2018年中考数学方法技巧：专题五-转化思想训练(含答案)
数学转化思想
转化思想转化思想就是解决数学问题得一种最基本得数学思想，在研究数学问题时，我们通常就是将未知问题转化为已知得问题，将复杂得问题转化为简单得问题，将抽象得问题转化为具体得问题，将实际问题转化为数学问题，我们也常常在不同得数学问题之间互相转化，可以说在解决数学问题时转化思想几乎就是无处不在得。
例题分析 例1 解方程组x x x y x x y ()()++=++=⎧⎨⎩13514445242分析：从表面上瞧此题属于二元三次方程组得求解问题，超过我们所掌握得知识范围，但仔细分析可将方程组变形为()()()()x x x y x x x y 22351443524++=+++=⎧⎨⎪⎩⎪，再利用换元法，问题就迎刃而解了。
解：设x x u x y v 235+=+=，原方程组可化为u v u v ⋅=+=⎧⎨⎩14424解之，得u v ==⎧⎨⎩1212即x x x y 2123512+=+=⎧⎨⎩解之，得x y 11448=-=⎧⎨⎩.x y 22306==⎧⎨⎩. 例2若m 、n 、p 同时满足下面二式：23572351111mnpm n p ++=++=-+，，求23511m n p +-++得取值范围。
分析：直接利用已知条件中得两个等式得到23511m n p +-++得取值范围不好下手，如果换个角度考虑2351111m n p -+++=可变形为2235511mn p ++⋅=，令2m a =，3n b =，5p c =，则已知条件可转化为方程组a b c ab c ++=++=⎧⎨⎪⎩⎪72511，进而找到a 、b 与c 得关系，可以确定所求式子得取值范围。
解：设235mn p a b c ===，，，则a b c ab c ++=++=⎧⎨⎪⎩⎪7125112()()由(1)、(2)可得a c =-+88 (3)bc =-159 (4)此时，23525365111m n p a b c c +-++=++=- (5) Θa >0，由(3)得c >1Θb >0，由(4)得c <53∴<<153c ∴由(5)得3152351111<++<+-m n p例3 如图，∆ABC 中，BC ＝4，AC ACB =∠=︒2360，，P 为BC 上一点，过点P 作PD//AB ，交AC 于D 。
中考数学复习专题 转化思想(含答案)
转化思想一. 选择题：（本题10小题，在每小题给出的四个选项中，只有一项是正确的，请把正确的选项选出来．每小题选对得4分；共40分）1、用换元法解方程xx x x +=++2221时，若设x 2+x=y, 则原方程可化为（ ）A 、y 2+y+2=0B 、y 2－y －2=0C 、y 2－y+2=0D 、y 2+y －2=0 2、如图，已知ABC ∆外有一点,P 满足PC PB PA ==，则（ ） A 、2231∠=∠ B 、21∠=∠ C 、221∠=∠ D 、2,1∠∠的大小无法确定3、小敏在今年的校运动会跳远比赛中跳出了满意一跳，函数23.54.9h t t =-（t 的单位：s ，h 的单位：m ）可以描述他跳跃时重心高度的变化，则他起跳后到重心最高时所用的时间是（ ）A 、0.71sB 、 0.70sC 、0.63sD 、0.36s 4、已知如图：ΔABC 中，∠C=90°，BC=AC ，以AC 为直径的圆交AB 于D ，若AD=8cm ，则阴影部分的面积为（ ） A 、64πcm 2B 、64 cm 2C 、32 cm 2D 、48 πcm 25、已知实数x 满足01122=+++x x xx ，那么x x 1+的值为（ ） A 、1或-2 B 、-1或2 C 、1 D 、-26、如图，在半圆的直径上作4个正三角形，如这半圆周长为1C ，这4个正三角形的周长和为2C ，则1C 和2C 的大小关系是（ ）第2题 第3题第4题第6题A 、1C >2CB 、1C <2C C 、1C =2CD 、不能确定 7.如图，点A 、D 、G 、M 在半圆O 上，四边形ABOC 、DEOF 、HMNO 均为矩形，设BC=aEF=b ，NH=c ，则下列各式中正确的是 A 、a ＞b ＞c B 、a=b=c C 、c ＞a ＞bD 、b ＞c ＞a8. 如图，梯形ABCD 中，AB//DC ，AB ＝a ，BD ＝b ，CD ＝c ，且a 、b 、c 使方程ax bx c 220-+=有两个相等实数根，则∠DBC 和∠A 的关系是（ ） A. ∠=∠DBC A B. ∠≠∠DBC AC. ∠>∠DBC AD. ∠<∠DBC A9. 如图，圆锥的母线长是3，底面半径是1，A 是底面圆周 上从点A 出发绕侧面一周，再回到点A 的最短的路线长是( ) (A) 36 (B)233 (C) 33 (D) 3 10. 已知a 、b 、c 是∆ABC 三边的长，b>a ＝c ，且方程ax bx c 220-+=两根的差的绝对值等于2，则∆ABC 中最大角的度数是（ ） A. 90︒B. 120︒C. 150︒D. 60︒二、填空题：（本大题共4小题，每小题5分，共20分，）11、一位美术老师在课堂上进行立体模型素描教学时，把14个棱长为1分米的正方体摆在课桌上成如图形式，然后他把露出的表面都涂上不同的颜色，则被他涂上颜色部分的面积为__________12、某同学在电脑中打出如下排列的若干个圆（图中●表示实心圆，○表示空心圆）：● ○●●○●●●○●●●●○●●●●●○●●●●●●○若将上面一组圆依此规律复制得到一系列圆，那么前2007个圆中有 个空心圆； 13、二次函数y=ax 2+bx+c （a ≠0）的部分对应值如下表，则不等式ax 2+bx+c>0的解集为 ．HN O F CA DGMcab E B第7题第8题 D C12 A B 第9题第11题y(元)12x－3－2－101234y60－4－6－6－4065第13题038x(公里)第14题14.我市某出租车公司收费标准如图所示，如果小明只有19元钱，那么他乘此出租车最远能到达公里处．三、解答题：（共6小题，第15题10分、第16题10分、第17题10分、第18题9分、第19题10分、第20题11分）15、某数学兴趣小组，利用树影测量树高．已测出树AB的影长AC为9米，并测出此时太阳光线与地面成30°夹角．（1）求出树高AB；（2）因水土流失，此时树AB沿太阳光线方向倒下，在倾倒过程中，树影长度发生了变化，假设太阳光线与地面夹角保持不变，试求树影的最大长度．（计算结果精确到0.1米，参考数据：2≈1.414，3≈1.732）B太阳光线30°A C第15题16．一天上行6点钟，汪老师从学校出发，乘车上市里开会，8点准时到会场，中午12点钟回到学校，他这一段时间内的行程S （km ）（即离开学校的距离）与时间（h ）的关系可用图4中的折线表示，根据图4提供的有关信息，解答下列问题： （1）开会地点离学校多远？（2）求出汪老师在返校途中路程S （km ）与时间t （h ）的函数关系式；（3）请你用一段简短的话，对汪老师从上午6点到中午12点的活动情况进行描述．17、已知正方形ABCD 的边长AB=k （k 是正整数），正△PAE 的顶点P 在正方形内，顶点E在边AB 上，且AE=1. 将△PAE 在正方形内按图1中所示的方式，沿着正方形的边AB 、BC 、CD 、DA 、AB 、……连续地翻转n 次，使顶点．．P ．第一次回到原来的起始位置. （1）如果我们把正方形ABCD 的边展开在一直线上，那么这一翻转过程可以看作是△PAE 在直线上作连续的翻转运动. 图2是k =1时，△PAE 沿正方形的边连续翻转过程的展开示意图. 请你探索：若k =1，则△PAE 沿正方形的边连续翻转的次数n = 时，顶点．．P ．第一次回到原来的起始位置.（2）若k =2，则n = 时，顶点．．P ．第一次回到原来的起始位置；若k =3，则 n = 时，顶点．．P ．第一次回到原来的起始位置. （3）请你猜测：使顶点．．P ．第一次回到原来的起始位置的n 值与k 之间的关系（请用含k 的代数式表示n ）.A B CDP E 图1 A B C D P (E)C D A B C D A B C D A B A BC D 图2 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 0 2040 60 t (h ) s (km ) 图418、如图，∆ABC 中，BC ＝4，AC ACB =∠=︒2360，，P 为BC 上一点，过点P 作PD//AB ，交AC 于D 。
中考数学专题复习——化归转化(附答案)
中考复习--化归思想Ⅰ、专题精讲：数学思想是数学内容的进一步提炼和概括，是对数学内容的种本质认识，数学方法是实施有关数学思想的一种方式、途径、手段，数学思想方法是数学发现、发明的关键和动力．抓住数学思想方法，善于迅速调用数学思想方法，更是提高解题能力根本之所在．因此，在复习时要注意体会教材例题、习题以及中考试题中所体现的数学思想和方法，培养用数学思想方法解决问题的意识．初中数学的主要数学思想是化归思想、分类讨论思想、数形结合思想等．本专题专门复习化归思想．所谓化归思想就是化未知为已知、化繁为简、化难为易．如将分式方程化为整式方程，将代数问题化为几何问题，将四边形问题转化为三角形问题等．实现这种转化的方法有：待定系数法、配方法、整体代人法以及化动为静、由抽象到具体等． Ⅱ、典型例题剖析【例1】（嘉峪关，8 分）如图3－1－1，反比例函数y =－8x与一次函数y =－x +2的图象交于A 、B 两点． （1）求 A 、B 两点的坐标； （2）求△AOB 的面积．解：⑴解方程组82y xy x ⎧=-⎪⎨⎪=-+⎩得121242;24x x y y ==-⎧⎧⎨⎨=-=⎩⎩所以A 、B 两点的坐标分别为A （－2，4）B (4，－2 （2）因为直线y =－x +2与y 轴交点D 坐标是(0， 2）， 所以11222,24422AOD BOD S S ∆∆=⨯⨯==⨯⨯= 所以246AOB S ∆=+=点拨：两个函数的图象相交，说明交点处的横坐标和纵坐标，既适合于第一个函数，又适合于第二个函数，所以根据题意可以将函数问题转化为方程组的问题，从而求出交点坐标．【例2】（自贡，5分）解方程：22(1)5(1)20x x ---+=解：令y = x —1，则2 y 2—5 y +2=0． 所以y 1=2或y 2=12 ，即x —1＝2或x —1=12 ．所以x ＝3或x =32 故原方程的解为x ＝3或x =32点拨：很显然，此为解关于x －1的一元二次方程．如果把方程展开化简后再求解会非常麻烦，所以可根据方程的特点，含未·知项的都是含有（x —1）所以可将设为y ，这样原方程就可以利用换元法转化为含有y 的一元二次方程，问题就简单化了．【例3】（达川模拟，6分）如图 3－1－2，梯形 ABCD 中，AD ∥BC ，AB =CD ，对角线AC 、BD 相交于O 点，且AC ⊥BD ，AD =3,BC =5，求AC 的长．解：过 D 作DE ⊥AC 交BC 的延长线于E ，则得AD =CE 、AC =DE ．所以BE =BC +CE =8． 因为 AC ⊥BD ，所以BD ⊥DE ．因为 AB =CD ， 所以AC ＝BD ．所以GD =DE ． 在Rt △BDE 中，BD 2＋DE 2=BE 2所以BD 2BE =4 2 ，即AC =4 2 .点拨：此题是根据梯形对角线互相垂直的特点通过平移对角线将等腰梯形转化为直角三角形和平行四边形，使问题得以解决．【例4】（新泰模拟，5分）已知△ABC 的三边为a ，b ，c ，且222a b c ab ac bc++=++，试判断△ABC 的形状． 解：因为222a b c ab ac bc ++=++，所以222222222a b c ab ac bc++=++，即：222()()()0a b b c a c -+-+-=所以a =b ，a =c ， b =c 所以△ABC 为等边三角形．点拨：此题将几何问题转化为代数问题，利用凑完全平方式解决问题．【例5】（临沂，10分）△ABC 中，BC ＝a ，AC ＝b ，AB ＝c ．若90C ∠=︒，如图l ，根据勾股定理，则222a b c +=．若△ABC 不是直角三角形，如图2和图3，请你类比勾股定理，试猜想22a b +与c 2的关系，并证明你的结论．证明：过B 作BD ⊥AC ，交AC 的延长线于D ．设CD 为x ，则有222BD a x =- 根据勾股定理，得2222()b x a x c++-=．即2222a b bx c ++=． ∵0,0b x >>，∴20bx >，∴222a b c +<．点拨：勾股定理是我们非常熟悉的几何知识，对于直角三角形三边具有：222a b c +=的关系，那么锐角三角形、钝角三角形的三边又是怎样的关系呢？我们可以通过作高这条辅助线，将一般三角形转化为直角三角形来确定三边的关系. Ⅲ、同步跟踪配套试题： （60分 45分钟）一、选择题（每题 3分，共 18分） 1．已知|x +y |+（x －2y ）2=0，则（ ） 1. 1x A y =-⎧⎨=-⎩ 2 . 1x B y =-⎧⎨=-⎩ 2.1x C y =⎧⎨=⎩ 1.2x D y =⎧⎨=⎩2．一次函数y =kx ＋b 的图象经过点A （0，－2）和B （－3，6）两点，那么该函数的表达式是（ ） 8.26 .23A yx B y x =-+=--8.86 .23C yx D y x =--=--3．设一个三角形的三边长为3，l －2m ，8，则m 的取值范围是（ ）A ．0＜m ＜12B . －5＜m － 2C ．－2＜m ＜5D ．－72 ＜m ＜－l4．已知11553x xy y x yx xy y+--=--，则的值为（ ）A 、72B 、－72C 、27D 、－275．若24(2)16x m x +-+是完全平方式，则m =（ ）A ．6B ．4C ．0D ．4或06．如果表示a 、b 为两个实数的点在数轴上的位置如图3－l －8所示，那么化简||a b - ），A ．2aB ．2bC ．－2aD ．－2b 二、填空题（每题2分，共u 分） 7．已知抛物线2yax bx c=++的对称轴为直线x =2，且经过点（5，4）和点（1,4）则该抛物线的解析式为____________．8．用配方法把二次函数 y =x 2＋3x ＋l 写成 y =（x +m ）2＋n 的形式，则y =____________． 9．若分式293x x -+的值为零，则x =________．10函数y 1x -中自变量x 的取值范围是_______.11如果长度分别为5、3、x 的三条线段能组成一个三角形，那么x 的范围是_______. 12 点（1，6）在双曲线y = kx 上，则k =______．三、解答题（l 题12分，其余每题6分，共30分） 13．解下歹方程（组）： （1）2x+123611x x +=--; (2)3x6401(1)x x x x -+-=--(3) x+y=102x-y=-1⎧⎨⎩ (4) 215x y x y -=-⎧⎨-+=⎩14．已知2286250,x y x y ++++=求代数式224442y x x xy yx y--+++2x 的值。
2018年高三最新 高考数学中的转化问题 精品
高考数学中的转化问题转化思想是数学的基本思想方法之一。
它是在处理问题时把那些待解决的或难解决的问题，通过某种转化过程，归结为一类已经解决或比较容易解决的问题，最终求得原问题的解答的一种数学思想。
掌握由未知向已知转化，新知识向旧知识转化，不熟悉问题向熟悉问题转化，不规范问题向规范问题转化，和把实际问题转化为数学问题等的一般方法。
一、代数问题中的转化思想例1 不等式x ＞ax +23的解集为（4，b ），试求a ，b 的值。
例2 已知：a ＞b ≥0，求证：b a b a +-≤ααsin sin b a b a -+≤ba ba -+。
例3 对任意a ∈[-1，1]，函数f （x ）=x 2 +（a - 4）x + 4 - 2a 的值总大于零，求x 的取值范围。
例4 已知数列{a n }中，a 1= 1，a n = 1222-n nS S （n ≥2），求通项a n 及前n 项和S n 。
例5 已知a ≥0，a ∈R ，|z|z + az + i = 0，求复数z 。
例6 已知关于x 的实系数二次方程x 2 + ax + b = 0有两个实数根α，β，证明：① 如果|α| ＜2，|β| ＜2，那么2|a| ＜4 + b ，且|b| ＜4； ② 如果2|a| ＜4 + b ，|b| ＜4，那么|α| ＜2，且|β| ＜2。
例7 在等比数列{a n }中，a 1 ＞1，前n 项和S n 满足∞→n lin S n =11a ，那么a 1 的取值范围是A （1，+ ∞）B （1，4）C （1，2）D （1，2） 例8 证明不等式：1+21+31+41+ …+n1＜2n例9 设复数z = 3cos θ+2isin θ，求函数y =θ- argz ，当0＜θ＜2π时的最大值及对应的θ值。
一般地说，转化的方向是由解题目标决定的。
它总是力求使原来的问题变得简单一点，熟悉一点。
至于转化的手段，则涉及到到各种各样的具体方法与技巧，在本节中用转化思想解决不等式、数列、复数等问题不仅是为解出答案，更重要的是培养辩证思维的能力和分析、解决问题的能力。
2018中考数学满分冲刺讲义：第5讲分析特征转化——整体思考(含答案)
（1）求抛物线C的函数表达式．
（2）若抛物线C′与抛物线C在y轴右侧有两个不同的公共
点，求m的取值范围．
第5讲、分析特征转化——整体思考（讲义）
1.如图，在平面直角坐标系中，等腰直角三角形ABC的顶点A的坐标为(0，-1)，顶点C在第一象限，直角顶点B在第四象限，且AB∥x轴．已知抛物线 过A，B两点，顶点为P．
（1）求点B，C的坐标．
（2）平移抛物线 ，使顶点P在直线AC上滑动，且与AC交于另一点Q．若点M在直线AC下方，且为平移前抛物线上的点，当以M，P，Q为顶点的三角形是等腰直角三角形时，求出所有符合条件的点M的坐标．
（1）求抛物线C2的解析式．
（2）探究四边形ODAB的形状，并证明你的结论．
（3）如图2，将抛物线C2向下平移m个单位（m＞0）得到抛物线C3，C3的顶点为G，与y轴交于点M．点N是点M关于x轴的对称点，点P 在直线MG上．当m为何值时，在抛物线C3上存在点Q，使得以M，N，P，Q为顶点的四边形为平行四边形？
（2）如图2，直线AB上有一点K(3，4)，将二次函数 沿直线BC平移，平移的距离是t（t≥0），平移后抛物线上点A，C的对应点分别为点A′，C′．当△A′C′K是直角三角形时，求t的值．
图1图2
3.
已知抛物线C1：y=x2．如图1，平移抛物线C1得到抛物线C2，C2经过C1的顶点O和A(2，0)，C2的对称轴分别交C1，C2于点B，D．
2.如图1，二次函数 的图象与一次函数y=kx+b（k≠0）的图象交于A，B两点，点A的坐标为(0，1)，点B在第一象限内，点C是二次函数图象的顶点，点M是一次函数y=kx+b（k≠0）的图象与x轴的交点，过点B作x轴的垂线，垂足为N，且S△AMO:S四边形AONB=1:48．
2019年浙江中考数学复习方法技巧专题五：转化思想训练(含答案)
方法技巧专题五转化思想训练转化思想是解决数学问题的根本思想，解数学题的过程其实就是逐渐转化的过程．常见的转化方法有：未知向已知转化，数与形的相互转化，多元向一元转化，高次向低次转化，分散向集中转化，不规则向规则转化，生活问题向数学问题转化等等．一、选择题1．[2019·山西] 我们解一元二次方程3x2－6x＝0时，可以运用因式分解法，将此方程化为3x(x－2)＝0，从而得到两个一元一次方程：3x＝0或x－2＝0，进而得到原方程的解为x1＝0，x2＝2.这种解法体现的数学思想是( )A．转化思想 B．函数思想C．数形结合思想 D．公理化思想2．[2019·扬州] 已知M＝29a－1，N＝a2－79a(a为任意实数)，则M、N的大小关系为( )A．M＜N B．M＝NC．M＞N D．不能确定3．[2019·十堰] 如图F5－1所示，小华从A点出发，沿直线前进10 m后左转24°，再沿直线前进10 m，又向左转24°，…，照这样走下去，他第一次回到出发地A点时，一共走的路程是( )A．140 m B．150 mC．160 m D．240 m图F5－14．[2019·徐州] 图F5－2是由三个边长分别为6，9，x的正方形所组成的图形，若直线AB将它分成面积相等的两部分，则x的值是( )图F5－2A．1或9 B．3或5C．4或6 D．3或6二、填空题5．[2019·烟台] 运行程序如图F5－3所示，从“输入实数x”到“结果是否＜18”为一次程序操作，若输入x后程序操作仅进行了一次就停止，则x的取值范围是________．图F5－36．[2019·达州] 如图F5－4，P是等边三角形ABC内一点，将线段AP绕点A顺时针旋转60°得到线段AQ，连结BQ.若PA＝6，PB＝8，PC＝10，则四边形APBQ的面积为________．图F5－47．[2019·宿迁] 如图F5－5，在矩形ABCD中，AD＝4，点P是直线AD上一动点，若满足△PBC是等腰三角形的点P有且只有3个，则AB的长为________．图F5－5三、解答题8．如图F5－6①，点O是正方形ABCD两条对角线的交点．分别延长OD到点G，OC到点E，使OG＝2OD，OE＝2OC，然后以OG、OE为邻边作正方形OEFG，连结AG，DE.(1)求证：DE⊥AG；(2)正方形ABCD固定，将正方形OEFG绕点O逆时针旋转α角(0°＜α＜360°)得到正方形OE′F′G′，如图②.①在旋转过程中，当∠OAG′是直角时，求α的度数；②若正方形ABCD的边长为1，在旋转过程中，求AF′长的最大值和此时α的度数，直接写出结果，不必说明理由．图F5－6参考答案1．A2．A [解析] ∵N－M＝a2－79a－(29a－1)＝a2－a＋1＝(a－12)2＋34＞0，∴M＜N.故选A.注：此题把比较两个式子的大小转化为比较两个代数式的差的正负．3．B [解析] ∵多边形的外角和为360°，这里每一个外角都为24°，∴多边形的边数为360°÷24°＝15.∴小华一共走的路程＝15×10＝150(m)．故选B.注：把问题转化为正多边形的周长．4．D [解析] 如图，把原图形扩充成矩形，则图中两个阴影部分的面积相等，于是可列方程x(9－x)＝6×(9－6)．整理，得x2－9x＋18＝0，解得x1＝3，x2＝6.故选D.注：此题体现了转化思想(把不规则图形转化为规则图形)和方程思想．5．x＜8 [解析] 由题意，得3x－6<18，解得x＜8.6．24＋9 3 [解析] 如图，连结PQ，则△APQ为等边三角形．∴PQ＝AP＝6.易知△APC≌△AQB，∴QB＝PC＝10.由勾股定理的逆定理，可知∠BPQ＝90°.∴S四边形APBQ＝S△BPQ＋S△APQ＝12×6×8＋34×62＝24＋9 3.故答案为24＋9 3.注：此题体现了分散向集中转化，即通过旋转把PA，PB，PC集中到△PBQ中．7．4或2 3 [解析] 设AD的中点为P1，无论AB多长，△P1BC都是等腰三角形，即点P1始终是符合条件的一个点．(1)如图①，当以点B(或点C)为圆心，以BC为半径的圆与直线AD相切时，符合条件的点有3个，此时AB＝BC＝4；(2)如图②，分别以点B(或点C)为圆心，以BC为半径的圆经过点P1时，符合条件的点也有3个．此时BP1＝BC＝4，AB＝2 3.综上所述，BA的长为4或2 3.注：将等腰三角形的个数转化为直线与圆的交点个数．8．解：(1)证明：如图，延长ED交AG于点H.∵O 为正方形ABCD 对角线的交点， ∴OA ＝OD ，∠AOG ＝∠DOE＝90°， ∵四边形OEFG 为正方形，∴OG ＝OE ， ∴△AOG ≌△DOE ， ∴∠AGO ＝∠DEO. ∵∠AGO ＋∠GAO＝90°， ∴∠DEO ＋∠GAO＝90°. ∴∠AHE ＝90°，即DE⊥AG.(2)①在旋转过程中，∠OAG ′成为直角有以下两种情况：(i)α由0°增大到90°的过程中，当∠OAG′为直角时，∵OA ＝OD ＝12OG ＝12OG′，∴在Rt △OAG ′中，sin ∠AG ′O ＝OA OG′＝12，∴∠AG ′O ＝30°， ∵OA ⊥OD ，OA ⊥AG ′， ∴OD ∥AG ′.∴∠DOG ′＝∠AG′O＝30°，即α＝30°.(ii)α由90°增大到180°的过程中，当∠OAG′为直角时，同理可求得∠BOG′＝30°， 所以α＝180°－30°＝150°.综上，当∠OAG′为直角时，α＝30°或150°. ②AF ′长的最大值是2＋22，此时α＝315°. 理由：当AF′的长最大时，点F′在直线AC 上，如图所示．∵AB ＝BC ＝CD ＝AD ＝1， ∴AC ＝BD ＝2，AO ＝OD ＝22. ∴OE ′＝E′F′＝2OD ＝ 2. ∴OF ′＝（2）2＋（2）2＝2. ∴AF ′＝AO ＋OF′＝22＋2.∵∠DOG′＝45°，∴旋转角α＝360°－45°＝315°.2019-2020学年数学中考模拟试卷一、选择题1．如图是光明中学乒乓球队队员年龄分布的条形图．这些年龄的众数、中位数依次分别是 ( )A.15，15B.15，15.5C.14.5，15D.14.5，14.52．如图，平行于x轴的直线与函数y1＝ax（a＞0，x＞0），y2＝bx（b＞0．x＞0）的图象分别相交于A、B两点，且点A在点B的右侧，在X轴上取一点C，使得△ABC的面积为3，则a﹣b的值为（）A．6 B．﹣6 C．3 D．﹣33．如图，O为坐标原点，△OAB是等腰直角三角形，∠OAB＝90°，点B的坐标为（0，），将该三角形沿x轴向右平移得到Rt△O′A′B′，此时点B′的坐标为（，），则线段OA在平移过程中扫过部分的图形面积为（）A.4B.3 D.14．定义：在平面直角坐标系中，圆心坐标和半径均为整数的圆称为“整圆”．如图，直线l：y＝﹣34x+12与x轴、y轴分别交于A，B两点，点P在x轴上，⊙P与l相切，当P在线段OA（点P与点O，A不重台）上运动时，使得⊙P成为整圆的点P个数是（）A.3个B.5个C.7个D.9个5．下列命题是真命题的是（ ） A ．一元二次方程一定有两个实数根 B ．对于反比例函数y ＝2x，y 随x 的增大而减小 C ．有一个角是直角的四边形是矩形 D ．对角线互相平分的四边形是平行四边形6．如图，四边形ABCD 内接于圆O ，AD ∥BC ，∠DAB ＝48°，则∠AOC 的度数是（ ）A ．48°B ．96°C ．114°D ．132°7．下列四个三角形中，与图中的三角形相似的是（ ）A ．B ．C ．D ．8．计算()15-3÷的结果等于( ) A ．-5B ．5C ．1-5D ．159．下列各式运算中，正确的是（ ）A ．a 3+a 2＝a 5B 3=C ．a 3•a 4＝a 12D ．2236()(0)a a a=≠10．如图，四边形OABC 是矩形，四边形ADEF 是正方形，点A 、D 在x 轴的负半轴上，点C 在y 轴的正半轴上，点F 在AB 上，点B 、E 在反比例函数y=kx(k 为常数，k≠0)的图象上，正方形ADEF 的面积为4，且BF=2AF ，则k 值为( )A．4 B．-4 C．6 D．-611．已知A，B两地相距120千米，甲、乙两人沿同一条公路从A地出发到B地，乙骑自行车，甲骑摩托车,图中DE，OC分别表示甲、乙离开A地的路程s（单位：千米）与时间t（单位：小时）的函数关系的图象，设在这个过程中，甲、乙两人相距y（单位：千米），则y关于t的函数图象是（）A．B．C．D．12．已知Rt△ABC的三边长为a，4，5，则a的值是（）A.3 C.3或 D.9或41二、填空题13．在一个不透明的纸箱里装有2个红球、1个黄球、1个蓝球，这些球除颜色外完全相同，小明从纸箱里随机摸出1个球，记下颜色后放回，再由小亮随机摸出1个球，则两人摸到的球颜色不同的概率为______ 14．计算：+（π﹣2）0+（﹣1）2017=_____．15．一组数据3，4，x，5，8的平均数是6，则该组数据的中位数是__________．16．袋子中有20个除颜色外完全相同的小球．在看不到球的条件下，随机地从袋子中摸出一个球，记录颜色后放回，将球摇匀．重复上述过程150次后，共摸到红球30次，由此可以估计口袋中的红球个数是__．17．已知等腰三角形两边的长分别是4cm和6cm，则它的周长是________cm.18．若一组数据2，3，x，5，7的众数为7，则这组数据的中位数为________.三、解答题19．某城市响应“绿水青山就是金山银山”的号召，准备在全市宣传开展“垃圾分类”活动，先对随机抽取的1000名公民的年龄段分布情况和对“垃圾分类”所持态度进行调查，并将调查结果分别绘成条形图（图1）、扇形图（图2）.（1）补全条形图；（2）扇形图中态度为“一般”所对应的扇形的圆心角的度数是；（3）这次随机调查中，年龄段是“25岁一下”的公民中“不赞成”的有5名，它占“25岁以下”人数的百分数是；（4）如果把所持态度中的“很赞同”和“赞同”统称为“支持”，这个城市总人口大约500万人，则对开展“垃圾分类”持“支持”态度的估计有多少万人？20．今年，某社区响应泰州市政府“爱心一日捐”的号召，积极组织社区居民参加献爱心活动．为了解该社区居民捐款情况，对社区部分捐款户数进行分组统计（统计表如下），数据整理成如图所示的不完整统计图．请结合图中相关数据回答下列问题：捐款分组统计表（1）本次调查的样本容量是多少？（2）求出C组的频数并补全捐款户数条形统计图．（3）若该社区有1000户住户，请估计捐款不少于200元的户数是多少？21．核电站第3号反应堆发生了爆炸．为了抑制核辐射进一步扩散，东电公司决定向6号反应堆注水冷却，铀棒被放在底面积为100m2、高为20m的长方体水槽中的一个圆柱体桶内，如图1所示，向桶内注入流量一定的水，注满后，继续注水，直至注满水槽为止(假设圆柱体桶在水槽中的位置始终不改变)．水槽中水面上升的高度 h 与注水时间 t 之间的函数关系如图2所示(铀棒的体积忽略不计)．(1)若圆柱体的体积为Vm 3，则将水槽中的水注入至与圆柱体等高时所需水量是多少？(用含V 的式子表示)； (2)求圆柱体的底面积；(3)若圆柱体的高为9m ，求注水的速度及注满水槽所用的时间．22．某公司准备购进一批产品进行销售，该产品的进货单价为6元/个．根据市场调查，该产品的日销售量y （个）与销售单价x （元/个）之间满足一次函数关系．关于日销售量y （个）与销售单价x （元/个）的几组数据如表：（1）求出y 与x 之间的函数关系式（不要求写出自变量的取值范围）及m 的值．（2）按照（1）中的销售规律，当销售单价定为17.5元/个时，日销售量为 个，此时，获得日销售利润是 ．（3）为防范风险，该公司将日进货成本控制在900（含900元）以内，按照（1）中的销售规律，要使日销售利润最大，则销售单价应定为多少？并求出此时的最大利润．23．如图，在一条不完整的数轴上从左到右有点A ，B ．将线段AB 沿数轴向右移动，移动后的线段记为A′B′，按要求完成下列各小题（1）若点A 为数轴原点，点B 表示的数是4，当点A′恰好是AB 的中点时，数轴上点B′表示的数为 ． （2）设点A 表示的数为m ，点A′表示的数为n ，当原点在线段A′B 之间时，化简|m|+|n|+|m ﹣n|．24．解不等式组21122x xx ->⎧⎪⎨⎪⎩…；并把其解集表示在数轴上．25．如图1，抛物线与x 轴交于点A （﹣1，0），B （3，0），与y 轴交于点C （0，﹣3），抛物线顶点为D ，连接AC ，BC ，CD ，BD ，点P 是x 轴下方抛物线上的一个动点，作PM ⊥x 轴于点M ，设点M 的横坐标为m ． （1）求抛物线的解析式及点D 的坐标；（2）试探究是否存在这样的点P ，使得以P ，M ，B 为顶点的三角形与△BCD 相似？若存在，请求出点P 的坐标；若不存在，请说明理由；（3）如图2，PM 交线段BC 于点Q ，过点P 作PE ∥AC 交x 轴于点E ，交线段BC 于点F ，请用含m 的代数式表示线段QF 的长，并求出当m 为何值时QF 有最大值．【参考答案】*** 一、选择题二、填空题13．5 814．﹣2．15．516．417．14或1618．5三、解答题19．（1）详见解析；（2）36°；（3）5%；（4）360万人.【解析】【分析】(1)用整体“1”减去已知年龄段所占的百分比，得出25~35岁所占的百分比即可补全条形统计图；（2）先求出态度为“一般”所占的百分比，再用所得结果乘以360°即可求出结果；（3）求出25岁以下的人数，用“不赞成”的人数除以25岁以下的人数，即可得解；（4）用样本估计总体即可求出结果.【详解】（1）25~35岁所占百分比为：1-10%-35%-25%-10%=20%，故条形图如下：（2）态度为“一般”的所占百分比为：1-18%-39%-33%=10%，∴态度为“一般”所对应的扇形的圆心角的度数是：360°×10%=36°；（3）1000×10%=100（人）∴“不赞成”的占的百分比为：5⨯100%=5%100⨯（万人）（4）72500=360【点睛】本题考查的是条形统计图和扇形统计图的综合运用．读懂统计图，从不同的统计图中得到必要的信息是解决问题的关键．条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据；扇形统计图直接反映部分占总体的百分比大小．20．（1）50；（2）C组的频数是：50×40%＝20；图见解析；（3）760.【解析】【分析】(1)根据样本的容量=A、B两组捐款户数÷A、B两组捐款户数所占的百分比即可求出(2)C组的频数=样本的容量×C组所占的百分比,进而可以补全捐款户数条形统计图;(3)捐款不少于200元的有C、D、E、两组,捐款不少于200元的户数=1000×D、E两组捐款户数所占的百分比;【详解】解：（1）调查样本的容量是：（10+2）÷（1﹣40%﹣28%﹣8%）＝50；（2）C组的频数是：50×40%＝20；补全捐款户数条形统计图如图所示：（3）估计捐款不少于200元的户数是：1000×（28%+8%+40%）＝760户．【点睛】此题综合考查了频数(率)分布表，扇形统计图，用样本估计总体，频数(率)分布直方图和扇形统计图，需要熟悉以上考点才能解答出此题21．(1)5V；(2)圆柱体的底面积为20m2；(3) 注水速度为10m3/s，注满水的时间为200s．【解析】 【分析】（1）由函数图象及已知可计算出将水槽中的水注入至与圆柱体等高时所需水量为90V÷18．（2）当注水18s 时，圆柱体刚好注满；当注水90s 时，水槽内的水面高度恰好是hm ，这时水的体积为100h ，据100h ＝90×118Sh ，求出S ； （3）由已知其速度为Sh18，再由10t ＝100×20，求出时间t ． 【详解】(1)90V÷18＝5V ．(2)设圆柱体的底面积为Sm 2，高为hm ． 100h ＝90×118Sh ，S ＝20，即圆柱体的底面积为20m 2(3)若h ＝9，则注水速度为Sh 18＝118×20×9＝10m 3/s 所以，10t ＝100×20，得t ＝200(s) 即注满水的时间为200s ． 【点睛】此题考查的是一次函数的应用，关键是由已知和函数图象，列算式求解．22．（1）y ＝﹣30x+600；m 的值为120；（2）75，862.5；（3）以15元/个的价格销售这批许愿瓶可获得最大利润1350元 【解析】 【分析】（1）观察可得该函数图象是一次函数，设出一次函数解析式，把其中两点代入即可求得该函数解析式，代入x=16求得m 的值即可；（2）把x=17.5代入y=-30x+600，可求日销售量，日销售利润=每个商品的利润×日销售量，依此计算即可；（3）根据进货成本可得自变量的取值，根据销售利润=每个商品的利润×销售量，结合二次函数的关系式即可求得相应的最大利润． 【详解】（1）y 是x 的一次函数，设y ＝kx+b ， 图象过点（10，300），（12，240），1030012240k b k b +=⎧⎨+=⎩ ， 解得：30600k b =-⎧⎨=⎩，∴y ＝﹣30x+600， 当x ＝16时，m ＝120；∴y与x之间的函数关系式为y＝﹣30x+600，m的值为120；（2）﹣30×17.5+600＝﹣525+600＝75（个），（17.5﹣6）×75＝11.5×75＝862.5（元），故日销售量为75个，获得日销售利润是862.5元；故答案为：75，862.5；（3）由题意得：6（﹣30x+600）≤900，解得x≥15．w＝（x﹣6）（﹣30x+600）＝﹣30x2+780x﹣3600，即w与x之间的函数关系式为w＝﹣30x2+780x﹣3600，w＝﹣30x2+780x﹣3600的对称轴为：x＝﹣7802(30)⨯-＝13，∵a＝﹣30＜0，∴抛物线开口向下，当x≥15时，w随x增大而减小，∴当x＝15时，w最大＝1350，即以15元/个的价格销售这批许愿瓶可获得最大利润1350元．【点睛】此题主要考查了二次函数的应用；要注意应该在自变量的取值范围内求最大值（或最小值）．23．（1）6；（2）﹣2m；2n﹣2m．【解析】【分析】（1）根据题意可知A′表示的数为2，根据AB的长度即可求解；（2）根据绝对值的定义，分情况讨论解答即可．【详解】（1）∵点B表示的数是4，当点A′恰好是AB的中点时，∴点A′表示的数为2，∴数轴上点B′表示的数为2+4＝6．故答案为：6；（2）①若点A'在原点的左侧，即m＜0，n＜0，|m|+|n|+|m﹣n|＝﹣m﹣n﹣m+n＝﹣2m；②若点A'在原点的右侧，即n＞0，|m|+|n|+|m﹣n|＝﹣m﹣n﹣m+n＝﹣m+n﹣m+n＝2n﹣2m．【点睛】本题考查数轴，有理数的加法等知识，解决此类题目时，能理解题意表示出各点表示的数是关键．24．1＜x≤4．【解析】【分析】先求出两个不等式的解集，再求其公共解．【详解】2x 1x 1x 22->⎧⎪⎨⎪⎩①②… 由①可得：x ＞1； 由②可得：x≤4，所以不等式组的解集为：1＜x≤4． 解集表示在数轴上为：【点睛】本题主要考查了一元一次不等式组解集的求法，其简便求法就是用口诀求解．求不等式组解集的口诀：同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小找不到（无解）． 25．（1）y ＝x 2﹣2x ﹣3，（1，﹣4）；（2）见解析;（3）见解析. 【解析】 【分析】（1）设抛物线解析式为：y ＝a （x+1）（x ﹣3）, 将C （0，-3），代入可求出解析式，根据抛物线的顶点坐标公式求出D 点即可. （2）由（1）可得BC ＝3 ，CD ＝，BD ＝，△BCD 是直角三角形，∠BCD ＝90°，再分情况讨论：①当△PMB ∽△BCD 时，得点P （2，﹣3）；②当△BMP ∽△BCD 时，点P 的坐标为（﹣，﹣）； （3）设QF 为y ，作FH ⊥PM 于点H ，先证明△FHP ∽△AOC ，得出PQ ＝＝2y ，根据点B 、C 的坐标得到直线BC 的表达式为：y ＝x ﹣3，设点P （m ，m 2﹣2m ﹣3），点Q （m ，m ﹣3），求出PQ ＝﹣m 2+3m ，即可解答. 【详解】解：（1）设抛物线解析式为：y ＝a （x+1）（x ﹣3）， 将C （0，-3），代入可得：﹣3a ＝﹣3，解得：a ＝1， 故抛物线的表达式为：y ＝x 2﹣2x ﹣3， 根据顶点坐标公式得出D 的坐标为∴点D 的坐标为（1，﹣4）；（2）由（1）知，点B 、C 、D 的坐标分别为（3，0）、（0，﹣3）、（1，﹣4）， 则BC ＝3 ，CD ＝，BD ＝，则△BCD 是直角三角形，∠BCD ＝90°， ①当△PMB ∽△BCD 时，则∠MPB ＝∠DBC ，即：tan ∠MPB ＝tan ∠DBC ＝ ，∵点M （m ，0），则点P （m ，m 2﹣2m ﹣3）， tan ∠MPB ＝，解得：m ＝2或3（舍去3）， 故点P （2，﹣3）；②当△BMP∽△BCD时，同理可得：点P（﹣，﹣）；故点P的坐标为：（2，﹣3）或（﹣，﹣）；（3）设QF为y，作FH⊥PM于点H，∵OB＝OC，∴∠OCB＝∠OBC＝45°则FH＝QH＝y，∵PE∥AC，PM∥OC，则∠PEM＝∠HFP＝∠CAO，∴△FHP∽△AOC，则PH＝3FH＝y，∴PQ＝＝2y，根据点B、C的坐标求出直线BC的表达式为：y＝x﹣3，则点P（m，m2﹣2m﹣3），点Q（m，m﹣3），所以PQ＝m﹣3﹣（m2﹣2m﹣3）＝﹣m2+3m，即：2y＝﹣m2+3m，则y＝，．∴当m＝时，QF有最大值．【点睛】主要考查了二次函数的解析式的求法和与几何图形结合的综合能力的培养．要会利用数形结合的思想把代数和几何图形结合起来，利用点的坐标的意义表示线段的长度，从而求出线段之间的关系．2019-2020学年数学中考模拟试卷一、选择题1．将一副三角板按照如图所示的位置摆放在同一水平面上，两条斜边互相平行，两个直角顶点重合，则∠1的度数是（ ）A.30oB.45oC.75oD.105o2．二次函数y ＝3（x ﹣1）2+2，下列说法正确的是（ ） A ．图象的开口向下B ．图象的顶点坐标是（1，2）C ．当x ＞1时，y 随x 的增大而减小D ．图象与y 轴的交点坐标为（0，2）3．甲、乙两人沿相同的路线由A 地到B 地匀速前进，A 、B 两地间的路程为20km ．他们前进的路程为s(km)，甲出发后的时间为t(h)，甲、乙前进的路程与时间的函数图象如图所示．根据图象信息，下列说法正确的是（ ）A ．甲的速度是4km/hB ．乙的速度是10km/hC ．乙比甲晚出发1hD ．甲比乙晚到B 地3h4．给出下列4个命题：①对顶角相等；②同位角相等；③在同一个圆中，同一条弦所对的圆周角都相等；④圆的内接四边形对角互补．其中，真命题为 （ ） A ．①②④B ．①③④C ．①④D ．①②③④5．合肥市统计局资料显示，2016年全市生产总值为6274.3亿元，2018年全市生产总值为7822.9亿元，假设2017年与2018年这两年的年平均增长率均为x ，则下列方程正确的是（ ） A.()6274.3127822.9x += B.()26274.3127822.9x += C.()26274.317822.9x +=D.()()6274.31127822.9x x ++=6．如图,AB ∥DC,ED ∥BC,AE ∥BD,那么图中与△ABD 面积相等的三角形有（ ）A.1个B.2个C.3个D.4个7．如图1，在Rt ABC ∆中，090C ∠=，点P 从点A 出发，沿A C B →→的路径匀速运动到点B 停止，作PD AB ⊥于点D ，设点P 运动的路程为x ，PD 长为y ，y 与x 之间的函数关系图象如图2所示，当12x =时，y 的值是（ ）A ．6B ．245C ．65D ．28．如图所示，在⊙O 中，半径OD ⊥弦AB 于点C ，连接AO 并延长交⊙O 于点E ，连接EC ，若AB=8，CD=2，则EC 的长度为( )A ．B ．8C ．D ．9．如图所示的几何体的俯视图为( )A ．B ．C ．D ．10．某足球生产厂计划生产4800个足球，在生产完1200个后，采用了新技术，工作效率比原计划提高了20%，结果共用了21天完成全部任务．设原计划每天生产x 个足球，根据题意可列方程为（ ）A ．12004800(120%)x ++＝21 B ．120048001200(120%)x x -++＝21 C ．12004800120020%x x-+＝21 D ．480048001200(120%)x x-++＝2111．下列运算正确的是（ ）A =B ．32a a a -=C ．236a a a ⋅=D ．842a a a ÷=12．一艘轮船从A 港出发，沿着北偏东63︒的方向航行，行驶至B 处时发现前方有暗礁，所以转向北偏西27︒方向航行，到达C 后需要把航向恢复到出发时的航向，此时轮船航行的航向向顺时针方向转过的度数为（ ）A.63︒B.27︒C.90︒D.50︒二、填空题13．在平面直角坐标系xOy 中，点P 到x 轴的距离为1，到y 轴的距离为2.写出一个．．符合条件的点P 的坐标________________.14．一个圆锥的母线长为5cm ，底面圆半径为3 cm ，则这个圆锥的侧面积是________cm 2(结果保留π)．15．如果等腰三角形的两边长分别为4和7，则三角形的周长为_____． 16．一元二次方程根的判别式的值等于______．17．2019年4月10日，全球六地同步发布“事件视界望远镜”获取的首张“黑洞”煕片，这个位于室女座足系团中的黑洞，质量约为太阳的6500000000倍．将6500000000用科学记数法表示为_____． 18．利用标杆测量建筑物的高度的示意图如图所示，若标杆的高为米，测得米，米,则建筑物的高为__米．三、解答题19．从甲地到乙地有A ，B ，C 三条不同的公交线路．为了解早高峰期间这三条线路上的公交车从甲地到乙地的用时情况，在每条线路上随机选取了500个班次的公交车，收集了这些班次的公交车用时（单位：分钟）的数据，统计如下：（1）将上面表格补充完整；（2）某天王先生和李女士从甲地到乙地，试用树状图或列表法求在早高峰期间刚好都坐同一条线路的概率；（3）小张从甲地到乙地，早高峰期间用时不超过45分钟，请问小张应该选择哪条线路？请说明理由． 20．已知抛物线y 1＝ax 2+bx 经过C （﹣2，4），D （﹣4，4）两点． （1）求抛物线y 1的函数表达式；（2）将抛物线y 1沿x 轴翻折，再向右平移，得到抛物线y 2，与y 2轴交于点F ，点E 为抛物线2上一点，要使以CD 为边，C 、D 、E 、F 四点为顶点的四边形为平行四边形，求所有满足条件的抛物线y 2的函表达式． 21．如图，AD ∥BC ，FC ⊥CD ，∠1＝∠2，∠B ＝60°．（1）求∠BCF 的度数；（2）如果DE 是∠ADC 的平分线，那么DE 与AB 平行吗？请说明理由． 22．如图，在▱ABCD 中，过A 、B 、C 三点的⊙O 交AD 于点E ，连接BE 、CE ，BE ＝BC ． （1）求证：△BEC ∽△CED ；（2）若BC ＝10，DE ＝3.6，求⊙O 的半径．23．某商店第一个月以每件100元的价格购进200件衬衫，以每件150元的价格售罄．由于市场火爆，该商店第二个月再次购进一批衬衫，与第一批衬衫相比，这批衬衫的进价和数量都有一定的提高，其数量的增长率是进价增长率的2.5倍，该批衬衫仍以每件150元销售．第二个月结束后，商店对剩余的50件衬衫以每件120元的价格一次性清仓销售，商店出售这两批衬衫共盈利17500元．设第二批衬衫进价的增长率为x ．（1）第二批衬衫进价为 元，购进的数量为 件．（都用含x 的代数式表示，不需化简） （2）求x 的值．24．如图，在ABC ∆中，AB AC =，90BAC ︒∠=，以AB 为直径的O 交BC 于点F ，连结OC ，过点B 作BDOC 交O 点D .连接AD 交OC 于点E .（1）求证：BD AE =.（2）若1OE =，求DF 的值.25．小明是“大三”学生，按照学校积分规则，如果他的学期数学成绩达到95分，就能获得“保研”资格．在满分为100分的期中、期末两次数学考试中，他的两次成绩的平均分为90分．如果按期中数学成绩占30%，期末数学成绩占70%计算学期数学成绩，那么小明能获得“保研”资格吗？请你运用所学知识帮他做出判断，并说明理由．【参考答案】***一、选择题二、填空题 13．()()()()21212121----，，，，，，，（写出一个即可） 14．15．15或1816．4117．5×10918．15三、解答题19．（1）166，50，23；（2）在早高峰期间刚好坐同一条线路的概率为13；（3）小张应选择C 线路．理由见解析.【解析】【分析】（1）直接利用总频数为500减去各组已知频数进而得出答案；（2）利用树状图列举出所有的结果即可；（3）分别计算出用时不超过45分钟的可能性大小即可得．【详解】（1）500-124-151-59=166，500-278-122-50=50，500-45-265-167=23；（2）画树状图如下：共有9种等可能结果，其中线路相同的有3种，所以在早高峰期间刚好坐同一条线路的概率为31 93 =；（3）∵A线路公交车用时不超过45分钟的可能性为591511660.752500++=，B线路公交车用时不超过45分钟的可能性为50501220.444500++=，C线路公交车用时不超过45分钟的可能性为452651670.954500++=，∵0.954＞0.752＞0.444，∴小张应选择C线路．【点睛】本题主要考查了树状图法求概率以及可能性大小，解题的关键是掌握频数估计概率思想的运用．20．（1）y＝﹣12x2﹣3x；（2）y2＝12（x+1）2﹣92或y2＝12（x﹣1）2﹣92．【解析】【分析】（1）将点C、D坐标代入抛物线表达式，即可求解；（2）变换后抛物线的表达式为：y2＝12（x+3﹣m）2﹣92，C、D、E、F四点为顶点的四边形为平行四边形，则点F（0，﹣4），将点F坐标代入y2表达式，即可求解．【详解】解：（1）将点C、D坐标代入抛物线表达式得：4241644a ba b-=⎧⎨-=⎩，解得：123ab⎧=-⎪⎨⎪=-⎩，故抛物线y1的函数表达式为：y＝﹣12x2﹣3x；（2）将抛物线y1沿x轴翻折的表达式为：y＝12（x+3）2﹣92，设再向右平移m个单位得：y2＝12（x+3﹣m）2﹣92，C、D、E、F四点为顶点的四边形为平行四边形，C（﹣2，4），D（﹣4，4），则CD∥x轴，则点F（0，﹣4），将点F坐标代入y2表达式得：﹣4＝12（0+3﹣m）2﹣92，解得：m＝2或4，故：y2＝12（x+1）2﹣92或y2＝12（x﹣1）2﹣92．【点睛】本题考查的是二次函数综合运用，涉及到图形平移、一次函数等知识，其中（2），利用四边形为平行四边形，确定点F的坐标，是本题解题的关键．21．（1）∠BCF＝30°；（2）DE∥AB,见解析．【解析】【分析】（1）根据平行线的性质和已知求出∠2＝∠1＝∠B，即可得出答案；（2）求出∠1＝∠B＝60°，根据平行线的性质求出∠ADC，求出∠ADE，即可得出∠1＝∠ADE，根据平行线的判定得出即可．【详解】（1）∵AD∥BC，∴∠1＝∠B＝60°，又∵∠1＝∠2，∴∠2＝60°，又∵FC⊥CD，∴∠BCF＝90°﹣60°＝30°；（2）DE∥AB．证明：∵AD∥BC，∠2＝60°，∴∠ADC＝120°，又∵DE是∠ADC的平分线，∴∠ADE＝60°，又∵∠1＝60°，∴∠1＝∠ADE，∴DE∥AB．【点睛】本题考查了平行线的性质和判定的应用，能综合运用定理进行推理是解此题的关键．22．(1)见解析；（2【解析】【分析】（1）证明两个等腰三角形相似，证明一个底角对应相等即可；（2）利用直径构造直角三角形，从而涉及到半径（直径），再利用垂径定理即可解决问题．【详解】（1）证明：∵BE＝BC，∴∠BEC＝∠BCE∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，AB∥CD．∴∠BCE＝∠DEC，∠A+∠D＝180°．∴∠BEC＝∠DEC∵四边形ABCD内接于⊙O，∴∠A+∠BCE＝180°．∴∠BCE＝∠D∴△BEC∽△CED即得证．（2）过点O作OF⊥CE，垂足为F，连接OC，如下图．∴CF＝12 CE，∴直线OF垂直平分CE，∵BE＝BC，∴直线OF经过点B，∵△BEC∽△CED，又由（1）可知CE＝CD，∴BC CE CE DE=，∵BC＝10，DE＝3.6，∴CE＝CD＝6∴CF＝12CE＝3，设⊙O的半径为r，可得BF=OF r，在Rt △OCF 中，OF 2+CF 2＝OC 2，r ）2+9＝r 2∴r ＝91，【点睛】本题考查的是相似三角形的判定与性质，尤其是对两个等腰三角形的判定更为特殊，利用直径构造直角三角形是相关问题中的常用思路．23．（1）100(1＋x)，200(1＋2.5x)．（2）20%．【解析】【分析】（1）根据增长率的定义以及数量的增长率是进价增长率的2.5倍即可得到结果；（2）根据利润等于第一次售罄的利润+（第二次-50件所得利润）+清仓销售的50件的利润，列出方程并求解即可.【详解】解：（1）第二批衬衫进价为100(1＋x)元，购进的数量为200(1＋2.5x)件，．（2）根据题意，得200×(150－100)＋[150－100(1＋x)][200(1＋2.5x)－50]＋50[120－100(1＋x)]＝17500．化简，得50x 2－5x －1＝0．解这个方程，得x 1＝15，x 2＝110-（不合题意，舍去）． 所以x 的值是20%．【点睛】本题主要考查了一元二次方程与销售问题，根据题意找到等量关系并列出方程是解题关键，注意要舍去不合题意的解.24．（1）证明见解析；（2）DF =【解析】【分析】(1)由AAS 证明ABD CAE △△≌即可解答；（2）证明OE 是△ABD 的中位线，可得BD=2OE=2，（1）中全等得AE=BD=2，由勾股定理得AO ，2AB AO ==，又因为Rt △ABC 是等腰直角三角形， ，由三线合一得BF=FC=12，因为在BDF △中，1tan tan 2BFD BAD ∠=∠=，所以设DH a =，则2FH a =，2BH a =，在Rt △BDH 中，由勾股定理得：22222)a a =+，解得15a =，。
中考数学专题练习 转化思想在代数中的应用(含解析) 试题
转化思想在代数中的应用一、填空题1．已知△ABC中，∠A、∠B、∠C的对边分别是a、b、c，若a、b是关于x的一元二次方程x2﹣（c+4）x+4c+8=0的两个根，判断△ABC 的形状．2．已知∠A为三角形一个内角，抛物线y=﹣x2+xcosA+2的对称轴是y轴，则∠A= 度．3．已知△ABC中，a、b、c分别是∠A、∠B、∠C的对边，若抛物线y=x2﹣2（a﹣b）x+c2﹣2ab的顶点在x轴上，判断△ABC的形状．4．在直角坐标系中，两圆的圆心都在y轴上，并且两圆相交于A、B 两点，若点A的坐标为（﹣2，tan60°），则点B的坐标为．5．设两圆半径分别为2、5，圆心距d使点A（6﹣2d，7﹣d ）在第二象限，判断两圆位置关系．6．a、b、c为△ABC的三条边，满足条件点（a﹣c，a）与点（0，﹣b）关于x轴对称，判断△ABC的形状．二、解答题7．如图所示，AD为⊙O的直径，一条直线l与⊙O 交于E、F两点，过A、D分别作直线l的垂线，垂足是B、C，连接CD交⊙O于G．（1）求证：AD•BE=FG•DF；（2）设AB=m，BC=n，CD=p，求证：tan∠FAD、tan∠BAF是方程mx2﹣nx+p=0的两个实数根．8．设关于x的二次方程（a2+1）x2﹣4ax+2=0的两根为x1，x2，若2x1x2=x1﹣3x2，试求a的值．9．△ABC中，AD是高，AD与AB的夹角为锐角α，Rt△ADC的面积和周长都为30，又x1、x2是关于x的方程8x2﹣4x﹣2cosα+1=0的两个实数根，且，求：（1）cosa的值．（2）AD和AC的长（“三角函数的值”的有关“代数式”作为方程的系数）10．如图所示，以正方形ABCD平行于边的对称轴为坐标轴建立直角坐标系，若正方形的边长为4．（1）求过B、E、F三点的二次函数的解析式；（2）求此抛物线的顶点坐标．（先转化为点的坐标，再求函数解析式）11．如图所示，在△ABC中，∠B=90°，AB=6厘米，BC=3厘米，点P从点A开始沿AB边向B以2厘米/秒的速度移动，点Q从点B开始沿BC边向点C以1厘米/秒的速度移动，如果P、Q分别从A、B同时出发，几秒钟后P、Q 间的距离等于2厘米？（把实际问题转化为几何问题）12．在直角坐标系xOy中，已知抛物线y=ax2+bx+c的开口向上，顶点P在直线y=﹣4x上，且P到坐标原点距离为，又知抛物线与x轴两交点A、B（A在B的左侧）的横坐标的平方和为10．（1）求此抛物线的解析式．（2）若Q是抛物线上异于A、B、P的点，且∠QAP=90°，求点Q的坐标．（利用“点坐标的绝对值等于线段长”沟通函数与几何，转化为点坐标用函数知识，转化为线段长用几何知识）13．已知抛物线y=（9﹣m2）x2﹣2（m﹣3）x+3m的顶点D在双曲线y=﹣上，直线y=kx+c经过点D和点C（a，b），且使y随x的增大而减小，a，b满足方程组，求这条直线的解析式．（a、b具有两重性，视为点的坐标用函数知识，视为方程的根用方程知识）．转化思想在代数中的应用参考答案与试题解析一、填空题1．已知△ABC中，∠A、∠B、∠C的对边分别是a、b、c，若a、b是关于x的一元二次方程x2﹣（c+4）x+4c+8=0的两个根，判断△ABC 的形状直角三角形．【考点】根与系数的关系．【专题】计算题．【分析】a、b是关于x的一元二次方程x2﹣（c+4）x+4c+8=0的两个根，则a+b=c+4，ab=4c+8，根据a，b，c之间的关系式即可判断．【解答】解：∵a、b是关于x的一元二次方程x 2﹣（c+4）x+4c+8=0的两个根，∴a+b=c+4，ab=4c+8，∴a2+b2=（a+b）2﹣2ab=（c+4）2﹣2（4c+8）=c2，∵∠A、∠B、∠C的对边分别是a、b、c，∴根据勾股定理，△ABC的形状为直角三角形．故答案为：直角三角形．【点评】本题考查了根与系数的关系，属于基础题，关键是掌握x1，x2是方程x2+px+q=0的两根时，x1+x2=﹣p，x1x2=q，然后根据勾股定理判断．2．已知∠A为三角形一个内角，抛物线y=﹣x2+xcosA+2的对称轴是y轴，则∠A= 90 度．【考点】二次函数的性质；特殊角的三角函数值．【专题】计算题；方程思想．【分析】先根据二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的对称轴是直线x=﹣及已知条件得出方程=0，再由特殊角的三角函数值及∠A为三角形一个内角，即可求出∠A的度数．【解答】解：∵抛物线y=﹣x2+xcosA+2的对称轴是直线x=﹣=，又∵抛物线y=﹣x2+xcosA+2的对称轴是y轴，即直线x=0，∴=0，∴cosA=0，又∵∠A＜180°，∴∠A=90°．故答案为90．【点评】本题主要考查了二次函数的性质及特殊角的三角函数值，难度中等．本题关键在于知道y轴的解析式为x=0，从而列出方程．3．已知△ABC中，a、b、c分别是∠A、∠B、∠C的对边，若抛物线y=x2﹣2（a﹣b）x+c2﹣2ab的顶点在x轴上，判断△ABC的形状直角三角形．【考点】二次函数图象上点的坐标特征；勾股定理的逆定理．【专题】计算题．【分析】抛物线y=x2﹣2（a﹣b）x+c2﹣2ab的顶点在x轴上，可知顶点的纵坐标为0，根据顶点的纵坐标公式，列方程求解．【解答】解：抛物线y=x2﹣2（a﹣b）x+c2﹣2ab的顶点在x轴上，∴=0，整理，得a2+b2=c2，∴△ABC为直角三角形．故本题答案为：直角三角形．【点评】本题是抛物线顶点纵坐标公式的运用．抛物线y=ax2+bx+c的顶点坐标为（﹣，）．4．在直角坐标系中，两圆的圆心都在y轴上，并且两圆相交于A、B两点，若点A的坐标为（﹣2，tan60°），则点B的坐标为（2，）．【考点】相交两圆的性质；坐标与图形性质．【专题】常规题型．【分析】根据相交两圆的连心线垂直平分两圆的公共弦，可知A、B两点关于y轴对称，再根据两点关于y轴对称，则纵坐标不变，横坐标互为相反数进行求解．【解答】解：∵圆心都在y轴上的两圆相交于A、B两点，相交两圆的连心线垂直平分两圆的公共弦，∴A、B两点关于y轴对称．∵点A的坐标为（﹣2，tan60°），∴B（2，），故答案为：（2，）．【点评】本题主要考查相交两圆的性质及坐标与图形的性质，解决本题的关键是由题意得出相交两圆的交点也关于y轴对称，从而解决问题．5．设两圆半径分别为2、5，圆心距d使点A（6﹣2d，7﹣d ）在第二象限，判断两圆位置关系两圆相交．【考点】圆与圆的位置关系；点的坐标．【专题】推理填空题．【分析】由点A在第二象限，得到d的取值范围，再与两圆的半径和与差进行比较，确定两圆的位置关系．【解答】解：因为点A在第二象限，所以，解得：3＜d＜7．而两圆的半径的差为3，和为7，因此两圆相交．故答案是：两圆相交．【点评】本题考查的是圆与圆的位置关系，根据第二象限点的特点，求出d的取值范围，然后与两圆的半径和与差进行比较，得到两圆的位置关系．6．a、b、c为△ABC的三条边，满足条件点（a﹣c，a）与点（0，﹣b）关于x轴对称，判断△ABC的形状等边三角形．【考点】关于x轴、y 轴对称的点的坐标．【专题】几何图形问题；压轴题．【分析】由两点关于x轴对称可得a﹣c=0，a=b，进而根据三角形三边关系判断△ABC的形状即可．【解答】解：∵点（a﹣c，a）与点（0，﹣b）关于x轴对称，∴a﹣c=0，a=b，∴a=b=c，∴△ABC是等边三角形，故答案为：等边三角形．【点评】主要考查两点关于x轴对称的坐标的特点：横坐标不变，纵坐标互为相反数．二、解答题7．如图所示，AD为⊙O的直径，一条直线l与⊙O交于E、F两点，过A、D分别作直线l的垂线，垂足是B、C，连接CD交⊙O于G．（1）求证：AD•BE=FG•DF；（2）设AB=m，BC=n，CD=p，求证：tan∠FAD、tan∠BAF是方程mx2﹣nx+p=0的两个实数根．【考点】圆周角定理；相似三角形的判定与性质．【专题】证明题．【分析】（1）连GF，过O点作OP⊥EF，P为垂足，则PE=PF，又DC⊥BC，AB⊥BC，则OP为直角梯形的中位线，得到PB=PC，则有BE=CF；由∠GFC=∠FAD，得到Rt△GFC∽Rt△ADF即可；（2）由AD为⊙O的直径，∠DFA=90°，则∠DFC+∠AFB=90°，得到∠DFC=∠ABF，则Rt△DFC∽Rt△FAB，得DF：FA=FC：AB=DC：FB，而tan∠FAD=、tan∠BAF=，再计算它们的和与积，即可证明tan∠FAD、tan∠BAF是方程mx2﹣nx+p=0的两个实数根．【解答】证明：（1）连GF，过O点作OP⊥EF，P为垂足，则PE=PF，如图，∵DC⊥BC，AB⊥BC，∴OP为直角梯形的中位线，∴PB=PC，∴BE=CF，又∵∠GFC=∠FAD，AD为⊙O的直径，∠DFA=90，∴Rt△GFC∽Rt△ADF，∴AD•BE=FG•DF；（2）∵∠DFA=90°，∴∠DFC+∠AFB=90°，∴∠DFC=∠FAB，∴Rt△DFC∽Rt△FAB，∴DF：FA=FC：AB=DC：FB，∵tan∠FAD=，tan∠BAF=，∴，∴tan∠FAD、tan∠BAF是方程mx2﹣nx+p=0的两个实数根．【点评】本题考查了圆周角定理的推论：直径所对的圆周角为90度．同时考查了直角梯形的中位线性质，三角形相似的判定与性质，一元二次方程根与系数的关系．8．设关于x的二次方程（a2+1）x2﹣4ax+2=0的两根为x1，x2，若2x1x2=x1﹣3x2，试求a的值．【考点】根与系数的关系．【专题】探究型．【分析】先根据一元二次方程根与系数的关系得出x1+x2及x1•x2，代入2x1x2=x1﹣3x2中即可求出a的值，再把所得a的值代入原方程检验即可．【解答】解：∵关于x的二次方程（a2+1）x2﹣4ax+2=0的两根为x1，x2，∴①，②∵2x1x2=x1﹣3x2，∴2x1x2+（x1+x2）=2（x1﹣x2），平方得4（x1x2）2+4x1x2（x1+x2）=3（x1+x2）2﹣16x1x2，将式①、②代入后，解得a=3，a=﹣1，当a=3时，原方程可化为10x2﹣12x+2=0，△=122﹣4×10×2=64＞0，原方程成立；当a=﹣1时，原方程可化为2x2+4x+2=0，△=42﹣4×2×2=0，原方程成立．∴a=3或a=﹣1．【点评】本题考查的是一元二次方程根与系数的关系，在解答此类题目时一定要把所得结果代入原方程进行检验，舍去不合题意的未知数的值．9．△ABC中，AD是高，AD与AB的夹角为锐角α，Rt△ADC的面积和周长都为30，又x1、x2是关于x的方程8x2﹣4x﹣2cosα+1=0的两个实数根，且，求：（1）cosa的值．（2）AD和AC的长（“三角函数的值”的有关“代数式”作为方程的系数）【考点】锐角三角函数的定义；根与系数的关系．【专题】计算题．【分析】（1）根据一元二次方程根的判别式以及余弦的定义，得到cosα的范围，然后利用根与系数的关系求出cosα的值．（2）在直角三角形中根据周长和面积都是30，可以列出两个方程，然后利用勾股定理计算能求出AD和AC的值．【解答】解：（1）因为方程有两个实数根，所以判别式为非负数．△=16﹣4×8（﹣2cosα+1）≥0，得到：cosα≥．∵0＜cosα＜1，∴≤cosα＜1．根据根与系数的关系有：x1+x2=，x1x2=32（x13x22+x12x23）=32（x1x2）2（x1+x2）=32××=整理得：﹣2cosα+1=±∴cosα=，cosα=﹣（舍去）；（2）根据直角三角形的周长和面积都是30以及勾股定理，得到：AD+DC=30﹣AC ①AD•DC=60 ②AD2+DC2=AC2=（AD+DC）2﹣2AD•DC∴AC2=（30﹣AC）2﹣120解得：AC=13．∴有①②有：AD+DC=17AD•DC=60解得：AD=5，DC=12，或AD=12，DC=5故AC的长为13，AD的长为5或12．【点评】本题考查的是三角函数的定义，（1）根据三角函数的定义一元二次方程根的判别式得到cosα的取值范围，然后利用根与系数的关系求出cosα的值．（2）根据直角三角形的周长和面积，运用勾股定理可以求出直角三角形的斜边和直角边．10．如图所示，以正方形ABCD平行于边的对称轴为坐标轴建立直角坐标系，若正方形的边长为4．（1）求过B、E、F三点的二次函数的解析式；（2）求此抛物线的顶点坐标．（先转化为点的坐标，再求函数解析式）【考点】待定系数法求二次函数解析式；正方形的性质．【专题】计算题．【分析】（1）根据B、E、F三点的坐标，设函数解析式为y=ax2+bx+c，即可求解；（2）把函数解析式化为顶点式后即可得出答案．【解答】解：（1）由题意知：点B（﹣2，﹣2），点E（0，2），点F（2，0），分别代入y=ax2+bx+c，解得：a=﹣，b=，c=2，故函数解析式为：；（2）∵y=﹣x2+x+2=﹣+，∴顶点坐标为（，）．【点评】本题考查了待定系数法求函数解析式，属于基础题，关键是正确设出二次函数解析式的一般形式．11．如图所示，在△ABC中，∠B=90°，AB=6厘米，BC=3厘米，点P从点A开始沿AB边向B以2厘米/秒的速度移动，点Q从点B开始沿BC边向点C以1厘米/秒的速度移动，如果P、Q分别从A、B同时出发，几秒钟后P、Q 间的距离等于2厘米？（把实际问题转化为几何问题）【考点】勾股定理．【专题】计算题；动点型．【分析】设t秒后PQ=，则BP=6﹣2t，BQ=3﹣t，在直角△BPQ中，根据勾股定理BP2+BQ2=PQ2可求t的值．【解答】解：在直角三角形中AB=6cm=2BC=2×3cm，且P的移动速度是Q的移动速度的2倍，∴BP，BQ满足BP=2BQ的关系设t秒后PQ=，则BP=6﹣2t，BQ=3﹣t，且（6﹣2t）2+（3﹣t）2=，解得t=1．答：1秒后PQ间的距离为2．【点评】本题考查了直角三角形中勾股定理的运用，本题中抓住BP=2BQ并且根据勾股定理求t是解题的关键．12．在直角坐标系xOy中，已知抛物线y=ax2+bx+c的开口向上，顶点P在直线y=﹣4x上，且P到坐标原点距离为，又知抛物线与x轴两交点A、B（A在B的左侧）的横坐标的平方和为10．（1）求此抛物线的解析式．（2）若Q是抛物线上异于A、B、P的点，且∠QAP=90°，求点Q的坐标．（利用“点坐标的绝对值等于线段长”沟通函数与几何，转化为点坐标用函数知识，转化为线段长用几何知识）【考点】二次函数综合题；二次函数图象上点的坐标特征；抛物线与x轴的交点；勾股定理．【分析】（1）由顶点P在直线y=﹣4x上，且P 到坐标原点距离为，可得出点P的坐标，再利用勾股定理可以解决，（2）假设出点Q的坐标，表示出AQ，QP的长度，利用勾股定理可以解决．【解答】解：（1）∵顶点P在直线y=﹣4x上，可设P（a1，﹣4a ），则有，解得：a=±1，∴P（1，﹣4）或（﹣1，4）．∵抛物线开口向上，又与x轴有交点，∴（﹣1，4）不合题意舍去．设y=a（x﹣1）2﹣4=ax2﹣2ax+a﹣4与x轴交于点A（x1，0）、B（{x2，0），，消x1、x2，解得a=1；（2）如图所示，设抛物线上点Q（m，n），过Q作QM⊥x轴于点M．，，，∵∠QAP=90°，由勾股定理，得=（m﹣1）2+（n+4）2，整理，得m﹣2n+1=0，又n=m2﹣2m﹣3．解得（不合题意舍去）或．∴Q （）．【点评】此题主要考查了二次函数与一次函数综合应用，以及勾股定理的应用，计算量较大，应认真计算．13．已知抛物线y=（9﹣m2）x2﹣2（m﹣3）x+3m的顶点D在双曲线y=﹣上，直线y=kx+c经过点D和点C（a，b），且使y随x的增大而减小，a，b 满足方程组，求这条直线的解析式．（a、b具有两重性，视为点的坐标用函数知识，视为方程的根用方程知识）．【考点】待定系数法求一次函数解析式．【专题】压轴题；分类讨论．【分析】先求出抛物线的顶点坐标，然后代入反比例函数，可求得m的值及顶点坐标，再由顶点坐标与一次函数的关系可得出a和b的值，从而可得出函数解析式．【解答】解：抛物线y=（9﹣m2）x2﹣2（m﹣3）x+3m的顶点D的坐标为，由于点D在双曲线y=﹣上，得=﹣，整理，得m2+10m+24=0，解得m1=﹣4，m2=﹣6，∴D1（1，﹣5），D2（，﹣15），又由方程组组，解得和，∴C1（2，1），C2（﹣2，﹣1），其中C1（2，1）不符合题意，舍去．①C2（﹣2，﹣1）和D1（1，﹣5）代入y=kx+b可得：，解得：，∴直线D1C2的解析式为y=﹣；②C2（﹣2，﹣1）和D2（，﹣15）代入可得：，解得：，∴将直线D2C2的解析式为y=﹣6x﹣13．【点评】本题综合考查一次函数、反比例函数及抛物线的知识，综合性比较强，注意细心研究每种函数的特点．。
【高三数学试题精选】2018届高考数学转化与化归思想培优辅导复习试题(有答案)
2018届高考数学转化与化归思想培优辅导复习试题（有答
案）
5 c 转化与化归思想
“转化与化归的思想”就是指把待解决的问题转化为一个相对说自己较为熟悉的问题，从而达到解决原问题的目的一种思维策略。
转化能给人带思维的闪光点,找到解决问题的突破口。
应用转化化归思想应遵循以下几个原则简单化原则、熟悉化原则、和谐化原则，并尽量是等价转化。
常见的转化有正与反的转化、数与形的转化、相等与不等的转化、整体与局部的转化、空间与平面相互转化、常量与变量的转化、数学语言的转化。
1．已知二次函数，其中（）．若二次方程恰有两个不相等的实根和，则实数的取值范围为
2．若不等式对一切均成立，则实数的取值范围为______
3设定义在上的函数满足，若 ,则 =_____________
4．关于的方程在上有两个不同的实数解,则实数的取值范围为___
5定义一种运算“※”对于正整数满足以下运算性质
(1) ※ ；(2) ※ ※ ，则※ ＝_____
6．椭圆的焦点为、，点为其上的动点，当为钝角时，点的横坐标的取值范围是
7若动直线与函数和的图像分别交于，两点，则的最大值为______________
8设、，且 , ,则的最小值为
9．７封不同的信发往７处不同地址，由于装信封时未经仔细检查，信收到后发现有３封的内容和地址错位，发生这种错误的可能情形种数为_______
10 展开式中的常数项为______________。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
2．[2016·扬州]已知M＝a－1，N＝a2－a(a为任意实数)，则M、N的大小关系为()
方法技巧专题五转化思想训练
转化思想是解决数学问题的根本思想，解数学题的过程其实就是逐渐转化的过程．常见的转化方法有：未知向已知转化，数与形的相互转化，多元向一元转化，高次向低次转化，分散向集中转化，不规则向规则转化，生活问题向数学问题转化等等．
一、选择题
1．[2015·山西]我们解一元二次方程3x2－6x＝0时，可以运用因式分解法，将此方程化为3x(x－2)＝0，从而
得到两个一元一次方程：3x＝0或x－2＝0，进而得到原方程的解为x
1
＝0，x
2
＝2.这种解法体现的数学思想是() A．转化思想B．函数思想
C．数形结合思想D．公理化思想
27
99
A．M＜N B．M＝N
C．M＞N D．不能确定
3．[2016·十堰]如图F5－1所示，小华从A点出发，沿直线前进10m后左转24°，再沿直线前进10m，又向左转24°，…，照这样走下去，他第一次回到出发地A点时，一共走的路程是()
A．140m B．150m
C．160m D．240m
图F5－1
4．[2016·徐州]图F5－2是由三个边长分别为6，9，x的正方形所组成的图形，若直线AB将它分成面积相等的两部分，则x的值是()
图F5－2
A．1或9B．3或5
C．4或6D．3或6
二、填空题
5．[2017·烟台]运行程序如图F5－3所示，从“输入实数x”到“结果是否＜18”为一次程序操作，若输入x 后程序操作仅进行了一次就停止，则x的取值范围是________．
图F5－3
2．A
[解析] ∵N －M ＝a 2
－ a －( a －1)＝a 2－a ＋1＝(a － )2＋ ＞0，∴M ＜N .故选 A .
6．[2016·达州] 如图 F 5－4，P 是等边三角形 ABC 内一点，将线段 AP 绕点 A 顺时针旋转 60°得到线段 AQ ，连结
BQ .若 PA ＝6，PB ＝8，PC ＝10，则四边形 APBQ 的面积为________．
图 F 5－4
7．[2016·宿迁] 如图 F 5－5，在矩形 ABCD 中，AD ＝4，点 P 是直线 AD 上一动点，若满足△PBC 是等腰三角形的
点 P 有且只有 3 个，则 AB 的长为________．
图 F 5－5
三、解答题
8．如图 F 5－6①，点 O 是正方形 ABCD 两条对角线的交点．分别延长 O D 到点 G ，OC 到点 E ，使 OG ＝2OD ，OE ＝2OC ，
然后以 OG 、OE 为邻边作正方形 OEFG ，连结 AG ，DE .
(1)求证：DE ⊥AG ；
(2)正方形 ABCD 固定，将正方形 OEFG 绕点 O 逆时针旋转 α 角(0°＜α ＜360°)得到正方形 OE ′F ′G ′，如图②.
①在旋转过程中，当∠OAG ′是直角时，求 α 的度数；
②若正方形 ABCD 的边长为 1，在旋转过程中，求 AF ′长的最大值和此时 α 的度数，直接写出结果，不必说明理
由．
图 F 5－6
参考答案
1．A
7 2 1 3
9 9 2 4
注：此题把比较两个式子的大小转化为比较两个代数式的差的正负．
3．B [解析] ∵多边形的外角和为 360°，这里每一个外角都为 24°，∴多边形的边数为 360°÷24°＝15.
D
∴小华一共走的路程＝15×10＝150(m)．故选B.
注：把问题转化为正多边形的周长．
4．[解析]如图，把原图形扩充成矩形，则图中两个阴影部分的面积相等，于是可列方程x(9－x)＝6×(9－6)．整
理，得x2－9x＋18＝0，解得x
1
＝3，x
2
＝6.故选D.
注：此题体现了转化思想(把不规则图形转化为规则图形)和方程思想．
5．x＜8[解析]由题意，得3x－6<18，解得x＜8.
6．24＋93[解析]如图，连结△P Q，则APQ为等边三角形．
∴PQ＝AP＝△6.易知APC≌△AQB，∴QB＝PC＝10.由勾股定理的逆定理，可知∠BPQ＝90°.
13
∴S
四边形APBQ
＝
△
S
BPQ
＋
△
S
APQ
＝
2
×6×8
＋
4
×62＝24＋9 3.故答案为24＋9 3.
注：此题体现了分散向集中转化，即通过旋转把PA，PB，PC集中到△PBQ中．
7．4或23[解析]设AD的中点为P
1
，无论AB多长，△P
1
BC都是等腰三角形，即点P
1
始终是符合条件的一个点．
(1)如图①，当以点B(或点C)为圆心，以BC为半径的圆与直线AD相切时，符合条件的点有3个，
此时AB＝BC＝4；
(2)如图②，分别以点B(或点C)为圆心，以BC为半径的圆经过点P
1
时，符合条件的点也有3个．此时BP
1
＝BC＝4，AB＝2 3.
综上所述，BA的长为4或2 3.
注：将等腰三角形的个数转化为直线与圆的交点个数．
8．解：(1)证明：如图，延长ED交AG于点H.
∵O为正方形ABCD对角线的交点，
∴OA＝OD，∠AOG＝∠DOE＝90°，
∵四边形OEFG为正方形，∴OG＝OE，
(i)α由0°增大到90°的过程中，当∠OAG′为直角时，∵OA＝OD＝OG＝OG′，
OG′2
②AF′长的最大值是2＋
2
，此时α＝315°.
∴AC＝BD＝2，AO＝OD＝
2
∴△AOG≌△DOE，
∴∠AGO＝∠DEO.
∵∠AGO＋∠GAO＝90°，
∴∠DEO＋∠GAO＝90°.
∴∠AHE＝90°，即DE⊥AG.
(2)①在旋转过程中，∠OAG′成为直角有以下两种情况：
11
22
∴在△R t OAG′中，sin∠AG′O＝
OA1
＝，
∴∠AG′O＝30°，
∵OA⊥OD，OA⊥AG′，
∴OD∥AG′.
∴∠DOG′＝∠AG′O＝30°，即α＝30°.
(ii)α由90°增大到180°的过程中，当∠OAG′为直角时，同理可求得∠BOG′＝30°，所以α＝180°－30°＝150°.
综上，当∠OAG′为直角时，α＝30°或150°.
2
理由：当AF′的长最大时，点F′在直线AC上，如图所示．
∵AB＝BC＝CD＝AD＝1，
2
.
∴OE′＝E′F′＝2OD＝ 2.
∴OF′＝（2）2＋（2）2＝2.
∴AF′＝AO＋OF′＝
2
2
＋2.
∵∠DOG′＝45°，
∴旋转角α＝360°－45°＝315°.。