《运筹学》第三章 运输问题
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运筹学第3章：运输问题-数学模型及其解法
整数规划模型
01
整数规划模型是线性规划模型 的扩展，它要求所有变量都是 整数。
02
整数规划模型适用于解决离散 变量问题，例如车辆路径问题 、排班问题等。
03
在运输问题中，整数规划模型 可以用于解决车辆调度、装载 等问题，以确保运输过程中的 成本和时间效益达到最优。
混合整数规划模型
混合整数规划模型是整数规划和线性规划的结合，它同时包含整数变量和 连续变量。
运筹学第3章：运输问题-数学模 型及其解法
目录
• 引言 • 运输问题的数学模型 • 运输问题的解法 • 运输问题的应用案例 • 结论
01 引言
运输问题的定义与重要性
定义
运输问题是一种线性规划问题，主要 解决如何将一定数量的资源（如货物 、人员等）从起始地点运送到目标地 点，以最小化总运输成本。
总结词
资源分配优化是运输问题在资源管理 领域的应用，主要解决如何将有限的 资源合理地分配到各个部门或项目， 以最大化整体效益。
详细描述
资源分配优化需要考虑资源的数量、 质量、成本等多个因素，通过建立运 输问题的数学模型，可以找到最优的 资源分配方案，提高资源利用效率， 最大化整体效益。
05 结论
运输问题的发展趋势与挑战
生产计划优化
总结词
生产计划优化是运输问题在生产领域的应用，主要解决如何合理安排生产计划， 满足市场需求的同时降低生产成本。
详细描述
生产计划优化需要考虑原材料的采购、产品的生产、成品的销售等多个环节，通 过建立运输问题的数学模型，可以找到最优的生产计划和调度方案，提高生产效 率，降低生产成本。
资源分配优化
发展趋势
随着物流行业的快速发展，运输问题变得越来越复杂，需要更高级的数学模型和算法来 解决。同时，随着大数据和人工智能技术的应用，运输问题的解决方案将更加智能化和
广工管理运筹学第三章运输问题
闭合回路法的优点是能够找到全局最 优解，适用于大型复杂运输问题。但 该方法的计算复杂度较高，需要较长 的计算时间。
商位法
01
商位法是一种基于商位划分的优化算法，用于解决运输问题。该方法通过将供 应点和需求点划分为不同的商位，并最小化总运输成本。
02
商位法的计算步骤包括：根据地理位置和货物需求量，将供应点和需求点划分 为不同的商位；根据商位的地理位置和货物需求量，计算总运输成本；通过比 较不同商位的总运输成本，确定最优的配送路线。
80%
线性规划法
通过建立线性规划模型，利用数 学软件求解最优解，得到最小化 总成本的运输方案。
100%
启发式算法
采用启发式规则逐步逼近最优解 ，常用的算法包括节约算法、扫 描算法等。
80%
遗传算法
基于生物进化原理的优化算法， 通过模拟自然选择和遗传机制来 寻找最优解。
02
运输问题的数学模型
变量与参数
约束条件
供需平衡
每个供应点的供应量等于对应 需求点的需求量，这是运输问 题的基本约束条件。
非负约束
运输量不能为负数，即每个供 应点对每个需求点的运输量都 应大于等于零。
其他约束条件
根据实际情况，可能还有其他 约束条件，如运输能力的限制 、运输路线的限制等。
03
运输问题的求解算法
表上作业法
总结词
直到达到最优解。这两种方法都可以通过构建线性规划模型来求解最优解。
04
运输问题的优化策略
节约法
节约法是一种基于节约里程的优化算法，用于解决 运输问题。该方法通过比较不同配送路线的距离和 货物需求量，以最小化总运输距离为目标，确定最 优的配送路线。
节约法的计算步骤包括：计算各供应点到需求点的 距离，找出最短路径；根据最短路径和货物需求量 ，计算节约里程；按照节约里程排序，确定最优配 送路线。
运筹学-3运输问题
产销平衡问题 产销不平衡问题
产大于销 销大于供
当产销平衡时，其模型如下：
当产大于销时，其模型是：
mn
min Z
cij xij
i1 j1
xij ai xij bj
xij
0
( ai bj)
当销大于产时，其模型是：
min Z
cij xij
xij ai xij bj
可行解的方法
Review
二、表上作业法的步骤
Step1.找出初始基本可行解（在m*n产销平衡 表上寻找初始调运方案，一般m+n-1个数字 格），用最小元素法、西北角法、伏格尔法；
Step2.求出各非基变量的检验数，判别是否达 到最优解。如果是停止计算，否则转入下一步， 用闭回路或位势法计算；
Step3.改进当前的基本可行解（确定换入、 换出变量），用闭合回路法调整； Step4.重复2. 3，直到找到最优解为止。
（3）运输问题的解
定义1. 闭回路
x x x x x x 闭回路是能折成 i1 j1, i1 j2 , i2 j2 , i2 j3 ,..., isjs , isj1
形式的变量组集合。其中 i1 , i2 , …， is 互不相同，j1 , j2 , …， js 互不相 同。每个变量称为闭回路的顶点，连接闭回路相邻两顶点的直线段叫做闭
统计学院
运筹学－第三章 运输问题
张红历
本章内容
1.运输问题及其数学模型 2.表上作业法 3.运输问题的进一步讨论
4.应用问题举例
第一节 运输问题及其数学模型
一、运输问题的提出
例：某运输问题的资料如下：
单位 销地 运价
产地
A1 A2 A3
销量
产大于销 销大于供
当产销平衡时，其模型如下：
当产大于销时，其模型是：
mn
min Z
cij xij
i1 j1
xij ai xij bj
xij
0
( ai bj)
当销大于产时，其模型是：
min Z
cij xij
xij ai xij bj
可行解的方法
Review
二、表上作业法的步骤
Step1.找出初始基本可行解（在m*n产销平衡 表上寻找初始调运方案，一般m+n-1个数字 格），用最小元素法、西北角法、伏格尔法；
Step2.求出各非基变量的检验数，判别是否达 到最优解。如果是停止计算，否则转入下一步， 用闭回路或位势法计算；
Step3.改进当前的基本可行解（确定换入、 换出变量），用闭合回路法调整； Step4.重复2. 3，直到找到最优解为止。
（3）运输问题的解
定义1. 闭回路
x x x x x x 闭回路是能折成 i1 j1, i1 j2 , i2 j2 , i2 j3 ,..., isjs , isj1
形式的变量组集合。其中 i1 , i2 , …， is 互不相同，j1 , j2 , …， js 互不相 同。每个变量称为闭回路的顶点，连接闭回路相邻两顶点的直线段叫做闭
统计学院
运筹学－第三章 运输问题
张红历
本章内容
1.运输问题及其数学模型 2.表上作业法 3.运输问题的进一步讨论
4.应用问题举例
第一节 运输问题及其数学模型
一、运输问题的提出
例：某运输问题的资料如下：
单位 销地 运价
产地
A1 A2 A3
销量
运筹学第三章 运输问题
销地 产地 A1
A2
B1
B2
B3
B4
产量
6
5 3
3 1
4
4
2
A3
销量 2
4 7
1 3
4
4 6
3
7 5
3
5
6
8
4 3 13
σ11=-3, σ12=-2,σ23=-4, σ31=-1,σ33=1, σ34=-1
销地 产地 A1
A2
B1
B2
B3
B4
产量
6
5 0
3 4
4
4
2
A3
销量 2
4 7
4
4 6
3
4 3
5
3
4
3
4 7
1
5
4 6
A3 销量 2
7
0
4
6
3
5
3
4
8
3 13
x11检验数为 6-4+8-6+4-4=4
销地 产地 A1
A2
B1
B2
B3
B4
产量
6 4 2 4
5
3
4
3
4 7
1
5
4 6
A3 销量 2
7
0
4
6
3
5
3
4
8
3 13
x12检验数为 5-4+8-6=3
销地 产地 A1
A2
B1
B2
B3
B4
产量
2、位势法 当运输问题变量的格数较多时，用闭 回路法计算检验数比较麻烦，而位势法比 较简便。 对于运输问题 minf=CX AX=b X≥0 设B为其一个可行基，则xij的检验数为 σ ij=CBB-1Pij-Cij
运筹学 第3章 运输问题
第三章运输问题在生产实际中，经常需要将某种物资从一些产地运往一些销地，因而存在如何调运使总的运费最小的问题。
这类问题一般可用线性规划模型来描述，当然可以用单纯形法求解。
但由于其模型结构特殊，学者们提供了更为简便和直观的解法——表上作业法。
此外，有些线性规划问题从实际意义上看，并非运输问题，但其模型结构类似运输问题，也可以化作运输问题进行求解。
第一节运输问题及其数学模型首先来分析下面的问题。
例3.1农产品经销公司有三个棉花收购站，向三个纺织厂供应棉花。
三个收购站A 1、A2、A3的供应量分别为50kt、45kt和65kt，三个纺织厂B1、B2、B3的需求量分别为20kt、70kt和70kt。
已知各收购站到各纺织厂的单位运价如表3—1所示（单位：千元/kt），问如何安排运输方案，使得经销公司的总运费最少？设x ij表示从A i运往B j的棉花数量，则其运输量表如下表所示。
表3—2由于总供应量等于总需求量，因此，一方面从某收购站运往各纺织厂的总棉花数量等该收购站的供应量，即x11+x12+x13 = 50x21+x22+x23 = 45x31+x32+x33 = 65另一方面从各收购站运往某纺织厂的总棉花数量等该纺织厂的需要量，即 x 11+x 21+x 31 = 20 x 12+x 22+x 32 = 70 x 13+x 23+x 33 = 70因此有该问题的数学模型为min f= 4x 11+8x 12+5x 13+6x 21+3x 22+6x 23+2x 31+5x 32+7x 33 x 11+x 12+x 13 = 50 x 21+x 22+x 23 = 45 x 31+x 32+x 33 = 65 x 11+x 21+x 31 = 20 x 12+x 22+x 32 = 70 x 13+x 23+x 33 = 70x ij ≥0，i=1，2，3；j=1，2，3 生产实际中的一般的运输问题可用以下数学语言描述。
运筹学 第3章运输问题
检 验 数 表
最 优 方 案 判 别 准 则
B1 3 A1 A2 7 A3 vj
B2 11
B3 3 2
B4 10 8
ui
1
1Байду номын сангаас
2
9
0
1
4 10
-1
5
-1 -5
10
2 9
12
3 10
24=-1＜0，当前方案 不是最优方案。
26
2.3
闭回路调整法改进方案
min ij 0 pq
xpq 为换入变量
min
z cij xij
i 1 j 1
s.t.
n xij ai 1 jm xij b j i 1 xij 0
i 1,, m j 1,, n
4
运输问题的约束方程组系数矩阵及特征
x11 x12 .... x1n 1 1.......1 A 1 1 1 x21 x22 .... x2 n ...... xm1 xm 2 .... xmn 1 1.......1 ......... 1 1.......1 1 1 1 .......... 1 1 1
10
1. 最小元素法 （思想：就近供应） 不 能 同 时 划 去 行 和 列
销 产 A1 1 A2 A3 销量 3 9 B1 3 B2 11 B3 3 B4
表3-4
产量 10 7 8 5
4
2
3
3
7 4
1
10
6
6 5
3
6
保证填 4 有运量 的格子 9 为m+n1
该方案总运费： Z=4×3+3×10+3×1+1×2+6×4+3×5=86
运筹学 第三章 运输问题
（或者在同时划去Ai行与Bj列时，在该行或该列的任意空格处填加一 个0。）
这样可以保证填过数或零的格为m+n-1个，即保证基变量的个数为 m+n-1个。
2021/3/14
14
2.Vogel法
Vogel法的思想是:一地的产品如果不能按照最小运
费就近供应，就考虑次小运费，这就有差额，差额越大， 说明不能按最小运费调运时，运费增加得越多。因而差 额越大处，就应当采用最小运费调运。
同理可以求得 v4=10，u2= -1，等等见上表。
检验数的求法，即用公式 ijciju，i vj
如 1 1 c 1 1 u 1 v 1 3 0 2 1 。
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23
位势法计算检验数：
检验数： ijcijCBB1Pij
cijYiP jcij(u1,..u.m , ,v1,.v.n.)Pij
3
B4
ui
3 10
0
-1 8
-1
35
-5
10
B1
3
31
7
2
B2
11 9
64
9
B3
4(+1) 3 1 (-1) 2
10
3
B4
ui
3(-1) 10
0
+1 8
-1
35
-5
10
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26
调整运量后的新方案：
销地
产地
B1
A1
A2
3
A3
B2
B3
5
6
销量
3
6
5
B4
产量
2
7
1
4
3
9
这样可以保证填过数或零的格为m+n-1个，即保证基变量的个数为 m+n-1个。
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2.Vogel法
Vogel法的思想是:一地的产品如果不能按照最小运
费就近供应，就考虑次小运费，这就有差额，差额越大， 说明不能按最小运费调运时，运费增加得越多。因而差 额越大处，就应当采用最小运费调运。
同理可以求得 v4=10，u2= -1，等等见上表。
检验数的求法，即用公式 ijciju，i vj
如 1 1 c 1 1 u 1 v 1 3 0 2 1 。
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23
位势法计算检验数：
检验数： ijcijCBB1Pij
cijYiP jcij(u1,..u.m , ,v1,.v.n.)Pij
3
B4
ui
3 10
0
-1 8
-1
35
-5
10
B1
3
31
7
2
B2
11 9
64
9
B3
4(+1) 3 1 (-1) 2
10
3
B4
ui
3(-1) 10
0
+1 8
-1
35
-5
10
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调整运量后的新方案：
销地
产地
B1
A1
A2
3
A3
B2
B3
5
6
销量
3
6
5
B4
产量
2
7
1
4
3
9
运筹学第3章：运输问题
收点 发点 B1 10 B2 5 7 10 12 7 15 15 3 5 8
5
B3
B4
产量
B1
B2
B3
B4
A1
A2 A3 销量
15 5
25 18 3 5 45
20
22 12
11
17 24
30
19 16
21
30 28
对应的目标函数值为： z＝10×20＋5×11+7×17+15×19＋30×3+5×28＝889(元) 3、伏格尔法 ⑴在运价表中分别增加一行(列差额)和一列(行差额)，并分 别计算出各行和各列次最小运价和最小运价的差额。 ⑵从行差额或列差额中选出最大者，选择它所在的行或列中 的最小运价优先安排运量。
第三章 运输问题
(Transportation Problem)
运输问题及其数学模型 表上作业法 运输问题的进一步讨论
WinQSB软件应用
第一节 运输问题及其数学模型
一、运输问题的数学模型
【例1】已知某产品有A1、A2、A3三个生产地，其可供应的产量分别为15、 25、5吨；有B1、B2、B3、B4四个销售地可以销售该产品，其对该产品的需求 量分别为10、12、15、8吨。从Ai运往Bj单位产品的运价如下表所示。
⑴在运价表中找到最小运价cLk； ⑵将AL的产品给B k；
①若aL>b k，则将aL改写为aL-bk，划掉bk，同时将运价表中 K列的运价划掉； ②若aL<b k，则将bk改写为bk-aL，划掉aL，同时将运价表中 L行的运价划掉。
如此重复⑴、⑵，直到分配完毕。
【例3-2】以例3-1为例进行说明。
二、运输问题的特点
1、平衡运输问题必有可行解，也必有最优解； 2、运输问题的基本可行解中应包括 m+n-1个基变量。
5
B3
B4
产量
B1
B2
B3
B4
A1
A2 A3 销量
15 5
25 18 3 5 45
20
22 12
11
17 24
30
19 16
21
30 28
对应的目标函数值为： z＝10×20＋5×11+7×17+15×19＋30×3+5×28＝889(元) 3、伏格尔法 ⑴在运价表中分别增加一行(列差额)和一列(行差额)，并分 别计算出各行和各列次最小运价和最小运价的差额。 ⑵从行差额或列差额中选出最大者，选择它所在的行或列中 的最小运价优先安排运量。
第三章 运输问题
(Transportation Problem)
运输问题及其数学模型 表上作业法 运输问题的进一步讨论
WinQSB软件应用
第一节 运输问题及其数学模型
一、运输问题的数学模型
【例1】已知某产品有A1、A2、A3三个生产地，其可供应的产量分别为15、 25、5吨；有B1、B2、B3、B4四个销售地可以销售该产品，其对该产品的需求 量分别为10、12、15、8吨。从Ai运往Bj单位产品的运价如下表所示。
⑴在运价表中找到最小运价cLk； ⑵将AL的产品给B k；
①若aL>b k，则将aL改写为aL-bk，划掉bk，同时将运价表中 K列的运价划掉； ②若aL<b k，则将bk改写为bk-aL，划掉aL，同时将运价表中 L行的运价划掉。
如此重复⑴、⑵，直到分配完毕。
【例3-2】以例3-1为例进行说明。
二、运输问题的特点
1、平衡运输问题必有可行解，也必有最优解； 2、运输问题的基本可行解中应包括 m+n-1个基变量。
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i=2
0 ······ 0 0 ······ 0
············ 0
· · · ··· ··· ·· ·· ·· ··
·· ········ ·· ·· ·· ···· ········ ·· ·· ·· ··
0 0 ······ 0 1 i=m 1 ······ 1 ············ 0
(2) 如果供应量和需求量都是整数，那么一定可以得到整数 形式的最优解;
(3) 用最小元素法和vogel法得到的是运输问题的一个基可行 解，数字格对应基变量；
(4) 若在中途同时有行列要求得到满足，将同时划掉一行一 列，最后数字格个数将少于m+n-1个。为使数字格的个数恰 好等于m+n-1，在同时划去的行列中，任选（或选其价
最大独立方程数：m+n-1 3.系数列向量结构：
0
Pij= 1 ——第i个分量
1 ——第m+j个分量 0
…… …
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9
x11 x12 ······ x1n x21 x22 ······ x2n ,············, xm1 i=1 1xm21············xmn 1 0
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11
3.2 运输问题的求解方法：表上作业法
初始基可行解
单
纯
形
法
最优否？ Y
STOP
求
解
思
N
路
新的基可行解
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12
表上作业法步骤:
初始运输方案最优性检验改进运输方案
一、初始方案的确定
1.最小元素法 2.Vogel法 二、最优性检验 1.闭回路法 2.位势法 三、方案改进方法 在闭回路内改进。
5
二、建立模型
设 xij——第i产地到第j销地之间的调运量，则有
34
Min z = cij·xij
i=1 j=1
制产 量 限
x11+x12+x13+x14=7 x21+x22+x23+x24=4 x31+x32+x33+x34=9
制销 量 限
xij0,(i=1,2,┄,3；j=1,2,┄,4)
A1 8 5 10 A2 2 1 20
销量 15 15
最小元素法：z=8×10+2×5+1×15=105 Vogel法：z=10×5+15×2+5×1=85
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15
Vogel法
产销平衡表
A1 A2 A3
销量
B1 B2 B3 B4 产量
3 6
5 27 14 39
3656
B1 B2 B3 B4 行两最小元素之差
格系数最小元素对应的）空格，填上数字0作为特殊的数字 格（即基变量）。
-----精品文档------
17
例
产销平衡表
B1 B2 B3 B4 产量
A1 20 A2
0 20
10
10
A3 10 25
15 50
销量 30 25 10 15
单位运价表
B1 B2 B3 B4 A1 2 7 3 11 A2 8 4 6 9 A3 4 3 10 5
j=1 0 ······ 0
·· ·· ···· ·· ··
·· ·· ··
·· ·· ···· ·· ··
·· ·· ···· ········ ··
·· ·· ··
j=2
0 0 ······ 0 0 0 ······ 0 ············ 1 j=n 1 ······ 1
1 0 ······ 0 1
-和数学模型
一、典例
某食品公司经营糖果业务，公司下设三个工厂A1、A2、 A3，四个销售门市部B1、B2、B3、B4。已知每天各自的生产 量、销售量及调运时的单位运输费用情况。问：如何调运可 使总费用最小？
生产量：A1——7吨， A2 —— 4吨， A3 —— 9吨
A1 3 11 3 10 0 0 0 7
A2 1 9 2 8 71 1 1 6
A3 4 10 5
1 2 --
列两 2 5 1 3 最小 2 - 1 3 元素 2 - 1 2 之差
--12
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16
针对最小元素法和vogel法，需要说明的几点：
(1) 任何运输问题都有基可行解，且有最优解；
销售量：B1 —— 3吨，B2 —— 6吨，B3 —— 5吨，B4 —— 6吨
销地
产地
B1
B2
A1
3
11
A2
1
9
A3
7
4
B3
B4
3
10
2
8
10
5
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4
7吨
A1
产 4吨 A2 地
调运示意图
x11
B1 3吨
B2 6吨
销
B3 5吨
地
9吨 A3
x34
B4 6吨
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第3章 运输问题
-----精品文档------
1
3.1 运输问题的典例和数学模型 3.2 运输问题的求解方法：表上作业法 3.3 几类特殊的运输问题 3.4 运输问题的应用
-----精品文档------
2
运输问题： 根据已有的交通网，如何制定运输 方案，使得这些物资被运送到各个销售地，并保 证某个指标最优(例如总运费最小)。
-----精品文档------
18
产销平衡表
闭
B1 B2 B3 B4 产量
回 A1 (1) (2) 4 3 7 路 A2 3 (1) 1 (-1) 4 法 A3 (10) 6 (12) 3 9
x11+x21+x31=3 x12+x22+x32=6 x13+x23+x33=5 x14+x24+x34=6
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6
产 销 平 衡 表
单 位 运 价 表
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7
一般模 型表示 (ai=bj)
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8
三、模型的特点
1.变量数：mn个 2.约束方程数：m+n个
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13
最小元素法
产销平衡表
B1 B2 B3 B4 产量
A1
43 7
A2 3
1
4
A3
6
39
销量 3 6 5 6
单位运价表
B1 B2 B3 B4 A1 3 11 3 10 A2 1 9 2 8 A3 7 4 10 5
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14
Vogel法
例
B1 B2 产量
0 ······ 0 ············ 1
0 ······ 0
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10
0 1 ······ 0 0
关于运输模型的几个结论：
(1)设有m个产地，n个销地且产销平衡的运输问题，则基变 量数是m+n-1；
(2)若变量组B包含有闭回路，则B中变量对应的列向量线性 相关；
(3)m+n-1个变量组构成基变量的充要条件是它不包含任何闭 回路。