八年级数学探索勾股定理2
北师大版数学八年级上册《探索勾股定理》教学设计2
北师大版数学八年级上册《探索勾股定理》教学设计2一. 教材分析《探索勾股定理》是北师大版数学八年级上册的一章内容。
本章主要让学生通过探索、验证勾股定理，培养学生的探究能力和逻辑思维能力。
本节课的内容是探索勾股定理的证明方法，让学生了解勾股定理的发现过程，理解勾股定理的含义，并能够运用勾股定理解决实际问题。
二. 学情分析学生在学习本节课之前，已经学习了平面几何的基本概念和性质，具备了一定的逻辑思维能力。
但是，对于勾股定理的证明方法，学生可能比较陌生，需要通过实例和引导，让学生理解和掌握。
三. 教学目标1.让学生了解勾股定理的发现过程，理解勾股定理的含义。
2.培养学生通过探索、验证勾股定理的能力，提高学生的逻辑思维能力。
3.能够运用勾股定理解决实际问题，感受数学在生活中的应用。
四. 教学重难点1.重点：让学生通过探索、验证勾股定理，理解勾股定理的含义。
2.难点：如何引导学生发现和证明勾股定理，以及如何运用勾股定理解决实际问题。
五. 教学方法1.引导法：通过问题引导，让学生自主探索勾股定理的证明方法。
2.实例法：通过具体的几何图形，让学生直观地理解勾股定理。
3.实践法：让学生通过动手操作，验证勾股定理，增强学生的实践能力。
六. 教学准备1.准备相关的几何图形，如直角三角形、直角梯形等。
2.准备多媒体教学设备，如投影仪、电脑等。
3.准备勾股定理的相关资料，如历史背景、证明方法等。
七. 教学过程1.导入（5分钟）通过一个实际问题，如测量一个直角三角形的两条直角边的长度，让学生思考如何求解斜边的长度。
引导学生回顾平面几何中关于直角三角形的知识，为学习勾股定理做铺垫。
2.呈现（10分钟）利用多媒体展示勾股定理的定义和表述，让学生了解勾股定理的基本概念。
通过几何图形的展示，让学生直观地感受勾股定理的应用。
3.操练（15分钟）让学生分组讨论，每组尝试用不同的方法证明勾股定理。
教师巡回指导，引导学生发现和证明勾股定理。
八年级数学上册 1.1 探索勾股定理课件2 (新版)北师大版
6米
10米
已知两边求第三边
复习旧知 “勾股定理”的应用： 已知直角三角形两边，求第三边。
复习旧知
我们是怎样发现“勾股定理”的？
用“数格子法”发现： “两直角边的平方和等于 斜边的平方”。
数格子法
探究新知
一、用“内嵌法”拼图：
将直角三角形按图拼在大正方形内部
c2 (ba)21ab4 2
b22a Байду номын сангаасa22ab
运用正方形面积表达式进行验证。
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20 3x
4x
巩固练习
2、如图是某沿江地区交通图，为了加快经济发 展，该地区拟修建一条连接M，O，Q三城市的 沿江高速，已知沿江高速的建设成本是100万元 /千米，该沿江高速的造价预计是多少？
合作交流
观察下图，用数格子的方法判断图中三角形 的三边长是否满足a2+b2=c2 。
非直角三角形， 不满足a2+b2=c2 。
巩固练习 3、如图，受台风“圆规”影响，一棵高18米的 大 树断裂，树的顶部落在离树根底部6米处，这棵 树折断后有多高？
18-x x
6米
问题解决
例2、如图，某隧道的截面是一个半径为3.6米的
半 圆形，一辆高2.4米、宽3米的卡车能通过隧
道吗？
A
解：过点A作AB⊥OC于点B，
∵∠ABO=90°
∴AB2+OB2=OA2 且OA=3.6，OB=1.5
1.1 探索勾股定理(2)
诊断练习
1、如图，Rt△ABC的边AC=5cm，BC=6cm， 求以AB为边的正方形面积。
A
八年级数学探索勾股定理进阶(二)(综合)(含答案)
探索勾股定理进阶（二）（综合）一、单选题(共10道，每道10分)1.在直角三角形中，两边长分别为3和4，则最长边的长度为( )A.5B.4C.3D.5或4答案：D解题思路：由于题中没有说明哪条是直角边哪条是斜边，所以需要分类讨论：①当4是直角边时，设斜边长为x，则，此时最长边为5；②当4为斜边时，此时最长边为4．故选D试题难度：三颗星知识点：勾股定理之分类讨论2.若直角三角形的三边长分别为6，10，m，则m2的值为( )A.8B.64C.136或64D.136或100答案：C解题思路：由于题中没有说明哪条是直角边哪条是斜边，所以需要分类讨论：①10是直角边时，②10是斜边时，，所以的值为136或64故选C试题难度：三颗星知识点：勾股定理之分类讨论3.在△ABC中，AB=26，AC=25，BC边上的高AD=24，则另一边BC等于( )A.3或17B.3C.2或18D.17答案：A解题思路：由题意，有如下两种情况，△ABC为锐角三角形或钝角三角形①如图，△ABC为锐角三角形∵AD⊥BC∴在Rt△ABD中，∠ADB=90°，AB=26，AD=24由勾股定理得，BD=10同理，在Rt△ADC中，∠ADC=90°，AD=24，AC=25由勾股定理得，CD=7∴BC=BD+CD=10+7=17②如图，△ABC为钝角三角形∵AD⊥BC∴在Rt△ABD中，∠ADB=90°，AB=26，AD=24由勾股定理得，BD=10同理，在Rt△ADC中，∠ADC=90°，AD=24，AC=25由勾股定理得，CD=7∴BC=BD-CD=10-7=3综上，BC的长为3或17故选A试题难度：三颗星知识点：勾股定理之分类讨论4.在△ABC中，AB=15，AC=13，BC边上的高AD=12，则△ABC的面积为( )A.84B.24C.24或84D.42或84答案：C解题思路：分情况讨论：（1）△ABC为锐角三角形，高AD在△ABC内部．在Rt△ABD中，∠ADB=90°，AB=15，AD=12由勾股定理得，，∴BD=9在Rt△ACD中，∠ADC=90°，AC=13，AD=12由勾股定理得，，∴CD=5△ABC的面积为；（2）△ABC为钝角三角形，高AD在△ABC外部．方法同（1）可得到，△ABC的面积为．故选C试题难度：三颗星知识点：勾股定理之分类讨论5.在△ABC中，AB=20，AC=13，BC边上的高AD=12，则△ABC的周长为( )A.54B.48C.44或48D.44或54答案：D解题思路：分情况讨论：（1）当△ABC为锐角三角形时，高AD在△ABC内部．在Rt△ABD中，∠ADB=90°，AB=20，AD=12由勾股定理得，，∴BD=16在Rt△ACD中，∠ADC=90°，AC=13，AD=12由勾股定理得，，∴CD=5即可得，故可得△ABC的周长为；（2）当△ABC为钝角三角形时，高AD在△ABC外部．方法同（1）可得到BD=16，CD=5即可得，故可得△ABC的周长为．故选D试题难度：三颗星知识点：勾股定理之分类讨论6.如图，在△ABC中，∠C=90°，AD平分∠CAB，DE⊥AB于点E．若AC=6，AB=10，则DE 的长为( )A.2B.3C.4D.5答案：B解题思路：由题意知，△ACD≌△AED所以AE=AC=6，BE=4在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=6，AB=10由勾股定理得，BC=8设DE=CD=x，则BD=8-x在Rt△BDE中，∠BED=90°由勾股定理得，解得，则DE=3故选B试题难度：三颗星知识点：勾股定理实际应用——需设表达7.如图，已知∠ACB=90°，AD是∠CAB的平分线，BC=4，CD=，则AC的长为( )A.1B.2C.3D.4答案：C解题思路：如图，过点D作DE⊥AB交AB于点E由题意知，△ACD≌△AED所以DE=CD=，BD=在Rt△BDE中，，即解得，设AE=AC=x，则AB=2+x在Rt△ABC中，∠C=90°由勾股定理得，解得，则AC=3故选C试题难度：三颗星知识点：勾股定理实际应用——需设表达8.如图，在Rt△ABC中，∠B=90°，AB=4，BC=3，AC的垂直平分线交AB于点M，交AC于点N，则BM的长为( )A. B.2C. D.答案：D解题思路：如图，连接MC由题意知，△AMN≌△CMN设BM=x，则AM=CM=4-x在Rt△BMC中，∠B=90°由勾股定理得，解得，则BM=故选D试题难度：三颗星知识点：勾股定理实际应用——需设表达9.如图，在△ABC中，∠C=90°，分别以点A和点B为圆心，以相同的长（大于AB）为半径作弧，两弧相交于点M和点N，作直线MN交AB于点D，交BC于点E．若AC=3，AB=5，则DE的长为( )A.2B.C. D.答案：C解题思路：如图，连接AE，由题意知，△ADE≌△BDE 设AE=BE=x，则CE=4-x在Rt△ACE中，∠C=90°由勾股定理得，解得，即AE=BE在Rt△BDE中，∠BDE=90°由勾股定理得，即解得，DE=故选C试题难度：三颗星知识点：勾股定理实际应用——需设表达10.如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=3，BC=4，点D为BC延长线上一点，当△ABD为等腰三角形时，CD的长为( )A.1或4B.或1C.或1或4D.或1或4答案：C解题思路：在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=3，BC=4由勾股定理可得，AB=5当△ABD为等腰三角形时，需要分情况讨论：①如图，AB为腰，AB=AD1，此时点A在BD1的垂直平分线上，CD1=BC=4②如图，AB为腰，AB=BD2，此时BD2=AB=5，CD2=BD2-BC=1③如图，AB为底，AD3=BD3，此时点D3在AB的垂直平分线上，设CD3=x，AD3=BD3=4-x由勾股定理可得，，解得，所以CD3故选C试题难度：三颗星知识点：勾股定理之分类讨论。
《探索勾股定理第2课时》示范公开课教学设计【北师大版八年级数学上册】
第一章勾股定理1. 1 探索勾股定理第 2 课时教学设计1.学会应用勾股定理，并领会“数与行”相结合的应用思想.2.经历勾股定理应用的过程，掌握勾股定理的使用方法.3.培养良好的合作、交流意识，发展数学观念，体会勾股定理的实际应用.【教学重点】能熟练应用拼图法证明勾股定理.【教学难点】用面积证勾股定理.四个全等的直角三角形纸片.一、创设情境，引入新知如图，这是一幅美丽的图案，仔细观察，你能发现这幅图中的奥秘吗？带着疑问我们来一起探索吧.◆教学目标◆教学重难点◆◆课前准备◆◆教学过程二、合作交流，探究新知勾股定理的初步认识问题1：观察下面地板砖示意图：你发现图中三个正方形的面积之间存在什么关系吗？问题2：观察右边两幅图：完成下表（每个小正方形的面积为单位1）.方法一：割分割为四个直角三角形和一个小正方形.方法二：补补成大正方形，用大正方形的面积减去四个直角三角形的面积.方法三：拼将几个小块拼成若干个小正方形，图中两块红色（或绿色）可拼成一个小正方形.分析表中数据，你发现了什么？结论：以直角三角形两直角边为边长的小正方形的面积的和，等于以斜边为边长的正方形的面积.想一想（1）你能用直角三角形的两直角边的长a，b 和斜边长 c 来表示图中正方形的面积吗？根据前面的结论，它们之间又有什么样的关系呢？（2）以5 cm、12 cm为直角边作出一个直角三角形，并测量斜边的长度.（1）中的规律对这个三角形仍成立吗？勾股定理直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方.如果a，b和 c 分别表示直角三角形的两直角边和斜边那么a2+b2=c2名字的由来我国古代把直角三角形中较短的直角边称为勾，较长的直角边称为股，斜边称为弦，“勾股定理”因此而得名.在西方又称毕达哥拉斯定理三、运用新知求下列图形中未知正方形的面积或未知边的长度（口答）：已知直角三角形两边，求第三边.利用勾股定理进行计算：例求斜边长为17 cm、一条直角边长为15 cm的直角三角形的面积.四、巩固新知1. 图中阴影部分是一个正方形，则此正方形的面积为 .2. 判断题①△Rt ABC 的两直角边AB=5, AC=12,则斜边BC=13 ( )②△ABC 的两边a = 6 , b = 8, 则c = 10 ( )3. 填空题在△ABC中, ∠C=90°, AC = 6, CB = 8,则△ABC 的面积为_____,斜边上的高CD 为______.4. 一高为 2.5 米的木梯,架在高为 2.4 米的墙上(如图),这时梯脚与墙的距离是多少?五、归纳小结◆教学反思略.。
1、1探索勾股定理(第二课时) 21-22学年八年级数学北师大版上册
E
E的点面，积那是么_6_△_m_A_D2_E_. A
D
C
折叠四边形问题
长方形ABCD如图折叠，使点D落在BC边上的点F
处，已知AB=8，BC=10，求折痕DE的长。
A
10
D
8
10
? x
x E8 8-x
B
6
F 10
4C
应用2:勾股定理与测量：如图，滑竿在 机械槽内运动，为直角，已知滑竿长2.5 m 顶端在上运动，量得滑竿下端点距
边；
②已知直角三角形的三边关系，求出各 边长；
③实际生活中的应用。
作业：1.我方侦查员小王在距离东西向500米处公路 侦察，发现一辆敌方汽车在公路上疾驶。他赶紧拿 出红外测距仪，测得汽车与他相距500米，30秒后， 汽车与他相距1300米，请你帮小王计算敌方汽车的 速度吗？
作业：2.如图，从电线杆离地面6米处向地面拉一 条长10米的缆绳，这条缆绳在地面的固定点距离电 线杆底部有多远？
作业：3.如图，已知直角△ABC的两直角边分别为 6，8，分别以其三边为直径作半圆，求图中阴影部 分的面积．
作业：4.飞机在空中水平飞行，某一时刻刚好飞机 飞到一个男孩头顶正上方4000多米处，过20秒， 飞机距离这个男孩头顶5000米，飞机每时飞行多 少千米？
谢谢
墙的距离为1.5 m，当 端点向右移动0.5 m时，A● 求滑竿顶端下滑多少米？E ●
C
●●
BD
应用3:勾股定理与实际生活：
例题： 我校的九（6）班教室A位于工地B 处的正西方向，且AB=160米，一辆大型货 车从B处出发，以10米/秒的速度沿北偏西 60度的方向行驶，如果大型货车的噪声污 染半径为100米，试问 （1）教室A是否在 大型货车的噪声污染范围内？若不在，试 说明理由。 （2）若在，请求出教室A受污 染的时间是多少？
探索勾股定理(第2课时)(1个知识点+12大题型+18道强化训练)教师版24-25学年八年级数学上册
第08讲探索勾股定理（第2课时）（1个知识点+12大题型+18道强化训练）课程标准学习目标①勾股定理的应用 1. 掌握勾股定理的应用；知识点01：勾股定理的应用勾股定理的作用已知直角三角形的任意两条边长，求第三边；用于解决带有平方关系的证明问题；3．与勾股定理有关的面积计算；4．勾股定理在实际生活中的应用．【即学即练1】1．如图所示的是一个长方体笔筒，底面的长、宽分别为8cm和6cm，高为10cm，将一支长为18cm的签字笔放入笔筒内，则签字笔露在笔筒外的的长度最少为（）A ．10cmB ．()18102cm -【答案】B 【分析】长方体内斜对角线是最长的，当签字笔在笔筒里对角放置的时候露在外面的长度最小，求出笔筒的对角线长度即可得签字笔露在外面的最短长度．【详解】解：由题意知：笔筒底面对角长为A ．28mB ．【答案】C 【分析】滑行的距离最短，即是沿着E 三点构成直角三角形，AE 可得出AE 的距离．12AD=米，DE=△中，在Rt ADE22121620AE=+=即滑行的最短距离为故选：C．题型01 求梯子滑落高度1．如图，将长为10m的梯子AB斜靠在墙上，使其顶端A距离地面6m．若将梯子顶端A向上移动2m，则梯子底端B向左移动（）A．10m B．6m C．4m D．2m【答案】D【分析】本题考查了勾股定理的应用，根据题意画出对应几何图形，求出B C¢即可求解.【详解】解：如图所示：一段距离，则下滑的距离（大于、小于或等于）1米．(1)求OA 的长度．(2)如果梯子下滑0.4m ，则梯子滑出的距离是否等于0.4m ？请通过计算来说明理由．题型02 求旗杆高度1．某兴趣小组要测量学校旗杆的高度，他们发现系在旗杆顶端的绳子刚好垂到地面，若紧拉绳子的末端向后退6m 后发现绳子末端到地面的距离为2m ，则旗杆的高度是（ ）A ．5mB ．10mC ．13mD ．17m 【答案】B【分析】本题主要考查了勾股定理的应用，解决问题的关键是熟练掌握勾股定理解直角三角形．【详解】解：如图，设旗杆的高度AB 为m x ，则绳子AC 的长度为m x ，过点C 作CE AB ^于点E ，则6m EC BD ==，2m CD EB ==，在Rt AEC △中，根据勾股定理可得()22226x x -+=，解得10x =，\旗杆的高度是10m ，故选：B ．2．如图1，在综合实践小组测量旗杆高度的活动中，同学们发现旗杆上的绳子垂到地面还多出了1米，如图2，当把绳子向外拉直并使绳子底端刚好落到点C 处，经过测量此时绳子底端C 到旗杆底部A 的距离是5米，则旗杆AB 的高度为 米【答案】12【分析】本题主要考查了勾股定理的实际应用，设旗杆的高度为x 米，则AB x =米，()1BC x =+米，在Rt ABC △中，由勾股定理得()22215x x +=+，解方程即可得到答案．【详解】解：设旗杆的高度为x 米，则AB x =米，()1BC x =+米，由题意得：5AC =米，在Rt ABC △中，由勾股定理得222AC AB BC =+ ，∴()22215x x +=+，解得12x =，∴12AB =米，∴旗杆的高度为12米，故答案为：12．3．小龙在放风筝时想测量风筝离地面的垂直高度，通过如图勘测，得到如下记录：①测得水平距离BC 的长为12米；②根据手中剩余线的长度计算出风筝线AB 的长为13米；③小龙牵线放风筝的手到地面的距离CD 长为1.5米．(1)求风筝到地面的距离线段AD 的长；(2)如果小龙想要风筝沿CA 方向再上升4米，BC 和CD 的长度不变，则他应该再放出_____米线．题型03 求小鸟飞行距离1．如图，有两棵树AB 和CD （都与水平地面AC 垂直），树AB 高8米，树梢D 到树AB 的水平距离DE （DE AB ^）的长度为8米，2AE CD ==米，一只小鸟从树梢D 飞到树梢B ，则它至少要飞行的长度为（ ）A ．10米B ．9米C ．8米D ．7米∵DE AB^∴90BED Ð=°∵树AB 高8米，AE =∴6BE =米，8DE =另一棵树的树梢，那么小鸟至少飞行 米．【答案】26【分析】本题考查了勾股定理与实际问题，根据题意构建模型，过点B 作BA CD ^，交CD 于点A ，由题意可得20m CD =，10m BE =，24m DE =，根据题意可证明四边形ADEB 是矩形，24AB DE m ==，10m AD BE ==，可得10m AC =，在t R BAC V 中，90BAC Ð=°，根据勾股定理得26m BC =，即可得，掌握两点之间线段最短，矩形的判定，勾股定理，根据题意构建出模型是解题的关键．【详解】解：如图所示，过点B 作BA CD ^，交CD 于点A ，由题意可得20m CD =，10m BE =，24m DE =，∵90BAD ADE DEB Ð=Ð=Ð=°，小鸟从一棵树的树梢A点处飞到另一棵树的树梢B点处，则小鸟至少要飞行多少米？题型04 求大树折断前的高度1．《九章算术》是中国传统数学的重要著作之一，奠定了中国传统数学的基本框架．其中记载了一道“折竹抵地”问题；今有竹高一丈，末折抵地，去根三尺．问折高者几何？大意是；“一根竹子，原高一丈（一丈=10尺），中部有一处折断，竹稍恰好抵地，抵地处离竹子底部3尺远，”问折断处离地面的高度是多少尺？（ ）A．4B．92C．9120D．10920离为1.5m，一只蜗牛从树顶端的A处出发，以20cm/min的速度沿树干向上爬行，则它爬到折断处C所需的时间为min．意思是：有一根竹子，原高一丈（1丈10=尺），现被风折断，尖端落在地上，竹尖与竹根的距离三尺，求折断处离地面的高度．【答案】4.55尺【分析】本题主要考查了勾股定理的应用，解题的关键是熟练掌握勾股定理，在一个直角三角形中，两条直角边分别为a 、b ，斜边为c ，那么222a b c +=．设竹子折断处离地面x 尺，则斜边为(10)x -尺，根据勾股定理列出方程，解方程即可．【详解】解：设竹子折断处离地面x 尺，则斜边为(10)x -尺，根据勾股定理得2223(10x)x +=-，解得： 4.55x =答：折断处离地面的高度是4.55尺．题型05 解决水杯中筷子问题1．一支铅笔斜放在圆柱体的笔筒中，如图所示，笔筒的内部底面直径是6cm ，内壁高8cm ．若这支铅笔在笔筒外面部分长度是5cm ，则这支铅笔的长度是（ ）cm ．A ．10B ．15C ．20D ．25【答案】B 【分析】首先根据题意画出图形，利用勾股定理计算出AC 的长度．然后结合题意即可求解．此题主要考查了勾股定理的应用，正确得出笔筒内铅笔的长度是解决问题的关键．【详解】解：如图：根据题意可得图形：△中：AC在Rt ABC∵这支铅笔在笔筒外面部分长度是∴这支铅笔的长度是故选：B．2．如图，已知钓鱼杆鱼竿AC转动到AC¢的位置，此时露在水面上的鱼线B C¢¢长度为4米，则BB¢的长为米．FG=），当筷子GE倒向杯壁时（筷子底端不动），筷子顶端正好触到杯壁D，筷子露出杯子外1cm（即1cm求筷子GE的长度．【答案】13cm【分析】设杯子的高度是cm x ，则筷子的高度为()1cm x +，根据勾股定理列出方程，解方程即可得到答案，根据勾股定理列出方程是解题的关键．【详解】解：设杯子的高度是cm x ，则筷子的高度为()1cm x +，∵杯子的直径为10cm ，∴5cm DF =，在Rt DEF V 中，由勾股定理得：2225(1)x x +=+，解得12x =，∴筷子()12113cm EG =+=．答：筷子GE 的长度为13cm ．题型06 解决航海问题1．两只蜗牛从同一地点同时出发，一只以3m /min 的速度向北直行，一只以4m /min 的速度向东直行，1min 后两只蜗牛相距（ ）A ．5mB ．C ．D ．4.5m【答案】A【分析】本题考查勾股定理，分别计算一分钟两只蜗牛行走的路程，再根据勾股定理计算即可．【详解】解：313´=，414´=，∵一只以3m /min 的速度向北直行，一只以4m /min 的速度向东直行，∴夹角为直角，∵222345+=，∴1min 后两只蜗牛相距5m ，故选：A ．2．如图，甲、乙两船同时从港口A 出发，甲船以30海里/时的速度沿北偏东35°方向航行，乙船沿南偏东55°方向航行，2小时后，甲船到达C 岛，乙船到达B 岛，若C ，B 两岛相距100海里，乙船的速度是 海里/时．Q 60AC \=海里．35EAC Ð=°Q ，55FAB Ð=90CAB \Ð=°．100BC =Q 海里，22100AB BC AC \=-=Q 乙船也用2小时，时派出甲、乙两艘搜救艇同时从港口O出发，甲搜救艇以12海里/时的速度沿北偏东40°的方向向A地出发，乙搜救艇以16海里/时的速度沿南偏东50°的方向向B地出发，2小时后，甲、乙两艘搜救艇同时到达遇险船只A，B处．求此时甲、乙两艘搜救艇之间的距离AB．题型07 求河宽1．为了培养学生的数学核心素养，提高学生发现问题，分析问题，解决问题的能力．2024年昭通市某学校的156班组织了一次课外研学活动．在研学活动中，王宇同学欲控制遥控轮船匀速垂直横渡一条河，但由于水流的影响，实际上岸地点F 与欲到达地点E 相距10米，结果轮船在水中实际航行的路程HF 比河的宽度EH 多2米，则河的宽度EH 是（ ）．A ．8米B ．12米C ．16米D ．24米【答案】D 【分析】本题考查了勾股定理的应用，根据题意可知EFH △为直角三角形，根据勾股定理列方程就可求出直角边EH 的长度．【详解】解：根据题意可知10EF =米，设EH x =，则2HF x =+，Rt EFH △中，由勾股定理得222FH EF EH =+，即()222210x x +=+，解得24x =．∴该河的宽度EH 为24米．故选：D ．2．《九章算术》是古代数学著作，书中记载：“今有开门去阃（读kǔn ，门槛）一尺，不合二寸，问：门广几何？”题目大意是如图①、图②（图②为图①的俯视示意图），今推开双门，门框上点C 和点D 到门槛AB 的距离DE 为1尺（1尺10=寸），双门间的缝隙CD 为2寸，则门宽AB 的长是 寸．【答案】1013．为实现核心素养导向的教学目标，走向综合性、实践性的课程教学变革，某中学推进项目式学习，组织八年级数学研学小组进行了“测量隧道长度”的项目式学习活动．项目主题测量隧道的长度AB 测量工具测角仪、测距仪等测量示意图 数据说明90ACB ABC Ð+Ð=°，750BC =米，210AC =米特别说明测量过程中注意保障人身安全！请你根据以上测量结果，计算隧道的长度AB ．题型08 求台阶上地毯长度1．如图，要为一段高为5米， 长为13米的楼梯铺上红地毯，则红地毯的长度至少为（ ）A ．18米B ．17 米C ．13米D ．12米∴地毯的长度至少是12517+=米．故选B．2．某楼梯如图所示，欲在楼梯上铺设红色地毯，已知这种地毯每平方米售价为30元，楼梯宽为2m，则地毯的长为m，购买这种地毯至少需要元．(1)如果给台阶表面8个矩形区域铺上定制红毯，需要定制红毯的面积为432平方分米，那么每一级台阶的高为多少分米？(2)A和C是这个台阶上两个相对的端点，台阶角落点A处有一只蚂蚁，想到台阶顶端点C处去吃美味的食物，则蚂蚁沿着台阶面从点A爬行到点C的最短路程为多少分米？【答案】(1)每一级台阶的高为2分米．题型09 判断汽车是否超速1．如图，小蓓要赶上去实践活动基地的校车，她从点A知道校车自点B处沿x轴向原点O方向匀速驶来，她立即从A处搭一辆出租车，去截汽车．若点A的坐标为（2，3），点B的坐标为（8，0），汽车行驶速度与出租车相同，则小蓓最快截住汽车的坐标为（ ）A．（3，0）B．（3.5，0）C．（174，0）D．（5，0）【答案】C【分析】在D点小蓓与汽车相遇，则小蓓的行进路线为AD，设OD＝x，在直角△ACD中，AD为斜边，已知AC，CD，即可求AD，且BC＝OB﹣OC＝8，根据BD＝AD的等量关系可以求得x，即可求相遇点D的坐标．【详解】解：作出题目中给出的图形：已知AC＝3，OC＝2，OB＝8，在D点小蓓与汽车相遇，设OD＝x，则CD＝x﹣2，的C 处，过了5s 后，测得小汽车与车速检测仪间的距离为50m ，则这辆小汽车的速度是 m /s ．建成通车，在该路段MN 限速5m/s ，为了检测车辆是否超速，在公路MN 旁设立了观测点C ，从观点C 测得一小车从点A 到达点B 行驶了10s ．若测得45CAN Ð=°，60CBN Ð=°，100m BC =．此车超速了吗？请说明理由．∴小车平均速度(5031010AB ==而()5315-<∴此车没有超速．题型10 判断是否受台风影响1．如图，铁路MN 和公路PQ 在点O 处交会，公路PQ 上点A 距离点O 是270m ，与MN 这条铁路的距离是200m ．如果火车行驶时，周围250m 以内会受到噪音的影响，那么火车在铁路MN 上沿ON 方向以72km /h 的速度行驶时，点A 处受噪音影响的时间是（ ）A ．15秒B ．13.5秒C ．12.5秒D ．10秒∵公路PQ 上点A 距离点O 是270m ∴200m AC =，∵250m AB AD ==，∴由勾股定理得：2BC AB =400m BC =，500m AB =，已知距离火车250m 以内会受到噪音的影响．（1）学校C 到铁路AB 的距离是 m ．（2）火车在AB 路段行驶时，学校C 受到火车噪音影响的时间是 min ．（3）如果火车在下课时间穿过该路段，并确保学校受到火车噪音影响的时间控制在10分钟以内（10min t £），那么其行驶速度至少应增加到m /min ．∵300m AC =，400m BC =，AB =∴222AB AC BC =+，∴ABC V 是直角三角形，∴1122ABC S AC BC AB CD =×=×V ，即当250m CE CF ==时，正好影响学校，极端气候，有极强的破坏力．如图，有一台风中心沿东西方向AB由点A行驶向点B，已知点C为一海港，^时，A点到B，C两点的距离分别为500km和300km，以台风中心为圆心周围250km以内为受当AC BC影响区域．(1)求BC；(2)海港C受台风影响吗？为什么？(3)若台风的速度为35km/h，则台风影响该海港持续的时间有多长？（3）解：当250km EC =，FC ()2270km ED EC CD =-=Q ，140km EF \=，Q 题型11 选址使两地距离相等1．如图，高速公路上有A 、B 两点相距10km ，C 、D 为两村庄，已知4DA km =，6CB km =．DA AB ^于A ，CB AB ^于B ，现要在AB 上建一个服务站E ，使得C 、D 两村庄到E 站的距离相等，则EA 的长是（ ）km ．A ．4B ．5C ．6D 【答案】C 【分析】本题考查了勾股定理的应用，熟练掌握勾股定理是本题的关键．根据题意设出BE 的长为xkm ，再由勾股定理列出方程求解即可．【详解】解：设BE x =，则()10AE x km =-，由勾股定理得：在Rt ADE V 中，222224(10)DE AD AE x =+=+-，在Rt BCE V 中，222226CE BC BE x =+=+，由题意可知：DE CE =，所以：222264(10)x x +=+-，解得：4x km =．所以，EB 的长是4km ．所以，()1046EA km =-=．故选：C ．2．如图，在笔直的铁路上A ，B 两点相距20km ，C 、D 为两村庄，8km DA =，14km CB =，DA AB ^于点A ，CB AB ^于B ，现要在AB 上建一个中转站E ，使得C 、D 两村到E 站的距离相等，求AE = km ．8km DA =，6km CB =．现在要在公路AB 上建一个土特产产品收购站E ，使得C ，D 两商场到E 站的距离相等，(1)求E 站应建在离A 点多少km 处？(2)若某人从商场D以5km/h的速度匀速步行到收购站E，需要多少小时？题型12 最短路径问题、和3cm的长方体木块，一只蚂蚁要从长方体木块的一个顶点A处，1．如图是一块长、宽、高分别是6cm4cm沿着长方体的表面到长方体上和顶点A相对的顶点B处吃食物，那么它需要爬行的最短路径的长是（）A ．(3cm +BCD 但有三种情况：当：3AD =，4610DB =+=．22310109cm AB =+=．当4=AD ，639DB =+=．97cm AB =．此时一只蚂蚁正好在杯子外壁，离杯子上沿2cm 与蜂蜜相对的点A 处，则蚂蚁从外壁A 处到达内壁B 处的最短距离为 cm ．3．【问题背景】如图一条步道．为了提升公园内人与自然的和谐品质，尽量避免人类活动影响鸟类生活，现对步道进行升级改造，要求步道离小岛至少40米．为了测得步道离岛的距离，施工人员计划实施如下方案：如图2，记小岛为点P ，首先在笔直的步道1l 上找一处A （1AP l ^），一工人沿步道1l 从点A 出发直走80米到达B 处，又继续前行80米到达点C 处，接着从C 处沿与步道1l 垂直的方向行走，当到达D 处时，P 、B 、D 刚好在同一直线上，最后工人测得CD 的长为75米．请根据以上信息，回答下面的问题：【问题探究】（1）求小岛离步道1l 的垂直距离PA ．【问题拓展】（2）在第（1）问的条件下，如图3，有相邻的另一条笔直步道2l ，小岛P 到2l 的距离PM a =米，点A 到L ₂的距离()80AN a =-米，在MN 之间有一任意点E ，当PE AE +的最小值为100米时，①MN = 米（直接写出结果）．②为了避免人类活动影响鸟类生活，请问步道2l 是否符合要求？请用学过的数学知识说明原因．【方法迁移】（3）若将x ，3x -，2，2分别看作四条线段的长，结合图2，构造适当的几何图形求代数式的最小值为 （直接写出）．过Q 作2QH l ∥交AN 的延长线于∵2PM l ^，PM MQ =即2l 垂直平分PE EQ \=，PE AE QE AE AQ \+=+³，当A 、Q 、E 三点共线时PE +即100AQ =米∵2AN l ^，2QH l ∥AN QH \^即90AHQ Ð=°，MNHQ1．如图是一个三级台阶，它的每一级的长、宽、高分别为20dm 3dm 2dm 、、．A 和B 是这个台阶上两个相对的端点，点A 处有一只蚂蚁，则蚂蚁沿着台阶面爬行到点B 的最短路程为（ ）A B ．20dm C ．25dm D ．35dm【答案】C 【分析】本题的是平面展开﹣最短路径问题，解答此类问题时要先根据题意把立体图形展开成平面图形后，再确定两点之间的最短路径．一般情况是两点之间，线段最短．在平面图形上构造直角三角形解决问题．先将图形平面展开，再由勾股定理根据两点之间线段最短进行解答．【详解】解：三级台阶平面展开图为长方形，长为20dm ，则蚂蚁沿台阶面爬行到B 点最短路程是此长方形的对角线长．设蚂蚁沿台阶面爬行到B 点最短路程为xdm ，由勾股定理得：()22222023325x éù=++´=ëû，解得：()25dm x =．故选：C ．2．如图，在学校工地的一根空心钢管外表面距离左侧管口2cm 的点M 处有一只小蜘蛛，它要爬行到钢管内表面距离右侧管口5cm 的点N 处觅食，已知钢管横截面的周长为18cm ，长为15cm ，则小蜘蛛需要爬行的最短距离是（ ）A ．5cmB ．4cmC ．D ．15cm 由题意得：2cm AM BC ==，BD =∴()1155218cm CN =+-=，而成，如图，在ABD △中，,AB AD AE BD =^，若10,6BC CD ==，则22AC AD -的值为（ ）A ．16B ．24C ．32D ．60【答案】D 【分析】本题考查的是等腰三角形的性质，勾股定理的应用，平方差公式的应用，先证明DE BE =，222AD AE DE =+，222AC AE CE =+，再结合平方差公式可得答案；【详解】解：∵,AB AD AE BD =^，∴DE BE =，222AD AE DE =+，222AC AE CE =+，∴2222AC AD CE DE -=-()()CE DE CE DE =+-()CE BE CD=+×BC CD=×∵10,6BC CD ==，∴2210660AC AD ´-==；故选D4．勾股定理是用代数思想解决几何问题最重要的工具，也是数形结合的纽带之一．如图，当秋千静止时，踏板B 离地的垂直高度0.8m BE =，将它往前推3m 至C 处时(即水平距离3m CD =)，踏板离地的垂直高度2.6m CF =，它的绳索始终拉直，则绳索AC 的长是（ ）A ．3.4mB ．3.6mC ．3.8mD ．4.2m【答案】A 【分析】本题考查了勾股定理的应用，熟练掌握勾股定理是解题关键．由题意可知， 2.6m DE CF ==，0.8m BE =，3m CD =，设m AB AC x ==，根据勾股定理列方程求解即可．【详解】解：由题意可知， 2.6m DE CF ==，0.8m BE =，3m CD =，1.8m BD \=，设m AB AC x ==，则()1.8m AD x =-，由勾股定理得：222AD CD AC +=，()2221.83x x \-+=，解得： 3.4x =，即绳索AC 的长是3.4m ，故：A ．5．如图，圆柱形笔筒的内部底面直径是9cm ，内壁高为12cm ．将一根长18cm 的铅笔放置于笔筒中（铅笔的直径忽略不计），铅笔露在笔筒外的长度为cm a ，则a 的取值范围是（ ）A ．912a <<B ．612a ££C ．39a <<D ．36a ££置时，露在水面上的鱼线B C ¢¢长为2米，则CC ¢的长为（ ）A ．1米B ．2)-米CD ．2)米走两步后的落点与出发点间的最远距离为．走两步后的落点与出发点间的最远距离的点为故答案为：25．8．如图，圆柱的底面周长是10cm之相对的上底面点B，那么它爬行的最短路程为．【答案】13cm/13厘米【分析】本题考查勾股定理的应用—最短路径问题，将圆柱体展开，利用勾股定理求出最短路径的长即可．【详解】解：把圆柱沿母线展开，点B展开后的对应点为B¢，利用两点之间线段最短可判断蚂蚁爬行的最短路径为AB¢，如图所示：由题意，得：12cm,AC =在Rt ACB ¢△中，由勾股定理，得：故答案为：13cm ．A 的北偏东方向上，距离为13海里，岛B 和岛C 之间的距离为5海里，则岛B 在岛C 的北偏西 方向上.【答案】52°/52度【分析】本题主要考查了方向角、勾股定理的逆定理，平行线的性质，关键是根据勾股定理的逆定理得90ABC Ð=°．先根据勾股定理的逆定理得90ABC Ð=°，再根据方向角的定义和平行线的性质计算即可．【详解】解：如图，过点C 作CF EB∥12AB =Q 海里，13AC =海里，5BC =海里，222AB BC AC \+=，90ABC \Ð=°，38BAD Ð=°Q ，AD BE P ，38ABE BAD \Ð=Ð=°，52CBE \Ð=°，∵BE CF ∥，52BCF CBE \Ð=Ð=°，\岛B 在岛C 的北偏西52°方向上．故答案为：52°．10．在笔直的铁路上A 、B 两点相距25km ，C 、D 为两村庄，10km DA =，15km CB =，DA AB ^于A ，CB AB ^于B ，现要在AB 上建一个中转站E ，使得C 、D 两村到E 站的距离相等．则E 应建在距A km ．【答案】15【分析】此题主要考查了勾股定理的应用．利用DE CE =，再结合勾股定理求出即可．【详解】解：设km AE x =，则25km ()=-BE x ，DE CE =Q ，2222AD AE BE BC \+=+，故222210(25)15x x +=-+，解得；15x =．故答案为：15．11．如图，透明的圆柱形容器（容器厚度忽略不计）的高为12cm ，底面周长为10cm ，在容器内壁离容器底部3cm 的点B 处有一饭粒，此时一只蚂蚁正好在容器外壁，且离容器上沿3cm 的点A 处，则蚂蚁吃到饭粒需爬行的最短路径是 cm ．【答案】13【分析】本题考查了最短路径问题，将圆柱侧面展开，作出点A 关于EF 的对称点A ¢，根据两点之间线段最短可知A B ¢的长度即为所求，利用勾股定理求出A B ¢即可求解，利用轴对称找到蚂蚁吃到饭粒需爬行的最短路径是解题的关键．12．如图1是一种伸缩式的鞋架，它有平放和斜放两种使用方式．鞋架每侧有O ，P ，Q 为各支架的中点．鞋架平放得图2，面板BH 的长为24cm ，此时鞋架高度为54cm ，则支架AD 的长为 cm ；鞋架斜放得图3，此时调节杆AL 的端点L 正好卡在面板BH 的调节孔点G 处，13cm AL =，10cm HG =，60AOB Ð=°，则鞋架最高点H 到地面MN 的距离是cm ．\5469OK =¸=，22AO AK OK \=+22129=+15=，230AD AO \==（如图，连接AB ，过Q ALB \V 是等边三角形，60LBA \Ð=°，30RHB \Ð=°，12RB HB \=()110132=+232=，2HR HB RB \=-3RB =米），且绳索保持拉直的状态，求此时木马上升的高度．由题意得：AC△中，由勾股定理得：在Rt ACF2AF AC=-=-则BF AB即木马上升的高度为正前方60m处的C点，测得小汽车所在的B点与车速检测仪A之间的距离为100m．(1)求B，C间的距离．(2)这辆小汽车超速了吗？请说明理由．(1)这个梯子的顶端距地面有多高？(2)如果梯子的顶端下滑了4米，那么梯子的底端在水平方向滑动了几米？【答案】(1)梯子顶端距离地面的高度为24米(2)梯子的底端在水平方向滑动了8米【分析】本题主要考查了勾股定理在解直角三角形中的应用，熟练掌握并正确计算是解题的关键．（1）利用勾股定理可以得出梯子的顶端距离地面的高度；（2）由（1）可以得出梯子的初始高度，下滑4米后，可得出梯子的顶端距离地面的高度，再次使用勾股定理，可以得出梯子的底端在水平方向滑动的距离．习了“勾股定理”之后，为了测得风筝的垂直高度CE ，他们进行了如下操作：①测得水平距离BD 的长为15米；②根据手中剩余线的长度计算出风筝线BC 的长为25米；③牵线放风筝的小明的身高为1.6米．(1)求风筝的垂直高度CE ；(2)如果小明想风筝沿CD 方向下降12米，则他应该往回收线多少米？【答案】(1)风筝的高度CE 为21.6米；(2)他应该往回收线8米．【分析】本题考查了勾股定理的应用；（1）利用勾股定理求出CD 的长，再加上DE 的长度，即可求出CE 的高度；（2）根据勾股定理即可得到结论．【详解】（1）解：在Rt CDB △中，由勾股定理得，222222515400CD BC BD =-=-=，所以，20CD =（负值舍去），所以，20 1.621.6CE CD DE =+=+=（米)，答：风筝的高度CE 为21.6米；（2）解：由题意得，12CM =，\22BM DM BD \=+2517BC BM \-=-=\他应该往回收线8米．17．在一条东西走向的河流一侧有一村庄由C 到A 的路现在已经不通，该村为方便村民取水，决定在河边新建一个取水点D （,,A D B 在同一条直线上），并新修一条路CD ，测得 6.5CB =千米，6CD =千米， 2.5BD =千米．(1)求CDB Ð的度数；(2)求原来的路线AC 的长．【答案】(1)90°(2)8.45千米【分析】本题主要考查了勾股定理以及勾股定理的逆定理的应用，熟练掌握相关知识是解题关键．（1）利用勾股定理的逆定理推导BCD △为直角三角形，即可获得答案；（2）设AB AC x ==，则 2.5AD x =-，在Rt ACD △中，利用勾股定理解得x 的值，即可获得答案．【详解】（1）解：根据题意，可知 6.5CB =千米，6CD =千米， 2.5BD =千米，∵22222.5642.25BD CD +=+=，226.542.25CB ==，∴222BD CD CB +=，∴BCD △为直角三角形，90CDB Ð=°；（2）由（1）可知，90CDB Ð=°，即CD AB ^，设AB AC x ==，则 2.5AD AB BD x =-=-，在Rt ACD △中，可有222AD CD AC +=，后再沿北偏西30°方向走了500米到达目的地C 点．(1)判断ABC V 的形状；(2)求A 、C 两点之间的距离；(3)确定目的地C 在营地A 的什么方向．【答案】(1)ABC V 的形状是直角三角形，(2)A 、C 两点之间的距离是1000米；(3)目的地C 在营地A 的北偏东30°方向上．【分析】（1）求出FBC Ð，根据平角的定义求出CBA Ð即可；（2）根据勾股定理求出AC 即可；（3）根据1000AC =，500BC =，求出30CAB Ð=°即可．【详解】（1）解：ABC V 的形状是直角三角形，理由是：EF AD ∥，60EBA DAB \Ð=Ð=°，Q ∴15002BG AG CG AC ====∴BCG V 是等边三角形，∴60ACB Ð=°，∴30CAB Ð=°，6030DAC DAB CAB Ð=Ð-Ð=°-即目的地C 在营地A 的北偏东【点睛】本题综合考查了勾股定理，等边三角形的判定和性质，方向角，两点之间的距离等知识点，关键。
北师大版数学 八年级上册 探索勾股定理(第2课时)
D A
C B
也验证了 勾股定理
探究新知
方法三
b
ac
a2
c2
b2
所以a2 + b2 = c2
探究新知
方法四
④c
b
⑤
③
①
②
所以c2 = b2 + a2
探究新知
毕达哥拉斯证法：请先用手中的四个全等的直角三角形按图 示进行拼图，然后分析其面积关系后证明吧.
探究新知
a b
ac b
思路：先根据题意画出图形，然后添加辅助线，构造直角 三角形，再利用勾股定理解答．
课堂检测
基础巩固题
解：根据题意画出示意图，如图所示， 两棵树的高度分别为AB=8 m，CD=2 m， 两棵树之间的距离BD=8 m， 过点C作CE⊥AB，垂足为E，连接AC. 则BE=CD=2 m，EC=BD=8 m， AE=AB-BE=8-2=6(m)． 在Rt△ACE中，由勾股定理，得AC2=AE2+EC2， 即AC2=62+82=100，所以AC=10 m.
下列阴影部分是一个正方形，求此正方形的面积.
15厘米
17厘米
解：设正方形的边长为x厘米 , 则 x2 =172-152 =64
答：正方形的面积是64平方厘米.
探究新知
议一议 判断图中三角形的三边是否满足a2+b2=c2.
提示：用数格子的方法判断图中三角形的三边长是否满足 a2+b2=c2.
钝角三角形： a2+b2 ＜ c2
根据勾股定理，得b2=c2-a2=9.
所以S3=12π
b 2
2=18πb2=98π.
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浙教版数学八年级上册《2.7 探索勾股定理》教案2
浙教版数学八年级上册《2.7 探索勾股定理》教案2一. 教材分析《探索勾股定理》是浙教版数学八年级上册第二章第七节的内容。
本节课的主要目的是让学生通过探索、发现、验证勾股定理，培养学生的探究能力和合作交流能力，体会数学的探究过程，感受数学的美。
教材通过丰富的背景材料，引出勾股定理的探究，并通过数学活动，让学生体验勾股定理的发现过程，理解并掌握勾股定理。
二. 学情分析学生在学习本节课之前，已经学习了相似多边形的性质，会画直角三角形，对三角形有了一定的认识，但对于证明勾股定理可能会存在一定的困难。
因此，在教学过程中，需要关注学生的学习情况，适时给予引导和帮助。
三. 教学目标1.了解勾股定理的背景，感受数学与实际生活的联系。
2.通过探索、发现、验证勾股定理，培养学生的探究能力和合作交流能力。
3.理解并掌握勾股定理，能运用勾股定理解决实际问题。
四. 教学重难点1.教学重点：理解并掌握勾股定理。
2.教学难点：证明勾股定理。
五. 教学方法采用探究式教学法，以学生为主体，教师为指导，引导学生通过观察、操作、思考、讨论、验证等探究活动，发现并证明勾股定理。
六. 教学准备1.教学课件。
2.直角三角形模型。
3.勾股定理相关背景资料。
七. 教学过程1.导入（5分钟）通过展示直角三角形的三条边长，引导学生思考：如何计算直角三角形的面积？从而引出勾股定理的探究。
2.呈现（10分钟）展示勾股定理的背景资料，让学生了解勾股定理的起源和发展，感受数学与实际生活的联系。
3.操练（10分钟）学生分组进行实验，用直角三角形模型测量三边长，计算面积，观察并记录实验结果。
教师巡回指导，解答学生疑问。
4.巩固（10分钟）学生汇报实验结果，分享发现。
教师引导学生总结勾股定理的表述：直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方。
5.拓展（10分钟）学生分组讨论，探索如何证明勾股定理。
教师引导学生运用相似三角形的性质进行证明。
6.小结（5分钟）教师引导学生总结本节课的学习内容，巩固勾股定理的理解和记忆。
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