七年级三角形知识点汇总

一、基础知识

1、三角形的定义：由不在同一直线上的三条线段首尾顺次相接组成的图形叫做三角形. （三角形有三条边，三个角，三个顶点.组成三角形的线段叫做三角形的边;相邻两边所组成的角叫做三角形的角; 相邻两边的公共端点是三角形的顶点）

2、三角形的表示

三角形ABC用符号表示为△ABC，三角形ABC的边AB可用边AB所对的角C的小写字母c 表示，AC可用b表示，BC可用a表示.三个顶点用大写字母A,B,C来表示。

注意：（1）三条线段要不在同一直线上，且首尾顺次相接；（2）三角形是一个封闭的图形；（3）△ABC是三角形ABC的符号标记，单独的△没有意义

3、三角形的分类：（1）按边分类：等腰三角形、等边三角形、不等边三角形

（2）按角分类：锐角三角形、直角三角形、钝角三角形

定义：三角形的中线：三角形中，连结一个顶点和它对边中点的线段．

性质：

性质1：三角形的中线是线段；

性质2：三角形三条中线全在三角形的部且交于三角形部一点（重心）

性质3：直角三角形斜边上中线长度是斜边一半。

如果三角形一边中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角形；

性质4：中线把三角形分成两个面积相等的三角形．

性质5：三角形三条中线能将三角形分成面积相等的六部分；

性质6：重心定理：三角形重心到一个顶点的距离等于它到对边中点距离的2倍；

性质7：重心和三顶点的连线所构成的三个三角形面积相等；

题型：

1.三角形的下列线段中，能将三角形的面积分成相等两部分的是( )

A: 中线B: 角平分线C: 高D: 中位线

2.三角形的重心是三角形三条（）的交点。

A: 中线B: 高C: 角平分线D: 垂直平分线

3.直角三角形斜边上的中线等于斜边的__________ ．

4.如图，AD是△ABC的边BC上的中线，BE是△ABD的边AD上的中线，若△ABC

的面积是16，求△ABE的面积

5.如图，AD是△ABC的中线，CE是△ACD的中线，DF是△CDE的中线，如果△DEF

的面积是2，那么△ABC的面积为（）

6.一定在△ABC部的线段是（）

A: 锐角三角形的三条高、三条角平分线、三条中线

B: 钝角三角形的三条高、三条中线、一条角平分线

C: 任意三角形的一条中线、二条角平分线、三条高

D: 直角三角形的三条高、三条角平分线、三条中线

7.如图，△ABC的面积为40，AD为△ABC的中线，BD=5，BE为△ABD的中

线，EF⊥BC，求点E到BC边的距离

8.如图，CD是Rt△ABC斜边AB上的中线，CD=1006，则AB=__________ ．

直角三角形斜边上中线长度是斜边一半。

重心是三条中线的三等分点,到顶点距离为到对边中点距离的2倍.

（2）三角形的角平分线：三角形一个角的平分线与它的对边相交，这个角顶点与交点之间的线段如图：（1）AD是△ABC的∠BAC的平分线. （2）∠1=∠2= ∠BAC.

注意：①三角形的角平分线是线段；

②三角形三条角平分线全在三角形的部且交于三角形部一点（心）

③角平分线上的点到角的两边距离相等

（3）三角形的高：从三角形的一个顶点向它的对边所在的直线作垂线，顶点和垂足之间的线段．如图：①AD是△ABC的BC上的高线；②AD⊥BC于D；③∠ADB=∠ADC=90°.

注意：①三角形的高是线段；

②锐角三角形的三条高的交点在三角形部；钝角三角形的三条高的交点在三角形的外部：直角三角形的三条高的交点在直角顶点上。三角形三条高所在直线交于一点（垂心）

③由于三角形有三条高线，所以求三角形的面积的时候就有三种（因为高底不一样）

（4）三角形的中垂线：过三角形一条边中点所做的垂直于该条边的线段

如图：DE是△ABC的边BC的中垂线；DE⊥BC于D；BD=DC

注意：①三角形的中垂线是直线；

②三角形的三条中垂线交于一点（外心）

小总结：心：三条角平分线的交点,也是三角形切圆的圆心.

性质：到三边距离相等.

外心：三条中垂线的交点,也是三角形外接圆的圆心.

性质：到三个顶点距离相等.

重心：三条中线的交点.

性质：三条中线的三等分点,到顶点距离为到对边中点距离的2倍.

垂心：三条高所在直线的交点.

5、三角形的三边关系：三角形的任意两边之和大于第三边;任意两边之差小于第三边.

注意：（1）三边关系的依据是：两点之间线段最短；

（2）围成三角形的条件是任意两边之和大于第三边．

6、三角形的角与角之间的关系：

(1)三角形三个角的和等于180;

(2)三角形的一个外角等于和它不相邻的两个角的和；

(3)三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的角.

(4)直角三角形的两个锐角互余.

7、三角形的角和定理：三角形的角和等于180°．

推论：直角三角形的两个锐角互余。

8、三角形的外角的定义：三角形一边与另一边的延长线组成的角，叫做三角形的外角. 注意：每个顶点处都有两个外角，但这两个外角是对顶角.（所以一般我们只研究一个）

如:∠ACD、∠BCE都是△ABC的外角，且∠ACD=∠BCE.

所以说一个三角形有六个外角，但我们每个一个顶点处只选一个外角，这样三角形的外角就只有三个了.

三角形外角的性质：

（1）三角形的一个外角等于它不相邻的两个角之和．

（2）三角形的一个外角大于与它不相邻的任何一个角．

9、三角形的稳定性：三角形的三边长确定，则三角形的形状就唯一确定，这叫做三角形的稳定性．

10、多边形：在同一平面，由一些线段首尾顺次相接组成的图形叫多边形。

（1）多边形的对角线：连接多边形不相邻的两个顶点的线段，叫做多边形的对角线。

（2）正多边形：各边相等，各角都相等的多边形叫做正多边形

（3）多边形的角和为（n-2）*180度；多边形的外角和为360度

二、等腰三角形

1、等腰三角形的概念

定义：有两边相等的三角形叫做等腰三角形，其中相等的两边叫做腰，另一边叫做底边，两腰的夹角叫做顶角，腰与底边的夹角叫做底角

2、三角形的性质

（1）等腰三角形的两个底角相等（简称为“等边对等角”）

（2）等腰三角形的顶角平分线、底边上的高线、底边上的中线互相集合（简称为“三线合一”）3、等腰三角形的判定：如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等（简称为“等角对等边”）

注意：要正确区分等腰三角形的性质和判定

4、等边三角形

定义：三边都相等的三角形叫做等边三角形

注意：等边三角形是等腰三角形的特殊情况，它是底边与腰相等的等腰三角形

5、等边三角形的性质和判定

性质：（1）等边三角形的三条边都相等

（2）等边三角形的每一个角都等于60度

判定：（1）各边或角都相等的三角形是等边三角形

（2）有一个角等于60度的等腰三角形是等边三角形

相关规律：（1）边长为a的等边三角形面积等于

（2）等边三角形的心、外心、垂心和重心重合于一点

三、直角三角形

1、定义：有一个角为直角的三角形称为直角三角形。在直角三角形中，直角

相邻的两条边称为直角边。直角所对的边称为斜边。直角三角形直角所对的边

也叫作“弦”。若两条直角边不一样长，短的那条边叫作“勾”，长的那条边

叫作“股”。

2、分类：直角三角形如图所示：分为两种情况，有普通的直角三角形，还有等

腰直角三角形（属于特殊情况)

3、判定定理

等腰直角三角形是一种特殊的三角形，具有所有三角形的性质：稳定性，两直角边相等直角边夹亦直角锐角45，斜边上中线角平分线垂线三线合一，等腰直角三角形斜边上的高为外接圆的半径R。

直角三角形是一种特殊的三角形

4、特殊性质

它除了具有一般三角形的性质外，具有一些特殊的性质：

性质1:直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方。如图，∠BAC=90°，则AB2+AC2=BC2（勾股定理)

性质2:在直角三角形中，两个锐角互余。如图，若∠BAC=90°，则∠B+∠C=90°

性质3：在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半（即直角三角形的外心位于斜边的中点，外接圆半径R=C/2）。该性质称为直角三角形斜边中线定理。

性质4:直角三角形的两直角边的乘积等于斜边与斜边上高的乘积。

性质5:如图，Rt△ABC中，∠BAC=90°，AD是斜边BC上的高，则有射影定理如下：

射影定理图

（1）（AD)2=BD·DC。

（2）（AB)2=BD·BC。

（3）（AC)2=CD·BC。

性质6:在直角三角形中，如果有一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半。

在直角三角形中，如果有一条直角边等于斜边的一半，那么这条直角边所对的锐角等于30°。

证明：

先证明定理的前半部分，Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠A=30°，那么BC=AB/2

∵∠A=30°

∴∠B=60°（直角三角形两锐角互余）

取AB中点D，连接CD，根据直角三角形斜边中线定理可知CD=BD

∴△BCD是等边三角形（有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形）

∴BC=BD=AB/2

再证明定理的后半部分，Rt△ABC中，∠ACB=90°，BC=AB/2，那么∠A=30°

取AB中点D，连接CD,那么CD=BD=AB/2（直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半）

又∵BC=AB/2

∴BC=CD=BD

∴∠B=60°∴∠A=30°

性质7:如图，在Rt△ABC中∠BAC=90°，AD是斜边上的高，则：

证明：S△ABC=1/2*AB*AC=1/2*AD*BC

两边乘以2，再平方得AB2*AC2=AD2*BC2

运用勾股定理，再两边除以

,最终化简即得

性质8:直角三角形被斜边上的高分成的两个直角三角形和原三角形相似。

判定方法：判定1：有一个角为90°的三角形是直角三角形。

判定2：若，则以a、b、c为边的三角形是以c为斜边的直角三角形（勾股定理的逆定理）。

判定3：若一个三角形30°角所对的边是某一边的一半，则这个三角形是以这条长边为斜边的直角三角形。

判定4：两个锐角互为余角（两角相加等于90°）的三角形是直角三角形。

判定5：若两直线相交且它们的斜率之积互为负倒数，则两直线互相垂直。那么这个三角形为直角三角形。

判定6：若在一个三角形中一边上的中线等于其所在边的一半，那么这个三角形为直角三角形。参考直角三角形斜边中线定理

判定7：一个三角形30°角所对的边等于某一邻边的一半，则这个三角形为直角三角形。

四、勾股定理

勾股定理容：如果直角三角形两直角边分别为a，b，斜边为c，那么 a +b =c ；即直角三角形两直角边长的平方和等于斜边长的平方。

如果三角形的三条边a，b，c满足a +b =c ，那么这个三角形是直角三角形。（称勾股定理的逆定理）

五、全等三角形

能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形，而该两个三角形的三条边及三个角都对应相等。全等三角形指两个全等的三角形，它们的三条边及三个角都对应相等。

1、性质

（1）全等三角形的对应角相等。

（2）全等三角形的对应边相等。

（3）能够完全重合的顶点叫对应顶点。

（4）全等三角形的对应边上的高对应相等。

（5）全等三角形的对应角的角平分线相等。

（6）全等三角形的对应边上的中线相等。

（7）全等三角形面积和周长相等。

（8）全等三角形的对应角的三角函数值相等。

2、全等三角形的判定

?SSS（边边边）：三边对应相等的三角形是全等三角形。

?SAS（边角边）：两边及其夹角对应相等的三角形是全等三角形。

?ASA（角边角）：两角及其夹边对应相等的三角形全等

?AAS（角角边）：两角及其一角的对边对应相等的三角形全等。