基变换与坐标变换
线性代数-基变换与坐标变换
问题：在 n 维线性空间 V中，任意 n 个线性 无关的向量都可以作为 V 的一组基．对于不同的 基，同一个向量的坐标是不同的．
那么，同一个向量在不同的基下的坐标有什 么关系呢？换句话说，随着基的改变，向量的坐 标如何改变呢？
设1,2 , ,n及1, 2 , , n是线性空间Vn的
1 , 2
,
,n
P
x2'.
xn
xn'
x1 x1'
即
x2
P
x2'
.
xn xn'
由 于 矩 阵P可 逆, 所 以
x1'
x1
x2'
P
1
x2 .
xn'
xn
例1 在 P[ x]3中取两个基
1 x3 2 x2 x, 3 x3 2 x2 x 1, 及 1 2 x3 x2 1, 3 2 x3 x2 x 2,
过渡矩阵 P是可逆的．
二、坐标变换公式
定理1 设Vn中的元素 ,在基1 , 2 , , n下的坐标
为
( x1 , x2 , , xn )T ,
在基1 , 2 ,
,
下的坐
n
标为
( x1', x2 ', , xn ')T ,
若两个基满足关系式
1, 2, , n 1,2, ,n P
则有坐标变换公式
x1 x1'
x1'
x1
x2
P
x2'
,
或
x2'
P
1
x2 .
xn xn'
xn'
§4 基变换与坐标变换
解：设 1 (1,0,0,0), 2 (0,1,0,0), 3 (0,0,1,0), 4 (0,0,0,1)
则有
1 1 1 1
(1,2
,3
,4
)
(1,
2
,
3
,
4
)
2 1 0
1 1 1
2 1 1
1
0 1
或
1 1 1 11
(1,2,3,4 )
(1,2
,3
,4
)
2 1 0
1 1 1
2 1 1
③
又由基 1, 2 ,L , n到1,2 ,L ,n 也有一个过渡矩阵,
设为B，即 (1,2 ,L ,n ) (1, 2 ,L , n )B
④
比较③ 、④两个等式，有
(1, 2 ,L , n ) (1, 2 ,L , n )BA
(1,2 ,L ,n ) (1,2 ,L ,n ) AB
Q 1,2 ,L ,n; 1, 2 ,L , n 都是线性无关的,
a22 L an2
L L L
a2n x2
L ann
xMn
⑥
x1 a11 a12 L a1n 1 x1
或
x2 xMn
a21 L an1
a22 L an2
L L L
a2n L ann
x2
xMn
⑦
称⑥或⑦为向量ξ在基变换⑤下的坐标变换公式．
例1 在Pn中，求由基 1,2,L ,n 到基1,2,L ,n 的过渡矩阵及由基1,2,L ,n 到基 1,2,L ,n 的
的基变换公式．
2、有关性质
1）过渡矩阵都是可逆矩阵；反过来，任一可逆
矩阵都可看成是两组基之间的过渡矩阵．
1基变换与坐标变换
1 2
1 1
3 2 1 1 1 1
2 1
1 0
1 2 2 2 0 1 1 1
1 0 0 0 0 1 1 1
~ 初等行变换
0 0
1 0
0 1
0 0
1 0
1 0
0 0
0 1
0 0 0 1 1 1 1 1
1 0 0 0 0 1 1 1
0 1 0 0 1 1 0 0 1 0 0 0
(2) W1 W2 W1 W2 W1;
(3) W1 W2 W1 W1 W2; (4) W1 W2 W1 W2 W1 W2或W2 W1 .
定义7 1 , 2 , , r是V中的一组向量，
L1 , 2 , , r
11 2 2 r r 1 , , r F
称为1 , 2 , , r 生成（张成）的子空间.
（4）若向量组
1 ,2 ,
,
是线性空间
r
V
的一个
基，则 V 可表示为
V x 11 2 2 r r 1 , , r F
V :基所生成的线性空间 1 , 2 , , r :向量x在基1 , 2 , , r下的坐标
例7 在线性空间P[ x]3中，p1 1，p2 x，p3 x 2，
p4 x 3是一组基，而q1 1，q2 x 2，q3 x 22， q4 x 23也是一组基．
线性空间的性质
(1) 零元素是唯一的． (2) 负元素是唯一的．
(3) 0 0; 1 ; 0 0.
(4) 如果 0，则 0或 0.
定义2 设 x(1) , x(2) , , x(k) 是线性空间V 中的任一组
向量，1, 2 , , k 是F 中任一组数，
k
y 1 x(1) 2 x(2) k x(k ) i x(i ) i 1
基变换与坐标变换
基变换与坐标变换
基变换和坐标变换都是数学涉及的重要概念，有助于理解数学的精确分析和结论。
一、基变换是什么？
1. 定义：基变换是将一组向量从一种坐标系表示成另一种坐标系表示的过程。
2. 作用：基变换能够方便地从旧的坐标系转换到新的坐标系，以对对象进行更加精确的分析，节省计算资源和时间，更加有效地实现数学目标。
3. 应用：基变换通常应用在几何、微分几何和物理等多个领域。
二、坐标变换是什么？
1. 定义：坐标变换是指将一个点的坐标空间从一种（源）坐标系表示到另一种（目标）坐标系中的过程。
2. 作用：坐标变换减少了坐标转换的复杂性，帮助人们更容易理解空间坐标系统，有利于数学分析以及各种空间系统建模。
3. 应用：坐标变换广泛应用于航海、航空、地理信息系统、图形学等多种领域。
总结：基变换和坐标变换是数学中十分重要的概念，他们试图从一种坐标表示到另一种坐标表示，节省一些计算资源和时间，有利于更准
确的数学分析，并在几何、微分几何、物理、航海、航空、地理信息系统、图形学等领域得到广泛的应用。
1.2_基与坐标、坐标变换
解
1 1 1 1
(1,
2
,3
,
4
)
(1
,
2
,
3
,
4
)
2 1
1 1
2 1
1 , 0
0
1
1
1
2 0 2 1
(1, 2 , 3
, 4)
(1,2,3,4 )
1 0
1 2
1 1
3 . 1
1 2 2 2
(1, 2 , 3 , 4 )
1 1 1 11 2 0 2 1
(1,
2
,3
,
4
)
2
1
1 1
2 1
1
2
.
2
1 2
o
1
1 2
1
1 x
2
例6. 在 R4 中,求由基 1,2,3,4到基 1,2,3,4 的 过渡矩阵，其中
1 (1, 2, 1, 0)T , 2 (1, 1,1,1)T , 3 (1, 2,1,1)T , 4 (1, 1, 0,1)T .
1 (2,1, 0,1)T , 2 (0,1, 2, 2)T , 3 (2,1,1, 2)T , 4 (1,3,1, 2)T .
一组基.
由泰勒公式， R[x]n 中任意元素 f ( x) f (a) f '(a)(x a) f ''(a) ( x a)2 2! f (n1)(a) ( x a)n1 (n 1)!
因此，元素 f (x) 在这组基下的坐标是
( f (a), f '(a), f ''(a), , f (a)) (n1) .
1.2.2. 基变换与坐标变换
维数基与坐标 基变换与坐标变换
§3.维数、基、坐标复习1. ⎧⎪⎨⎪⎩线性组合、线性表出基本概念向量组等价线性无关（相关） 1101112210,0,r rk k r r r r k k k k k ααααααα===⎧−−−−−→⎪+++=⎨−−−−−−−→⎪⎩只有存在不全为的，线性无关线性相关2. 性质：1）α线性相关⇔0α=；2）1r αα⇔，，线性相关其中一个向量是其余向量线性组合； 3）s r >且r ααα,,,21 可以用s βββ,,,21 线性表出，则r ααα,,,21 线性相关；r ααα,,,21 可以用s βββ,,,21 线性表出且r ααα,,,21 线性无关，则s r ≤；4）两个等价线性无关向量组含有相同个数向量； 5）r ααα,,,21 线性无关，βααα,,,,21r 线性相关⇒1,,r βαα可以被线性表出；6）1n ,,αα无关则其部分组1,,r αα也无关（整体无关则部分相关，部分相关则整体相关）；新课一 线性空间的基与维数定义1 在线性空间V 中，若存在n 个元素n ααα,,,21 ，满足： 1）n ααα,,,21 线性无关，2）V 中任意元素α总可由n ααα,,,21 线性表出，那么n ααα,,,21 就称为线性空间V 的一组基，n 称为线性空间V 的维数.Note :1）维数为n 的线性空间称为n 维线性空间，记作n V ；2）当一个线性空间V 中存在任意多个线性无关的向量时，就称V 是无限维的；例：=V { 所有实系数多项式 } 3）若n ααα,,,21 为n V 的一组基，则n V 可表示为： },,,{212211R x x x x x x V n n n n ∈+++== αααα 4）基不唯一，维数一定.[]n P x 中12,,,,1-n x x x 是n 个线性无关的向量，每一个()[]n f x P x ∈都可以由12,,,,1-n x x x 线性表出，即12,,,,1-n x x x 是[]n P x 的一组基.二 元素在给定基下的坐标定义2 设n ααα,,,21 是线性空间n V 的一组基，对于任意元素n V ∈α，总有且仅有一组有序数n x x x ,,,21 使得n n x x x αααα+++= 2211，则有序数组n x x x ,,,21 称为元素α在基n ααα,,,21 下的坐标，并记为),,,(21'n x x x .例2：在n 维空间n P 中 12(1,0,,0)(0,1,,0)(0,0,,1)n εεε=⎧⎪=⎪⎨⎪⎪=⎩ 是一组基，设12(,,)n n a a a P α=∈，有'1'21122'(1,1,,1)(0,1,,1)(0,0,,1)n n n a a a εεαεεεε⎧=⎪=⎪=++→⎨⎪⎪=⎩基'''112121,()()n n n nP a a a a a ααεεε-∀∈=+-+-则§问题：在n 维线性空间n V 中，任意n 个线性无关的向量都可以作为n V 的一组基.对于不同的基，同一个向量的坐标是不同的，那么不同的基之间有怎样的联系呢？同一个向量在不同基下的坐标有什么关系呢？换句话说，随着基的改变，向量的坐标如何变化呢？ 1 基变换公式设12,,n εεε及'''12,,nεεε均是维线性空间n V 的一组基，且有 '11112121'21212222'1122n nn nn n n nn na a a a a a a a a εεεεεεεεεεεε⎧=+++⎪=+++⎪⎨⎪⎪=++⎩↓⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛'''n nn nnn n n a a a a a a a a a εεεεεε 2121222121211121↓A n n ),,,(),,,(2121εεεεεε =''' 称此公式为基变换公式. 2 过渡矩阵在基变换公式A n n ),,,(),,,(2121εεεεεε ='''中，矩阵A 称为由基12,,n εεε到基'''12,,nεεε的过渡矩阵. Note :1）过渡矩阵A 是可逆的.2）设n ααα,,,21 和n βββ,,,21 是n V 中两个向量组)(ij a A =，)(ij b B =是两个n n ⨯矩阵，那么))(,,,()),,,((2121AB B A n n αααααα =；))(,,,(),,,(),,,(212121B A B A n n n +=+ααααααααα ； A A A n n n n ),,,(),,,(),,,(22112121βαβαβαβββααα+++=+ . 3 坐标变换公式设向量α是线性空间n V 中的任意元素，在基12,,n εεε下的坐标为),,,(21'n x x x ，在基'''12,,nεεε下的坐标为),,,(21''''n x x x ，于是有12112212(,,,)n n n n x x x x x x αεεεεεε⎛⎫ ⎪ ⎪=+++= ⎪ ⎪⎝⎭'1''''''''11221'(,,)n n n n x x x x x εεεεε⎛⎫⎪=+++= ⎪ ⎪⎝⎭即 ()11121'121222''111'1211,,(,,)(,,)(,,)n n n n n n n n nn n n a a a x a a a A x a a a x x εεεεαεεεε⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪=→= ⎪⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎛⎫ ⎪= ⎪⎪⎝⎭而基向量线性无关，则'11'n nx x A x x ⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭即1'1112111'2122222'12n n n n nn n n a a a x x a a a x xa a a x x -⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭例题分析：在4P 中，求由基1234,,,εεεε到基1234,,,ηηηη的过渡矩阵，并求向量ξ在所指基下坐标1234(1,0,0,0)(0,1,0,0)(0,0,1,0)(0,0,0,1)εεεε=⎧⎪=⎪⎨=⎪⎪=⎩ 1234(2,1,1,1)(0,3,1,0)(5,3,2,1)(6,6,1,3)ηηηη=-⎧⎪=⎪⎨=⎪⎪=⎩ 1234(,,,)x x x x ξ=在1234,,,ηηηη下的坐标小结：↓→↓⎧→⎨⎩向量线性相（无）关 基维数 基变换坐标坐标变换。
基变换与坐标变换
辽 东 学 院 教 案 纸
课程：高等代数 第 6.4.1 页
§4
基变换与坐标变换
通过教学，使学生理解基变换定理及可逆矩阵的同何
，y n )由等式(7)联系着． 标( y1，y 2，
例1
取 V2 的两个彼此正交的单位向量 1， 2 ，作成 V2 的一个
分别是由1 和2 旋转角 所得的向量(图 61)，则 ε1 ，ε 2 也 基．令 1, 2
是 V2 的一个基，且有
1
ε1 cos ε2 sin ε1 ， ε1 sin ε2 cos ε 2
一章讲的矩阵乘法形式．
， n ) 是 V 的 两 个 向 量 组 ， ， n ) 与 ( 1， 2， 设 ( 1， 2，
A=(aij)nn，B=(bij)∈Mn(F)，则上述矩阵形式写法满足以下运算规则：
n )A)B=( 1， 2， n )(AB)， (( 1， 2， n )A+( 1， 2， n )B=( 1， 2， n )(A+B)， ( 1， 2， n )A+( 1， 2， ， n n )A. ， n )A= ( 1 1 , 2 2， ( 1， 2，
， n 是 V 的一个基， 1， ， n V，且 命题 6.4.2 设 1， 2， n )A． ， n )=( 1， 2， ( 1， 2， ， n 是 V 的一个基． 若 A 可逆，则 1， 2， ， n 线性无关即可．假设 证 只要证 1， 2， k1 1 k 2 2 k n n 则 k1 k1 1， 2， ， n 1，a 2， ， n A ． k k n n
基变换和坐标变换例题
基变换和坐标变换例题在线性代数中，基变换和坐标变换是非常重要的概念，它们在向量空间中的表示和描述中起着至关重要的作用。
这里将通过一些例题来详细解释和展示基变换和坐标变换的过程。
例题一假设存在一个二维向量v，其坐标表示为(3, 4)，现有两个基底b1 = (1, 1)和b2 = (-1, 1)。
求向量v在基底b1和b2下的坐标表示。
解答：首先，我们需要确定向量v在基底b1和b2下的坐标表示。
对于向量v(3, 4)，我们可以表示为v = 3 * b1 + 2 * b2。
这是因为v = x * b1 + y * b2，其中x和y分别是v在基底b1和b2下的坐标表示。
代入已知的b1 = (1, 1)和b2 = (-1, 1)，我们可以得到： v = 3 * (1, 1) + 2 * (-1, 1) = (3, 3) + (-2, 2) = (1, 5)。
所以，向量v在基底b1和b2下的坐标表示分别为(1, 1)和(5, 1)。
例题二现在考虑一个三维向量v = (2, 1, -3)，在标准基底下的坐标表示。
此外，有一个由向量a = (1, 1, 1)，b = (0, 1, 1)和c = (1, 2, 3)组成的基底B。
求向量v在基底B下的坐标表示。
解答：首先，我们需要确定向量v在基底B下的坐标表示。
同样地，我们可以表示v = x * a + y * b + z * c，其中x、y和z分别是v在基底B下的坐标表示。
代入已知的a、b和c，我们可以得到： v = 2 * (1, 1, 1) + 1 * (0, 1, 1) + (-3) * (1, 2, 3) = (2, 2, 2) + (0, 1, 1) + (-3, -6, -9) = (-1, -3, -6)。
所以，向量v在基底B下的坐标表示为(-1, -3, -6)。
总结基变换和坐标变换是线性代数中的重要内容，它们帮助我们在不同基底之间转换向量的坐标表示。
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5 14 11 7 3 72 2 1 2 3 1 1 139 14 20 7
1 3 1 2
1 4 7
10 7 2 7
行变换
16 7 3
4 7
2
5 14
4 17 14
即得
6 39 20 5 4 1 22 32 40 1 CA B . 14 28 42 56 14 5 8 17 8
1
故过渡矩阵为 A-1B ，坐标变换公式为
x1 x1 x x2 1 2 B A x x 3 3 x x 4 4
用矩阵的初等变换求 B-1A : 把矩阵 ( B | A ) 中的 B 变成 E , 则 A 即变成 B-1A . 计算如下:
2 1 ( B | A) 0 1 0 1 2 2 2 1 1 2 1 3 1 2 1 1 1 1 2 1 2 1 1 1 1 0 0 1 1 1
行变换
1 0 0 0
0 1 0 0
0 0 1 0
0 0 0 1
矩阵 A 的列向量组线性无关，因此，过渡矩阵 A 是可逆的.
3. 运算规律
设 1 , 2 , … , n 和 1 , 2 , … , n 是 V 中两个 向量组， A = ( aij ) , B= ( bij ) 是两个 n n 矩阵，则 1) ((1 , 2 , … , n )A)B=(1 , 2 , … , n )(AB)
由于 1 , 2 , … , n 线性无关, 故即有关系式 (2).
证毕
这个定理的逆命题也成立. 即若任一元素的 两种坐标满足坐标变换公式 (2), 则两个基满足变 换公式 (1).
三、举例
例 1 在 P 4 中，求由基 1 , 2 , 3 , 4 到基
1 , 2 , 3 , 4 的过渡矩阵，并求向量 在基1, 2,
称 (1) 为基变换公式.
2. 基变换公式的矩阵形式
为了写起来方便，我们引入一种形式的写法. 把基写成一个 1 n 矩阵，于是 (1) 可写成如下矩 阵形式：
a11 a12 a1n a21 a22 a2 n ,, n ) (1 , 2 ,, n ) (1, 2 a a a nn n1 n 2
1 3 3 1 行变换 1 2 2 4
1 0 0 0
0 0 0 1 0 0 0 1 0 0 0 1
109 85 4 85 . 8 5 20 17
所以向量 在基 1, 2,
3 , 4下的坐标为
(2)
证 因
x1 x1 x2 x2 , 2 ,, n ) (1 , 2 , , n ) (1 x x n n
x1 x2 (1 , 2 , , n ) A x n
1 6 3 3 A 3 3 1 7 5 2 0 1
行变换
1 0 0 33 0 1 0 82 0 0 1 154
所以
33 1 822 154 3
则所求坐标为
(33, 82, 154)T
x1 x2 x n
x1 x2 A , 或 x n
x1 x1 x x2 1 2 A x x n n
3 2
求由基1 , 2 , … , n 到 1 , 2 , … , n的过渡矩阵 和坐标变换公式.
解 将 1 , 2 , 3 , 4 用 1 , 2 , 3 , 4 表示.
由
(1,2 ,3 ,4 ) ( x , x , x, 1) A
3 2
(1, 2 , 3 , 4 ) ( x , x , x, 1)B
3 2
其中
1 1 1 1 2 1 2 1 A 1 1 1 0 0 1 1 1
2 1 B 0 1
0 2 1 1 2 1 2 2
1 3 1 2
得
( 1, 2 , 3 , 4 ) (1,2 ,3 ,4 ) A B
0 1 0 1
1 1 0 1
1 0 0 1
1 0 1 1
即得
0 1 1 1 1 1 0 0 1 A B 0 0 0 1 1 1 1 1
0 1 1 1 x1 x1 1 1 0 0 x 2 x2 x 0 x 0 0 1 3 3 x 1 1 1 1 x 4 4
二、坐标变换公式
定理2 设 Vn 中的元素 , 在基 1 , 2 , …, n
下的坐标为 (x1 , x2 , … , xn)T , 在基 1, 2 , … , n 下的坐标为 (x1 , x2 , … , xn )T. 若两个基满足关 系式 (1) , 则有坐标变换公式
2) (1 , 2 , … , n )A + (1 , 2 , … , n )B
= (1 , 2 , … , n ) (A+B) ； 3) (1 , 2 , … , n )A + (1 , 2 , … , n )A = ( 1 + 1 , 2 + 2 , … , n + n ) A .
3 , 4 下的坐标. 设
1 (1,2,2,1) , (1,1,3,3) , 2 3 (1,1,1,2) , 4 (3,2,0,1) , (3,1,2,4) .
1 (1,1,2,0) , (2,1,3,1) , 2 3 (2,2,1,1) , 4 (1,3,1,2) ,
1. 定义
定义12 设 1 , 2 , … , n 与1 , 2 , …, n 是
n维线性空间 V 中两组基，它们的关系是
1 a111 a21 2 an1 n , a a a , 2 12 1 22 2 n2 n (1) a1n 1 a2 n 2 ann n . n
矩阵
a11 a12 a1n a21 a22 a2 n A a a a nn n1 n 2
称为由基 1 , 2 , … , n 到1 , 2 , …, n 的过渡矩
阵. 由于1 , 2 , …, n 是线性无关的，所以过渡
用矩阵的初等变换求 B-1A : 把矩阵 ( B | A ) 中的 B 变成 E , 则 A 即变成 B-1A . 计算如下:
1 1 3 1 1 2 1 1 2 1 ( A | B) 2 3 1 0 2 2 1 0 1 3
1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1
例 3 在 P[ x ]4 中取两个基
1 x 2x x,
3 2
2 x x x 1,
3 2
3 x3 2x2 x 1, 4 x3 x 2 1;
及
1 2x x 1,
3 2
2 x 2x 2,
2 3 2
3 2x x x 2, 4 x 3x x 2.
求向量 在基 1 , 2 , 3 , 4下的坐标, 即用基 1,
2 , 3 , 4表示向量 . 用矩阵的初等行变换来
求解: 先构造矩阵 M = ( 1 , 2 , 3 , 4, ) , 再对矩阵 M 实施初等行变换 , 使之成为行最简形 矩阵即得.
2 2 1 1 2 1 M 2 3 1 0 1 1
3 3 1 0
解 求向量 在基 1 , 2 , 3 下的坐标,即
用基 1 , 2 , 3 表示向量 . 用矩阵的初等行变
换来求解: 先构造矩阵 A = (1 , 2 , 3 , ),再对