二次函数专题讲座(完整资料).doc
(完整word版)九年级数学上册二次函数讲义
初三数学二次函数讲义一、二次函数概念：21•二次函数的概念：一般地，形如y ax bx c （a, b , c是常数，a 0 ）的函数，叫做二次函数。
这里需要强调：和一元二次方程类似，二次项系数 a 0，而b, c可以为零•二次函数的定义域是全体实数.2. 二次函数y ax2 bx c的结构特征：⑴ 等号左边是函数，右边是关于自变量x的二次式，x的最高次数是2.⑵a ,b ,c是常数，a是二次项系数，b是一次项系数，c是常数项.二、二次函数的基本形式21. 二次函数基本形式：y ax的性质：a的绝对值越大，抛物线的开口越小。
22. y ax c的性质:上加下减。
23. y a x h的性质:左加右减。
4. y a x h k 的性质:a 的符号开口方向 顶点坐标 对称轴 性质a 0向上h , kX=hx h 时，y 随x 的增大而增大；x h 时，y 随 x 的增大而减小；x h 时，y 有最小值k .a 0向下 h , k X=hx h 时，y 随x 的增大而减小；x h 时，y 随 x 的增大而增大；x h 时，y 有最大值k .三、二次函数图象的平移1.平移步骤：2方法一：⑴ 将抛物线解析式转化成顶点式 y a x h k ，确定其顶点坐标 h , k ；⑵保持抛物线y ax 2的形状不变，将其顶点平移到h ，k 处，具体平移方法如下:2.平移规律 在原有函数的基础上 ’h 值正右移，负左移；k 值正上移，负下移”. 概括成八个字“左加右减，上加下减”方法二：2 2⑴y ax bx c 沿y 轴平移：向上(下)平移 m 个单位，y ax bx c 变成2 2y ax bx c m (或 y ax bx cm ) ⑵y ax 2 bx c 沿轴平移：向左(右)平移 m 个单位，y ax 2 bx c 变成y a(x m)2 b(x m) c (或 y a(x m)2 b(x m) c )四、二次函数y a x h? k 与y ax 2 bx c 的比较ax 2 bx c 是两种不同的表达形式，后者通过配方可以得到前y=ax 2y=a(x h)2向右(h>0)【或左(h<0)】 平移|k|个单位*y=a (x h)2+k从解析式上看, 向上(k>0) 【或下(k<0)】平移|k|个单位 向上(k>0)【或下(k<0)】平移|k|个单位向右(h>0)【或左(*0)】平移|k|个单位向右(h>0)【或左(h<0)】 平移|k|个单位向上(k>0)【或向下24ac b24a，其中hb 4ac b2£五、二次函数y ax 2 bx c 图象的画法五点绘图法：利用配方法将二次函数y ax 2bx c 化为顶点式y a （x h ）2k ,确定其开口方向、对称轴及顶点坐标，然后在对称轴两侧，左右对称地描点画图.一般我们选取的五点为：顶点、与y 轴 的交点0, c 、以及0, c 关于对称轴对称的点 2h ，c 、与x 轴的交点x i, 0， X 2, 0 （若与x 轴 没有交点，则取两组关于对称轴对称的点）画草图时应抓住以下几点：开口方向，对称轴，顶点，与 x 轴的交点，与y 轴的交点.六、二次函数y ax 2bx c 的性质x 的增大而增大；当 x —时，y 随x 的增大而减小；当x2a七、二次函数解析式的表示方法1.一般式： 2y ax bx c ( a , b , c 为常数， a 0 )； 2.顶点式： y a(x h)2 k ( a , h , k 为常数， a 0)； 3.两根式： y a(x xj(x X 2) (a 0, X i , X 2 是抛物线与x 轴两交点的横坐标） 注意：任何二次函数的解析式都可以化成一般式或顶点式，但并非所有的二次函数都可以写成交点式，只 有抛物线与x轴有交点，即b 2 4ac 0时，抛物线的解析式才可以用交点式表示•二次函数解析式 的这三种形式可以互化•八、二次函数的图象与各项系数之间的关系1. 二次项系数a二次函数y ax bx c 中，a 作为二次项系数，显然 a 0 • ⑴ 当a 0时，抛物线开口向上， a 的值越大，开口越小，反之 a 的值越小，开口越大； ⑵ 当a 0时，抛物线开口向下，a 的值越小，开口越小，反之 a 的值越大，开口越大.总结起来，a 决定了抛物线开口的大小和方向， a 的正负决定开口方向，a 的大小决定开口的大小.2. 一次项系数b在二次项系数a 确定的前提下，b 决定了抛物线的对称轴.⑴在a0的前提下， 当—0 y 轴左1•当a 0时，抛物线开口向上，对称轴为xw ，顶点坐标为b4ac b 2 2a ，4a当x —时，y 随x 的增大而减小；当x2a2值 4ac b .4a—时，y 随x 的增大而增大；当x —时，y 有最小 2a 2a2•当a 0时，抛物线开口向下，对称轴为x—,顶点坐标为2ab 4ac b 22a 4a当x —时，y 随2ay 有最大值24ac b 4a2当b 0时，—0 ,2a即抛物线的对称轴就是y轴；总之，只要a, b , c 都确定，那么这条抛物线就是唯一确定的.二次函数解析式的确定：根据已知条件确定二次函数解析式，通常利用待定系数法•用待定系数法求二次函数的解析式必须根 据题目的特点，选择适当的形式，才能使解题简便.一般来说，有如下几种情况：已知抛物线上三点的坐标，一般选用一般式；已知抛物线顶点或对称轴或最大（小）值，一般选用顶点式； 已知抛物线与x 轴的两个交点的横坐标，一般选用两根式； 已知抛物线上纵坐标相同的两点，常选用顶点式2y a x h k 关于y 轴对称后，得到的解析式是当b0时， b20 ,即抛物线对称轴在 y 轴的右侧.⑵在a0的前提下，结论刚好与上述相反，即当b0时， b 2a, 即抛物线的对称轴在y 轴右侧;当b0时， b 2a, 即抛物线的对称轴就是 y 轴； 当b0时，b 20,即抛物线对称轴在y 轴的左侧.ab 的符号的判定：对称轴b 决定了抛物线对称轴的位置. K——在y 轴左边则ab 0,2a在y 轴的右侧则ab 0,概括的说就是“左同右异” 总结： 3.常数项c⑴当c ⑵当c ⑶当c 总结起来，抛物线与 抛物线与 抛物线与 y 轴的交点在x 轴上方，即抛物线与 y 轴的交点为坐标原点，即抛物线与 y 轴的交点在x 轴下方，即抛物线与 0时， 0时，0时， c 决定了抛物线与 y 轴交点的位置.y 轴交点的纵坐标为正； y轴交点的纵坐标为0 ； y 轴交点的纵坐标为负.1. 2. 3. 4.九、 二次函数图象的对称1. 二次函数图象的对称一般有五种情况，可以用一般式或顶点式表达 关于x 轴对称2y ax bx 2axbx 2. y a x h 关于y 轴对称y ax 2 bx c 关于y 轴对称后，得到的解析式是 ax 2bx c ；总结起来，在a 确定的前提下,2h k 关于原点对称后，得到的解析式是 第4页共3.关于原点对称 y ax 2bx c 关于原点对称后，得到的解析式是 ax 2bx2y ax 2 bx c 关于顶点对称后，得到的解析式是y ax 2 bx c —;2a2 2y a x h k 关于顶点对称后，得到的解析式是 y a x h k .5. 关于点m, n 对称2y a x h k 关于点 m, n 对称后，得到的解析式是 y根据对称的性质，显然无论作何种对称变换，抛物线的形状一定不会发生变化，因此 a 永远不变.求抛物线的对称抛物线的表达式时，可以依据题意或方便运算的原则，选择合适的形式，习惯上是先确定原 抛物线（或表达式已知的抛物线）的顶点坐标及开口方向，再确定其对称抛物线的顶点坐标及开口方向， 然后再写出其对称抛物线的表达式.十、二次函数与一元二次方程：1.二次函数与一元二次方程的关系（二次函数与x 轴交点情况）：一元二次方程ax 2 bx c 0是二次函数y ax 2 bx c 当函数值y 0时的特殊情况.图象与x 轴的交点个数：①当 b 2 4ac 0时，图象与x 轴交于两点, 0 , B x ?, 0 （论x ?），其中的人,x 是一元二次② 当 0时，图象与x 轴只有一个交点； ③ 当0时，图象与x 轴没有交点.1'当a 0时，图象落在x 轴的上方，无论x 为任何实数，都有 y 0 ; 2'当a 0时，图象落在x 轴的下方，无论x 为任何实数，都有 y 0 .22. 抛物线y ax bx c 的图象与y 轴一定相交，交点坐标为 （0 , c ）;3.二次函数常用解题方法总结：⑴ 求二次函数的图象与 x 轴的交点坐标，需转化为一元二次方程；⑵ 求二次函数的最大（小）值需要利用配方法将二次函数由一般式转化为顶点式； ⑶ 根据图象的位置判断二次函数y ax 2 bx c 中a , b , c 的符号，或由二次函数中 a , b , c 的符号a x h 2m 2n k方程ax 2bx c 0 a 0的两根•这两点间的距离2判断图象的位置，要数形结合； ⑷ 二次函数的图象关于对称轴对称，可利用这一性质， 求和已知一点对称的点坐标，或已知与x 轴的一个交点坐标，可由对称性求出另一个交点坐标 ⑸ 与二次函数有关的还有二次三项式，二次三项式ax 2 bx c （a 0）本身就是所含字母 x 的二次函数；下面以a 0时为例，揭示二次函数、二次三项式和一元二次方程之间的内在联系：0抛物线与X轴有两个交点二次三项式的值可正、可零、可负一兀二次方程有两个不相等实根0抛物线与X轴只有一个交点二次三项式的值为非负一兀二次方程有两个相等的实数根0抛物线与X轴无交占八、、二次三项式的值恒为正一兀二次方程无实数根•二次函数图像参考:卜一、函数的应用刹车距离二次函数应用何时获得最大利润最大面积是多少y=2x2二次函数考查重点与常见题型1.考查二次函数的定义、性质，有关试题常出现在选择题中，如:已知以x 为自变量的二次函数 y (m 2)x 2 m 2m 2的图像经过原点，则m 的值是反比例、一次函数、二次函数的图像，习题的特点是在同一直角坐标系内考查 试题类型为选择题，如：3. 考查用待定系数法求二次函数的解析式，有关习题出现的频率很高，习题类型有中档解答题和选 拔性的综合题，如：5已知一条抛物线经过(0,3) , (4,6)两点，对称轴为x，求这条抛物线的解析式。
二次函数专题讲座-
二次函数专题讲座思维基础: （一）填空：1．二次函数2)3(212++=x y 的图象的开口方向是向，顶点从标是 ，对称轴是。
2．抛物线7)1(82-+--=m x m x y 的顶点在x 轴上，则m 的值等于 . 3.如果把第一条抛物线向上平移a 49个单位（a >0），再向左平移25个单位，就得到第二条抛物线2ax y =，已知第一条抛物线过点（0，4），则第一条抛物线的函数关系式是 ________.（二）选择：1.如图代13-3-1所示二次函数c bx ax y ++=2的图象，则有（ ）图代13-3-1 图代13-3-2A.a+b+c <0B.a+b+c=0C.a+b+c >0D.a+b+c 的符号不定2.如图1-3-2是抛物线c bx ax y ++=2的图象，则下列完全符合条件的是（ ）A.a <0，b <0，c >0，b 2<4ac B.a <0，b >0，c <0，b 2<4acC.a <0，b >0，c >0，b 2>4acD.a >0，b <0，c <0，b 2>4ac3．已知抛物线的对称轴为x=1，与x 轴、y 轴的三个交点构成的三角形的面积为6，且与y 轴的交点到原点的距离为3，则此二次函数的解析式为（ ）A.322++-=x x y 或322--=x x y B.322-+-=x x y 或322++=x x y C.322++-=x x y 或322-+=x x yD.332---=x x y 或322--=x x y学法指要：例 在直角坐标系中，二次函数m nx x y -++=224321的图象与x 轴交于A ，B 两点，与y 轴交于点C ，其中点A 在点B 的左边，若∠ACB=90°，1=+COBOAO CO .（1）求点C 的坐标及这个二次函数的解析式；（2）试设计两种方案，作一条与y 轴不生命，与△ABC 的两边相交的直线，使截得的 三角形与△ABC 相似，并且面积是△AOC 面积的四分之一.【思考】 （第一问）1.坐标轴上点的坐标有何特点？2.如何求抛物线与y 轴的交 点坐标？3.如何设出抛物线与x 轴的两个交点坐标？4.线段与坐标之间有何种关系？你会用坐标表示线段吗？【思路分析】 本例必须准确设出A ，B 两点坐标，再求出C 点坐标，并会用它们表 示线段的长，将代数问题转化为几何问题，再由几何问题转化为代数问题，相互转化，相互转化，水到渠成.解：（1）依题意，设A(a,0),B(,0)其中a <0, β>0，则a,β是方程,,90.22.02),2,0(,24321,021).2(2).2(2.02432122O AB CO ACB m m OC m m C x m nx x y a m a a BO AO m m nx x 于点其中轴有两个交点与抛物线的两个根⊥=∠-=-=∴<--∴-++=>=-=⋅-=⋅=⋅∴-=⋅∴=-++ βββα ∴△AOC ∽△COB 。
九年级数学上册二次函数讲义
初三数学 二次函数讲义一、二次函数概念：1．二次函数的概念：一般地，形如2y ax bx c =++（a b c ，，是常数，0a ≠）的函数，叫做二次函数。
这里需要强调：和一元二次方程类似，二次项系数0a ≠，而b c ，可以为零．二次函数的定义域是全体实数．2. 二次函数2y ax bx c =++的结构特征：⑴ 等号左边是函数，右边是关于自变量x 的二次式，x 的最高次数是2．⑵ a b c ，，是常数，a 是二次项系数，b 是一次项系数，c 是常数项． 二、二次函数的基本形式1. 二次函数基本形式：2y ax =的性质： a 的绝对值越大，抛物线的开口越小。
2. 2y ax c =+的性质： 上加下减。
3. ()2y a x h =-的性质：左加右减。
4. ()2y a x h k =-+的性质：三、二次函数图象的平移1. 平移步骤：方法一：⑴ 将抛物线解析式转化成顶点式()2y a x h k =-+，确定其顶点坐标()h k ，； ⑵ 保持抛物线2y ax =的形状不变，将其顶点平移到()h k ，处，具体平移方法如下：【或左(h <0)】向右(h >0)【或左(h 平移|k|个单位2. 平移规律在原有函数的基础上“h 值正右移，负左移；k 值正上移，负下移”． 概括成八个字“左加右减，上加下减”． 方法二：⑴c bx ax y ++=2沿y 轴平移:向上（下）平移m 个单位，c bx ax y ++=2变成m c bx ax y +++=2（或m c bx ax y -++=2）⑵c bx ax y ++=2沿轴平移：向左（右）平移m 个单位，c bx ax y ++=2变成c m x b m x a y ++++=)()(2（或c m x b m x a y +-+-=)()(2）四、二次函数()2y a x h k =-+与2y ax bx c =++的比较从解析式上看，()2y a x h k =-+与2y ax bx c =++是两种不同的表达形式，后者通过配方可以得到前者，即22424b ac b y a x a a -⎛⎫=++ ⎪⎝⎭，其中2424b ac b h k a a -=-=，．五、二次函数2y ax bx c =++图象的画法五点绘图法：利用配方法将二次函数2y ax bx c =++化为顶点式2()y a x h k =-+，确定其开口方向、对称轴及顶点坐标，然后在对称轴两侧，左右对称地描点画图.一般我们选取的五点为：顶点、与y 轴的交点()0c ，、以及()0c ，关于对称轴对称的点()2h c ，、与x 轴的交点()10x ，，()20x ，（若与x 轴没有交点，则取两组关于对称轴对称的点）.画草图时应抓住以下几点：开口方向，对称轴，顶点，与x 轴的交点，与y 轴的交点.六、二次函数2y ax bx c =++的性质1. 当0a >时，抛物线开口向上，对称轴为2bx a =-，顶点坐标为2424b ac b a a ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，．当2b x a <-时，y 随x 的增大而减小；当2b x a >-时，y 随x 的增大而增大；当2bx a=-时，y 有最小值244ac b a-．2. 当0a <时，抛物线开口向下，对称轴为2b x a =-，顶点坐标为2424b ac b a a ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，．当2bx a <-时，y 随x 的增大而增大；当2b x a >-时，y 随x 的增大而减小；当2b x a =-时，y 有最大值244ac b a-．七、二次函数解析式的表示方法1. 一般式：2y ax bx c =++（a ，b ，c 为常数，0a ≠）；2. 顶点式：2()y a x h k =-+（a ，h ，k 为常数，0a ≠）；3. 两根式：12()()y a x x x x =--（0a ≠，1x ，2x 是抛物线与x 轴两交点的横坐标）.注意：任何二次函数的解析式都可以化成一般式或顶点式，但并非所有的二次函数都可以写成交点式，只有抛物线与x 轴有交点，即240b ac -≥时，抛物线的解析式才可以用交点式表示．二次函数解析式的这三种形式可以互化.八、二次函数的图象与各项系数之间的关系1. 二次项系数a二次函数2y ax bx c =++中，a 作为二次项系数，显然0a ≠．⑴ 当0a >时，抛物线开口向上，a 的值越大，开口越小，反之a 的值越小，开口越大； ⑵ 当0a <时，抛物线开口向下，a 的值越小，开口越小，反之a 的值越大，开口越大．总结起来，a 决定了抛物线开口的大小和方向，a 的正负决定开口方向，a 的大小决定开口的大小． 2. 一次项系数b在二次项系数a 确定的前提下，b 决定了抛物线的对称轴． ⑴ 在0a >的前提下，当0b >时，02ba-<，即抛物线的对称轴在y 轴左侧；当0b =时，02ba-=，即抛物线的对称轴就是y 轴； 当0b <时，02ba->，即抛物线对称轴在y 轴的右侧． ⑵ 在0a <的前提下，结论刚好与上述相反，即 当0b >时，02ba->，即抛物线的对称轴在y 轴右侧； 当0b =时，02ba-=，即抛物线的对称轴就是y 轴； 当0b <时，02ba-<，即抛物线对称轴在y 轴的左侧． 总结起来，在a 确定的前提下，b 决定了抛物线对称轴的位置．ab 的符号的判定：对称轴abx 2-=在y 轴左边则0>ab ，在y 轴的右侧则0<ab ，概括的说就是“左同右异” 总结：3. 常数项c⑴ 当0c >时，抛物线与y 轴的交点在x 轴上方，即抛物线与y 轴交点的纵坐标为正； ⑵ 当0c =时，抛物线与y 轴的交点为坐标原点，即抛物线与y 轴交点的纵坐标为0； ⑶ 当0c <时，抛物线与y 轴的交点在x 轴下方，即抛物线与y 轴交点的纵坐标为负． 总结起来，c 决定了抛物线与y 轴交点的位置．总之，只要a b c ，，都确定，那么这条抛物线就是唯一确定的．二次函数解析式的确定：根据已知条件确定二次函数解析式，通常利用待定系数法．用待定系数法求二次函数的解析式必须根据题目的特点，选择适当的形式，才能使解题简便．一般来说，有如下几种情况：1. 已知抛物线上三点的坐标，一般选用一般式；2. 已知抛物线顶点或对称轴或最大（小）值，一般选用顶点式；3. 已知抛物线与x 轴的两个交点的横坐标，一般选用两根式；4. 已知抛物线上纵坐标相同的两点，常选用顶点式．九、二次函数图象的对称二次函数图象的对称一般有五种情况，可以用一般式或顶点式表达 1. 关于x 轴对称2y a x b x c =++关于x 轴对称后，得到的解析式是2y ax bx c =---；()2y a x h k =-+关于x 轴对称后，得到的解析式是()2y a x h k =---； 2. 关于y 轴对称2y a x b x c =++关于y 轴对称后，得到的解析式是2y ax bx c =-+；()2y a x h k =-+关于y 轴对称后，得到的解析式是()2y a x h k =++； 3. 关于原点对称2y a x b x c =++关于原点对称后，得到的解析式是2y ax bx c =-+-；()2y a x h k =-+关于原点对称后，得到的解析式是()2y a x h k =-+-； 4. 关于顶点对称（即：抛物线绕顶点旋转180°）2y a x b x c =++关于顶点对称后，得到的解析式是222b y ax bx c a=--+-；()2y a x h k =-+关于顶点对称后，得到的解析式是()2y a x h k =--+． 5. 关于点()m n ，对称()2y a x h k =-+关于点()m n ，对称后，得到的解析式是()222y a x h m n k =-+-+- 根据对称的性质，显然无论作何种对称变换，抛物线的形状一定不会发生变化，因此a 永远不变．求抛物线的对称抛物线的表达式时，可以依据题意或方便运算的原则，选择合适的形式，习惯上是先确定原抛物线（或表达式已知的抛物线）的顶点坐标及开口方向，再确定其对称抛物线的顶点坐标及开口方向，然后再写出其对称抛物线的表达式．十、二次函数与一元二次方程：1. 二次函数与一元二次方程的关系（二次函数与x 轴交点情况）：一元二次方程20ax bx c ++=是二次函数2y ax bx c =++当函数值0y =时的特殊情况. 图象与x 轴的交点个数：① 当240b ac ∆=->时，图象与x 轴交于两点()()1200A x B x ，，，12()x x ≠，其中的12x x ，是一元二次方程()200ax bx c a ++=≠的两根．这两点间的距离21AB x x =-.② 当0∆=时，图象与x 轴只有一个交点； ③ 当0∆<时，图象与x 轴没有交点.1' 当0a >时，图象落在x 轴的上方，无论x 为任何实数，都有0y >； 2'当0a <时，图象落在x 轴的下方，无论x 为任何实数，都有0y <． 2. 抛物线2y ax bx c =++的图象与y 轴一定相交，交点坐标为(0，)c ；3. 二次函数常用解题方法总结：⑴ 求二次函数的图象与x 轴的交点坐标，需转化为一元二次方程；⑵ 求二次函数的最大（小）值需要利用配方法将二次函数由一般式转化为顶点式；⑶ 根据图象的位置判断二次函数2y ax bx c =++中a ，b ，c 的符号，或由二次函数中a ，b ，c 的符号判断图象的位置，要数形结合；⑷ 二次函数的图象关于对称轴对称，可利用这一性质，求和已知一点对称的点坐标，或已知与x 轴的一个交点坐标，可由对称性求出另一个交点坐标. ⑸ 与二次函数有关的还有二次三项式，二次三项式2(0)ax bx c a ++≠本身就是所含字母x 的二次函数；下面以0a >时为例，揭示二次函数、二次三项式和一元二次方程之间的内在联系：二次函数图像参考：十一、函数的应用二次函数应用⎧⎪⎨⎪⎩刹车距离何时获得最大利润最大面积是多少2-32y=-2x 2y=3(x+4)22y=3x 2y=-2(x-3)2二次函数考查重点与常见题型1． 考查二次函数的定义、性质，有关试题常出现在选择题中，如：已知以x 为自变量的二次函数2)2(22--+-=m m x m y 的图像经过原点， 则m 的值是2． 综合考查正比例、反比例、一次函数、二次函数的图像，习题的特点是在同一直角坐标系内考查两个函数的图像，试题类型为选择题，如： 如图，如果函数b kx y +=的图像在第一、二、三象限内，那么函数12-+=bx kx y 的图像大致是（ ）3． 考查用待定系数法求二次函数的解析式，有关习题出现的频率很高，习题类型有中档解答题和选拔性的综合题，如： 已知一条抛物线经过(0,3)，(4,6)两点，对称轴为35=x ，求这条抛物线的解析式。
九年级上册二次函数专题讲义
九年级上册二次函数专题讲义一、二次函数概念二次函数是指形如y=ax²+bx+c（a，b，c是常数，且a≠0）的函数。
需要注意的是，和一元二次方程类似，二次项系数a≠0，而b，c可以为零。
例如，下列函数中哪些是二次函数：①y=3x²；②y=x²-x(1+x)；③y=x²(x²+x)-4；④y=1+x；⑤2xy=x(1-x)。
其中，例1需要判断每个函数的a，b，c值，而例2则是给定函数，需要判断m取何值时，该函数是关于x 的二次函数。
练1和练2则是练判断给定函数是否是关于x的二次函数，需要注意二次项系数a是否为零。
练3是已知点A在函数y=x-1的图像上，需要求出点A的坐标。
二、二次函数的基本形式二次函数的基本形式是y=ax²，它的图象是一条抛物线，有一条对称轴，对称轴和图象有一点交点，这个点叫做抛物线的顶点。
画出函数y=x的图象的步骤如下：首先列出函数对应值表，然后在直角坐标系中描点，最后用光滑的曲线连接各点得到函数的图象。
需要注意的是，抛物线与它的对称轴的交点就是抛物线的顶点。
通过观察比较函数y=x和y=-x的图象，可以得出它们关于y轴对称的结论；通过观察比较函数y=2x和y=-2x的图象，可以得出它们关于x轴对称的结论。
同时，可以发现这四个函数的图象都是抛物线，都有一条对称轴和一个顶点。
因此，结论是函数y=ax²的图象是一条抛物线，它关于y轴对称，它的顶点坐标是(0,0)。
当$a>0$时，抛物线$y=ax^2$开口向上，对称轴左侧，$y$随$x$的增大而增大；对称轴右侧，$y$随$x$的增大而减小；顶点是抛物线上位置最低的点。
当$x=-\frac{b}{2a}$时，函数值$y=ax^2$取得最小值，最小值是$-\frac{b^2}{4a}$。
当$a<0$时，抛物线$y=ax^2$开口向下，对称轴左侧，$y$随$x$的增大而减小；对称轴右侧，$y$随$x$的增大而增大；顶点是抛物线上位置最高的点。
数学北师大版八年级上册二次函数专题讲座1
在对称轴上找一点P，使得PB+PC的和最小， 求出P点坐标。
在对称轴上找一点P，使得PB－PC的差最 大，求出P点坐标.
连接AC，在第四象限找一点P，使得△ACP 面积最大，求P点坐标。
1、和最小问题利用的知识点即将军饮马问 题。 2、差最大问题应用知识点即三角形三边关 系定理。 3、面积最大问题，注意掌握利用铅垂距离 和水平距离乘积表示出三角形面积，同时 结合二次函数最值问题解答。
1、掌握利用二次函数解决路径最值问题 （差最大、和最小）及面积最大问题的一 般方法。 2、掌握二次函数与直角三角形相结合的动 点问题的解意问题。 4、巩固二次函数动点问题中分类讨论思想。
已知二次函数 ，求出二次 函数顶点坐标、对称轴、与x轴y轴的交点 坐标。
已知二次函数过Ａ（１,０）、Ｂ（－３,０） Ｃ（０,３）； １、求二次函数解析式； ２、在对称轴上找一点Ｐ，到PA+PC之和 最小； ３、在对称轴上找一点Ｐ，使PB—PC最大； 4、在抛物线上第二象限内找一点P，使 △APC面积最大.
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第一讲二次函数的定义知识点归纳：二次函数的定义：一般地，如果y ax2 bx c(a, b,c 是常数， a 0) ，那么y叫做x 的二次函数. 二次函数具备三个条件，缺一不可：（ 1）是整式方程；（ 2）是一个自变量的二次式；（3）二次项系数不为0考点：二次函数的二次项系数不为0，且二次函数的表达式必须为整式例 1、函数y=（m＋ 2 ）x m2 2＋2x－1是二次函数，则m=．例 2、下列函数中是二次函数的有（）1 1①y=x＋x；② y=3（ x－ 1）2＋ 2；③ y=（ x＋ 3）2－2x2；④ y= x2＋x．A．1 个B．2 个C．3 个D．4 个例 3、某商场将进价为 40 元的某种服装按 50 元售出时，每天可以售出 300 套．据市场调查发现，这种服装每提高 1 元售价，销量就减少 5 套，如果商场将售价定为 x，请你得出每天销售利润 y 与售价的函数表达式．例 4 、如图，正方形 ABCD 的边长为 4， P 是 BC 边上一点， QP⊥ AP 交 DC 于 Q，如果 BP=x ，△ ADQ 的面积为 y，用含 x 的代数式表示 y．训练题 :1、已知函数 y=ax 2＋ bx ＋ c （其中 a ， b ， c 是常数），当 a 当 a， b， c时，是正比例函数．2、若函数 y=(m 2+2m － 7)x 2+4x+5 是关于 x 的二次函数，则时，是二次函数；当m 的取值范围为a ， b。
时，是一次函数；3、已知函数 y=(m － 1)x2m +1+5x －3 是二次函数，求 m 的值。
4、已知菱形的一条对角线长为 a ，另一条对角线为它的3倍，用表达式表示出菱形的面积S 与对角线 a 的关系．5、请你分别给a ，b ，c 一个值，让yax 2bxc 为二次函数，且让一次函数y=ax+b的图像经过一、二、三象限6．下列不是二次函数的是（）1A ． y=3x2＋ 4 B ． y= －3 x 2 C ． y=x 25 D ． y= （x ＋ 1）（ x － 2）7．函数 y= （ m － n ）x 2 ＋mx ＋ n 是二次函数的条件是（）A ． m 、 n 为常数，且 m ≠0B ．m 、 n 为常数，且 m ≠ nC ． m 、 n 为常数，且 n ≠0D ． m 、n 可以为任何常数8．如图，校园要建苗圃，其形状如直角梯形，有两边借用夹角为135° 的两面墙，另外两边是总长为 30 米的铁栅栏．（1）求梯形的面积 y 与高 x 的表达式；（ 2）求 x 的取值范围．9．如图，在矩形 ABCD 中， AB=6cm ，BC=12cm ．点 P 从点 A 开始沿 AB 方向向点 B 以 1cm/s 的速度移动，同时，点 Q 从点 B 开始沿 BC 边向 C 以 2cm/s 的速度移动．如果P 、 Q 两点分别到达 B 、 C 两点停止移动，设运动开始后第 t 秒钟时，五边形 APQCD 的面积为 Scm 2，写出 S 与 t 的函数表达式，并指出自变量t 的取值范围．10．已知：如图，在 Rt△ ABC 中，∠ C=90 °， BC=4 ， AC=8 ．点 D 在斜边 AB 上，分别作DE ⊥ AC ， DF⊥ BC ，垂足分别为 E、F，得四边形 DECF ．设 DE=x ， DF=y ．（ 1）AE 用含y 的代数式表示为：AE= ；（ 2）求y 与 x 之间的函数表达式，并求出x 的取值范围；（ 3）设四边形DECF 的面积为S，求 S 与 x 之间的函数表达式．第二讲二次函数的图像和性质知识点归纳：1、求抛物线的顶点、对称轴的方法22 4ac b2（ 1）公式法：y ax 2 b 4ac b ，∴顶点是 b ，对称轴是直线bx c a x4a （，）2a 2a 4abx.2a（2）运用抛物线的对称性：由于抛物线是以对称轴为轴的轴对称图形，所以抛物线上对称点的连线的垂直平分线是抛物线的对称轴，对称轴与抛物线的交点是顶点.2、二次函数的图象及性质：（ 1）二次函数 y=ax 2 (a≠ 0）的图象是一条抛物线，其顶点是原点，对称轴是y 轴；当 a＞ 0 时，抛物线开口向上，顶点是最低点；当 a＜0 时，抛物线开口向下，顶点是最高点； a 越小，抛物线开口越大．（2）二次函数 y ax2 bx c的图象是一条对称轴平行 y 轴或者与 y 轴重合的抛物线．要会根据对称轴和图像判断二次函数的增减情况。
第8讲：二次函数(专题讲座)
（聚焦2008）第8讲：二次函数专题讲座（一）二次函数的解析式的三种形式（1）标准式：y=ax 2+bx+c （a ≠0）；（2）顶点式：y=a （x+m ）2+n （a ≠0）；（3）两根式：y=a （x －x 1）（x －x 2）（a ≠0）【例1】已知二次函数y=f （x ）同时满足条件：（1）f （1+x ）= f （1－x ）；（2）y=f （x ）的最大值是１５；（3）f （x ）＝０的两根立方和等于１７。
求y ＝f （x ）的解析式。
（二）二次函数的基本性质（1）二次函数f （x ）=a x 2+bx+c （a ≠０）的图像是一条抛物线，对称轴方程为x ＝－a b 2，顶点坐标是（－a b 2，acb ac 442-）。
当a ＞0时，抛物线开口向上，函数在(－∞，－a b 2]上递减，在[－ab 2，＋∞)上递增。
当a ＜0时，抛物线开口向下，函数在(－∞，－a b 2]上递增，在[－a b 2，＋∞)上递减。
（2）直线与曲线的交点问题：①二次函数f （x ）=a x 2+bx+c （a ≠０），当Δ＝b 2－４ac ＞0时，图像与x 轴有两个交点Ｍ１（x １，０）Ｍ２（x ２，０），于是｜Ｍ１Ｍ２｜＝｜x １－x ２｜＝||a ∆。
②若抛物线y=ax 2+bx+c （a ≠0）与直线y=mx+n ，则其交点由二方程组成的方程组的解来决定，而方程组的解由一元二次方程ax 2+bx+c =mx+n ，即px 2+qx+r=0的解来决定，从而将交点问题归结为判定一元二次方程的判别式Δ的符号决定。
特别地，抛物线与x 轴的交点情况由ax 2+bx+c=0的解的情况决定，于是也归结为判定一元二次方程ax 2+bx+c = 0的判别式Δ的符号问题。
当Δ= b 2－4ac>0时，方程ax 2+bx+c=0有两个不同的实数根，即对应的抛物线与x 轴有两个交点，此时二次函数的图像被x 轴截得的弦长L=|x 2－x 1|=||4)()(21212212a x x x x x x ∆=-+=-。
高中数学二次函数精华讲义
二次函数专题专题必需性： 高考取的好多题，常常最后都能转变为二次函数、一元二次方程和一元二次不等式问题，所以二次函数贯串整个高考取，需深度掌握。
基础知识回首1.给出函数表达式f xax 2 bx c ，第一需要考虑 a 能否等于 0，若 a0 ，则函数不是二次函数.2.二次函数的三种表现形式 1）一般式：2）极点式：y ax 2 bx c(a0)y a( x h) 2 k(a 0)此时二次函数的极点坐标为 ( h, k ) ；3）分解式： y a( x x 1 )( x x 2 ) 此中 x 1 、 x 2 是二次函数的与 x轴的两个交点的横坐标，此时二次函数的对称轴为直线 xx 1x 2.23.二次函数的图像与性质①张口方向：当 a 0 ，函数张口方向向上；当a0 ，函数张口方向向下；②对称轴： xb；2ab 2③极点坐标：（4ac b）； 若 图 象 与 x 轴 有 两 个 交 点 ， 分 别 为 M 1 (x 1,0) ， M 2 ( x 2 ,0) ， 则，2a4aM 1M 2 = x 1 x 2 =.a④增减性b2⑤最值 (xR) ：当 a 0 时，函数有最小值，而且当x， y min =4acb ；当 a0 时，函数有最大值，2a4ab2而且当 x 时， y max4ac b ；2a4a⑥与 x 轴的交点个数： 当 b 2 4ac >0 时，函数与 x 轴有两个不一样的交点；<0 时，函数 x 轴没有交点；=0时，函数与 x 轴有一个交点 .4.二次函数根的由来——配方法对 ax 2bx c0(a 0) 进行配方，变换为x 2b xc 0 ，因为完整平方是：a 2 2ab b 2a b 2 即a ax 2 2ax a 2 ( xa) 2 ，所以要变换为 x 2 b xb 2 b 2c 0 ，变换的要点点：一次项系数除以2 再整a4a 24a 2 a体 平 方 . ∴ (xb )2 b 2c b 24ac. 从 而 得 到 ， 在 b 24ac 0 时有解，xbb 2 4ac ； 若2a4a 2a 4a 22ab 24ac 0 ，此时无解 .5.有关一元二次方程鉴别式 b 24ac ，联系韦达定理1） >0 有两个不等实根；=0 表示有两个相等实根，<0 表示没有实数根， 实质就是 xa2p, p 0 的情况 .2） a 、 c 异号，此方程必定有两个解，且一根为正一根为负.3） a 、 b 异号时，两根相加为正数，表示两根在数轴上的中点大于 0. 4） a 、 b 同号时，两根相加为负数，表示两根在数轴上的中点小于 0.6.对于 y x 2 的特色和图象（幂函数的一种）1)张口向上的抛物线图形， 从原点（0,0）开始， x 1 时，曲线变化迟缓， 比yx要小（分数或小数相乘，越乘结果越小） ，当过（ 1,1）点以后，图象加快上涨，越向上越峻峭，斜率随 x 的绝对值增大而增添 .2)图象对于y轴对称.3)(0,0) 是图象的拐点， (,0] 上是减函数， (0, ) 上是增函数 .4)图象与 x 轴只有一个交点（ 0,0）。
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二次函数专题讲座
一、定义型问题
1、小明在课外学习时遇到这样一个问题：定义：如果二次函数y=a 1x 2+b 1x+c 1（a 1≠0，a 1，b 1，c 1是常数）与y=a 2x 2+b 2x+c 2（a 2≠0，a 2，b 2，c 2是常数）满足a 1+a 2=0，b 1=b 2，c 1+c 2=0，则称这两个函数互为“旋转函数”．
求函数y=﹣x 2+3x ﹣2的“旋转函数”．
小明是这样思考的：由函数y=﹣x 2+4x ﹣3可知，a 1=﹣1，b 1=4，c 1=﹣3，根据a 1+a 2=0，b 1=b 2，c 1+c 2=0，求出a 2，b 2，c 2，就能确定这个函数的“旋转函数”．
请参考小明的方法解决下面问题：
（1）直接写出函数y=﹣x 2+4x ﹣3的“旋转函数”；
（2）若函数2335y x mx =-+-与23y x nx n =-+互为“旋转函数”，求2015415m n +（）
的值； （3）设点A （m,n ）在抛物线上L ：2y ax bx c =++的图像上，证明：点A 关于原点的对称点在抛物线L 的“旋转函数”上。
（4）已知函数1142
y x x =-+（）(﹣）的图象与x 轴交于点A 、B 两点，与y 轴交于点C ，点A 、B 、C 关于原点的对称点分别是A 1，B 1，C 1，试证明经过点A 1，B 1，C 1的二次函数与函数1142
y x x =-+（）(﹣）互为“旋转函数”。
2、如果二次函数的二次项系数为l ，则此二次函数可表示为y=x2+px+q ，我们称
[p ，q]为此函数的特征数，如函数y=x2+2x+3的特征数是[2，3]．
（1）若一个函数的特征数为[﹣2，1]，求此函数图象的顶点坐标．
（2）探究下列问题：
①若一个函数的特征数为[4，﹣1]，将此函数的图象先向右平移1个单位，再向上平移1个单位，求得到的图象对应的函数的特征数．
②若一个函数的特征数为[2，3]，问此函数的图象经过怎样的平移，才能使得到的图象对应的函数的特征数为[3，4]？
二、几何图形与二次函数问题
如图，已知二次函数）1＜
-1
（+
y2的图象与x轴交于A、B两点（点
）
=
x
m
＜
m
（其中
m
-x
A在点B的左侧），与y轴交于点C，对称轴为直线l．设P为对称轴l上的点，连接PA、PC，PA=PC
（1）求∠ABC的度数；
（2）证明：△PAC是等腰直角三角形；
（3）在坐标轴上，是否存在点Q，使得△CBQ与△PAC全等，若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由.
三、二次函数中的面积最值问题
如图，二次函数y=ax2+bx的图象经过点A（2，4）与B（6，0）．
（1）求a，b的值；
（2）点C是该二次函数图象上A，B两点之间的一动点，横坐标为x（2＜x＜6），写出四边形OACB的面积S关于点C的横坐标x
的函数表达式，并求S的最大值．
四、二次函数中的线段最值问题
如图，抛物线2－bx +x 2
1=y 2与x 轴交于A 、B 两点，与y 轴交于C 点，且A （一1，0）．
⑴求抛物线的解析式及顶点D 的坐标；
⑵判断△ABC 的形状，证明你的结论； ⑶点P 是抛物线上对称轴l 上的一个动点，当PC+PA 的值最小时，求点P 的坐标．
(或问当△PAC 的周长最小时，求点P 的坐标及△PAC 周长的最小值)
五、实际问题与二次函数
某超市销售一种商品，成本每千克40元，规定每千克不低于成本，且不高于80元。
经市场调查，每天的销售量y （千克）与每千克售价x （元）满足一次函数关系，部分数据如下表：
（2）设商品每天的总利润为W（元），求W与x之间的函数表达式（利润＝收入－成本）
（3）试说明（2）中总利润W随售价x的变化而变化的情况，并指出售价为多少元时获得最大利润，最大利润是多少？。