微分几何第二章 矩阵和坐标变换

二、矩阵和坐标变换
2.1 矩阵及矩阵的运算
由m n ⨯个数排列形成的一个矩形数阵，称为m 行n 列矩阵。

如1111
n m m n a a A a a ⎛⎫
⎪
= ⎪ ⎪⎝⎭
,其中ij a 称为矩阵元素。

若两个矩阵A 、B 的行数和列数都相同，并且对应元素相等，则两个矩阵相等，记为A B =。

矩阵的加(减)法
两个矩阵A 、B
，它们的行数和列数分别相等，把它们的对应元素相加减，得到一个
新矩阵C ,则称为A 与B
之和（差），记为C A B =± 。

矩阵加法适合交换律：A B B A +=+
矩阵加法适合结合律：()()A B C A B C ++=++
数乘矩阵
用数λ和矩阵A 相乘，则将A 中的每一个元素都乘以λ，称为λ与A
之积，记为A λ 或A λ 。

数乘矩阵适合结合律：()()A A λμλμ=
数乘矩阵适合分配率：()A B A B λλλ+=+
矩阵乘法
两个矩阵A 、B
，它们相乘得到一个新矩阵C ，记为C AB = 。

矩阵A 和B 的乘积C 的第i 行和第j 列的元素等于第一个矩阵A 的第i 行与第二个矩阵B
的
第j 列的对应元素乘积之和。

即
11221
n
ij i j i j in nj ik
kj k c a b a b a b a
b ==+++=
∑
注意：只有第一个矩阵的列数和第二个矩阵的行数相等时，才能相乘。

矩阵乘法适合结合律：()()A B C A B C =
矩阵乘法适合分配率：()A B C AC BC +=+
矩阵乘法不适合交换律：AB BA ≠
2.2坐标变换
空间中不同坐标系下，同一点有不同的坐标，同一矢量有不同的分量。

由于运算时要在同一坐标系下进行，为此，要考察两个坐标系之间的相互关系，就要用坐标变换的方式。

2.2.1底失的变换
给出两个直角坐标系[]123;,,O e e e σ= ，123;,,O e e e σ⎡⎤'''''=⎣
⎦
，其中σ称为旧坐标系，
σ'称为新坐标系。

下面研究σ和σ'两个坐标系之间的关系。

首先把新坐标系σ'的底失123,,e e e '''
看成在旧坐标系σ里的一个径失。

则新坐标系σ'的底失123,,e e e '''
在旧坐标系σ里的表达式可写成：
111112213322112222333
311322333e a e a e a e e a e a e a e e a e a e a e ⎫'=++⎪⎪'=++⎬⎪'=++⎪⎭
这就是σ变换到σ'的底失变换公式。

反之，又可推导出由新坐标系σ'到旧坐标系σ的底失变换公式。

111121231332121222323131232333e a e a e a e e a e a e a e e a e a e a e ⎫
'''=++⎪
⎪'''=++⎬⎪'''=++⎪
⎭ 由上面两式不难看出，将九个系数按其原来位置排列成方阵：
11121321
222331
32
33a a a A a a a a a a ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭
A
表示了底失变换关系，称为由σσ'→的底失系数变换矩阵。

用矩阵乘法的形式表示为：
1
111112132212223223132
33333e e e a a a e a a a e A e a a a e e e ⎡⎤'
⎡⎤⎡⎤
⎛⎫⎢⎥ ⎪⎢⎥
⎢⎥⎢⎥'==
⎪⎢⎥⎢⎥⎢⎥ ⎪⎢⎥⎢⎥⎢'⎥⎝⎭⎣⎦⎣⎦
⎣⎦
2.2.2矢量的坐标变换
设一矢量r
在坐标系σ和σ'里的分量依次是(),,x y z 和(),,x y z '''，则：
123r xe ye ze =++
又
123
r x e y e z e ''''''=++
将底失变换公式带入上式可得：
111213121222323132333()()()r a x a y a z e a x a y a z e a x a y a z e '''=++++++++
通过比较可以看出：
111213212223313233x a x a y a z y a x a y a z z a x a y a z '=++⎫
⎪
'=++⎬⎪'=++⎭
写成矩阵形式为
11
121321
222331
32
33x a a a x x y a a a y A y z a a a z z '⎡⎤⎛⎫⎡⎤⎡⎤
⎪⎢⎥⎢⎥⎢⎥
'== ⎪⎢⎥⎢⎥⎢⎥ ⎪'⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎝⎭⎣⎦⎣
⎦ 2.2.3 点的坐标变换
设空间任一点P 在σ里(),,x y z ，在σ'里的坐标是(),,x y z '''，则P 点在σ和σ'里的径失依次为
123op xe ye ze =++
123o p x e y e z e '''''''=++
σ'的原点O '在σ里的坐标为000(,,)x y z ，则O '点在σ里的径失： 0102
O O x e y e z e '=+
+
在σ里的矢量010203()()()O P OP OO x x e y y e z z e ''=-=-+-+-
那么，由上面两式可以看出，矢量O P '
在σ和σ'里的分量分别为0()x x -、0()y y -、
0()z z -和x '、y '、z '。

它们的关系由矢量坐标变换公式可得：
011121321
222303132
330x x x a a a y a a a y y z a a a z z '-⎡⎤
⎡⎤⎛⎫ ⎪⎢⎥⎢⎥'=- ⎪⎢⎥⎢⎥ ⎪⎢⎥'⎢⎥-⎣⎦
⎝⎭⎣⎦
展开上式可得从旧坐标系变换到新坐标系时点的坐标变换公式：
1112130
21222303132330x a x a y a z x y a x a y a z y z a x a y a z z ''=+++⎫⎪''=+++⎬⎪''=+++⎭
其中：()0
00,,x y z '''是坐标系σ的原点O 在σ'下的坐标，写成矩阵形式为：
11121302122
2
3010
3132330
10
00
111x a a a x x x y a a a y y y M
z a a a z z z ''⎡⎤⎡⎤⎡⎤
⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥''⎢⎥⎢
⎥⎢⎥⎢⎥==''⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢
⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦
这里10M 就是点的坐标变换系数矩阵。