上海市闵行中学2017-2018学年高一下学期期末考数学试题及答案(word版)
2018-2019学年上海市闵行区七宝中学高一下学期期末数学试题(解析版)
2018-2019学年上海市闵行区七宝中学高一下学期期末数学试题一、单选题1．已知{}n a 、{}n b 都是公差不为0的等差数列，且lim 2nn na b →∞=，12n n S a a a =++⋯+，则22lim nn nS nb →∞的值为（ ） A ．2B ．-1C ．1D ．不存在【答案】C【解析】首先根据lim 2n n n a b →∞=求出数列{}n a 、{}n b 公差之间的关系，再代入22lim nn nSnb →∞即可。
【详解】因为{}n a 和{}n b 都是公差不为零的等差数列，所以设()()11121?1n n b b n d a a n d =+-=+- 故()()11121limlim 21nn n n a n d a b b n d →∞→∞+-==+-，可得122d d =又因为()112112n n n d a a a na -+++=+和()21121n b b n d =+-代入则()()1112122122lim lim 21212n n n nn n d na S d nb nb n n d d →∞→∞⎛⎫-+ ⎪=⨯== ⎪+- ⎪ ⎪⎝⎭． 故选：C ． 【点睛】本题主要考查了极限的问题以及等差数列的通项属于基础题。
2．设{}n a 是公比为()01q q <<的无穷等比数列，若{}n a 的前四项之和等于第五项起以后所有项之和，则数列21{}n a -是（ ） A ．公比为12的等比数列B ．公比为2的等比数列C ．公比为2或2-的等比数列D的等比数列【答案】B【解析】根据题意可得42n S S =，带入等比数列前n 和即可解决。
【详解】根据题意，若{}n a 的前四项之和等于第五项起以后所有项之和， 则42n S S =，又由{}n a 是公比为()01q q <<的无穷等比数列，则()4111211a q a q q-=--，变形可得412q =，则q =，数列{}21n a -为{}n a 的奇数项组成的数列，则数列{}21n a -为公比为2q =列； 故选：B ． 【点睛】本题主要考查了利用等比数列前n 项和计算公比，属于基础题。
2018-2019学年上海中学高一(下)期末数学试卷(附答案详解)
2018-2019学年上海中学高一（下）期末数学试卷一、单选题（本大题共4小题，共12.0分）1. 已知等差数列{a n }的公差为2，前n 项和为S n ，且S 10=100，则a 7的值为( )A. 11B. 12C. 13D. 142. 等比数列{a n }的前n 项和为S n ，已知S 3=a 2+10a 1，a 5=9，则a 1=( )A. 13B. −13C. 19D. −193. 设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若S m−1=−2，S m =0，S m+1=3，则m =( )A. 3B. 4C. 5D. 64. 设0<α<π2，若x 1=sinα，x n+1=(sinα)x n (n =1,2，3…)，则数列{x n }是( )A. 递增数列B. 递减数列C. 奇数项递增，偶数项递减的数列D. 偶数项递增，奇数项递减的数列二、单空题（本大题共12小题，共36.0分）5. 计算n →∞lim(1−1n)的结果是______．6. 已知等差数列a 1=3，a n =21，d =2，则n =______．7. 数列{a n }中，已知a n =4n −13⋅2n +2，n ∈N ∗，50为第______项． 8. {a n }为等比数列，若a 1+a 2+a 3=26，a 4−a 1=52，则a n =______．9. 用数学归纳法证明结论：(n +1)(n +2)…(n +n)=2n ×1×2×…×(2n −1)(n ∈N ∗)时，从“k 到k +1”左边需增乘的代数式为______ ．10. 数列{a n }满足a 1=1，a 2=3，a n+1=(2n −λ)a n (n =1,2，…)，则a 3等于______． 11. 数列{x n }满足x n+1=x n −x n−1，n ≥2，n ∈N ∗，x 1=a ，x 2=b ，则x 2019=______． 12. 数列{a n }满足下列条件：a 1=1，且对于任意正整数n ，恒有a 2n =a n +n ，则a512=______．13. 数列{a n }定义为a 1=cosθ，a n +a n+1=nsinθ+cosθ，n ≥1，则S 2n+1=______ 14. 已知数列{a n }是正项数列，S n 是数列{a n }的前n 项和，且满足S n =12(a n +1a n)，若b n =a n+1Sn S n+1，T n 是数列{b n }的前n 项和，则T 99=______15. 已知三角形的三条边长构成等比数列，他们的公比为q ，则q 的取值范围是______ ． 16. 数列{a n }满足a 1=1，a 2=2，a 3=3，a 4=4，a 5=5，当n ≥5时，a n+1=a 1⋅a 2⋅…⋅a n −1，则是否存在不小于2的正整数m ，使a 1⋅a 2⋅…⋅a m =a 12+a 22+⋯+a m2成立？若存在，则在横线处直接填写m 的值；若不存在，就填写“不存在”______．三、解答题（本大题共5小题，共60.0分）17.等差数列{a n}的前n项和为S n，S4=−62，S6=−75设b n=|a n|，求数列{b n}的前n项和T n．18.已知数列{a n}的前n项和S n=n2−2n+1(n∈N∗)．(1)求{a n}的通项公式；(2)若数列{b n}满足：a n+1+log3n=log3b n(n∈N∗)，求{b n}的前n项和T n(结果需化简)19.某产品具有一定的时效性，在这个时效期内，由市场调查可知，在不作广告宣传且每件获利a元的前提下，可卖出b件．若作广告宣传，广告费为n千元时比广告费件，(n∈N∗).为(n−1)千元时多卖出b2n(1)试写出销售量s与n的函数关系式；(2)当a=10，b=4000时厂家应生产多少件这种产品，做几千元广告，才能获利最大？20. 设数列{a n }的前n 项和S n ，已知a 1=1，2S n n=a n+1−13n 2−n −23，n ∈N ∗．(1)求数列{a n }的通项公式；(2)是否对一切正整数n ，有1a 1+1a 2+⋯+1a n<53−1n+1？说明理由．21. 设集合S n ={(x 1,x 2,…,x n )|x i ∈{0，1}(i =1,2，…，n)}，其中n ∈N ∗，n ≥2．(1)写出集合S 2中的所有元素；(2)设(a 1,a 2,…,a n )，(b 1,b 2,…,b n )∈S n ，证明：“a 1⋅20+a 2⋅21+⋯+a n ⋅2n−1=b 1⋅20+b 2⋅21+⋯+b n ⋅2n−1“的充要条件是“a i =b i (i =1,2，…，n)”； (3)设集合S ={(x 1,x 2,…x n ,…)|x i ∈{0，1}(i =1,2…,n …)}设(a 1,a 2,…,a n ,…)，(b 1,b 2,…b n ,…)∈S ，使得a 1⋅(12)1+a 2⋅(12)2+⋯+a n ⋅(12)n +⋯=A ，且b 1⋅(12)1+b 2⋅(12)2+⋯+b n ⋅(12)n +⋯=B ，试判断“A =B ”是“a i =b i (i =1,2，…)”的什么条件并说明理由．答案和解析1.【答案】C【解析】解：由S 10=100及公差为2． ∴10a 1+10×92×2=100，联立解得a 1=1． ∴a n =2n −1， 故a 7=13． 故选：C ．由S 10=100及公差为2.利用求和公式可得a 1=1.再利用通项公式即可得出．本题考查了等差数列的通项公式与求和公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．2.【答案】C【解析】 【分析】本题考查等比数列的前n 项和的概念，熟练掌握等比数列的通项公式是解题的关键． 设等比数列{a n }的公比为q ，利用已知和等比数列的通项公式即可得到{a 1+a 1q +a 1q 2=a 1q +10a 1a 1q 4=9，解出即可． 【解答】解：设等比数列{a n }的公比为q ， ∵S 3=a 2+10a 1，a 5=9，∴{a 1+a 1q +a 1q 2=a 1q +10a 1a 1q 4=9，解得{q 2=9a 1=19．∴a 1=19． 故选C ．3.【答案】C【解析】 【分析】本题考查等差数列的通项公式、前n 项和公式及通项a n 与S n 的关系，考查学生的计算能力．由a n与S n的关系可求得a m+1与a m，进而得到公差d，由前n项和公式及S m=0可求得a1，再由通项公式及a m=2可得m值．【解答】解：a m=S m−S m−1=2，a m+1=S m+1−S m=3，所以公差d=a m+1−a m=1，=0，S m=m(a1+a m)2m−1>0，m>1，因此m不能为0，得a1=−2，所以a m=−2+(m−1)⋅1=2，解得m=5，故选：C．4.【答案】C，则0<sinα<1，【解析】解：根据题意，0<α<π2指数函数y=(sinα)x为减函数，∴(sinα)1<(sinα)sinα<(sinα)0=1，即0<x1<(sinα)x1<1，∴(sinα)1<(sinα)x2<(sinα)x3<(sinα)x1<(sinα)0=1，即0<x1<x3<x4<x2<1，∴(sinα)1<(sinα)x2<(sinα)x4<(sinα)x3<(sinα)x1<(sinα)0=1，即0<x1<x3<x5<x4<x2<1，…，0<x1<x3<x5<x7<⋯<x8<x6<x4<x2<1．∴数列{x n}是奇数项递增，偶数项递减的数列故选：C．根据题意，由三角函数的性质分析可得0<sinα<1，进而可得函数y=(sinα)x为减函数，结合函数与数列的关系分析可得答案．本题考查数列通项公式，涉及数列的函数特性，属中档题．5.【答案】1【解析】解：当n →+∞，1n →0，∴n →∞lim(1−1n )=1，故答案为：1．由n →+∞，1n →0，即可求得n →∞lim(1−1n)=1．本题考查极限的运算，考查计算能力，属于基础题．6.【答案】10【解析】解：在等差数列{a n }中，由a 1=3，a n =21，d =2，得 21=3+2(n −1)，解得：n =10． 故答案为：10．直接把已知代入等差数列的通项公式求得n 值． 本题考查等差数列的通项公式，是基础的计算题．7.【答案】4【解析】解：令a n =4n −13⋅2n +2=50， 可得：(2n −16)(2n +3)=0， ∴2n =16， 解得n =4． 故答案为：4．令a n =4n −13⋅2n +2=50，可得：(2n −16)(2n +3)=0，解出n 即可得出． 本题考查了数列通项公式、方程的解法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．8.【答案】2⋅3n−1【解析】解：∵{a n }为等比数列，a 1+a 2+a 3=26，a 4−a 1=52， ∴{a 1+a 1q +a 1q 2=26a 1q 3−a 1=52， ∴a 1(1+q+q 2)a 1(q 3−1)=1q−1=12，解得q =3，a 1=2， ∴a n =2⋅3n−1． 故答案为：2⋅3n−1．利用等差数列通项公式列方程组求出首项和公比，由此能求出通项公式．本题考查等比数列的通项公式的求法，考查等比数列的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．9.【答案】2(2k+1)【解析】解：当n=k时，左边=(k+1)(k+2)…(k+k)=(k+1)(k+2)(k+3)…(2k)，当n=k+1时，左边=(k+1+1)(k+1+2)…(k+k)(k+1+k)(k+1+k+1)，=2(2k+1)，故当“n从k到k+1”左端需增乘的代数式为(2k+1)(2k+2)k+1故答案为：2(2k+1)．分别求出n=k时左端的表达式，和n=k+1时左端的表达式，比较可得“n从k到k+1”左端需增乘的代数式．本题考查用数学归纳法证明等式，分别求出n=k时左端的表达式和n=k+1时左端的表达式，是解题的关键．10.【答案】15【解析】解：∵a1=1，a2=3，a n+1=(2n−λ)a n∴a2=(2−λ)a1即3=(2−λ)∴λ=−1，a n+1=(2n+1)a n∴a3=5a2=15故答案为：15先由a1=1，a2=3，a n+1=(2n−λ)a n，可求出λ，然后由n=2时，代入已知递推公式即可求解本题主要考查了利用递推公式求解数列的项，解题的关键是求出参数λ11.【答案】b−a【解析】解：由题中递推公式，可得：x1=a，x2=b，x3=x2−x1=b−a，x4=x3−x2=b−a−b=−a，x5=x4−x3=−a−(b−a)=−b，x6=x5−x4=−b−(−a)=a−b，x7=x6−x5=a−b−(−b)=a，x8=x7−x6=a−(a−b)=b，x9=x8−x7=b−a，⋅⋅⋅∴数列{x n}是以6为最小正周期的周期数列．∵2019÷6=336…3．∴x2019=x3=b−a．故答案为：b−a．本题可根据题中递推公式列出前面几项会发现数列{x n}是一个周期数列．然后根据周期数列的性质特点可得出x2019的值．本题主要考查周期数列的判定及利用周期数列的性质特点求出任一项的值．本题属中档题．12.【答案】512【解析】解：由题意，可知：=a256+256a512=a128+128+256=a64+64+128+256=a32+32+64+128+256=a16+16+32+64+128+256=a8+8+16+32+64+128+256=a4+4+8+16+32+64+128+256=a2+2+4+8+16+32+64+128+256=a1+1+2+4+8+16+32+64+128+256=1+1+2+4+8+16+32+64+128+256=1+1+2+4+8+16+32+64+128+256=2+21+22+23+⋯+28=2+2×(1+2+22+⋯+27)=2+2×1−28 1−2=29=512．故答案为：512．本题主要根据递推式不断的缩小，最后可得到结果，然后通过等比数列求和公式可得结果．本题主要考查根据递推公式不断代入，以及等比数列的求前n项和公式．本题属基础题．13.【答案】(n+1)cosθ+(n2+n)sinθ【解析】解：数列{a n}定义为a1=cosθ，a n+a n+1=nsinθ+cosθ，n≥1，可得S2n+1=a1+(a2+a3)+(a4+a5)+⋯+(a2n+a2n+1)=cosθ+(cosθ+2sinθ)+(cosθ+4sinθ)+⋯+(cosθ+2nsinθ)=(n+1)cosθ+(2+4+⋯+2n)sinθ=(n+1)cosθ+12n(2+2n)sinθ=(n+1)cosθ+(n2+n)sinθ．故答案为：(n+1)cosθ+(n2+n)sinθ．由题意可得S2n+1=a1+(a2+a3)+(a4+a5)+⋯+(a2n+a2n+1)，运用并项求和和等差数列的求和公式，计算可得所求和．本题考查数列的并项求和，以及等差数列的求和公式，考查化简运算能力，属于基础题．14.【答案】910【解析】解：数列{a n}是正项数列，S n是数列{a n}的前n项和，且满足S n=12(a n+1an)，可得a1=S1=12(a1+1a1)，可得a1=1；a1+a2=12(a2+1a2)，解得a2=√2−1，同样求得a3=√3−√2，…，猜想a n=√n−√n−1，S n=√n，代入S n=12(a n+1an)，成立，则b n=a n+1S n S n+1=√n+1−√n√n√n+1=√n√n+1，即有T 99=1−√2√2−√3⋯√99110=1−110=910． 故答案为：910．求得数列的前几项，归纳a n =√n −√n −1，S n =√n ，求得b n =√n+1−√n√n √n+1=√n √n+1，再由裂项相消求和，计算可得所求和．本题考查数列的通项公式的求法，注意运用归纳法，考查数列的裂项相消求和，以及化简运算能力，属于中档题．15.【答案】(−1+√52,1+√52)【解析】解：设三边：a 、aq 、aq 2、q >0，则由三边关系：两短边和大于第三边可得 (1)当q ≥1时，aq 2为最大边，a +aq >aq 2，等价于：q 2−q −1<0，由于方程q 2−q −1=0两根为：1−√52和1+√52，故得解：1−√52<q <1+√52∵q ≥1，∴1≤q <1+√52(2)当0<q <1时，a 为最大边，aq +aq 2>a ，即得q 2+q −1>0，解之得q >−1+√52或q <−1+√52∵0<q <1 ∴1>q >−1+√52综合(1)(2)，得：q ∈(−1+√52,1+√52)故答案为：(−1+√52,1+√52) 设三边：a 、aq 、aq 2、q >0，则由三边关系：两短边和大于第三边，分q ≥1和q <1两种情况分别求得q 的范围，最后综合可得答案．本题以三角形为载体，考查等比数列，考查解不等式，同时考查了分类讨论的数学思想．16.【答案】70【解析】解：设b m =a 1⋅a 2⋅…⋅a m −a 12−a 22−⋯−a m 2， 由已知，b 5=a 1⋅a 2⋅…⋅a 5−a 12−a 22−⋯−a 52=1×2×3×4×5−(12+22+32+42+52) =120−55 =65当m ≥5时，由a m+1=a 1⋅a 2⋅…⋅a m −1，移向得出a 1⋅a 2⋅…⋅a m =a m+1+1 ①∵b m =a 1⋅a 2⋅…⋅a m −a 12−a 22−⋯−a m 2，② ∴b m+1=a 1⋅a 2⋅…⋅a m+1−a 12−a 22−⋯−a m+12 ③ ③−②得 b m+1−b m =a 1⋅a 2⋅…⋅a m a m+1−a 1⋅a 2⋅…⋅a m −a m+12=a 1⋅a 2⋅…⋅a m (a m+1−1)−a m+12 (将①式代入) =(a m+1+1)(a m+1−1)−a m+12=a m+12−1−a m+12=−1∴当n ≥5时，数列{b n }的各项组成等差数列，∴b m =b 5+(m −5)×(−1)=65−(m −5)=70−m ．若a 1⋅a 2⋅…⋅a m =a 12+a 22+⋯+a m2成立， ∴b m =0，即m =70 故答案为：70．设b m =a 1⋅a 2⋅…⋅a m −a 12−a 22−⋯−a m 2中，令n =5代入数据计算即可求出b 5.由b 5=a 1⋅a 2⋅…⋅a 5−a 12−a 22−⋯−a 52中构造出b m+1=a 1⋅a 2⋅…⋅a m+1−a 12−a 22−⋯−a m+12，两式相减，并化简整理，可以判断出当m ≥5时，数列{b n }的各项组成等差数列．利用等差数列通项公式求解即可．本题考查等差关系的判定、通项公式．考查转化、变形构造、计算能力．17.【答案】解：∵S 4=−62，S 6=−75，∴{4a 1+4×32d =−626a 1+6×52d =−75，解得d =3，a 1=−20，∴a n =3n −23， 设从第n +1项开始大于零，则{a n =−20+3(n −1)≤0a n+1=−20+3n ≥0，∴203≤n ≤233， ∴n =7，即a 7<0，a 8>0 当1≤n ≤7时，T n =−S n =43n−3n 22，当n ≥8时，T n =32n 2−432n +154．综上有，T n ={43n−3n 22,(1≤n ≤7)32n 2−432n +154．(n ≥8)．【解析】由已知条件利用等差数列前n 项和公式求出公差和首项，由此能求出a n =3n −23，且a 7<0，a 8>0.当1≤n ≤7时，T n =−S n =43n−3n 22，当n ≥8时，T n =32n 2−432n +154．本题考查数列的前n 项和的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意等差数列的性质的合理运用．18.【答案】解：(1)S n =n 2−2n +1，可得a 1=S 1=0，n ≥2时，a n =S n −S n−1=n 2−2n +1−(n −1)2+2(n −1)−1=2n −3， 则a n ={0,n =12n −3,n ≥2；(2)数列{b n }满足：a n+1+log 3n =log 3b n (n ∈N ∗)， 可得2n −1+log 3n =log 3b n ，即b n =n ⋅32n−1， 前n 项和T n =1⋅3+2⋅33+⋯+n ⋅32n−1， 9T n =1⋅33+2⋅34+⋯+n ⋅32n+1，两式相减可得−8T n =3+33+35+⋯+32n−1−n ⋅32n+1 =3(1−9n )1−9−n ⋅32n+1，化简可得T n =3(8n⋅9n −9n +1)64．【解析】(1)运用数列的递推式得n =1时，a 1=S 1，n ≥2时，a n =S n −S n−1，化简计算可得所求通项公式；(2)求得b n =n ⋅32n−1，运用数列的错位相减法求和，结合等比数列的求和公式，计算可得所求和．本题考查数列的递推式的运用，考查数列的错位相减法求和，以及等比数列的求和公式，考查运算能力，属于中档题．19.【答案】(1)解法一、直接列式：由题，s =b +b2+b22+b23+⋯+b2n =b(2−12n )(广告费为1千元时，s =b +b2；2千元时，s =b +b2+b22；…n 千元时s =b +b2+b22+b23+⋯+b 2n)解法二、(累差叠加法)设s 0表示广告费为0千元时的销售量， 由题：{s 1−s 0=b2s 2−s 1=b 22…s n −s n−1=b 2n ，相加得S n −S 0=b 2+b 22+b 23+⋯+b 2n ， 即S n =b +b2+b22+b23+⋯+b2n =b(2−12n ).(2)b =4000时，s =4000(2−12n )，设获利为t ，则有t =s ⋅10−1000n =40000(2−12n)−1000n欲使T n 最大，则{T n ≥T n+1T n ≥T n−1，得{n ≥5n ≤5，故n =5，此时s =7875．即该厂家应生产7875件产品，做5千元的广告，能使获利最大．【解析】对于(1)中的函数关系，设广告费为n 千元时的销量为s n ，则s n−1表示广告费为(n −1)元时的销量，由题意，s n−−s n−1=b2n ，可知数列{s n }不成等差也不成等比数列，但是两者的差b2n 构成等比数列，对于这类问题一般有以下两种方法求解：一、直接列式：由题，s =b +b2+b22+b23+⋯+b2n =b(2−12n )解法二、利用累差叠加法：S 1−S 0=b2，S 2−S 1=b22，…S n −S n−1=b2n ，累加结合等比数列的求和公式可求S n(2))b =4000时，s =4000(2−12n )，设获利为T n ，则有T n =s ⋅10−1000n =40000(2−12n)−1000n ，欲使T n 最大，根据数列的单调性可得{T n ≥T n+1T n ≥T n−1，代入结合n 为正整数解不等式可求n ，进而可求S 的最大值本题主要考查了数列的叠加求解通项公式，利用数列的单调性求解数列的最大(小)项，解题中要注意函数思想在解题中的应用．20.【答案】解：(1)∵2S n n=a n+1−13n 2−n −23，∴2S n =na n+1−13n 3−n 2−23n =na n+1−n(n+1)(n+2)3，①∴当n ≥2时，2S n−1=(n −1)a n −(n−1)n(n+1)3，②由①−②，得2S n −2S n−1=na n+1−(n −1)a n −n(n +1)， ∵2a n =2S n −2S n−1，∴2a n =na n+1−(n −1)a n −n(n +1)， ∴a n+1a n −a n n=1，∴数列{an n}是以首项为1，公差为1的等差数列．∴a n n=1+1×(n −1)=n ，∴a n =n 2(n ≥2)，当n =1时，上式显然成立．∴a n =n 2，n ∈N ∗． (2)对一切正整数n ，有1a 1+1a 2+⋯+1a n<53−1n+1．证明：当n ≥3时，1a n=1n 2<1n 2−1=12(1n−1−1n+1)，可得1a 1+1a 2+⋯+1a n=1+14+12(12−14+13−15+⋯+1n−2−1n +1n−1−1n+1)=54+512−12(1n +1n+1)=53−12(1n +1n+1)， 由12(1n +1n+1)−1n+1=12(1n −1n+1)=12n(n+1)>0， 可得12(1n +1n+1)>1n+1， 即有53−12(1n +1n+1)<53−1n+1， 则当n ≥3时，不等式成立； 检验n =1，2时，不等式也成立，综上可得对一切正整数n ，有1a 1+1a 2+⋯+1a n<53−1n+1．【解析】(1)运用数列的递推式，结合等差数列的定义和通项公式，可得所求； (2)对一切正整数n ，有1a 1+1a 2+⋯+1a n<53−1n+1.考虑当n ≥3时，1a n=1n 2<1n 2−1=12(1n−1−1n+1)，再由裂项相消求和，即可得证．本题考查数列递推式，考查数列求和，考查裂项法的运用，确定数列的通项是关键．21.【答案】解：(1)S 2中的元素有(0,0)(0,1)(1,0)(1,1)．(2)充分性，当a i =b i (i =1,2，…，n)，显然a 1⋅20+a 2⋅21+⋯+a n ⋅2n−1=b 1⋅20+b 2⋅21+⋯+b n ⋅2n−1成立，必要性，因为a 1⋅20+a 2⋅21+⋯+a n ⋅2n−1=b 1⋅20+⋅21+⋯+b n ⋅2n−1， 所以(a 1−b 1)⋅20+(a 2−b 2)⋅21+⋯+(a n −b n )⋅2n−1=0， 因为(a 1,a 2,…,a n )，(b 1,b 2,…,b n )∈S n ，所以a n −b n ∈{1,0，−1}，若a n −b n =1，则(a 1−b 1)⋅20+(a 2−b 2)⋅21+⋯+(a n −b n )⋅2n−1=20+21+⋯+2n−1=2n −1≠0，当a n −b n =−1，则(a 1−b 1)⋅20+(a 2−b 2)⋅21+⋯+(a n −b n )⋅2n−1=−(20+21+⋯+2n−1)=−(2n −1)≠0，若a n −b n 的值有m 个1和n 个−1，不妨设2的次数最高次为r 次，其系数为1，则2r −2r −1−2r−1−⋯…−1=2r−1−2r 1−2=2r −(2r −1)=1>0，说明只要最高次的系数是正的，整个式子就是正的，同理只要最高次的系数是负的，整个式子就是负的，说明最高次的系数只能为，就是a n −b n =0，即a i =b i ，综上可知：“a 1⋅20+a 2⋅21+⋯+a n ⋅2n−1=b 1⋅20+b 2⋅21+⋯+b n ⋅2n−1“的充要条件是“a i =b i (i =1,2，…，n)”；(3)由a 1⋅(12)1+a 2⋅(12)2+⋯+a n ⋅(12)n +⋯=A ，等价于a 1⋅2n−1+a 2⋅2n−2+⋯+a n ⋅20+⋯=2n ⋅A ，b 1⋅(12)1+b 2⋅(12)2+⋯+b n ⋅(12)n +⋯=B ，等价于b 1⋅2n−1+b 2⋅2n−2+⋯+b n ⋅20+⋯=2n ⋅B ，由(2)得“2n ⋅A =2n ⋅B “的充要条件是“a i =b i (i =1,2，…，n)”； 即“A =B ”是“a i =b i (i =1,2，…，n)”充要条件．【解析】(1)由题意求得S 2中；(2)分别从充分性及必要性出发，分别证明即可，在证明必要性时，注意分类讨论； (3)将原始的式子同乘以2n ，然后利用(2)即可求得答案．本题考查数列的综合应用，考查重要条件的证明，考查逻辑推理能力，考查分类讨论思想，属于难题．。
2017-2018学年高一(下)期末数学试卷(文科)带答案
2017-2018学年高一（下）期末数学试卷（文科）一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分）1．（5分）已知集合A={﹣2，﹣1，0，1，2}，B={x|（x﹣1）（x+2）＜0}，则A ∩B=（）A．{﹣1，0}B．{0，1}C．{﹣1，0，1}D．{0，1，2}2．（5分）下列说法正确的是（）A．零向量没有方向 B．单位向量都相等C．任何向量的模都是正实数D．共线向量又叫平行向量3．（5分）若a，b，c为实数，则下列结论正确的是（）A．若a＞b，则ac2＞bc2B．若a＜b＜0，则a2＞abC．若a＜b，则D．若a＞b＞0，则4．（5分）若两平行直线l1：x﹣2y+m=0（m＞0）与l2：2x+ny﹣6=0之间的距离是，则m+n=（）A．0 B．1 C．﹣2 D．﹣15．（5分）已知{a n}为等差数列，其公差为﹣2，且a7是a3与a9的等比中项，S n 为{a n}的前n项和，n∈N*，则S10的值为（）A．﹣110 B．﹣90 C．90 D．1106．（5分）如图，D，C，B三点在地面同一直线上，从地面上C，D两点望山顶A，测得它们的仰角分别为45°和30°，已知CD=200米，点C位于BD上，则山高AB等于（）A．100米B．50（+1）米C．米D．200米7．（5分）设变量x，y满足约束条件目标函数z=x+2y的最大值是（）A．4 B．2 C．D．8．（5分）《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有如下问题：“今有女子善织，日益功，疾，初日织五尺，今一月织九匹三丈（1匹=40尺，一丈=10尺），问日益几何？”其意思为：“有一女子擅长织布，每天比前一天更加用功，织布的速度也越来越快，从第二天起，每天比前一天多织相同量布，第一天织5尺，一月织了九匹三丈，问每天增加多少尺布？”若一个月按30天算，则每天增加量为（）A．尺B．尺C．尺D．尺9．（5分）函数f（x）=Asin（ωx+φ）（其中A＞0，）的图象如图所示，为了得到g（x）=2sin2x的图象，则只需将f（x）的图象（）A．向右平移个长度单位 B．向右平移个长度单位C．向左平移个长度单位D．向左平移个长度单位10．（5分）若圆x2+y2﹣4x﹣4y﹣10=0上至少有三个不同的点，到直线l：y=x+b 的距离为2，则b取值范围为（）A．（﹣2，2）B．[﹣2，2]C．[0，2]D．[﹣2，2）11．（5分）若偶函数f（x）在区间（﹣∞，0]上单调递减，且f（3）=0，则不等式（x﹣1）f（x）＞0的解集是（）A．（﹣∞，﹣1）∪（1，+∞）B．（﹣3，1）∪（3，+∞） C．（﹣∞，﹣3）∪（3，+∞） D．（﹣3，1]∪（3，+∞）12．（5分）若a，b是函数f（x）=x2﹣px+q（p＞0，q＞0）的两个不同的零点，c＜0且a，b，c这三个数可适当排序后成等差数列，也可适当排序后成等比数列，则﹣2c的最小值等于（）A．9 B．10 C．3 D．二、填空题（共4小题，每小题5分，满分20分）13．（5分）sin（﹣300°）=．14．（5分）平面向量与的夹角为60°，=（2，0），||=1，则|+2|=．15．（5分）两圆相交于点A（1，3）、B（m，﹣1），两圆的圆心均在直线x﹣y+c=0上，则m+c=．16．（5分）若不等式x2＜|x﹣1|+a在区间（﹣3，3）上恒成立，则实数a的取值范围为．三、解答题（共6小题，满分70分）17．（10分）已知公差不为零的等差数列{a n}中，a1=1，且a1，a3，a9成等比数列．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）设b n=2+n，求数列{b n}的前n项和S n．18．（12分）已知函数f（x）=，其中=（2cosx，sin2x），=（cosx，1），x∈R（1）求函数y=f（x）的最小正周期和单调递增区间：（2）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，f（A）=2，a=且sinB=2sinC，求△ABC的面积．19．（12分）已知直线l：ax﹣y+1=0与x轴，y轴分别交于点A，B．（1）若a＞0，点M（1，﹣1），点N（1，4），且以MN为直径的圆过点A，求以AN为直径的圆的方程；（2）以线段AB为边在第一象限作等边三角形ABC，若a=﹣，且点P（m，）（m＞0）满足△ABC与△ABP的面积相等，求m的值．20．（12分）某玩具生产公司每天计划生产卫兵、骑兵、伞兵这三种玩具共100个，生产一个卫兵需5分钟，生产一个骑兵需7分钟，生产一个伞兵需4分钟，已知总生产时间不超过10小时．若生产一个卫兵可获利润5元，生产一个骑兵可获利润6元，生产一个伞兵可获利润3元．（1）用每天生产的卫兵个数x与骑兵个数y表示每天的利润W（元）；（2）怎样分配生产任务才能使每天的利润最大，最大利润是多少？21．（12分）已知圆C的圆心在直线3x+y﹣1=0上，且x轴，y轴被圆C截得的弦长分别为2，4，若圆心C位于第四象限（1）求圆C的方程；（2）设x轴被圆C截得的弦AB的中心为N，动点P在圆C内且P的坐标满足关系式（x﹣1）2﹣y2=，求的取值范围．22．（12分）已知数列{a n}满足a n=n2+n，设b n=++…+．（1）求{b n}的通项公式；（2）若对任意的正整数n，当m∈[﹣1，1]时，不等式t2﹣2mt+＞b n恒成立，求实数t的取值范围．参考答案与试题解析一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分）1．（5分）已知集合A={﹣2，﹣1，0，1，2}，B={x|（x﹣1）（x+2）＜0}，则A ∩B=（）A．{﹣1，0}B．{0，1}C．{﹣1，0，1}D．{0，1，2}【分析】解一元二次不等式，求出集合B，然后进行交集的运算即可．【解答】解：B={x|﹣2＜x＜1}，A={﹣2，﹣1，0，1，2}；∴A∩B={﹣1，0}．故选：A．【点评】考查列举法、描述法表示集合，解一元二次不等式，以及交集的运算．2．（5分）下列说法正确的是（）A．零向量没有方向 B．单位向量都相等C．任何向量的模都是正实数D．共线向量又叫平行向量【分析】根据零向量，单位向量、共线向量、平行向量的定义即可判断出结论．【解答】解：零向量的方向是任意的；单位向量的模为1，但是不一定相等；零向量的模是0；共线向量又叫平行向量．因此只有D正确．故选：D．【点评】本题考查了零向量，单位向量、共线向量、平行向量的定义，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．3．（5分）若a，b，c为实数，则下列结论正确的是（）A．若a＞b，则ac2＞bc2B．若a＜b＜0，则a2＞abC．若a＜b，则D．若a＞b＞0，则【分析】根据特殊值法判断A，C、D，根据不等式的性质判断B．【解答】解：对于A，若c=0，不成立，对于B，若a＜b＜0，两边同乘以a，得a2＞ab，故B正确，对于C，令a=﹣1，b=1，显然不成立，对于D，令a=2，b=1，显然不成立，故选：B．【点评】本题考查了不等式的性质，考查特殊值法的应用，是一道基础题．4．（5分）若两平行直线l1：x﹣2y+m=0（m＞0）与l2：2x+ny﹣6=0之间的距离是，则m+n=（）A．0 B．1 C．﹣2 D．﹣1【分析】化简直线l2，利用两直线之间的距离为d=，求出m，即可得出结论．【解答】解：由题意，解得n=﹣4，即直线l2：x﹣2y﹣3=0，所以两直线之间的距离为d=，解得m=2，所以m+n=﹣2，故选C．【点评】本题考查两条平行线间的距离，考查学生的计算能力，属于中档题．5．（5分）已知{a n}为等差数列，其公差为﹣2，且a7是a3与a9的等比中项，S n 为{a n}的前n项和，n∈N*，则S10的值为（）A．﹣110 B．﹣90 C．90 D．110【分析】通过a7是a3与a9的等比中项，公差为﹣2，求出【解答】解：a7是a3与a9的等比中项，公差为﹣2，所以a72=a3•a9，∵{a n}公差为﹣2，∴a3=a7﹣4d=a7+8，a9=a7+2d=a7﹣4，所以a72=（a7+8）（a7﹣4），所以a7=8，所以a1=20，所以S10==110故选D【点评】本题是基础题，考查等差数列的前n项和，等比数列的应用，考查计算能力，常考题型．6．（5分）如图，D，C，B三点在地面同一直线上，从地面上C，D两点望山顶A，测得它们的仰角分别为45°和30°，已知CD=200米，点C位于BD上，则山高AB等于（）A．100米B．50（+1）米C．米D．200米【分析】直角△ABC与直角△ABD有公共边AB，若设AB=x，则在直角△ABC与直角△ABD就满足解直角三角形的条件，可以用x表示出BC与BD的长，根据BD﹣BC=CD，即可列方程求解．【解答】解：设AB=x米，在直角△ACB中，∠ACB=45°，∴BC=AB=x米．在直角△ABD中，∠D=30°，BD=x，∵BD﹣BC=CD，∴x﹣x=200，解得：x=100（+1）．故选C．【点评】本题主要考查了解直角三角形的方法，解决的关键是注意到两个直角三角形有公共的边，利用公共边表示其它的量，从而把问题转化为方程问题．7．（5分）设变量x，y满足约束条件目标函数z=x+2y的最大值是（）A．4 B．2 C．D．【分析】由约束条件作出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合得到最优解，把最优解的坐标代入目标函数得答案．【解答】解：由约束条件作出可行域如图：化目标函数z=x+2y为，由图可知，当直线过点A时，直线在y轴上的截距最大，z有最大值为4．故选：A．【点评】本题考查简单的线性规划，考查数形结合的解题思想方法，是中档题．8．（5分）《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有如下问题：“今有女子善织，日益功，疾，初日织五尺，今一月织九匹三丈（1匹=40尺，一丈=10尺），问日益几何？”其意思为：“有一女子擅长织布，每天比前一天更加用功，织布的速度也越来越快，从第二天起，每天比前一天多织相同量布，第一天织5尺，一月织了九匹三丈，问每天增加多少尺布？”若一个月按30天算，则每天增加量为（）A．尺B．尺C．尺D．尺【分析】设该女子每天比前一天多织d尺布，利用等差数列前n项和公式列出方程，能出结果．【解答】解：设该女子每天比前一天多织d尺布，由题意得：，解得d=．故选：C．【点评】本题考查等差数列的公差的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意等差数列的性质的合理运用．9．（5分）函数f（x）=Asin（ωx+φ）（其中A＞0，）的图象如图所示，为了得到g（x）=2sin2x的图象，则只需将f（x）的图象（）A．向右平移个长度单位 B．向右平移个长度单位C．向左平移个长度单位D．向左平移个长度单位【分析】求出函数的解析式，利用坐标变换求解即可．【解答】解：由函数的图象可知：T=4×=π．ω==2．x=时，函数的最大值为：2．A=2，2=2sin（+φ），由函数的图象可得φ=．为了得到g（x）=2sin2x的图象，则只需将f（x）=2sin[2（x+）]的图象向右平移个长度单位．故选：B．【点评】本题考查三角函数的解析式的求法，函数的图象的平移，考查计算能力．10．（5分）若圆x2+y2﹣4x﹣4y﹣10=0上至少有三个不同的点，到直线l：y=x+b的距离为2，则b取值范围为（）A．（﹣2，2）B．[﹣2，2]C．[0，2]D．[﹣2，2）【分析】先求出圆心和半径，比较半径和2，要求圆上至少有三个不同的点到直线l：y=x+b的距离为2，则圆心到直线的距离应小于等于，用圆心到直线的距离公式，可求得结果．【解答】解：圆x2+y2﹣4x﹣4y﹣10=0整理为（x﹣2）2+（y﹣2）2=18，∴圆心坐标为（2，2），半径为3，要求圆上至少有三个不同的点到直线l：y=x+b的距离为2则圆心到直线的距离d=≤，∴﹣2≤c≤2故选：B．【点评】本题考查直线和圆的位置关系，圆心到直线的距离等知识，是中档题．11．（5分）若偶函数f（x）在区间（﹣∞，0]上单调递减，且f（3）=0，则不等式（x﹣1）f（x）＞0的解集是（）A．（﹣∞，﹣1）∪（1，+∞）B．（﹣3，1）∪（3，+∞） C．（﹣∞，﹣3）∪（3，+∞） D．（﹣3，1]∪（3，+∞）【分析】根据题意，由函数的奇偶性与单调性分析可得当x＜﹣3或x＞3时，f （x）＞0；当﹣3＜x＜3时，f（x）＜0，则分x＜﹣3或x＞3与﹣3＜x＜3两种情况讨论（x﹣1）f（x）＞0的解集，综合即可得答案．【解答】解：根据题意，偶函数f（x）在区间（﹣∞，0]上单调递减，则其在[0，+∞）上为增函数，又由f（3）=0，则f（﹣3）=0，则有当x＜﹣3或x＞3时，f（x）＞0；当﹣3＜x＜3时，f（x）＜0，当x＜﹣3或x＞3时，若（x﹣1）f（x）＞0，必有x﹣1＞0，解可得x＞3，当﹣3＜x＜3时，若（x﹣1）f（x）＞0，必有x﹣1＜0，解可得﹣3＜x＜1，综合可得：不等式（x﹣1）f（x）＞0的解集是（﹣3，1）∪（3，+∞）；故选：B．【点评】本题考查函数的奇偶性与单调性的综合应用，注意结合函数的奇偶性、单调性，对不等式进行分类讨论．12．（5分）若a，b是函数f（x）=x2﹣px+q（p＞0，q＞0）的两个不同的零点，c＜0且a，b，c这三个数可适当排序后成等差数列，也可适当排序后成等比数列，则﹣2c的最小值等于（）A．9 B．10 C．3 D．【分析】由一元二次方程根与系数的关系得到a+b=p，ab=q，再由a，b，c这三个数可适当排序后成等差数列，也可适当排序后成等比数列列关于a，b的方程组，求得a，b的关系，代入化简，再由基本不等式得答案．【解答】解：∵a，b是函数f（x）=x2﹣px+q（p＞0，q＞0）的两个不同的零点，即a，b是一元二次方程x2﹣px+q=0（p＞0，q＞0）的两个根，∴根据一元二次方程的韦达定理可得a+b=p，ab=q，（a＞0，b＞0，a≠b），由题意可得ab=c2，b+c=2a，消去c可得ab=（2a﹣b）2=4a2﹣4ab+b2，即为（a﹣b）（4a﹣b）=0，解得b=4a（b=a舍去），则﹣2c=+﹣2（2a﹣b）=8a+≥2=，当且仅当8a=，即a=时，取得等号．则所求的最小值为．故选：D．【点评】本题考查基本不等式的运用：求最值，考查韦达定理和等差数列、等比数列中项的性质，考查化简整理的运算能力，属于中档题．二、填空题（共4小题，每小题5分，满分20分）13．（5分）sin（﹣300°）=．【分析】由sin（α+2π）=sinα及特殊角三角函数值解之．【解答】解：sin（﹣300°）=sin（360°﹣300°）=sin60°=，故答案为．【点评】本题考查诱导公式及特殊角三角函数值．14．（5分）平面向量与的夹角为60°，=（2，0），||=1，则|+2|=2．【分析】根据平面向量数量积的定义，求出•的值，再求向量的模长即可．【解答】解：由题意得，||=2，||=1，向量与的夹角为60°，∴•=2×1×cos60°=1，∴|+2|===2．故答案为：2．【点评】本题考查了平面向量数量积的定义以及向量模长的计算问题，是基础题目．15．（5分）两圆相交于点A（1，3）、B（m，﹣1），两圆的圆心均在直线x﹣y+c=0上，则m+c=3．【分析】由已知中两圆相交于点A（1，3）、B（m，﹣1），两圆的圆心均在直线x﹣y+c=0上，我们易得到直线x﹣y+c=0为线段AB的垂直平分线，即直线AB与直线x﹣y+c=0的斜率乘积为﹣1，且AB的中点落在直线x﹣y+c=0上，求出m，c后，即可得到答案．【解答】解：∵两圆的圆心均在直线x﹣y+c=0上，则直线x﹣y+c=0为线段AB的垂直平分线即K AB=﹣1=解得m=5则AB的中点（3，1）在直线x﹣y+c=0上，即3﹣1+c=0解得c=﹣2∴m+c=3故答案为：3【点评】本题考查的知识点圆与圆的位置关系，直线与直线垂直的斜率关系，其中根据已知判断出直线x﹣y+c=0为线段AB的垂直平分线，是解答本题的关键．16．（5分）若不等式x2＜|x﹣1|+a在区间（﹣3，3）上恒成立，则实数a的取值范围为[7，+∞）．【分析】分离参数得a＞x2﹣|x﹣1|，求出右侧分段函数在（﹣3，3）上的最值即可得出a的范围．【解答】解：由x2＜|x﹣1|+a得a＞x2﹣|x﹣1|，令f（x）=x2﹣|x﹣1|=，∴f（x）在（﹣3，﹣]上单调递减，在（﹣，3）上单调递增，∵f（﹣3）=5，f（3）=7，∴f（x）＜7，∴a的取值范围是[7，+∞）．故答案为[7，+∞）．【点评】本题考查了函数的单调性与最值的计算，属于中档题．三、解答题（共6小题，满分70分）17．（10分）已知公差不为零的等差数列{a n}中，a1=1，且a1，a3，a9成等比数列．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）设b n=2+n，求数列{b n}的前n项和S n．【分析】（1）利用等差数列与等比数列的通项公式即可得出．（2）利用等差数列与等比数列的求和公式即可得出．【解答】解：（1）设数列{a n}公差为d，∵a1，a3，a9成等比数列，∴，∴（1+2d）2=1×（1+8d）．∴d=0（舍）或d=1，∴a n=n．（2）令；S n=b1+b2+b3+…+b n=（21+1）+（22+2）+（23+3）+…+（2n+n）=（21+22+…+2n）+（1+2+3+…+n）==，．【点评】本题考査了等差数列与等比数列的通项公式与求和公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．18．（12分）已知函数f（x）=，其中=（2cosx，sin2x），=（cosx，1），x∈R（1）求函数y=f（x）的最小正周期和单调递增区间：（2）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，f（A）=2，a=且sinB=2sinC，求△ABC的面积．【分析】（1）求出f（x）=2sin（2x+）+1，由此能求出函数y=f（x）的最小正周期和函数y=f（x）的单调增区间．（2）由f（A）=2，求出A=，由，利用余弦定理得b=2c．由此能求出△ABC的面积．【解答】解：（1）∵=（2cosx，sin2x），=（cosx，1），x∈R，∴f（x）====2sin（2x+）+1，∴函数y=f（x）的最小正周期为T=π，单调递增区间满足﹣+2kπ+2kπ，k∈Z．解得﹣+kπ≤x≤+kπ，k∈Z．∴函数y=f（x）的单调增区间是[﹣+kπ，]，k∈Z．（2）∵f（A）=2，∴2sin（2A+）+1=2，即sin（2A+）=，又∵0＜A＜π，∴A=，∵，由余弦定理得a2=b2+c2﹣2bccosA=（b+c）2﹣3bc=7，①∵sinB=2sinC，∴b=2c．②由①②得c2=，∴．【点评】本题考查三角函数的最小正周期、单调递增区间的求法，考查三角形面积的求法，考查同角三角函数、三角函数的最小正周期、三角函数的增区间、作弦定理等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力，考查化归与转化思想、函数与方程思想，是中档题．19．（12分）已知直线l：ax﹣y+1=0与x轴，y轴分别交于点A，B．（1）若a＞0，点M（1，﹣1），点N（1，4），且以MN为直径的圆过点A，求以AN为直径的圆的方程；（2）以线段AB为边在第一象限作等边三角形ABC，若a=﹣，且点P（m，）（m＞0）满足△ABC与△ABP的面积相等，求m的值．【分析】（1）求出A的坐标，即可求以AN为直径的圆的方程；（2）根据题意画出图形，令直线方程中x与y分别为0，求出相应的y与x的值，确定出点A与B的坐标，进而求出AB的长即为等边三角形的边长，求出等边三角形的高即为点C到直线AB的距离，由△ABP和△ABC的面积相等，得到点C 与点P到直线AB的距离相等，利用点到直线的距离公式表示出点P到直线AB 的距离d，让d等于求出的高列出关于m的方程，求出方程的解即可得到m的值．【解答】解：（1）由题意A（﹣，0），AM⊥AN，∴=﹣1，∵a＞0，∴a=1，∴A（﹣1，0），∵N（1，4），∴AN的中点坐标为D（0，2），|AD|=，∴以AN为直径的圆的方程是x2+（y﹣2）2=5；（2）根据题意画出图形，如图所示：由直线y=﹣x+1，令x=0，解得y=1，故点B（0，1），令y=0，解得x=，故点A（，0），∵△ABC为等边三角形，且OA=，OB=1，根据勾股定理得：AB=2，即等边三角形的边长为2，故过C作AB边上的高为，即点C到直线AB的距离为，由题意△ABP和△ABC的面积相等，则P到直线AB的距离d=|﹣m+|=，∵m＞0，∴m=．【点评】此题考查圆的方程，考查了一次函数的性质，等边三角形的性质以及点到直线的距离公式．20．（12分）某玩具生产公司每天计划生产卫兵、骑兵、伞兵这三种玩具共100个，生产一个卫兵需5分钟，生产一个骑兵需7分钟，生产一个伞兵需4分钟，已知总生产时间不超过10小时．若生产一个卫兵可获利润5元，生产一个骑兵可获利润6元，生产一个伞兵可获利润3元．（1）用每天生产的卫兵个数x与骑兵个数y表示每天的利润W（元）；（2）怎样分配生产任务才能使每天的利润最大，最大利润是多少？【分析】（1）依题意，每天生产的伞兵的个数为100﹣x﹣y，根据题意即可得出每天的利润；（2）先根据题意列出约束条件，再根据约束条件画出可行域，设W=2x+3y+300，再利用T的几何意义求最值，只需求出直线0=2x+3y过可行域内的点A时，从而得到W值即可．【解答】解：（1）依题意每天生产的伞兵个数为100﹣x﹣y，所以利润W=5x+6y+3（100﹣x﹣y）=2x+3y+300（x，y∈N）．（2）约束条件为整理得目标函数为W=2x+3y+300，如图所示，作出可行域．初始直线l0：2x+3y=0，平移初始直线经过点A时，W有最大值．由得最优解为A（50，50），所以W max=550（元）．答：每天生产卫兵50个，骑兵50个，伞兵0个时利润最大，为550（元）【点评】本题考查简单线性规划的应用，在解决线性规划的应用题时，其步骤为：①分析题目中相关量的关系，列出不等式组，即约束条件，②由约束条件画出可行域，③分析目标函数Z与直线截距之间的关系，④使用平移直线法求出最优解，⑤还原到现实问题中．21．（12分）已知圆C的圆心在直线3x+y﹣1=0上，且x轴，y轴被圆C截得的弦长分别为2，4，若圆心C位于第四象限（1）求圆C的方程；（2）设x轴被圆C截得的弦AB的中心为N，动点P在圆C内且P的坐标满足关系式（x﹣1）2﹣y2=，求的取值范围．【分析】（1）设圆C的方程为：（x﹣a）2+（y﹣b）2=r2，根据题意，有由①②③得a=1，⇒b=1﹣3a=﹣2，r2=9，即可得圆的方程；（2）在圆C的方程：（x﹣1）2+（y+2）2=9中令y=0，得A（1﹣，0），B（1+），N（1，0）．将x﹣1）2+（y+2）2＜9．（x﹣1）2﹣y2=代入=（1﹣﹣x，﹣y）（1+﹣x，﹣y）=（x﹣1）2+y2﹣5即可求解．【解答】解：（1）设圆C的方程为：（x﹣a）2+（y﹣b）2=r2，根据题意，有①﹣②得b2=a2+3，…④由③④得4a2﹣3a﹣1=0，∵a＞0，解得a=1，⇒b=1﹣3a=﹣2，r2=9，∴圆C的方程为：（x﹣1）2+（y+2）2=9，（2）在圆C的方程：（x﹣1）2+（y+2）2=9中令y=0，得A（1﹣，0），B（1+），∴N（1，0）．∵动点P（x，y）在圆C内，∴（x﹣1）2+（y+2）2＜9…①将①代入（x﹣1）2﹣y2=得﹣，0=（1﹣﹣x，﹣y）（1+﹣x，﹣y）=（x﹣1）2+y2﹣5…②将（x﹣1）2﹣y2=代入②得=2y2﹣．【点评】本题考查圆的方程，与圆有关的最值问题，属于中档题．22．（12分）已知数列{a n}满足a n=n2+n，设b n=++…+．（1）求{b n}的通项公式；（2）若对任意的正整数n，当m∈[﹣1，1]时，不等式t2﹣2mt+＞b n恒成立，求实数t的取值范围．【分析】（1）b n=++…+=，由此利用裂项求和法能求出{b n}的通项公式．（2）由b n=，n∈N*，得到n=1时，b n取最大值，推导出当m∈[﹣1，1]时，t2﹣2mt＞0恒成立，令g（m）=t2﹣2mt，由，能求出实数t的取值范围．【解答】解：（1）∵数列{a n}满足a n=n2+n，∴b n=++…+=====．（2）∵b n=，n∈N*，令f（n）=2n+，n∈N*，则，由f′（n）＞0，得﹣＜n＜；由f′（n）＜0，得n＜﹣或n＞，∵n∈N*，∴n=1时，b n取最大值，∵对任意的正整数n，当m∈[﹣1，1]时，不等式t2﹣2mt+＞b n恒成立，∴当m∈[﹣1，1]时，不等式＞恒成立，即当m∈[﹣1，1]时，t2﹣2mt＞0恒成立，令g（m）=t2﹣2mt，则，解得t＞2或t＜﹣2．∴实数t的取值范围是（﹣∞，﹣2）∪（2，+∞）．【点评】本题考查数列的通项公式的求法，考查实数值的取值范围的求法，考查构造法、裂项求法、数列的单调性等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力，考查化归与转化思想、函数与方程思想，是中档题．。
上海中学2017-2018学年高一下学期期末数学试卷Word版含解析.pdf
2017-2018学年上海中学高一（下）期末数学试卷一、填空题1．arcsin （﹣）+arccos （﹣）+arctan （﹣）=．2．=．3．若数列{a n }为等差数列．且满足a 2+a 4+a 7+a 11=44，则a 3+a 5+a 10=．4．设数列{a n }满足：a 1=，a n +1=（n ≥1），则a 2016=．5．已知数列{a n }满足：a n =n ?3n （n ∈N *），则此数列前n 项和为S n =．6．已知数列{a n }满足：a 1=3，a n +1=9?（n ≥1），则a n =．7．等差数列{a n }，{b n }的前n 项和分别为S n ，T n ，若=，则=．8．等比数列{a n }，a 1=3﹣5，前8项的几何平均为9，则a 3=．9．定义在R 上的函数f （x ）=，S n =f （）+f （）+…+f （），n=2，3，…，则S n =．10．设x 1，x 2是方程x 2﹣xsin +cos =0的两个根，则arctanx 1+arctanx 2的值为．11．已知数列{a n }的前n 项和为S n ，a n =，则S 2016=．12．设正数数列{a n }的前n 项和为b n ，数列{b n }的前n 项之积为c n ，且b n +c n =1，则数列{}的前n 项和S n 中大于2016的最小项为第项．二、选择题.13．用数学归纳法证明“（n+1）（n+2）?…？（n+n ）=2n ?1?3?…？（2n ﹣1）”，当“n 从k 到k+1”左端需增乘的代数式为（）A ．2k +1B ．2（2k +1）C ．D ．14．一个三角形的三边成等比数列，则公比q 的范围是（）A ．q ＞B ．q ＜C ．＜q ＜D ．q ＜或q ＞15．等差数列{a n }中，a 5＜0，且a 6＞0，且a 6＞|a 5|，S n 是其前n 项和，则下列判断正确的是（）A ．S 1，S 2，S 3均小于0，S 4，S 5，S 6，…均大于0 B ．S 1，S 2，…，S 5均小于0，S 6，S 7，…均大于0C ．S 1，S 2，…S 9均小于0，S 10，S 11，…均大于0D ．S 1，S 2，…，S 11均小于0，S 12，S 13，…均大于0 16．若数列{a n }的通项公式是a n =，n=1，2，…，则（a 1+a 2+…+a n ）等于（）A ．B ．C ．D ．17．已知=1，那么（sin θ+2）2（cos θ+1）的值为（）A ．9 B ．8 C ．12 D ．不确定18．已知f （n ）=（2n +7）?3n +9，存在自然数m ，使得对任意n ∈N *，都能使m 整除f （n ），则最大的m 的值为（）A ．30B ．26C ．36D ．6 三、解答题.19．用数学归纳法证明：12+22+32+…+（n ﹣1）2+n 2+（n ﹣1）2+…+32+22+12=n （2n 2+1）20．已知数列{a n }满足a 1=1，其前n 项和是S n 对任意正整数n ，S n =n 2a n ，求此数列的通项公式．21．已知方程cos2x+sin2x=k +1．（1）k 为何值时，方程在区间[0，]内有两个相异的解α，β；（2）当方程在区间[0，]内有两个相异的解α，β时，求α+β的值．22．设数列{a n }满足a 1=2，a 2=6，a n +2=2a n +1﹣a n +2（n ∈N*）．（1）证明：数列{a n +1﹣a n }是等差数列；（2）求： ++…+．23．数列{a n }，{b n }满足，且a 1=2，b 1=4．（1）证明：{a n +1﹣2a n }为等比数列；（2）求{a n }，{b n }的通项．24．已知数列{a n }是等比数列，且a 2=4，a 5=32，数列{b n }满足：对于任意n ∈N*，有a 1b 1+a 2b 2+…+a n b n =（n ﹣1）?2n +1+2．（1）求数列{a n }的通项公式；（2）若数列{d n }满足：d 1=6，d n ?d n +1=6a?（﹣）（a ＞0），设T n =d 1d 2d 3…d n （n ∈N*），当且仅当n=8时，T n 取得最大值，求a 的取值范围．2015-2016学年上海中学高一（下）期末数学试卷参考答案与试题解析一、填空题1．arcsin（﹣）+arccos（﹣）+arctan（﹣）=．【考点】反三角函数的运用．【分析】利用反三角函数的定义和性质，求得要求式子的值．【解答】解：arcsin（﹣）+arccos（﹣）+arctan（﹣）=﹣arcsin（）+π﹣arccos﹣arctan=﹣+（π﹣）﹣=，故答案为：．2．=5．【考点】数列的极限．【分析】利用数列的极限的运算法则化简求解即可．【解答】解：====5．故答案为：5．3．若数列{a n}为等差数列．且满足a2+a4+a7+a11=44，则a3+a5+a10=33．【考点】等差数列的性质．【分析】利用等差数列的通项公式即可得出．【解答】解：设等差数列{a n}的公差为d，∵a2+a4+a7+a11=44=4a1+20d，∴a1+5d=11．则a3+a5+a10=3a1+15d=3（a1+5d）=33．故答案为：33．4．设数列{a n}满足：a1=，a n+1=（n≥1），则a2016=2．【考点】数列递推式．【分析】通过计算出前几项的值确定周期，进而计算可得结论．【解答】解：依题意，a2===3，a3===﹣2，a4===，a5===2，∴数列{a n}是以4为周期的周期数列，又∵2016=504×4，∴a2016=a4=2，故答案为：2．5．已知数列{a n}满足：a n=n?3n（n∈N*），则此数列前n项和为S n=?3n+1+．【考点】数列的求和．【分析】利用“错位相减法”与等比数列的前n项和公式即可得出．【解答】解：∵a n=n?3n，则此数列的前n项和S n=3+2×32+3×33+…+n?3n，∴3S n=32+2×33+…+（n﹣1）?3n+n?3n+1，∴﹣2S n=3+32+33+…+3n﹣n?3n+1=﹣n?3n+1=（﹣n）3n+1﹣，∴S n=?3n+1+．故答案为：?3n+1+．6．已知数列{a n}满足：a1=3，a n+1=9?（n≥1），则a n=27．【考点】数列的极限．【分析】把已知数列递推式两边取常用对数，然后构造等比数列，求出数列{a n}的通项公式，则极限可求．【解答】解：由a n+1=9?（n≥1），得，。
高一第二学期期末数学试卷含答案(上海市)
高一第二学期期终考试试卷数 学一、填空题(每题3分，共36分) 1、求值：=-)23arcsin(___________ 2、在等差数列}{n a 中，若304321=+++a a a a ，则32a a +=___________3、若413)2(lim2=+++-∞→n bn n a n ，则b a +=________ 4、各项均不为零的数列}{n a 满足n n a a 21=+(*N n ∈)，设其前n 项和为n S ，则24a S =___________ 5、设无穷等比数列}{n a 的公比为q ，若)(lim 431n n a a a a +++=∞→ ，则q =__________6、已知函数],[,sin )(ππ-∈=x x x f ，则不等式21)(-≤x f 的解集为__________ 7、已知函数)sin()(θ+=x x f 是奇函数，则满足条件的所有θ组成的集合为_________8、已知数列}{n a 是等比数列，其前n 项和k S n n +=-13(*N n ∈)，则常数=k ___________9、已知数列}{n a 满足161=a ，n a a n n 21=-+(*N n ∈)，则na n的最小值为___________ 10、函数x x y arcsin sin +=的值域是___________ 11、关于x 的方程0sin cos 2=++a x x 在20π≤<x 上有解，则a 的取值范围是________12、已知xx f +=11)(，各项均为正数的数列}{n a 满足11=a ，)(2n n a f a =+，若012210a a =，则1120a a +的值是___________二、选择题(每题3分，共12分)13、方程2tan =x 的解集是 （ ）(A)},2arctan 2|{Z k k x x ∈+=π (B) },2arctan 2|{Z k k x x ∈±=π (C) },2arctan |{Z k k x x ∈+=π (D) },2arctan )1(|{Z k k x x k∈⋅-+=π14、设)(x f 是定义在正整数集上的函数，且)(x f 满足“当2)(k k f ≥成立时，总可推出2)1()1(+≥+k k f 成立”。
2022-2023学年上海市闵行中学高一下学期期末考数学试卷含详解
闵行中学高一期末数学试卷2023.06一､填空题（第1-6题每题4分，第7-12题每题5分，满分54分）1.已知复数z 满足()1i iz -=（i 为虚数单位），则z 的虚部为_____________．2.已知O 为坐标原点，点()()1,1,1,3B OA AB -=-，则AOB ∠=__________.3.向量()()1,1,2,3a b =-=，则向量b 在a上的数量投影是__________.4.设i 为虚数单位，若关于x 的方程x 2－(2＋i )x ＋1＋mi ＝0(m ∈R )有一实根为n ，则m ＝________.5.已知角α的顶点是坐标原点，始边与x 轴的正半轴重合，它的终边过点34,55P ⎛⎫- ⎪⎝⎭，则cos 2=α___________.6.已知复数z 满足2260z z -+=，则z =__________.7.若π3x =是方程()2cos 1x α+=的解，其中[)0,2πα∈，则α的取值集合是__________.8.如图，矩形,6,3,ABCD AB AD P Q R ==､､分别是矩形边AB CD AD ､､上的点，其中1AR =，以RP RQ ､为邻边的矩形RPTQ 的面积记为S ，则S 的最小值是__________.9.已知ABC 中，113,2,22AB AC AD AB AC ===+ ，且1AD =，则BAC ∠=__________.10.已知平面向量a b c ､､，其中,120,||2,||4,4a b a b a c b c ︒〈〉===⋅+⋅= ，则c b- 的取值范围是__________.11.已知函数()()π2sin 04f x x ωω⎛⎫=+> ⎪⎝⎭在区间[]1,1-上的值域为[],m n ，且 3n m -=，则ω的值为______．12.在以O 为原点的坐标平面上，有一组互不相等的单位向量12n OA OA OA ､､､，若存在单位向量OP 满足120n OP OA OP OA OP OA ⋅+⋅++⋅= ，则称OP是向量组1OA ､2n OA OA ､､的特征向量.已知()1211,0,,22OA OA ⎛⎫== ⎪ ⎪⎝⎭ ，向量OP 是向量组123OA OA OA ､､的特征向量，且3OP OA ⋅ 取最大值时，13cos ,OA OA =__________.二､选择题（本大题共4题，满分20分）13.i z b =（i 为虚数单位，0,≠∈R b b ）是()22||z z z ≠∈C 的（）条件A.充分不必要B.必要不充分C.充要D.既不充分也不必要14.函数cos 26y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图像F 可按向量d 方向平移到图像F '（平移距离为d ），F '的函数解析式为()y g x =，当()y g x =为奇函数时，向量d可以等于（）A .π,03⎛⎫- ⎪⎝⎭B.π,06⎛⎫-⎪⎝⎭C.π,06⎛⎫⎪⎝⎭D.π,04⎛⎫⎪⎝⎭15.如图是函数()sin 6f x x ππ⎛⎫=+⎪⎝⎭在一个周期内的图像，该图像分别与x 轴､y 轴相交于A ､B 两点，与过点A 的直线相交于另外两点C ､D ，i为x 轴上的基本单位向量，则()BC BD i +⋅=（）A.-1B.56-C.56D.5316.已知直角坐标平面上的向量()1,0a = 和一组互不相等非零向量12n b b b ､､､满足：(),12012i a b i n ==､､､.若存在i b ，对任意t ∈R ，使得()()2i i a tb a b -+⋅+为定值，则满足要求的i b 的个数最多是（）个A.2B.3C.4D.无数三､解答题（本大题共有5题，满分76分）17.已知a ∈R ，复数12321i,1i,1a z a z z a+=-+=-=-在复平面上对应的点分别为,A B C O ､､为坐标原点.（1）求12z z +的取值范围；（2）当A B C ､､三点共线时，求三角形AOB 的面积.18.已知函数()()2cos sin cos 1,R f x x x x x =-+∈.（1）求函数()f x 的最小正周期；（2）求函数()f x 在区间π3π,84⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最小值和最大值及相应的x 取值.19.剪纸又叫刻纸，是一种镂空艺术，是中国汉族最古老的民间艺术之一，如图，纸片为一圆形，直径20cm AB =，需要剪去四边形1CEC D ，可以经过对折，沿DC EC ､裁剪，展开就可以得到.已知点C 在圆上，且10cm,30AC ECD ∠== ，记,,CE a CD b ED c ===.（1）求AC 在AB上的投影；（2）若3c =，求镂空四边形1CEC D 的周长.20.定义在R 上的函数()()πsin 0,0,02f x A x A ωϕωϕ⎛⎫=+>>≤≤⎪⎝⎭，已知其在()0,7πx ∈内只取到一个最大值和一个最小值，且当πx =时函数取得最大值为3；当6πx =，函数取得最小值为3-.（1）求出此函数的解析式；（2）是否存在实数m ，满足不等式()()sin sin A A ϕϕ+>+，若存在求出m 的取值范围，若不存在，请说明理由；（3）若将函数()f x 的图像保持横坐标不变，纵坐标变为原来的13得到函数()g x ，再将函数()g x 的图像向左平移()000ϕϕ>个单位得到函数()h x ，已知函数()()10lg g x y h x =+的最大值为10，求满足条件的0ϕ的最小值.21.已知,,ABC AB AC P ⊥ 是平面上一点，2AP =，且1,2AP AB AP AC ⋅=⋅=.（1）若,6AP AB π= ，求,AB AC ；（2）若()1,0,2AB AC AQ AP BQC πλλ∠===≠= ，求实数λ的值；（3）求AB AC AP ++的最小值.闵行中学高一期末数学试卷2023.06一､填空题（第1-6题每题4分，第7-12题每题5分，满分54分）1.已知复数z 满足()1i iz -=（i 为虚数单位），则z 的虚部为_____________．【答案】12##0.5【分析】利用复数除法运算可求得z ，由虚部定义可得结果.【详解】由()1i i z -=得：()()()i 1i i 1i 11i 1i 1i 1i 222z +-+====-+--+，z ∴的虚部为12.故答案为：12.2.已知O 为坐标原点，点()()1,1,1,3B OA AB -=-，则AOB ∠=__________.【答案】4π【分析】利用向量的坐标运算得到点A 坐标，然后利用数量积求夹角即可.【详解】设点(),A x y ，所以(),OA x y = ，()1,1OB = ，()1,1AB x y =-- ，()21,21OA AB x y -=--，因为()1,3OA AB -=- ，所以211213x y -=-⎧⎨-=⎩，解得02x y =⎧⎨=⎩，2cos 2OA OB AOB OA OB ⋅∠===，因为[]0,AOB π∠∈，所以4AOB π∠=.故答案为：4π.3.向量()()1,1,2,3a b =-=，则向量b 在a 上的数量投影是__________.【答案】22-【分析】利用数量投影公式即可解.【详解】b 在a 上的数量投影为·2cos ,2b a b b a a ⨯+-⨯===-.故答案为：22-4.设i 为虚数单位，若关于x 的方程x 2－(2＋i )x ＋1＋mi ＝0(m ∈R )有一实根为n ，则m ＝________.【答案】1【分析】利用根与系数关系列方程，化简求得m 的值.【详解】设12,x x 是方程()2210x i x mi -+++=的两个根，其中1x n =.则122212222211x x n x i n i x x x n x mi n x mi +=+=+=+-⎧⎧⇒⎨⎨⋅=⋅=+⋅=+⎩⎩，设2x a bi =+，则()()221n i a bi a b i =+-+=-+-，由于n 为实数，所以1210,1,2,b b x n a x a i -====-=+，()()21a a i mi -+=+，()2221a a a i mi -+-=+，2212a a a m ⎧-=⎨-=⎩，解得1a m ==.故答案为：15.已知角α的顶点是坐标原点，始边与x 轴的正半轴重合，它的终边过点34,55P ⎛⎫- ⎪⎝⎭，则cos 2=α___________.【答案】725-【分析】利用任意角的三角函数的定义求得tan α的值，进而根据二倍角的余弦公式，同角三角函数基本关系式即可求解．【详解】因为角α的顶点是坐标原点，始边与x 轴的正半轴重合，它的终边过点34(,)55P -，所以445tan 335α==--，所以222222161cos sin 1tan 79cos 216cos sin 1tan 2519ααααααα---====-+++．故答案为：725-．6.已知复数z 满足2260z z -+=，则z =__________.【答案】【分析】根据一元二次方程复数根的求解可得复数，即可由模长公式求解.【详解】将z 看作是关于z 的一元二次方程2260z z -+=的根，则225i12z ±==±，所以z ==，7.若π3x =是方程()2cos 1x α+=的解，其中[)0,2πα∈，则α的取值集合是__________.【答案】4π0,3⎧⎫⎨⎬⎩⎭【分析】得到1cos 2π3α⎛⎫+=⎪⎝⎭，结合[)0,2πα∈，从而列出方程，求出答案.【详解】由题意得1cos 2π3α⎛⎫+=⎪⎝⎭，因为[)0,2πα∈，所以ππ7π,333α⎡⎫+∈⎪⎢⎣⎭，故ππ33α+=或5π3，解得0α=或4π3.故答案为：4π0,3⎧⎫⎨⎩⎭8.如图，矩形,6,3,ABCD AB AD P Q R ==､､分别是矩形边AB CD AD ､､上的点，其中1AR =，以RP RQ ､为邻边的矩形RPTQ 的面积记为S ，则S 的最小值是__________.【答案】4【分析】设RQ a =（373a ≤≤），表示出DQ ，然后由RDQ ∽PAR △可表示出PR ，求出矩形RPTQ 的面积，换元后利用基本不等式求最小值即可.【详解】设RQ a =（373a ≤≤），因为1AR =，3AD =，所以2RD =，所以DQ ==因为四边形RPTQ 为矩形，所以RP QR ⊥，所以90PRA QRD ∠+∠=︒，因为90PRA APR ∠+∠=︒，所以QRD APR ∠=∠，所以RDQ ∽PAR △，所以DQ RQAR PR=，即1a a PR=，所以PR =，所以矩形RPTQ 的面积2S QR PR =⋅=，令t =，则224a t =+，06t ≤≤，所以2444t S t t t +==+≥=，当且仅当4t t =，即2t =时取等号，所以当a =S 取得最小值4.故答案为：49.已知ABC 中，113,2,22AB AC AD AB AC ===+ ，且1AD = ，则BAC ∠=__________.【答案】3πarccos 4-【分析】根据1122AD AB AC =+ ，结合向量的数量积的运算公式，求得3cos ,4AB AC =- ，即可求解.【详解】在ABC 中，113,2,22AB AC AD AB AC ===+，且1AD = ，可得22224()2AD AB AC AB AC AB AC =+=++⋅ ，所以494232cos ,AB AC =++⨯⨯ ，解得3cos ,4AB AC =- ，因为cos ,[0,π]AB AC ∈ ，所以3πarccos 4-.故答案为：3πarccos 4-.10.已知平面向量a b c ､､，其中,120,||2,||4,4a b a b a c b c ︒〈〉===⋅+⋅= ，则c b - 的取值范围是__________.【答案】⎫+∞⎪⎭【分析】根据题目条件建立直角坐标系,分别求出a b､坐标，进而求出结果.【详解】如图所示建立直角坐标系，(2,0),120A BOA ︒∠=，则(2,B -,(2,0)a OA ==，(2,b OB ==- ，设(,)c x y =，则224x x --=，所以233y =，43(2,3c b x -=-- ,433c b -=≥，故答案为：⎫+∞⎪⎭.11.已知函数()()π2sin 04f x x ωω⎛⎫=+> ⎪⎝⎭在区间[]1,1-上的值域为[],m n ，且 3n m -=，则ω的值为______．【答案】5π12##5π12【分析】根据函数值域满足3n m -=，结合正弦函数的图象可知ππ46ω+=-时满足题意，得解.【详解】[]1,1x ∈- ，令π4t x ω=+，πππ444t x ωωω∴-+≤=+≤+,0ω>,3n m -= ，作出函数2sin y t =的图象，如图，由图可知，以π4为中心，当0ω>变大时，若π04ω<<，函数最大值2y →，最小值0y →，不满足3n m -=，若π4ω≤时，函数最大值2y =，所以只需要确定函数最小值，因为3n m -=，需函数最小值为1y =-，所以当ππ46ω-+=-时，即5π12ω=时，函数值域为[1,2]-，满足3n m -=，当5π12ω<时，函数最小值1y <-，此时不满足3n m -=，综上5π12ω=.故答案为：5π12.12.在以O 为原点的坐标平面上，有一组互不相等的单位向量12n OA OA OA ､､､，若存在单位向量OP满足120n OP OA OP OA OP OA ⋅+⋅++⋅= ，则称OP是向量组1OA ､2n OA OA ､､的特征向量.已知()1211,0,,22OA OA ⎛⎫== ⎪ ⎪⎝⎭，向量OP是向量组123OA OA OA ､､的特征向量，且3OP OA ⋅ 取最大值时，13cos ,OA OA =__________.【答案】36-±【分析】根据题意可设()()3cos ,sin ,cos ,sin OA OP ααθθ== ，表示出3OP OA ⋅ ，利用三角函数求出3OP OA ⋅取最大值时πcos 63θ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭，再求出13cos<,OA OA > 即可.【详解】设()()3cos ,sin ,cos ,sin OA OP ααθθ==，又()1211,0,,22OA OA ⎛⎫== ⎪ ⎪⎝⎭，由()1230OP OA OA OA ⋅++=，可得()312335πcos sin 226OP OA OP OA OA θθθ⎛⎫⋅=-⋅+=--=+ ⎪⎝⎭,又[]3cos cos sin sin cos()1,1OP OA θαθααθ⋅=⋅+⋅=-∈-,所以当3OP OA ⋅ 取最大值时，31OP OA ⋅=，此时5πcos 63θ⎛⎫+=⎪⎝⎭，3cos()1OP OA αθ⋅=-= ,所以2π(Z)k k αθ=+∈,π5π3cos cos π663θθ⎛⎫⎛⎫-=+-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,所以π6sin 63θ⎛⎫-=± ⎪⎝⎭所以13ππcos<,cos cos cos 66OA OA αθθ⎛⎫>===-+ ⎪⎝⎭ ππππcos cos sin sin6666θθ⎛⎫⎛⎫=--- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭3π1πcos sin 2626θθ⎛⎫⎛⎫=--- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭366-±=.故答案为：36-±.二､选择题（本大题共4题，满分20分）13.i z b =（i 为虚数单位，0,≠∈R b b ）是()22||z z z ≠∈C 的（）条件A.充分不必要B.必要不充分C.充要D.既不充分也不必要【答案】A【分析】根据复数的模长以及乘方的运算，结合充分不必要条件的判断即可求解.【详解】由i z b =，0,≠∈R b b ，则2222,||,z b b z =-=满足()22||z z z ≠∈C ，故充分性成立，当1i,z =+则2|R |,z ∈而2z ∈C ，满足()22||z z z ≠∈C ，但是1i z =+不为纯虚数，故必要性不成立，故选：A14.函数cos 26y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图像F 可按向量d 方向平移到图像F '（平移距离为d ），F '的函数解析式为()y g x =，当()y g x =为奇函数时，向量d可以等于（）A.π,03⎛⎫-⎪⎝⎭B.π,06⎛⎫-⎪⎝⎭C.π,06⎛⎫⎪⎝⎭D.π,04⎛⎫⎪⎝⎭【答案】B【分析】根据平移变换得到()g x 的解析式，然后根据奇函数的性质求解即可.【详解】设(),0d θ= ，所以()πcos 226g x x θ⎛⎫=+- ⎪⎝⎭，因为()g x 为奇函数，所以()π0cos 206g θ⎛⎫=-=⎪⎝⎭，令ππ2π,Z 62k k θ-=+∈，整理得ππ,Z 62k k θ=--∈，所以d 可以等于π,06⎛⎫- ⎪⎝⎭.故选：B.15.如图是函数()sin 6f x x ππ⎛⎫=+⎪⎝⎭在一个周期内的图像，该图像分别与x 轴､y 轴相交于A ､B 两点，与过点A 的直线相交于另外两点C ､D ，i为x 轴上的基本单位向量，则()BC BD i +⋅= （）A.-1B.56-C.56D.53【答案】D【分析】根据题意先求出A ，B 的坐标，结合题意得A 为CD 的中点，2BC BD BA +=，然后结合向量数量积的坐标表示可求．【详解】由题意得5(,0)6A ，1(0,)2B ，A 为CD 的中点，5(6BA = ，1)2-，(1,0)i = ，52(3BC BD BA +== ，1)-，所以55()10(1)33BC BD i +⋅=⨯+⨯-= ．故选：D ．16.已知直角坐标平面上的向量()1,0a = 和一组互不相等非零向量12n b b b ､､､满足：(),12012i a b i n ==､､､.若存在i b ，对任意t ∈R ，使得()()2i i a tb a b -+⋅+ 为定值，则满足要求的i b 的个数最多是（）个A.2B.3C.4D.无数【答案】A 【分析】根据向量夹角关系可得12n b b b ､､､中的向量要么与13,22OM ⎛ ⎝⎭ =-同向共线，要么与13,22ON ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭=--同向共线，由数量积的运算，结合恒成立即可求解.【详解】由于平面直角坐标平面上满足与向量()1,0a = 成120的单位向量有11,,,2222OM ON ⎛⎫⎛ ⎪ ⎪ ⎝⎭⎝⎭=-=--，所以12n b b b ､､､中的向量要么与13,22OM ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭ =-同向共线，要么与13,22ON ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭ =--同向共线，设13,,22i b xOM x ⎛= ⎝⎭ =-13,,22j b yON y i j ⎛⎫=≠ ⎪ ⎪⎝⎭=--，0,0x y >>，11cos12022i i i a b a b b x ⋅=⋅=-=- ，11cos12022j j j a b a b b y ⋅=⋅=-=- ，则()()2222222112222i i i i i a tb a b a a t t x t x t x x x x b t b a b ⎛⎫++-+⋅+=-=-+-+=-++-+- ⎪⋅⎝⎭⋅ ，由于对任意t ∈R ，()()2i i a tb a b -+⋅+ 为定值，故需满足2102x x -+=，所以1122x x ⇒=±=，由于10,2x x >∴=，此时11,,222i b ⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭-同理可得12y =，113113,,,222222j i b b ⎛⎫⎛=== ⎪ ⎪ ⎝⎭⎝⎭---所以符合条件的向量最多有2个，故选：A三､解答题（本大题共有5题，满分76分）17.已知a ∈R ，复数12321i,1i,1a z a z z a +=-+=-=-在复平面上对应的点分别为,A B C O ､､为坐标原点.（1）求12z z +的取值范围；（2）当A B C ､､三点共线时，求三角形AOB 的面积.【答案】（1）[)122,z z ∞+∈+；（2）34.【分析】（1）易得122i z z a a +=-，再由221224z z a a +=+，利用基本不等式求解；（2）根据,,A B C 三点共线，由AC BC ∥得到4a =-，再利用数量积求得夹角AOB ∠，利用三角形的面积公式求解.【小问1详解】解：因为1221i,1i a z a z a +=-+=-，所以221212224i,4z z a z z a a a +=-+=+≥=，当且仅当a =时取得等号，所以[)122,z z ∞+∈+；【小问2详解】因为()2,1,2,a AC a BC a +⎛⎫=--=- ⎪⎝⎭ ，且,,A B C 三点共线时，有AC BC ∥，即()()()212a a a+-⨯-=-，解得4a =-此时()15,1,1,2OA OB ⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭，cos ,OA OB OA OB OA OB ⋅==-⋅所以sin ,OA OB == ，所以113sin ,2224AOB S OA OB OA OB =⋅=⨯⋅ .18.已知函数()()2cos sin cos 1,R f x x x x x =-+∈.（1）求函数()f x 的最小正周期；（2）求函数()f x 在区间π3π,84⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最小值和最大值及相应的x 取值.【答案】（1）最小正周期为π（2）38x π=时，()f x；当34x π=时，()f x 的最小值为1-.【分析】（1）化简函数为()π)4f x x =-，结合最小正周期的公式，即可求解；（2）由π3π,84⎡⎤⎢⎥⎣⎦，可得π5π20,44x ⎡⎤-∈⎢⎥⎣⎦，结合三角函数的性质，即可求解.【小问1详解】解：由函数()()22cos sin cos 12sin cos 2cos 1f x x x x x x x =-+=-+πsin2cos2)4x x x =-=-，所以函数()f x 的最小正周期为2ππ2T ==.【小问2详解】解：由π3π,84⎡⎤⎢⎥⎣⎦，可得π5π20,44x ⎡⎤-∈⎢⎥⎣⎦，当ππ20,42x ⎡⎤-∈⎢⎥⎣⎦，即π3π,88x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，函数()f x 单调递增；当ππ5π2,424x ⎡⎤-∈⎢⎥⎣⎦，即3π3π,84x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，函数()f x 单调递减，所以当38x π=时，()f x ；又由π3π3πππ0,184244f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫==-==- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，所以当34x π=时，()f x 的最小值为1-.19.剪纸又叫刻纸，是一种镂空艺术，是中国汉族最古老的民间艺术之一，如图，纸片为一圆形，直径20cm AB =，需要剪去四边形1CEC D ，可以经过对折，沿DC EC ､裁剪，展开就可以得到.已知点C 在圆上，且10cm,30AC ECD ∠== ，记,,CE a CD b ED c ===.（1）求AC 在AB 上的投影；（2）若3c =，求镂空四边形1CEC D 的周长.【答案】（1）14AB（2）【分析】（1）连接,AC BC ，因为AB 是直径，所以90BCA ∠=o ，结合直角ABC ，利用投影的公式，即可求解；（2）作CG AB ⊥，利用面积公式，求得ab ==a b +的值，即可求解.【小问1详解】解：如图所示，连接,AC BC ，因为AB 是直径，所以90BCA ∠=o ，在直角ABC 中，20cm,10cm,60AB AC CAB ∠=== ，所以AC 在AB 上的投影是()1cos604AB AC AB AB = .【小问2详解】解：如图所示，作CG AB ⊥于G ，得sin60CG CA =⋅= .由面积公式11sin3022CED S ab c CG ==⋅ ，可得ab ==由余弦定理2222cos c a b ab ECD ∠=+-，即)22292()22a b ab a b =+-⨯=+-，整理得a b +=所以镂空四边形1CEC D 的周长.20.定义在R 上的函数()()πsin 0,0,02f x A x A ωϕωϕ⎛⎫=+>>≤≤ ⎪⎝⎭，已知其在()0,7πx ∈内只取到一个最大值和一个最小值，且当πx =时函数取得最大值为3；当6πx =，函数取得最小值为3-.（1）求出此函数的解析式；（2）是否存在实数m ，满足不等式()()sin sin A A ϕϕ+>+，若存在求出m 的取值范围，若不存在，请说明理由；（3）若将函数()f x 的图像保持横坐标不变，纵坐标变为原来的13得到函数()g x ，再将函数()g x 的图像向左平移()000ϕϕ>个单位得到函数()h x ，已知函数()()10lg g x y h x =+的最大值为10，求满足条件的0ϕ的最小值.【答案】（1）()13π3sin 510f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭（2）存在，1,22m ⎛⎤∈⎥⎝⎦（3）10π【分析】（1）先利用三角函数最值与周期的性质求得,A ω，再由()π3f =求得ϕ，从而得解；（2）先根据根号的性质求得m 的取值范围，再结合()f x 的单调性得到关于m 的不等式，由此得解；（3）先利用三角函数平移的性质求得()g x 与()h x ，再利用复合函数的单调性确定满足条件时()g x 与()h x 的取值，从而求得0ϕ的范围，由此得解.【小问1详解】()()max min ()π3,()6π3f x f f x f ====- ，0ω>，又()f x 在()0,7πx ∈内只取到一个最大值和一个最小值，()2π3,26ππ10πA T ω∴===⨯-=，15ω∴=，()ππ3sin 35f ϕ⎛⎫=+= ⎪⎝⎭，ππ2π,Z 52k k ϕ∴+=+∈，则3π2π,Z 10k k ϕ=+∈，又π02ϕ≤≤，3π10ϕ∴=，()13π3sin 510f x x ⎛⎫∴=+ ⎪⎝⎭.【小问2详解】假设存在实数m ，满足题设不等式，则m 满足2223040m m m ⎧-++≥⎨-+≥⎩，解得12m -≤≤，2223(1)44m m m -++=--+≤，02∴≤≤，同理02≤≤，当02πx ≤≤<时，3π13ππ105102x ≤+<，故()13π3sin 510f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭在[]0,2上单调递增，若有()()sin sin A A ϕϕ>，>，即12m >成立即可，∴存在1,22m ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦，使()()sin sin A A ϕϕ+>+成立.【小问3详解】由题意得()()013π13π1sin ,sin 5105105g x x h x x ϕ⎛⎫⎛⎫=+=++⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 函数10x y =与函数lg y x =均为单调增函数，且()()11,01g x h x -≤≤<≤，∴当且仅当()13sin 1510g x x π⎛⎫=+=⎪⎝⎭与()0131sin 15105h x x πϕ⎛⎫=++= ⎪⎝⎭同时取得才有()()10lg g x y h x =+的最大值为10,由()13πsin 1510g x x ⎛⎫=+= ⎪⎝⎭，得13ππ2π,Z 5102x k k +=+∈，则由()013π1sin 15105h x x ϕ⎛⎫=++= ⎪⎝⎭，得00π11sin 2πcos 1255k ϕϕ⎛⎫⎛⎫++== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，012π,Z 5k k ϕ∴=∈，则010π,Z k k ϕ=∈，又00ϕ>，0ϕ∴的最小值为10π.【点睛】关键点睛：本题第3小问的解决关键是利用复合函数的单调性，结合三角函数的性质确定满足条件时()g x 与()h x 的取值，从而得解.21.已知,,ABC AB AC P ⊥ 是平面上一点，2AP =，且1,2AP AB AP AC ⋅=⋅= .（1）若,6AP AB π= ，求,AB AC ；（2）若()1,0,2AB AC AQ AP BQC πλλ∠===≠= ，求实数λ的值；（3）求AB AC AP ++ 的最小值.【答案】（1）3||3AB =，||2AC = （2）34λ=（3）72.【分析】（1）根据题意，直接由平面向量数量积的定义即可得到结果；（2）解法一，以A 为原点，AB 方向为x 轴正向建立平面直角坐标系，通过平面向量的坐标运算即可得到结果；解法二，由平面向量的数量积运算，即可得到结果；（3）解法一，设()(),00,B b C c ､，设()2cos ,2sin 02P πθθθ⎛⎫<< ⎪⎝⎭表示出向量的模长，然后结合基本不等式即可得到结果；解法二，建立平面直角坐标系，由平面向量的坐标运算即可得到结果.【小问1详解】31||||cos ,2||cos ||63AP AB AP AB AP AB AB AB π=⋅=⋅⋅〈〉=⋅⇒= 2||||cos ,2||cos ||23AP AC AP AC AP AC AC AC π=⋅=⋅⋅>=⋅⇒= 【小问2详解】解法一：以A 为原点，AB 方向为x 轴正向建立平面直角坐标系.1,2P P AP AB AP AC x y AB AC⋅⋅==== ，得()()()1,2,1,0,0,1P B C (),2AQ AP λλλ== 由()()()201,2,2143430BQ CQ λλλλλλλλ=⋅=-⋅-=-⇒-= 解得0λ=（舍去）和34λ=.所以满足要求的实数34λ=.解法二：由()()()()0BQ CQ AQ AB AQ AC AP AB AP AC λλ=⋅=-⋅-=-⋅- 22243AP AP AB AP AC AB AC λλλλλ=-⋅-⋅+⋅=- ()430λλ⇒-=解得0λ=（舍去）和34λ=.所以满足要求的实数34λ=.【小问3详解】解法一：设()(),00,B b C c ､，由题意可知，AP 在,AB AC 之间，设()2cos ,2sin 02P πθθθ⎛⎫<< ⎪⎝⎭，12cos 12cos AP AB b b θθ⋅==⇒= ，12sin 2sin AP AC c c θθ⋅==⇒= ()2222()2AB AC AP AB AC AP AB AC AP AB AP AC ++=+++⋅+⋅+⋅22221110104cos sin AB AC θθ=++=++ ()22221110cos sin 4cos sin θθθθ⎛⎫=+++ ⎪⎝⎭22221sin cos 117111112,.44cos sin 442AB AC AP θθθθ⎛⎫=++≥+=++≥ ⎪⎝⎭即所以AB AC AP ++ 的最小值是72，当且仅当2tan 2θ=时等号成立.解法二：因为1,12AP AB AP AC AP AP⋅⋅== ，以A 为原点，AP 方向为x轴正向建立平面直角坐标系，设()1,(0)1,(0)2B t t C s s ⎛⎫<> ⎪⎝⎭､，满足102st +=2221117||1111212,.4442AB AC AP t s ts AB AC AP ++=++≥+=++≥ 即所以AB AC AP ++ 的最小值是72.。
上海市高一下学期期末考试数学试卷含答案
上海市高一年级物理第二学期期终试卷g=10m/s2一．单项选择题(共12分，每小题2分)1．关于两个做匀速圆周运动的质点，正确的说法是（）（A）角速度大的线速度一定大（B）角速度相等，线速度一定也相等（C）半径大的线速度一定大（D）周期相等，角速度一定相等2、一个做机械振动的物体，由平衡位置向最大位移处运动时，下列说法正确的是（）（A）物体的位移逐渐变大（B）物体的速度逐渐变大（C）物体的回复力逐渐变小（D）物体的周期逐渐变小3、物体从某一高处自由落下，在下落过程中重力做功的功率：（）(A) 恒定不变(B) 越来越大(C) 越来越小(D) 先变小，后变大4、如图所示，物体m沿不同的路径Ⅰ和Ⅱ从A滑到B，关于重力所做的功，下列说法正确的是：（）(A) 沿路径Ⅰ和Ⅱ重力做功一样大(B) 沿路径Ⅱ重力做功较大(C) 沿路径Ⅰ重力做功较大(D) 条件不足不能判断5、如图所示，呈水平状态的弹性绳，右端在竖直方向上做周期为0.4s的振动，设t＝0时右端开始向上振动［图（a）］，则在t＝0.5s时刻绳上的波形可能是图（b）中的（）。
6、如图所示，一个质量为m的小球，用长为L的轻绳悬挂于天花板上的O点，小球在水平拉力F作用下，从平衡位置P很慢地移动到Q点，则在此过程中力F所做的功为：(提示:F是变力) （）A.mgLcosθ.B.mgL(1－cosθ).C.FLsinθ.D.FL(1－cosθ)7、下列数据中可以算出阿伏伽德罗常数的一组数据是：（）(A)水的密度和水的摩尔质量(B)水的摩尔质量和水分子的体积ⅠⅡABθ(C)水分子的体积和水分子的质量(D)水分子的质量和水的摩尔质量8、关于气体的体积，下列说法中正确的是：(A) 气体的体积与气体的质量成正比(B) 气体的体积与气体的密度成反比(C) 气体的体积就是所有气体分子体积的总和(D) 气体的体积是指气体分子所能达到的空间9．汽车在平直公路上行驶时，在一段时间内，发动机以恒定功率工作，则图中各v-t图象，能正确反映汽车运动情况的是（）（A）①和②。
上海市闵行区2017-2018学年高二下学期期末数学试卷 Word版含解析
2017-2018学年上海市闵行区高二（下）期末数学试卷一、填空题1．在空间中，若直线a与b无公共点，则直线a、b的位置关系是______．2．若点H（﹣2，4）在抛物线y2=2px的准线上，则实数p的值为______．3．若椭圆上一点P到其焦点F1的距离为6，则P到另一焦点F2的距离为______．4．若经过圆柱的轴的截面面积为2，则圆柱的侧面积为______．5．经过点（﹣2，2）且与双曲线﹣y2=1有公共渐近线的双曲线方程为______．6．已知实数x、y满足约束条件则z=2x+4y的最大值为______．7．一个圆锥的侧面积展开图是一个半径为2的半圆，则此圆锥的体积为______．8．在平面直角坐标系x0y中，直线（t为参数）与圆（θ为参数）相切，切点在第一象限，则实数a的值为______．9．在北纬45°的线圈上有A、B两地，它们的经度差为90°，若地球半径为R，则A、B两地的球面距离为______．10．设α与β是关于x的方程x2+2x+m=0的两个虚数根，若α、β、0在复平面上对应的点构成直角三角形，那么实数m=______．11．如图，正三棱柱ABC﹣A1B1C1的所有棱的长度都为4，则异面直线AB1与BC1所成的角是______（结果用反三角函数值表示）．12．已知复数z满足|z|=3，则|z+4|+|z﹣4|的取值范围是______．13．已知x、y、u、v∈R，且x+3y﹣2=0，u+3v+8=0，T=x2+y2+u2+v2﹣2ux﹣2vy，则T的最小值为______．14．已知曲线C的方程为F（x，y）=0，集合T={（x，y）|F（x，y）=0}，若对于任意的（x1，y1）∈T，都存在（x2，y2）∈T，使得x1x2+y1y2=0成立，则称曲线C为曲线，下列方程所表示的曲线中，是曲线的有______（写出所有曲线的序号）①2x2+y2=1；②x2﹣y2=1；③y2=2x；④|x|﹣|y|=1；⑤（2x﹣y+1）（|x﹣1|+|y﹣2|）=0．二、选择题15．“直线l垂直于平面α内的无数条直线”是“l⊥α”的一个（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件16．曲线Γ：2x2﹣3xy+2y2=1（）A．关于x轴对称B．关于原点对称，但不关于直线y=x对称C．关于y轴对称D．关于直线y=x对称，也关于直线y=﹣x对称17．下列中，正确的是（）A．若z1、z2∈C，z1﹣z2＞0，则z1＞z2B．若z∈R，则z•=|z|2不成立C．z1、z2∈C，z1•z2=0，则z1=0或z2=0D．z1、z2∈C，z12+z22=0，则z1=0且z2=018．如图，正方体ABCD﹣A1B1C1D1，则下列四个：①点P在直线BC1上运动，三棱锥A﹣D1PC的体积不变②点P在直线BC1上运动，直线AP与平面ACD1所成角的大小不变③点P在直线BC1上运动，二面角P﹣AD1﹣C的大小不变④点P是平面ABCD上到点D和C1距离相等的动点，则P的轨迹是过点B的直线．其中的真是（）A．①③B．①③④ C．①②④ D．③④三、解答题19．如图，设计一个正四棱锥形冷水塔，高是3米，底面的边长是8米：（1）求这个正四棱锥形冷水塔的容积（冷水塔的厚度忽略不计）；（2）制造这个冷水塔的侧面需要多少平方米的钢板？20．设直线y=x+2与双曲线﹣=1交于A、B两点，O为坐标原点，求：（1）以线段AB为直径的圆的标准方程；（2）若OA、OB所在直线的斜率分别是k OA、k OB，求k OA•k OB的值．21．已知复数α满足（2﹣i）α=3﹣4i，β=m﹣i，m∈R．（1）若|α+β|＜2||，求实数m的取值范围；（2）若α+β是关于x的方程x2﹣nx+13=0（n∈R）的一个根，求实数m与n的值．22．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面是边长为2的正方形，PA⊥底面ABCD，E为BC的中点，PC与平面PAD所成的角为arctan．（1）求证：CD⊥PD；（2）求异面直线AE与PD所成的角的大小（结果用反三角函数表示）；（3）若直线PE、PB与平面PCD所成角分别为α、β，求的值．23．在平面直角坐标系xOy中，动点P到定点F（0，﹣1）的距离与P到定直线y=﹣2的距离的比为，动点P的轨迹记为C．（1）求轨迹C的方程；（2）若点M在轨迹C上运动，点N在圆E：x2+（y﹣0.5）2=r2（r＞0）上运动，且总有|MN|≥0.5，求r的取值范围；（3）过点Q（﹣，0）的动直线l交轨迹C于A、B两点，试问：在此坐标平面上是否存在一个定点T，使得无论l如何转动，以AB为直径的圆恒过点T？若存在，求出点T的坐标．若不存在，请说明理由．2015-2016学年上海市闵行区高二（下）期末数学试卷参考答案与试题解析一、填空题1．在空间中，若直线a与b无公共点，则直线a、b的位置关系是平行或异面．【考点】空间中直线与直线之间的位置关系．【分析】根据直线a，b是否共面得出结论．【解答】解；当a，b在同一个平面上时，a，b平行；当a，b不在同一个平面上时，a，b异面．故答案为：平行或异面．2．若点H（﹣2，4）在抛物线y2=2px的准线上，则实数p的值为4．【考点】抛物线的简单性质．【分析】求出抛物线的准线方程，由题意可得﹣=﹣2，即可解得p的值．【解答】解：抛物线y2=2px的准线方程为x=﹣，由题意可得﹣=﹣2，解得p=4．故答案为：4．3．若椭圆上一点P到其焦点F1的距离为6，则P到另一焦点F2的距离为14．【考点】椭圆的简单性质．【分析】根据椭圆的定义可得|PF1|+|PF2|=2a=20，结合P到其焦点F1的距离为6，可求P 到另一焦点F2的距离．【解答】解：根据椭圆的定义可得|PF1|+|PF2|=2a=20∵P到其焦点F1的距离为6，∴|PF2|=20﹣6=14即P到另一焦点F2的距离为14故答案为：14．4．若经过圆柱的轴的截面面积为2，则圆柱的侧面积为2π．【考点】旋转体（圆柱、圆锥、圆台）．【分析】根据轴截面积得出圆柱底面半径与高的关系，代入侧面积公式即可得出答案．【解答】解：设圆柱的底面半径为r，高为h，则圆柱的轴截面面积为2rh=2，∴rh=1．∴圆柱的侧面积S=2πrh=2π．故答案为：2π．5．经过点（﹣2，2）且与双曲线﹣y2=1有公共渐近线的双曲线方程为．【考点】双曲线的简单性质．【分析】根据渐近线相同，利用待定系数法设出双曲线方程进行求解即可．【解答】解：与双曲线﹣y2=1有公共渐近线的双曲线的方程可设为线﹣y2=λ，（λ≠0），∵双曲线过点（﹣2，2），∴λ=，即﹣y2=﹣2，即，故答案为：6．已知实数x、y满足约束条件则z=2x+4y的最大值为8．【考点】简单线性规划．【分析】①画可行域②z为目标函数纵截距四倍③画直线0=2x+4y，平移直线过（0，2）时z有最大值【解答】解：画可行域如图，z为目标函数纵截距四倍，画直线0=2x+4y，平移直线过（0，2）点时z有最大值8故答案为87．一个圆锥的侧面积展开图是一个半径为2的半圆，则此圆锥的体积为．【考点】旋转体（圆柱、圆锥、圆台）．【分析】根据圆锥的侧面展开图的弧长为圆锥底面周长得出圆锥底面半径，从而得出圆锥的高，代入体积公式计算即可．【解答】解：设圆锥的底面半径为r，则2πr=2π，∴r=1．∴圆锥的高h==．∴圆锥的体积V==．故答案为：．8．在平面直角坐标系x0y中，直线（t为参数）与圆（θ为参数）相切，切点在第一象限，则实数a的值为+1．【考点】参数方程化成普通方程．【分析】把直线和圆的参数方程都化为普通方程，由直线与圆相切d=r，切点在第一象限，求出a的值．【解答】解：圆的参数方程（θ为参数）化为普通方程是（x﹣1）2+y2=1，直线的参数方程（t为参数）化为普通方程是x+y=a；直线与圆相切，则圆心C（1，0）到直线的距离是d=r，即=1；解得|1﹣a|=，∴a=+1，或a=1﹣；∵切点在第一象限，∴a=+1；故答案为： +1．9．在北纬45°的线圈上有A、B两地，它们的经度差为90°，若地球半径为R，则A、B两地的球面距离为R．【考点】球面距离及相关计算．【分析】求出球心角，然后A、B两点的距离，即可求出两点间的球面距离．【解答】解：地球的半径为R，在北纬45°，而AB=R，所以A、B的球心角为：，所以两点间的球面距离是：；故答案为：．10．设α与β是关于x的方程x2+2x+m=0的两个虚数根，若α、β、0在复平面上对应的点构成直角三角形，那么实数m=2．【考点】复数代数形式的混合运算；复数的代数表示法及其几何意义．【分析】由题意，可设α=a+bi，则由实系数一元二次方程虚根成对定理可得β=a﹣bi，且m 与n为实数，b≠0．由根与系数的关系得到a，b的关系，上α，β，0对应点构成直角三角形，求得到实数m的值【解答】解：设α=a+bi，则由实系数一元二次方程虚根成对定理可得β=a﹣bi，且m与n 为实数，n≠0．由根与系数的关系可得α+β=2a=﹣2，α•β=a2+b2=m．∴m＞0．∴a=﹣1，m=b2+1，∵复平面上α，β，0对应点构成直角三角形，∴α，β在复平面对应的点分别为A，B，则OA⊥OB，所以b2=1，所以m=1+1=2；，故答案为：211．如图，正三棱柱ABC﹣A1B1C1的所有棱的长度都为4，则异面直线AB1与BC1所成的角是acrcos（结果用反三角函数值表示）．【考点】异面直线及其所成的角．【分析】利用两个向量数量积的定义求得，由=（）•（）求得，求得cos＜＞=，故异面直线AB1与BC1所成的角是arccos．【解答】解：=4×4cos＜＞=32cos＜＞．又=（）•（）=+++=4×4cos120°+0+0+4×4=8．故有32cos＜＞=8，∴cos＜＞=，∴＜＞=arccos，故异面直线AB1与BC1所成的角是arccos，故答案为arccos．12．已知复数z满足|z|=3，则|z+4|+|z﹣4|的取值范围是[8，10] ．【考点】复数的代数表示法及其几何意义．【分析】复数z满足|z|=3，表示以原点为圆心，以3为半径的圆，则|z+4|+|z﹣4|的表示圆上的点到（﹣4，0）和（4，0）的距离，结合图形可求．【解答】解：复数z满足|z|=3，表示以原点为圆心，以3为半径的圆，则|z+4|+|z﹣4|的表示圆上的点到（﹣4，0）和（4，0）的距离，由图象可知，当点在E，G处最小，最小为：4+4=8，当点在D，F处最大，最大为2=10，则|z+4|+|z﹣4|的取值范围是[8，10]，故答案为[8，10]13．已知x、y、u、v∈R，且x+3y﹣2=0，u+3v+8=0，T=x2+y2+u2+v2﹣2ux﹣2vy，则T的最小值为10．【考点】二维形式的柯西不等式．【分析】x+3y﹣2=0，u+3v+8=0，相减，整理可得（x﹣u）+3（y﹣v）=10．设x﹣u=m，y ﹣v=n，∴m+3n=10．T=x2+y2+u2+v2﹣2ux﹣2vy=（x﹣u）2+（y﹣v）2=m2+n2，利用柯西不等式，即可得出结论．【解答】解：x+3y﹣2=0，u+3v+8=0，相减，整理可得（x﹣u）+3（y﹣v）=10．设x﹣u=m，y﹣v=n，∴m+3n=10．T=x2+y2+u2+v2﹣2ux﹣2vy=（x﹣u）2+（y﹣v）2=m2+n2，∵（m2+n2）（1+9）≥（m+3n）2，∴m2+n2≥10，∴T的最小值为10．故答案为：10．14．已知曲线C的方程为F（x，y）=0，集合T={（x，y）|F（x，y）=0}，若对于任意的（x1，y1）∈T，都存在（x2，y2）∈T，使得x1x2+y1y2=0成立，则称曲线C为曲线，下列方程所表示的曲线中，是曲线的有①③⑤（写出所有曲线的序号）①2x2+y2=1；②x2﹣y2=1；③y2=2x；④|x|﹣|y|=1；⑤（2x﹣y+1）（|x﹣1|+|y﹣2|）=0．【考点】曲线与方程．【分析】由曲线的定义可知，具备曲线的条件是对于任意的P1（x1，y1）∈T，都存在P2（x2，y2）∈T，使得x1x2+y1y2=0成立，即OP1⊥OP2．然后逐个验证即可得到答案．【解答】解：对于任意P1（x1，y1）∈T，存在P2（x2，y2）∈T，使x1x2+y1y2=0成立，即OP1⊥OP2．对于①2x2+y2=1，∵2x2+y2=1的图象关于原点中心对称，∴对于任意P1（x1，y1）∈C，存在P2（x2，y2）∈C，使OP1⊥OP2．故2x2+y2=1为曲线；对于②x2﹣y2=1，当P1（x1，y1）为双曲线的顶点时，双曲线上不存在点P2（x2，y2）∈C，使OP1⊥OP2．故x2﹣y2=1不是曲线；对于③y2=2x，其图象关于y轴对称，OP1的垂线一定与抛物线相交，故y2=2x为曲线；对于④，当P1（x1，y1）为（1，0）时，曲线上不存在点P2（x2，y2）∈C，使OP1⊥OP2．故④不是曲线；对于⑤，由（2x﹣y+1）（|x﹣1|+|y﹣2|）=0可得2x﹣y+1=0或点（1，2），∴对于任意P1（x1，y1）∈C，存在P2（x2，y2）∈C，使OP1⊥OP2．故（2x﹣y+1）（|x﹣1|+|y﹣2|）=0为曲线．故答案为：①③⑤．二、选择题15．“直线l垂直于平面α内的无数条直线”是“l⊥α”的一个（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．【分析】直线l垂直于平面α内的无数条直线，若无数条直线是平行线，则l与α不一定平行，如果l⊥α，根据线面垂直的性质可知直线l垂直于平面α内的无数条直线，最后根据“若p⇒q为假且q⇒p为真，则p是q的必要不充分条件”可得结论．【解答】解：直线l垂直于平面α内的无数条直线，若无数条直线是平行线，则l与α不一定平行，如果l⊥α，根据线面垂直的性质可知直线l垂直于平面α内的无数条直线．故“直线l垂直于平面α内的无数条直线”是“l⊥α”的必要不充分条件．故选：B．16．曲线Γ：2x2﹣3xy+2y2=1（）A．关于x轴对称B．关于原点对称，但不关于直线y=x对称C．关于y轴对称D．关于直线y=x对称，也关于直线y=﹣x对称【考点】曲线与方程．【分析】由题意，x，y互换，方程不变；以﹣x代替y，以﹣y代替x，方程不变，即可得出结论．【解答】解：由题意，x，y互换，方程不变；以﹣x代替y，以﹣y代替x，方程不变，∴曲线Γ：2x2﹣3xy+2y2=1关于直线y=x对称，也关于直线y=﹣x对称，故选：D．17．下列中，正确的是（）A．若z1、z2∈C，z1﹣z2＞0，则z1＞z2B．若z∈R，则z•=|z|2不成立C．z1、z2∈C，z1•z2=0，则z1=0或z2=0D．z1、z2∈C，z12+z22=0，则z1=0且z2=0【考点】复数的基本概念．【分析】由已知条件利用复数的性质及运算法则直接求解．【解答】解：在A中，若z1、z2∈C，z1﹣z2＞0，则z1的实数大于z2的实部，z1与z2的虚部相等，z1与z2不能比较大小，故A错误；在B中，若z∈R，当z=0时，z•=|z|2成立，故B错误；在C中，z1、z2∈C，z1•z2=0，则由复数乘积的运算法则得z1=0或z2=0，故C正确；在D中，令Z1=1，Z2=i，则Z12+Z22=0成立，而Z1=0且Z2=0不成立，∴z1、z2∈C，z12+z22=0，则z1=0且z2=0不成立，故D错误．故选：C．18．如图，正方体ABCD﹣A1B1C1D1，则下列四个：①点P在直线BC1上运动，三棱锥A﹣D1PC的体积不变②点P在直线BC1上运动，直线AP与平面ACD1所成角的大小不变③点P在直线BC1上运动，二面角P﹣AD1﹣C的大小不变④点P是平面ABCD上到点D和C1距离相等的动点，则P的轨迹是过点B的直线．其中的真是（）A．①③B．①③④ C．①②④ D．③④【考点】棱柱的结构特征．【分析】①由正方体的性质可得：BC1∥AD1，于是BC1∥平面AD1C，可得直线BC1上的点到平面AD1C的距离不变，而△AD1C的面积不变，即可判断出结论．②由①可知：直线BC1上的点到平面AD1C的距离不变，而AP的大小在改变，可得直线AP与平面ACD1所成角的大小改变，即可判断出正误．③由①可知：点P到平面AD1C的距离不变，点P到AD1的距离不变，即可判断出二面角P﹣AD1﹣C的大小是否改变．④如图所示，不妨设正方体的棱长为a，设P（x，y，0），利用|PD|=|PC1|，利用两点之间的距离公式化简即可得出．【解答】解：①由正方体的性质可得：BC1∥AD1，于是BC1∥平面AD1C，因此直线BC1上的点到平面AD1C的距离不变，点P在直线BC1上运动，又△AD1C的面积不变，因此三棱锥A﹣D1PC的体积=不变．②点P在直线BC1上运动，由①可知：直线BC1上的点到平面AD1C的距离不变，而AP 的大小在改变，因此直线AP与平面ACD1所成角的大小改变，故不正确．③点P在直线BC1上运动，由①可知：点P到平面AD1C的距离不变，点P到AD1的距离不变，可得二面角P﹣AD1﹣C的大小不变，正确；④如图所示，不妨设正方体的棱长为a，D（0，0，0），C1（0，a，a），设P（x，y，0），∵|PD|=|PC1|，则=，化为y=a，因此P的轨迹是过点B的直线，正确．其中的真是①③④．故选：B．三、解答题19．如图，设计一个正四棱锥形冷水塔，高是3米，底面的边长是8米： （1）求这个正四棱锥形冷水塔的容积（冷水塔的厚度忽略不计）； （2）制造这个冷水塔的侧面需要多少平方米的钢板？【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积． 【分析】（1）求出正四棱锥形的体积即可； （2）求出斜高，在计算侧面积． 【解答】解：（1）V=S 正方形ABCD •h==64．∴正四棱锥形冷水塔的容积为64立方米．（2）取底面ABCD 的中心O ，AD 的中点M ，连结PO ，OM ，PM ． 则PO ⊥平面ABCD ，PM ⊥AD ， ∴PO=h=3，OM=，∴PM==5， ∴S △PAD ===20． ∴S 侧面积=4S △PAD =80．∴制造这个冷水塔的侧面需要80平方米的钢板．20．设直线y=x+2与双曲线﹣=1交于A、B两点，O为坐标原点，求：（1）以线段AB为直径的圆的标准方程；（2）若OA、OB所在直线的斜率分别是k OA、k OB，求k OA•k OB的值．【考点】双曲线的简单性质．【分析】（1）联立方程组，消去y得关于x的一元二次方程，利用中点坐标公式以及两点间的距离公式求出半径和圆心即可得到结论．（2）求出对应的斜率，结合根与系数之间的关系代入进行求解即可．【解答】解：（1）将直线y=x+2代入﹣=1得x2﹣4x﹣14=0，设A（x1，y1），B（x2，y2），则x1+x2=4，x1x2=﹣14，则AB的中点C的横坐标x=，纵坐标y=，即圆心C（2，3），|AB|====3，则半径R=，则圆的标准方程为（x﹣2）2+（y﹣3）2=．（2）若OA、OB所在直线的斜率分别是k OA、k OB，则k OA=，k OB=，则k OA•k OB=====﹣．21．已知复数α满足（2﹣i）α=3﹣4i，β=m﹣i，m∈R．（1）若|α+β|＜2||，求实数m的取值范围；（2）若α+β是关于x的方程x2﹣nx+13=0（n∈R）的一个根，求实数m与n的值．【考点】复数的代数表示法及其几何意义；复数代数形式的混合运算．【分析】（1）根据复数的混合运算和复数模的即可求出；（2）根据韦达定理即可求出．【解答】解：（1）∵（2﹣i）α=3﹣4i，∴a==2﹣i，∴α+β=2+m﹣2i，∵|α+β|＜2||，∴（2+m）2+4＜4（4+1），解得﹣6＜m＜2，∴m的取值范围为（﹣6，2），（2）α+β是关于x的方程x2﹣nx+13=0（n∈R）的一个根，则2+m+2i也是方程的另一个根，根据韦达定理可得，解的或22．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面是边长为2的正方形，PA⊥底面ABCD，E为BC 的中点，PC与平面PAD所成的角为arctan．（1）求证：CD⊥PD；（2）求异面直线AE与PD所成的角的大小（结果用反三角函数表示）；（3）若直线PE、PB与平面PCD所成角分别为α、β，求的值．【考点】直线与平面所成的角；异面直线及其所成的角．【分析】（1）由PA⊥平面ABCD得出PA⊥CD，又CD⊥AD得出CD⊥平面PAD，故而CD⊥PD；（2）以A为坐标原点激励空间直角坐标系，求出，的坐标，计算，的夹角即可得出答案；（3）求出平面PCD的法向量，则sinα=|cos＜，＞|，sinβ=|cos＜，＞|．【解答】证明：（1）∵PA⊥平面ABCD，CD⊂平面ABCD，∴PA⊥CD．∵四边形ABCD是正方形，∴CD⊥AD．又PA⊂平面PAD，AD⊂平面PAD，PA∩AD=A，∴CD⊥平面PAD，∵PD⊂平面PAD，∴CD⊥PD．（2）由（1）可知CD⊥平面PAD，∴∠CPD为PC与平面PAD所成的角．∴tan∠CPD=，∴PD=2．∴PA==2．以A为原点，以AB，AD，AP为坐标轴建立如图所示的空间直角坐标系，则A（0，0，0），E（2，1，0），P（0，0，2），D（0，2，0）．∴=（2，1，0），=（0，2，﹣2）．∴=2，||=，||=2，∴cos＜＞==．∴异面直线AE与PD所成的角为arccos．（3）∵C（2，2，0），B（2，0，0），∴=（﹣2，0，2），=（﹣2，﹣1，2），=（﹣2，0，0）．设平面PCD的法向量为=（x，y，z），则，∴，令z=1得=（0，1，1）．∴=1，=2．∴cos＜＞==，cos＜＞==．∴sinα=，sinβ=．∴=．23．在平面直角坐标系xOy中，动点P到定点F（0，﹣1）的距离与P到定直线y=﹣2的距离的比为，动点P的轨迹记为C．（1）求轨迹C的方程；（2）若点M在轨迹C上运动，点N在圆E：x2+（y﹣0.5）2=r2（r＞0）上运动，且总有|MN|≥0.5，求r的取值范围；（3）过点Q（﹣，0）的动直线l交轨迹C于A、B两点，试问：在此坐标平面上是否存在一个定点T，使得无论l如何转动，以AB为直径的圆恒过点T？若存在，求出点T的坐标．若不存在，请说明理由．【考点】直线与圆锥曲线的综合问题．【分析】（1）设点P（x，y），由题意可得：==，化简即可得出．（2）E（0，）．分类讨论：①r≥+，根据|MN|≥0.5，可得r≥++．②0＜r ＜+，设M，|MN|=|EN|﹣r，解得r≤|EN|﹣的最小值，即可得出r的取值范围．（3）把x=﹣代入椭圆的方程可得： +=1，解得y=±．取点T（1，0）时满足=0．下面证明：在此坐标平面上存在一个定点T（1，0），使得无论l如何转动，以AB为直径的圆恒过点T（1，0）．设过点Q（﹣，0）的动直线l的方程为：y=k（x+），A（x1，y1），B（x2，y2）．与椭圆方程化为：（18+9k2）x2+6k2x+k2﹣18=0，利用根与系数的关系、数量积运算性质可得=（x1﹣1）（x2﹣1）+=0．即可证明．【解答】解：（1）设点P（x，y），由题意可得：==，化为：x2+=1．（2）E（0，）．分类讨论：①r≥+，∵总有|MN|≥0.5，∴r≥++=+1．②0＜r＜+，设M，|MN|=|EN|﹣r，解得r≤|EN|﹣=﹣=﹣，∴．综上可得：r的取值范围是∪．（3）把x=﹣代入椭圆的方程可得： +=1，解得y=±．取A，B．取点T（1，0）时满足=0．下面证明：在此坐标平面上存在一个定点T（1，0），使得无论l如何转动，以AB为直径的圆恒过点T．设过点Q（﹣，0）的动直线l的方程为：y=k（x+），A（x1，y1），B（x2，y2）．联立，化为：（18+9k2）x2+6k2x+k2﹣18=0，∴x1+x2=，x1x2=．则=（x1﹣1）（x2﹣1）+y1y2=（x1﹣1）（x2﹣1）+=（1+k2）x1x2+（x1+x2）+1+=（1+k2）×﹣×+1+=0．∴在此坐标平面上存在一个定点T（1，0），使得无论l如何转动，以AB为直径的圆恒过点T．2016年9月27日。
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上海闵行中学高一期末数学试卷
2018.06
一. 填空题 1. 计算3lim
3
n n
n →∞=+
2. 观察下列等式：211=，2132+=，21353++=，213574+++=，可以猜想
135(21)n +++⋅⋅⋅+-=
3. 若tan 2θ=，则tan()4
π
θ+=
4. 函数()cos()5
f x x π
ω=-
最小正周期为
3
π
，其中0ω>，则ω=
5. 在等差数列{}n a 中，已知12a =，24a =-，则4a =
6. 在等比数列{}n a 中，已知12a =，24a =-，则4a =
7. 函数4sin 3cos y x x =+的最小值是
8. 无穷等比数列{}n a ，若11a =，各项之和为2
3
，则公比q = 9.
ABC 的三边分别为a 、b 、c ，已知2a =，3b =，120ACB ︒∠=，则边长c =
10. 已知()(1)(2)2f k k k k k =+++++⋅⋅⋅+()k ∈*N ，则(1)()f k f k +-= 11. 在
ABC ，给出下列四个命题：
① 若3
B π
=
，10a =，7b =，则该三角形有且仅有两解； ② 若三角形的三边长的比是3:5:7，则此三角形的最大角为
23
π；
③ 若ABC ∆为锐角三角形，且三边长分别为2、3、x ，则x x <④ 若222
sin sin sin sin sin A B C B C ≤+-，则角A 的取值范围是(0,]3
π
.
其中所有正确命题的序号是
12. 将正偶数集合{2,4,6,}⋅⋅⋅从小到大按第n 组有2n 个偶数进行分组，第一组：{2,4}，第 二组：{6,8,10,12}，第三组：{14,16,18,20,22,24}，…，则2018位于第 组 13. 为了竖一块广告牌，要制造三角形支架，如图，要求
60ACB ︒∠=，BC 的长度大于1米，且AC 比AB 长0.5
米，为了稳固广告牌要求AC 越短越好，则AC 最短为 米
14. 已知n S 为数列{}n a 的前n 项和，且22
111n n n a a a ++-=-， 2
1313
S a =，则{}n a 的首项的所有可能值为
二. 选择题 15. “6
πα=
”是“1
cos 22α=”的（ ）
A. 充分不必要条件
B. 必要不充分条件
C. 充要条件
D. 既不充分也不必要条件
16. 在数列{}n a 中，如果412n a n =-()n ∈*N ，那么使这个数列的前n 项和n S 取得最大值时n 的值为（ ）
A. 19
B. 20
C. 21
D. 22 17. 在等差数列{}n a 中，已知1k a =，21sin k a θ+=，则2k a +=（ ）
A. 2cos θ
B. 2
cos θ- C. cos2θ D. cos 2θ-
18. 将()sin(2)6
f x x π
=-
的图像向右平移
12π
个单位后得到的图像的一条对称轴是（ ） A. 4x π= B. 38
x π= C. 512x π= D. 724x π
=
19. 若{}n a 是等差数列，则下列数列中仍为等差数列的个数有（ ）
① {21}n a +；② 2
{}n a ；③ 1{}n n a a +-；④ {2}n a n +.
A. 1个
B. 2个
C. 3个
D. 4个 20. 数列{}n a 满足121a a ==，122cos 3
n n n n a a a π
++++=()n ∈*N ，若数列{}n a 的前n 项 和为n S ，则2018S 的值为（ ）
A. 334-
B. 672-
C. 674
D. 2018
三. 解答题
21. 在等差数列{}n a 中，21a =-，1321a a +=-.
（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）设{}n a 的前n 项和为n S ，若99k S =-，求k .
22. 已知函数()2sin()2cos 6
f x x x π
=+-，[,]2x π
π∈.
（1）若4
sin 5
x =，求函数()f x 的值；（2）求函数()f x 的值域.
23. 设数列{}n a 的前n 项和为22n S n =，在数列{}n b 中，11b =，13n n b b +=()n ∈*N . （1）求{}n a 和{}n b 的通项公式；
（2）设n n n c a b =，求数列{}n c 前n 项和n T .
24. 某广场有一块不规则的绿地如图所示，城建部门欲在该地上建造一个底座为三角形的 环境标志，小李、小王设计的底座形状分别为ABC 、ABD ，经测量7AD BD ==米，
5BC =米，8AC =米，C D ∠=∠.
（1）求AB 的长度；
（2）若环境标志的底座每平方米造价为5000元， 不考虑其他因素，小李、小王谁的设计使建造费 用较低（请说明理由）？较低造价为多少？
25. 已知n 为正整数，{}n a 满足0n a >，221
4(1)0n
n n a na ++-=，设数列{}n b 满足2n
n n a b t
=.
（1）求证：数列
为等比数列；
（2）若数列{}n b 是等差数列，求实数t 的值；
（3）若数列{}n b 是等差数列，前n 项和为n S ，对任意的n ∈*
N ，均存在m ∈*
N ，使得
24211816n m a S a n b -=成立，求满足条件的所有整数1a 的值.
参考答案
一. 填空题
1. 3
2. 2n ，n ∈*
N 3. 3- 4. 6 5. 16- 6. 16-
7. 5 8. 1
2
-
9. 10. 33k + 11. ②③④ 12. 32
13. 2+ 14. 12-
二. 选择题
15. A 16. B 17. D 18. C 19. C 20. C
三. 解答题
21.（1）23n a n =-+；（2）11k =.
22.（1）()2sin()6f x x π
=-
，[,]2x ππ∈，()f x =；（2）[1,2].
23.（1）42n a n =-，13n n b -=，n ∈*
N ；（2）错位相减，(22)32n n T n =-⋅+.
24.（1）cos cos C D =，∴7AB =；（2）小李，ABC ABD S S ==
25.（1）公比为2；（2）4t =；（3）12a k =，k ∈*
N .。