量子力学概论第3章 形式理论
量子力学第三章3.1_1
∂2 ∂ ∂2 ∂ ˆ F = a 0 + a1 + b2 2 + … + a 2 2 + … + b1 ∂y ∂x ∂x ∂y
∂ ∂2 + c1 + c 2 2 + … ∂z ∂z
其中 a 0 , a 1 , a 2 ,…, b1 , b 2 ,…, c1 , c 2 … 是 x , y, z 的函数。 ˆ ˆ ˆ ˆ 如 x , p , H ，还有要讲的角动量算符 L 等…。
F( x ) =
∑
∞
F
(n )
n =0
(0) n x n!
∂n F ( n ) (0) = F( x ) n ∂x x =0
∞
ˆ F(A ) =
i ˆ − Ht h ∞
∑
n =0
F ( n ) (0) ˆ n A n!
例如：e
=∑
n =0
1 i ˆ n [− Ht ] 。 n! h
9. 算符的本征值与本征函数
§3.1 表示力学量的算符 §3.2 动量算符和角动量算符 §3.3 电子在库仑场中的运动 §3.4 氢原子 §3.5 厄米算符本征函数正交性 §3.6 算符与力学量的关系 §3.7 算符对易关系，两力学量同时有确定值 的条件，测不准关系 §3.8 力学量平均值随时间的变化，守恒定律
一、算符的一般性质 算符：作用在一个函数上得出另一个函数的运算符 号，量子力学中的算符是作用在波函数上的运算符
ˆˆ 易。并且有性质：FG
( )
−1
ˆ −1F −1 。 = G ˆ
6. 算符的复共轭、转置和厄米共轭
ˆ ˆ ˆ （1）算符 F 的复共轭算符 F* ，由 F 表示中复量换
量子力学讲义第三章讲义详解
第三章 力学量用算符表达§3.1 算符的运算规则一、算符的定义：算符代表对波函数进行某种运算或变换的符号。
ˆAuv = 表示Â把函数u 变成 v ， Â就是这种变换的算符。
为强调算符的特点，常常在算符的符号上方加一个“^”号。
但在不会引起误解的地方，也常把“^”略去。
二、算符的一般特性 1、线性算符满足如下运算规律的算符Â，称为线性算符11221122ˆˆˆ()A c c c A c A ψψψψ+=+ 其中c 1, c 2是任意复常数，ψ1, ψ2是任意两个波函数。
例如：动量算符ˆpi =-∇， 单位算符I 是线性算符。
2、算符相等若两个算符Â、ˆB对体系的任何波函数的运算结果都相同，即ˆˆA B ψψ=，则算符Â和算符ˆB 相等记为ˆˆAB =。
3、算符之和若两个算符Â、ˆB对体系的任何波函数有：ˆˆˆˆˆ()A B A B C ψψψψ+=+=，则ˆˆˆA B C +=称为算符之和。
ˆˆˆˆAB B A +=+，ˆˆˆˆˆˆ()()A BC A B C ++=++ 4、算符之积算符Â与ˆB之积，记为ˆˆAB ，定义为 ˆˆˆˆ()()ABA B ψψ=ˆC ψ= 是任意波函数。
一般来说算符之积不满足交换律，即ˆˆˆˆABBA ≠。
5、对易关系若ˆˆˆˆABBA ≠，则称Â与ˆB 不对易。
若A B B Aˆˆˆˆ=，则称Â与ˆB 对易。
若算符满足ˆˆˆˆABBA =-， 则称ˆA 和ˆB 反对易。
例如：算符x , ˆx pi x∂=-∂不对易证明：(1) ˆ()x xpx i x ψψ∂=-∂i x x ψ∂=-∂ (2) ˆ()x px i x x ψψ∂=-∂i i x xψψ∂=--∂ 显然二者结果不相等，所以：ˆˆx x xpp x ≠ ˆˆ()x x xpp x i ψψ-= 因为是体系的任意波函数，所以ˆˆx x xpp x i -= 对易关系 同理可证其它坐标算符与共轭动量满足ˆˆy y ypp y i -=，ˆˆz z zp p z i -= 但是坐标算符与其非共轭动量对易，各动量之间相互对易。
第3章 量子力学导论
第三章 量子力学导论19世纪末的三大发现(1896年发现放射性，1897年发现电子，1900年提出量子化概念)为近代物理学的序幕。
1905年爱因斯坦在解释光电效应时提出光量子概念，1913年玻尔将普朗克-爱因斯坦量子概念用于卢瑟福模型，提出量子态观念，成功地解释了氢光谱。
此外，利用泡利1925年提出的不相容原理和同年乌仑贝克、古兹米特提出的电子自旋假说，可很好地解释元素周期性、塞曼效应的一系列实验事实。
至此形成的量子论称为旧量子论，有严重的缺陷。
在“物质粒子的波粒二象性”思想的基础上，于1925-1928年间由海森堡、玻恩、薛定谔、狄拉克等人建立了量子力学，它与相对论成了近代物理学的两大理论支柱。
量子力学的本质特征在1927年海森堡提出的不确定关系中得到明确的反映，它是微观客体波粒二象性的必然结果。
量子力学的主要内容：1)相关的几个重要实验；2)有别于经典物理的新思想；3)解决具体问题的方法。
§3-1玻尔理论的困难玻尔理论将微观粒子视为经典力学中的质点，把经典力学的规律用于微观粒子，使其理论中有难以解决的内在矛盾，故有重大缺陷。
如：为什么核与电子间的相互作用存在，但处于定态的加速电子不辐射电磁波？电子跃迁时辐射（或吸收）电磁波的根本原因何在？……（薛定谔的非难“糟透的跃迁”：在两能级间跃迁的电子处于什么状态？）玻尔理论在处理实际问题时也“力不从心”，如无法解释氢光谱的强度及精细结构，无法解释简单程度仅次于氢原子的氦光谱，无法说明原子是如何组成分子及构成液体和固体。
……§3-2波粒二象性1.经典物理中的波和粒子经典物理学中，波和粒子各自独立，在逻辑上不允许同时用这两个概念描写同一现象。
粒子可视为质点，具有定域性，有确定的质量、动量、速度和电荷等，波可以在空间无限扩展，波有确定的波长和频率。
视为质点的粒子位置可无限精确地被测定，而在无限空间传播的波的波长和频率也能被精确地测定(因为波不能被约束)。
量子力学第三章
Cii 测量i
i
Cii 测量i
i
Cii 测量i
i
对不同力学量的测量得到 不同的坍缩结果，算符理 论要回答不同的测量和不 同的测量结果之间的联系！
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三、算符的运算规则及一般特性
（1）线性算符：若算符Ô 满足：
Ô (c1ψ1+c2ψ2)= c1Ô ψ1+c2Ô ψ2
2
eip•r
/
dp
r,t Ci (t)r;Ci i ,
i
4、线性：波函数的特性与态叠加原理保证
C , c11 c2 2
若存在一个映射A将一个量子态映射为另一个量子态
A '
' Aˆ
算符
算符代表对波函数进行某种运算或操作！
如何理解算符是一种操作？可结合态叠加原理与测量 消相干来理解：
其中c1, c2是任意复常数，
例如：
ψ1, ψ1是任意两个波函数。
动量算符 pˆ i 单位算符 Iˆ 是线性算符。
开方算符、取复共轭就不是线性算符。 可观测量的算符都是线性算符，这是态叠加原理的要求。
（2）算符相等
若两个算符Ô 、Û 对体系的任何波函数 ψ的运算结果都相 同，即Ô ψ= Û ψ，则算符Ô 和算符Û 相等记为Ô = Û 。
(rˆ,
pˆ ,
t
)
二、希尔伯特(Hilbert)空间及算符
定义在某数域上的完备的线性内积空间。 1、矢量：一个给定的量子体系，其所有的量子态。 2、矢量的乘法：内积
任意两个矢量ψ1和ψ2，其内积定义为：
1, 2 1 * 2d C
复数域
3、完备性：态叠加原理保证
量子力学讲义第3章
第三章 量子体系的力学量本章讨论在量子力学中如何描述力学量的问题。
它是量子力学的重点之一，对初学者而言，开始显得比较抽象，因此，应注意习题训练。
3．1 力学量的平均值公式 力学量用算符表示~算符进入量子力学一、坐标的平均值⎰⎰⎰∞∞-∞∞-∞∞-==>=<r d r r d r r d t r w r r 3*323),(ψψψ分量： ⎰∞∞->=<r d t r x t r x n n3*),(),(ψψ问题：能否用),(t rψ导出其他力学量的平均值？二、动量的平均值⎰⎰⎰∞∞-∞∞-∞∞-==>=<p d t p C p t p C p d t p C p p d t p w p p3*323),(),(),(),(我们希望直接用),(t r ψ写出><p（注意r d t r p p 32),(⎰>≠<ψ~2),(t r ψ不是p的几率）。
以x 分量为例：⎰∞∞->=<p d t p C p t p C p x x3*),(),(将 r d e t r t p C r p i⎰∞∞-⋅-=323),()2(1),(ψπ 代入，有⎰⎰⎰∞∞-⋅-∞∞-⋅>=<pd r de t r p r d e t r p r p i x r p i x3/3/233*23]}),()2(1[]),()2(1[{/ψπψπ ⎰⎰⎰-⋅=])2(1)[,(),(3)(3//3*3/p d ep t r r d t r r d r r p i xπψψ计算[…]有)()()2(1[...]/33)(3/r r x i p d e x i r r p i-∂∂-=∂∂-=⎰∞∞--⋅δπ 于是 ⎰⎰∞∞-∞∞--∂∂->=<)(),())(,(/3//3*3r r t r r d x i t r r d p x δψψ),())(,(*3t r xi t r r d ψψ⎰∞∞-∂∂-=。
量子力学 第三章
−ρ / 2
[s(s −1) − l(l + 1)]b0 ρ
令 ν'=ν-1 第一个求和改为
s−2
+ ∑[(ν + s)(ν + s − 1) − l(l + 1)]bν ρν +s−2
ν =1
∞
∑ bν ρ ν
s+ν −1
:
+ ∑[β − (ν + s)]bν ρν +s−1 = 0
ν =0
∞
即
b ≠ 0 0 s ≥ 1
对应一个本征值有一个以上的本征函数的情况成为简并。 对应一个本征值有一个以上的本征函数的情况成为简并。 对 应同一个本征值的相互独立的本征函数的数目称为简并度。 应同一个本征值的相互独立的本征函数的数目称为简并度。
个取值。 ˆ 对给定的 l ， m 有 ( 2l + 1) 个取值。 L2 的本征值是 ( 2l + 1) 度 简并的。 简并的。
∑[(ν + s)(ν + s −1) − l(l +1)]bν ρ ν
=0
+ ∑[β − (ν + s)]bν ρν +s−1 = 0
ν =0
∞
把第一个求和号中ν= 0 项单独写出，则上式改为： 把第一个求和号中ν= 项单独写出，则上式改为：
u αf (ρ )e R= = r ρ =e
−ρ / 2 =0
四、讨论： 讨论：
ˆ ˆ a. Ylm 是 L z , L2 得共同本征函数 .
ˆ L2 Ylm = l(l + 1)h 2 Ylm
ˆ = −ih ∂ 作用于 Ylm 上，有： 而让 L z ∂ϕ ∂ m ˆ L z Ylm (θ, ϕ) = − ih [(−1) m N lm Pl (cos θ)e imϕ ] ∂ϕ
量子力学第三章
(dS = rdrd ) θ
(2)氢原子的磁矩为
M = ∫ dM = ∫
π ∞
0 0
∫
−
ehm
µ
πψnlm r2 sinθ drd θ
2
=− =−
=−
π ∞ ehm 2 ⋅ 2π ∫ ∫ ψnlm r 2 sinθ drd θ 0 0 2µ
ehm 2π π ∞ 2 ψnlm r2 sinθ drd dϕ θ 2µ ∫0 ∫0 ∫0
1
3 π a0
e−r / a0 ，求：
(1)r 的平均值；
e2 (2)势能 − 的平均值； r
(3)最可几半径；
(4)动能的平均值；
(5)动量的几率分布函数。 解：(1) r = rψ2π ∞ −2r / a0 2 re r sinθ drdθ dϕ 3 πa0 ∫0 ∫0 ∫0
∫
=
1 2πh
∫
∞
−∞
i α − 1α x − h Px 2 e e dx π
2 2
=
1 2πh
α ∞ −2α x −h Px ∫−∞ e e dx π
1
2 2
i
= = = 1
1 2πh 1 2πh 2πh
α e π ∫−∞
∞
ip p2 1 − α 2 ( x+ 2 )2 − 2 2 2 α h 2α h
4 −2r / a0 2 e r dr 3 a0
ω(r) =
dω(r) 4 2 = 3 (2 − r )re−2r / a0 dr a0 a0
令
dω(r ) = 0， r1 = 0, ⇒ dr
r2 = ∞,
r3 = a0
当 r1 = 0, r2 = ∞时， (r) = 0 为几率最小位置 ω
量子力学第3章-2
问题
在任一力学量Q表象中， 所描写的态又如何表示呢？ 在任一力学量Q表象中，Ψ(x,t) 所描写的态又如何表示呢？
（1） Q具有分立本征值的情况 ） 具有分立本征值的情况 （2） Q含有连续本征值情况 ） 含有连续本征值情况
（1）Q具有分立本征值的情况 ） 具有分立本征值的情况
算符Q的本征值为 的本征值为： 设 算符 的本征值为： q1, q2, ..., qn, ...， ，
量子力学 表象 不同表象波函数 坐标系 不同坐标系的一组分量
→
(x),... ..., u1(x), u2(x),..., un(x), ... (t),... ..., a1(t), a2(t),..., an(t), ... 量子状态 i, j, k, Ax, Ay, Az 矢量 A
态矢量
基本矢量
§２ 算符的矩阵表示
（一）力学量算符的矩阵表示 （二）Q 表象中力学量算符 F 的性质 （三）Q 有连续本征值的情况
（一）力学量算符的矩阵表示
坐标表象： 坐标表象：
ˆ ˆ Φ( x, t ) = F ( x, p)Ψ( x , t ) ˆ = F ( x ,− ih ∂ )Ψ( x , t )
动量表象
1/2
1/2 (x,t)=[ /(2 E't)/h Ψ p ' (x,t)= [ 1 /( 2 π h )] e xp[ i(p' x - E't)/ h ]
(p'- p)exp[ iE't/ xp[C(p,t)= δ (p' - p)e xp[ - iE't / h ]
1/2 [1 ip'x ψ p ' (x)= [ 1 /( 2 π h )] e xp[ ip' x / h ] 1/2
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3.4 广义统计诠释
例题3.4 一个质量为m的粒子处在δ函数势阱V(x)=αδ(x)中。对其动量进行测量，得到结果比p0=mα/ћ 大的概率是多少？
解：在坐标空间的中的波函数是(式2.129) Ψ(x,t)=mαћe-mαx/ћ2e-iEt/ћ 式中，E=-mα2/2ћ2。因此，动量空间波函数是 Φ(p,t)=12πћmαћe-iEt/ћ∫+∞-∞e-ipx/ћe-
3.3.1 分立谱 3.3.2 连续谱
3.3 厄密算符的本征函数
3.3.1 分立谱
定理1：它们的本征值是实数。 定理2：属于不同本征值的本征函数是正交的。
例题3.2 求动量算符的本征值与本征函数。 解：设fp(x)是本征函数，p是本征值：ћiddxfp(x)=pfp(x).(3.30) 一般解是fp(x)=Aeipx/h. 对于任何(复数的)p值，它都不是平方可积的——动量算符在希尔伯特空间内没有本征 函数。然而，如果我们限定于实数本征值，我们的确可以得到一个人为的 “正交归一 性”。参看习题2.24(a)和2.26，
波函数存在于希尔伯特空间中. (3.5)
3.2.1 厄密算符 3.2.2 确定值态
3.2 可观测量
3.2.1 厄密算符
表示可观测量的算符有非常特殊的性质 〈fQf〉=〈Qff〉 对任何f(x)成立.(3.16) 我们称这样的算符为厄密算符。
3.2.2 确定值态
确定证明 最小不确定波包 能量-时间不确定原理
3.5.1 不确定原理的一般性证明
σ2Aσ2B≥12i〈［A,B］〉2. (3.62) 这就是(普遍的)不确定原理。
3.5.2 最小不确定波包
Ψ(x)=Ae-a(x-〈x〉)2/2ћei〈p〉x/ћ.(3.68)
3.5.3 能量-时间不确定原理
∫+∞-∞g*y′(x)gy(x)dx=A2∫+∞-∞δ(x-y′)δ(x-y)dx=A2δ(y-y′).(3.38) 如果我们取A=1，就有
gy(x)=δ(x-y),(3.39) 这样〈gy′gy〉=δ(y-y′).(3.40) 这些本征函数也是完备的：
f(x)=∫+∞-∞c(y)gy(x)dy=∫+∞-∞c(y)δ(x-y)dy,(3.41) 有c(y)=f(y)(3.42) (对本题，如果你坚持，你也可以从傅里叶技巧得到它)。
mαx/ћ2dx=2πp3/20e-iEt/ћp2+p20 (查阅积分表求积分)。所以，要求的概率的大小为 2πp30∫∞p01(p2+p20)2dp=1πpp0p2+p20+arctanpp0
∞p0=14-12π=0.0908 (再次查阅积分表求积分)
3.5 不确定原理
3.5.1 3.5.2 3.5.3
∫+∞-∞f*p′(x)fp(x)dx=A2∫+∞-∞ei(p-p′)x/ћdx=A22πћδ(p-p′).(3.31) 如果我们取A=1/2πћ， 有
fp(x)=12πћeipx/ћ,(3.32) 那么 〈fp′fp〉=δ(p-p′)，(3.33) 这明显地使人联想到真正的正交归一性(式3.10)——现在的指标是一个连续的变量，并 且克罗内克δ符号变为狄拉克δ符号，但是其他方面看起来是相同的。我们将把式3.33 称为狄拉克正交归一性。 最重要的是其本征函数是完备的，不过是用一个积分代替了(式3.11中的)求和：任何 (平方可积的)函数f(x)都可以写成下列形式
第3章 形式理论
3.1 希尔伯特空间 3.2 可观测量 3.3 厄密算符的本征函数 3.4 广义统计诠释 3.5 不确定原理 3.6 狄拉克符号
3.1 希尔伯特空间
所有在特定区域2的平方可积函数的集合， f(x) 满足 ∫baf(x)2dx<∞(3.4) 构成一个(非常小)的矢量空间(参看习题3.1(a))。数学 家称之为L2(a,b)；而物理学家称它为“希尔伯特 (Hilbert)空间”3。因此，在量子力学中，
图3.1 一个自由粒子的波包趋近A点(例题3.6)
图3.2 Δ粒子质量的测量图(例题3.7)
3.6 狄拉克符号
图 3.3 a)矢量A b)A在xy坐标系中的分量 c)A在x′y′坐标系中的分量
例题3.3 求坐标算符的本征函数与本征值。 解：设本征函数为gy(x)，本征值为y：xgy(x)=ygy(x).(3.37) 这里(对应于任何一个给定的本征函数)y是一个定值，但是x是一
个连续的变量。什么样的x使函数具有如下的性质：用常数y乘 以函数与用x乘以函数的结果相同？明显地，除在x=y点之外， 只能是零；实际上不是别的，就是狄拉克δ函数：gy(x)=Aδ(xy). 这次本征值必须是实数；本征函数不是平方可积的，但是它们也 具有狄拉克正交归一性：
f(x)=∫+∞-∞c(p)fp(x)dp=12πћ∫+∞-∞c(p)eipx/ћdp.(3.34) 仍然可以利用傅里叶变换得到展开系数(现在是一个函数，c(p))： 〈fp′f〉=∫+∞-∞c(p)〈fp′fp〉dp=∫+∞-∞c(p)δ(p-p′)dp=c(p′).(3.35) 另外，你也可以由普朗克尔定理(式2.102)得到，这种展开(式3.34)不是别的，正是傅里 叶变换。