理多种类型的函数，但正确的选择代换变量对求解结果有重要影响。
4.分部积分法分部积分法是求解不定积分中常用的一种方法，它是利用求导运算和乘法法则的逆过程。
分部积分法的基本思想是将一个积分转化为另一个积分，通过迭代应用该法则可以逐步简化函数的积分形式。
分部积分法适用于求解两个函数相乘的积分，但对于一些特殊函数而言，需要进行适当的改写。
5.特殊函数法特殊函数法是针对一些特殊函数形式的不定积分求解方法。
常见的特殊函数包括反三角函数、双曲函数、对数函数等。
这些函数具有特殊的性质和积分公式，通过熟练掌握它们的性质和技巧，可以更高效地求解不定积分。
不定积分求解方法
不定积分求解方法本页仅作为文档封面，使用时可以删除This document is for reference only-rar21year.March探讨不定积分的解题方法班级学号姓名51 杨洁珊摘要在数学分析中，不定积分占有非常重要的地位，是高等数学教学的难点和重点．具有很高的灵活性，可以开拓学生的思路，培养学生灵活的思维能力，同时还存在一题多解的方法使学生能过做到举一反三、触类旁通的教学效果。
为了正确使用各种积分方法求解不定积分，我们必须掌握它的概念和性质以及积分的基本公式，才能够在以后的解题中做题自如，进行同类迁移。
研究不定积分要重在提高自己的逻辑思维能力、科学分析能力、运用数学语言能力、联想运算能力以及应用能力。
求解不定积分的过程对学生的科学思维和文化素质的培养所起的作用极为明显。
求解不定积分的方法主要有直接积分法（即直接利用积分公式求解）、换元积分法（第一换元积分法、第二换元积分法）、分部积分法。
关键词不定积分、直接积分法、换元积分法、分部积分法、分解积分法。
前言正如假发有逆运算减法，乘法有其逆运算除法一样，微分法也有它的逆运算——积分法。
我们已经知道微分法的基本问题是研究如何从已知函数求出它的导函数，相反：求一个未知函数使其导函数恰好是某一已知函数。
提出这个逆问题，首先是因为它出现在许多实际问题之中，如：已知速度求路程；已知加速度求速度；已知曲线上每一点处的，求曲线方程等等这些都是积分在生活中的应用，特别是在物理学中的应用，变力做功，质点做变速直线运动的路程以及引力问题。
所以掌握不定积分的求法，在我们的数学物理科学研究工作中显得尤为重要。
标题一、直接积分法我们已经知道积分法是微分的逆运算，即直接积分法就是利用最基本的积分公式求解积分。
要掌握这一方法首先就应该熟记，并懂得灵活运用。
下面的基本积分表就必须掌握1.0dx c=⎰2adx ax c=+⎰3.()10,01aaxx dx c a xa+=+≠>+⎰4() 1ln||0 dx x c xx=+≠⎰5.x xe e c=+⎰6.(0,1)ln x x a a dx c a a x=+>≠⎰17.cos sin axdx ax c a=+⎰ ()18sin cos 0axdx ax c a a=-+≠⎰ ()29sec tan 0xdx x c a =+≠⎰210.csc tan xdx x c =+⎰11.sec tan sec x xdx x c =+⎰12.csc cot csc x xdx x c =-+⎰13.arcsin arccos 'dxx c x c =+=-+⎰ 214.arctan cot '1dx dx x c arc x c x=+=-++⎰ 22115.ln ||2dx x a c x a a x a-=+-+⎰ 16.sec ln |sec tan |xdx x x c =++⎰在实际计算中最重要的是要把复杂的运算转化为熟悉的积分公式，如下几种情况(1).假分式化为真分式方法：分母不改变，对分子进行拼凑，转化为真分式。
(完整word版)不定积分求解方法及技巧
摘要：总结不定积分基本定义，性质和公式，求不定积分的几种基本方法和技巧，列举个别典型例子，运用技巧解题。
一．不定积分的概念与性质
定义1如果F（x）是区间I上的可导函数，并且对任意的x I，有F’(x)=f(x)dx则称F（x）是f(x)在区间I上的一个原函数。
定理1（原函数存在定理）如果函数f(x)在区间I上连续，那么f(x)在区间I上一定有原函数，即存在可导函数F（x），使得F（x）=f(x)（x I）
如果不定积分 g(x)dx不容易直接求出，但被积函数可分解为g(x)=f[ (x)] ’(x).
做变量代换u= (x),并注意到 ‘（x）dx=d (x),则可将变量x的积分转化成变量u的积分，于是有 g(x)dx= f[ (x)] ’(x)dx= f(u)du.
如果 f(u)du可以积出，则不定积分 g(x)dx的计算问题就解决了，这就是第一类换元法。第一类换元法就是将复合函数的微分法反过来用来求不定积分。
定理1设F(u)是f(u)的一个原函数，u= (x)可导，则有换元公式
f[ (x)] ’(x)dx= f(u)du=F(u)+C=F[ (x)]+C.
第一类换元法是通过变量代换u= (x),将积分 f[ (x) ’(x)dx化为 f(u)du.但有些积分需要用到形如x= (t)的变量代换，将积分 f(x)dx化为 f[ (t)] ’(t).在求出后一积分之后，再以x= (t)的反函数t= (X)带回去，这就是第二类换元法。即
2.第一类换元法。（凑微分）
设f(μ)具有原函数F(μ)。则
其中 可微。
用凑微分法求解不定积分时，首先要认真观察被积函数，寻找导数项内容，同时为下一步积分做准备。当实在看不清楚被积函数特点时，不妨从被积函数中拿出部分算式求导、尝试，或许从中可以得到某种启迪。如例1、例2：
不定积分毕业论文
笫二换元积分法并不是单纯的复合函数求导的逆过程,也涉及到反函数求导 定理.第二积分换元法，主要应用于讣算无理根式的不定积分.针对此类含根式的 不定积分，该方法可设法消去根号,将其转化为简单函数的不定积分.
函数"、”的选择原则：
(l)lllv计算”要容易求得(应用分部积分公式的前提)；
m\vdu需比更容易导出(应用分部积分公式的LI的)[4].
1J此(x)aLtdx,JPn(a)sin如v类型积分.巴(x)是关于x的"次多项式,a> 0;其中 ，产,sind所表示的是指其代表的一类函数*是常数.取" =P”(x).
2.3计算某些无理根式的不定积分14
2.4计算分段函数的不定积分16
参考文献17
英文摘要、关键字18
不定积分的计算方法及拓展
数学与信息科学学院数学与应用数学
指导教师
作者
摘要:不定积分在数学分析学科中的占据着重要地位•不定积分是计算微分 的逆运算,是讣算函数定积分运算的基本前提，是一种处理具体应用如，物理学运 动、液体流速等，经济学函数数量统计，以及儿何学上曲线、曲面等问题的重要途 径.本文主要阐述了三种常用的计算方法和四类特殊函数的不定积分讣算方法.
角军:/ =x\]x2+a-fdx，由于J£dx = I-ai#_,
J\Jx2+aJyjx2+aJyjx2+a
可设——+歼匚f丄;
yfx^+a \jx2+a t
16/Inx + \Jx2+a
整理得/ = _xylx2+a4;、卩的优选判别
不定积分计算的各种方法
本人签名： 导师签名：
日期： 日期：
巢湖学院 2015 届本科毕业论文（设计）
不定积分计算的各种方法
摘 要
不定积分的求解问题对求解各种积分具有重要作用， 其求解方法 新颖且多样.本论文将要介绍一些不定积分的各种计算方法以及某些 特殊不定积分的求解方法，例如：直接积分法、换元积分法（第一换 元积分法和第二换元积分法）、分布积分法以及一些特殊类型函数的 积分；其中一些特殊类型函数的积分有：有理函数的不定积分、三角 函数有理式的不定积分、某些无理根式的不定积分,这类积分方法技 巧做了介绍；除此之外介绍了一些求解不定积分的新方法，这些方法 在不定积分的计算中使用的次数较高而且较为简单， 并且这些方法在 运算和运用过程中既简单又实用.本论文是通过结合例题探讨各种快 捷方便的不定积分的解题方法.
Key words: indefinite integral, immediate integration, integration by substitution, integration by parts, special type function integral
II
目
录
引言.......................................................................................................................................... 1 1.不定积分的概念.................................................................................................................. 1 2.不定积分的计算方法............................................................................ 错误！未定义书签。 2.1 直接积分法........................................................................................ 错误！未定义书签。 2.2 换元积分法...................................................................................................................... 3 2.2.1 第一换元积分法.......................................................................................................... 4 2.2.2 第二换元积分法.......................................................................................................... 6 2.3 分部积分法...................................................................................................................... 8 2.3.1 公式法.......................................................................................................................... 8 2.3.2 列表法.......................................................................................................................... 9 3.一些特殊类型函数的积分................................................................................................ 10 3.1 有利函数的不定积分.................................................................................................... 10 3.2 三角函数有理式的不定积分........................................................................................ 12 3.3 某些无理根式的不定积分............................................................................................ 12 4.求两类不定积分 .............................................................................................................. 14 5.结束语................................................................................................................................ 15 参考文献................................................................................................................................ 16
不定积分的论文
- 1 -不定积分计算的各种方法广东石油化工学院高州师范学院312数学（2）班 蓝俊杰 【摘要】 本文简单介绍不定积分的性质，分析常见不定积分各种求解方法：直接积分法（公式法）、第一换元积分法、第二换元积分法（三角代换、倒代换、去根号法）、分部积分法，并且结合实例加以讨论分析，寻找快捷简便的解题方法。
【关键词】 不定积分 换元法 三角代换 倒代换 去根号法 分部积分法不定积分是《数学分析》中的一个重要内容，它是学习定积分、广义积分、重积分、曲线积分及各种有关积分函数的基础，因此，掌握不定积分的计算是非常重要的，但是求不定积分没有固定的方法，要根据题型的特点采取不同的方法，同一道题会有不同的解法，是数学分析学习是的一个难点。
本文对不定积分的求解方法进行了总结。
一、不定积分的定义与性质定义1：设()f x ， x I ∈，若存在函数()F x ，使得对任意x I ∈均有()()F x f x '=或()()dF x f x dx =，则称()F x 为()f x 的一个原函数。
显然，若f(x)存在原函数，则它的原函数有无穷多个，不同的原函数只相差一个常数。
定义2：()f x 的全部原函数称为()f x 在区间I 上的不定积分，记为()()f x dx F x C =+⎰由[1]，若f(x)在区间I 上连续，则f(x)必定存在原函数。
2.不定积分的运算性质- 2 -[]1.()()()()f x g x dx f x dx g x dx αβαβ+=+⎰⎰⎰2.()();()()f x dx f x d x dx f x dx '⎡⎤==⎣⎦⎰⎰ 3.'()),()F x dx F x c dF x F x c =+=+⎰⎰（（）二、直接积分法（公式法）利用不定积分运算性质、代数公式、三角函数公式及基本公式从而直接求出不定积分，这种方法就是直接积分法（另称公式法）本积分公式如下：10dx c =⎰（）．； 7kdx kx C =+⎰（）；112,11uu x dx x u u +=≠-+⎰（）； 8ln dx x C x=+⎰（）; 3sin cos xdx x c =-+⎰（）；9cos sin dx x c =+⎰（）； 214arctan 1dx x C x =++⎰（）；(10)arcsin ;x C =+ 215tan cos dx x C x =+⎰（）； 21(11)cot ;sin dx x C x=-+⎰ 6x x xe d e C =+⎰（）； 下面具体举例加以讨论：例：2.1.1求不定积分 32(4253)x x x dx -++⎰解：原式=34x dx ⎰-22x dx ⎰+5xdx ⎰+3dx ⎰=43x dx ⎰-22x dx ⎰+5xdx ⎰+3dx ⎰=.43225332x x x x c -+++注：计算多项式的不定积分时，可用不定积分运算性质［1］[]()()()()f x g x dx f x dx g x dx αβαβ+=+⎰⎰⎰进行计算。
浅谈不定积分的计算方法与技巧
( ) 这里 x3 dx = d
1 x4 4
，u = lnx，v =
1 4
x4 ，接下来套用公
式就能完成计算． 式子中出现的被积函数，要挑出一个函数 做出变形． 做出变形的先后顺序为： 指数函数（ 如，ex ） 、三角 函 数 （ 如，sinx，cosx） 、幂 函 数 （ 如，x，x2 ，x3 ，…） 、对 数 函 数
+ C．
∫ 根据不定积分基本公式表中第 2 个公式 ——— xμ dx =
∫ x μ +1
μ +1
+
C（ μ ≠ 1）
，容易知道
x8 dx
=
1 9
x9
+
C，对照例题发
现 2x + 1 这个被积函数就是影响我们直接套用公式的“障碍
物”，就需要把它抓出来求微分，运用微分的定义 dy = y'dx
计算后找出
∫ 解 原式 = sin（ x2 + 1） ·xdx
∫=
sin（ x2
+ 1） ·
1 2
d（
x2
+ 1）
，
∫ 令 u = x2 + 1
1 2
sinudu =
1 2
（
－
cosu）
+ C 回代
－
1 2
cos（
x2
+1）
+ C．
因为 xdx =
1 2
d（
x2
+ 1）
，将 xdx 项换成另一种形式，即
换成
1 2
【关键词】不定积分； 凑微分法； 分部积分法
不定积分是微积 分 学 中 的 一 个 重 要 内 容，它 对 学 生 学 好后续的知识起着至关重要的作用． 目前，高职数学教学过 程中普遍存在课时少、任务重、学生学习习惯不好的情况， 学生在不定积分的学习过程中，往往感觉抽象、难懂、枯燥， 对积分的各种计算 方 法 更 是 茫 然 不 知 所 措 ，这 在 很 大 程 度 上影响了他们对数学学习的兴趣和积极性． 针对这种现象， 笔者就凑微分法（ 第一类换元积分法） 和分部积分法的使 用，通过举例的方式谈谈自己的教学体会．
不定积分的求解方法论文
不定积分的求解方法论文Title: Methods for Solving Indefinite IntegralsAbstract:Keywords: indefinite integrals, antiderivative, direct integration, substitution, integration by parts, partial fractions.1. Introduction (Approximately 150 words)2. Direct Integration (Approximately 250 words)Direct integration, also known as the power rule, is a basic method for solving indefinite integrals. This technique involves applying the power rule backward by increasing the power of the term inside the function. The paper explains the process step-by-step and provides examples to elucidate the method. Additionally, it showcases situations where direct integrationis particularly efficient or fails to yield a solution. By the end of this section, readers will have a solid understanding of the direct integration method.3. Substitution (Approximately 300 words)4. Integration by Parts (Approximately 300 words)Integration by parts is a useful method employed when solving indefinite integrals involving products of functions. It utilizes the product rule of derivatives to rewrite the integralin terms of another set of functions. This paper walks readers through the integration by parts process and provides clear examples to demonstrate the technique. Additionally, it highlights scenarios where integration by parts is most effective and addresses any limitations it may have. By the end of this section, readers should have a firm grasp of the integration by parts method.5. Partial Fractions (Approximately 300 words)6. Conclusion (Approximately 100 words)。
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不定积分计算的各种方法广东石油化工学院高州师范学院312数学（1）班梁多彬【摘要】本论文将要介绍常见的不定积分的各种计算方法以及某些特殊不定积分的求解方法，如：直接积分法（公式法）、分部积分法、换元积分法（第一换元积分法和第二换元积分法）、以及一些特殊函数的积分技巧与方法（有理函数的不定积分以及简单无理函数与三角函数的不定积分），并将结合例题探讨快捷方便的解题方法。
【关键词】不定积分直接积分法分部积分法换元积分法有理函数不定积分简单无理函数与三角函数有理式的不定积分一、引言不定积分是《数学分析》中的一个重要内容，它是定积分、广义积分，瑕积分、重积分、曲线积分以及各种有关积分的基础，掌握不定积分的计算方法对于学习这些后续内容具有重要意义。
不定积分的解法不像微分运算有一定的法则，它需要根据不同的题型特点采用不同的解法，因此积分运算比起微分运算来，方法更多样，技巧性更强。
下面将不定积分的各种计算方法分类归纳，以便于更好的掌握、运用。
二、不定积分的概念定义：函数f(x)在区间I的所有的原函数()()RF∈xCC+称为函数f(x)的不∀定积分，表为⎰+=C x F dxx f )()( （)()('x f x F =，C 为积分常数）,其中∫称为积分符号，x 称为积分变量，f(x)称为被积函数，f(x)dx 称为被积表达式，C 称为积分常数。
在这里要特别注意：一个函数的不定积分既不是一个数，也不是一个函数，而是一个函数族。
列如：at at =⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛'221，而⎰+=C at atdt 221； ()x x cos sin '=,而⎰+=C x xdx sin cos ；2'331x x =⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛，而⎰+=C x dx x 3231. 这也就是说：()⎰)(dx f dx和⎰dx x f )('是不相等的，即前者的结果是一个函数，而后者是无穷多个函数，所以，在书写计算结果时一定不能忘记积分常数。
三、不定积分的计算方法1.直接积分法既然积分运算是微分运算的逆运算，那么自然地可以从导数公式得到相应的积分公式，并且我们把一些基本的积分公式列成一个表，这个表通常叫作基本积分表：直接积分法就是利用基本积分公式直接进行不定积分的计算，例如： 例3.1、计算()⎰++dx x x x 35746 解：原式⎰⎰⎰++=dx dx x dx x 35x 746()()c x x x c x c x c x xdxdx x dx x +++=⎪⎭⎫ ⎝⎛+++++=++=⎰⎰⎰257322517462323357需要说明的是：1c ,2c ,3c 为任意的常数，因此可用一个常数c 来表示。
以后对于一个不对积分，只要在积分结果后面所得的式子中写上一个积分常数即可，后面的就不一一说明了。
例3.2、求⎰+dx x221x . 解：原式⎰+-+=dx x 2211x 1Cx x xdxdx dx x +-=+-=⎪⎭⎫ ⎝⎛+-=⎰⎰⎰arctan 111122 注：这里有一个技巧的方法：将多项式拆分成多个单项式，然后利用基本积分公式进行计算。
直接积分法只能计算比较简单的不定积分，或者是稍做变形就可以用基本积分表解决的不定积分，对于其他有点复杂的不定积分便无从下手，所以，下面我们将一一讨论其他方法。
2.分部积分法分部积分法是由导数乘法规律推导出来的，其公式是⎰⎰-=dx vu uv dx uv '' （1）或⎰⎰-=vdu uv udv（2）说明：分部积分法的关键是u 和dv 的选取，其一般原则是（1）⎰vdu 要比⎰udv 易求；（2）v 要容易求出.根据此原则在下表中列出了在几种常见的分部积分类型中相应的u 和dv 的选取方法：注：表中a,b,k 均为常数，)(x P n 为x 的n 次多项式。
下面举一些例子来说明上表的应用。
例4.1 计算⎰xdx x sin解：令x u =，xdx dv sin =，则x v cos -=⎰⎰⎰++-=+-=-=C x x x xdx x x x xd xdx x sin cos cos cos cos sin例4.2 求不定积分⎰dx ex x 22解: 令2x u =，dx e dv x 2-=，则xdx du 2=，x e v 221--=，[][][]Ce xe e x dxe xe e x xde e x dx xe e x de x dx e x x x x x x x xx xx x x +⎥⎦⎤⎢⎣⎡++-=-+-=+-=--=-=-----------⎰⎰⎰⎰⎰2222222222222222222121212122121例.4.3 求⎰dx xx2ln解： 设x u ln =，dx x dv 21=，则dx xdu 1=，xv 1-=.所以有Cx xC x x x xdx x x x xd dx x x ++-=+-=+-=-=⎰⎰⎰)1(ln 11ln -ln )1(ln ln 22例4.4 计算⎰xdx 3sec 解： 由于xdx dx xx d 22sec cos 1)(tan ==，则令x u sec =，xdx dv 2sec =，并令⎰=xdx I 3sec ，则有 xdx x du tan sec =，x v tan = 所以有()xx I x x xdx xdx x x x x xdx x x x xdxx x x x xd x x x ecxd I tan sec ln tan sec sec sec tan sec )1sec (tan sec 1sec tan sec sec tan tan sec )(sec tan tan sec )(tan s 32222++-=+-=-=--=-=-==⎰⎰⎰⎰⎰⎰于是得()C x x x x I +++=tan sec ln tan sec 21分部积分公式还可以推导积分递推式，例如 例4.5 计算⎰xdx n sin 其中 （ n>1是正整数 ）解： 令x u n 1sin -=，xdx dv sin =，则()xdx x n du n cos sin 12--=，x v cos -=，所以得nn n n n n n n n n n n n n n In xdx n x x xdxn xdx n x x dxx x n x x x x xdx x n x x x xd x x x xd xdx I ⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰---+-=---+-=--+-=-=-+-=+-=-==-----------)1(sin )1(cos sin sin )1(sin 1cos sin )sin 1(sin )1(cos sin )sin 1cos (cos sin )1(cos sin )(sin cos cos sin )cos (sin sin 212122122221211 所以有21211cos sin 1sin 1cos sin 1-----+-=⎪⎭⎫ ⎝⎛-+-=⎰n n n n n I n n x x n xdx n n x x n I 注：上例导出了一个递推公式，只要是重复利用该递推公式，则x sin 的偶次幂最终将递推到1，奇数幂则最终将被递推到x sin ，而1和x sin 可以积出来，因此利用上式递推公式可以积分x sin 的任意正整数幂。
由上面这些例子，对于分部积分法的u 和dv 的选择可以总结出以下规律：优先考虑取为u 的函数的顺序为“反对幂三指”，即按反三角函数、对数函数、幂函数、三角函数和指数函数的先后顺序优先选择函数作为u ，积分式其余部分则凑为dv .3.换元积分法 （1）第一换元法如果不定积分⎰dx x f )(用直接积分法不易求得，但被积函数可分解为())()()('x x g x f ϕϕ=令()x u ϕ=，并注意到()()x d dx x ϕϕ='，则可将有关于变量x 的积分转化为关于u 的积分，于是有()()[]()()[]()()[].)()(回代积分)()(换元变形凑合'C x F x u C u F du u f u x x d x f dx x x f dx x f +=+=⎰⎰⎰⎰ϕϕϕϕϕϕϕ这就是第一换元积分法。
一般可用第一换元积分法，即可用“凑微分”法解的题型较多，方法也很灵活，但也有规律可循，按基本初等函数类型进行总结，常见题型有：下面举例说明： 例5.1 计算⎰+25x dx. 解：()()()C x x u C u uduux x x d dx x x+++=+==+++=++=⎰⎰⎰25ln 5125ln 515125252551252551原式'例5.2 计算⎰xdx sec 解法一：()()()()C xxx x d x x d x x xd xxd dx xxdx xxdx +-+=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-++=-+=-===⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰sin 1sin 1ln 21sin 1sin sin 1sin 21sin 1sin 1sin sin1sin cos cos cos 1sec 22解法二：()()C x x x x x x d dx x x x x x dx x x x x x xdx++=++=++=++=⎰⎰⎰⎰tan sec ln tan sec tan sec tan sec tan sec sec tan sec tan sec sec sec 2虽然这两种解法所得的结果只是形式上的不同，但经过验证均为x sec 的原函数。
例5.3 求不定积分⎰xdx 52cos sin 解：()()C x x x x d x x x x d x x x xd x xdx x ++-=+-=-==⎰⎰⎰⎰7536422224252sin 71sin 52sin 31)(sin sin sin 2sin)(sin sin 1sin )(sin cos sin cos sin例5.4 求 ⎰.cos 2xdx 解：()C x x x xd dx xdx dx dx xxdx++=+=+=+=⎰⎰⎰⎰⎰⎰2sin 4121)2(2cos 41212cos 2122cos 1cos2注：当被积函数是三角函数的乘积时，拆开奇数次项去凑微分。
当被积函数为三角函数的偶数次幂时，常用半角公式通过降低幂次的方法来计算；若为奇次，则拆一项去凑，剩下的偶次用半角公式降幂后再计算。
（2）第二换元积分法适当地选择变量代换()t x ψ=，将积分()⎰dx x f 化为积分()[]()⎰.'dt t t f ψψ这是另一种形式的变量代换，换元公式可表达为：()()[]()⎰⎰=.'dt t t f dxx f ψψ可是这公式的成立需要一定条件：首先，等式右边的不定积分要存在，即()[]()⎰dt t t f 'ψψ有原函数；其次，()[]()⎰dt t t f 'ψψ求出后必须用()t x ψ=的反函数()x t 1-=ψ代回去，为了保证该反函数存在而且是可导的，我们假定直接函数()t x ψ=在t 的某一个区间上是单调的、可导的，并且().0'≠t ψ 则有()()[]()()()[]⎰⎰+=+==-.1'C x F C t F dt t t f dx x f ψψψ 其中()x 1-ψ是()t x ψ=的原函数。