二微分的几何意义-PPT课件
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应用数学第6章 第一节 二元函数-PPT精选文档
第六章 二元函数微分学
第一节 二元函数
二、二元函数的极限与连续
如果点 ( x , y ) 只取某些特殊方式，如沿一条给定的直线或给定的 曲线无限趋近于 ( x 0 , y 0 ) , 则即使这时函数值无限趋近于某一确 定的常数，也不能判定函数的极限就一定存在.
第六章 二元函数微分学
第一节 二元函数
y y0
x x0 yy0
时的极限，记作 ( )
lim f (x, y) A
或
f x, y A
, ,y xy x 0 0
( x , y ) 以任何方式趋近于 注意：在二元函数极限的定义中，
( x0 , y0 )
是指平的面上点 ( x , y ) 以任意路径无限趋近于点 ( x 0 , y 0 ) .
一元函数通常表示平面上的一条曲线． 二元函数z = f (x, y) , (x , y)D, 其定义域 D
y
y
图6-3
第六章 二元函数微分学
第一节 二元函数
二、二元函数的极限与连续
1. 二元函数的极限
x , y pxy ,0 0 时，对应的 0 二元函数的极限研究的是当点 p 函数值的变化趋势.由于二元函数的自变量有两个，自变量的变 化过程比一元函数的自变量变化过程更为复杂.这里 p p0 表示 点 p 以任何方式趋于点 p 0 ，也就是点 p 与点 p 0 间距离趋于0
图6-1
第六章 二元函数微分学
第一节 二元函数
一、二元函数的概念及几何意义
练习2 解 求二元函数 的定义域. 自变量 x, y 所取的值必须满足不等式
2 y 1 x
z arccos 2y x
y
且
x0
微分 PPT课件
3.复合函数的微分及微分形式不变性 性质3.9 设y f(u),u g(x)可微,则y f[g(x)]关于x可微, 且df[g(x)] f [g(x)] g(x)dx
微分形式的不变性
设函数 y f ( x)有导数 f ( x),
(1) 若x是自变量时, dy f ( x)dx;
(2) 若x是中间变量时, 即另一变量t的可 微函数x g(t), 则 dy f (x)g(t)dt
证 (1) 必要性 f ( x)在点x0可微,
y A x o(x),
y A o(x) ,
x
x
则 lim y A lim o(x) A.
x0 x
x0 x
即函数 f ( x)在点 x0可导, 且A f ( x0 ).
(2) 充分性 函数f ( x)在点x0可导,
y lim
x0 x
微分 dy叫做函数增量y的线性主部.
y A x o(x) dy o(x)(其中A与x无关)
y与dy的关系 (1) y dy o(x);(dy为y的线性主部) (2) 当A 0时,y ~ dy; (3) 当x很小时,y dy .
3.可微的条件
性质3.7 函数f (x)在点x0可微 f (x)在点x0处可导, 且 A f (x0 ).
d(secx) _s_e_c_x_ta_n__x__dx d(cscx) _-c_s_c_x_c_o_t_x_dx
d(_a_x_) ax lnadx 1
d(loga x) _x__ln__a1dx
d(_e_x_) exdx
1
d(l_n_x_) 1 dx,
x
d(lnx1) _x___dx
x 0.02
x 0.02
4.微分的几何意义
微分形式的不变性
设函数 y f ( x)有导数 f ( x),
(1) 若x是自变量时, dy f ( x)dx;
(2) 若x是中间变量时, 即另一变量t的可 微函数x g(t), 则 dy f (x)g(t)dt
证 (1) 必要性 f ( x)在点x0可微,
y A x o(x),
y A o(x) ,
x
x
则 lim y A lim o(x) A.
x0 x
x0 x
即函数 f ( x)在点 x0可导, 且A f ( x0 ).
(2) 充分性 函数f ( x)在点x0可导,
y lim
x0 x
微分 dy叫做函数增量y的线性主部.
y A x o(x) dy o(x)(其中A与x无关)
y与dy的关系 (1) y dy o(x);(dy为y的线性主部) (2) 当A 0时,y ~ dy; (3) 当x很小时,y dy .
3.可微的条件
性质3.7 函数f (x)在点x0可微 f (x)在点x0处可导, 且 A f (x0 ).
d(secx) _s_e_c_x_ta_n__x__dx d(cscx) _-c_s_c_x_c_o_t_x_dx
d(_a_x_) ax lnadx 1
d(loga x) _x__ln__a1dx
d(_e_x_) exdx
1
d(l_n_x_) 1 dx,
x
d(lnx1) _x___dx
x 0.02
x 0.02
4.微分的几何意义
大学微积分课件(PPT幻灯片版)pptx
高阶导数计算
高阶导数的计算一般采用归纳法 或莱布尼茨公式等方法进行求解。 需要注意的是，在计算过程中要 遵循求导法则和运算顺序。
应用举例
高阶导数在物理学、工程学等领 域有着广泛的应用。例如，在物 理学中，加速度是速度的一阶导 数，而速度是位移的一阶导数； 在工程学中，梁的挠度是荷载的 一阶导数等。
03 一元函数积分学
VS
几何意义
函数$y = f(x)$在点$x_0$处的导数 $f'(x_0)$在几何上表示曲线$y = f(x)$在点 $(x_0, f(x_0))$处的切线的斜率。
求导法则与技巧总结
基本求导法则
包括常数的导数、幂函数的导数、指数函数的导数、对数函数的导 数、三角函数的导数、反三角函数的导数等。
求导技巧
连续性与可微性关系
连续性
函数在某一点连续意味着函数在 该点有定义，且左右极限相等并 等于函数值。连续性是函数的基 本性质之一。
可微性
函数在某一点可微意味着函数在 该点的切线斜率存在，即函数在 该点有导数。可微性反映了函数 局部变化的快慢程度。
连续性与可微性关
系
连续不一定可微，但可微一定连 续。即函数的连续性是可微性的 必要条件，但不是充分条件。
历史发展
微积分起源于17世纪，由牛顿和莱布尼 茨独立发展。经过数百年的完善，已成 为现代数学的重要基础。
极限思想与运算规则
极限思想
极限是微积分的基本概念，表示函数在某一点或无穷远处的变 化趋势。通过极限思想，可以研究函数的局部和全局性质。
运算规则
极限的运算包括极限的四则运算、复合函数的极限、无穷小量 与无穷大量的比较等。这些规则为求解复杂函数的极限提供了 有效方法。
D2函数的微分课件
2.2.2 微分的应用当很小时,使用原则:得近似等式:
特别当
很小时,
常用近似公式:
证明:
令
得
特别当很小时,常用近似公式:很小)证明:令得
的近似值 .
解: 设
取
则
例4. 求
的近似值 .解: 设取则例4. 求
的近似值 .
解:
例5. 计算
的近似值 .解:例5. 计算
例6. 有一批半径为1cm 的球 ,
说明: 上述微分的问题就是我们在不定积分要研究的内容.
数学中的反问题往往出现多值性.
注意:
例2. 设求 解: 利用一阶微分形式不变性 , 有例3.
注
数学中的反问题往往出现多值性 , 例如
注数学中的反问题往往出现多值性 , 例如
2.2.2 微分的应用
当
很小时,
使用原则:
得近似等式:
为了提高球面的光洁度,
解: 已知球体体积为
镀铜体积为 V 在
时体积的增量
因此每只球需用铜约为
( g )
用铜多少克 .
估计一下, 每只球需
要镀上一层铜 ,
厚度定为 0.01cm ,
例6. 有一批半径为1cm 的球 , 为了提高球面的光洁度,
内容小结
1. 微分概念
微分的定义及几何意义
可微
可导
2.
5. 设
由方程
确定,
解:
方程两边求微分,
得
当
时
由上式得
求
则
5. 设由方程确定,解:方程两边求微分,得当时由上式得求6.
1. 已知
求
解：因为
所以
备用题
1. 已知求解：因为所以备用题
特别当
很小时,
常用近似公式:
证明:
令
得
特别当很小时,常用近似公式:很小)证明:令得
的近似值 .
解: 设
取
则
例4. 求
的近似值 .解: 设取则例4. 求
的近似值 .
解:
例5. 计算
的近似值 .解:例5. 计算
例6. 有一批半径为1cm 的球 ,
说明: 上述微分的问题就是我们在不定积分要研究的内容.
数学中的反问题往往出现多值性.
注意:
例2. 设求 解: 利用一阶微分形式不变性 , 有例3.
注
数学中的反问题往往出现多值性 , 例如
注数学中的反问题往往出现多值性 , 例如
2.2.2 微分的应用
当
很小时,
使用原则:
得近似等式:
为了提高球面的光洁度,
解: 已知球体体积为
镀铜体积为 V 在
时体积的增量
因此每只球需用铜约为
( g )
用铜多少克 .
估计一下, 每只球需
要镀上一层铜 ,
厚度定为 0.01cm ,
例6. 有一批半径为1cm 的球 , 为了提高球面的光洁度,
内容小结
1. 微分概念
微分的定义及几何意义
可微
可导
2.
5. 设
由方程
确定,
解:
方程两边求微分,
得
当
时
由上式得
求
则
5. 设由方程确定,解:方程两边求微分,得当时由上式得求6.
1. 已知
求
解：因为
所以
备用题
1. 已知求解：因为所以备用题
高等数学第二章：函数的微分
dx
26
注： 由导数的“微商”及一阶微分形式不变性,
(3) 通常把自变量x的增量x 称为自变量的 微分,记作 dx, 即 dx x. 什么意思？
例如： 已知 y x , 求 d y.
解 d y (x)x 1 x x, 由于 y x, 故得 d y d x x.
11
上例表明:
自变量的增量就是自变量的微分：x d x
y A x o(x),
lim y x0 x
lim A o(x)
x0
x
A.
即函数 f ( x)在点 x0可导,且A f ( x0 ).
7
定理 函数 f ( x)在点x0可微 函数 f ( x)
在点 x0处可导,且 A f ( x0 ),即有 dy f ( x0 )x.
(2) 充分性 函数f ( x)在点x0可导,
y lim
x0 x
f ( x0 ),
即 y x
f ( x0 ) , ( x 0,
0)
从而 y f ( x0 ) x (x),
f ( x0 ) x o(x),
函数 f ( x)在点 x0可微, 且 f ( x0 ) A.
d(u v) du dv
d(uv) vdu udv
d
u v
vdu udv v2
18
例 设 y ln( x e x2 ), 求dy.
解
y
1
x
2
xe ex
x
2
2
,
dy
1
x
《微积分》(上下册) 教学课件 02.第2章 导数与微分 高等数学第一章第3-5节
1
记作
f
(
x),
y,
d2y dx2
或
d
2 f (x) dx2
.
二阶导数的导数称为三阶导数,记作
f ( x),
y,
d3y dx3 .
三阶导数的导数称为四阶导数, 记作
f (4)(x),
y(4) ,
d4y dx4 .
一般地, 函数f ( x)的n 1阶导数的导数称为
函数f ( x)的n阶导数, 记作
f (n)(x),
10
一、微分的概念
实例 半径为 x的0 金属圆板受热后面积的改变量.
设半径由x0变到x0 x,
圆板的面积 A x02,
A (x0 x)2 x02
2x0 x (x)2.
(1)
(2)
(1) x的线性函数,且为A的主要部分;
(2) x的高阶无穷小,当x 很小时可忽略.
11
再例如
设函数 y x3在点 x0处的改变量为x时, 求函数的 改变量 y.
§2.3 高阶导数
问题 变速直线运动的加速度.
设 s s(t), 则瞬时速度为v(t) s(t)；
因为加速度a是速度v对时间t的变化率，所以
a(t) v(t) s(t).
定义 如果f (x)的导函数f (x)在点x处可导,即
( f (x)) lim f (x x) f (x)
x0
x
存在,则称( f (x))为f (x)在点x处的二阶导数.
dt dx
3a sin2 t cost 3a cos2 t(sint
)
tan t，
dt
d2y dx2
d (dy) dx dx
d ( tan t ) dx
高等数学大学数学——微分
微分形式的不变性： 由复合函数的微分法则可见，无论u是自变量还是 另一个变量的可微函数，微分形式dy f (u)du保持不变。 这一性质称为微分形式不变性。
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复合函数的微分法则：dyf (u)du或dyyudu。 例3． 例1 设y e
dy (e
a x b x2
函数的和差积商的微分法则： d(uv)dudv， d(uv)vduudv，
这是因为： d(uv)(uvuv)dx uvdxuvdx， 又 udxdu，vdxdv，
所以
d(uv)vduudv。
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铃
函数的和差积商的微分法则： d(uv)dudv， d(uv)vduudv， d(Cu)Cdu， u vdu udv d( ) (v 0)。 2 v v
y yf(x) N M a O
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T
dy Dy
Dx x0
返回
x0 +Dx
下页
x
结束 铃
三、微分法则
基本初等函数的微分公式： d(xm) mx m1dx， d(sin x) cos xdx，
1 d(log ax) dx， a x ln a 1 d(ln x) dx， x 1 1 d(arcsin x) d(arcsin x) dx， dx， 1 x 22 1 x 1 d(arccos x) dx， 1 x2 1 d(arctg x) dx， 2 1 x 1 d(arcctg x) dx。 2 1 x
§3.5 微 分
一、微分的定义 二、微分的几何意义 三、微分法则 四、微分在近似计算中的应用
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【精品PPT课件】微分几何
b
b
a
b m r (t )dt m r (t )dt
a
证明 因为x(t),y(t),z(t)为连续函数，所以在[a,b]上可积，由它对应 的向量函数也可积，且有
b
a
b b b r (t )dt e1 x(t )dt e2 y(t )dt e3 z (t )dt
微分几何
主讲人：周小辉
第一章
1、向量函数
曲线论
内 容 提 要
向量函数的极限、连续、微商、积分 2、曲线的概念
曲线、光滑曲线、曲线的切线和法面、自然参数。
3、空间曲线
3、1 空间曲线的密切平面 3、2 空间曲线的基本三棱形 3、3 空间曲线的曲率、挠率和伏雷内公式 3、4 空间曲线在一点邻近的结构 3、5 空间曲线的基本定理 3、6 一般螺线
回顾向量代数
一、向量的概念
1、向量的定义。
2、向量的表示
3、特殊向量（自由向量、单位向量、零向量、逆向量） 4、向量的坐标。 二、向量的运算 （几何意义）
1、加减法：a b {x1 x2 , y1 y2 , z1 z2} 2、数乘： a {x, y, z}
t t 0
2、向量函数的性质
(t ) 是一个实函数，并且 命题1如果r (t ) 和 s (t ) 是两个一元函数， 当 t t0 时，有 r (t ) a, s (t ) b , (t ) m 则有
（1）两向量之和（差）的极限等于极限之和（差）。
r (t ) s (t ) a b.
3、内积： a b a b cos(a, b ) x1 x2 y1 y2 z1 z2 4、外积：a b a b sin(a , b ), a , b 与a b 垂直, 成右手系 e1 e2 e3 y1 z1 z1 x1 x1 y1 a b x1 y1 z1 { , , } y 2 z 2 z 2 x2 x2 y 2 x2 y 2 z 2
b
a
b m r (t )dt m r (t )dt
a
证明 因为x(t),y(t),z(t)为连续函数，所以在[a,b]上可积，由它对应 的向量函数也可积，且有
b
a
b b b r (t )dt e1 x(t )dt e2 y(t )dt e3 z (t )dt
微分几何
主讲人：周小辉
第一章
1、向量函数
曲线论
内 容 提 要
向量函数的极限、连续、微商、积分 2、曲线的概念
曲线、光滑曲线、曲线的切线和法面、自然参数。
3、空间曲线
3、1 空间曲线的密切平面 3、2 空间曲线的基本三棱形 3、3 空间曲线的曲率、挠率和伏雷内公式 3、4 空间曲线在一点邻近的结构 3、5 空间曲线的基本定理 3、6 一般螺线
回顾向量代数
一、向量的概念
1、向量的定义。
2、向量的表示
3、特殊向量（自由向量、单位向量、零向量、逆向量） 4、向量的坐标。 二、向量的运算 （几何意义）
1、加减法：a b {x1 x2 , y1 y2 , z1 z2} 2、数乘： a {x, y, z}
t t 0
2、向量函数的性质
(t ) 是一个实函数，并且 命题1如果r (t ) 和 s (t ) 是两个一元函数， 当 t t0 时，有 r (t ) a, s (t ) b , (t ) m 则有
（1）两向量之和（差）的极限等于极限之和（差）。
r (t ) s (t ) a b.
3、内积： a b a b cos(a, b ) x1 x2 y1 y2 z1 z2 4、外积：a b a b sin(a , b ), a , b 与a b 垂直, 成右手系 e1 e2 e3 y1 z1 z1 x1 x1 y1 a b x1 y1 z1 { , , } y 2 z 2 z 2 x2 x2 y 2 x2 y 2 z 2
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f ( x ) x o ( x ) 故 y f ( x ) x x 0 0
即
d y f ( x ) x . 0
线性主部
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例2. 求函数 例1. 求 函 y 数 x在 x 1 和 yx 当 x2 ,
x 3 处 的. 微分
x x 0
2 x x ( x ) . 0
2
2 A x 0
x x 0
x0
(1 )
(2)
( 1 ) 是 x 的 线, 性 且 函 为 A 的 数 主; 要部分
2 ( x ) o( x ),则 (2) 当 x很小时 ,
A 2 x x . 0
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在点 x 0 可微 函数 y f(x ) y A x o ( x ) 记 说明:
d yA x
( 3 ) 当 A 0 时 , d y 与 y 是等价无穷小 ;
y o(x) 因为 1( x 0 ). 1 dy A x
( 4 ) A 是与 x 无关的常数 , 但与 f ( x ) 和 x 有关 ; 0
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3 再例如, 设函数 y x 在点 x 处的改变量 为 x 时 , 0
求函数的改变量 y .
3 3 y ( x x ) x 0 0
2 2 3 3 x x 3 x ( x ) ( x ) . 0 0
(1 )
(2)
2 ) 是 x 的高阶无穷小 o ( x ), 当 x很小时 , (
x 0 .02
3 x xx 2
2
x 0 .02
在 x = 3处的微分为
2 d y (x ) x 3
0 . 24 .
x . x6
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函数 yf( x )在任意点 x 的微分 ,称为函数的 , 记作 d y 或 d f( x ),即
d y f ( x ) x .
第二章
第五节 函数的微分
一、微分的定义 二、微分的几何意义 三、基本初等函数的微分公式与 微分运算法则
四、微分在近似计算中的应用
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一、微分的定义
实例: 正方形金属薄片受热后面积的改变量.
设边长由 x 变到 x x , 0 0
x0
x
( x ) 2
x
则面积增量
2 2 A (x x ) x 0 0
( 5 ) 当 x 很小时 , y d y( 线性主部 ).
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)在 x 0 可微的充要条件是 定理: 函数 y f(x
且 A f ( x ) ,即 y f(x ) 在点 x 0 0 处可导，
d y f ( x ) x 0
证: “必要性: 可微 可导 ” .
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三、基本初等函数的微分公式与微分运算法则
微分表达式 d y f ( x ) d x ,
微分的求法: 先计算函数的导数再乘以自变量的微分.
1. 基本初等函数的微分公式 (对照表)
导 数 公 式 ( C ) 0
1 ( x ) x
微 分 公 式 d ( C ) 0
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“充分性 : 可导
可微 ”.
已知 y f(x )在点 x 0 的可导, 则
y lim f (x0) x 0 x
lim g(x) B g(x) B ( lim 0)
y lim 0) f(x ( 0) x 0 x
1 d ( x ) x d x
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则 y 3 x x .
2 0
既容易计算又是较好的近似值
问题:这个线性函数(改变量的主要部分)是否所有 函数的增量都有?它是什么?如何求?
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定义: 若函数 y f(x )在点 x 0 的增量可表示为
y f ( x x ) f ( x ) A x o ( x ) 0 0
2
3
x 0 . 02 时的微分 .
解: ∵ d y f ( x ) x 0
(x ) 2x
2
解: d y f ( x ) x 0
(x ) 3x ,
3 2
yx 在 x1 处的 ∴ 函数 微分为
2
d yx 2
x 1
d y(x )
2
x 2 x;
( A 为不依赖于△x 的常数) 则称函数 y f(x ) 在点 x 0 可微, 而 A x 称为 f ( x ) 在
点 x 0 的相应于增量△x 的微分, 记作 d y 即
d yA x .
1 )d y 是自变量 x 的பைடு நூலகம்的线 增性 量 ; 函数 说明: (
( 2 ) y d y o ( x ) 是比 x 高阶无穷 ;
记作 d x , 即 d x x . 所以
通常把自变量 x 的增量 x 称为自变量的微分 ,
d y f ( x ) d x .
dy f (x). dx
即函数的微分 d y 与自变量的微分 d x 之商等于 该函数的导数 . 导数也叫 " 微商 ".
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二、微分的几何意义
如图,
y
T N
o ( x)
QP MQ tan
P
x f ( x ) 0
dy
o
y f( x )
）
M
d y y
x Q
x0
x x 0
x
dy 就 是 切 线 纵 坐 标 对 应 增的 量 .
当 x很小时 , 在点 M 的附近 , 切线段 MP 可近似代替曲线段 MN .
可微
可导
) 在点 x 0 可微 , 即 已知 y f(x
y A x o ( x ).
y o ( x ) lim lim ( A ) A . x 0 x 0 x x
故 y f(x ) 在点 x 0 的可导, 且 f(x A . 0)