3.2矢量坐标变换原理和变换矩阵
3.2矢量坐标变换原理和变换矩阵
3.2矢量坐标变换原理和变换矩阵矢量控制系统的坐标变换包括精致坐标系间的变换、旋转与静止坐标系间的变换以及指直角坐标系与极坐标系间的变换。
其中三相静止坐标系和两相静止坐标系间的变换，简称3s/2s 变换（也称Clarke 变换）、两相静止坐标系和两相旋转坐标系间的变换，简称2s/2r 变换（也称Park 变换）。
坐标变换和矩阵变换的原理放在交流电机里头介绍比较容易理解，所以下面介绍的坐标变换和变换矩阵都以交流电机模型来说明。
3.2.1坐标变换的基本思路不同电动机模型彼此等效的原则是：在不同坐标下所产生的磁动势完全一致。
众所周知，在交流电动机三相对称的静止绕组A 、B 、C 中，通以三相平衡的正弦电流a i ，b i ，c i 时，所产生的合成磁动势F ，它在空间呈正弦分布，以同步转速1ω（即电流角频率）顺着A-B-C 的相序旋转。
这样的物理模型绘于图3.3中的定子部分。
图3.3 二极直流电动机的物理模型F-励磁绕组 A-电枢绕组 C-补偿绕组图3.4 等效的交流电动机绕组和直流电动机绕组物理模型（a ）三相交流绕组 （b ）两相交流绕组 （c ）旋转的直流绕组然而，旋转磁动势并不一定非要三相不可，除单相以外，二相、三相、四相……等任意对称的多相绕组，通入平衡的多相电流，都能产生旋转磁动势，当然以两相最为简单。
图3.4中绘出了两相静止绕组α和β，它们在空间互差900，通入时间上互差900的两相平衡交流电流，也能产生旋转磁动势F 。
当图3.4a 和b 的两个旋转磁动势大小和转速都相等时，即认为图3.4b 的两相绕组与图3.4a 的三相绕组等效。
再看图3.4c 中的两个匝数相等且互相垂直的绕组d 和q ，其中分别通过以直流电流d i 和q i ，产生合成磁动势F ，其位置相对于绕组来说是固定的。
如果认为地让包含两个绕组在内的整个铁芯以同步转速旋转，则磁动势F 自然也随之旋转起来，成为旋转磁动势。
把这个旋转磁动势的大小和转速也控制呈与图3.4a 和图3.4b 中的旋转磁动势一样，那么这套旋转的直流绕组也就和前面两套固定的交流绕组都等效了。
(整理)坐标变换的原理和实现方法
由第二讲的内容可知，在三相静止坐标系中，异步电动机数学模型是一个多输入、多输出、非线性、强耦合的控制对象，为了实现转矩和磁链之间的解耦控制，以提高调速系统的动静态性能，必须对异步电动机的数学模型进行坐标变换。
3.1 变换矩阵的确定原则坐标变换的数学表达式可以用矩阵方程表示为y=ax （3-1）式（3-1）表示利用矩阵a将一组变量x变换为另一组变量y，其中系数矩阵a称为变换矩阵，例如，设x是交流电机三相轴系上的电流，经过矩阵a的变换得到y，可以认为y是另一轴系上的电流。
这时，a称为电流变换矩阵，类似的还有电压变换矩阵、阻抗变换矩阵等，进行坐标变换的原则如下：（1）确定电流变换矩时，应遵守变换前后所产生的旋转磁场等效的原则；（2）为了矩阵运算的简单、方便，要求电流变换矩阵应为正交矩阵；（3）确定电压变换矩阵和阻抗变换矩阵时，应遵守变换前后电机功率不变的原则，即变换前后功率不变。
假设电流坐标变换方程为：i=ci′ （3-2）式中,i′为新变量,i称为原变量,c为电流变换矩阵。
电压坐标变换方程为：u′=bu （3-3）式中,u′为新变量,u为原变量,b为电压变换矩阵。
根据功率不变原则，可以证明：b=ct （3-4）式中，ct为矩阵c的转置矩阵。
以上表明，当按照功率不变约束条件进行变换时，若已知电流变换矩阵就可以确定电压变换矩阵。
3.2 定子绕组轴系的变换（a-b-c＜＝＞α-β）所谓相变换就是三相轴系到二相轴系或二相轴系到三相轴系的变换，简称3/2变换或2/3变换。
三相轴系和二相轴系之间的关系如图3-1所示，为了方便起见，令三相的a轴与两相的α轴重合。
假设磁势波形是按正弦分布，或只计其基波分量，当二者的旋转磁场完全等效时，合成磁势沿相同轴向的分量必定相等，即三相绕组和二相组绕的瞬时磁势沿α、β轴的投影应该相等，即：（3-5）式中，n3、n2分别为三相电机和两相电机每相定子绕组的有效匝数。
经计算并整理之后可得：（3-6）（3-7）图3-1 三相定子绕组和二相定子绕组中磁势的空间矢量位置关系用矩阵表示为：（3-8）如果规定三相电流为原电流i,两相电流为新电流i′,根据电流变换的定义式(3-2)，式(3-8)具有i′=c-1i的形式，为了通过求逆得到c就要引进另一个独立于isα和isβ的新变量，记这个新变量为io，称之为零序电流，并定义为：（3-9）式中，k为待定系数。
矩阵力学知识点
矩阵力学知识点矩阵力学是量子力学的一个重要分支，它通过矩阵和线性代数来描述物理系统的性质和演化规律。
在这篇文章中，我们将介绍一些矩阵力学的基本概念和关键知识点。
1. 矩阵和矢量在矩阵力学中，我们使用矩阵来表示物理量和物理系统。
一个矩阵可以看作是一个有序的数值集合，它们按照一定的规则排列在一个矩形的方阵中。
而矢量则是矩阵的一种特殊形式，它可以被表示为一个列矩阵或行矩阵。
2. 矩阵的运算矩阵力学中，有许多重要的矩阵运算，其中包括加法、减法、数乘和矩阵乘法等。
矩阵加法和减法遵循矩阵对应元素相加（或相减）的规则。
数乘则是将矩阵中的每一个元素乘以一个常数。
矩阵乘法是矩阵力学中最重要的运算，它的结果是两个矩阵之间的线性组合。
3. 基态和本征值在矩阵力学中，基态是指物理系统的最低能量状态，通常用一个矢量表示。
本征值则是描述物理量的特征值，它是通过使用特征方程来计算得到的。
4. 变换矩阵变换矩阵在矩阵力学中扮演着重要的角色。
变换矩阵用于描述物理系统在不同坐标系下的变换规律，通过矩阵乘法来实现这种变换。
5. 算符和力学量算符是矩阵力学中另一个重要概念，它用于描述物理系统的力学量。
算符可以对矢量进行操作，从而得到该物理量的测量结果。
算符也可以用于描述系统的演化规律。
6. Heisenberg方程和Schrödinger方程Heisenberg方程和Schrödinger方程是矩阵力学中的两个基本方程。
Heisenberg方程描述了物理系统的演化，它通过施加算符对矢量进行变换，得到测量结果。
Schrödinger方程则是用于描述物理系统的波函数演化，它通过线性方程组来计算波函数的变化。
7. 不确定性原理不确定性原理是矩阵力学中一个非常重要的概念。
根据这一原理，无法同时确切知道一个粒子的位置和动量，而只能知道它们的概率分布。
总结：本文简要介绍了矩阵力学的一些核心概念和知识点。
矩阵力学通过矩阵和线性代数的方法描述了物理系统的性质和演化规律。
SVPWM控制_3S2r坐标转化模型搭建
SVPWM控制_3S2r坐标转化模型搭建SVPWM只是⼀个表现，内部实质的东西其实 clark park 变换，dq变换这些东西，只有搞懂这些了，再看SVPWM才是正路，搞懂这些，电机，乃⾄反向变换的三相整流，逆变，变流，都会通了许多。
坐标变换原理坐标变换是指采⽤⼀定的数学⽅法将⼀种坐标系的坐标变换为另⼀种坐标系的坐标的过程。
对于很多电⽓领域的朋友来说，这是⼀个⽐较简单的问题，且Simulink/SimPowerSystem ⾥有现成的坐标变换模块，此处赘述，只是给出⾃⼰当时学习「坐标变换」时的⼀点⼼得。
1.坐标变换的性质及约束条件坐标变换是⼀种线性变换，如⽆约束，变换就不是唯⼀的。
在电机的系统分析中，所应⽤的坐标变换可有两种约束：(1)功率不变约束，即变换前后功率保持不变；(2)合成磁动势不变约束，即变换前后合成磁动势保持不变。
1.1功率不变约束设在某坐标系统中各绕组的电压和电流向量分别为在新的坐标系统中电压和电流向量新向量与原向量的坐标变换关系为：由于变换前后功率不变，则从⽽其中E 为单位矩阵。
上式就是功率不变约束下坐标变换阵需要满⾜的关系式。
在⼀般情况下，电压变换阵与电流变换阵可以取为同⼀矩阵，即令则有由此可知，在功率不变约束下，当电压向量和电流向量选取相同的变换阵时，变换阵的转置与其逆矩阵相等，这样的坐标变换属于正交变换。
1.2合成磁动势不变约束⾄于合成磁动势不变约束，因为绕组电流与磁动势成正⽐，只要把电流的合成向量分别在新坐标系和原坐标系进⾏投影，就可以确定新向量与原向量之间的坐标变换关系。
2.三相-两相变换(3/2变换)三相-两相变换即指在三相静⽌坐标系A-B-C和两相静⽌坐标系alpha-beta之间的变换，简称 3/2 变换或Clarke变换。
2.1 Clarke变换矩阵图1给出了A-B-C坐标系和 alpha-beta 坐标系，为⽅便起见，取 A 轴和 alpha 轴重合。
设三相绕组每相有效匝数为N3，两相绕组每相有效匝数为N2 ，各相磁动势为有效匝数与电流的乘积，其空间⽮量均位于有关相的坐标轴上。
矢量变换
o
（3） 如图，扇区中的两基本电压矢量可以表示为：
2 j i U x V dc e 3 Ux 60 o 2Vdce j ( i 3 ) 3
（4）
式中 i (i 1) 3 ( i =1,…,6)。这里以Ⅰ号扇 区的电压空间矢量为例，计算相对应的扇区作 用时间。
根据上面（3）、（4）两式与线性分解图得：
2 2 VdcT 1 VdcT 2 cos Uref TPWM cos 3 3 3 2 VdcT 2 sin Uref TPWM sin 3 3
（5）
进一步整理得：
2 Uref TPWM sin( ) T 1 Vdc 3 2 Uref T2 TPWM sin Vdc
由上述功率开关状态组合所形成的8种基 本空间矢量把 坐标系分成了6个大小相等 的区域，每一个区域称之为一个扇区，并标 有对应扇区编号，分别标为I-Ⅵ。如下图所示。
（图一）电压空间矢量图
其中非零矢量的幅值相同(模长为2Udc/3)， 相邻的矢量间隔 60°,而两个零矢量幅值为零， 位于中心。在每一个扇区，选择相邻的两个 电压矢量以及零矢量，按照伏秒平衡的原则 来合成每个扇区内的任意电压矢量，即：
这里用向量VAB VBC VCA 来表示逆变器线电压 输出矢量，由于控制系统所用三相异步电动 机的绕组是完全对称的，所以根据电动机分 压原理可以得到相电压输出矢量 VA VB VC ， 开关变量矢量表示为 a b c ，这三个向 量之间的关系可以用下面（1）、（2）式来 表示。
T
T
T
（1）
（2)
下面以其中一 种开关组合为例分析。假设 ， 此时Sx (x=a,b,c)=(100),电路图如下：
坐标变换.
3.1 变换矩阵的确定原则坐标变换的数学表达式可以用矩阵方程表示为y=ax （3-1）式（3-1）表示利用矩阵a将一组变量x变换为另一组变量y，其中系数矩阵a称为变换矩阵，例如，设x是交流电机三相轴系上的电流，经过矩阵a的变换得到y，可以认为y是另一轴系上的电流。
这时，a称为电流变换矩阵，类似的还有电压变换矩阵、阻抗变换矩阵等，进行坐标变换的原则如下：（1）确定电流变换矩时，应遵守变换前后所产生的旋转磁场等效的原则；（2）为了矩阵运算的简单、方便，要求电流变换矩阵应为正交矩阵；（3）确定电压变换矩阵和阻抗变换矩阵时，应遵守变换前后电机功率不变的原则，即变换前后功率不变。
假设电流坐标变换方程为：i=ci′ （3-2）式中,i′为新变量,i称为原变量,c为电流变换矩阵。
电压坐标变换方程为：u′=bu （3-3）式中,u′为新变量,u为原变量,b为电压变换矩阵。
根据功率不变原则，可以证明：b=ct （3-4）式中，ct为矩阵c的转置矩阵。
以上表明，当按照功率不变约束条件进行变换时，若已知电流变换矩阵就可以确定电压变换矩阵。
3.2 定子绕组轴系的变换（a-b-c＜＝＞α-β）所谓相变换就是三相轴系到二相轴系或二相轴系到三相轴系的变换，简称3/2变换或2/3变换。
三相轴系和二相轴系之间的关系如图3-1所示，为了方便起见，令三相的a轴与两相的α轴重合。
假设磁势波形是按正弦分布，或只计其基波分量，当二者的旋转磁场完全等效时，合成磁势沿相同轴向的分量必定相等，即三相绕组和二相组绕的瞬时磁势沿α、β轴的投影应该相等，即：（3-5）式中，n3、n2分别为三相电机和两相电机每相定子绕组的有效匝数。
经计算并整理之后可得：（3-6）（3-7）图3-1 三相定子绕组和二相定子绕组中磁势的空间矢量位置关系用矩阵表示为：（3-8）如果规定三相电流为原电流i,两相电流为新电流i′,根据电流变换的定义式(3-2)，式(3-8)具有i′=c-1i的形式，为了通过求逆得到c就要引进另一个独立于isα和isβ的新变量，记这个新变量为io，称之为零序电流，并定义为：（3-9）式中，k为待定系数。
矢量数据处理方法2-数据变换
数据变换技术的发展趋势
1 2 3
智Hale Waihona Puke 化随着人工智能和机器学习技术的快速发展，数据 变换将更加智能化，能够自动识别和转换数据， 提高数据处理效率。
集成化
未来数据变换技术将更加集成化，能够将多种数 据处理和分析工具整合在一起，提供一站式的数 据处理解决方案。
可解释性
为了更好地满足业务需求，数据变换技术将更加 注重可解释性，提供更加直观和易于理解的数据 转换规则和结果。
矢量数据处理方法2-数据变 换
目录
• 矢量数据概述 • 数据变换的种类 • 数据变换的应用 • 数据变换的算法实现 • 数据变换的优缺点 • 数据变换的未来发展
01
矢量数据概述
矢量数据的定义
矢量数据
矢量数据是一种以几何对象为表示和描述对象的数据，其基本元素是点、线、 面等几何实体，每个几何实体都有其自身的几何属性，如坐标、长度、面积、 体积等。
商业智能领域
在商业智能领域，数据变换可用于数 据清洗、数据整合等方面，提高商业 决策的准确性和效率。
感谢您的观看
THANKS
易于实现
数据变换通常基于数学变换或算法，实现起来相对简单，且易于 理解和操作。
数据变换的缺点
数据失真风险
某些数据变换可能导致数据失真，影响后续的数据分析和模型训 练。
计算成本高
对于大规模数据集，数据变换可能需要较高的计算资源和时间成本。
可解释性差
某些复杂的数据变换可能导致结果难以解释，影响对数据的理解和 分析。
矢量数据除了表达对象的几何特征外， 还可以包含与对象相关的属性信息， 如地物的类别、名称、等级等。
矢量数据的来源
地图数字化
遥感影像解译
平面矢量的旋转及变换矩阵.(上节是同一矢量,坐标系旋转).
2.ξ算符的矩阵表示1. 平面矢量的旋转及变换矩阵。
（上节是同一矢量，坐标系旋转）如上左图 ，A →逆时针转θ得B →在12x x 坐标系中()()11221122.......,A A e A e B B e B e B R A R θθ→→→→→→→→=+=+=①令，具有类似“算符”的性质。
()R θ表示沿逆时针方向把矢量旋转θ角的操作，用分量形式写出，即为： （① 式右边也用()R θ起作用，1RAe →相当于将1Ae →旋转）112211221211112121221212221111121221,0,,cos ,,x B e B e A R e A R e e e B A e R e A e R e e e B A e R e A e R e e R e e R e e R e B B e R e μσθ→→→→→→→→→→→→→→→→→→→→→→→-+=+⎛⎫⎛⎫=+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎛⎫⎝⎭⎝⎭= ⎪⎛⎫⎝⎭ ⎪⎝⎭分别用和点乘，得：，，，，，即：122212,cos sin sin cos A A e R e A A θθθθ→→⎛⎫ ⎪⎛⎫⎪ ⎪⎪⎛⎫⎝⎭ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭-⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭此式即为()B R A θ→→=的矩阵表示上式表示，将矢量逆时针方向旋转θ角的操作可用矩阵()cos sin sin cos R θθθθθ-⎛⎫=⎪⎝⎭表示，它的矩阵元是描述基矢在旋转下的变化如第1列元素11112121cos sin R e R e R e R e θθ→→→→⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪== ⎪ ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭是基矢1e →经旋转后（变成1R e →）在各基矢方向的投影。
所以，一旦矩阵R 给定，则所有基矢在旋转下的变化就完全确定了，所以任何矢量（即基矢的线性迭加）在旋转下的变化就完全确定了（如()R θ定了后，A →旋转后得到B →=R A →也定了） 2. 算符的矩阵表示与上类比，设量子态ψ经算符,F x p ∧∧⎛⎫⎪⎝⎭作用后变成另一个态Φ，即：()(),,,....x t x t F x i x ∧∂⎛⎫Φ=ψ ⎪∂⎝⎭①现要考虑，此式在任一θ表象中的表示先设θ只有分立本征值12,,.........n θθθ与算符F ∧的完备本征函数组(){}n x μ对应。
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3.2矢量坐标变换原理和变换矩阵矢量控制系统的坐标变换包括精致坐标系间的变换、旋转与静止坐标系间的变换以及指直角坐标系与极坐标系间的变换。
其中三相静止坐标系和两相静止坐标系间的变换，简称3s/2s 变换（也称Clarke 变换）、两相静止坐标系和两相旋转坐标系间的变换，简称2s/2r 变换（也称Park 变换）。
坐标变换和矩阵变换的原理放在交流电机里头介绍比较容易理解，所以下面介绍的坐标变换和变换矩阵都以交流电机模型来说明。
3.2.1坐标变换的基本思路不同电动机模型彼此等效的原则是：在不同坐标下所产生的磁动势完全一致。
众所周知，在交流电动机三相对称的静止绕组A 、B 、C 中，通以三相平衡的正弦电流a i ，b i ，c i 时，所产生的合成磁动势F ，它在空间呈正弦分布，以同步转速1ω（即电流角频率）顺着A-B-C 的相序旋转。
这样的物理模型绘于图3.3中的定子部分。
图3.3 二极直流电动机的物理模型F-励磁绕组 A-电枢绕组 C-补偿绕组图3.4 等效的交流电动机绕组和直流电动机绕组物理模型（a ）三相交流绕组 （b ）两相交流绕组 （c ）旋转的直流绕组然而，旋转磁动势并不一定非要三相不可，除单相以外，二相、三相、四相……等任意对称的多相绕组，通入平衡的多相电流，都能产生旋转磁动势，当然以两相最为简单。
图3.4中绘出了两相静止绕组α和β，它们在空间互差900，通入时间上互差900的两相平衡交流电流，也能产生旋转磁动势F 。
当图3.4a 和b 的两个旋转磁动势大小和转速都相等时，即认为图3.4b 的两相绕组与图3.4a 的三相绕组等效。
再看图3.4c 中的两个匝数相等且互相垂直的绕组d 和q ，其中分别通过以直流电流d i 和q i ，产生合成磁动势F ，其位置相对于绕组来说是固定的。
如果认为地让包含两个绕组在内的整个铁芯以同步转速旋转，则磁动势F 自然也随之旋转起来，成为旋转磁动势。
把这个旋转磁动势的大小和转速也控制呈与图3.4a 和图3.4b 中的旋转磁动势一样，那么这套旋转的直流绕组也就和前面两套固定的交流绕组都等效了。
当观察着也站到铁芯上和绕组一起旋转时，在他看来，d 和q 是两个通入直流而相互垂直的静止绕组。
如果控制磁通Φ的位置在d 轴上，就和图3.3的直流电机物理模型没有本质上区别了。
这时，绕组d 相当于励磁绕组，q 相当于伪静止的电枢绕组。
由此可见，以产生同样的旋转磁动势为准则，图3.4a 的三相交流绕组、图3.4b 的两相交流绕组和图3.4c 中整体旋转彼此等效。
或者说，在三相坐标系下的a i ，b i ，c i 和在两相坐标系下的i α、i β以及在旋转两相坐标系下的直流d i 、q i 都是等效的，它们能产生相同的旋转磁动势。
有意思的是，就图3.4c 中的d 、q 两个绕组而言，当观察着站在地面上去看，它们是与三相交流绕组等效的旋转直流绕组；如果跳到旋转着的铁心上看，它们就的的确确是一个直流电动机的物理模型了。
这样，通过坐标系的变换，可以找到d i 、q i 之间准确的等效关系，这就是坐标变换的任务。
3.2.2三相-两相变换（3s/2s 变换）现在先考虑上述的第一种坐标变换——在三相静止绕组A 、B 、C 和两相静止绕组α、β之间的变换，或称三相静止坐标系和两相静止坐标系间的变换，简称3s/2s 变换。
图3.5中绘出了A 、B 、C 和α、β两个坐标系，为方便起见，取A 轴和α轴重合。
设三相绕组每项有效匝数为N 3，两相绕组每相有效匝数位N 2，各相磁动势为有效匝数与电流的乘积，其空间矢量均位于有关相的坐标轴上。
由于交流磁动势的大小随时间在变化着，图中磁动势矢量的长度是随意的。
设磁动势波形是正弦分布的，当三相总磁动势与二相总磁动势相等时，两套绕组瞬时磁动势在α、β轴上的投影都应相等，因此C图3.5 三相和两相坐标系与绕组磁动势的空间矢量002333cos60cos60A B C N i N i N i N i α=--31122A B C N i i i ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭ （3.6）00233sin60cos60B C N i N i N i β=-()32B C N i i =- （3.7） 写成矩阵形式，得32111220A B C i i N i i N i αβ⎡⎤⎡⎤--⎢⎥⎡⎤⎢⎥⎢=⎢⎥⎢⎥⎢⎣⎦⎢⎥⎣⎦⎢⎣ （3.8） 功率不变时坐标变换阵的性质：设在某坐标系下各绕组的电压和电流向量分别为u 和i ，在行新的坐标系下，电压和电流向量变成u '和i '，其中[][][][]12121212Tn Tn Tn Tn u u u u i i i i u u u u i i i i ⎧=⎪⎪=⎪⎨''''=⎪⎪''''=⎪⎩………… （3.9）定义新向量与原向量的坐标变换关系为u u C u '= （3.10） i i C i '= （3.11）其中u C 和i C 分别为电压和电流变换阵。
当变换前后功率不变时，应有11221122T n n Tn n p u i u i i i u u i u i u i i u=+++=''''''''=+++=…u … （3.12）将式（3.10）、式（3.11）带入（3.12），则()TT T T T i u i u i u C i C u i C C u i u ''''''=== （3.13）T i u C C E = （3.14）其中E 为单位矩阵。
式（3.14）就是在功率不变条件下坐标变换阵的关系。
在一般情况下，为了使变换阵简单好记，电压和电流变换阵都取为同一矩阵，即令u i C C C == （3.15）则式（3.14）变成T C C E = （3.16）或1T C C -= （3.17）由此可得如下结论：当电压和电流选取相同的变换阵时，在变换前后功率不变的条件下，变换阵的转置与其逆矩阵相等，这样的坐标变换属于正交变换。
功率不变条件下的3s/2s 变换及匝数比：在两相系统上认为地增加一项零轴磁动势20N i ，并定义为()203A B C N i KN i i i =++ （3.18）式（3.8）所表示的三相电流/两相电流变换式为32111220A B C i i N i i N i αβ⎡⎤⎡⎤--⎢⎥⎡⎤⎢⎥⎢=⎢⎥⎢⎥⎢⎣⎦⎢⎥⎣⎦⎢⎣（3.19） 把零轴电流也增广到变换式中，即得33/22011122022A A B s s B C C i i i N i i C i N i i i K KK αβ⎡⎤--⎢⎥⎢⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎢⎥⎢⎥⎢⎥=-=⎢⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎢⎥⎢⎥⎣⎦ （3.20） 式中33/2211122022s sN C N K KK ⎡⎤--⎢⎥⎢⎢=-⎢⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦ （3.21） 这是增广后三相坐标系变换到两相坐标系的变换方阵。
满足功率前后不变条件时，应有133/23/2210122122Ts s s sK N C C K N K -⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥==-⎢⎥⎢⎥⎢⎥--⎢⎥⎣⎦（3.22）显然，式（3.21）和式（3.22）两矩阵之积应为单位阵2133/23/221111022102122s s s sK N C C K N K KK K -⎡⎤⎡⎤--⎢⎥⎢⎥⎢⎢⎥⎛⎫⎢⎢⎥=- ⎪⎢⎢⎥⎝⎭⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥--⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦ 22332222302100330001022002003N N E N N K K ⎡⎤⎢⎥⎡⎤⎢⎥⎛⎫⎛⎫⎢⎥⎢⎥=== ⎪ ⎪⎢⎥⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎢⎥⎢⎥⎣⎦ 因此232312N N ⎛⎫= ⎪⎝⎭（3.23） 则32N N =（3.24） 这表明，要保持坐标系变换前后的功率不变，而又要维持合成磁链相同，变换后倍。
与此同时 221K =或K =（3.25） 把（3.24）代入（3.8）中，得11122022A B C i i i i i αβ⎤⎡⎤--⎥⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎢⎥-⎣⎦⎣⎦ （3.26） 令C 3s/2s 表示从三相坐标系变换到两相坐标系的变换矩阵，则3/211122022s sC ⎤--⎥=-⎣⎦ （3.27）3.2.3两相-两相旋转变化（2s/2r ）q图3.6 两相静止和旋转坐标系与磁动势（电流）空间矢量图3.4b 和图3.4c 中从两相静止坐标系α、β到两相旋转坐标系d 、q 的变换称作两相-两相旋转变换，简称2s/2r 变换，其中s 表示静止，r 表示旋转。
把两个坐标系画在一起，即得图3.6。
图中，两相交流电流i α、i β产生同样的以同步转速1ω旋转的合成磁动势s F 。
由于各绕组匝数都相等，可以消去磁动势中的匝数，直接用电流表示，例如s F 可以直接标成s i 。
但必须注意，这里的电流都是空间矢量，而不是时间相量。
在图3.6中，d 、q 轴和矢量()s s F i 都以转速1ω旋转，分量d i 、q i 的长短不变，相当于d 、q 绕组的直流磁动势。
但α、β轴是静止的，α轴与d 轴的夹角ϕ随时间而变化就，因此s i 在α、β轴上的分量i α、i β的长短也随时间变化，相当于α、β绕组交流磁动势的瞬时值。
由图可见，i α、i β和d i 、q i 之间存在下列关系cos sin sin scos d q dq i i i i i i αβϕϕϕϕ=-⎧⎨=+⎩ （3.28） 写成矩阵形式，得2/2cos sin sin cos d d r s q q i i i C i i i αβϕϕϕϕ-⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤==⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦（3.29）式中2/2cos sin sin cos r s C ϕϕϕϕ-⎡⎤=⎢⎥⎣⎦（3.30） 是两相旋转坐标系变换到两相静止坐标系的变换阵。
对式（3.29）两边都左乘以变换阵的逆矩阵，即得1cos sin cos sin sin cos sin cos d q i i i i i i ααββϕϕϕϕϕϕϕϕ--⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤==⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦ （3.31） 则两相静止坐标系变换到两相旋转坐标系的变换阵势2/2cos sin sin cos s r C ϕϕϕϕ⎡⎤=⎢⎥-⎣⎦（3.32） 电压和磁链的旋转变换阵也是与电流（磁动势）旋转变换阵相同。