八年级数学下册四边形分类证明题
山东数学中考分类汇编--有关四边形的综合证明题
四边形的综合证明题：1．（2019年滨州）如图，矩形ABCD中，点E在边CD上，将△BCE沿BE折叠，点C落在AD边上的点F处，过点F作FG∥CD交BE于点G，连接CG．（1）求证：四边形CEFG是菱形；（2）若AB＝6，AD＝10，求四边形CEFG的面积．2．（2020年滨州）如图，过▱ABCD对角线AC与BD的交点E作两条互相垂直的直线，分别交边AB、BC、CD、DA于点P、M、Q、N．（1）求证：△PBE≌△QDE；（2）顺次连接点P，M，Q，N，求证：四边形PMQN是菱形．3．（2021年滨州）如图，矩形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，BE∥AC，AE∥BD．（1）求证：四边形AOBE是菱形；（2）若∠AOB＝60°，AC＝4，求菱形AOBE的面积．4．（2022年滨州）如图，菱形ABCD的边长为10，∠ABC＝60°，对角线AC、BD相交于点O，点E在对角线BD上，连接AE，作∠AEF＝120°且边EF与直线DC相交于点F．（1）求菱形ABCD的面积；（2）求证：AE＝EF．5．（2017年滨州）如图，在▱ABCD中，以点A为圆心，AB长为半径画弧交AD于点F，再分别以点B、F为圆心，大于BF的相同长为半径画弧，两弧交于点P；连接AP并延长交BC于点E，连接EF，则所得四边形ABEF是菱形．（1）根据以上尺规作图的过程，求证：四边形ABEF是菱形；（2）若菱形ABEF的周长为16，AE＝4，求∠C的大小．6.（2017德州）如图1，在矩形纸片ABCD中，AB＝3cm，AD＝5cm，折叠纸片使B点落在边AD上的E处，折痕为PQ，过点E作EF∥AB交PQ于F，连接BF．（1）求证：四边形BFEP为菱形；（2）当点E在AD边上移动时，折痕的端点P、Q也随之移动；①当点Q与点C重合时（如图2），求菱形BFEP的边长；②若限定P、Q分别在边BA、BC上移动，求出点E在边AD上移动的最大距离．7.（2018德州)再读教材：宽与长的比是（约为0.618）的矩形叫做黄金矩形，黄金矩形给我们以协调、匀称的美感，世界各国许多著名的建筑，为取得最佳的视觉效果，都采用了黄金矩形的设计，下面，我们用宽为2的矩形纸片折叠黄金矩形．（提示：MN＝2）第一步，在矩形纸片一端，利用图①的方法折出一个正方形，然后把纸片展平．第二步，如图②，把这个正方形折成两个相等的矩形，再把纸片展平．第三步，折出内侧矩形的对角线AB，并把AB折到图③中所示的AD处．第四步，展平纸片，按照所得的点D折出DE，使DE⊥ND，则图④中就会出现黄金矩形．问题解决：（1）图③中AB＝（保留根号）；（2）如图③，判断四边形BADQ的形状，并说明理由；（3）请写出图④中所有的黄金矩形，并选择其中一个说明理由．实际操作（3）结合图④，请在矩形BCDE中添加一条线段，设计一个新的黄金矩形，用字母表示出来，并写出它的长和宽．8.（2019德州）（1）如图1，菱形AEGH的顶点E、H在菱形ABCD的边上，且∠BAD＝60°，请直接写出HD：GC：EB的结果（不必写计算过程）（2）将图1中的菱形AEGH绕点A旋转一定角度，如图2，求HD：GC：EB；（3）把图2中的菱形都换成矩形，如图3，且AD：AB＝AH：AE＝1：2，此时HD：GC：EB的结果与（2）小题的结果相比有变化吗？如果有变化，直接写出变化后的结果（不必写计算过程）；若无变化，请说明理由．9．（2018年东营）（1）某学校“智慧方园”数学社团遇到这样一个题目：如图1，在△ABC中，点O在线段BC上，∠BAO＝30°，∠OAC＝75°，AO＝，BO：CO＝1：3，求AB的长．经过社团成员讨论发现，过点B作BD∥AC，交AO的延长线于点D，通过构造△ABD 就可以解决问题（如图2）．请回答：∠ADB＝°，AB＝．（2）请参考以上解决思路，解决问题：如图3，在四边形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，AC⊥AD，AO＝，∠ABC＝∠ACB＝75°，BO：OD＝1：3，求DC的长．10．（2019年东营）如图1，在Rt△ABC中，∠B＝90°，AB＝4，BC＝2，点D、E分别是边BC、AC的中点，连接DE．将△CDE绕点C逆时针方向旋转，记旋转角为α．（1）问题发现①当α＝0°时，＝；②当α＝180°时，＝．（2）拓展探究试判断：当0°≤α＜360°时，的大小有无变化？请仅就图2的情形给出证明．（3）问题解决△CDE绕点C逆时针旋转至A、B、E三点在同一条直线上时，求线段BD的长．11．（2020年东营）如图1，在等腰三角形ABC中，∠A＝120°，AB＝AC，点D、E分别在边AB、AC上，AD＝AE，连接BE，点M、N、P分别为DE、BE、BC的中点．（1）观察猜想．图1中，线段NM、NP的数量关系是，∠MNP的大小为．（2）探究证明把△ADE绕点A顺时针方向旋转到如图2所示的位置，连接MP、BD、CE，判断△MNP 的形状，并说明理由；（3）拓展延伸把△ADE绕点A在平面内自由旋转，若AD＝1，AB＝3，请求出△MNP面积的最大值．12．（2022年东营）△ABC和△ADF均为等边三角形，点E、D分别从点A，B同时出发，以相同的速度沿AB、BC运动，运动到点B、C停止．（1）如图1，当点E、D分别与点A、B重合时，请判断：线段CD、EF的数量关系是，位置关系是；（2）如图2，当点E、D不与点A，B重合时，（1）中的结论是否依然成立？若成立，请给予证明；若不成立，请说明理由；（3）当点D运动到什么位置时，四边形CEFD的面积是△ABC面积的一半，请直接写出答案；此时，四边形BDEF是哪种特殊四边形？请在备用图中画出图形并给予证明．13．（2021•菏泽）如图，在菱形ABCD中，点M、N分别在AB、CB上，且∠ADM＝∠CDN，求证：BM＝BN．14.（2019•菏泽）如图，四边形ABCD是矩形．（1）用尺规作线段AC的垂直平分线，交AB于点E，交CD于点F（不写作法，保留作图痕迹）；（2）若BC＝4，∠BAC＝30°，求BE的长．15.（2018•菏泽）如图，E是▱ABCD的边AD的中点，连接CE并延长交BA的延长线于F，若CD＝6，求BF的长．16．（2021•菏泽）在矩形ABCD中，BC＝CD，点E、F分别是边AD、BC上的动点，且AE＝CF，连接EF，将矩形ABCD沿EF折叠，点C落在点G处，点D落在点H处．（1）如图1，当EH与线段BC交于点P时，求证：PE＝PF；（2）如图2，当点P在线段CB的延长线上时，GH交AB于点M，求证：点M在线段EF的垂直平分线上；（3）当AB＝5时，在点E由点A移动到AD中点的过程中，计算出点G运动的路线长．17.（2018•菏泽）问题情境：在综合与实践课上，老师让同学们以“矩形纸片的剪拼”为主题开展数学活动．如图1，将：矩形纸片ABCD沿对角线AC剪开，得到△ABC和△ACD．并且量得AB=2cm，AC=4cm．操作发现：（1）将图1中的△ACD以点A为旋转中心，按逆时针方向旋转∠α，使∠α=∠BAC，得到如图2所示的△AC′D，过点C作AC′的平行线，与DC'的延长线交于点E，则四边形ACEC′的形状是．（2）创新小组将图1中的△ACD以点A为旋转中心，按逆时针方向旋转，使B、A、D三点在同一条直线上，得到如图3所示的△AC′D，连接CC'，取CC′的中点F，连接AF并延长至点G，使FG=AF，连接CG、C′G，得到四边形ACGC′，发现它是正方形，请你证明这个结论．实践探究：（3）缜密小组在创新小组发现结论的基础上，进行如下操作：将△ABC沿着BD 方向平移，使点B与点A重合，此时A点平移至A'点，A'C与BC′相交于点H，如图4所示，连接CC′，试求tan∠C′CH的值．18.（2017•菏泽）正方形ABCD的边长为6cm，点E、M分别是线段BD、AD上的动点，连接AE并延长，交边BC于F，过M作MN⊥AF，垂足为H，交边AB于点N．（1）如图1，若点M与点D重合，求证：AF＝MN；（2）如图2，若点M从点D出发，以1cm/s的速度沿DA向点A运动，同时点E从点B 出发，以cm/s的速度沿BD向点D运动，运动时间为ts．①设BF＝ycm，求y关于t的函数表达式；②当BN＝2AN时，连接FN，求FN的长19．（2020•菏泽）如图1，四边形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，OA＝OC，OB＝OD+CD．（1）过点A作AE∥DC交BD于点E，求证：AE＝BE；（2）如图2，将△ABD沿AB翻折得到△ABD'．①求证：BD'∥CD；AD'∥BC，求证：CD2＝2OD•②若BD．20.（2019•菏泽）如图，△ABC和△ADE是有公共顶点的等腰直角三角形，∠BAC＝∠DAE＝90°．（1）如图1，连接BE，CD，BE的延长线交AC于点F，交CD于点P，求证：BP⊥CD；（2）如图2，把△ADE绕点A顺时针旋转，当点D落在AB上时，连接BE，CD，CD21.（2020济南）如图，在▱ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，过点O的直线分别交AD，BC于点E，F．求证：AE＝CF．22.（2019济南）如图，在▱ABCD中，E、F分别是AD和BC上的点，∠DAF＝∠BCE．求证：BF＝DE．23.（2018济南）如图，在▱ABCD中，连接BD，E是DA延长线上的点，F是BC延长线上的点，且AE=CF，连接EF交BD于点O．求证：OB=OD．24.（2020济南）如图，在▱ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，过点O的直线分别交AD，BC于点E，F．求证：AE＝CF．25.（2019济南）如图，在▱ABCD中，E、F分别是AD和BC上的点，∠DAF＝∠BCE．求证：BF＝DE．26.（2018济南）如图，在▱ABCD中，连接BD，E是DA延长线上的点，F是BC延长线上的点，且AE=CF，连接EF交BD于点O．求证：OB=OD．27．（11分）如图1，在矩形ABCD中，AB＝8，AD＝10，E是CD边上一点，连接AE，将矩形ABCD沿AE折叠，顶点D恰好落在BC边上点F处，延长AE交BC的延长线于点G．（1）求线段CE的长；（2）如图2，M，N分别是线段AG，DG上的动点（与端点不重合），且∠DMN＝∠DAM，设AM＝x，DN＝y．①写出y关于x的函数解析式，并求出y的最小值；②是否存在这样的点M，使△DMN是等腰三角形？若存在，请求出x的值；若不存在，请说明理由．28.如图，在菱形ABCD中，AB=AC，点E、F、G分别在边BC、CD上，BE=CG，AF平分∠EAG，点H是线段AF上一动点(与点A不重合)．(1)求证:∠AEH∠∠AGH；(2)当AB=12，BE=4时：∠求∠DGH周长的最小值；∠若点O是AC的中点，是否存在直线OH将∠ACE分成三角形和四边形两部分，其中三角形的面积与四边形的面积比为1:3．若存在，请求出AHAF的值；若不存在，请说明理由．29．（2019年聊城）在菱形ABCD中，点P是BC边上一点，连接AP，点E，F是AP上的两点，连接DE，BF，使得∠AED＝∠ABC，∠ABF＝∠BPF．求证：（1）△ABF≌△DAE；（2）DE＝BF+EF．30．（2020年聊城）如图，在▱ABCD中，E为BC的中点，连接AE并延长交DC的延长线于点F，连接BF，AC，若AD＝AF，求证：四边形ABFC是矩形．.31. （2021年聊城）如图，在四边形ABCD中，AC与BD相交于点O，且AO＝CO，点E 在BD上，满足∠EAO＝∠DCO．（1）求证：四边形AECD是平行四边形；（2）若AB ＝BC ，CD ＝5，AC ＝8，求四边形AECD 的面积．32. （2022年聊城）如图，ABC 中，点D 是AB 上一点，点E 是AC 的中点，过点C 作CF AB ∥，交DE 的延长线于点F ．（1）求证：AD CF =；（2）连接AF ，CD ．如果点D 是AB 的中点，那么当AC 与BC 满足什么条件时，四边形ADCF 是菱形，证明你的结论．33.（2018•临沂）将矩形ABCD 绕点A 顺时针旋转α（0°＜α＜360°），得到矩形AEFG ．（1）如图，当点E 在BD 上时．求证：FD=CD ；（2）当α为何值时，GC=GB ？画出图形，并说明理由．34.（2020年临沂）如图，菱形ABCD 的边长为1，=60ABC ∠︒，点E 是边AB 上任意一点(端点除外)，线段CE 的垂直平分线交BD ，CE 分别于点F ，G ，AE ，EF 的中点分别为M ，N ．=；(1)求证：AF EF+的最小值；(2)求MN NG∠的大小是否变化？为什么？(3)当点E在AB上运动时，CEF35．（2022年临沂）已知△ABC是等边三角形，点B，D关于直线AC对称，连接AD，CD．（1）求证：四边形ABCD是菱形；（2）在线段AC上任取一点P（端点除外），连接PD．将线段PD绕点P逆时针旋转，使点D落在BA延长线上的点Q处．请探究：当点P在线段AC上的位置发生变化时，∠DPQ 的大小是否发生变化？说明理由．（3）在满足（2）的条件下，探究线段AQ与CP之间的数量关系，并加以证明．36．（2021年临沂）如图，已知正方形ABCD，点E是BC边上一点，将△ABE沿直线AE 折叠，点B落在F处，连接BF并延长，与∠DAF的平分线相交于点H，与AE，CD分别相交于点G，M，连接HC．（1）求证：AG＝GH；（2）若AB＝3，BE＝1，求点D到直线BH的距离；（3）当点E在BC边上（端点除外）运动时，∠BHC的大小是否变化？为什么？37..（临沂2019）如图，在正方形ABCD中，E是DC边上一点，（与D、C不重合），连接AE，将△ADE沿AE所在的直线折叠得到△AFE，延长EF交BC于G，连接AG，作GH ⊥AG，与AE的延长线交于点H，连接CH．显然AE是∠DAF的平分线，EA是∠DEF 的平分线．仔细观察，请逐一找出图中其他的角平分线（仅限于小于180°的角平分线），并说明理由．38．（2022•青岛）如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，点E，F在对角线BD上，BE＝EF ＝FD，∠BAF＝∠DCE＝90°．（1）求证：△ABF≌△CDE；（2）连接AE，CF，已知①（从以下两个条件中选择一个作为已知，填写序号），请判断四边形AECF的形状，并证明你的结论．条件①：∠ABD＝30°；条件②：AB＝BC．（注：如果选择条件①条件②分别进行解答，按第一个解答计分）39.（2017年青岛市）（本小题满分8分）已知：如图，在菱形ABCD中，点E，O，F 分别是边AB，AC，AD的中点，连接CE、CF、OF．（1）求证：△ BCE≌△DCF；（2）当AB与BC满足什么条件时，四边形AEOF正方形？请说明理由．40.（2019年青岛市）（12分）已知：如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，∠ACB＝90°，AB＝10cm，BC＝8cm，OD垂直平分A C．点P从点B出发，沿BA方向匀速运动，速度为1cm/s；同时，点Q从点D出发，沿DC方向匀速运动，速度为1cm/s；当一个点停止运动，另一个点也停止运动．过点P作PE⊥AB，交BC于点E，过点Q作QF∥AC，分别交AD，OD于点F，G．连接OP，EG．设运动时间为t（s）（0＜t＜5），解答下列问题：（1）当t为何值时，点E在∠BAC的平分线上？（2）设四边形PEGO的面积为S（cm2），求S与t的函数关系式；（3）在运动过程中，是否存在某一时刻t，使四边形PEGO的面积最大？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由；（4）连接OE，OQ，在运动过程中，是否存在某一时刻t，使OE⊥OQ？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由．41．（2021•青岛）如图，在▱ABCD中，E为CD边的中点，连接BE并延长，交AD的延长线于点F，延长ED至点G，使DG＝DE，分别连接AE，AG，FG．（1）求证：△BCE≌△FDE；（2）当BF平分∠ABC时，四边形AEFG是什么特殊四边形？请说明理由．42．（2020•青岛）如图，在▱ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，点E，F分别在BD 和DB的延长线上，且DE＝BF，连接AE，CF．（1）求证：△ADE≌△CBF；（2）连接AF，CE．当BD平分∠ABC时，四边形AFCE是什么特殊四边形？请说明理由．43．（2018年青岛市）（8分）已知：如图，平行四边形ABCD，对角线AC与BD相交于点E，点G为AD的中点，连接CG，CG的延长线交BA的延长线于点F，连接FD．（1）求证：AB＝AF；（2）若AG＝AB，∠BCD＝120°，判断四边形ACDF的形状，并证明你的结论．44．（2022•日照）如图1，△ABC是等腰直角三角形，AC＝BC＝4，∠C＝90°，M，N分别是边AC，BC上的点，以CM，CN为邻边作矩形PMCN，交AB于E，F．设CM＝a，CN＝b，若ab＝8．（1）判断由线段AE，EF，BF组成的三角形的形状，并说明理由；（2）①当a＝b时，求∠ECF的度数；②当a≠b时，①中的结论是否成立？并说明理由．45．（2 021•日照）问题背景：如图1，在矩形ABCD中，AB＝2，∠ABD＝30°，点E是边AB的中点，过点E作EF⊥AB交BD于点F．实验探究：（1）在一次数学活动中，小王同学将图1中的△BEF绕点B按逆时针方向旋转90°，如图2所示，得到结论：①＝；②直线AE与DF所夹锐角的度数为．（2）小王同学继续将△BEF绕点B按逆时针方向旋转，旋转至如图3所示位置．请问探究（1）中的结论是否仍然成立？并说明理由．拓展延伸：在以上探究中，当△BEF旋转至D、E、F三点共线时，则△ADE的面积为．46.（2019年日照）如图，在矩形ABCD中，对角线AC的中点为O，点G，H在对角线AC上，AG＝CH，直线GH绕点O逆时针旋转α角，与边AB、CD分别相交于点E、F（点E不与点A、B重合）．（1）求证：四边形EHFG是平行四边形；（2）若∠α＝90°，AB＝9，AD＝3，求AE的长．47.（2017年日照）如图，已知BA=AE=DC，AD=EC，CE⊥AE，垂足为E．（1）求证：△DCA≌△EAC；（2）只需添加一个条件，即，可使四边形ABCD为矩形．请加以证明．48．（2021•泰安）四边形ABCD为矩形，E是AB延长线上的一点．（1）若AC＝EC，如图1，求证：四边形BECD为平行四边形；（2）若AB＝AD，点F是AB上的点，AF＝BE，EG⊥AC于点G，如图2，求证：△DGF 是等腰直角三角形．49.（2018年泰安）（11分）如图，△ABC中，D是AB上一点，DE⊥AC于点E，F是AD的中点，FG⊥BC于点G，与DE交于点H，若FG=AF，AG平分∠CAB，连接GE，GD．（1）求证：△ECG≌△GHD；（2）小亮同学经过探究发现：AD=AC+EC．请你帮助小亮同学证明这一结论．（3）若∠B=30°，判定四边形AEGF是否为菱形，并说明理由．50.（2017年泰安）（11分）如图，四边形ABCD是平行四边形，AD＝AC，AD⊥AC，E是AB的中点，F是AC延长线上一点．（1）若ED⊥EF，求证：ED＝EF；（2）在（1）的条件下，若DC的延长线与FB交于点P，试判定四边形ACPE是否为平行四边形？并证明你的结论（请先补全图形，再解答）；（3）若ED＝EF，ED与EF垂直吗？若垂直给出证明，若不垂直说明理由．51.（2017年泰安）如图，四边形ABCD中，AB＝AC＝AD，AC平分∠BAD，点P是AC延长线上一点，且PD⊥AD．（1）证明：∠BDC＝∠PDC；（2）若AC与BD相交于点E，AB＝1，CE：CP＝2：3，求AE的长．。
期末考前复习第六章《平行四边形》高频考点分类精准练2020-2021学年北师大版八年级下册数学
北师大版八年级下册数学期末考前复习《平行四边形》高频考点分类精准练题型一：平行四边形的性质和判定1.如图,在△ABC中,D,E分别是AB,BC的中点,点F在DE延长线上,添加一个条件使四边形ADFC为平行四边形,则这个条件是( )A.∠B=∠FB.∠B=∠BCFC.AC=CFD.AD=CF2.如图,在▱ABCD中,用直尺和圆规作∠BAD的平分线AG,若AD=5,DE=6,则AG的长是( )A.6B.8C.10D.123.如图,在▱ABCD中,∠ADC=119°,BE⊥DC于点E,DF⊥BC于点F,BE与DF交于点H,则∠BHF=度.4.如图,在等腰三角形纸片ABC中,AB=AC=10,BC=12,沿底边BC上的高AD剪成两个三角形,用这两个三角形拼成平行四边形,则这个平行四边形较长的对角线的长是.5.平行四边形的其中一个判定定理是:两组对边分别相等的四边形是平行四边形.请你证明这个判定定理.已知:如图,在四边形ABCD中,AB=CD,AD=BC.求证:四边形ABCD是平行四边形.6.如图,点E在▱ABCD内部,AF∥BE,DF∥CE.(1)求证:△BCE≌△ADF;(2)设▱ABCD的面积为S,四边形AEDF的面积为T,求的值.题型二：三角形中位线定理1.如图,要测量池塘两岸相对的A,B两点间的距离,可以在池塘外选一点C,连接AC,BC,分别取AC,BC的中点D,E,测得DE=50 m,则AB的长是m.2.如图,D,E分别是△ABC的边AB,AC上的中点,如果△ADE的周长是6,则△ABC 的周长是 ( )A.6B.12C.18D.243.如图所示,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,CM是斜边AB上的中线,E,F分别为MB,BC 的中点,若EF=1,则AB=.4.如图,▱ABCD的对角线AC,BD相交于点O,点E是AB的中点,△BEO的周长是8,则△BCD的周长为.题型三：多边形的内角和与外角和1.下列图形为正多边形的是( )2.正十边形的外角和为 ( )A.180°B.360°C.720°D.1 440°3.一个多边形的内角和比其外角和的2倍多180°,则该多边形的对角线的条数是 ( )A.12B.13C.14D.154.八边形的内角和为°.5.若一个多边形的内角和与外角和之和是900°,则该多边形的边数是.6.乐乐和数学小组的同学们研究多边形对角线的相关问题,邀请你也加入其中!请仔细观察下面的图形和表格,并回答下列问题:(1)观察探究.请自己观察上面的图形和表格,并用含n的代数式将上面的表格填写完整,其中①;②.(2)实际应用.数学社团共分为6个小组,每组有3名同学.同学们约定,大年初一时不同组的两位同学之间要打一个电话拜年,请问,按照此约定,数学社团的同学们一共将拨打电话多少个?(3)类比归纳.乐乐认为(1),(2)之间存在某种联系,你能找到这两个问题之间的联系吗?请用语言描述你的发现.7.已知如图,四边形ABCD中,BE,DF分别平分四边形的外角∠MBC和∠NDC,若∠BAD=α,∠BCD=β.(1)如图1,说明∠MBC+∠NDC=α+β.(2)如图1,若BE与DF相交于点G,∠BGD=45°,请写出α,β所满足的等量关系式.(3)如图2,若α=β,判断BE,DF的位置关系,并说明理由.北师大版八年级下册数学期末考前复习《平行四边形》高频考点分类精准练（解析版）题型一：平行四边形的性质和判定1.如图,在△ABC中,D,E分别是AB,BC的中点,点F在DE延长线上,添加一个条件使四边形ADFC为平行四边形,则这个条件是( B)A.∠B=∠FB.∠B=∠BCFC.AC=CFD.AD=CF2.如图,在▱ABCD中,用直尺和圆规作∠BAD的平分线AG,若AD=5,DE=6,则AG的长是 ( B)A.6B.8C.10D.123.如图,在▱ABCD中,∠ADC=119°,BE⊥DC于点E,DF⊥BC于点F,BE与DF交于点H,则∠BHF=61度.4.如图,在等腰三角形纸片ABC中,AB=AC=10,BC=12,沿底边BC上的高AD剪成两个三角形,用这两个三角形拼成平行四边形,则这个平行四边形较长的对角线的长是10或4或2.5.平行四边形的其中一个判定定理是:两组对边分别相等的四边形是平行四边形.请你证明这个判定定理.已知:如图,在四边形ABCD中,AB=CD,AD=BC.求证:四边形ABCD是平行四边形.证明:连接AC,如图所示:在△ABC和△CDA中,∴△ABC≌△CDA(SSS),∴∠BAC=∠DCA,∠ACB=∠CAD,∴AB∥CD,BC∥AD,∴四边形ABCD是平行四边形. 6.如图,点E在▱ABCD内部,AF∥BE,DF∥CE.(1)求证:△BCE≌△ADF;(2)设▱ABCD的面积为S,四边形AEDF的面积为T,求的值.略题型二：三角形中位线定理1.如图,要测量池塘两岸相对的A,B两点间的距离,可以在池塘外选一点C,连接AC,BC,分别取AC,BC的中点D,E,测得DE=50 m,则AB的长是100m.2.如图,D,E分别是△ABC的边AB,AC上的中点,如果△ADE的周长是6,则△ABC 的周长是 ( B)A.6B.12C.18D.243.如图所示,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,CM是斜边AB上的中线,E,F分别为MB,BC 的中点,若EF=1,则AB=4.4.如图,▱ABCD的对角线AC,BD相交于点O,点E是AB的中点,△BEO的周长是8,则△BCD的周长为16.题型三：多边形的内角和与外角和1.下列图形为正多边形的是( D)2.正十边形的外角和为 ( B )A.180°B.360°C.720°D.1 440°3.一个多边形的内角和比其外角和的2倍多180°,则该多边形的对角线的条数是 ( C)A.12B.13C.14D.154.八边形的内角和为 1 080°.5.若一个多边形的内角和与外角和之和是900°,则该多边形的边数是 5 .6.乐乐和数学小组的同学们研究多边形对角线的相关问题,邀请你也加入其中!请仔细观察下面的图形和表格,并回答下列问题:(1)观察探究.请自己观察上面的图形和表格,并用含n的代数式将上面的表格填写完整,其中①;②.(2)实际应用.数学社团共分为6个小组,每组有3名同学.同学们约定,大年初一时不同组的两位同学之间要打一个电话拜年,请问,按照此约定,数学社团的同学们一共将拨打电话多少个?(3)类比归纳.乐乐认为(1),(2)之间存在某种联系,你能找到这两个问题之间的联系吗?请用语言描述你的发现.解:(1)由题可得,当多边形的顶点数为n时,从一个顶点出发的对角线的条数为n-3,多边形对角线的总条数为n(n-3).答案:n-3 n(n-3)(2)∵3×6=18,∴数学社团的同学们一共将拨打电话×18×(18-3)=135(个).(3)每个同学相当于多边形的一个顶点,则共有n个顶点;每人要给不同组的同学打一个电话,则每人要打(n-3)个电话;两人之间不需要重复拨打电话,故拨打电话的总数为n(n-3);数学社团有18名同学,当n=18时,×18×(18-3)=135.7.已知如图,四边形ABCD中,BE,DF分别平分四边形的外角∠MBC和∠NDC,若∠BAD=α,∠BCD=β.(1)如图1,说明∠MBC+∠NDC=α+β.(2)如图1,若BE与DF相交于点G,∠BGD=45°,请写出α,β所满足的等量关系式.(3)如图2,若α=β,判断BE,DF的位置关系,并说明理由.答案：略.。
八年级数学下册平行四边形的性质练习题
八年级数学下册平行四边形的性质练习题（含答案解析）学校:___________姓名：___________班级：___________一、填空题1．在平行四边形ABCD 中，AB ＝3，BC ＝4，则平行四边形ABCD 的周长等于 _____．2．如图，等腰△ABC 中，△BAC =120°，点D 在边BC 上，等腰△ADE 绕点A 顺时针旋转30°后，点D 落在边AB 上，点E 落在边AC 上，若AE =2cm ，则四边形ABDE 的面积是__________．3．定义：一个三角形的一边长是另一边长的2倍，这样的三角形叫做“倍长三角形”．若等腰△ABC 是“倍长三角形”，底边BC 的长为3，则腰AB 的长为______．4．如图，已知DG △BC ，AC △BC ，CD △AB ，EF △AB ，则DG 与AC 间的距离是线段________的长，CD 与EF 间的距离是线段________的长．5．如图，平行四边形的中心在原点，AD BC ∥，D （3，2），C （1，﹣2），则A 点的坐标为________，B 点的坐标为________．6．如图，在平面直角坐标系中，点()1,2A -，4OC =，将平行四边形OABC 绕点O 旋转90°后，点B 的对应点B '坐标是______．7．如图，菱形ABCD 中，∠ABD=30°，AC=4，则BD的长为_______．8．如图，在直角坐标系中，平行四边形ABCD的BC边在x轴上，点A（0，3），B（−1，0），若直线y＝−2x＋4恰好平分平行四边形ABCD的面积，则点D的坐标是______．二、单选题9．如图，在△ABC中，已知点D，E，F分别为边BC，AD，CE中点，且△ABC的面积等于4cm2，则阴影部分图形面积等于（）.A．1cm2B．2cm2C．0.5cm2D．1.5cm210．已知三角形的三边长分别为2、x、8，则x的值可能是（）A．4B．6C．9D．1011．已知A、B、C三点不在同一条直线上，则以这三点为顶点的平行四边形共有（）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个12．已知某点阵的第△△△个图如图所示，按此规律第（ ）个点阵图中，点的个数为2022个．A ．1009B ．2018C ．2022D ．2048三、解答题13．如图，PBD △和PAC △都是直角三角形，90DBP CAP ∠=∠=︒．(1)如图1，PA ，PB 与直线MN 重合，若45BDP ∠=︒，30ACP ∠=︒，求DPC ∠的度数；(2)如图2，若45BDP ∠=︒，30ACP ∠=︒，PBD △保持不动，PAC △绕点P 逆时针旋转一周．在旋转过程中，当PC BD ∥时，求APN ∠的度数；(3)如图3，()90180BPA a α∠=︒<<︒，点E 、F 分别是线段BD 、AC 上一动点，当PEF 周长最小时，直接写出EPF ∠的度数（用含α的代数式表示）．14．在四边形ABCD 中，BAD ∠的平分线AF 交BC 于F ，延长AB 到E 使BE FC =，G 是AF 的中点，GE 交BC 于O ，连接GD ．(1)当四边形ABCD 是矩形时，如图，求证：△GE GD =；△BO GD GO FC ⋅=⋅．(2)当四边形ABCD 是平行四边形时，如图，（1）中的结论都成立，请给出结论△的证明．15．如图，已知,AF DE AE FD ==，点B 、C 在AD 上，AB CD =，BF CE =．（1）图中共有__________对全等三角形；分别是__________；（2）我会说明__________≌△__________．（写出证明过程）参考答案：1．14【分析】由平行四边形的对边相等即可求得其周长．【详解】解：△四边形ABCD是平行四边形，△AB＝CD，BC＝AD，△平行四边形的周长为＝2（AB+BC）＝2×（3+4）＝14，故答案为：14．【点睛】本题考查平行四边形的性质，熟知平行四边形的对边相等是解答的关键．22．【分析】如图，作AH△BC于H．证明四边形ABDE是平行四边形即可解决问题．【详解】解：如图，作AH△BC于H．由题意得：△EAD=△BAC=120°，△EAC=△C=30°，△AE△BC，△△ADH=△B+△BAD，△B=△BAD=30°，△△ADH=60°，BD=AD=AE=2cm，△AHcm），△BD=AE，BD△AE，△四边形ABDE是平行四边形，△SABCD=BD•AH cm2）.2．故答案为【点睛】本题考查旋转变换，等腰三角形的性质，平行四边形的判定和性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，灵活运用所学知识解决问题．3．6【分析】分类讨论：AB =AC =2BC 或BC =2AB =2AC ，然后根据三角形三边关系即可得出结果．【详解】解：△△ABC 是等腰三角形，底边BC =3△AB =AC当AB =AC =2BC 时，△ABC 是“倍长三角形”；当BC =2AB =2AC 时，AB +AC =BC ，根据三角形三边关系，此时A 、B 、C 不构成三角形，不符合题意； 所以当等腰△ABC 是“倍长三角形”，底边BC 的长为3，则腰AB 的长为6．故答案为6．【点睛】本题考查等腰三角形，三角形的三边关系，涉及分类讨论思想，结合三角形三边关系，灵活运用分类讨论思想是解题的关键．4． CG DE【分析】根据平行线间的距离等于平行线间任意一条垂线段的长度即可解题.【详解】解：由题可知：DG△AC,CD△EF,△DG 与AC 间的距离是线段CG ，CD 与EF 间的距离是线段DE.【点睛】本题考查了平行线之间的距离,属于简单题,找到平行线之间的垂线段是解题关键.5． （﹣1，2） （﹣3，﹣2）【分析】根据“关于原点对称的点横坐标互为相反数，纵坐标也互为相反数”即可解答．【详解】解：因为平行四边形是中心对称图形，而平行四边形的中心在原点，则A 点的坐标为（﹣1，2），B 点的坐标为（﹣3，﹣2）．故答案为：（﹣1，2），（﹣3，﹣2）．【点睛】本题主要考查了关于原点对称的点的坐标特征，熟练掌握关于原点对称的点横坐标互为相反数，纵坐标也互为相反数是解题的关键．6．()2,3-或()2,3-【分析】根据旋转可得： BM = B 1M 1 = B 2M 2 = 3，△AOA 1 =△AOA 2 = 90°，可得B 1和B 2的坐标，即是B '的坐标．【详解】解：△A (-1，2)， OC = 4，△ C (4，0)，B (3，2)，M (0，2)， BM = 3，AB//x轴，BM= 3．将平行四边形OABC绕点O分别顺时针、逆时针旋转90°后，由旋转得：OM=OM1=OM2=2，△AOA1=△AOA2=90°BM=B1M1=B2M2=3，A1B1△x轴，A2B2△x轴，△B1和B2的坐标分别为：(-2，3)，(2，-3)，△B'即是图中的B1和B2，坐标就是，B' (-2，3)，(2，-3)，故答案为：(-2，3)或(2，-3)．【点睛】本题考查了平行四边形的性质，坐标与图形的性质，旋转的性质，正确的识别图形是解题的关键．7．【分析】根据菱形的性质可得△ABO=30°，AO=12AC=2，根据含30°角的直角三角形的性质及勾股定理即可求得BO的长，从而得到结果．【详解】如图：在菱形ABCD中，AC、BD是对角线，设相交于O点，△ABD=30°，AC=4，△AC△BD，AO=12AC=2，△AB=2AO=4，△BO，22BD BO∴==⨯=故答案为：【点睛】本题考查的是菱形的性质，解答本题的关键是熟练掌握菱形的对角线互相垂直平分，对角线平分对角．8．（72，3）【分析】连接BD，设D（m，3），BD的中点为T．求出点T的坐标，利用的待定系数法，可得结论．【详解】解：连接BD，设D（m，3），BD的中点为T．△B（−1，0），△T（12m-，32），△直线y＝−2x＋4平分平行四边形ABCD的面积，△直线y＝−2x＋4经过点T，△32＝−2×12m-＋4，△m＝72，△D（72，3），故答案为：（72，3）．【点睛】本题考查中心对称，平行四边形的性质，一次函数的性质等知识，解题关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．9．A【分析】根据三角形中线的性质可得S△EBC=12S△ABC，1124BEF BEC ABCS S S==，结合已知条件即可求解．【详解】解：△点D ，E 分别为边BC ， AD 中点， 111,,222ABD ABC BED ABD CED ABD SS S S S S ∴===， 12BED DEC BEC ABC S S S S ∴+==，△F 是EC 的中点， 12BEF BEC S S =， 14BEF ABCS S ∴=， △ABC 的面积等于4cm 2，△S △BEF =1cm 2，即阴影部分的面积为1cm 2,故选：A ．【点睛】本题主要考查了三角形的中线的性质，掌握三角形的中线的性质是解题的关键．10．C【分析】根据三角形任意两边的和大于第三边，进而得出答案．【详解】解：三角形三边长分别为2，8，x ，8282x ∴-<<+，即：610x <<，只有9符合，故选：C ．【点睛】此题主要考查了三角形三边关系，解题的关键是正确把握三角形三边关系定理．11．C【详解】分析：由已知条件可知，顺次连接A 、B 、C 三点可得△ABC ，在分别以AB 、BC 和AC 为对角线各作出一个以点A 、B 、C 为顶点的平行四边形，如下图，由此即可得到本题答案了.详解：△点A 、B 、C 不在同一条直线上时，△顺次连接A 、B 、C 三点可得△ABC ，△分别以AB 、BC 和AC 为对角线各作出一个以点A 、B 、C 为顶点的平行四边形，如下图所示：△当A 、B 、C 三点不在同一条直线上，则以这三点为顶点的平行四边形共有3个.故选C.点睛：知道以三角形的每一条边为一条对角线都可以画出一个以该三角形的三个顶点为顶点的平行四边形，是解答本题的关键.12．A【分析】仔细观察图形变化，找到图形变化的规律，利用规律求解．【详解】解：第1个图里有6个点，6=4+2；第2个图有8个点，8=4+2×2；第3个有10个点，10=4+3×2；…则第n 个图中点的个数为4+2n ，令4+2n =2022， 解得n =1009．故选：A ．【点睛】本题主要考查图形的变化规律，解题的关键是根据图形得出每往后一个图形，点的个数相应增加2个．13．(1)75DPC ∠=︒(2)30APN ∠=︒或150︒(3)2180α-︒【分析】（1）先算出9045DPB BDP ∠=︒-∠=︒，9060CPA ACP ∠=︒-∠=︒，然后根据平角的定义，求出75DPC ∠=︒即可；（2）分点C 在MN 上方和点C 在MN 下方两种情况进行讨论，根据平行线的性质，求出结果即可；（3）延长PB 截取BG =PB ，在MN 上截取AH =AP ，连接GH ，交BD 于点E ，交AC 于点F ，连接PE 、PF ，此时△PEF 的周长最小，根据三角形外角的性质和垂直平分线的性质，求出EPF ∠的度数即可．（1）解：△90DBP CAP ∠=∠=︒，45BDP ∠=︒，30ACP ∠=︒，△9045DPB BDP ∠=︒-∠=︒，9060CPA ACP ∠=︒-∠=︒，△PA ，PB 与直线MN 重合，△18075DPC DPB CPA ∠=︒-∠-∠=︒．（2）当点C 在MN 上方时，如图所示：PC BD ∥，45BDP ∠=︒，△45CDP BDP ∠=∠=︒，△45DPB ∠=︒，60CPA ∠=︒，△18030APN BPD CPD CPA ∠=︒-∠-∠-∠=︒；当点C 在MN 下方时，如图所示：△PC BD ∥，90DBP ∠=︒，△90BPC DBP ∠=∠=︒，18090CPN BPC ∴∠=︒-∠=︒，△6090150APN APC CPN ∠=∠+∠=︒+︒=︒；综上分析可知，30APN ∠=︒或150︒．（3）延长PB 截取BG =PB ，在MN 上截取AH =AP ，连接GH ，交BD 于点E ，交AC 于点F ，连接PE 、PF ，此时△PEF 的周长最小，如图所示：△90DBP CAP ∠=∠=︒，△DB GP ⊥，CA PH ⊥，△DB 垂直平分PG ，CA 垂直平分PH ，△EG =EP ，FP =FH ，△EGP EPG ∠=∠，PHF HPF ∠=∠，△△MPG 是△PGH 的外角，△MPG EGP PHF EPG FPH ∠=∠+∠=∠+∠，180MPG α∠=︒-，△180EPG FPH MPG α∠+∠=∠=︒-，△()EPF APB EPG FPH ∠=∠-∠+∠()180αα=-︒-2180α=-︒【点睛】本题主要考查了平行线的性质，垂直平分线的性质，等腰三角形的性质，直角三角形两锐角互余，根据题意作出图形，并进行分类讨论，是解题的关键．14．(1)证明见详解(2)证明见详解【分析】（1）△证明ADG AEG ≌△即可；△连接BG ，CG ，证明ADG BCG ≌△，BOE GOC ∽△△即可证明；（2）△的结论和（1）中证明一样，证明ADG AEG ≌△即可；△的结论，作DM BC GM ⊥，连接，证明BOE GOM ∽△△即可．（1）证明：△证明过程：四边形ABCD 为矩形，90ABC BAD ∴∠=∠=︒AF 平分BAD ∠45BAF DAF ∴∠=∠=︒ABF ∴为等腰直角三角形AB BF ∴=BE FC =AB BE BF CF AE BC AD ∴+=+==，即AG AG =∴ADG AEG ≌△∴GE GD =△证明：连接BG ，CG ，G 为AF 的中点，四边形ABCD 为矩形，90ABC BAD AD BC ∴∠=∠=︒=，BG AG FG ∴==AF 平分BAD ABF ∠，为等腰直角三角形，45BAF DAF ABG CBG ∴∠=∠=︒=∠=∠∴ADG BCG ≌△∴ADG BCG ∠=∠ADG AEG ≌△E ADG ∴∠=∠E BCG ∴∠=∠BOE GOC ∠=∠BOE GOC ∴∽△△BO GO GO BOBE GC GD CF ∴===∴BO GD GO FC ⋅=⋅（2）作DM BC BC M GM GN DM DM N ⊥⊥交于，连接，作交于点，如图所示90DMB GNM GND DMC ∴∠=︒=∠=∠=∠由（1）同理可证：ADG AEG ≌△E ADG ∴∠=∠四边形ABCD 为平行四边形AD BC ∴∥90ADM DMC ∴∠=∠=︒BC GN AD ∴∥∥G 为AF 的中点，由平行线分线段成比例可得DN MN =DG MG ∴=，,GDM GMDADG BMG EBOE GOM ∠=∠BOE GOM ∴∽△△BO GO GO BO BE GM GD CF∴=== ∴BO GD GO FC ⋅=⋅【点睛】本题考查了以矩形与平行四边形为桥梁，涉及全等三角形的证明，相似三角形的证明，正确作出辅助线并由此得到相应的全等三角形和相似三角形是解题的关键．15．（1）3对；,,AED DFA AEC DFB AFB DEC ≌≌≌；（2）AED DFA ≌，证明见解析．【分析】根据已知条件，结合三角形全等的判定定理，推理即可得到正确答案．【详解】解：（1）3对；,,AED DFA AEC DFB AFB DEC ≌≌≌；（2）我会说明AED DFA ≌．证明：在AED 和DFA 中，△,,,DE AF DA AD AE DF =⎧⎪=⎨⎪=⎩△()AED DFA SSS ≌．【点睛】本题考查三角形全等的判定定理，根据定理内容找到全等条件是解题关键．。
专题06 平行四边形解答题压轴训练(解析版)八年级数学下期(人教版)
专题06 平行四边形解答题压轴训练（时间：60分钟 总分：120） 班级 姓名 得分一、解答题1．如图1，在ABCD 中，BAD ∠的平分线交BC 于点E ，交DC 的延长线于点F ，以EC ，CF 为邻边作ECFG ．（1）求证：ECFG 是菱形．（2）如图2，若90ABC ∠=︒，8AB =，12AD =，M 是EF 的中点，求DM 的长． （3）如图3，若120ABC ∠=︒，连结BD ，BG ，CG ，DG ，求BDG ∠的度数．【答案】（1）见解析；（2）；（3）60°【分析】（1）由平行四边形的性质可得AD ∥BC ，AB ∥CD ，再根据平行线的性质证明∥CEF =∥CFE ，根据等角对等边可得CE =CF ，再有条件四边形ECFG 是平行四边形，可得四边形ECFG 为菱形，即可解决问题；（2）首先证明四边形ECFG 为正方形，再证明∥BME ∥∥DMC 可得DM =BM ，∥DMC =∥BME ，再根据∥BMD =∥BME +∥EMD =∥DMC +∥EMD =90°可得到∥BDM 是等腰直角三角形，由等腰直角三角形的性质可求解．（3）延长AB 、FG 交于H ，连接HD ，求证平行四边形AHFD 为菱形，得出∥ADH ，∥DHF 为全等的等边三角形，证明∥BHD ∥∥GFD ，即可得出答案．【详解】解：（1）∥AF 平分∥BAD ，∥∥BAF =∥DAF ，∥四边形ABCD 是平行四边形，∥AD ∥BC ，AB ∥CD ，∥∥DAF =∥CEF ，∥BAF =∥CFE ，∥∥CEF =∥CFE ，∥CE =CF ，又∥四边形ECFG 是平行四边形，∥四边形ECFG 为菱形；（2）如图，连接BM ，MC ，∥∥ABC =90°，四边形ABCD 是平行四边形，∥四边形ABCD 是矩形，又由（1）可知四边形ECFG 为菱形，∥ECF =90°，∥四边形ECFG 为正方形．∥∥BAF =∥DAF ，∥BE =AB =DC ，∥M 为EF 中点，∥∥CEM =∥ECM =45°，∥∥BEM =∥DCM =135°，在∥BME 和∥DMC 中，BE CD BEM DCM EM CM =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∥∥BME ∥∥DMC （SAS ），∥DMC=∥BME．∥∥BMD=∥BME+∥EMD=∥DMC+∥EMD=90°，∥∥BMD是等腰直角三角形．∥AB=8，AD=12，∥BDBD=；∥DM=2（3）∥BDG=60°，延长AB、FG交于H，连接H D．∥AD∥GF，AB∥DF，∥四边形AHFD为平行四边形，∥∥ABC=120°，AF平分∥BAD，∥∥DAF=30°，∥ADC=120°，∥DF A=30°，∥∥DAF为等腰三角形，∥AD=DF，∥平行四边形AHFD为菱形，∥∥ADH，∥DHF为全等的等边三角形，∥DH=DF，∥BHD=∥GFD=60°，∥FG=CE，CE=CF，CF=BH，∥BH=GF，在∥BHD与∥GFD中，BHD GFD BH GF ⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∥∥BHD ∥∥GFD （SAS ），∥∥BDH =∥GDF∥∥BDG =∥BDH +∥HDG =∥GDF +∥HDG =60°．【点睛】此题是四边形综合题，主要考查平行四边形的判定方法，全等三角形的判定与性质，等边三角形的判定与性质，菱形的判定与性质等知识点，应用时要认真领会它们之间的联系与区别，同时要根据条件合理、灵活地选择方法．2．如图，在四边形ABCD 中，连接AC ，BD 交于点O ，∠ADO ＝∠CBO ，且AO ＝CO ，E 为线段OC 上一点，连接DE 并延长交BC 于点F ．（1）求证：四边形ABCD 为平行四边形；（2）若∠ADE ＝45°，AD ∠AC ，AE ＝3，CE ＝2，求三角形AOD 的面积．【答案】（1）见解析；（2）154【分析】 （1）依据∥AOD ∥∥COB （AAS ），即可得出AD ＝BC ，再根据∥ADO ＝∥CBO ，即可得到AD ∥BC ，进而判定四边形ABCD 是平行四边形；（2）依据∥ADE 是等腰直角三角形，即可得到AD 的长，由平行四边形的性质可得OA 的长，再根据三角形面积计算公式，即可得出∥AOD 的面积．【详解】（1）∥AC ，BD 交于点O ，∥∥AOD ＝∥COB ，在∥AOD 和∥COB 中，ADO CBO AOD COB AO CO ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∥∥AOD ∥∥COB （AAS ），∥AD ＝BC ，∥∥ADO ＝∥CBO ，∥AD ∥BC ，∥四边形ABCD 是平行四边形；（2）∥∥ADE ＝45°，AD ∥AC ，∥∥AED ＝45°，∥AD ＝AE ＝3，又∥CE ＝2，∥AC ＝3+2＝5，∥在平行四边形ABCD 中，AO ＝12AC ＝52， ∥Rt∥AOD 的面积＝12×AD ×AO ＝12×3×52＝154．【点睛】本题考查了平行四边形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、等腰三角形的判定． 3．定义：一组邻角相等的凸四边形叫做“友好四边形”．（1）写出我们所学过的特殊四边形中是“友好四边形”的图形的名称____（写一个） （2）在探究“友好四边形”性质时：∠小明画了一个“友好四边形”ABCD （如图），其中A B ∠=∠，AD BC =，此时他发现//AB DC ，请你证明此结论：∠由此小明猜想：“对于任意“友好四边形”当一组对边相等时，另一组对边就平行”，请你直接判断这个命题是真命题还是假命题；（3）已知：在“友好四边形”ABCD 中90A ∠=︒，60C ∠=°，6AB =，10BC =，请画出相应图形，并直接写出CD 的长．【答案】（1）矩形；（2）∥见解析；∥假命题；（3）画图见解析，11或2或10+【分析】（1）根据友好四边形的定义即可；（2）∥作出辅助线，判断出∥DF A ∥∥CEB ，再判断出四边形DFEC 是平行四边形即可；∥举出反例来说明；（3）分四种情况画图计算即可．【详解】解（1）矩形，矩形的四个角都是直角，根据“友好四边形”的定义，得到矩形是“友好四边形”；（2）∥如图，过点C 作CE AB ⊥，DF AB ⊥，DAB CBA ∠=∠，DAF CBE ∴∠=∠，CE AB ⊥，DF AB ⊥，90DFA CEB ∴∠=∠=︒，AD BC =，DFA CEB ∴∆≅∆，DF CE ∴=，90DFA CEB ∠=∠=︒，//DF EC ∴，∴四边形DFEC 是平行四边形，//AB CD ∴；∥假命题，反例如图，,AB AC = 则,B C ∠=∠在等腰三角形的腰上取点D ，E ，使得DE BC =，四边形DBCE 是友好四边形，没有对边平行．（3）∥90D A ∠=∠=︒，如图，作BE DC ⊥，90D A BED ∠=∠=∠=︒，∴四边形ADEB 是矩形，6DE AB ∴==．在Rt BEC △中，10BC =，60C ∠=°，5CE ∴=，11CD DE CE ∴=+=；∥如图，90A B ∠=∠=︒，作CE AD ⊥，90A B AEC ∠=∠=∠=︒，∴四边形ABCE 是矩形，10AE BC ∴==，6CE AB ==，在Rt CED 中，30DCE BCE BCD ∠=∠-∠=︒，CD ∴=，∥60B C ∠=∠=︒．如图，延长AD ，BC 交于E在Rt ABE △中，60B ∠=︒，6AB =，212BE AB ∴==，30E ∠=︒12102CE BE BC ∴=-=-=，60BCD ∠=︒，30CDE CED ∴∠=∠=︒，2CD CE ∴==，∥60D C ∠=∠=︒，如图，延长DA ，CB 交于E ，60D C ∠=∠=︒，60E ∴∠=︒，CD CE =，在Rt ABE △中，90,BAD BAE ∠=∠=︒ 60E ∠=︒，6AB =，BE ∴=10CD BC BE ∴=+=+【点睛】此题是四边形综合题，主要考查了平行四边形的判定和性质，矩形的判定和性质，直角三角形的性质，全等三角形的判定和性质，解本题的关键是作出图形，也是本题的难点． 4．在四边形ABCD 中，AB BC CD DA 、、、的中点分别为P 、Q 、M 、M ；（1）如图1，试判断四边形PQMN 怎样的四边形，并证明你的结论；（2）若在AB 上取一点E ，连结DE ，CE ，恰好ADE 和BCE 都是等边三角形（如图2）：∠判断此时四边形PQMN 的形状，并证明你的结论；∠当6AE =，3EB =，求此时四边形PQMN 的周长（结果保留根号）．【答案】（1）平行四边形，理由见解析；（2）∥菱形，证明见解析；∥【分析】（1）连接AC 、BD ．利用三角形中位线定理判定四边形PQMN 的对边平行且相等，易证该四边形是平行四边形；（2）∥设ADE ∆的边长是x ，BCE ∆的边长是y ，由于222221())2DB x y x xy y =++=++，22221())2AC x y y x xy y =++=++，可得平行四边形PQMN 的对角线相等，从而得出平行四边形PQMN 是菱形；∥如图2，过点D 作DF AB ⊥于F ，则通过解三角形求得DF =DB ∥知四边形PQMN 是菱形，可计算得周长是【详解】解：（1）如图1，连接AC 、BD ．PQ ∵为ABC ∆的中位线，12PQ AC ∴=且1//2PQ AC ，同理12MN AC=且1//2MN AC．MN PQ∴=且//MN PQ，∴四边形PQMN为平行四边形；（2）∥四边形PQMN是菱形，如图2，连接AC，BD，∥∥ADE和∥BCE都是等边三角形，∥AE=DE，CE=BE，∥AED=∥BEC=60°，∥∥AEC=∥DEB，∥∥AEC∥∥DEB，∥AC=BD，∥点M，N是AD，CD的中点，∥MN是∥ADC的中位线，∥MN=12 AC，同理：PN=12 BD，∥MN=PN，由（1）知，四边形PQMN是平行四边形，∥平行四边形PQMN是菱形；∥过点D作DF AB⊥于F，则DF=又222DF FB DB+=，DB∴=∴由∥知四边形PQMN是菱形，可计算得周长是142⨯=．【点睛】本题考查了中点四边形以及菱形的判定和性质、平行四边形的判定和性质，解题时，利用了三角形中位线的性质定理．5．定义：数学活动课上：陈老师给出如下定义：有组对边相等而另一组对边不相等的凸四边形叫做对等四边形．（1）如图1，平行四边形ABCD 中，60,B BCD ∠=︒∠的平分线交AD 于E ．求证：四边形ABCE 是对等四边形．（2）如图2，已知A 、B 、C 在格点（小正方形的项点）上，请在方格图中画出以格点为顶点，AB 、BC 为边的两个对等四边形ABCD ．（3）如图3，在Rt PBC 中，90,9PCB BC ∠=︒=，点A 在BP 边上，且13,,12AB AD PC CD =⊥=，若PC 上存在符合条件的点M ，使四边形ABCM 为对等四边形，求出CM 的长．【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）13或1212+【分析】（1）由平行四边形的性质得出AD ∥BC ，∥B =∥D =60°，AB =CD ，由角平分线的定义及等腰三角形的性质得出CE =CD ，根据对等四边形的定义可得出结论；（2）根据对等四边形的定义画出图形即可；（3）分CM =AB 与AM =BC 两种情况进行讨论即可．【详解】解：（1）证明：四边形ABCD 是平行四边形，//AD BC ∴，60B D ∠=∠=︒，AB CD =，180120BCD B ∴∠=︒-∠=︒， CE 平分BCD ∠，60BCE DCE ∴∠=∠=︒，60BCE DEC ∠=∠=︒，D DEC ∴∠=∠，CE CD ∴=，又AB CD =，CE AB ∴=，BC AD =，AE BC ∴≠，∴四边形ABCE 是对等四边形；（2）如图2，四边形ABCQ 即为所求；（3）如图3，∥当CM AB =时，13CM =；∥当9AM BC ==时，过A 作AE BC ⊥于点E ，则12AE CD ==，5BE =，4AD CE ∴==，MD当点M 在线段CD 上时，12CM CD DM =-=当点M 在DP 上时，12CM CD DM =+=+．综合以上可得CM 的长为13或12-12【点睛】此题属于四边形综合题，考查了作图-应用与设计作图，平行四边形的性质，等腰三角形的判定与性质，直角三角形的性质，勾股定理，弄清题中的新定义是解本题的关键．6．（问题背景）如图1，P 是等边三角形ABC 外一点，30APB ∠=︒，则222PA PB PC +=．小明为了证明这个结论，将PAB △绕点A 逆时针旋转60︒，请根据此思路完成其证明；（迁移应用）如图2，在等腰直角三角形ABC 中，BA BC =，90ABC ∠=︒，点P 在ABC外部，且45BPC ∠=︒，若APC △的面积为5.5，求PC ；（拓展创新）如图3，在四边形ABCD 中，//AD BC ，点E 在四边形ABCD 内部，且DE EC =，90DEC ∠=︒，135AEB ∠=︒，AD =，BC ，直接写出AB 的长．【答案】[问题背景]见解析；[迁移应用；[拓展创新]【分析】[问题背景]按题意画出图形，根据旋转的性质得到AP =AP ′，PB=P ′C ，证明∥APP ′为等边三角形，从而推出∥PP ′C =90°，在∥PP ′C 中，利用勾股定理得到222PP P C PC ''+=，再利用等量代换可得结果；[迁移应用]作线段BM 垂直于BP 交PC 的延长线于点M ，连接AM ，证得∥PBC =∥ABM ，证明∥PBC ∥∥MBA （SAS ），得出∥AMP =90°，由三角形的面积可求出答案；[拓展创新]将∥AED 绕点E 顺时针旋转90°至∥FEC ，连接BF ，证得∥FCE =90°，由勾股定理求出FB =∥ABE ∥∥FBE （SAS ），由全等三角形的性质得出AB =FB ．【详解】解：[问题背景]如图1，连接PP ′，由旋转可得：AP =AP ′，PB =P ′C ，∥P AP ′=∥BAC =60°，∥∥APP ′为等边三角形，∥∥APP ′=60°，PP ′=AP ′=P A ，∥∥APB =30°，∥∥AP ′C =30°∥∥PP ′C =90°，在∥PP ′C 中，222PP P C PC ''+=，∥222PA PB PC +=；[迁移应用]如图2，作线段BM 垂直于BP 交PC 的延长线于点M ，连接AM ，∥∥BPM =45°，∥PBM =90°，∥∥BPD 为等腰直角三角形，∥BP =BM ，∥∥ABM +∥MBC =∥ABC =90°，∥PBM =∥PBC +∥MBC =90°，∥∥PBC =∥ABM ，在∥PBC 和∥MBA 中，PB PM PBC ABM BA BC =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∥∥PBC ∥∥MBA （SAS ），∥∥AMP =90°，∥S ∥P AC ＝12PC •AD ＝12PC 2=5.5， ∥PC（负值舍去）．[拓展创新]如图3，将∥AED 绕点E 顺时针旋转90°至∥FEC ，连接BF ，则AD =CFAE =EF ，∥ADE =∥FCE ，∥∥EDC =∥ECD =45°，∥AD ∥BC ，∥∥ADE +∥EDC +∥ECD +∥ECB =180°，∥ED =EC ，∥CED =90°，∥∥EDC =∥ECD =45°，∥∥ADE +∥ECB =90°，∥∥FCE +∥ECB =90°，即∥FCB =90°，∥FB∥∥AEB =135°，∥AEF =90°，∥∥FEB =360°-135°-90°=135°，∥∥AEB =∥FEB ，在∥ABE 和∥FBE 中，AE EF AEP FEB BE BE =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∥∥ABE ∥∥FBE （SAS ），∥AB =FB=【点睛】本题是四边形综合题目，考查了旋转的性质、全等三角形的判定与性质、等腰直角三角形的判定与性质、等边三角形的判定与性质、勾股定理等知识；熟练掌握旋转的性质，证明三角形全等是解题的关键．7．在平面直角坐标系中，矩形OABC的边OA任x轴上，OC在y轴上，B（4，3），点M 从点A开始，以每秒1个单位长度的速度沿AB→BC→CO运动，设∠AOM的面积为S，点M运动的时间为t．（1）当0＜t＜3时，AM＝，当7＜t＜10时，OM＝；（用t的代数式表示）（2）当∠AOM为等腰三角形时，t＝；（3）当7＜t＜10时，求S关于t的函数关系式；（4）当S＝4时，求t的值．【答案】（1）t，10-t；（2）5；（3）S=20-2t；（4）2或8．【分析】（1）利用路程，速度和时间的关系求解即可；（2）由题意可知只有等MA=MO，此时点M在线段BC上，进一步CM=BM=2解答即可；（3）当7<t< 10时，点M在线段OC上，再利用三角形面积公式求解即可；（4）分点M在线段AB上、点M在线段BC上和点M在线段OC上三种情况，分别求解即可．【详解】解：（1）当0<t<3时，点M在线段AB上，即AM=t当7＜t<10时，点M在线段OC上，OM=10-t故填：t，10-t；（2）∥四边形ABCO是矩形，B（4，3）∥OA=BC=4，AB=OC=3，∥∥AOM为等腰三角形，∥只有当MA=MO，此时点M在线段BC上，CM=BM=2，∥t=3+2=5故填：5；（3）∥当7<t <10时，点M 在线段OC 上 ∥114(10)20222S OA OM t t =⋅⋅=⨯⨯-=-； （4）∥当点M 在线段AB 上时，4=12×4t ，解得t =2； ∥当点M 在线段BC 上时，S =6，不符合题意；当点M 在线段OC 上时，4=20-2t ，解得t =8．综上所述，满足条件的的值为2或8．【点睛】本题属于四边形综合题，主要考查了矩形的性质、三角形的面积、等腰三角形的判定和性质等知识点，灵活应用所学知识并掌握分类讨论的思想成为解答本题的关键．8．如图1，已知ABC ∆，90,60ABC ACB ∠=∠=，点E 为AB 边上一点，过点E 作EF AC ⊥于点F ，连接CE ，点G 为CE 的中点，连接,GF GB ．（1）线段GF 与GB 的数量关系为_____________；（2）将Rt AEF ∆绕点A 逆时针旋转60°，如图2所示，（1）中的结论还成立吗？若成立，请证明；若不成立，请说明理由；（3）在平面内，将Rt AEF ∆绕点A 旋转，当点F 落在AB 边上，若8,4BC AE ==，请直接写出的BG 长．【答案】（1）FG BG =；（2）成立，理由见解析；（3）6BG =【分析】（1）根据直角三角形斜边上的中线性质即可求解；（2）分别取,AC AE 的中点,M N ，连接,,,BM FN MG GN ，根据中位线的性质及全等三角形的判定定理证明GMB FNG ∆≅∆，故可求解；（3）依题意作图，分别求出EF ，AF ，再得到BF 的长， 再证明FEG HCG ≅，求出BH 的长，进而得到FH 的长，再根据直角三角形斜边上的中线性质即可求解．【详解】解：（1）∥90ABC ∠=︒，EF AC ⊥∥∥BCE 和∥FEC 是直角三角形∥点G 为CE 的中点 ∥BG=12EC ，12FG EC = ∥FG BG =，故答案为：FG BG =；（2）成立，理由如下：如图，分别取,AC AE 的中点,M N ，连接,,,BM FN MG GN ，∥AF EF ⊥，∥090ABC AFE ∠=∠=∥ 分别,M N 是,AC AE 的中点， ∥11,22BM AC FN AE ==， ∥G 是CE 中点，M 是AE 中点， ∥1//,2GM AE GM AE =；同理1//,2GN AC GN AC =， ∥,GM FN BM GN ==∥90,60ABC ACB ∠=︒∠=︒∥30CAB ∠=︒，∥30,30FAE EAC ∠=︒∠=︒，∥90FNG FNE ENG ∠=∠+∠=︒，同理，90GMB ∠=︒即GMB FNG ∠=∠ ∥()GMB FNG SAS ∆≅∆∥FG BG =；（3）依题意作图，∥∥EAF =30°，EF ∥AF ，∥EF =122AE =，AF 同理∥CAB =30°，AB ∥BC∥AC =2BC =16，AB =∥BF =AB -AF =∥EF ∥AB ，AB ∥BC∥//EF BC∥FEG HCG ∠=∠∥点G 为CE 的中点，∥CG =EG又FGE HGC ∠=∠∥FEG HCG ≅∥CH =EF =2，FG =HG∥BH =BC -CH =6∥FH 12=∥G 点是FH 中点∥BG =162FH =．【点睛】此题主要考查三角形的几何证明，解题的关键是全等三角形的判定与性质、直角三角形斜边上的中线定理、勾股定理及含30°的直角三角形的性质．9．如图，在ABCD 中，2=AD AB ，E ，F 分别为BC ，AD 的中点，作CG AB ⊥于点G ，GF 的延长线交CD 的延长线于点H ．（1）求证：四边形ABEF 是菱形．（2）当5,8AB BF ==时，∠求GH 的长．∠如图2，CG 交BF 于点P ，记FGP 的面积为1S ，BCP 的面积为2S ，则21S S -的值为________．【答案】（1）见解析；（2）∥12；∥16825 【分析】（1）根据平行四边形的性质得到AD ∥BC ，AD =BC ，再根据中点的定义得到AF =BE ，可得四边形ABCD 是平行四边形，结合AB =AF ，可得结论；（2）∥连接AE 交BF 于点O ，由菱形性质可得∥AOB =90°，从而求出菱形ABEF 的面积，可得四边形ABCD 的面积，根据CG ∥AB 可得CG ，从而求出AG ，证明∥AFG ∥∥DFH ，得到AG =DH ，在∥GCH 中利用勾股定理求出GH 即可；∥过F 作FK ∥AB 交BA 延长线于K ，求出FK ，从而得到∥BGF 和∥BGC 的面积，从而分别得出S 1和S 2，可得S 1-S 2．【详解】解：（1）∥四边形ABCD 是平行四边形，∥AD ∥BC ，AD =BC ，∥E 、F 分别为B C 、AD 中点，∥AF =12AD ，BE =12BC ， ∥AF =BE ，∥AF ∥BE ，∥四边形ABEF 是平行四边形，∥AD =2AB ，AD =2AF ，∥AB=AF，∥四边形ABEF是菱形；（2）∥连接AE交BF于点O，∥四边形ABEF是菱形，∥AE∥BF，OB=OF=12BE=4，OA=OE=12AE，∥∥AOB=90°，在Rt∥AOB中，OA ∥AE=2OA=6，∥S菱形ABEF=12AE·BF=12×6×8=24，∥E、F分别是B C、AD中点，∥BE=EC，AF=FD，∥AD∥BC，∥四边形ABEF，四边形EFDC都是平行四边形，且底和高相等，∥S四边形ABEF=S四边形EFDC=24，∥S四边形ABCD=S四边形ABEF+S四边形EFDC=48，∥CG∥AB，∥S四边形ABEF=AB·CG=5CG=48，∥BGC=90°，∥CG=485，∥AD=BC=2AB=10，∥BG145 =，∥AG=AB-BG=5-145=115，∥四边形ABCD是平行四边形，∥AB=CD=5，AB∥CD，∥∥A=∥FDH，∥GCH=∥BGC=90°，∥F是AD中点，∥AF=DF，在∥AFG和∥DFH中，A FDH AF DFAFG DFH ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩， ∥∥AFG ∥∥DFH （ASA ）， ∥AG =DH =115， ∥CH =CD +DH =5+115=365， 在Rt ∥GCH 中，GH=12；∥过F 作FK ∥AB 交BA 延长线于K ， ∥S 四边形ABEF =AB ·FK =5FK =24， ∥FK =245， ∥S ∥BGF =12BG ·FK =11424255⨯⨯=16825， S ∥BGC =12BG ·CG =11448255⨯⨯=33625， ∥S 2=S ∥BGC -S ∥BGP =33625-S ∥BGP ， S 1=S ∥BGF -S ∥BGP =16825-S ∥BGP ， ∥S 2-S 1=33625-16825=16825．【点睛】本题考查了平行四边形的性质，菱形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，重点考查了几何图形的推理论证能力，同时也要结合已知条件作出辅助线，扩大运用范围． 10．在∠ABC 中，D 是BC 边长的一点，E 是AC 边的中点，过点A 作//BC AF 交DE 的延长线于点F ，连接AD ，CF ．（1）求证：四边形ADCF 是平行四边形：（2）若2FEA ADE ∠=∠，CF =1CD =，请直接写出AE 的长为__________．【答案】（1）证明见解析；（2）32． 【分析】（1）利用平行线的性质得EFA EDC ∠=∠，据中点的性质可得AE EC =，从而可证EFA EDC ≅△△，进而得AF CD =，即可根据“一组对边平行且相等”的四边形是平行四边形，本题证毕；（2）根据已知条件先证平行四边形ADCF 是矩形，再在Rt ∥CDF中，运用勾股定理即可得3DF ==，进而可得出AE 的长．【详解】（1）证明：∥//BC AF ， ∥EFA EDC ∠=∠， ∥E 是AC 边的中点， ∥AE EC =，在EFA EDC △和△中，EFA EDC FEA DEC AE EC ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∥EFA EDC ≅△△（AAS ）， ∥AF CD =， ∥//BC AF ，∥四边形ADCF 是平行四边形； （2）∥2FEA ADE ∠=∠FEA ADE EAD ∠=∠+∠∥ADE EAD ∠=∠ ∥AE DE =∥四边形ADCF 是平行四边形 ∥,AE CE EF DE ==∥AE CE DE EF +=+,即AC DF =, ∥平行四边形ADCF 是矩形 在Rt ∥CDF 中， ∥3AC DF ==, ∥1322AE AC ==, 故AE 的长为32． 【点睛】本题主要考查了平行四边形的判定定理，矩形的判定定理，勾股定理的知识．熟练利用相关定理分析，得出结论是解题关键．11．在平面直角坐标系xOy 中，已知点()000,A a ，()111,A a ，()222,A a ，…，(),n n A n a ，(),0B n ，其中0a ，1a ，2a ，…，n a ，n 为正整数．顺次连接0A ，1A ，2A ，…，n A ，B的折线与x 轴、y 轴围成的封闭图形记为图形M ．小明在求图形M 的面积时，过点()111,A a ，()222,A a ，…，()111,n n A n a ---作x 轴的垂线，将图形M 分成n 个四边形，计算这些四边形面积的和，可以求出图形M 的面积．请你参考小明的思路，解决下面的问题． （1）当2n =时，∠若0121,3,2a a a ===，如图1，则图形M 的面积为 ； ∠用含有0a ，1a ，2a 的式子表示图形M 的面积为 ．（2）当4n =时，从1，2，3，…，10这10个正整数中任选5个不同的数作为01234,,,,a a a a a ． ∠小明选择了012344,5,7,6,3a a a a a =====，请在图2中画出此时的图形M ； ∠在∠的条件下，若小聪用剩下的5个数1，2，8，9，10作为01234,,,,a a a a a 的取值，使新得到的图形M 的面积与小明的图形M 的面积相等，请直接写出这五个数的排序 （写出一组即可）． 【答案】（1） ∥92； ∥0121122a a a ++ ；（2）∥画图见解析；∥ 8，1，2，10，9（答案不唯一）． 【分析】(1)∥利用分割法求出面积即可；∥利用分割法求解即可；(2)∥根据题意，利用描点法画出图形即可；∥根据面积相等取点即可(答案不唯一) 【详解】 (1)∥如图1所示，过点1A ，作1AE OB ⊥于E ， 图形M 的面积=四边形01OA A E 的面积+四边形21EBA A ，119(13)1(32)1222=⨯+⨯+⨯+⨯=， 故答案为：92； ∥同样可得图形M 的面积=0121122a a a ++， 故答案为：0121122a a a ++ ． （2）∥如图2所示：，∥如图3所示，小明的图形M 的面积()14557766312=⨯+++++++⨯ 21.5=，新图形M 的面积1(8112210109)2=⨯+++++++ 21.5=，∥新得到的图形M 的面积与小明的图形M 的面积相等， 故答案为：8，1，2，10，9． 【点睛】本题属于四边形综合题，考查了坐标与图形的性质，多边形的面积等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． 12．问题提出（1）如图1，点A ，B 在直线l 的同侧，在直线l 上作一点P ，使得AP BP +的值最小． 问题探究（2）如图2，正方形ABCD 的边长为6，点M 在DC 上，且2DM =，N 是AC 上的一动点，则DN MN +的最小值是_________． 问题解决（3）现在各大景区都在流行“真人CS ”娱乐项目，其中有一个“快速抢点”游戏，游戏规则如图3，在用绳子围成的一个边长为12m 的正方形ABCD 场地中，游戏者从AB 边上的点E 处出发，分别先后赶往边,,BC CD DA 上插小旗子，最后回到点E ．求游戏者所跑的最少路程．【答案】（1）见解析；（2）（3） 【分析】（1）作点A 关于直线l 的对称点A '，连接A B '交直线l 与一点，该点即为所求P 点； （2）根据点B 关于AC 是对称点为点D ，连接BM 交AC 与点N ，则此时DN +MN 的值最小，则有DN +MN = BN +MN =BM ，根据勾股定理求解BM 即可；（3）作点G 关于点C 的对称点G '，则FG FG '=，作,D A CD D A DA ''''⊥='，作点H 关于点C 的对称点H '，则G H GH ''=，作A B D A ''''⊥，作点E 关于点C 的对称点E ''，则H E HE '''=，作点E ''关于点A '的对称点E '，则H E H E ='''''，由两点之间线段最短可知，当,,,,E F G H E '''在一条直线上时，路程最小，利用勾股定理求解即可． 【详解】解：（1）如图1，作点A 关于直线l 的对称点A '，连接A B '交直线l 与点P ，该点即为所求．（2）∥四边形ABCD 是正方形， ∥点B 关于AC 是对称点为点D ，如图，连接BM 交AC 与点N ，则此时DN +MN 的值最小，∥DN +MN =BN +MN =BM ， ∥CD =BC =6，DM =2， ∥MC =4，∥BM ==；（3）如图2，延长DC 到D '，使CD CD ='，作点G 关于点C 的对称点G '，则FG FG '=，作,D A CD D A DA ''''⊥='，作点H 关于点C 的对称点H '，则G H GH ''=， 作A B D A ''''⊥，作点E 关于点C 的对称点E ''，则H E HE '''=， 作点E ''关于点A '的对称点E '，则H E H E ='''''， ∥,H E HE A E AE '''='=，过点E '作E K AK '⊥，交AB 的延长线于点K ，则2EK AB =，容易看出，当,,,,E F G H E '''在一条直线上时，路程最小，最小路程为EE ==='．答：游戏者所跑的最少路程是． 【点睛】本题考查正方形的性质以及最短路程问题，解题的关键是正确画出图形，根据两点之间线段最短的道理求解．13．ABCD ，过点D 作ED AD ⊥交AB 的延长线于点E ，BE AB =． （1）如图1，求证：四边形BDCE 是菱形；（2）P 为线段BC 上一点，点M ，N 在直线AE 上，且PM PB =，DPN BPM ∠=∠． ∠当60A ∠=︒时，如图2，求证：CD PB BN =+．∠当45A ∠=︒时，如图3，线段CD ，PB ，BN 的数量关系如何？（请直接写出猜想的结论）【答案】（1）见解析；（2）∥见解析；∥CD + BN ． 【分析】（1）利用直角三角形的性质得到BD =BE =AB ，证明四边形BDCE 是平行四边形，再证明四边形BDCE 是菱形即可；（2）∥利用ASA 证明∥DBP ≅∥NMP ，再利用线段的和与差即可证明CD =PB +BN ； ∥同理证得四边形BDCE 是正方形，证明∥MBP 是等腰直角三角形，利用ASA 证明∥DBP ≅∥NMP ，利用线段的和与差即可得到CD + BN ． 【详解】（1）∥BE =AB ，且ED ∥AD ， 即BD 为Rt ∥ADE 斜边的的中线， ∥BD =BE =AB =12AE ，∥四边形ABCD 是平行四边形，∥AB =CD ， AB ∥CD ，∥BE =CD ，BE ∥CD ，∥四边形BDCE 是平行四边形，又∥BD =BE ，∥四边形BDCE 是菱形；（2）∥∥四边形ABCD 是平行四边形，∥AD ∥BC ，∥∥PBM =∥A =60°，∥PM =PB ，∥∥PBM 是等边三角形，∥PM=PB =BM ，∥∥DPN =∥BPM ，∥∥DPN +∥BPN =∥BPM +∥BPN ，即∥DPB =∥NPM ，∥四边形BDCE 是菱形，∥∥DBP =∥NMP =60°，在∥DBP 和∥NMP 中，DPB NPM PB PMDBP NMP ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩， ∥∥DBP ≅∥NMP (ASA )，∥MN =BD =BE ，BM +BN =BM +ME ，∥BN =ME ，∥CD =BE =BM +ME =PB +BN ；∥∥∥A =45°，且ED ∥AD ，∥∥ADE 是等腰直角三角形，∥∥DEA =45°，同（1）法可证明四边形BDCE 是正方形，同∥可得∥DPN =∥BPM ，∥∥DPN -∥BPN =∥BPM -∥BPN ，即∥DPB =∥NPM ，∥PM =PB ，∥∥MBP =∥NMP =45°，∥∥MBP 是等腰直角三角形，即∥MBP =∥NMP =45°=∥PBD ，在∥DBP 和∥NMP 中，DPB NPM PB PMDBP NMP ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩， ∥∥DBP ≅∥NMP (ASA )，∥MN =BD =BE ，BM +BN =BM +ME ，∥BN =ME ，∥∥MBP 是等腰直角三角形，∥BM=MN +BN =BD +BN =CD + BN ；即CD + BN．【点睛】本题考查了正方形的判定和性质，菱形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，平行四边形的性质和判定，等腰直角三角形的性质，证明∥DBP ∥∥NMP 是本题的关键．14．如图，在正方形ABCD 中， 3CD =，P 是CD 边上一动点（不与D 点重合），连接AP ，点D 与点E 关于AP 所在的直线对称，连接AE ， PE ，延长CB 到点F ，使得BF DP =，连接EF ，AF ．（1）依题意补全图1；（2）若1DP =，求线段EF 的长；（3）当点P 在CD 边上运动时，能使为AEF 等腰三角形，直接写出此时DAP 的面积．【答案】（1）见解析；（2（3）4.5或94 【分析】（1）根据题意作出图形便可；（2）连接BP ，先证明 ADP ABF ≌，再证明FAE PAB ≌ ，求得 BP ，便可得EF ； （3）设 ()0DP x x =>，则 3CP x =- ，求出 AE 、AF 、EF ；当∥AEF 为等腰三角形时，分两种情况列出方程求出x 的值，进而求得最后结果．【详解】解：（1）根据题意，作图如下：（2）连接BP ，如图2．点D 与点E 关于AP 所在的直线对称，AE AD ∴=，PAD PAE ∠=∠，四边形ABCD 是正方形，AD AB ∴=，90ADC ABF ∠=∠=，DP BF =，()ADP ABF SAS ∴≌，AF AP ∴=，FAB PAD ∠=∠，FAB PAE ∴∠=∠，FAE PAB ∴∠=∠，()FAE PAB SAS ∴≌，EF BP ∴=，四边形ABCD 是正方形，3BC CD AB ∴===，1DP =，2CP ∴=，BP ∴=EF ∴=（3）设()0DP x x =>，则3CP x =-，EF BP ∴==3AE AD ==，AF AP ===AF AE ∴>，∴当AEF 为等腰三角形时，只能有两种情况：AE EF =或AF EF =，∥当AE EF =3=，解得3x =，ADP ∴面积为11·33 4.522DP AD =⨯⨯=； ∥当AF EF =时，解得32x =，ADP∴的面积为11393 2224 DP AD⨯=⨯⨯=，综上DAP的面积为4.5或94．【点睛】本题属于几何中的动点问题，综合考查了正方形的性质、勾股定理、全等三角形的判定与性质、等腰三角形的判定等知识，要求学生能理解相关概念与性能，能应用它们得到线段或角之间的关系，本题综合性较强，蕴含了分类讨论等思想方法．15．如图1，在正方形ABCD中，E、F分别为边AB、BC的中点，连接AF、DE交于点G．（1）求证：AF∠DE；（2）如图2，连接BG，求证：BG平分∠EGF；（3）如图3，连接BD交AF于点H，设ADG的面积为S，求证：BG2=2S．【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）见解析【分析】（1）利用正方形的性质证明ΔDAE∥ΔABF，得到∥ADE=∥BAF，推出∥DAG+∥ADG=90°，即可得到结论；（2）如图2，过点B作BM∥AF，垂足为M，设BF=a，则AB=2a，AF，利用平行线的性质及勾股定理求出BM a，AM，得到GM=BM a，推出ΔBMG为等腰直角三角形，求出∥BGM=∥BGE，由此得到结论；（3）根据ΔADG的面积为S，则AG·DG=2S，过点B作BM∥AF，垂足为M，由（2）推出BG2=2BM2，证明ΔDAG∥ΔABM，得到BM=AG，AM=DG，由AG·DG=2AG2=2S，得到AG2=S，即可得到结论．【详解】（1）∥四边形ABCD是正方形，∥AD=AB=BC，∥DAE=∥ABF=90°，∥E、F分别为边AB、BC的中点，∥AE=BF，∥ΔDAE∥ΔABF，∥∥ADE=∥BAF，∥∥DAG+∥EAG=90°，∥∥DAG+∥ADG=90°，∥∥AGD=90°，∥AF∥DE；（2）如图2，过点B作BM∥AF，垂足为M，则BM//GE，∥AE=BE，∥AG=GM，设BF=a，则AB=2a，AF，∥1122ABFS AB BF AF BM =⋅=⋅,∥2a a BM⋅=⋅，∴BM a，∥AM，∥GM=BM a，∥ΔBMG为等腰直角三角形，∥∥BGM=45°，∥BGE=90°-45°=45°，∥∥BGM=∥BGE，∥BG平分∥EGF；（3）ΔADG的面积为S，则AG·DG=2S，过点B作BM∥AF，垂足为M，由（2）知：GM=AG，BM=12AM，BG2=2BM2，∥∥AGD=∥AMB=90°，∥ADG=∥BAM，AB=AD，∥ΔDAG∥ΔABM，∥BM=AG，AM=DG，∥AG=12DG，AG·DG=2AG2=2S，即AG2=S，∥BM2=S，∥BG2=2BM2=2S．．【点睛】此题考查正方形的性质，勾股定理，全等三角形的判定及性质，等腰直角三角形的判定及性质，正确引出辅助线解决问题是解题的关键．。
新北师大版八年级下册第六章平行四边形讲义及中考题
周长的计算是平行四边形的一个重要性质，也是几何学中常用的知识点之一。
掌握周长的计算方法对于解决几何问题、建筑设计等领域的问题具有重要意义。
平行四边形的相似判定
• 定义：两个平行四边形对应角相等，对应边成比例，则这两个平行四边形相 似
能力
难题：考察学 生的数学思维 和创新能力， 涉及平行四边 形的深入探讨
和拓展应用
易错题：学生 容易出错的地 方和需要注意
的细节问题
中考题解题技巧
熟悉题型：了解中考数学题目的常见类型和解题方法。 掌握基础知识：熟练掌握数学基础知识，如公式、定理、性质等。 审题清晰：认真审题，理解题意，明确题目要求。 逻辑推理：运用逻辑推理，逐步推导，得出正确答案。 细心计算：在解题过程中，要细心计算，避免因计算错误而失分。
机械原理：平行四边形机构可以实现多种运动轨迹
建筑学：平行四边形图案在建筑设计中的应用，如窗户、门等 交通工具：汽车、火车等交通工具中的平行四边形结构，如车轮、 车架等
平行四边形在数学竞赛中的应用
平行四边形作为几何图形的基本构成元素，在数学竞赛中有着广泛的应用。
平行四边形的性质和定理在解决数学竞赛问题时具有重要的作用。
平行四边形在几何证明题中常常作为主要工具，用于证明各种几何关系和结论。 在数学竞赛中，利用平行四边形的性质和定理可以解决一些复杂的几何问题，提高解题效 率。
04
平行四边形的拓展 知识
平行四边形的面积计算
面积公式：平行四边形的面积公式为底乘 高的一半，即S=ah/2，其中a为底边长度， h为高。
面积计算的推导：通过将平行四边形分 割成两个三角形，然后利用三角形面积 公式推导得出平行四边形的面积公式。
八年级初二数学 平行四边形知识归纳总结附解析
八年级初二数学 平行四边形知识归纳总结附解析一、选择题1．如图，ABCD □中，4,60AB BC A ==∠=︒，连接BD ，将BCD 绕点B 旋转，当BD （即BD '）与AD 交于一点E ，BC （即BC '）与CD 交于一点F 时，给出以下结论：①AE DF =；②60BEF ∠=︒；③DEB DFB ∠=∠；④DEF 的周长的最小值是423+.其中正确的是( )A ．①②③B ．①②④C ．②③④D ．①③④2．如图，点P 是正方形ABCD 的对角线BD 上一点(点P 不与点B 、D 重合)，PE ⊥BC 于点E ，PF ⊥CD 于点F ，连接EF 给出下列五个结论：①AP ＝EF ；②AP ⊥EF ；③仅有当∠DAP ＝45°或67.5°时，△APD 是等腰三角形；④∠PFE ＝∠BAP ：⑤2PD ＝EC ．其中有正确有( )个．A ．2B ．3C ．4D ．53．如图，正方形ABCD 的周长是16，P 是对角线AC 上的个动点，E 是CD 的中点，则PE +PD 的最小值为( )A ．5B ．3C ．2D ．44．如图，在长方形ABCD 中，AD=6，AB=4，点E 、G 、H 、F 分别在AB 、BC 、CD 、AD 上，且AF ＝CG ＝2，BE ＝DH ＝1，点P 是直线EF 、GH 之间任意一点，连结PE 、PF 、PG 、PH ，则△PEF 和△PGH 的面积和为（ ）A ．5B ．6C ．7D ．8 5．如图，在平行四边形ABCD 中，120C ∠=︒，4=AD ，2AB =，点E 是折线BC CD DA --上的一个动点(不与A 、B 重合)．则ABE △的面积的最大值是( )A ．32B ．1C ．32D ．236．在矩形ABCD 中，点E 、F 分别在AB 、AD 上，∠EFB=2∠AFE=2∠BCE ，CD=9，CE=20，则线段AF 的长为（ ）．A ．32B ．112C ．19D ．47．如图，在平面直角坐标系中，A 点坐标为(8,0)，点P 从点O 出发以1个单位长度/秒的速度沿y 轴正半轴方向运动，同时，点Q 从点A 出发以1个单位长度/秒的速度沿x 轴负半轴方向运动，设点P 、Q 运动的时间为(08)t t <<秒.以PQ 为斜边，向第一象限内作等腰Rt PBQ ∆，连接OB .下列四个说法：①8OP OQ +=；②B 点坐标为(4,4)；③四边形PBQO 的面积为16；④PQ OB >.其中正确的说法个数有（ ）A ．4B ．3C ．2D ．18．如图，正方形ABCD（四边相等、四内角相等）中，AD＝5，点E、F是正方形ABCD内的两点，且AE＝FC＝4，BE＝DF＝3，则EF的平方为（）A．2 B．125C．3 D．49．如图，在正方形ABCD中，AB＝4，E是CD的中点，将BCE沿BE翻折至BFE，连接DF，则DF的长度是（）A．55B．255C．355D．45510．如图，点O为正方形ABCD的中心，BE平分∠DBC交DC于点E，延长BC到点F，使FC=EC，连结DF交BE的延长线于点H，连结OH交DC于点G，连结HC．则以下四个结论中：①OH∥BF，②GH=14BC，③BF=2OD，④∠CHF=45°．正确结论的个数为( )A．4个B．3个C．2个D．1个二、填空题11．如图，正方形ABCD中，AB=4，E是BC的中点，点P是对角线AC上一动点，则PE+PB的最小值为．12．如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，点D是BC的中点，点E、F分别是直线AB、AC上的动点，∠EDF＝90°，M、N分别是EF、AC的中点，连结AM、MN，若AC=6，AB=5，则AM -MN 的最大值为________．13．如图，两张等宽的纸条交叉叠放在一起，若重合部分构成的四边形ABCD 中，3AB =，2AC =，则BD 的长为_______________．14．如图，四边形ABCD ，四边形EBFG ，四边形HMPN 均是正方形，点E 、F 、P 、N 分别在边AB 、BC 、CD 、AD 上，点H 、G 、M 在AC 上，阴影部分的面积依次记为1S ，2S ，则12:S S 等于__________．15．如图，ABC ∆是边长为1的等边三角形，取BC 边中点E ，作//ED AB ，//EF AC ，得到四边形EDAF ，它的周长记作1C ；取BE 中点1E ，作11//E D FB ，11//E F EF ，得到四边形111E D FF ，它的周长记作2C ．照此规律作下去，则2020C =______．16．在ABCD 中，5AD =，BAD ∠的平分线交CD 于点E ，∠ABC 的平分线交CD 于点F ，若线段EF=2，则AB 的长为__________．17．如图，直线1l ，2l 分别经过点(1,0)和(4,0)且平行于y 轴．OABC 的顶点A ，C 分别在直线1l 和2l 上，O 是坐标原点，则对角线OB 长的最小值为_________．18．如图，在Rt △ABC 中，∠BAC ＝90°，AB ＝8，AC ＝6，以BC 为一边作正方形BDEC 设正方形的对称中心为O ，连接AO ，则AO ＝_____．19．菱形ABCD 的周长为24，∠ABC=60°，以AB 为腰在菱形外作底角为45°的等腰△ABE ，连结AC ，CE ，则△ACE 的面积为___________.20．李刚和常明两人在数学活动课上进行折纸创编活动.李刚拿起一张准备好的长方形纸片对常明说:“我现在折叠纸片（图①），使点D 落在AB 边的点F 处，得折痕AE ，再折叠，使点C 落在AE 边的点G 处，此时折痕恰好经过点B ，如果AD=a ，那么AB 长是多少？”常明说；“简单，我会. AB 应该是_____”.常明回答完，又对李刚说：“你看我的创编（图②），与你一样折叠，可是第二次折叠时，折痕不经过点B ，而是经过了AB 边上的M 点，如果AD=a ，测得EC=3BM ，那么AB 长是多少？”李刚思考了一会，有点为难，聪明的你，你能帮忙解答吗？AB=_____.三、解答题21．综合与实践．问题情境：如图①，在纸片ABCD □中，5AD =，15ABCD S =，过点A 作AE BC ⊥，垂足为点E ，沿AE 剪下ABE △，将它平移至DCE '的位置，拼成四边形AEE D '． 独立思考：（1）试探究四边形AEE D '的形状．深入探究：（2）如图②，在（1）中的四边形纸片AEE D '中，在EE '．上取一点F ，使4EF =，剪下AEF ，将它平移至DE F ''的位置，拼成四边形AFF D '，试探究四边形AFF D '的形状；拓展延伸：（3）在（2）的条件下，求出四边形AFF D '的两条对角线长；（4）若四边形ABCD 为正方形，请仿照上述操作，进行一次平移，在图③中画出图形，标明字母，你能发现什么结论，直接写出你的结论．22．如图，平行四边形ABCD 的对角线AC BD 、交于点O ，分别过点C D 、作//,//CF BD DF AC ，连接BF 交AC 于点E ．(1)求证: FCE BOE ≌；(2)当ADC ∠等于多少度时，四边形OCFD 为菱形?请说明理由．23．如图，正方形ABCO 的边OA 、OC 在坐标轴上，点B 坐标为（6，6），将正方形ABCO 绕点C 逆时针旋转角度α（0°＜α＜90°），得到正方形CDEF ，ED 交线段AB 于点G ，ED 的延长线交线段OA 于点H ，连结CH 、CG ．（1）求证：CG 平分∠DCB ；（2）在正方形ABCO 绕点C 逆时针旋转的过程中，求线段HG 、OH 、BG 之间的数量关系；（3）连结BD 、DA 、AE 、EB ，在旋转的过程中，四边形AEBD 是否能在点G 满足一定的条件下成为矩形？若能，试求出直线DE 的解析式；若不能，请说明理由．24．正方形ABCD 中，对角线AC 与BD 交于点O ，点P 是正方形ABCD 对角线BD 上的一个动点（点P 不与点B ，O ，D 重合），连接CP 并延长，分别过点D ，B 向射线作垂线，垂足分别为点M ，N ．（1）补全图形，并求证：DM ＝CN ；（2）连接OM ，ON ，判断OMN 的形状并证明．25．如图，在矩形ABCD 中，E 是AD 的中点，将ABE ∆沿BE 折叠，点A 的对应点为点G ．图1 图2（1）填空：如图1，当点G 恰好在BC 边上时，四边形ABGE 的形状是________； （2）如图2，当点G 在矩形ABCD 内部时，延长BG 交DC 边于点F ．①求证：BF AB DF =+． ②若3AD AB =，试探索线段DF 与FC 的数量关系．26．如图，M 为正方形ABCD 的对角线BD 上一点.过M 作BD 的垂线交AD 于E ，连BE ，取BE 中点O ．（1）如图1，连AO MO 、，试证明90AOM ︒∠=；（2）如图2，连接AM AO 、，并延长AO 交对角线BD 于点N ，试探究线段DM MN NB 、、之间的数量关系并证明；（3）如图3,延长对角线BD 至Q 延长DB 至P ,连,CP CQ 若2,9PB PQ ==,且135PCQ ︒∠=，则PC ．（直接写出结果）27．如图1，点E 为正方形ABCD 的边AB 上一点，EF EC ⊥，且EF EC =，连接AF ，过点F 作FN 垂直于BA 的延长线于点N ．（1）求EAF ∠的度数；（2）如图2，连接FC 交BD 于M ，交AD 于P ，试证明：2BD BG DG AF DM =+=+．28．已知：如图，在ABC 中，直线PQ 垂直平分AC ，与边AB 交于点E ，连接CE ，过点C 作//CF BA 交PQ 于点F ，连接AF ．(1)求证：四边形AECF 是菱形；(2)若8AC =，AE=5，则求菱形AECF 的面积．29．如图①，在ABC 中，AB AC =，过AB 上一点D 作//DE AC 交BC 于点E ，以E 为顶点，ED 为一边，作DEF A ∠=∠，另一边EF 交AC 于点F ．（1）求证：四边形ADEF 为平行四边形；（2）当点D 为AB 中点时，ADEF 的形状为 ；（3）延长图①中的DE 到点,G 使,EG DE =连接,,,AE AG FG 得到图②，若,AD AG =判断四边形AEGF 的形状，并说明理由．30．在四边形ABCD 中，对角线AC 、BD 相交于点O ，过点O 的直线EF ，GH 分别交边AB 、CD ，AD 、BC 于点E 、F 、G 、H ．（1）观察发现：如图①，若四边形ABCD 是正方形，且EF ⊥GH ，易知S △BOE ＝S △AOG ，又因为S △AOB ＝14S 四边形ABCD ，所以S 四边形AEOG ＝ S 正方形ABCD ； （2）类比探究：如图②，若四边形ABCD 是矩形，且S 四边形AEOG ＝14S 矩形ABCD ，若AB ＝a ，AD ＝b ，BE ＝m ，求AG 的长（用含a 、b 、m 的代数式表示）； （3）拓展迁移：如图③，若四边形ABCD 是平行四边形，且S 四边形AEOG ＝14S ▱ABCD ，若AB ＝3，AD ＝5，BE ＝1，则AG ＝ ．【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题1．B解析：B【解析】【分析】根据题意可证△ABE ≌△BDF ，可判断①②③，由△DEF 的周长=DE +DF +EF =AD +EF =4+EF ，则当EF 最小时△DEF 的周长最小，根据垂线段最短，可得BE ⊥AD 时，BE 最小，即EF 最小，即可求此时△BDE 周长最小值．【详解】解：∵AB=BC=CD=AD=4，∠A=∠C=60°∴△ABD，△BCD为等边三角形，∴∠A=∠BDC=60°，∵将△BCD绕点B旋转到△BC'D'位置，∴∠ABD'=∠DBC'，且AB=BD，∠A=∠DBC'，∴△ABE≌△BFD，∴AE=DF，BE=BF，∠AEB=∠BFD，∴∠BED+∠BFD=180°，故①正确，③错误；∵∠ABD=60°，∠ABE=∠DBF，∴∠EBF=60°，故②正确∵△DEF的周长=DE+DF+EF=AD+EF=4+EF，∴当EF最小时，∵△DEF的周长最小．∵∠EBF=60°，BE=BF，∴△BEF是等边三角形，∴EF=BE，∴当BE⊥AD时，BE长度最小，即EF长度最小，∵AB=4，∠A=60°，BE⊥AD，∴EB=∴△DEF的周长最小值为4+故④正确，综上所述：①②④说法正确，故选：B．【点睛】本题考查了旋转的性质，等边三角形的性质，平行四边形的性质，最短路径问题，关键是灵活运用这些性质解决问题．2．D解析：D【分析】过P作PG⊥AB于点G，根据正方形对角线的性质及题中的已知条件，证明△AGP≌△FPE 后即可证明①AP=EF；④∠PFE=∠BAP；在此基础上，根据正方形的对角线平分对角的性质，在Rt△DPF中，DP2=DF2+PF2=EC2+EC2=2EC2，求得EC，得出⑤正确，即可得出结论．【详解】过P作PG⊥AB于点G，如图所示：∵点P 是正方形ABCD 的对角线BD 上一点，∴GP=EP ，在△GPB 中，∠GBP=45°，∴∠GPB=45°，∴GB=GP ，同理：PE=BE ，∵AB=BC=GF ，∴AG=AB-GB ，FP=GF-GP=AB-GB ，∴AG=PF ，在△AGP 和△FPE 中，90AG PF AGP FPE PG PE ⎧⎪⎨⎪∠∠⎩︒＝＝＝＝，∴△AGP ≌△FPE （SAS ），∴AP=EF ，①正确，∠PFE=∠GAP ，∴∠PFE=∠BAP ，④正确；延长AP 到EF 上于一点H ，∴∠PAG=∠PFH ，∵∠APG=∠FPH ，∴∠PHF=∠PGA=90°，∴AP ⊥EF ，②正确，∵点P 是正方形ABCD 的对角线BD 上任意一点，∠ADP=45°，∴当∠PAD=45°或67.5°时，△APD 是等腰三角形，除此之外，△APD 不是等腰三角形，故③正确．∵GF ∥BC ，∴∠DPF=∠DBC ，又∵∠DPF=∠DBC=45°，∴∠PDF=∠DPF=45°，∴PF=EC ，∴在Rt △DPF 中，DP 2=DF 2+PF 2=EC 2+EC 2=2EC 2，∴2EC ， 即22PD=EC ，⑤正确．∴其中正确结论的序号是①②③④⑤，共有5个．故选D．【点睛】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定及性质，垂直的判定，等腰三角形的性质，勾股定理的运用．本题难度较大，综合性较强，在解答时要认真审题．3．A解析：A【解析】【分析】由于点B与D关于AC对称，所以连接BE，与AC的交点即为P点.此时PE+PD=BE最小，而BE是直角△CBE的斜边，利用勾股定理即可得出结果.【详解】解：如图，连接BE，设BE与AC交于点P'，∵四边形ABCD是正方形，∴点B与D关于AC对称，∴P'D=P'B，∴P'D+P'E=P'B+P'E=BE最小.即P在AC与BE的交点上时，PD+PE最小，即为BE的长度.∴直角△CBE中，∠BCE=90°，BC=4，CE=12CD=2，∴224225BE=+=故选：A.【点睛】本题题考查了轴对称中的最短路线问题，要灵活运用正方形的性质、对称性是解决此类问题的重要方法，找出P点位置是解题的关键4．C解析：C【分析】连接EG、FH，根据题意可知△AEF与△CGH全等，故EF=GH，同理EG=FH，再证四边形EGHF为平行四边形，所以△PEF和△PGH的面积和是平行四边形的面积一半，平行四边形EGHF的面积等于矩形ABCD的面积减去四周四个小的直角三角形的面积即可求得.【详解】连接EG、FH，如图所示，在矩形ABCD中，AD=6，AB=4，AF=CG=2，BE=DH=1，∴AE=AB-BE=4-1=3，CH=CD-DH=3，∴AE=CH,在△AEF和△CGH中，AE=CH,∠A=∠C=90°，AF=CG,∴△AEF≌△CGH，∴EF=GH,同理可得△BGE≌△DFH，∴EG=FH,∴四边形EGHF为平行四边形，∵△PEF和△PGH的高的和等于点H到直线EF的距离，∴△PEF和△PGH的面积和=12⨯平行四边形EGHF的面积，求得平行四边形EGHF的面积=4⨯6--12⨯2⨯3-12⨯1⨯（6-2）-12⨯2⨯3-12⨯1⨯（6-2）=14，∴△PEF和△PGH的面积和=1142⨯=7.【点睛】此题主要考察矩形的综合利用.5．D解析：D【分析】分三种情况讨论：①当点E在BC上时，高一定，底边BE最大时面积最大；②当E在CD 上时，△ABE的面积不变；③当E在AD上时，E与D重合时，△ABE的面积最大，根据三角形的面积公式可得结论．【详解】解：分三种情况：①当点E在BC上时，E与C重合时，△ABE的面积最大，如图1，过A作AF⊥BC于F，∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥CD，∴∠C+∠B=180°，∵∠C=120°，∴∠B=60°，Rt△ABF中，∠BAF=30°，∴BF=12AB=1，AF=3，∴此时△ABE的最大面积为：12×4×3=23；②当E在CD上时，如图2，此时，△ABE的面积=12S▱ABCD=12×4×3=23；③当E在AD上时，E与D重合时，△ABE的面积最大，此时，△ABE的面积3综上，△ABE的面积的最大值是3故选：D．【点睛】本题考查平行四边形的性质，三角形的面积，含30°的直角三角形的性质以及勾股定理等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，并运用分类讨论的思想解决问题．6．C解析：C【分析】如图，取CE的中点H，连接BH，设∠EFB=2∠AFE=2∠ECB=2a，则∠AFB=3a，进而求出BH=CH=EH=10，∠HBC=∠HCB=a，再根据AD∥BC求出EF∥BH，进而得出△EFG和△BGH 均为等腰三角形，则BF=EH=10，再根据勾股定理即可求解.【详解】如图，取CE的中点H，连接BH，设∠EFB=2∠AFE=2∠ECB=2a，则∠AFB=3a，∵在矩形ABCD 中有AD ∥BC ，∠A=∠ABC=90°，∴△BCE 为直角三角形，∵点H 为斜边CE 的中点，CE=20，∴BH=CH=EH=10，∠HBC=∠HCB=a ，∵AD ∥BC ，∴∠AFB=∠FBC=3a ，∴∠GBH=3a-a=2a=∠EFB ，∴EF ∥BH ，∴∠FEG=∠GHB=∠HBC+∠HCB=2a=∠EFB=∠GBH ，∴△EFG 和△BGH 均为等腰三角形，∴BF=EH=10，∵AB=CD=9， ∴222210919AF BF AB =-=-=故选C.【点睛】本题考查直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半、勾股定理等知识，解题的关键是根据题意正确作出辅助线. 7．B解析：B【分析】根据题意，有OP=AQ ，即可得到8OP OQ OA +==，①正确；当4t =时，OP=OQ=4，此时四边形PBQO 是正方形，则PB=QB=OP=OQ=4，即点B 坐标为（4，4），②正确；四边形PBQO 的面积为：4416⨯=，在P 、Q 运动过程面积没有发生变化，故③正确；由正方形PBQO 的性质，则此时对角线PQ=OB ，故④错误；即可得到答案.【详解】解：根据题意，点P 与点Q 同时以1个单位长度/秒的速度运动，∴OP=AQ ，∵OQ+AQ=OA=8，∴OQ+OP=8，①正确；由题意，点P 与点Q 运动时，点B 的位置没有变化，四边形PBQO 的面积没有变化， 当4t =时，如图：则AQ=OP=4，-=，∴OQ=844∴点B的坐标为：（4，4），②正确；此时四边形PBQO是正方形，则PB=QB=OP=OQ=4，⨯=，③正确；∴四边形PBQO的面积为：4416∵四边形PBQO是正方形，∴PQ=OB，t=时，PQ=OB，故④错误；即当4∴正确的有：①②③，共三个；故选择：B.【点睛】本题考查了正方形的判定和性质，等腰直角三角形的性质，以及坐标与图形，解题的关键是根据点P、Q的运动情况，进行讨论分析来解题.8．A解析：A【分析】根据AB=5，AE=4，BE=3，可以确定△ABE为直角三角形，延长BE构建出直角三角形，在利用勾股定理求出EF的平方即可.【详解】∵四边形ABCD是正方形,∴AB=BC=CD=AD=5，如图，延长BE交CF于点G，∵AB=5，AE=4，BE=3，∴AE2+BE2=AB2，∴△ABE是直角三角形，同理可得△DFC是直角三角形，∵AE=FC=4,BE=DF=3,AB=CD=5，∴△ABE≌△CDF,∴∠BAE=∠DCF,∵∠ABC=∠AEB=902，∴∠CBG=∠BAE，同理可得，∠BCG=∠CDF=∠ABE，△ABE≌△BCG，∴CG=BE=3，BG=AE=4，∴EG=4-3=1，GF=4-3=1，∴EF2=EG2+GF2=1+1=2故选择:A【点睛】此题考查三角形的判定，勾股定理的运用，根据已知条件构建直角三角形求值是解题的关键.9．D解析：D【分析】由勾股定理可求BE的长，由折叠的性质可得CE＝EF＝2，BE⊥CF，FH＝CH，由面积法可求CH＝45，由勾股定理可求EH的长，由三角形中位线定理可求DF＝2EH＝45．【详解】解：如图，连接CF，交BE于H，∵在正方形ABCD中，AB＝4，E是CD的中点，∴BC＝CD＝4，CE＝DE＝2，∠BCD＝90°，∴BE2216425BC CE+=+=∵将△BCE沿BE翻折至△BFE，∴CE＝EF＝2，BE⊥CF，FH＝CH，∵S△BCE＝12×BE×CH＝12×BC×CE，∴CH＝55，∴22165 455CE CH-=-=，∵CE＝DE，FH＝CH，∴DF＝2EH，故选：D．【点睛】本题考查了翻折变换，正方形的性质，全等三角形的判定与性质，掌握折叠的性质是本题的关键．10．B解析：B【分析】①只要证明OH是△DBF的中位线即可得出结论；②根据OH是△BFD的中位线，得出GH=12CF，由GH＜14BC，可得出结论；③易证得△ODH是等腰三角形，继而证得OD=12 BF；④根据四边形ABCD是正方形，BE是∠DBC的平分线可求出Rt△BCE≌Rt△DCF，再由∠EBC=22.5°即可求出结论．【详解】解：∵EC=CF，∠BCE=∠DCF，BC=DC，∴△BCE≌△DCF，∴∠CBE=∠CDF，∵∠CBE+∠BEC=90°，∠BEC=∠DEH，∴∠DEH+∠CDF=90°，∴∠BHD=∠BHF=90°，∵BH=BH，∠HBD=∠HBF，∴△BHD≌△BHF，∴DH=HF，∵OD=OB∴OH是△DBF的中位线∴OH∥BF；故①正确；∴OH=12BF，∠DOH=∠CBD=45°，∵OH是△BFD的中位线，∴DG=CG=12BC，GH=12CF，∵CE=CF，∴GH=12CF=12CE∵CE＜CG=12 BC，∴GH＜14BC，故②错误．∵四边形ABCD是正方形，BE是∠DBC的平分线，∴BC=CD，∠BCD=∠DCF，∠EBC=22.5°，∵CE=CF，∴Rt△BCE≌Rt△DCF（SAS），∴∠EBC=∠CDF=22.5°，∴∠BFH=90°-∠CDF=90°-22.5°=67.5°，∵OH是△DBF的中位线，CD⊥AF，∴OH是CD的垂直平分线，∴DH=CH，∴∠CDF=∠DCH=22.5°，∴∠HCF=90°-∠DCH=90°-22.5°=67.5°，∴∠CHF=180°-∠HCF-∠BFH=180°-67.5°-67.5°=45°，故④正确；∴∠ODH=∠BDC+∠CDF=67.5°，∴∠OHD=180°-∠ODH-∠DOH=67.5°，∴∠ODH=∠OHD，∴OD=OH=12BF；故③正确．故选：B．【点睛】此题考查了全等三角形的判定和性质、等腰三角形的判定与性质以及正方形的性质．解答此题的关键是作出辅助线，构造等腰直角三角形，利用等腰直角三角形的性质结合角平分线的性质逐步解答．二、填空题11．5【详解】由于点B与点D关于AC对称，所以如果连接DE，交AC于点P，那PE+PB的值最小．在Rt△CDE中，由勾股定理先计算出DE的长度，即为PE+PB的最小值．连接DE，交AC于点P，连接BD．∵点B与点D关于AC对称，∴DE的长即为PE+PB的最小值，∵AB=4，E是BC的中点，∴CE=2，在Rt △CDE 中， DE=25．考点：(1)、轴对称-最短路线问题；(3)、正方形的性质．12．52【分析】连接DM ，直角三角形斜边中线等于斜边一半，得AM=DM ，利用两边之差小于第三边得到AM MN DN -≤，又根据三角形中位线的性质即可求解．【详解】连接DM ，如下图所示，∵90BAC EDF ∠=∠=︒又∵M 为EF 中点 ∴AM=DM=12EF ∴AM MN DM MN DN -=-≤（当D 、M 、N 共线时，等号成立）∵D 、N 分别为BC 、AC 的中点，即DN 是△ABC 的中位线 ∴DN=12AB=52∴AM MN -的最大值为52 故答案为52． 【点睛】 本题考查了直角三角形斜边中线的性质，三角形的三边关系，关键是确定AM MN -的取值范围．13．2【分析】首先由对边分别平行可判断四边形ABCD 为平行四边形，连接AC 和BD ，过A 点分别作DC 和BC 的垂线，垂足分别为F 和E ，通过证明△ADF ≌△ABC 来证明四边形ABCD 为菱形，从而得到AC 与BD 相互垂直平分，再利用勾股定理求得BD 长度.【详解】解：连接AC 和BD ，其交点为O ，过A 点分别作DC 和BC 的垂线，垂足分别为F 和E ，∵AB ∥CD ，AD ∥BC ，∴四边形ABCD 为平行四边形，∴∠ADF=∠ABE ，∵两纸条宽度相同，∴AF=AE ，∵90ADF ABE AFD AEB AF AE ∠=∠⎧⎪∠=∠=︒⎨⎪=⎩∴△ADF ≌△ABE ，∴AD=AB ，∴四边形ABCD 为菱形，∴AC 与BD 相互垂直平分，∴BD=22242AB AO -=故本题答案为：2【点睛】本题考察了菱形的相关性质，综合运用了三角形全等和勾股定理，注意辅助线的构造一定要从相关条件以及可运用的证明工具入手，不要盲目作辅助线.14．4:9【分析】设DP ＝DN ＝m ，则PN 2m ，PC ＝2m ，AD ＝CD ＝3m ，再求出FG=CF=12BC=32m ，分别求出两个阴影部分的面积即可解决问题．【详解】根据图形的特点设DP ＝DN ＝m ，则PN 22m m +2m ，∴2m=MC ，22PM MC +，∴BC ＝CD ＝PC+DP=3m ，∵四边形HMPN 是正方形，∴GF ⊥BC∵∠ACB ＝45︒，∴△FGC 是等腰直角三角形，∴FG=CF=12BC=32m ， ∴S 1＝12DN×DP=12m 2，S 2＝12FG×CF=98m 2， ∴12:S S =12m 2: 98m 2=4:9， 故答案为4：9．【点睛】本题考查正方形的性质，勾股定理等知识，解题的关键是学会利用参数解决问题，属于中考常考题型．15．201812【分析】根据几何图形特征，先求出1C 、2C 、3C ，根据求出的结果，找出规律，从而得出2020C ．【详解】∵点E 是BC 的中点，ED ∥AB ，EF ∥AC∴DE 、EF 是△ABC 的中位线∵等边△ABC 的边长为1∴AD=DE=EF=AF =12 则1C =1422⨯= 同理可求得：2C =1，3C =12发现规律：规律为依次缩小为原来的12 ∴2020C =201812 故答案为：201812．【点睛】 本题考查找规律和中位线的性质，解题关键是求解出几组数据，根据求解的数据寻找规律．16．8或12【分析】根据平行四边形的性质得到BC=AD=5，∠BAE=∠DEA ，∠ABF=∠BFC ，根据角平分线的性质得到DE=AD=5，CF=BC=5，即可求出答案.【详解】在ABCD中，AB∥CD，BC=AD=5，∴∠BAE=∠DEA，∠ABF=∠BFC，∠的平分线交CD于点E，∵BAD∴∠BAE=∠DAE，∴∠DAE=∠DEA，∴DE=AD=5，同理：CF=BC=5，∴AB=CD=DE+CF-EF=5+5-2=8或AB=DE+CF+EF=5+5+2=12，故答案为：8或12.【点睛】此题考查平行四边形的性质，角平分线的性质，等腰三角形的等角对等边的判定，解题中注意分类思想的运用，避免漏解.17．5【分析】过点B作BD⊥l2，交直线l2于点D，过点B作BE⊥x轴，交x轴于点E．则22+OABC是平行四边形，所以OA=BC，又由平行四边形的性OE BE质可推得∠OAF=∠BCD，则可证明△OAF≌△BCD，所以OE的长固定不变，当BE最小时，OB取得最小值，从而可求．【详解】解：过点B作BD⊥l2，交直线x=4于点D，过点B作BE⊥x轴，交x轴于点E，直线l1与OC交于点M，与x轴交于点F，直线l2与AB交于点N．∵四边形OABC是平行四边形，∴∠OAB=∠BCO，OC∥AB，OA=BC，∵直线l1与直线l2均垂直于x轴，∴AM∥CN，∴四边形ANCM是平行四边形，∴∠MAN=∠NCM，∴∠OAF=∠BCD，∵∠OFA=∠BDC=90°，∴∠FOA=∠DBC，在△OAF 和△BCD 中，FOA DBC OA BCOAF BCD ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩， ∴△OAF ≌△BCD （ASA ），∴BD=OF=1，∴OE=4+1=5，∴OB=22OE BE +．由于OE 的长不变，所以当BE 最小时（即B 点在x 轴上），OB 取得最小值，最小值为OB=OE=5．故答案为：5．【点睛】本题考查了平行四边形的性质、坐标与图形性质、全等三角形的判定与性质，以及勾股定理等知识；熟练掌握平行四边形的性质，证明三角形全等是解决问题的关键．18．72；【分析】连接AO 、BO 、CO ，过O 作FO ⊥AO ，交AB 的延长线于F ，判定△AOC ≌△FOB （ASA ），即可得出AO=FO ，FB=AC=6，进而得到AF=8+6=14，∠FAO=45°，根据AO=AF×cos45°进行计算即可．【详解】解：连接AO 、BO 、CO ，过O 作FO ⊥AO ，交AB 的延长线于F ，∵O 是正方形DBCE 的对称中心，∴BO=CO ，∠BOC=90°，∵FO ⊥AO ，∴∠AOF=90°，∴∠BOC=∠AOF ，即∠AOC+∠BOA=∠FBO+∠BOA ，∴∠AOC=∠FBO ，∵∠BAC=90°，∴在四边形ABOC 中，∠ACO+∠ABO=180°，∵∠FBO+∠ABO=180°，∴∠ACO=∠FBO ，在△AOC 和△FOB 中，AOC FOB AO FOACO FBO ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩， ∴△AOC ≌△FOB （ASA ），∴AO=FO ，FB=FC=6，∴AF=8+6=14，∠FAO=∠OFA=45°，∴AO=AF×cos45°=故答案为．【点睛】本题考查了正方形的性质和全等三角形的判定与性质．本题的关键是通过作辅助线来构建全等三角形，然后将已知和所求线段转化到直角三角形中进行计算．19．9或1)．【分析】分两种情况画图，利用等腰直角三角形的性质和勾股定理矩形计算即可．【详解】解：①如图1，延长EA 交DC 于点F ，∵菱形ABCD 的周长为24，∴AB=BC=6，∵∠ABC=60°，∴三角形ABC 是等边三角形，∴∠BAC=60°，当EA ⊥BA 时，△ABE 是等腰直角三角形，∴AE=AB=AC=6，∠EAC=90°+60°=150°，∴∠FAC=30°，∵∠ACD=60°，∴∠AFC=90°，∴CF=12AC=3，则△ACE 的面积为：12AE×CF=12×6×3=9；②如图2，过点A 作AF ⊥EC 于点F ，由①可知：∠EBC=∠EBA+∠ABC=90°+60°=150°，∵AB=BE=BC=6，∴∠BEC=∠BCE=15°，∴∠AEF=45°-15°=30°，∠ACE=60°-15°=45°，∴AF=12AE ，AF=CF=22AC=32 ∵AB=BE=6，∴AE=2∴2236AE AF -=∴EC=EF+FC=3632则△ACE 的面积为：12EC×AF=1(3632)329(31)2⨯⨯=． 故答案为：9或31)．【点睛】本题考查了菱形的性质、等腰三角形的性质、等边三角形的判定与性质，解决本题的关键是掌握菱形的性质．202a 321a - 【分析】（1）根据折叠的性质可得出，四边形AFED 为正方形，CE=GE=BF ，AEB GBE ABE EBC ∠∠∠∠+=+，即AEB ABE ∠∠=，得出AB=AE ，继而可得解；（2）结合（1）可知，AE AM 2a ==，因为EC=3BM ，所以有1BM 2FM =，求出BM ，继而可得解．【详解】解：（1）由折叠的性质可得，CE=GE=BF ，AEB GBE ABE EBC ∠∠∠∠+=+，即AEB ABE ∠∠=，∴AB=AE ，∵AE ==∴AB =．（2）结合（1）可知，AE AM ==，∴FM a =-，∵EC=3BM ， ∴1BM 2FM =∴BM 2a -=∴AB =+=．；12a ． 【点睛】 本题是一道关于折叠的综合题目，主要考查折叠的性质，弄清题意，结合图形找出线段间的数量关系是解题的关键．三、解答题21．（1）矩形；（2）菱形；（3）4）见解析【分析】（1）由平移推出AD EE '=，即可证得四边形AEE D '是平行四边形，再根据AE BC ⊥，得到90AEE '∠=︒即可得到结论；（2）由平移推出AD FF '=，证得四边形AFF D '是平行四边形，根据AE EF ⊥得到90AEE '∠=︒，再根据勾股定理求出AF=5=AD ，即可证得四边形AFF D '是菱形；（3）先利用勾股定理求出DF ==，再根据菱形的面积求出F A '；（4）在BC 边上取点E ，连接AE ，平移△ABE 得到△DCF ，可得四边形AEFD 是平行四边形.【详解】(1)四边形AEE D '是矩形，在ABCD □中，//AD BC ，AD BC =，由平移可知：BE CE ''=，∴BC EE '=，∴AD EE '=，∴四边形AEE D '是平行四边形，∵AE BC ⊥，∴90AEE '∠=︒，∴四边形AEE D '是矩形；(2)四边形AFF D '是菱形，在矩形AEE D '中，//AD EE ' ，AD EE '=，由平移可知：EF E F =''，∴EE FF ''=，∴AD FF '=，∴四边形AFF D '是平行四边形，∵AE EF ⊥，∴90AEE '∠=︒，在Rt AEF ，2222345AF AE EF =+=+=， ∴AF AD =，∴四边形AFF D '是菱形；(3)连接F A ',在Rt DFE '△中，22221310DF E F E D ''=+=+=，15ABCD AFF D S S '==平行四边形菱形，∴·30F A FD '=，∴310F A '=；(4)在BC 上取一点E ，连接AE ，平移△ABE 得到△DCF ，可得四边形AEFD 是平行四边形.【点睛】此题考查了平行四边形的性质，矩形的判定定理，菱形的判定及性质，平移的性质的应用，勾股定理.22．（1）见解析；（2）当ADC 满足90ADC ∠=︒时，四边形OCFD 为菱形，证明详见解析【分析】（1）证明四边形OCFD 是平行四边形，得出OD=CF ，证出OB=CF ，再证明全等即可（2）证出四边形ABCD 是矩形，由矩形的性质得出OC=OD ，即可得出四边形OCFD 为菱形.【详解】(1)证明:∵//,//CF BD DF AC ，∴四边形OCFD 是平行四边形， OBE CFE ∠=∠，∴OD CF =，∵四边形ABCD 是平行四边形，∴OB OD =，∴OB CF =，在FCE △和BOE △中， OBE CFE BEO FEC OB CF ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴()FCE BOE AAS ≌．(2)当ADC 满足90ADC ∠=︒时，四边形OCFD 为菱形.理由如下:∵90ADC ∠=︒，四边形ABCD 是平行四边形，∴四边形ABCD 是矩形∴,,,OA OC OB OD AC BD ===∴OC OD =，∴四边形OCFD 为菱形【点睛】本题考查全等三角形判定与性质，平行四边形和菱形的判定与性质等知识，熟练掌握平行四边形的判定和性质和菱形的判定是解题的关键.23．（1）见解析；（2） HG ＝OH +BG ；（3）能成矩形，y 3342x =-． 【分析】（1）根据旋转和正方形的性质可得出CD ＝CB ，∠CDG ＝∠CBG ＝90，根据全等直角三角形的判定定理（HL ）即可证出Rt △CDG ≌Rt △CBG ，即∠DCG ＝∠BCG ，由此即可得出CG 平分∠DCB ；（2）由（1）的Rt △CDG ≌Rt △CBG 可得出BG ＝DG ，根据全等直角三角形的判定定理（HL ）即可证出Rt △CHO ≌Rt △CHD ，即OH ＝HD ，再根据线段间的关系即可得出HG ＝HD +DG ＝OH +BG ；（3）根据（2）的结论即可找出当G 点为AB 中点时，四边形AEBD 为矩形，再根据正方形的性质以及点B 的坐标可得出点G 的坐标，设H 点的坐标为（x ，0），由此可得出HO ＝x ，根据勾股定理即可求出x 的值，即可得出点H 的坐标，结合点H 、G 的坐标利用待定系数法即可求出直线DE 的解析式．【详解】（1）∵正方形ABCO 绕点C 旋转得到正方形CDEF ，∴CD ＝CB ，∠CDG ＝∠CBG ＝90°．在Rt △CDG 和Rt △CBG 中，∵CG CG CD CB =⎧⎨=⎩，∴Rt △CDG ≌Rt △CBG （HL ），∴∠DCG ＝∠BCG ，即CG 平分∠DCB ． （2）由（1）证得：Rt △CDG ≌Rt △CBG ，∴BG ＝DG ．在Rt △CHO 和Rt △CHD 中，∵CH CH CO CD =⎧⎨=⎩，∴Rt △CHO ≌Rt △CHD （HL ），∴OH ＝HD ，∴HG ＝HD +DG ＝OH +BG ．（3）假设四边形AEBD可为矩形．当G点为AB中点时，四边形AEBD为矩形，如图所示．∵G点为AB中点，∴BG＝GA12=AB，由（2）证得：BG＝DG，则BG＝GA＝DG12=AB12=DE＝GE，又AB＝DE，∴四边形AEBD为矩形，∴AG＝EG＝BG＝DG．∵AG12=AB＝3，∴G点的坐标为（6，3）．设H点的坐标为（x，0），则HO＝x，∴HD＝x，DG＝3．在Rt△HGA中，HG＝x+3，GA＝3，HA＝6﹣x，由勾股定理得：（x+3）2＝32+（6﹣x）2，解得：x＝2，∴H点的坐标为（2，0）．设直线DE的解析式为：y＝kx+b（k≠0），将点H（2，0）、G（6，3）代入y＝kx+b中，得：2063k bk b+=⎧⎨+=⎩，解得：3432kb⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩，∴直线DE的解析式为：y3342x=-．故四边形AEBD能为矩形，此时直线DE的解析式为：y33 42x=-．【点睛】本题考查了矩形的性质、旋转的性质、全等三角形的判定及性质、待定系数法求函数解析式以及勾股定理．解题的关键是：（1）证出Rt△CDG≌Rt△CBG；（2）找出BG＝DG、OH＝HD；（3）求出点H、G的坐标．本题属于中档题，难度不大，解决该题型题目时，根据全等三角形的性质找出相等的边和角是关键．24．（1）见解析；（2）MON为等腰直角三角形，见解析【分析】（1）如图1，由正方形的性质得CB＝CD，∠BCD＝90°，再证明∠BCN＝∠CDM，然后根据“AAS”证明△CDM≌△CBN，从而得到DM＝CN；（2）如图2，利用正方形的性质得OD＝OC，∠ODC＝∠OCB＝45°，∠DOC＝90°，再利用∠BCN＝∠CDM得到∠OCN＝∠ODM，则根据“SAS”可判断△OCN≌△ODM，从而得到ON＝OM，∠CON＝∠DOM，所以∠MON＝∠DOC＝90°，于是可判断△MON为等腰直角三角形．【详解】（1）证明：如图1，∵四边形ABCD 为正方形，∴CB ＝CD ，∠BCD ＝90°，∵DM ⊥CP ，BN ⊥CP ，∴∠DMC ＝90°，∠BNC ＝90°，∵∠CDM+∠DCM ＝90°，∠BCN+∠DCM ＝90°，∴∠BCN ＝∠CDM ，在△CDM 和△CBN 中DMC CNB CD CBCDM BCN ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩， ∴△CDM ≌△CBN ，∴DM ＝CN ；（2）解：△OMN 为等腰直角三角形．理由如下：如图2，∵四边形ABCD 为正方形，∴OD ＝OC ，∠ODC ＝∠OCB ＝45°，∠DOC ＝90°，∵∠BCN ＝∠CDM ，∴∠BCN ﹣45°＝∠CDM ﹣45°，即∠OCN ＝∠ODM ，在△OCN 和△ODM 中CN DM OCN ODM OC OD =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩， ∴△OCN ≌△ODM ，∴ON ＝OM ，∠CON ＝∠DOM ，∴∠MON ＝∠DOC ＝90°， ∴MON 为等腰直角三角形．【点睛】本题考查正方形的性质：正方形的四条边都相等，四个角都是直角；正方形的两条对角线相等，互相垂直平分，并且每条对角线平分一组对角；正方形具有四边形、平行四边形、矩形、菱形的一切性质；两条对角线将正方形分成四个全等的等腰直角三角形，同时，正方形又是轴对称图形，有四条对称轴．也考查全等三角形的判定与性质．25．（1）四边形ABGE 的形状是正方形；（2）①详见解析；②DF=3CF【分析】（1）由四边形ABCD 是矩形，可得90A ABC ︒∠=∠=，由折叠得：90BGE A ︒∠=∠=，根据三个内角是直角可判断四边形ABGE 为矩形，由折叠得：AB=BG ，根据一组邻边相等的矩形是正方形可判断矩形ABGE 为正方形；（2）①如图，连结EF ，在矩形ABCD 中，AB=DC ，AD=BC ，∠A=∠C=∠D=90°，由△ABE 沿BE 折叠后得到△GBE ，可得BG=AB ，EG=AE=ED ，∠A=∠BGE=90°，故∠EGF=∠D=90°，由HL 可判断Rt △EGF ≌Rt △EDF ，得到DF=FG ，问题得证；②设AB=DC=a ，则3，另设CF=x ，则DF=DC-CF=a-x ，由①得BF=AB+DF =2a-x ，在Rt △BCF 中，由勾股定理得：BF 2=BC 2+CF 2，代入数据运算可得：x=14a ，即CF=14a ，DF=a-x=34a ，进而可得DF 与CF 关系． 【详解】 （1）四边形ABGE 的形状是正方形．理由是：∵四边形ABCD 是矩形，∴90A ABC ︒∠=∠=，由折叠得：90BGE A ︒∠=∠=，∴四边形ABGE 为矩形，由折叠得：AB=BG ，∴矩形ABGE 为正方形；故答案为：正方形．（2）①如图，连结EF ，。
人教版八年级数学几何专题
人教版八年级数学几何专题本页仅作为文档页封面，使用时可以删除This document is for reference only-rar21year.March2八年级数学下册期末专题复习和训练：几何计算题、证明题一、题型特点：四边形（五种常见的）、三角形的中位线、矩形的推论穿插其中，……二、常见新型题型：动点、折纸、开放（条件、结论开放）、探索性（数量关系、位置关系），……三、图形搭建：三角形中搭建四边形、四边形中搭建三角形、组合图形，…… 下面我根据图形搭建结构特征进行分类，列举一部分和本期几何部分（主要是平行四边形）的计算题、证明题，让我们共同来探究、解析. 一、以平行四边形搭建起来的图形 例1.ABCD 中，AB=4cm ，AD=7cm, ∠ABC 的平分线交AD 于E,交CO 的延长线于F,求DF 的长？ 分析：本题要求的DF 长的途径有两条：其一.DF CF CD =-；其二. DF DE AD AE ==-.比较容易得出BCF 是等腰三角形，即CF CB =的对边相等可以得出:,CD AB 4cm CB AD 7cm ====.故DF 743cm =-= 例2.△ABC 、△ADE 都是正三角形，CD=BF. （1）、求证：△ACD ≌△CBF（边上的何处时，四边形CDEF 为平行四边形，且∠DEF=30°, 分析：⑴.证明△ACD ≌△CBF 已经有了CD=BF ，而△ABC 、△ADE都是正三角形又可以给我们提供,CA CB ACD CBF 60=∠=∠=条件，根据“SAS ”判定方法可以证得△ACD ≌△CBF.⑵.根据⑴问的△ACD ≌△CBF 得出AD CF =,又△ADE 是正三角形的DE CF =,所以CF DE =;要使四边形CDEF 为平行四边形可以证CF DE .若四边形CDEF 为平行四边形，则FCD DEF 30∠=∠=；当EDB 30∠=时，就有FCD EDB ∠=∠,此时就能证得CF DE .由正△ADE 可以得出ADE 60∠=，则ADB 603090∠=+=,AD BC ⊥;由于等腰三角形具有“三线合一”的特征，所以当D 运动至BC 边上中点时，四边形CDEF 为平行四边形.练习：1.如图,在□ABCD 中，AE ⊥BC,AF ⊥CD,∠EAF=60°，则∠B=（2.□ABCD 的周长为60ｃｍ，对角线AC 、BD 交于点O,△AOB 的周 长比△BOC 的周长多10ｃｍ，则AD=（ ），DC=( )；3.□ABCD 中，∠ABC 的平分线BE 交AD 于E 点，若∠ABE=25°CD=5cm,BC=7cm,那么∠ABE=（ ），∠BED=（ ），AE=（ ）4. 已知□ABCD ，BE=AB,BF =BD. 求证：5. △ABC 是正三角形，AE=BD,DF ∥CE,EF ∥CD. 求证: △AGF ≌△EAC6.以△ABC 的三边在BC 的同侧做等边△EBC 、等边△FBA3⑴.判断四边形FADE 的形状？⑵.当∠BAC 为多少度时，四边形FADE 为矩形？⑶.当∠BAC 为多少度时，四边形FADE 不存在？7. 有一块如图的玻璃，不小心把DEF 部分打碎，现在只测得AB=60cm,BC=80cm ，∠A=120°，∠B=60°，∠C=150°，你能根据测得的数据计算AD 的长？二、以矩形搭建起来的图形例1.D 为□ABCD 外一点，∠APC=∠BPD=90°.求证: □ABCD 为矩形 分析：判定矩形的方法主要有三种.但在已知了四边形ABCD 是平行 四边形的情况下，要判定ABCD 是矩形的途径有两条：其一、找一内角是直角；其二、找出对角线相等，即找出AC BD =.由于本题的另一主要条件是∠APC=∠BPD=90°，要根据题中条件和图形位置转换成四边形的内角为90°比较困难，所以本题我们先想办法找出对角线相等，即找出AC BD =.我们发现本题在APC Rt 和BPD Rt 的两斜边的交点O 恰好是平行四边形对角线的交点，根据平行四边形对角线互相平分可知：O 同时是AC BD 、的中点；所以自然联想到连结PO 这条两直角三角形公共的中线（见图）.根据以上条件，在APC Rt 和BPD Rt 中就有：AC 2PO =BD 2PO =,故AC BD =,由对角线相等的平行四边形是矩形，可判定ABCD 是矩形.例2. 矩形ABCD 中，AB=3，AD=4，PE ⊥AC ，PF ⊥BD ， ⑴.求PE+PF 的值？⑵.若点P 是AD 上的一动点（不与A D 、重合），还是作PE ⊥AC ，PF ⊥BD ，则PE+PF 的值是否会发生变化为什么分析：求线段的和或差我们会联想到证明中的“截长补短”法，但本题不具备这方面的条件.本题从面积入手可以破题：如图连结PO ,只要我们能求出APO 和DPO 的面积之和问题便可以获得解决.略解：⑴.∵四边形ABCD 是矩形∴BAD 90∠=,,11OA AC OD BD 22==, AC BD =∴1OA OD BD 2==在ABD Rt 中，AB=3，AD=4；并且根据勾股定理有：222BD AB AD =+，即222BD 34=+，又BD 0> ，所以.=BD 5∴.==11OA OD BD 52522==⨯∵,11AOP OA PE DOP OD PF 22S S=⋅=⋅，且ABCD 11AOD 34344SS ==⨯⨯=矩形(过程略)∴++=11AOP DOP OA PE OD PF AOD 22SSS=⋅⋅,即..1125PE 25PF 322⨯⨯+⨯⨯=A BCDP E FO4∴12PE PF 5+=. ⑵.不会发生变化.这是因为AOD AOP POD 、、的面积以及作为底边的OA OD、不会发生变化. 练习：1. 矩形ABCD 中，AF=DE.求证：2. 矩形ABCD 中，BE ⊥AC ，CF ⊥BD.求证：BE=CF3. 矩形ABCD 中，DF 平分∠ADC, ∠BDF=15°. 求∠DOC 与∠COF 的度数？4、矩形ABCD 中，CE ∥BD ，则△ACE 为等腰三角形吗为什么5.如图，在矩形ABCD 中，点E ，F 分别在BC ，CD 上，将△ABE 沿AE 折叠，使点B 落在AC 上的点B′处，又将△CEF 沿EF 折叠，使点C 落在EB′与AD 的交点C′处．则BC ：AB 的值为多少？三、以菱形搭建起来的图形例1. △ABC 中，∠BAC=90°，BD 平分∠ABC ，AH ⊥BC 于H 交BD 于E,DF ⊥BC 于F,求证：四边形AEFD 是菱形分析：判定菱形方法主要有三种，三种方法都可以使本题获得解决. 下面我们选择“四边都相等的四边形是菱形”这一途径来分析. 可以先根据角平分线的性质得出AD FD =,进而容易证明ABD ≌AFD ,所以BA BF =;再证明ABE ≌AFE可以得到EA EF =（也可以利用等腰三角形的“三线合一”）；利用等角的余角相等可以推出ADE AED ∠=∠,所以EA DA =,于是AE EF FD DA ===,故四边形AEFD 是菱形.例2.（2012中考·自贡） 如图所示，在菱形ABCD 中，,AB 4BAD 120=∠=，AEF 为正三角形，点E F 、分别在菱形的边BC CD 、上滑动，且E F 、不与B C D 、、重合．⑴.证明不论E F 、在BC CD 、D 上如何滑动，总有BE CF =⑵.当点E F 、在BC CD 、上滑动时，探讨四边形AECF 的面积是否发生变化？如果不变，求出这个定值.分析：⑴.先求证AB AC =，进而求证ABC ACD 、为等边三角形，得=BAC 60AC AB ∠=，进而求证ABE ≌ACF ，即可求得BE CF = ⑵.根据ABE ≌ACF 可得ABE ACF SS =;根据S四边形AECF=AEC S+ACFS=AEC S+BAE S =ABC S即可解得.⑴.证明：连接AC ，如下图所示. ∵四边形ABCD 为菱形，BAD 120∠= ∴,1EAC 602EAC 60∠+∠=∠+∠= ∴12∠=∠ ∵BAD 120∠=∴ABC 60∠=∴ABC 和ACD 都为等边三角形∴=460AC AB ∠=，∴在ABE 和ACF 中，12AB AC ABC 3∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩∴ABE ≌ACF ()ASA ∴BE CF =⑵.解：四边形AECF 的面积不变.理由：由⑴得ABE ≌ACF ，则ABE ACF SS=.故S 四边形AECF =AEC S +ACF S =AEC S +BAE S =ABC S 是定值. 作AH BC ⊥于H 点，则BH 2=S四边形ABCD ＝S ABC =2211BC AH BC AB BH 4322⋅=-练习：EFODAEFDBCAODACA B DE321E HABF1.已知ABCD，添加下列一个条件：①.AC⊥BD；②.∠BAD=90°；③.AB=BC；④.AC=BD.其中能使ABCD是菱形的为（） A ．①③ B．②③ C．④D.①②③2.菱形ABCD中，E为AB上的一点，CE交BD于F.求证：⑴.△ABF≌△CBF；⑵.∠BEC=∠DAF.3. 菱形的对角线的比是2：3，周长为1304cm，求菱形的面积？4.如图，平行四边形ABCD的对角线AC的垂直平分线与AD AC BC、、分别交于点E O F、、求证：四边形AFCE是菱形 .5. 如图，菱形ABCD中，∠B=60°，AB=2，点E、F分别是AB、AD上的动点，且满足BE=AF，接连EF、EC、CF．求证：△EFC是等边三角形6. 9、Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠BAC=60°，DE垂直平分BC，且AF=CE.求证：四边形ACEF为菱形四、以正方形搭建起来的图形例1.正方形ABCD中，△DCE是等边三角形.⑴.求∠AED的度数？⑵.若OF=1，求AB的长？分析：⑴.根据正方形和等边三角形的性质综合可以得出,DA DE ADE9060150=∠=+=,所以得出：DAE DEA∠=∠,所以()11AED DAE180150301522∠=∠=-=⨯=.⑵.根据正方形的性质综合可以得出AC BD⊥,在AOFRt中，,FAO451530OF1∠=-==所以AF2OF2==,根据勾股定理可以求出22OA213=-=,所以AC BD23==.根据勾股定理或者面积公式可以得出：211AB AC BD2323622=⋅=⨯⨯=.又.AB0AB6>∴=.例2、正方形ABCD的面积为64，DE=2,P为AC上的一动点；求PD+PE的最小值？分析:在一条直线同侧的两点，到直线某点的距离之和最小，按如图所示作E的对称点'E（根据正方形的对称性，对称点'E恰好落在边BC上）连结'DE交AC于点'P,根据轴对称的性质''''''DE DP E P DP EP=+=+,此时和是最小的.根据正方形ABCD的面积为64可求得边长DC8=,所以CE CD DE826=-=-=。
(常考题)人教版初中数学八年级数学下册第三单元《平行四边形》测试(包含答案解析)(4)
一、选择题1．如图，在等腰直角ABC 中，AB BC =，点D 是ABC 内部一点， DE BC ⊥，DF AB ⊥，垂足分别为E ，F ，若3CE DE =， 53DF AF =， 2.5DE =，则AF =（ ）A ．8B ．10C ．12.5D ．152．如图，三个正方形围成一个直角三角形，64、400分别为所在正方形的面积，则图中字母M 所代表的正方形面积可表示为（ ）A ．40064-B ．2240064-C ．2240064-D ．40064+ 3．如图，将长方形纸片沿对角线折叠，重叠部分为BDE ，则图中全等三角形共有（ ）A ．0对B ．1对C ．2对D ．3对4．如图，点D 和点E 分别是BC 和BA 的中点，已知AC ＝4，则DE 为（ ）A ．1B ．2C ．4D ．85．如图，已知ABC ∆的面积为24,点D 在线段AC 上，点F 在线段BC 的延长线上，且4,BC CF =四边形DCFE 是平行四边形，则图中阴影部分的面积为（ ）A ．6B ．8C ．3D ．46．如图，在正方形 ABCD 内有一个四边形AECF ，AE EF ⊥， CF EF ⊥且8AE CF ==，12EF =，则图中阴影分的面积为（ ）A ．100B ．104C ．152D ．3047．在平面直角坐标系中，点A ，B ，C 的坐标分别为()5,0，()1,3--，()2,5-，当四边形ABCD 是平行四边形时，点D 的坐标为（ ）A ．()8,2-B ．()7,3-C ．()8,3-D ．()14,0 8．如图，将长方形ABCD 沿对角线BD 折叠，使点C 落在点C ′处，BC ′交AD 于E ，AD ＝8，AB ＝4，则重叠部分（即BDE ）的面积为（ ）A ．6B ．7.5C ．10D ．209．如图，在平行四边形ABCD 中，DE 平分ADC ∠，6AD =，2BE =，则平行四边形ABCD 的周长是（ ）A ．16B ．14C ．20D ．2410．如图，在矩形ABCD 中，3AB =，4=AD ，ABC ∠的平分线BE 交AD 于点E ．点F ，G 分别是BC ，BE 的中点，则FG 的长为（ ）A ．2B ．52C ．102D ．32211．如图，矩形纸片ABCD 中，4AB =，3AD =，折叠纸片使AD 边与对角线BD 重合，则折痕为DG 的长为（ ）A ．3B ．423C ．2D ．35212．如图在ABCD 中，对角线,AC BD 相交于点O ，AOD △与AOB 的周长相差3，8AB =，那么AD 为（ ）A ．5B ．8C ．11或5D ．11或14二、填空题13．点O 是平行四边形ABCD 的对称中心，AD AB >，E 、F 分别是AB 边上的点，且12EF AB =；G 、H 分别是BC 边上的点，且13GH BC =；若1S ，2S 分别表示EOF 和GOH 的面积，则1S ，2S 之间的等量关系是1S =__________2S ．14．生活中，有人喜欢把传送的便条折成形状，折叠过程如图所示（阴影部分表示纸条的反面）：已知由信纸折成的长方形纸条（图①）长为25cm ，宽为cm x .如果能折成图④的形状，且为了美观，纸条两端超出点P 的长度相等，即最终图形是轴对称图形，则在开始折叠时起点M 与点A 的距离（用x 表示）为______cm ．15．如图，先将正方形纸片对折，折痕为MN ，再把点B 折叠到折痕MN 上，折痕为AE ，点B 在MN 上的对应点为H ，则ABH ∠=______°．16．如图，在ABCD 中，AC 与BD 相交于点O ，（1）若18cm,24cm AC BD ==，则AO =_______，BO =_______．又若13AB =厘米，则COD △的周长为________．（2）若AOB 的周长为30cm ，12cm AB =，则对角线AC 与BD 的和是________． 17．如图，B ，E ，F ，D 四点在一条直线上，菱形ABCD 的面积为2120cm ，正方形AECF 的面积为250cm ，则菱形的边长为___cm ．18．如图，AC 是ABCD 的对角线，点E 在AC 上，AD AE BE ==，102D =︒，则BAC ∠的度数是______．19．如图，BD 是矩形ABCD 的对角线，在BA 和BD 上分别截取BE ，BF ，使BE ＝BF ；分别以E ，F 为圆心，以大于12EF 的长为半径作弧，两弧在∠ABD 内交于点G ，作射线BG 交AD 于点P ，若AP ＝3，则点P 到BD 的距离为_______．20．如图，在平行四边形ABCD 中，BF 平分∠ABC ，交AD 于点F ，CE 平分∠BCD ，交AD 于点E ，AB ＝8，EF ＝1，则BC 长为__________．三、解答题21．如图，在ABCD 中，AP ､BP 分别是DAB ∠和CBA ∠的角平分线，已知5AD =．（1）求线段AB 的长； （2）延长AP ，交BC 的延长线于点Q ．①请在答卷上补全图形；②若6BP =，求ABQ △的周长．22．如图，在ABC 中，AB AC =，10BC =．（1）尺规作图：（要求：保留作图痕迹，不写作法）①作BAC ∠的平分线交BC 于点D ；②作边AC 的中点E ，连接DE ；（2）在（1）所作的图中，若12AD =，则DE 的长为__________．23．如图，CD 是线段AB 的垂直平分线，M 是AC 延长线上一点．（1）在图中补充完整以下作图，保留作图痕迹：作∠BCM 的角平分线CN ，过点B 作CN 的垂线，垂足为E ；（2）求证：四边形BECD 是矩形；（3）AB 与AC 满足怎样的数量关系时，四边形BECD 是正方形？证明你的结论． 24．如图，将长方形ABCD 沿着对角线BD 折叠，使点C 落在C '处，BC '交AD 于点E ．（1）试判断BDE 的形状，并说明理由．（2）若4AB =，8AD =，求AE 的长．参考答案25．如图，菱形ABCD 的边长为2．2BD =，E ，F 分别是边AD ，CD 上的两个动点，且满足2AE CF +=．（1）求证：BDE BCF △≌△；（2）判断BEF 的形状，并说明理由．26．正方形ABCD 中，点E 是BD 上一点，过点E 作EF AE ⊥交射线CB 于点F ，连结CE ．（1）若AB BE =，求DAE ∠度数；（2）求证：CE EF =【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题1．C解析：C【分析】根据比例关系设DF=x ，可判断四边形DEBF 为矩形，根据矩形的性质和比例关系分别表示CB 和AB ，再根据AB BC =，列出方程，求解即可得出x ，从而得出AF ．【详解】,DE BC DF AB ⊥⊥，90DEB DFB ∴∠=∠=︒，∵△ABC 为等腰直角三角形，∴∠ABC=90°，∴四边形DEBF 为矩形，∴BF=DE=2.5，DF=EB ，设DF=3x ，则EB=3x ，∵53DF AF =，∴AF=5x ，AB=5x+2.5，∵3CE DE =，∴CE=7.5，∴CB=7.5+3x ，∵AB=CB ，∴5x+2.5=7.5+3x ，解得x=2.5,∴512.5AF x ==，故选：C ．【点睛】本题考查矩形的性质和判定，等腰三角形的定义，一元一次方程的应用．能借助相关性质表示对应线段的长度是解题关键．本题主要用到方程思想．2．A解析：A【分析】要求图中字母所代表的正方形的面积，根据面积=边长×边长=边长的平方，设M 的边长为a ，直角三角形斜边的长为c ，另一直角边为b ，则2400c =，264b =，已知斜边和一直角边的平方，由勾股定理即可求出2a ，即可得到答案．【详解】设M 的边长为a ，直角三角形斜边的长为c ，另一直角边为b ，则2400c =，264b =，如图所示，在该直角三角形中，由勾股定理得：22240064a c b =-=-，故选：A ．【点睛】本题主要考查勾股定理的应用和正方形的面积公式，解题的关键在于熟练运用勾股定理求出正方形的边长的平方．3．C解析：C【分析】因为图形对折，所以首先△CDB ≌△ABD ，由于四边形是长方形，进而可得△ABE ≌△CDE ，如此答案可得．【详解】解：∵△BDC 是将长方形纸片ABCD 沿BD 折叠得到的，∴CD=AB ，AD=BC ，∵BD=BD ，∴△CDB ≌△ABD （SSS ），∴∠CBD=∠ADB∴EB=ED∴CE=AE又AB=CD∴△ABE≌△CDE，∴图中全等三角形共有2对故选：C【点睛】本题考查三角形全等的判定方法，判定两个三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、SSA、HL．注意：AAA、SSA不能判定两个三角形全等，判定两个三角形全等时，必须有边的参与，若有两边一角对应相等时，角必须是两边的夹角．做题时要由易到难，循序渐进．4．B解析：B【分析】根据三角形中位线定理解答即可．【详解】解：∵点D和点E分别是BC和BA的中点，∴DE是△ABC的中位线，∴DE＝12AC＝124＝2，故选：B．【点睛】本题考查的是三角形中位线定理，掌握三角形的中位线平行于第三边，且等于第三边的一半是解题的关键．5．A解析：A【分析】想办法证明S阴=S△ADE+S△DEC=S△AEC，再由EF∥AC，可得S△AEC=S△ACF解决问题；【详解】解：如图连接AF、EC．∵BC=4CF，S△ABC=24，∴S△ACF= 14×24=6，∵四边形CDEF是平行四边形，∴DE∥CF，EF∥AC，∴S△DEB=S△DEC，∴S 阴=S △ADE +S △DEC =S △AEC ，∵EF ∥AC ，∴S △AEC =S △ACF =6，∴S 阴=6．故选：A ．【点睛】本题考查平行四边形的性质、三角形的面积、等高模型等知识，解题的关键是熟练掌握等高模型解决问题，学会用转化的思想思考问题，属于中考常考题型．6．B解析：B【分析】由题意可证四边形AECF 是平行四边形，可得AO ＝CO ，EO ＝FO ＝12EF ＝6，由勾股定理可求AO ＝10，可得AC ＝20，由阴影分的面积＝S 正方形ABCD -S ▱AECF 可求解．【详解】解：连接AC ，∵AE ⊥EF ，CF ⊥EF ，∴AE ∥CF ，且AE ＝CF ，∴四边形AECF 是平行四边形，∴AO ＝CO ，EO ＝FO ＝12EF ＝6， ∴AO 22AE EO +10，∴AC ＝20， ∴阴影分的面积＝S 正方形ABCD -S ▱AECF ＝20202⨯-8×12＝104， 故选：B ．【点睛】本题考查了正方形的性质以及勾股定理的应用．此题综合性较强，解题时要注意数形结合思想的应用．7．A解析：A【分析】以AC 为对角线，可得AD ∥BC ，AD=BC ；以AB 为对角线，可得AD ∥BC ，AD=BC ；以AD 为对角线，可得AB ∥CD ，AB=CD ．【详解】解：①以AD 为对角线时，可得AB ∥CD ，AB ＝CD ，∴A 点向左平移6个单位，再向下平移3个单位得B 点，∴C 点向左平移6个单位，再向下平移3个单位得D₁(-4，-8)；②以AC 为对角线时，可得AD ∥BC ，AD=BC ，∴B 点向右平移6个单位，再向上平移3个单位得B 点，∴C 点向右平移6个单位，再向上平移3个单位得D₂(8，-2)；③以AB 为对角线时，可得AD ∥BC ，AD=BC ，∴C 点向右平移3个单位，再向上平移5个单位得A ，∴B 点向右平移3个单位，再向上平移5个单位得D₃(2，2)；综上可知，D 点的坐标可能为：D₁(-4，-8)、D₂(8，-2)、D₃(2，2)，故选：A ．【点睛】本题考查了坐标与图形的性质，利用平行四边形的判定：对边平行且相等的四边形是平行四边形，要分类讨论，以防遗漏．8．C解析：C【分析】由折叠结合矩形的性质先证明,BE DE =设,BE DE x == 则8,AE x =- 再利用勾股定理求解,x 从而可得BDE 的面积．【详解】 解： 长方形ABCD ，8,4,AD AB ==//,AD BC ∴,ADB CBD ∴∠=∠由对折可得：,CBD C BD '∠=∠,ADB C BD '∴∠=∠,BE DE ∴=设,BE DE x == 则8,AE x =-由222,BE AB AE =+()22248,x x ∴=+-1680,x ∴=5,x ∴= 5,DE BE ∴==115410.22BDE S DE AB ∴==⨯⨯= 故选：.C【点睛】本题考查的是矩形与折叠问题，勾股定理的应用，矩形的性质，掌握以上知识是解题的关键．9．C解析：C【分析】根据角平分线的性质以及两直线平行，内错角相等求出∠CDE=∠CED ，再根据等角对等边的性质可得CE=CD ，然后利用平行四边形对边相等求出CD 、BC 的长度，再求出平行四边形ABCD 的周长．【详解】解：∵DE 平分∠ADC ，∴∠ADE=∠CDE ，∵在平行四边形ABCD 中，AD ∥BC ，∴∠ADE=∠CED ，∴∠CDE=∠CED ，∴CE=CD ，∵在平行四边形ABCD 中，AD=6，BE=2，∴AD=BC=6，∴CE=BC-BE=6-2=4，∴CD=AB=4，∴平行四边形ABCD 的周长=6+6+4+4=20．故选：C ．【点睛】本题考查了平行四边形的性质，角平分线的性质，准确识图并熟练掌握性质是解题的关键．10．C解析：C【分析】连接CE ，由矩形的性质和角平分线的性质可得AB=AE=3，可得ED=1，由勾股定理可求CE 的长，由三角形中位线定理可求FG 的长；【详解】连接CE ，如图所示：∵四边形ABCD是矩形，∴∠BAD=∠ABC=∠D=90°，AB=CD=3，AD=BC=4，AD∥BC，∴∠CBE=∠AEB，∵BE平分∠ABC.∴∠ABE=∠CBE=45°，∴∠ABE=∠AEB=45°，∴AB=AE=3，∴ED=AD-AE=4-3=1，在Rt△CDE中=∵点F、G分别为BC、BE的中点,∴FG是△CBE的中位线，FG=12故选：C【点睛】本题考查了矩形的性质，勾股定理，等腰直角三角形的判定与性质，三角形中位线的定理等知识；熟练掌握矩形的性质和三角形中位线定理，求出EC的长度是解题的关键. 11．D解析：D【分析】首先设AG＝x，由矩形纸片ABCD中，AB＝4，AD＝3，可求得BD的长，又由折叠的性质，可求得A′B的长，然后由勾股定理可得方程：x2+22＝（4-x）2，解此方程即可求得AG 的长，继而求得答案．【详解】解：设AG＝x，∵四边形ABCD是矩形，∴∠A＝90°，∵AB＝4，AD＝3，∴BD5，由折叠的性质可得：A′D＝AD＝3，A′G＝AG＝x，∠DA′G＝∠A＝90°，∴∠BA′G＝90°，BG＝AB-AG＝4-x，A′B＝BD-A′D＝5-3＝2，∵在Rt△A′BG中，A′G2+A′B2＝BG2，∴x2+22＝（4-x）2，解得：x＝32，∴AG＝32，∴在Rt△ADG中，DG=．故选：D．【点睛】此题考查了折叠的性质、矩形的性质以及勾股定理．此题难度适中，注意掌握折叠前后图形的对应关系，注意掌握数形结合思想与方程思想的应用．12．C解析：C【分析】根据平行四边形的性质可得BO=DO，再根据AOD△与AOB的周长相差3，可分情况得出结果．【详解】解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴BO=DO，AO=AO，∵AOD△与AOB的周长相差3，∴AB-AD=3，或AD-AB=3，∵AB=8，∴AD的长为5或11，故选C．【点睛】本题考查平行四边形的性质，解题的关键是掌握平行四边形对角线互相平分．二、填空题13．【分析】如图连接OAOBOC设平行四边形的面积为4S求出S1S2（用s表示）即可解决问题【详解】解：如图连接OAOBOC设平行四边形的面积为4S∵点O是平行四边形ABCD的对称中心∴S△AOB=S△解析：3 2【分析】如图，连接OA，OB，OC．设平行四边形的面积为4S．求出S1，S2（用s表示）即可解决问题．【详解】解：如图，连接OA，OB，OC．设平行四边形的面积为4S．∵点O 是平行四边形ABCD 的对称中心，∴S △AOB =S △BOC =14S 平行四边形ABCD =S ， ∵EF=12AB ，GH=13BC ， ∴S 1=12S ，S 2=13S ， ∴12132123S S S S ==， ∴1232S S =； 故答案为：32． 【点睛】本题考查中心对称，平行四边形的性质，三角形的面积等知识，解题的关键是学会利用参数解决问题，属于中考常考题型． 14．【分析】按图中方式折叠后可得到除去两端纸条使用的长度为5个宽由此解题即可【详解】解：根据折叠的过程发现中间的长度有5个宽则在开始折叠时起点与点的距离为：故答案为：【点睛】本题考查翻折变换（折叠问题） 解析：2552x - 【分析】按图中方式折叠后，可得到除去两端，纸条使用的长度为5个宽，由此解题即可．【详解】解：根据折叠的过程，发现中间的长度有5个宽，则在开始折叠时起点M 与点A 的距离为：2552x -， 故答案为：2552x -． 【点睛】本题考查翻折变换（折叠问题），是重要考点，难度较易，掌握相关知识是解题关键．15．75【分析】由将正方形纸片对折折痕为MN 可得MA=MD=由折叠得AB=AH 由四边形ABCD 是正方形得AD=AB 可推出AH=AD=2AM 可求∠AHM=30°利用平行线性质可求∠BAH=30°在△AHB解析：75．【分析】由将正方形纸片对折，折痕为MN ，可得MA=MD=1AD 2，由折叠得AB=AH 由四边形ABCD 是正方形得AD=AB ，可推出AH=AD=2AM ，可求∠AHM=30°，利用平行线性质可求∠BAH=30°，在△AHB 中，AH=AB 由内角和可求∠ABH=75︒即可．【详解】解:∵正方形纸片对折，折痕为MN ，∴MN 是AD 的垂直平分线 ，∴MA=MD=1AD 2， ∵把B 点折叠在折痕MN 上，折痕为AE ，点B 在MN 上的对应点为H ，∴AB=AH ，∵四边形ABCD 是正方形 ，∴AD=AB ，∴AH=AD=2AM ，∵∠AMH=90°，AM=1AH 2， ∴∠AHM=30°，∵MN ∥AB ，∴∠BAH=30°，在△AHB 中，AH=AB ， ∴∠ABH=()()11180BAH 180307522︒-∠=︒-︒=︒． 故答案为：75．【点睛】 本题考查正方形折叠问题，涉及垂直平分线，正方形性质，等腰三角形性质，三角形内角和，关键是30°角所对直角边等于斜边一半逆用求角度．16．9cm12cm34cm36cm 【分析】（1）根据平行四边形对角线互相平分对边相等可得结果；（2）根据△AOB 的周长和AB 的长度得到AO+BO 从而得到AC+BD 【详解】解：（1）在平行四边形ABCD 中解析：9cm 12cm 34cm 36cm【分析】（1）根据平行四边形对角线互相平分，对边相等可得结果；（2）根据△AOB 的周长和AB 的长度，得到AO+BO ，从而得到AC+BD ．【详解】解：（1）在平行四边形ABCD中，∵AC=18cm，BD=24cm，∴AO=12AC=9cm=CO，BO=12BD=12cm=DO，∵AB=13cm，∴CD=13cm，∴COD△的周长为CO+DO+CD=9+12+13=34cm，故答案为：9cm，12cm，34cm；（2）∵△AOB的周长为30cm，∴AB+AO+BO=30cm，∵AB=12cm，∴AO+BO=30-12=18cm，∴AC+BD=2AO+2BO=36cm．【点睛】此题考查了平行四边形的性质：平行四边形的对角线互相平分，平行四边形的对边相等．17．13【分析】根据正方形的面积可用对角线进行计算解答即可【详解】解：连接ACBD交于点O∵四边形ABCD是菱形∴AC⊥BDAO=COBO=DO∵正方形AECF的面积为50cm2∴AC2=50∴AC=1解析：13【分析】根据正方形的面积可用对角线进行计算解答即可．【详解】解：连接AC，BD交于点O，∵四边形ABCD是菱形，∴AC⊥BD，AO=CO，BO=DO，∵正方形AECF的面积为50cm2，∴12AC2=50，∴AC=10cm，∴AO=CO=5cm，∵菱形ABCD的面积为120cm2，∴12×AC×BD=120，∴BD=24cm，∴BO=DO=12cm，∴AB，故答案为13．【点睛】本题考查正方形的性质，菱形的性质，关键是根据正方形和菱形的面积进行解答．18．【分析】由四边形ABCD是平行四边形得到∠ABC=∠D=102°再AD=AE=BE 得出∠EAB=∠EBA∠BEC=∠BCA继而得到∠ACB=2∠BAC再根据∠BAC+∠ACB=3∠BAC=180°-解析：26︒【分析】由四边形ABCD是平行四边形，得到∠ABC=∠D=102°，再AD=AE=BE，得出∠EAB=∠EBA，∠BEC=∠BCA，继而得到∠ACB=2∠BAC，再根据∠BAC+∠ACB=3∠BAC=180°-∠ABC求解即可．【详解】解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD=BC，∠ABC=∠D=102°，∵AD=AE=BE，∴BC=AE=BE，∴∠EAB=∠EBA，∠BEC=∠BCA，∵∠BEC=∠EAB＋∠EBA=2∠EAB，∴∠ACB=2∠BAC，∴∠BAC+∠ACB=3∠BAC=180°-∠ABC=180°-102°=78°，∴3∠BAC=78°，即∠BAC=26°，故答案为：26°．【点睛】本题考查平行四边形的性质、三角形外角的性质、等腰三角形的性质，解题的关键是综合运用相关知识．19．3【分析】首先结合作图的过程确定BP是∠ABD的平分线然后根据角平分线的性质求得点P到BD的距离即可【详解】结合作图的过程知：BP平分∠ABD∵∠A＝90°AP＝3∴点P到BD的距离等于AP的长为3解析：3【分析】首先结合作图的过程确定BP是∠ABD的平分线，然后根据角平分线的性质求得点P到BD 的距离即可．【详解】结合作图的过程知：BP平分∠ABD，∵∠A＝90°，AP＝3，∴点P到BD的距离等于AP的长，为3，故答案为：3．【点睛】考查了尺规作图的知识及角平分线的性质、矩形的性质等知识，解题的关键是根据图形确定BP平分∠ABD．20．15【分析】由平行四边形的性质和角平分线得出∠ABF=∠AFB得出AF=AB=8同理可得DE=DC=8再由EF的长即可求出BC的长【详解】解：∵四边形ABCD是平行四边形∴AD∥BCDC=AB=8A解析：15【分析】由平行四边形的性质和角平分线得出∠ABF=∠AFB，得出AF=AB=8，同理可得DE=DC=8，再由EF的长，即可求出BC的长．【详解】解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，DC=AB=8，AD=BC，∴∠AFB=∠FBC，∵BF平分∠ABC，∴∠ABF=∠FBC，则∠ABF=∠AFB，∴AF=AB=8，同理可证：DE=DC=8，∵EF=AF+DE-AD=1，即8+8-AD=1，解得：AD=15；故答案为：15．【点睛】本题主要考查了平行四边形的性质、等腰三角形的判定；熟练掌握平行四边形的性质，证出AF=AB是解决问题的关键．三、解答题21．（1）10；（2）①见解析；②36【分析】（1）依据平行线的性质以及角平分线的定义即可得到DP＝AD＝5，CP＝BC＝5，进而得出AB的长；（2）①根据题意画出图形；②依据平行线的性质以及角平分线的定义即可得到AB＝QB，再根据BP平分∠ABQ，即可得出BP⊥AQ，AP＝QP，依据勾股定理得出AP的长，进而得到△ABQ的周长．【详解】解：（1）∵在□ABCD中，AD＝5，∴BC＝5，∵AB∥CD，∴∠BAP＝∠DPA，∵AP平分∠BAD，∴∠BAP＝∠DAP，∴∠DAP＝∠DPA，∴DP＝AD＝5，同理可得，CP＝BC＝5，∴CD＝10，∴AB＝10；（2）①如图所示：②∵AD∥BQ，∴∠Q＝∠DAP，又∵∠DAP＝∠BAP，∴∠Q＝∠BAP，∴AB＝QB＝10，又∵BP平分∠ABQ，∴BP⊥AQ，AP＝QP，∴Rt△ABP中，22AB BP-，∴AQ＝16，∴△ABQ的周长为：16+10+10＝36．【点睛】本题主要考查了平行四边形的性质以及勾股定理的运用，解题时注意：平行四边形的对边平行，对边相等．22．（1）①见解析；②见解析；（2）6.5【分析】（1）①以A为圆心，小于AB的长度为半径画圆，交AB、AC于两个点，再分别以这两个点为圆心，一样的半径画弧，交于一点，连接这个点与点A，即可得到BAC∠的平分线，再画出它与BC的交点D；②作线段AC的垂直平分线，即可找到线段AC的中点E，连接DE；（2）由等腰三角形“三线合一”的性质得152BD BC==，AD BC⊥，用勾股定理求出AB的长，再根据中位线的性质得到DE的长．【详解】解：（1）①如图所示：②如图所示：（2）∵AB AC =，AD 平分BAC ∠， ∴152BD BC ==，AD BC ⊥， 在Rt ABD △中，2213AB AD BD =+=， ∵E 、D 分别是AC 和BC 的中点， ∴1 6.52DE AB ==， 故答案是：6.5．【点睛】 本题考查等腰三角形的性质，中位线的定理，以及角平分线和垂直平分线的作法，解题的关键是熟练掌握这些几何的性质定理以及作图方法．23．（1）如图所示，见解析；（2）见解析；（3）当AB 2AC 时，矩形BECD 是正方形，证明见解析．【分析】（1）根据角平分线及垂线的作图方法依次作图；（2）根据CD 是AB 的垂直平分线，推出∠CDB =90°，AC =BC ，利用CN 平分∠BCM 求出∠DCN =∠DCB +∠BCN =90°，由BE ⊥CN 求得∠BEC =90°，即可得到结论；（3）当AB 2时，矩形BECD 是正方形，由AD =BD ，AB 2AC ，求得BD 2AC ，根据AD ⊥CD ，∠CDB =90°，推出BD =CD ，由此得到矩形BECD 是正方形．【详解】（1）解：如图所示，（2）证明：∵ CD 是AB 的垂直平分线，∴ CD ⊥BD ，AD =BD ，∴ ∠CDB =90°，AC =BC ，∴ ∠DCB =12∠ACB ， ∵ CN 平分∠BCM ， ∴∠BCN =12∠BCM ， ∵∠ACB +∠BCM =180°， ∴∠DCN =∠DCB +∠BCN =12（∠ACB +∠BCM ）=90°， ∵ BE ⊥CN ，∴ ∠BEC =90°，∴ 四边形BECD 是矩形；（3）当AB 2时，矩形BECD 是正方形∵ AD =BD ，AB 2AC ，∴ BD 2， ∵ AD ⊥CD ，∠CDB =90°，∴ BD =CD ，∴ 矩形BECD 是正方形．【点睛】此题考查作图—角平分线、垂线，矩形的判定定理，正方形的判定定理，正确作图及熟练掌握矩形和正方形的判定定理是解题的关键．24．（1）BDE 是等腰三角形，证明见解析；（2）3AE =．【分析】（1）根据折叠的性质可知EBD DBC ∠=∠，又因为//AD BC ，可知ADB DBC ∠=∠，即推出ADB EBD ∠=∠，所以BE DE =，BDE 为等腰三角形．（2）设AE x =，则8BE DE x ==-，在Rt ABE △中根据勾股定理列出等式，解出x即可．【详解】（1）BDE 是等腰三角形，理由是：由折叠得：EBD DBC ∠=∠，∵四边形ABCD 是矩形，∴//AD BC ，∴ADB DBC ∠=∠，∴ADB EBD ∠=∠，∴BE DE =，∴BDE 是等腰三角形．（2）设AE x =，则8BE DE x ==-， ∵四边形ABCD 是矩形，∴90A ∠=︒，∴在Rt ABE △中，222AB AE BE +=，即2224(8)x x +=-，解得：3x =，∴3AE =．【点睛】本题考查翻折的性质，矩形的性质，等腰三角形的判定以及勾股定理．根据翻折的性质间接证明出BE DE =是解答本题的关键．25．（1）见解析；（2）等边三角形，理由见解析【分析】（1）由菱形ABCD 边长与对角线都是2，知ABD △和BCD △都是等边三角形．可得60BDE BCF ∠=∠=︒，BD BC =，可证BDE BCF △≌△；（2）由BDE BCF △≌△，得DBE CBF ∠=∠，BE BF =，利用=60DBF DBE DBF CBF ∠+∠=∠+∠︒．可证BEF 为等边三角形．【详解】（1）证明：∵菱形ABCD 的边长为2，2BD =，∴ABD △和BCD △都是等边三角形．∴60BDE BCF ∠=∠=︒，BD BC =，∵2AE DE AD +==，而2AE CF +=，∴DE CF =，∴BDE BCF △≌△；（2）解：BEF 为等边三角形．理由如下：∵BDE BCF △≌△，∴DBE CBF ∠=∠，BE BF =，∵60DBC DBF CBF ∠=∠+∠=︒°，∴60DBF DBE ∠+∠=︒．即60EBF ∠=︒．∴BEF 为等边三角形．【点睛】 本题考查菱形的性质，等边三角形的判定与性质，三角形全等判定与性质，掌握菱形的性质，等边三角形的判定与性质，三角形全等判定与性质是解题解题关键．26．（1）22.5︒；（2）见解析.【分析】（1）用正方形对角线平分对角，等腰三角形性质计算即可；（2）借助正方形的性质，证明三角形全等，运用等角对等边证明即可.【详解】（1）∵ABCD 为正方形，∴45ABE ∠=︒．又∵AB BE =， ∴()11804567.52BAE ∠=⨯︒-︒=︒． ∴9067.522.5DAE ∠=︒-︒=︒（2）证明：∵正方形ABCD 关于BD 对称，∴ABE CBE △△≌，∴BAE BCE ∠=∠．又∵90ABC AEF ∠=∠=︒，∴BAE EFC ∠=∠，∴BCE EFC ∠=∠，∴CE EF =．【点睛】本题考查了正方形的性质，等腰三角形的性质，三角形的全等，等腰三角形的判定，运用正方形的性质，证明三角形的全等是解题的关键.。
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平行四边形 如图，
ABCD 的对角线AC ，BD 相交于点O ，EF 过点O ，与BC ，AD 分别相交
于点E ，F ，• 求证：OE=OF ．
如图，在平行四边形ABCD 中，DB ＝DC ，∠C ＝70°，AE ⊥BD 于E ，求∠DAE 的度数.
已知：如图所示，平行四边形ABCD 的对角线AC ，BD 相交于点O ，EF 经过点O 并且分别和AB ，CD 相交于点E ，F ，点G ，H 分别为OA ，OC 的中点．求证：四边形EHFG 是平行四边形．
E
A
B
C
D
O
M A
B
C
D
如图所示，在四边形ABCD 中，M 是BC 中点，AM 、BD 互相平分于点O ，那么请说明AM=DC 且AM ∥DC 矩形
如图所示，在△ABC 中，∠ABC=90°，BD 是△ABC 的中线，延长BD 到E ，使DE=BD ，连结AE ，CE ，求证：四边形ABCE 是矩形．
如图，矩形ABCD 中，AB =3，BC =4，点E 是BC 边上一点，连接AE ，把∠B 沿AE 折叠，使点B 落在点B ′处，当△CEB ′为直角三角形时，求BE 的长
E C
D
B
A
B ′
M
G H
A B
C D
如图，折叠长方形的一边，使点 落在边上的点处， ，，
求：
（1）
的长；（2）
的长.
正方形
如图所示不，在正方形ABCD 中，M 是BC 上一点，连结AM ，作AM 的垂直平分线GH 交AB 于G ，交CD 于H ，若AM ＝10cm ，求GH 的长。
菱形
如图，在菱形ABCD 中，E 是AB 的中点，且a AB AB DE =⊥,，求：（1）ABC ∠的度数；（2）对角线AC 的长；（3）菱形ABCD 的面
如图，在Rt △ABC 中， 90=∠ACB ，E 为AB 的中点，四边形BCDE 是平行四
边形．求证：AC 与DE 互相垂直平分
例6、如图，在是△ABC 中，∠ACB=90°，BC 的垂直平分线DE 交BC 于D ，交AB 于E ，点F 在直线DE 上，AF=CE ．（1）说明，四边形ACEF 是平行四边形；（2）当∠B 的大小满足什么条件时，四边形ACEF 是菱形？说明理由． （3）四边形ACEF 可能是正方形吗？说明理由．
C
D E
A B
F。