主成分分析模型
第七讲主成分分析模型
第七讲主成分分析模型PCA的基本思想是将原始的高维数据转换为一组新的低维正交特征，这些特征称为主成分。
主成分是原始特征的线性组合，它们能够最大限度地保留原始数据的方差信息。
通过这种方式，我们可以将数据的维度减少到较低的维度，而尽可能地保留原始数据中的信息。
PCA模型的步骤如下：1.数据标准化：首先，我们需要对原始数据进行标准化处理，以确保不同特征的度量单位不会影响分析结果。
标准化可以通过计算每个特征的z分数来实现。
即，对每个特征减去其均值，并除以标准差。
2.协方差矩阵的计算：接下来，我们计算标准化后的数据的协方差矩阵。
协方差矩阵显示了各个特征之间的相关性。
3.特征值和特征向量的计算：通过对协方差矩阵进行特征值分解，我们可以得到特征值和对应的特征向量。
特征值表示主成分的重要性，即占据原始数据方差的比例。
特征向量则代表了主成分的方向。
4.主成分的选择：通常，我们会选择在特征值贡献百分比累计达到一定阈值的前几个主成分。
这些主成分被称为主要成分，它们能够尽可能全面地表示原始数据的信息。
5.投影：最后，我们通过将原始数据投影到选定的主成分上，得到降维后的数据。
这样，我们就可以用较低维度的数据来代表原始数据，从而简化分析和模型构建的过程。
PCA模型有很多应用领域，包括图像处理、模式识别、金融数据分析等。
它不仅可以帮助我们发现数据中最重要的特征，还可以降低数据维度，提高计算效率。
此外，PCA还可以用于数据可视化，将高维数据映射到二维或三维空间中，以便更好地理解数据的结构和关系。
然而，PCA模型也有一些局限性。
首先，PCA假设数据是线性可分的，对于非线性关系的数据，它可能无法进行有效的降维。
此外，PCA还可能存在信息丢失的问题，因为它只保留了数据方差最大的特征。
因此，在应用PCA前，需确保对数据的理解和分析目标明确，以避免潜在问题。
总的来说，主成分分析模型是一种强大的数据分析工具，它通过降维和特征选择，可以帮助我们发现数据中的重要结构和关系。
主成分分析
但是这种线性组合，如果丌加限制，则可以有很多，应 该如何去选取呢？
对a加以限制
对组合系数ai' = (a1i，a2i，…，api)作如下要求：
a a ... a
2 1i 2 2i
2 pi
1,
i 1, 2 ,..., p
即：ai为单位向量。 此外，
对F限制
1) Fi不Fj（i≠j, i, j = 1, …, p）互丌相关，即 协方差:Cov(Fi，Fj) = 0
2) F1是X1，X2，…，Xp的一切线性组合（系数满足上述要 求）中方差最大的，即
Var ( F1 ) max Var ( c i X i )
c ' c 1 i 1 p
其中c = (c1，c2，…，cp)' 3)F2是不F1丌相关的X1，X2，…，Xp一切线性组合中方差最 大的，…，Fp是不F1，F2，…，Fp-1都丌相关的X1，X2，… ，Xp的一切线性组合中方差最大的。 满足上述要求的综合指标向量F1，F2，…，Fp就是主成分。
i 1 k 1
达到足够大（一般在85%以上）为原则。
3.5 计算主成分得分
计算n个样品在m个主成分上的得分：
Fi a1i X 1 a 2 i X 2 ... a pi X p
i = 1，2，…，m
主成分分析程序代码
例 输出原始数据矩阵x x=[7.47,1.73,7.20,0.13,0.40,1.33,1.07,36.05;6.67,1.67,18.00,0.67,4.67,19. 00,5.50,26.00;3.32,2.48,36.43,2.17,7.15,22.99,11.95,60.95;3.00,2.29,19.0 2,1.62,6.90,3.57,18.50,49.14;1.67,3.08,48.98,3.69,29.66,31.50,65.53,272. 23;1.96,3.23,14.44,1.64,18.02,33.12,33.10,68.73;1.25,3.69,42.00,4.25,22. 22,19.94,53.50,70.00;1.47,9.87,49.15,3.48,4.11,22.37,19.92,67.10;2.02,0. 97,16.99,12.29,18.00,17.36,3.66,16.59;2.41,1.56,2.81,15.79,3.42,21.61,2. 44,24.26;1.00,2.15,40.16,14.27,5.74,53.90,9.24,27.90;1.70,0.77,3.13,5.00, 6.32,11.48,10.23,30.77;0.97,0.12,2.39,21.16,8.08,16.21,41.26,18.84;2.86, 3.29,29.70,1.91,17.04,41.90,12.05,31.90;1.41,5.58,44.18,6.51,10.88,31.98 ,12.92,31.69;1.02,0.86,13.08,1.59,11.15,21.91,26.67,22.28;0.84,0.24,2.16, 21.14,3.56,24.94,18.73,25.61;1.00,0.23,6.11,13.95,4.59,17.19,26.95,18.01 ;0.74,1.39,14.21,20.55,4.29,15.54,54.11,38.96;0.49,0.83,9.03,13.69,1.39,2 4.35,59.15,49.86;1.20,0.23,2.01,20.99,1.06,25.23,23.84,52.05;1.38,0.31,0. 71,5.27,0.98,3.97,68.88,33.79;1.79,0.63,8.00,4.67,4.58,6.92,65.92,61.50;1. 53,2.84,17.27,3.06,18.51,11.59,19.65,49.50;0.78,2.33,33.11,2.78,18.17,7. 28,75.46,51.56;3.83,1.00,53.83,3.53,3.50,0.17,52.67,111.67;2.50,2.67,49. 88,3.14,3.83,8.33,48.33,43.33;1.48,4.32,27.61,1.68,47.29,1.81,69.42,443. 10]
主成分分析法的步骤和原理[技巧]
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主成分分析法的步骤和原理[技巧](一)主成分分析法的基本思想主成分分析(Principal Component Analysis)是利用降维的思想，将多个变量转化为少数几个综合变量(即主成分)，其中每个主成分都是原始变量的线性组合，各主成分之间互不相关，从而这些主成分能够反映始变量的绝大部分信息，[2]且所含的信息互不重叠。
采用这种方法可以克服单一的财务指标不能真实反映公司的财务情况的缺点，引进多方面的财务指标，但又将复杂因素归结为几个主成分，使得复杂问题得以简化，同时得到更为科学、准确的财务信息。
(二)主成分分析法代数模型假设用p个变量来描述研究对象，分别用X，X…X来表示，这p个变量12p t构成的p维随机向量为X=(X，X…X)。
设随机向量X的均值为μ，协方差矩12p阵为Σ。
假设 X 是以 n 个标量随机变量组成的列向量，并且μk 是其第k个元素的期望值，即，μk= E(xk)，协方差矩阵然后被定义为:Σ=E{(X-E[X])(X-E[X])}=(如图对X进行线性变化，考虑原始变量的线性组合:Z1=μ11X1+μ12X2+…μ1pXpZ2=μ21X1+μ22X2+…μ2pXp…… …… ……Zp=μp1X1+μp2X2+…μppXp主成分是不相关的线性组合Z，Z……Z，并且Z是X1，X2…Xp的线性组12p1 合中方差最大者，Z是与Z不相关的线性组合中方差最大者，…，Zp是与Z，211Z ……Z都不相关的线性组合中方差最大者。
2p-1(三)主成分分析法基本步骤第一步:设估计样本数为n，选取的财务指标数为p，则由估计样本的原始数据可得矩阵X=(x)，其中x表示第i家上市公司的第j项财务指标数据。
ijm×pij 第二步:为了消除各项财务指标之间在量纲化和数量级上的差别，对指标数据进行标准化，得到标准化矩阵(系统自动生成)。
第三步:根据标准化数据矩阵建立协方差矩阵R，是反映标准化后的数据之间相关关系密切程度的统计指标，值越大，说明有必要对数据进行主成分分析。
主成份分析(含时序立体数据的主成分分析)
〔2 选择几个主成分.主成分分析的目的 是简化变量,一般情况下主成分的个数应该小 于原始变量的个数.关于保留几个主成分,应 该权衡主成分个数和保留的信息.
1贡献率：第i个主成分的方差在全部方差中所占比
重
i ip1,i称为贡献率 ,反映了原来P个指标多大的信
息,有多大的综合能力 .
2累积贡献率：前k个主成分共有多大的综合能力, 用这k个主成分的方差和在全部方差中所占比重
k
p
i i
i1
i1
来描述,称为累积贡献率.
我们进行主成分分析的目的之一是希望用尽可能 少的主成分F1,F2,…,Fk〔k≤p代替原来的P个指标.到 底应该选择多少个主成分,在实际工作中,主成分个数 的多少取决于能够反映原来变量80%以上的信息量为依 据,即当累积贡献率≥80%时的主成分的个数就足够了. 最常见的情况是主成分为2到3个.
〔3如何解释主成分所包含的经济意义.
§2 数学模型与几何解释
假设我们所讨论的实际问题中,有p个指标, 我们把这p个指标看作p个随机变量,记为 X1,X2,…,Xp,主成分分析就是要把这p个指标的问 题,转变为讨论p个指标的线性组合的问题,而这些 新的指标F1,F2,…,Fk<k≤p,按照保留主要信息量 的原则充分反映原指标的信息,并且相互独立.
满足如下的条件：
每个主成分的系数平方和为1.即
u2 1i
u2 2i
u
2 pi
1
主成分之间相互独立,即无重叠的信息.即
Cov（Fi，Fj） 0，i j，i，j 1， 2， ，p 主成分的方差依次递减,重要性依次递减,即
第6章 主成分分析
第6章主成分分析与因子分析6.1主成分分析数学模型当存在若干个随机变量时，寻求它们的少量线性组合（即主成分），用以解释这些随机 变量，是很必要的。
首先我们看一个例子。
例6.1 为了调查学生的身材状况，可以测量他们的身高(X1)、体重(X2)、胸围(X3)和坐高(X4)。
可是用这4个指标表达学生身材状况不方便。
但若用 y1=3.6356x1+3.3242x2+2.4770x3+2.1650x4表示学生身体魁梧程度;用y2=-3.9739x1+1.3582x2+3.7323x3-1.5729x4表示学生胖瘦程度。
则这两个指标(Y1,Y2)很好概括了4个指标（X1-X4）。
例6.1中，学生不同，身高(X1)、体重(X2)、胸围(X3)和坐高(X4)不同；X1,X2,X3,X4是4维随机向量；Y1,Y2是他们的2个线性组合，Y1,Y2能很好表示X1,X2,X3,X4的特性。
类似的问题在许多地方出现：可观测的随机变量很多,需要选出所有所有随机变量的少数线性组合，使之尽可能刻划全部随机变量的特性，选出的线性组合就是诸多变量的主成分，又称为主分量。
寻求随机向量主成分，并加以解释，称为主成分分析，又称为主分量分析。
主成分分析的数学模型是：对于随机向量X ，想用它分量的线性组合X c '反映随机向 量X 的主要信息。
也即)'(X c D 应当最大。
但是c 的模可以无限增大，从而使)'(X c D 无限变大，这是我们不希望的；于是固定c 模的大小，而改变c 各分量的比例，使)'(X c D 最 大；通常取c 的模为1最方便。
定义6.1 设随机向量)',...(1p x x X =二阶矩存在，若常数向量1c ，在条件c ＝1下使)'(X c D 最大，则称X c Y '11=是X 的第一主成分或第一主分量。
由定义可见，1Y 尽可能多地反映原来p 个随机变量变化的信息。
(完整版)主成分分析法的步骤和原理
（一）主成分分析法的基本思想主成分分析（Principal Component Analysis ）是利用降维的思想，将多个变量转化为少数几个综合变量（即主成分），其中每个主成分都是原始变量的线性组合，各主成分之间互不相关，从而这些主成分能够反映始变量的绝大部分信息，且所含的信息互不重叠。
[2]采用这种方法可以克服单一的财务指标不能真实反映公司的财务情况的缺点，引进多方面的财务指标，但又将复杂因素归结为几个主成分，使得复杂问题得以简化，同时得到更为科学、准确的财务信息。
（二）主成分分析法代数模型假设用p 个变量来描述研究对象，分别用X 1，X 2…X p 来表示，这p 个变量构成的p 维随机向量为X=(X 1，X 2…X p )t 。
设随机向量X 的均值为μ，协方差矩阵为Σ。
对X 进行线性变化，考虑原始变量的线性组合： Z 1=μ11X 1+μ12X 2+…μ1p X pZ 2=μ21X 1+μ22X 2+…μ2p X p…… …… ……Z p =μp1X 1+μp2X 2+…μpp X p主成分是不相关的线性组合Z 1，Z 2……Z p ，并且Z 1是X 1，X 2…X p 的线性组合中方差最大者，Z 2是与Z 1不相关的线性组合中方差最大者，…，Z p 是与Z 1，Z 2 ……Z p-1都不相关的线性组合中方差最大者。
（三）主成分分析法基本步骤第一步：设估计样本数为n ，选取的财务指标数为p ，则由估计样本的原始数据可得矩阵X=(x ij )m ×p ，其中x ij 表示第i 家上市公司的第j 项财务指标数据。
第二步：为了消除各项财务指标之间在量纲化和数量级上的差别，对指标数据进行标准化，得到标准化矩阵（系统自动生成）。
第三步：根据标准化数据矩阵建立协方差矩阵R ，是反映标准化后的数据之间相关关系密切程度的统计指标，值越大，说明有必要对数据进行主成分分析。
其中，R ij （i ，j=1，2，…，p ）为原始变量X i 与X j 的相关系数。
什么是主成分分析精选全文
可编辑修改精选全文完整版主成分分析（principal component analysis, PCA）如果一组数据含有N个观测样本，每个样本需要检测的变量指标有K个, 如何综合比较各个观测样本的性质优劣或特点？这种情况下，任何选择其中单个变量指标对本进行分析的方法都会失之偏颇，无法反映样本综合特征和特点。
这就需要多变量数据统计分析。
多变量数据统计分析中一个重要方法是主成份分析。
主成分分析就是将上述含有N个观测样本、K个变量指标的数据矩阵转看成一个含有K维空间的数学模型，N个观测样本分布在这个模型中。
从数据分析的本质目的看，数据分析目标总是了解样本之间的差异性或者相似性，为最终的决策提供参考。
因此，对一个矩阵数据来说，在K维空间中，总存在某一个维度的方向，能够最大程度地描述样品的差异性或相似性(图1)。
基于偏最小二乘法原理，可以计算得到这个轴线。
在此基础上，在垂直于第一条轴线的位置找出第二个最重要的轴线方向，独立描述样品第二显著的差异性或相似性；依此类推到n个轴线。
如果有三条轴线，就是三维立体坐标轴。
形象地说，上述每个轴线方向代表的数据含义，就是一个主成份。
X、Y、Z轴就是第1、2、3主成份。
由于人类很难想像超过三维的空间，因此，为了便于直观观测，通常取2个或者3个主成份对应图进行观察。
图（1）PCA得到的是一个在最小二乘意义上拟合数据集的数学模型。
即，主成分上所有观测值的坐标投影方差最大。
从理论上看，主成分分析是一种通过正交变换，将一组包含可能互相相关变量的观测值组成的数据，转换为一组数值上线性不相关变量的数据处理过程。
这些转换后的变量，称为主成分（principal component, PC）。
主成分的数目因此低于或等于原有数据集中观测值的变量数目。
PCA最早的发明人为Karl Pearson，他于1901年发表的论文中以主轴定理（principal axis theorem）衍生结论的形式提出了PCA的雏形，但其独立发展与命名是由Harold Hotelling于1930年前后完成。
主成分分析模型
x n1
21
22
ห้องสมุดไป่ตู้
x
n2
2 p x np
1p
则
S ( sij )
1 n sij ( xai xi )( xaj x j ) n a 1
rij sij sii s jj
而相关系数矩阵： R (rij )
1 S R X X n
p
i
， 。
因此第一主成分的贡献率就是第一主成分的 方差在全部方差 中的比值。这个比值越大， 表明第一主成分综合X1，……，Xp信息的能力越 强。
p i 1 i
前两个主成分的累计贡献率定义为 前k个主成分的累计贡献率定义为
k i 1
1 2
i
，
i 1 i
p
i
i 1
a1i a2i a pi 1
2
2
2
设∑的特征根分别为： 1 2 p 定义： 称第一主成分的贡献率为 Var( F ) 由于， 所以 Var( F ) Var(F1 ) 1
1 1 p p i 1 i i 1 i
1
i 1
（4）写出主成分
Fi a1iY1 a2iY2 a piYp
i 1,, k
（5）将k个主成分进行综合，综合成单个指标， 并得出最后排序结果
主成分进行综合常用的有以下三种方法。
将 k 个主成分综合成单指标评价，通常有以下三种 方法。 第一种方法，将累计贡献率达到 85% 的 k 个主成分 F1，F2，…，Fk做线性组合，并以每个主成分Fi的 方差贡献率i 作为权数构造一个综合评价函数：
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这种将多个指标化为少数互相无关的综合指标的统 计方法就叫主成分分析或称为主分量分析.也是数学 上处理降维的一种方法.例如,某人要做一件上衣要 测量很多尺寸,如身长、袖长、胸围、腰围、肩宽、 肩厚等等十几个指标，但某服装厂要生产一批新型 服装绝不可能把尺寸的型号分得过多，而是从多种 指标中综合成几个少数的综合指标，做为分类的型 号，利用主成分分析将十几项指标综合成3项指标， 一项是反映长度的指标，一项是反映胖瘦的指标， 一项是反映特体的指标。在商业经济中用主成分分 析可将复杂的一些数据综合成几个商业指数形式， 如物价指数、生活费用指数、商业活动指数等等。
主成分分析综合评价法具有以下优点：第一，可消 除评价指标之间的相关影响。因为主成分分析在对 原指标变量进行变换后形成了彼此相互独立的主成 分，而且实践证明指标间相关程度越高，主成分分 析效果越好。第二，可减少指标选择的工作量，对 于其它评价方法，由于难以消除评价指标间的相关 影响，所以选择指标时要花费不少精力，而主成分 分析由于可以消除这种相关影响，所以在指标选择 上相对容易些。第三、主成分分析中各主成分是按 方差大小依次排列顺序的，在分析问题时，可以舍 弃一部分主成分，只取前面方差较大的几个主成分 来代表原变量，从而减少了计算工作量。
3、数学模型
设有n个样品，每个样品观测项指标（变量）： X1，X2，……，Xp，得到原始资料数据矩阵：
x x 11 x x X21
12
22
x x n1
n2
x1p
x2p
(X1,X2,,
Xp)
xnp
用数据矩阵X的p个向量（即p个指标向量）
X1，……，Xp作线性组合（即综合指标向量）为：
F a X a X a X
这里要说明两点：一个是数学模型中为什么作
线性组合？基于两种原因: 1)数学上容易处理;2) 在实践中效果好。另一个需要说明的是每次主成
分的选取使Var(Fi)最大，如果不加限制就可使 Var(Fi) →∞，则就无意义了，而常用的要求是：
a a a 2 2 2 1
1i 2i
pi
设∑的特征根分别为： 12p
定义： 称第一主成分的贡献率为
由于V ，a(F r1)1
所以 1 p
Va r(F1 )
p
i Var(Fi )
， 1 p i
i 1
。
i 1
i 1
因此第一主成分的贡献率就是第一主成分的
方差在全部方差
p
i 中的比值。这个比值越大，
i1
表明第一主成分综合X1，……，Xp信息的能力越 强。
前两个主成分的累计贡献率定义为 1 2
第二讲 主成分分析模型与因子分析模型
一、主成分分析模型
1.什么是主成分分析 主成分概念首先是由Karl Parson 在1901年
引进的,不过当时只对非随机变量来讨论的. 1933年Hotelling将这个概念推广到随机向量.
在实际问题中,研究多指标(变量)问题是经常 遇到的,然而在多数情况下,不同指标之间是有一 定相关性.由于指标较多再加上指标之间有一定的 相关性,势必增加了分析问题的复杂性.主成分分 析就是设法将原来指标重新组合成一组新的互相 无关的几个综合指标来代替原来指标,同时根据实 际需要从中可取几个较少的综合指标尽可能多地 反映原来指标的信息.
1
11 1
21 2
p1 p
F a X a X a X
2
12
1
22
2
p2
p
F a X a X a X
p
1p
1
2p
2
pp
p
a a a 上述方程要求： 2 2 2 1
1i
2i
pi
且系数由下列原则确定：
（1）Fi与Fj（ ij,i,j1,2,,p ）不相关；
（2）F1是X1，X2，…，Xp的一切线性组合中方差 中最大的，F2是与F1不相关的X1，X2，…，Xp的一 切 线 性 组 合 中 方 差 中 最 大 的 ， …… ， Fp 是 F1 ， F2，…，Fp-1都不相关的X1，X2，…，Xp的一切线 性组合中方差中最大的。
，p
i
i 1
前k个主成分的累计贡献率定义为
k
i
p
i
。
i 1
i 1
如果前k个主成分的贡献率达到85%，表明取前k
个主成分包含了全部测量指标所具有的信息，这
样既减少了变量的个数又便于对实际问题的分析
和研究。
值得指出的是：当协方差阵∑未知时，可用其估计 值S（样本协方差阵）来代替。
设已有的信息就不需要 再出现在F2中，用数学语言表达就是要求 Cov(F1,F2)=0，称F2为第二主成分，依此类推，可 以制造出第三、四……第p个主成分。不难想像这 些主成分之间不仅不相关，而且它们的方差依次递 减。因此，在实际工作中，就挑选前几个最大的主 成分(一般取信息量包含85%以上的前几个指标）， 虽然这样做会损失一部分信息，但是由于它使我们 抓住了主要矛盾，并从原始数据中进一步提取了某 些新的信息，因而在某些实际问题的研究中得益比 损失大，这种既减少了变量的数目又抓住了主要矛 盾的做法有利于问题的分析和处理。
2、基本思想
主成分分析就是设法将原来众多具有一定相关 性的指标（比如p个指标），重新组合成一组相互 无关的综合指标来代替原来指标。通常数学上的处 理就是将原来p个指标作线性组合，作为新的综合 指标，但是这种线性组合，如果不加限制，则可以 有很多，我们应该如何去选取呢？如果将选取的第 一个线性组合即第一个综合指标记为F1，自然希望 F1尽可能多的反映原来指标的信息，这里的“信 息”用什么来表达？最经典的方法就是用F1的方差 来表达，即Var(F1)越大，表示F1包含的信息越多。 因此在所有的线性组合中所选取的F1应该是方差最 大的，故称F1为第一主成分。如果第一主成分不足 以代表原来p个指标的信息，再考虑选取F2即选第 二个线性组合。
可以证明，满足上述条件的主成分F1，F2，…， Fp线性组合中的系数向量 (aii,a2i,,api) 恰好是X的 协方差矩阵∑的特征值对应的特征向量。也就是说， 数学上可以证明使Var(F1)达到最大，这个最大值是 在∑的第一个特征值所对应特征向量处达到。
依此类推，使Var(Fp)达到最大，这个最大值是在 ∑的第p个特征值所对应特征向量处达到。