八年级下册数学专题：四边形中的探究与创新
湘教版数学八年级下册第二章《四边形》教学设计
湘教版数学八年级下册第二章《四边形》教学设计一. 教材分析湘教版数学八年级下册第二章《四边形》是学生在学习了平面几何基本概念和图形的基础上，进一步研究四边形的基本性质和判定。
本章内容包括四边形的定义、分类、性质、判定以及四边形的不稳定性等。
通过本章的学习，使学生掌握四边形的基本知识，提高他们的空间想象能力和逻辑思维能力。
二. 学情分析八年级的学生已经具备了一定的几何知识基础，对平面几何图形有一定的了解。
但学生在学习过程中，可能会对四边形的判定和性质理解不够深入，需要教师在教学过程中进行引导和启发。
同时，学生对于实际生活中的四边形实例认识较少，需要教师通过举例和操作使学生更好地理解四边形的应用。
三. 教学目标1.了解四边形的定义、分类和性质，掌握四边形的判定方法。
2.培养学生的空间想象能力和逻辑思维能力。
3.能够运用四边形的知识解决实际问题，提高学生的应用能力。
四. 教学重难点1.四边形的定义和分类。
2.四边形的性质和判定。
3.四边形在实际生活中的应用。
五. 教学方法1.采用问题驱动法，引导学生主动探究四边形的性质和判定。
2.利用多媒体和实物模型，直观展示四边形的形状和特点。
3.采用合作学习法，让学生在小组内讨论和分享学习心得。
4.结合实际生活中的实例，让学生感受四边形在生活中的应用。
六. 教学准备1.多媒体教学设备。
2.四边形实物模型和图片。
3.教学课件和教案。
4.练习题和测试题。
七. 教学过程1.导入（5分钟）教师通过多媒体展示四边形的实物图片，引导学生回顾平面几何的基本知识，为新课的学习做好铺垫。
2.呈现（10分钟）教师讲解四边形的定义、分类和性质，让学生初步了解四边形的基本知识。
3.操练（15分钟）教师提出问题，让学生结合教材示例，独立或小组合作探究四边形的判定方法。
教师巡回指导，解答学生疑问。
4.巩固（10分钟）教师布置练习题，让学生运用所学知识解决问题。
教师选取部分学生的作业进行讲评，指出错误并提出改进意见。
八年级下数学核心素养专题：四边形中的探究与创新
核心素养专题：四边形中的探究与创新1．(2017·苏州中考)如图，在菱形ABCD中，∠A＝60°，AD＝8，F是AB的中点．过点F作FE⊥AD，垂足为E.将△AEF沿点A到点B的方向平移，得到△A′E′F′.设P、P′分别是EF、E′F′的中点，当点A′与点B重合时，四边形PP′CD的面积为()A．28 3 B．24 3C．32 3 D．323－8第1题图第2题图2．(2017·北京中考)数学家吴文俊院士非常重视古代数学家贾宪提出的“从长方形对角线上任一点作两条分别平行于两邻边的直线，则所容两长方形面积相等(如图所示)”这一推论，他从这一推论出发，利用“出入相补”原理复原了《海岛算经》九题古证．(以上材料来源于《古证复原的原理》《吴文俊与中国数学》和《古代世界数学泰斗刘徽》) 请根据上图完成这个推论的证明过程．证明：S矩形NFGD＝S△ADC－(S△ANF＋S△FGC)，S矩形EBMF＝S△ABC－(______________＋______________)．易知S△ADC＝S△ABC，______________＝______________，______________＝______________．可得S矩形NFGD＝S矩形EBMF.3．(2017·兰州中考)如图①，将一张矩形纸片ABCD沿着对角线BD向上折叠，顶点C 落到点E处，BE交AD于点F.(1)求证：△BDF是等腰三角形；(2)如图②，过点D作DG∥BE，交BC于点G，连接FG交BD于点O.①判断四边形BFDG的形状，并说明理由；②若AB＝6，AD＝8，求FG的长．4．(2017·通辽中考)邻边不相等的平行四边形纸片，剪去一个菱形，余下一个四边形，称为第一次操作；在余下的四边形纸片中再剪去一个菱形，又余下一个四边形，称为第二次操作……依此类推，若第n次操作余下的四边形是菱形，则称原平行四边形为n阶准菱形．如图①，▱ABCD中，若AB＝1，BC＝2，则▱ABCD为1阶准菱形．(1)猜想与计算：邻边长分别为3和5的平行四边形是________阶准菱形；已知▱ABCD 的邻边长分别为a，b(a＞b)，满足a＝8b＋r，b＝5r，请写出▱ABCD是________阶准菱形；(2)操作与推理：小明为了剪去一个菱形，进行了如下操作：如图②，把▱ABCD沿BE 折叠(点E在AD上)，使点A落在BC边上的点F处，得到四边形ABFE.求证：四边形ABFE 是菱形．参考答案与解析1．A解析：如图，连接BD，DF，DF交PP′于H.由题意得PP′＝AA′＝AB＝CD，PP ′∥AA ′∥CD ，∴四边形PP ′CD 是平行四边形．∵四边形ABCD 是菱形，∠A ＝60°，∴△ABD 是等边三角形．∵AF ＝FB ，∴DF ⊥AB ，DF ⊥PP ′.∵AF ＝12AB ＝4，AD ＝8，∴DF ＝4 3.在Rt △AEF 中，∵∠AEF ＝90°，∠A ＝60°，AF ＝4，则∠AFE ＝30°，∴AE ＝2，EF ＝23，∴PE ＝PF ＝ 3.在Rt △PHF 中，∵∠FPH ＝30°，PF ＝3，∴HF ＝12PF ＝32，∴DH ＝DF －HF ＝43－32＝732，∴S ▱PP ′CD ＝732×8＝28 3.故选A. 2．S △AEF S △CFM S △ANF S △AEF S △FGC S △CFM3．(1)证明：根据折叠得∠DBC ＝∠DBE ，又∵AD ∥BC ，∴∠DBC ＝∠ADB ，∴∠DBE ＝∠ADB ，∴DF ＝BF ，∴△BDF 是等腰三角形．(2)解：①四边形BFDG 是菱形．理由如下：∵四边形ABCD 是矩形，∴AD ∥BC ，∴FD ∥BG .又∵FD ＝BF ＝BG ，∴四边形BFDG 是平行四边形．∵DF ＝BF ，∴四边形BFDG 是菱形．②∵AB ＝6，AD ＝8，∴BD ＝10.∴OB ＝12BD ＝5.设DF ＝BF ＝x ，∴AF ＝AD －DF ＝8－x .在Rt △ABF 中，由勾股定理得AB 2＋AF 2＝BF 2，即62＋(8－x )2＝x 2，解得x ＝254，即BF ＝254，∴FO ＝BF 2－OB 2＝⎝⎛⎭⎫2542－52＝154，∴FG ＝2FO ＝152. 4．(1)解：3 12 解析：如图①，利用邻边长分别为3和5的平行四边形进行3次操作，所剩四边形是边长为1的菱形，故邻边长分别为3和5的平行四边形是3阶准菱形．如图②，∵b ＝5r ，∴a ＝8b ＋r ＝40r ＋r ＝8×5r ＋r ，利用邻边长分别为41r 和5r 的平行四边形进行8＋4＝12(次)操作，所剩四边形是边长为1的菱形，故邻边长分别为41r 和5r 的平行四边形是12阶准菱形．(2)证明：由折叠知∠ABE ＝∠FBE ，AB ＝BF .∵四边形ABCD 是平行四边形，∴AE ∥BF ，∴∠AEB ＝∠FBE ，∴∠AEB ＝∠ABE ，∴AE ＝AB ，∴AE ＝BF ，∴四边形ABFE 是平行四边形．又∵AB ＝AE ，∴四边形ABFE 是菱形．。
八下数学平行四边形创新题赏析
平行四边形创新题赏析平行四边形部分是初中数学的重点内容，在各地中考试卷中都占有一定的分量。
随着课程改革的进一步深入，出现了许多构思新、重素质、考能力的创新题型，令人耳目一新；它对培养和考查学生的发散能力和综合能力大有裨益。
现例举中考题几例并加以归类浅析，希望对同学们有所启发。
一、补充说理型例1. 如图1，已知四边形ABCD是平行四边形，∠BCD的平分线CF交边AB于F，∠ADC的平分线DG交边AB于G。
（1）求证：AF＝GB；（2）请你在已知条件的基础上再添加一个条件，使得△EFG为等腰直角三角形，并说明理由。
图1解析：（1）∵四边形ABCD是平行四边形∴AB∥CD，∴∠AGD＝∠CDG又∵DG是∠ADC的平分线∴∠ADG＝∠GDC∴∠AGD＝∠ADG∴AD＝AG同理可得：BF＝BC在平行四边形ABCD中，AD＝BC∴AG＝BF∴AF＝GB（2）可以添加条件∠ADC＝90°或四边形ABCD是矩形说理如下：∵四边形ABCD是矩形∴∠ADC＝∠BCD＝90°又DG、CF平分∠ADC和∠BCD∴∠EDC＝∠ECD＝45°∴∠AGD＝∠BFC＝45°，∠FEG＝90°即△EFG是等腰直角三角形。
点评：此例把解题的主动性交给学生，让学生添加条件再说理，给学生创造了一个适度的思维空间；富有创意，活而不难，有利于激发学生的信心和探索欲望。
二、判断类比型例2.已知任意四边形ABCD，且线段AB、BC、CD、DA、AC、BD的中点分别是E、F、G、H、P、Q。
（1）若四边形ABCD如图2-1，判断下列结论是否正确（正确的在括号里填“√”，错误的在括号里填“×”）。
甲：顺次连接EF、FG、GH、HE一定得到平行四边形；（）乙：顺次连接EQ、QG、GP、PE一定得到平行四边形。
（）（2）请选择甲、乙中的一个，证明你对它的判断。
（3）若四边形ABCD如图2-2，请你判断（1）中的两个结论是否成立？解析：（1）甲的判断是正确的；乙的判断是错误的。
人教版数学八下压轴题研究之四边形之类比探究
四边形之类比探究（一）➢ 知识点睛1. 类比探究问题的处理思路：①根据题干条件，结合____________先解决第一问．②用解决__________的方法类比解决下一问．类比的关键是把握住变化过程中的__________． 2. 类比探究问题中常见不变特征举例ABCE MDA BMCNM C BA（类）倍长中线 平行夹中点 中位线➢ 精讲精练1. 已知，在△ABC 中，∠BAC =90°，∠ABC =45°，D 为直线BC 上一动点（不与点B ，C 重合），以AD 为边作正方形ADEF ，连接CF ．（1）如图1，当点D 在线段BC 上时，求证：BC=CF+CD ． （2）如图2，当点D 在线段BC 的延长线上时，其他条件不 变，请直接写出BC ，CD ，CF 三条线段之间的数量关系．（3）如图3，当点D 在线段BC 的反向延长线上时，点A ，F 分别在直线BC 的两侧，其他条件不变．①请直接写出BC ，CD ，CF 三条线段之间的数量关系；②若正方形ADEF的边长为AE ，DF 相交于点O ，求OC 的长．图1D F EC B A B E C FD A 图2图3DF E C BA 2. 如图1，在正方形ABCD 中，E ，F 分别是BC ，CD 上的点，且∠EAF =45°，则有结论EF =BE +DF成立．（1）如图2，在四边形ABCD 中，AB =AD ，∠B =∠D =90°，E ，F 分别是BC ，CD 上的点，12EAF BAD ∠=∠，那么结论EF =BE +DF 是否仍然成立？若成立，请证明；若不成立， 请说明理由．（2）如图3，若将（1）中的条件改为：在四边形ABCD 中，AB =AD ，∠B +∠ADC =180°，延长BC 到点E ，延长CD 到点F ，使得12EAF BAD ∠=∠，则结论EF =BE +DF 是否仍然成立？若成立，请证明；若不成立，请写出它们之间的数量关系，并证明．3. 在菱形ABCD 和正三角形BEF 中，∠ABC =60°，P 是DF 的中点，连接PE ，PC ．（1）如图1，当点E 在BC边上时，求证：PE =．（2）如图2，当点F 在AB 的延长线上时，线段PC ，PE 有怎样的数量关系？写出你的猜想，并给予证明．图1EPDCBAABCDP E F图24. 如图1，在四边形ABCD 中，AB =CD ，E ，F 分别为BC ，AD 的中点，连接EF 并延长，与BA ，CD 的延长线分别交于点M ，N ，则∠BME =∠CNE ． （1）如图2，在四边形ADBC 中，AB 与CD 相交于点O ，AB =CD ，E ，F 分别为BC ，AD 的中点，连接EF ，与CD ，AB 分别交于点M ，N ，判断OM ，ON 之间的数量关系，并证明你的结论．（2）如图3，在△ABC 中，AC AB ，点D 在AC 边上，且AB =CD ．E ，F 分别为BC ，AD 的中点，连接EF 并延长，与BA 的延长线交于点G ，连接DG ，若∠EFC =60°，判断△ADG 的形状，并证明你的结论．GE F DCBA 图1图2图3E FNMOCBDANM FE DBA【参考答案】➢ 知识点睛 1．①分支条件②第一问，不变特征 ➢ 精讲精练 1．（1）证明略．提示：题目中有旋转结构，证明△ABD ≌△ACF （SAS ）， 得到BD =CF ，进而得证． （2）BC CF CD =-．（3）①BC CD CF =-；②2OC =． 2．（1）成立，证明略．提示：题目中有旋转结构，证明△ADF ≌△ABH （SAS ）， 得到DF =BH ，进而得证． （2）不成立，BE EF DF =+.提示：题目中有旋转结构，证明△ABH ≌△ADF （SAS ）， 得到AH =AF ，∠BAH=∠DAF ，可证△AHE ≌△AFE （SAS ）, EF =EH ，得到BE EF DF =+.3．（1）PE =，证明略．提示：延长EP ，交CD 于点H ．证明△EFP ≌△HDP （ASA ），得到FE DH =，EP HP =， 可得CE CH =，由三线合一得，CP ⊥EH ，进而可得PE =．（2）PE =．4．（1）OM ON =，证明略．提示：取BD 的中点G'，连接EG'，FG'．则FG'∥AB ，12FG AB '=，EG'∥CD ，12EG CD '=， 由AB CD =得EG FG ''=，进而可得OM ON =．（2）△ADG 是含30°角的直角三角形，证明略． 提示：连接BD ，取BD 的中点G'，连接EG'，FG'．四边形之类比探究（二）（讲义）➢ 知识点睛类比探究问题的处理思路：①根据题干条件，结合__________先解决第一问．②用解决第一问的方法类比解决下一问．如果不能，分析条件变化，寻找__________． ③结合所求目标，依据__________，大胆猜测、尝试、验证．➢ 精讲精练1. （1）问题探究如图1，分别以△ABC 的边AC 与边BC 为边，向△ABC 外作正方形ACD 1E 1和正方形BCD 2E 2，过点C 作直线K H 交直线A B 于点H ，使∠A H K =∠A C D 1．作D1M ⊥K H ，D 2N ⊥KH ，垂足分别为点M ，N ．试探究线段D 1M 与线段D 2N 的数量关系，并加以证明．（2）拓展延伸①如图2，若将“问题探究”中的“正方形”改为“正三角形”，过点C 作直线K 1H 1，K 2H 2，分别交直线AB 于点H 1，H 2，使∠AH 1K 1=∠BH 2K 2=∠ACD 1．作D 1M ⊥K 1H 1，D 2N ⊥K 2H 2，垂足分别为点M ，N ．D 1M =D 2N 是否仍成立？若成立，给出证明；若不成立，说明理由．②如图3，若将①中的“正三角形”改为“正五边形”，其他条件不变，D 1M =D 2N 是否仍成立？（要求：在图3中补全图形，注明字母，直接写出结论，不需证明）BCD 1E 1E 2D 2F 2F 1图2图1ABCD 1K 1K 2D 2MNH 2H 1NM KHD 2E 2E 1D 1CB A2. （1）问题背景如图1，Rt △ABC 中，∠BAC =90°，AB =AC ，∠ABC 的平分线交直线AC 于点D ，过点C 作CE ⊥BD ，交直线BD 于点E ．请探究线段BD 与CE 之间的数量关系． 结论：线段BD 与CE 之间的数量关系为_______________（请直接写出结论）． （2）类比探索在（1）中，如果把BD 改为△ABC 的外角∠ABF 的平分线，其他条件均不变（如图2），（1）中的结论还成立吗？若成立，请写出证明过程；若不成立，请说明理由．DE AFAB CD图1 图23. 如图1，将两个完全相同的三角形纸片ABC 和DEC 重合放置，其中∠C =90°，∠B =∠E =30°．（1）操作发现如图2，固定△ABC ，使△DEC 绕点C 旋转，当点D 恰好落在AB 边上时，填空： ①线段DE 与AC 的位置关系是_______________；②设△BDC 的面积为S 1，△AEC 的面积为S 2，则S 1与S 2的数量关系是_______________． （2）猜想论证当△DEC 绕点C 旋转到图3所示的位置时，小明猜想（1）中S 1与S 2的数量关系仍然成立，并尝试分别作出了△BDC 和△AEC 中BC ，CE 边上的高，请你证明小明的猜想．图2图1C B (E )A (D )（3）拓展探究已知∠ABC =60°，点D 是其角平分线上一点，BD =CD =4， DE ∥AB 交BC 于点E （如图4）．若在射线BA 上存在点F ，使S △DCF =S △BDE ，请直接写出．．．．相应的BF 的长．4. 在□ABCD 中，∠BAD 的平分线交直线BC 于点E ，交直线DC 于点F ．（1）在图1中证明CE =CF ；（2）如图2，若∠ABC =90°，G 是EF 的中点，求∠BDG 的 度数；（3）如图3，若∠ABC =120°，FG ∥CE ，且FG =CE ，求∠BDG 的度数．DFEC BA图1GDFEC BA图2G DFE C BA图3【参考答案】➢知识点睛①分支条件；②不变特征；③不变特征．➢精讲精练1．（1）D1M=D2N，证明略．提示：证明△CMD1≌△AHC，△CND2≌△BHC．（2）D1M=D2N仍成立，证明略．（3）D1M=D2N仍成立，图形略．2．（1）BD=2CE．提示：延长CE，交BA的延长线于点M，由角平分线+垂直可以得到BM=BC，之后证明△ABD ≌△ACM即可．（2）（1）中的结论仍成立，证明略．提示：延长CE，交AB的延长线于点M，由角平分线+垂直可以得到BM=BC，之后证明△ABD ≌△ACM即可．3．（1）①AC∥DE；②S1=S2．（2）证明略．提示：证明△ANC≌△DMC，可得AN=DM，根据等底等高即可得证．．（3）BF的长为334．（1）证明略．（2）∠BDG=45°．（3）∠BDG=60°．。
湘教版八年级数学下册-核心素养专题：四边形中的探究与创新
核心素养专题：四边形中的探究与创新1．(2017·苏州中考)如图，在菱形ABCD中，∠A＝60°，AD＝8，F是AB的中点．过点F作FE⊥AD，垂足为E.将△AEF沿点A到点B的方向平移，得到△A′E′F′.设P、P′分别是EF、E′F′的中点，当点A′与点B重合时，四边形PP′CD的面积为()A．28 3 B．24 3C．32 3 D．323－8第1题图第2题图2．(2017·北京中考)数学家吴文俊院士非常重视古代数学家贾宪提出的“从长方形对角线上任一点作两条分别平行于两邻边的直线，则所容两长方形面积相等(如图所示)”这一推论，他从这一推论出发，利用“出入相补”原理复原了《海岛算经》九题古证．(以上材料来源于《古证复原的原理》《吴文俊与中国数学》和《古代世界数学泰斗刘徽》) 请根据上图完成这个推论的证明过程．证明：S矩形NFGD＝S△ADC－(S△ANF＋S△FGC)，S矩形EBMF＝S△ABC－(______________＋______________)．易知S△ADC＝S△ABC，______________＝______________，______________＝______________．可得S矩形NFGD＝S矩形EBMF.3．(2017·兰州中考)如图①，将一张矩形纸片ABCD沿着对角线BD向上折叠，顶点C 落到点E处，BE交AD于点F.(1)求证：△BDF是等腰三角形；(2)如图②，过点D作DG∥BE，交BC于点G，连接FG交BD于点O.①判断四边形BFDG的形状，并说明理由；②若AB＝6，AD＝8，求FG的长．4．(2017·通辽中考)邻边不相等的平行四边形纸片，剪去一个菱形，余下一个四边形，称为第一次操作；在余下的四边形纸片中再剪去一个菱形，又余下一个四边形，称为第二次操作……依此类推，若第n次操作余下的四边形是菱形，则称原平行四边形为n阶准菱形．如图①，▱ABCD中，若AB＝1，BC＝2，则▱ABCD为1阶准菱形．(1)猜想与计算：邻边长分别为3和5的平行四边形是________阶准菱形；已知▱ABCD 的邻边长分别为a，b(a＞b)，满足a＝8b＋r，b＝5r，请写出▱ABCD是________阶准菱形；(2)操作与推理：小明为了剪去一个菱形，进行了如下操作：如图②，把▱ABCD沿BE 折叠(点E在AD上)，使点A落在BC边上的点F处，得到四边形ABFE.求证：四边形ABFE 是菱形．参考答案与解析1．A解析：如图，连接BD，DF，DF交PP′于H.由题意得PP′＝AA′＝AB＝CD，PP ′∥AA ′∥CD ，∴四边形PP ′CD 是平行四边形．∵四边形ABCD 是菱形，∠A ＝60°，∴△ABD 是等边三角形．∵AF ＝FB ，∴DF ⊥AB ，DF ⊥PP ′.∵AF ＝12AB ＝4，AD ＝8，∴DF ＝4 3.在Rt △AEF 中，∵∠AEF ＝90°，∠A ＝60°，AF ＝4，则∠AFE ＝30°，∴AE ＝2，EF ＝23，∴PE ＝PF ＝ 3.在Rt △PHF 中，∵∠FPH ＝30°，PF ＝3，∴HF ＝12PF ＝32，∴DH ＝DF －HF ＝43－32＝732，∴S ▱PP ′CD ＝732×8＝28 3.故选A. 2．S △AEF S △CFM S △ANF S △AEF S △FGC S △CFM3．(1)证明：根据折叠得∠DBC ＝∠DBE ，又∵AD ∥BC ，∴∠DBC ＝∠ADB ，∴∠DBE ＝∠ADB ，∴DF ＝BF ，∴△BDF 是等腰三角形．(2)解：①四边形BFDG 是菱形．理由如下：∵四边形ABCD 是矩形，∴AD ∥BC ，∴FD ∥BG .又∵FD ＝BF ＝BG ，∴四边形BFDG 是平行四边形．∵DF ＝BF ，∴四边形BFDG 是菱形．②∵AB ＝6，AD ＝8，∴BD ＝10.∴OB ＝12BD ＝5.设DF ＝BF ＝x ，∴AF ＝AD －DF ＝8－x .在Rt △ABF 中，由勾股定理得AB 2＋AF 2＝BF 2，即62＋(8－x )2＝x 2，解得x ＝254，即BF ＝254，∴FO ＝BF 2－OB 2＝⎝⎛⎭⎫2542－52＝154，∴FG ＝2FO ＝152. 4．(1)解：3 12 解析：如图①，利用邻边长分别为3和5的平行四边形进行3次操作，所剩四边形是边长为1的菱形，故邻边长分别为3和5的平行四边形是3阶准菱形．如图②，∵b ＝5r ，∴a ＝8b ＋r ＝40r ＋r ＝8×5r ＋r ，利用邻边长分别为41r 和5r 的平行四边形进行8＋4＝12(次)操作，所剩四边形是边长为1的菱形，故邻边长分别为41r 和5r 的平行四边形是12阶准菱形．(2)证明：由折叠知∠ABE ＝∠FBE ，AB ＝BF .∵四边形ABCD 是平行四边形，∴AE ∥BF ，∴∠AEB ＝∠FBE ，∴∠AEB ＝∠ABE ，∴AE ＝AB ，∴AE ＝BF ，∴四边形ABFE 是平行四边形．又∵AB ＝AE ，∴四边形ABFE 是菱形．。
新版湘教版八年级数学下册 第2章 四边形 初二教案
多边形．知识与技能：把未知转化为已知进行探究的能力，使学生认识到数学来源于实践．把三角形称为三边形成的进行探究的能力在探究活动中，进一般地，在平面内，由一如果多边形的各边都相等，各内角也都相等，则称为正多边形，、正五边形等等。
连结多边形不相邻的8.3.3 问：(1)四边形有几条对角线?(两条AC 、BD)(2)五边形有几条对角线?以A 为端点的对角线有两条AC 、AD ，同样以月为端点的对角线也有条，以C 为端点也有2条，但AC 与CA 是同一条线段，以D 条图8.3.2 图（3）．多边形的内角和公式。
三角形是边数最少的多边形，它的内角和等于根据公式揭示了多边形内角和多边形把未知转化为已知进行探究的能力，2.培养学生主动探索的习惯；使学生认识到数学来源于实践、难点：。
我们知道：在平面内，不在同一直线上的三条线段首一般地，在平面内，由一些线段首尾顺次相接组成的封闭图形叫做角线，相邻两边组成的角叫作多边形的内角进行探究的能力A图8.3.2 图（3）边形的一个内角与它的相邻的外角互为补角，所以可先求出°，求这个正多边边形的各个内角都相等，那么各个外角也都相等，而多和等于课本后面练习法，必须在学习中逐步掌握平行四边形的判定对边分别相等的四边形是平行四边形这个判定方法来判定一个四边形是过程与方法：通过观察、动手自学掌握用平行四边形的定义判定一个四边形是平行四边形并掌握用二组对边分别相等的四边形是平行四边形这个判定方法来判定一个四边形是平行四边形，能运这两种方法来证明一个四边形是平行四边形能力自学能力、计算能力、逻辑思如何来判定一个四边形：两组对边分别平行的四边形的平边形。
则可判定这个四边形是一个平行四边形。
C连用几何语言表达用定义法和刚才证明为正确的方法证明1BE=DF分别是平行四边形CG 学掌握用对求证：四边形（让学生板演）四．本课小结：一个四边形二组对边分别平行或者相等的四边形是平行四边形这个判定定理来判平行四边形的判定．知识与技能：掌握用“对角线互相平分的四边形是平行四边形”这一判定定理，会用这些定理进行有关的论证和计算；理解“两组对角分别相等的四边形是平行四边形”“对角线互相平分的四边形是平行四边形”角分别相等的四计算能力、、重点：理解掌握“对角、难点：判定定理课前、．用所学的判定方法一判定一个四边形的平行四边形的条件是什么？．平行四边形的对角线互相平分的逆命题如何表达？是否是真命题？？结论又是什么？探究方法做，让学生判定这判定方法三：对角线互相平分的四边形是OA=OC（较简单的）平分，可判定这个四边形是平行四边形。
初中四边形专题教研活动(3篇)
第1篇一、活动背景在初中数学教学中，四边形是几何图形的重要组成部分，也是培养学生空间观念和逻辑思维能力的重要载体。
为了提高教师对四边形教学的认识，提升教学质量，我校数学教研组决定开展以“初中四边形教学”为主题的专题教研活动。
二、活动目标1. 提高教师对四边形教学重要性的认识，明确四边形教学的目标和任务。
2. 探讨四边形教学的有效策略，促进教师教学能力的提升。
3. 交流四边形教学经验，促进教师之间的相互学习和共同成长。
4. 优化四边形教学设计，提高课堂教学效果。
三、活动内容1. 专题讲座邀请专家对初中四边形教学进行专题讲座，包括四边形教学的基本理论、教学方法、教学策略等方面。
2. 课堂观摩组织教师观摩优秀四边形教学课例，分析教学设计、教学过程、教学效果等方面，总结经验。
3. 教学研讨围绕四边形教学中的重点、难点问题，组织教师进行研讨，提出解决策略。
4. 教学设计展示鼓励教师展示自己的四边形教学设计，相互借鉴、共同提高。
5. 交流分享教师分享自己在四边形教学中的成功经验和创新做法。
四、活动安排1. 活动时间：2022年10月15日（星期六）上午8:30-12:002. 活动地点：学校多功能厅3. 参加人员：全校数学教师五、活动流程1. 8:30-9:00 签到、入场2. 9:00-9:10 开幕式，主持人介绍活动主题和流程3. 9:10-10:10 专题讲座4. 10:10-10:30 茶歇5. 10:30-11:30 课堂观摩、教学研讨6. 11:30-12:00 教学设计展示、交流分享六、活动总结1. 教师对四边形教学的认识得到提高，明确了四边形教学的目标和任务。
2. 教师的教学能力得到提升，掌握了一些有效的四边形教学策略。
3. 教师之间的交流与合作得到加强，形成了良好的教学氛围。
4. 教学设计得到优化，课堂教学效果得到提高。
通过本次教研活动，我们相信，我校的初中四边形教学水平将得到进一步提升，为学生的全面发展奠定坚实基础。
苏版初二下册探究平行四边形中解题技巧与方法知识点总结
苏版初二下册18平行四边形的性质与判定：1、本质：“两组对边分别平行的四边形是平行四边形”，与角大小、边长短变化无关，是专门四边形。
2、借助全等三角形的判定和性质易得平行四边形性质：边：对边平行且相等；角：对角相等，邻角互补；对角线：对角线互相平方；注意：凡可用平行四边形性质解决的不考虑三角形全等解决。
3、平行四边形判定：①由边：两组对边分别平行；或一组对边平行且相等；或两组对边分别相等，都能够确信为平行四边形。
②由角：两组对角分别相等的四边形是平行四边形。
③对角线：对角线互相平分的四边行是平行四边形。
判定平行四边形方法：▲需要两个条件；A:先应看已知条件给出了或由已知条件易推出要证的四边形中有哪些性质。
B:以易得的一组判定条件为基础，查找与其搭配的另一组判定条件：专门平行四边形的性质与判定专门之处是因除去平行四边形性质之外具有自己的性质，不属于平行四边形范畴。
（一）矩形性质与判定：1、矩形是一个角是直角的平行四边形，可见是专门平行四边形，具有平行四边形所有性质。
2、矩形四个角是直角，两对角线相等，是平行四边形没有的，幸免将矩形专门性质用在平行四边形上。
3.矩形的判定有三个，实际上有两个是判定平行四边形的，一个是矩形专门条件：当题设中有多个直角或垂直时，利用三个角是直角证明矩形；图中有对角线，采纳对角线相等。
两条对角线分的四个三角形面积相等，且分成两对全等的等腰三角形。
、菱形性质与判定：1、菱形是一组邻边相等的平行四边形，可见为专门平行四边形，具有平行四边形所有性质。
2、菱形专门性质：四边相等，对角线互相垂直，每条对角线平分一组对角，切莫与矩形性质混淆。
3、菱形判定需三个条件，定义判定最重要和差不多判定方法。
正方形的性质与判定1、正方形有一组邻边相等且有一个角是直角的平行四边形，可见不仅是专门平行四边形，依旧“一组邻边相等的菱形”和“一个角是直角的矩形”具有平行四边形、矩形、菱形的所有性质，中学研究的重点图形。
安丘市第九中学八年级数学下册第六章平行四边形创新题赏析新版北师大版
点评 :重视提高动手操作能力和实践能力 , 是素质教育新课程的切入点。此类题设计新颖 , 不落俗套 , 为考生画图操作、类比联想、反思探究提供了自由发挥、自主探究的广阔思维空间 ; 対进一步理解和应用所学知识 , 发展创新能力、实践能力、操作能力大有裨益 ; 让学生在具体的操作情境中 , 领悟数学的发展与形成的真谛。
〔1〕观察图形 , 猜测得出a、b、c、d满足怎样的关系式 ？证明你的结论。
〔2〕现将向上平移 , 你得到的结论还一定成立吗 ？请分情况写出你的结论。
解析 :〔1〕
证明 : 连接AC、BD, 且AC、BD相交于点O, 为点O到的距离
图4
∴为直角梯形的中位线
同理 :
〔2〕不一定成立。
分别有以下情况 :
【情感态度】
通过对一元一次不等式的学习，提高学生的自主学习能力，激发学生的探究兴趣.
【教学重点】
掌握简单的一元一次不等式的解法，并能将解集在数轴上表示出来.
【教学难点】
一元一次不等式的解法.
一.情景导入，初步认知
复习提问：
（1）不等式的三条基本性质是什么?
（2）运用不等式基本性质把下列不等式化成x〉a或x<a的形式.
∴∠EDC＝∠ECD＝45°
∴∠AGD＝∠BFC＝45° , ∠FEG＝90°
即△EFG是等腰直角三角形。
点评 :此例把解题的主动性交给学生 , 让学生添加条件再说理 , 给学生创造了一个适度的思维空间 ; 富有创意 , 活而不难 , 有利于激发学生的信心和探索欲望。
创新型四边形探究题专题(八年级)
图（1） 图（2） 图（1） 图（2）图（2）★ 课题：创新型四边形探究题★ 范例精讲【创新型四边形探究题】1． 〖旋转变换型〗如图①所示，已知两个全等正方形ABCD 与A 1B 1C 1D 1，正方形ABCD 的点C 与正方形A 1B 1C 1D 1的中心重合，且绕点C 旋转．⑴当正方形ABCD 由图①旋转至图②时，两个阴影部分的面积是否相等？说明理由； ⑵当正方形ABCD 旋转至任意位置时，如图③，重叠部分的面积会怎样变化？说明你的结论．解析：⑴观察图①和图②可知阴影部分面积等于其中任意一个正方形面积的14，所以两个阴影部分的面积相等；⑵重叠部分面积不变，仍等于其中一个正方形面积的14．理由如下：如图③，连结CC 1、CD 1，在△CC 1F 和△CD 1E 中，CC 1＝CD 1，∠C 1CF ＝90°－∠FCD 1＝∠D 1CE ，∠CC 1F ＝∠CD 1E ＝45°，∴△CC 1F ≌△CD 1E ，∴S 四边形FCED 1＝S △C 1CD 1＝14S 正方形ABCD ．2． 〖归纳猜想型〗将一张正方形纸片剪成四个大小形状一样的小正方形，然后将其中的一片又按同样的方法剪成四小片，再将其中的一小片正方形纸片剪成四片，如此循环进行下去，将⑵如果剪n 次共有A n 个正方形，试用含n、A n 的等式表示这个规律；⑶利用上面得到的规律，要剪得22个正方形，共需剪几次？ ⑷能否将正方形剪成2004个小正方形？为什么？ ⑸如果原正方形的边长为1，设a n 表示第n 次所剪的正方形的边长，试用含n 的式子表示a n ； ⑹试猜想a 1＋a 2＋a 3＋…＋a n 与原正方形边长的关系，并画图示意这种关系． 解：3． 〖拼图多解型〗如图，边长为2cm 的正方形剪成四个全等的直角三角形，请将四个直角三角形拼成符合下列要求的图形（全部用上，互不重叠，且不留空隙）． ⑴不是正方形的菱形；⑵不是正方形的矩形；⑶不是矩形和菱形的平行四边形； ⑷等腰梯形；⑸不是梯形和平行四边形的凸四边形． 解析：4． 〖几何作图型〗如图，两种规格的钢板原料，图（1）的规格为1m ×5m ，图（2）是由5个1m ×1m 的小正方形组成。
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核心素养专题：四边形中的探究与创新
1．(2017·苏州中考)如图，在菱形ABCD中，∠A＝60°，AD＝8，F是AB的中点．过点F作FE⊥AD，垂足为E.将△AEF沿点A到点B的方向平移，得到△A′E′F′.设P、P′分别是EF、E′F′的中点，当点A′与点B重合时，四边形PP′CD的面积为( )
A．28 3 B．24 3
C．32 3 D．323－8
第1题图第2题图
2．(2017·北京中考)数学家吴文俊院士非常重视古代数学家贾宪提出的“从长方形对角线上任一点作两条分别平行于两邻边的直线，则所容两长方形面积相等(如图所示)”这一推论，他从这一推论出发，利用“出入相补”原理复原了《海岛算经》九题古证．(以上材料来源于《古证复原的原理》《吴文俊与中国数学》和《古代世界数学泰斗刘徽》)
请根据上图完成这个推论的证明过程．
证明：S矩形NFGD＝S△ADC－(S△ANF＋S△FGC)，S矩形EBMF＝S△ABC－(______________＋______________)．易知S
△ADC＝S△ABC，______________＝______________，______________＝______________．可得
S矩形NFGD＝S矩形EBMF.
3．(2017·兰州中考)如图①，将一张矩形纸片ABCD沿着对角线BD向上折叠，顶点C 落到点E处，BE交AD于点F.
(1)求证：△BDF是等腰三角形；
(2)如图②，过点D作DG∥BE，交BC于点G，连接FG交BD于点O.
①判断四边形BFDG的形状，并说明理由；
②若AB＝6，AD＝8，求FG的长．
4．(2017·通辽中考)邻边不相等的平行四边形纸片，剪去一个菱形，余下一个四边形，称为第一次操作；在余下的四边形纸片中再剪去一个菱形，又余下一个四边形，称为第二次操作……依此类推，若第n次操作余下的四边形是菱形，则称原平行四边形为n阶准菱形．如图①，▱ABCD中，若AB＝1，BC＝2，则▱ABCD为1阶准菱形．
(1)猜想与计算：邻边长分别为3和5的平行四边形是________阶准菱形；已知▱ABCD的邻边长分别为a，b(a＞b)，满足a＝8b＋r，b＝5r，请写出▱ABCD是________阶准菱形；
(2)操作与推理：小明为了剪去一个菱形，进行了如下操作：如图②，把▱ABCD沿BE折
叠(
点E在AD上)，使点A落在BC边上的点F处，得到四边形ABFE.求证：四边形ABFE是
菱形．
参考答案与解析
1．A 解析：如图，连接BD，DF，DF交PP′于H.由题意得PP′＝AA′＝AB＝CD，PP′∥AA′∥CD，∴四边形PP′CD是平行四边形．∵四边形ABCD是菱形，∠A＝60°，
∴△ABD是等边三角形．∵AF＝FB，∴DF⊥AB，DF⊥PP′.∵AF＝
1
2
AB＝4，AD＝8，∴DF ＝4 3.在Rt△AEF中，∵∠AEF＝90°，∠A＝60°，AF＝4，则∠AFE＝30°，∴AE＝2，EF＝23，∴PE＝PF＝ 3.在Rt△PHF中，∵∠FPH＝30°，PF＝3，∴HF＝
1
2
PF＝
3
2
，∴DH＝DF－HF＝43－
3
2
＝
73
2
，∴S▱PP′CD＝
73
2
×8＝28 3.故选A.
2．S△AEF S△CFM S△ANF S△AEF S△FGC S△CFM
3．(1)证明：根据折叠得∠DBC＝∠DBE，又∵AD∥BC，∴∠DBC＝∠ADB，∴∠DBE ＝∠ADB，∴DF＝BF，∴△BDF是等腰三角形．
(2)解：①四边形BFDG是菱形．理由如下：∵四边形ABCD是矩形，∴AD∥BC，∴FD∥BG.又∵FD＝BF＝BG，∴四边形BFDG是平行四边形．∵DF＝BF，∴四边形BFDG是菱形．
②∵AB＝6，AD＝8，∴BD＝10.∴OB＝
1
2
BD＝5.设DF＝BF＝x，∴AF＝AD－DF＝8－x.在Rt△ABF中，由勾股定理得AB2＋AF2＝BF2，即62＋(8－x)2＝x2，解得x＝
25
4
，即BF＝
25
4
，
∴FO＝BF2－OB2＝
⎝
⎛
⎭
⎪
⎫
25
4
2
－52＝
15
4
，∴FG＝2FO＝
15
2
.
4．(1)解：3 12 解析：如图①，利用邻边长分别为3和5的平行四边形进行3次操作，所剩四边形是边长为1的菱形，故邻边长分别为3和5的平行四边形是3阶准菱形．
如图②，∵b＝5r，∴a＝8b＋r＝40r＋r＝8×5r＋r，利用邻边长分别为41r和5r的平行四边形进行8＋4＝12(次)操作，所剩四边形是边长为1的菱形，故邻边长分别为41r和5r 的平行四边形是12阶准菱形．
(2)证明：由折叠知∠ABE＝∠FBE，AB＝BF.∵四边形ABCD是平行四边形，∴AE∥BF，∴∠AEB＝∠FBE，∴∠AEB＝∠ABE，∴AE＝AB，∴AE＝BF，∴四边形ABFE是平行四边形．又∵AB＝AE，∴四边形ABFE是菱形．。