微分几何第二章(1)
微分几何 2-1曲面的概念
微分方程: A(u, v)du2 +2B(u, v)dudv + C(u, v)dv 2 =0
当 [B(u, v)]2 A(u,v) C(u,v) >0时
表示曲面上的两族曲线——曲线网。
当 A C 0时，方程变为
dudv 0
它表示的曲线网就是曲面上的曲纹坐标网
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v (1,2)
1 3,1,2
14
, ,2
|
4 2 (1,2)
过点（1，2）的切平面方程是
[R r(1,2)] n(1,2) 0.
即 3x+y-2z-4=0.
3. 曲面上的曲线族和曲线网
曲面 r r(u,v)S上的曲线用方程 u(t),v v(t)
或 r r[ut , vt ] rt
ru (u ，v ） r（v u ，v ） 0
此时U内两坐标曲线构成的网为曲面的正规坐标网 命题1：曲面在正则点的邻域中总可以有形如
z = z(x, y)的表示 因为 ru (u ，v ） r（v u ，v ） 0，至少有一分量不为零
假设 （ （xu， ，yv） ） 0， 一对单值连续函数
则有隐函数存在定理有唯一
u和v称曲面上的点的曲纹坐标曲面上的点的曲纹坐标uu常数或常数或v常数在曲面上的常数在曲面上的象称为曲面的曲面的坐标曲坐标曲u常数而常数而vv变动的曲线叫变动的曲线叫vv线v常数而常数而uu变动的曲线叫变动的曲线叫uu成的网称为曲面上的成的网称为曲面上的曲纹坐标网曲纹坐标网曲纹坐标网曲纹坐标网坐标曲线坐标曲线曲线z常数即它是垂直于轴的平面和原柱面的交线它们都是圆
u （ u x，y），v （v x，y）
代入则有z = z(x, y)
微分几何答案(第二章)
第二章 曲面论§1曲面的概念1.求正螺面r ={ u v cos ,u v sin , bv }的坐标曲线.解 u-曲线为r ={u 0cos v ,u 0sin v ,bv 0 }=｛0,0，bv 0｝＋u {0cos v ,0sin v ,0}，为曲线的直母线；v-曲线为r ={0u v cos ,0u v sin ,bv }为圆柱螺线．２．证明双曲抛物面r ＝｛a （u+v ）, b （u-v ）,2uv ｝的坐标曲线就是它的直母线。
证 u-曲线为r ={ a （u+0v ）, b （u-0v ）,2u 0v }={ a 0v , b 0v ,0}+ u{a,b,20v }表示过点{ a 0v , b 0v ,0}以{a,b,20v }为方向向量的直线;v-曲线为r =｛a （0u +v ）, b （0u -v ）,20u v ｝=｛a 0u , b 0u ,0｝+v{a,-b,20u }表示过点(a 0u , b 0u ,0)以{a,-b,20u }为方向向量的直线。
3．求球面r =}sin ,sin cos ,sin cos {ϑϕϑϕϑa a a 上任意点的切平面和法线方程。
解 ϑr =}cos ,sin sin ,cos sin {ϑϕϑϕϑa a a -- ，ϕr=}0,cos cos ,sin cos {ϕϑϕϑa a -任意点的切平面方程为00cos cos sin cos cos sin sin cos sin sin sin cos cos cos =------ϕϑϕϑϑϕϑϕϑϑϕϑϕϑa a a a a a z a y a x即 xcos ϑcos ϕ + ycos ϑsin ϕ + zsin ϑ - a = 0 ；法线方程为ϑϑϕϑϕϑϕϑϕϑsin sin sin cos sin cos cos cos cos cos a z a y a x -=-=- 。
微分几何公式
第一章 小结⒈ 重要结论：1）)(t r 具有固定长0)()(='⋅⇔t r t r 2）)(t r 具有固定方向0)()(='⨯⇔t r t r 3）)(t r 平行于固定平面0),,(=''''''⇔r r r 4）)(0t r 的旋转速度)(0t r '= ⒉ 基本公式：1） 切线 αλρ+=r2） 法面 0)(=⋅-αr R 或0),,(=-γβ r R3） 弧长 ⎰'=tadt t r t s )()(4） 密切平面 0)(=⋅-γr R5） 从切平面 0)(=⋅-βr R6） 主法线 βλρ+=r 7） 副法线 γλρ +=r ⒊ 基本向量1）r r r ''== α 2）r r r r r r r r r rr ''⨯'''''⋅'-'''⋅'==)()(β 3）r r r r ''⨯'''⨯'=⨯=βαγ ⒋ )()(s s K τ Frenet 公式1）α ==r s K )( 3)(r r r t K '''⨯'= 2）2)(),,(r r r r r ''⨯'''''''= τ 3）Frenet 公式 ⎪⎩⎪⎨⎧-=+-==βτγγταββα K K ⒌ 基本定理1） 自然方程：)()(s s K K ττ==2） 基本定理：第二章 曲面论小结（一）一、曲面的第一基本形式 1. 曲面：（1）{})()()()(v u z v u y v u x v u r r ==)(:_)(:_00v u r r v v u r r u==曲线曲线 构成曲纹坐标网（2）)(:v u r r S=上[])()()(:)(t r t v t u r rc ==切向量：dtdvr dt du r t r v u +=')( 切平面：0)(0=-v ur r r R法 线：)(0v u r r r R⨯+=λ（3）曲线族：0)()(=+dv v u B du v uA曲线网：0)()(2)(22=++dv v u C dudv v u B du v u A 2. 第一基本形式（1）Ⅰ222Gdv Fdudv Edu ++=Ⅰ22ds r d ==（2）弧长 222Gdv Fdudv Edu ds r d ++==（3）dv r du r r d v u +=v r u r r v u δδδ +=rr d δ⋅v Gdv u dv v du F u Edu δδδδ+++=)(（4）曲纹坐标网为正交网0=⇔F（5）⎰⎰-=Ddudv F EG S 2σ （6）等距变换⇔适当选择参数后有21ⅠⅠ=（7）保角变换⇔221ⅠⅠλ=二、第二基本形式1. Ⅱr d n d r d n⋅-=⋅=2Ⅱ222Ndv Mdudv Ldu ++=()2FEG r r r r n r n L v u uu u u uu -=⋅-=⋅=()2F EG r r r n r M v u uv uv -=⋅=()2FEG r r r n r N v u vv vv -=⋅=2. 法曲率：==θcos k k n ⅠⅡ )(βθ n =3. Dupin 指标线1222±=++Ny Mxy Lx1）02>-M LN 椭圆点，椭圆. 2）02<-M LN 双曲点，一对共轭双曲线. 3） 02=-M LN 抛物点，一对平行直线.4）0===N M L 平点，Dupin 线不存在.4. 渐近方向与共轭方向1）使0=n k 的方向为渐近方向2）渐近曲线上每一点切方向都是渐近方向0222=++Ndv Mdudv Ldu3）曲面上曲线为渐近曲线⇔ 1）直线 2）v n ±=4）坐标网为渐近网⇔0==N L5）方向)(d 与)(δ共轭⇔0)(=+++v Ndv u dv v du M u Ldu δδδδ 或0=⋅r n dδ 或 0=⋅r d n δ6）坐标网为共轭网⇔0=M5. 主方向和曲率线1）主方向：)(d 与)(δ满足0=⋅r r d δ且 0=⋅n r dδ 或0=⋅r n d δ2）Rodrigues Th ：dv du d :)(=为主方向⇔r d k n d n-=3）曲率线方程 022=-NMLG F E du dudv dv4）坐标网为曲率线网⇔0==M F6. n k （主曲率）、K 、H1）欧拉公式 GN k ELk k k k n ==+=212221sin cos θθ 2）0)()2()(222=-++---M LN k NE MF LG k F EG N N3）2221F EG M LN k k k --=⋅=)(22)(21221F EG NG MF LG k k H -+-=+=7. 第三基本形式1）22222gdv fdudv edu n d ds ++=== ※Ⅲ v v u un g n n f n e=⋅==2 2）02=+-ⅠⅡⅢK H3）σσσ※P P k →=lim第二章 曲面论小结（二）一、直纹面： 1. )()()(u b v u a v u r+=)(u a a= 导线。
第四版微分几何第二章.课后答案解析
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第四版微分几何第二章课后习题答案
证明 螺面的第一基本形式为
I=2
du
2 +2 dudv+(
2
u
+1)
dv
2
,
旋转曲面的第一
2
基本形式为 I= (1
t
2
) dt 2 t 2 d , 在旋转曲面上作一参数变换
t1
t=
2
u
1 , 则其第一基本形式为 :
=arctgu + v ,
2
2
u (1
1u )
du 2
2
2
u u1
(u 2
1)(
1 2 du
| r x || r y |
2
a x0 y0
22
22
1 a x0 1 a y0
6. 求 u- 曲线和 v- 曲线的正交轨线的微分方程 . 解 对于 u- 曲线 dv = 0, 设其正交轨线的方向为 δu: δv , 则有 Eduδ u + F(du δv + dv δu)+ G d v δ v = 0, 将 dv =0 代入并消去 du 得 u- 曲线的 正交轨线的微分方程为 Eδ u + F δv = 0 . 同理可得 v- 曲线的正交轨线的微分方程为 Fδ u + G δv = 0 .
r
2 u
1， F
ru rv
0，
G
2
rv
2
u
b 2 ，∴
I=
2
du
2
(u
b 2 ) dv 2 ，∵Ｆ＝０，∴坐标曲线互相垂直。
３．在第一基本形式为 I = du 2 sinh 2 udv 2 的曲面上，求方程为 u=v 的曲线的 弧长。
微分几何--第二章1曲面的概念1.3曲面上的曲线族和曲线网
A(u, v)du B(u, v)dv 0
表示曲面上的一簇曲线——曲线族. 设 A 0 ，则有 du B(u, v) 解之得
(2.14)
dv A(u, v) u (v, c)
F (u, v)
其中，c为待定常数； 每一个c对应曲面上一条曲线，所以（2.14）表示一族曲线。 特别地， 当B = 0或 A = 0 时，有 d u = 0或 d v = 0 ， 此时为坐标曲线(P60) u = c 或 v = c。 此时（2.14）表示坐标曲线的方程。
2、二阶微分方程
A(u, v)du2 2B(u, v)dudv C(u, v)dv2 0
若 [ B(u, v)]2 A(u, v)C (u, v) 0
方程表示曲面上的两簇曲线 —— 曲线网。 设
du 2 du A 0 , 则 A( ) 2 B( ) C 0 dv dv 得 du B B 2 AC F1 (u, v)或F2 (u, v) dv A
消去 t ，可得曲面上曲线的方程为
u (v) ,或 v (u) ,或 f (u, v) 0
1、一阶线性微分方程
A(u, v)du B(u, v)dv 0
表示曲面上的一簇曲线——曲线族.
消去 t ，可得曲面上曲线的方程为
u (v) ,或 v (u) ,或 f (u, v) 0
分别解这两个一阶微分方程，可得两簇曲线，它们构成曲 面上的曲线网。
特别有 A C 0 时, dudv 0 , 它们表示坐标曲线,从而构成曲纹坐标网(P60)。
微分几何
主讲人：郭路军
第二章 曲面论
1、曲面的概念（简单曲面、光滑曲面、切平面和法线）
微分几何第二章曲面论2.1曲面的概念
2、二阶微分方程
2 2 A ( u , v ) du 2 B ( u , v ) dudv C ( u , v ) dv 0
2 若 [ B ( u , v )] A ( u , v ) C ( u , v ) 0
则表示曲面上的两簇曲线 —— 曲线网。
du du 2 设 A 0, 则 A ( ) 2 B ( ) dudv C 0 dv dv
y z u u y z v v z x u u z x v v
设曲面上任一点 r (u,v) 的径矢为 R (u,v)
x ( u ,v ) Y y ( u ,v ) Z z ( u ,v ) 用坐标表示为 X x y u u x y v v
若用 z = z (x,y) 表示曲面，则有
{ x , y , z ( x , y )} 如果用显函数 z = z ( x , y ) 表示曲面时，有 r
z z r { 1 , 0 , } { 1 , 0 , p } , r { 0 , 1 , } { 0 , 1 , q } x y x y
X x0 Y y0 Z z0 1 0 0 1 p0 q0 0
以下切方向几种表示通用：du : dv , (d) 和 r (t ) 。
( 由r t)r u
du dv r v dt dt
可以看出，切向量 r (t ) 与 ru , rv 共面，但过( u0 ,v0 )点 有无数条曲面曲线，因此在正常点处有无数方向，且有 命题2：曲面上正常点处的所有切方向都在过该点的坐标 曲线的切向量 ru , rv 所确定的平面上。 这个平面我们称作曲面在该点的切平面。
6、曲面上的测地线（测地曲率、测地线、高斯—波涅
微分几何答案(第二章)
第二章 曲面论§1曲面的概念1.求正螺面r ={ u v cos ,u v sin , bv }的坐标曲线.解 u-曲线为r ={u 0cos v ,u 0sin v ,bv 0 }=｛0,0，bv 0｝＋u {0cos v ,0sin v ,0}，为曲线的直母线；v-曲线为r ={0u v cos ,0u v sin ,bv }为圆柱螺线．２．证明双曲抛物面r ＝｛a （u+v ）, b （u-v ）,2uv ｝的坐标曲线就是它的直母线。
证 u-曲线为r ={ a （u+0v ）, b （u-0v ）,2u 0v }={ a 0v , b 0v ,0}+ u{a,b,20v }表示过点{ a 0v , b 0v ,0}以{a,b,20v }为方向向量的直线;v-曲线为r =｛a （0u +v ）, b （0u -v ）,20u v ｝=｛a 0u , b 0u ,0｝+v{a,-b,20u }表示过点(a 0u , b 0u ,0)以{a,-b,20u }为方向向量的直线。
3．求球面r =}sin ,sin cos ,sin cos {ϑϕϑϕϑa a a 上任意点的切平面和法线方程。
解 ϑr =}cos ,sin sin ,cos sin {ϑϕϑϕϑa a a -- ，ϕr=}0,cos cos ,sin cos {ϕϑϕϑa a -任意点的切平面方程为00cos cos sin cos cos sin sin cos sin sin sin cos cos cos =------ϕϑϕϑϑϕϑϕϑϑϕϑϕϑa a a a a a z a y a x即 xcos ϑcos ϕ + ycos ϑsin ϕ + zsin ϑ - a = 0 ；法线方程为ϑϑϕϑϕϑϕϑϕϑsin sin sin cos sin cos cos cos cos cos a z a y a x -=-=- 。
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2.1 平面曲线- b 的指向
由导数的定义我们可知 b 总是指向曲线弯 曲的那一侧．
C
a ( s)
α ( s s) α ( s ) β ( s) s
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2.1 平面曲线-伏雷内公式
由 b 的定义有 a ∙ (s) = |a ∙(s)| b (s)． 令 k(s) = |a ∙ (s)|，则有 a ∙ (s) = k (s)b (s). 我们把 k (s) 叫曲线 C 在 r(s) 处的曲率． 定理. （伏雷内公式）我们有 a ∙ = kb , b ∙ = – ka . 以上伏雷内公式叫平面曲线的基本公式．
n
a
b
a
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2.1 平面曲线-相对曲率与伏雷内公式
因 a ∙ // n，所以可令 a ∙ (s) = kr (s) n(s)．我 们称 kr 为曲线的相对曲率． 注意：相对曲率可正可负． 定理. 我们有下述形式的伏雷内公式： a ∙ = krn , n ∙ = – kra .
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2.1 平面曲线-相对曲率计算公式
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2.2 空间曲线-密切平面方程
设曲线 C: r = (x(t), y(t), z(t)) 是光滑的，P 是曲线上一点，其参数是 t0．设 R = (X, Y, Z) 是 P 点的密切平面上任意一点，则密切平面 方程为： (R – r(t0), r'(t0), r''(t0)) = 0. 用坐标把密切平面方程表示为：
第二章 曲线论 微分几何
第二章 曲线论
平面曲线 空间曲线
本章补充习题
第二章内容概要
本章我们讨论平面曲线和空间曲线的微分几何性 质．内容包括曲线的伏雷内标架、曲率、相对曲 率、挠率、伏雷内公式、近似结构、基本定理 等． 重点：伏雷内标架、曲率、相对曲率、挠率的计 算、伏雷内公式的应用． 如无特别说明，我们都是在曲线的正则点附近进 行讨论．
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2.2空间曲线
内容：三个基本向量、伏雷内标架、伏雷 内公式、曲率、挠率、密切平面、从切平 面、一般螺旋线等 重点：曲率与挠率的计算、密切平面与从 切平面方程、伏雷内公式的应用
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2.2 空间曲线-密切平面
过曲线 C 上一点 P 处的切线和曲线上位于 P 点附近的另一点 Q 作一平面 s (Q)．当 Q 沿曲线趋向于 P 时 s (Q) 的极限位置 s 称 为曲线 C 在 P 点的密切平面． 过曲线上一点可以作无数切平面（通过切线 的平面），而密切平面则是在 P 点附近最 贴近于曲线的平面． 平面曲线的密切平面显然就是该曲线所在的 平面，而直线的密切平面不确定，或者说直 线有无穷多个密切平面．
X x(t0 ) Y y (t0 ) Z z (t0 ) x(t0 ) y(t0 ) z (t0 ) 0. x(t0 ) y(t0 ) z (t0 )
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练习题 1．求曲线 y = sinx 的曲率． 2．求曲线 x = acos3t, y = asin3t 的曲率．
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2.1 平面曲线-标准伏雷内标架
前面我们定义了平面曲线上的伏雷内标架 [r(s) ; a (s), b (s)]．但伏雷内标架不一定是平 面正标架（即它们关于平面上的标准基的分 量的行列式不一定为正数）．但我们总可以 在曲线上选取一单位法向量 n(s)，使 [r(s) ; a (s), n(s)] 构成正标架，这个标架叫平面曲 线的标准伏雷内标架．
定理. 在一般参数下，相对曲率为 xy xy kr . 3/ 2 2 2 ( x ) ( y ) 特别地，当用自然参数时，相对曲率为
kr = x ∙ y ∙ ∙ – y ∙ x ∙ ∙ ；
如果曲线由 y = y(x) 给出，则相对曲率为 y kr . 3/ 2 2 1 ( y )
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练习题 1．求曲线 x = t2, y = t3 的相对曲率． 2．求曲线 y = 2px2 的相对曲率．
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2.1 平面曲线-在一点附近的结构
设曲线 C: r = r(s)．则 当 k (s) 不为 0 时，曲线近似于抛物线． 当 k (s) = 0，但 k ∙ (s) 不为 0 时，曲线近似 于一条近似立方抛物线．（看证明）
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2.1 平面曲线-例子
例. 求椭圆 (x2/a2) + (y2/b2) = 1 的曲率． 解：椭圆可参数化为 r(t) = (a cost, b sint)， 参数方程为 x = acost, y = bsint，所以有 x' = – asint, x'' = – acost, y' = bcost, y'' = – bsint. 代入曲率公式得 ab k (t ) . 3/ 2 2 2 2 2 a si n t b co s t
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2.1平面曲线
内容：曲率、相对曲率、伏雷内标架、伏 雷内公式等 重点：曲率与相对曲率的计算
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2.1 平面曲线-伏雷内标架
设平面曲线 C: r = r(s) 以弧长为参数， 则其切向量 a (s) = r ∙ (s) 是一个单位 向量， 即 a (s) ∙ a (s) = 1． 两边求导数得 a (s) ⋅ a ∙ (s) = 0，所以 a (s) 垂直于 a ∙ (s)，这说明 a ∙ (s) 是 曲线的法向量． 令 b = a ∙ / | a ∙ |，则对于每一个 s， [r(s) ; a (s), b (s)] 构成平面曲线 C 上 的一个幺正标架，我们称之为曲线 C 上的伏雷内标架．返回章首源自2.1 平面曲线-曲率计算公式
定理. 设曲线 C: r(t) = (x(t), y(t))，则其曲率 为 | x(t ) y(t ) x(t ) y(t ) | k (t ) . 3/ 2
2 2 x (t ) y (t )
如果曲线方程为 y = y(x)，取 x 为参数，则 曲线的参数表示为 r = (x, y(x))，其曲率为 | y | k ( x) . 3/ 2 2 1 ( y ) 平面曲线为直线的充分必要条件是其曲率 为零．