§4 基变换与坐标变换
线性代数-基变换与坐标变换
问题：在 n 维线性空间 V中，任意 n 个线性 无关的向量都可以作为 V 的一组基．对于不同的 基，同一个向量的坐标是不同的．
那么，同一个向量在不同的基下的坐标有什 么关系呢？换句话说，随着基的改变，向量的坐 标如何改变呢？
设1,2 , ,n及1, 2 , , n是线性空间Vn的
1 , 2
,
,n
P
x2'.
xn
xn'
x1 x1'
即
x2
P
x2'
.
xn xn'
由 于 矩 阵P可 逆, 所 以
x1'
x1
x2'
P
1
x2 .
xn'
xn
例1 在 P[ x]3中取两个基
1 x3 2 x2 x, 3 x3 2 x2 x 1, 及 1 2 x3 x2 1, 3 2 x3 x2 x 2,
过渡矩阵 P是可逆的．
二、坐标变换公式
定理1 设Vn中的元素 ,在基1 , 2 , , n下的坐标
为
( x1 , x2 , , xn )T ,
在基1 , 2 ,
,
下的坐
n
标为
( x1', x2 ', , xn ')T ,
若两个基满足关系式
1, 2, , n 1,2, ,n P
则有坐标变换公式
x1 x1'
x1'
x1
x2
P
x2'
,
或
x2'
P
1
x2 .
xn xn'
xn'
高等代数北大版教案-第6章线性空间
第六章线性空间§1 集合映射一授课内容：§1 集合映射二教学目的:通过本节的学习,掌握集合映射的有关定义、运算，求和号与乘积号的定义.三教学重点:集合映射的有关定义。
四教学难点:集合映射的有关定义.五教学过程：1。
集合的运算，集合的映射(像与原像、单射、满射、双射)的概念定义：(集合的交、并、差）设是集合,与的公共元素所组成的集合成为与的交集，记作；把和B中的元素合并在一起组成的集合成为与的并集,记做；从集合中去掉属于的那些元素之后剩下的元素组成的集合成为与B的差集,记做。
定义:（集合的映射) 设、为集合。
如果存在法则,使得中任意元素在法则下对应中唯一确定的元素(记做),则称是到的一个映射，记为如果，则称为在下的像，称为在下的原像。
的所有元素在下的像构成的的子集称为在下的像，记做,即.若都有则称为单射.若都存在,使得，则称为满射.如果既是单射又是满射，则称为双射，或称一一对应.2.求和号与求积号(1）求和号与乘积号的定义为了把加法和乘法表达得更简练,我们引进求和号和乘积号.设给定某个数域上个数,我们使用如下记号:，。
当然也可以写成，。
（2）求和号的性质容易证明,,，.事实上,最后一条性质的证明只需要把各个元素排成如下形状：分别先按行和列求和,再求总和即可。
§2 线性空间的定义与简单性质一授课内容：§2 线性空间的定义与简单性质二教学目的:通过本节的学习，掌握线性空间的定义与简单性质.三教学重点：线性空间的定义与简单性质。
四教学难点：线性空间的定义与简单性质.五教学过程:1。
线性空间的定义(1)定义4.1(线性空间) 设V是一个非空集合，且V上有一个二元运算“+”，又设K为数域，V中的元素与K中的元素有运算数量乘法“”,且“+”与“”满足如下性质：1、加法交换律，有；2、加法结合律 ,有；3、存在“零元”，即存在，使得;4、存在负元，即，存在，使得;5、“1律”；6、数乘结合律 ,都有；7、分配律 ,都有；8、分配律，都有，则称V为K上的一个线性空间,我们把线性空间中的元素称为向量.注意:线性空间依赖于“+”和“”的定义，不光与集合V有关。
矩阵分析引论--第一章 线性空间与线性变换-线性空间的概念、 基变换与坐标变换
复数集的一个非空子集，含非零数，对和、差、 积、商(除数不为零)运算封闭.
• 性质：
必包含0与1； 有理数域是最小的数域.
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第一章第一二节 线性空间的概念、基变换与坐标变换
2、线性空间
定义1-1（线性空间） 设V是一非空集合，P是一数域，若
（1）在V上定义了一个二元运算(称为加法, a与b 的和记为a＋b）, 且 a , b V,有 a b V ;
（2）在P与V的元素之间还定义了一种运算(称为
数乘, k与a的数乘记为ka),
且 a V ,k P, 有 ka V ；
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第一章第一二节 线性空间的概念、基变换与坐标变换
（3）加法与数乘满足以下八条规则：
(ⅰ) a b b a； (ⅱ) (a b ) a (b )；
第一章第一二节 线性空间的概念、基变换与坐标变换
第一节 线性空间的概念
一、线性代数回顾
★ n维向量：有序数组 ★ 线性运算：加法、数乘 ★ 运算律（八条） ★ 向量关系：线性相关、线性无关 ★ 向量空间 ★ 子空间 ★基
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第一章第一二节 线性空间的概念、基变换与坐标变换
(ⅲ) a 0 a；
(ⅳ) a (a ) 0；
(ⅴ) 1a a；
(ⅵ) k(la ) (kl)a；
(ⅶ) (k l)a ka la ;(ⅷ) k(a b ) ka kb .
则称集合V为数域P上的线性空间或向量空间.
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第一章第一二节 线性空间的概念、基变换与坐标变换
又若向量 b k1a1 k2a2 knan , 则b 也称为向量 a1,a2,,an 的线性组合，或称 b 可以由向量 a1,a2,,an 线性表示.
高等代数(二)(9287)自学考试大纲
高等代数（二）（9287）自学考试大纲一、课程性质与设置目的（一）课程性质与特点高等代数是湖北省高等教育自学考试数学教育专业的重要基础课之一。
它与解析几何、数学分析、抽象代数、高等几何、常微分方程等其他数学课程都存着密切的联系。
随着科学技术的发展，高等代数的应用越来越广泛。
高等代数内容多，自学中分为两门课程开设，一门是高等代数（一），另一门就是本课程——高等代数（二）。
高等代数（二）在高等代数（一）的基础上继续学习高等代数的基本知识、基本理论、基本方法。
本课程的特点是内容比较抽象，与高等代数（一）联系紧密、不可分割，因此要求高等代数（一）掌握得比较好。
（二）基本要求学习本课程应达到的总体目标是：1）掌握向量空间、线性变换、欧氏空间、二次型等的基本概念、基本的计算方法以及证明方法；2）在熟悉一些常见的向量空间、线性变换、欧氏空间、二次型的基础上，学习抽象的向量空间、线性变换和欧氏空间的基本理论。
通过本课程的学习，培养自学者抽象思维能力和逻辑推理能力，为进一步学习其他的数学专业课程和指导中小学数学教学及其研究打基础。
（三）本课程与相关课程的联系本课程以中学数学、高等代数（一）为基础，与解析几何、数学分析相互联系，为抽象代数、高等几何、常微分方程等后续课程打基础。
高等代数（二）的重点、难点是向量空间和线性变换。
向量空间、线性变换的内容和思想方法掌握得如何，将直接影响欧氏空间和二次型的学习。
二、课程内容与考核目标第一章向量空间（一）学习目的与要求1．理解向量空间的定义，熟悉一些常见的向量空间的例子。
2．理解向量的线性相关、线性无关，线性组合等概念，并注意与高等代数（一）中第三章的n维向量的联系。
–1–3．掌握向量空间的维数、基、坐标的概念及三者的联系。
4．理解基变换与坐标变换的意义及它们之间的联系，并且能用矩阵表示三者的关系。
5．理解向量子空间的概念、性质、判断和子空间中向量与生成元的联系，掌握维数公式并能应用维数公式证明问题。
基变换与坐标变换
本节内容已结束 !! 本节内容已结束 本节内容已结束 ! 本节内容已结束 ! 若想结束本堂课 , 本节内容已结束 !! 本节内容已结束 ! 若想结束本堂课 , 本节内容已结束 本节内容已结束 ! 若想结束本堂课 , 本节内容已结束 ! 本节内容已结束 ! 若想结束本堂课 , 请单击返回按钮 . 本节内容已结束 ! 若想结束本堂课 , 本节内容已结束 ! 若想结束本堂课 , 请单击返回按钮 . 本节内容已结束 ! 若想结束本堂课 , 本节内容已结束 ! 若想结束本堂课 , 请单击返回按钮 . 若想结束本堂课 , 本节内容已结束 ! 若想结束本堂课 , 请单击返回按钮 . 若想结束本堂课 , 请单击返回按钮 . 本节内容已结束 ! 若想结束本堂课 , 请单击返回按钮 . 若想结束本堂课 , 请单击返回按钮 . 本节内容已结束 ! 若想结束本堂课 , 请单击返回按钮 . 请单击返回按钮 . 本节内容已结束 ! 若想结束本堂课 , 请单击返回按钮 . 本节内容已结束 ! 请单击返回按钮 . 本节内容已结束 ! 若想结束本堂课 , 请单击返回按钮 . 本节内容已结束 ! 请单击返回按钮 . 本节内容已结束 ! 若想结束本堂课 , 请单击返回按钮 . 本节内容已结束 ! 本节内容已结束 ! 若想结束本堂课 , 请单击返回按钮 . 本节内容已结束 ! 若想结束本堂课 , 若想结束本堂课 ,, 请单击返回按钮 . 若想结束本堂课 , 若想结束本堂课 请单击返回按钮 . 若想结束本堂课 , 若想结束本堂课 请单击返回按钮 .. , 若想结束本堂课 , 请单击返回按钮 . 请单击返回按钮 请单击返回按钮 .. . 请单击返回按钮 请单击返回按钮 请单击返回按钮 请单击返回按钮 . .
5 14 11 7 3 72 2 1 2 3 1 1 139 14 20 7
基变换公式和坐标变换公式
基变换公式和坐标变换公式一、基变换公式基变换公式是描述向量在不同基底下表示的关系的数学工具。
假设有两组基底b1,…,bb和b1,…,bb，其中bb和bb是向量。
对于给定向量b，其在b1,…,bb和在b1,…,bb基底下的坐标分别为b和b。
基变换公式表达了坐标b和b之间的关系，即b=bb。
具体来说，对于给定的基变换矩阵b，我们可以通过矩阵乘法来完成基变换。
假设向量b在b1,…,bb基底下的坐标为向量b，我们可以通过矩阵乘法b=bb来获得向量b在b1,…,bb基底下的坐标b。
基变换公式的实质是将向量在一个基底下表示的坐标转化为在另一个基底下的表示。
二、坐标变换公式坐标变换公式描述的是在同一基底下的向量坐标之间的变换关系。
假设有两个向量b1和b2，在同一组基底b1,…,bb下的坐标分别为b1和b2。
坐标变换公式通过一个矩阵的乘法运算来表示不同坐标之间的转换。
具体而言，对于给定的坐标变换矩阵b，我们可以通过b2=bb1来实现坐标之间的变换。
在实际应用中，坐标变换公式常常用于描述向量在空间中的位置关系。
通过坐标变换公式，我们可以方便地计算不同坐标间的关系，进而实现对向量位置的准确描述和计算。
结论基变换公式和坐标变换公式作为数学工具在向量表示和计算中具有重要作用。
基变换公式描述了向量在不同基底下的表示关系，通过矩阵乘法完成基之间的转换；而坐标变换公式则描述了向量在同一基底下坐标之间的变换关系，通过矩阵乘法完成不同坐标的转换。
这两个公式为向量表示和计算提供了有力的数学工具，为实际问题的求解提供了便利。
高等代数北大版64
,?
n
)
? ? ??
a2 an
? b2 M ? bn
? ? ??
若? 1,? 2,L ,? n 线性无关，则
? a1 ?
? b1 ?
(? 1,? 2 ,L
,?
n
)
? ? ??
aaM2n ????
?
(?
1,?
2 ,L
,?
n
)
? ? ??
bbMn2 ????
?
? a1 ? ? b1 ?
? ? ??
aaMn2 ????
1)? 1,? 2 ,L ,? n ? V ,a1,a2,L , an , b1,b2,L , bn ? P
? a1 ?
? b1 ?
? a1 ? b1 ?
(? 1,? 2 ,L
,?
n
)
? ? ??
aaMn2 ????
?
(?
1
,?
2
,L
,? n )????bbMn2 ???? ? (? 1,? 2,L
§6.4 基变换与坐标变换
一、向量的形式书写法
1、V为数域 P上的 n 维线性空间，? 1,? 2 ,L ,? n 为
V 中的一组向量， ? ? V ，若
? ? x1? 1 ? x2? 2 ? L ? xn? n
则记作
? x1 ?
?
? (? 1 ,? 2 ,L
,?
n
)
? ? ??
xxMn2 ????
§6.4 基变换与坐标变换
二、基变换
1、定义 设V为数域P上n维线性空间，?1 ,?2 ,L ,?n ；
?1?,?2?,L ,?n? 为V中的两组基，若
1.2_基与坐标、坐标变换
1 1 1 1
P 0 1 1 1 . 0 0 1 1 0 0 0 1
过渡矩阵的性质： (1) 过渡矩阵是可逆矩阵 (为什么)；
(2) 若 P 是1, 2 ,, m 到 1, 2 ,, m 的过渡 矩阵，则 P -1 是1, 2 ,, m 到 1, 2 ,, m 的过渡
矩阵.
下面考虑同一个向量在不同基 下的坐标有什么关系呢？
一组基.
由泰勒公式， R[x]n 中任意元素 f ( x) f (a) f '(a)(x a) f ''(a) ( x a)2 2! f (n1)(a) ( x a)n1 (n 1)!
因此，元素 f (x) 在这组基下的坐标是
( f (a), f '(a), f ''(a), , f (a)) (n1) .
设 1,2 , ,n 与 1, 2 , , n 是线性空间 V 中的两组基， 那么对 V 中的任意向量 V ，有：
(1,2 ,
x1
,
n
)
x2
xn
(1, 2 ,
y1
,
n
)
y2
yn
(1, 2 , , n ) (1,2 , ,n )P
x1 y1
x2
都是 R3 的基，R3 是 3 维线性空间.
例2. 实数域 R 上的线性空间 R22 中的向量组
0 1 1 0 1 1 1 1 1 1, 1 1, 0 1, 1 0与Fra bibliotek量组1 0
0 0
,
1 0
1 0
,
1 1
1 0
,
1 1
1 1
都是 R22 的基，R22 是 4 维线性空间.
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解：设 1 (1,0,0,0), 2 (0,1,0,0), 3 (0,0,1,0), 4 (0,0,0,1)
则有
1 1 1 1
(1,2
,3
,4
)
(1,
2
,
3
,
4
)
2 1 0
1 1 1
2 1 1
1
0 1
或
1 1 1 11
(1,2,3,4 )
(1,2
,3
,4
)
2 1 0
1 1 1
2 1 1
③
又由基 1, 2 ,L , n到1,2 ,L ,n 也有一个过渡矩阵,
设为B，即 (1,2 ,L ,n ) (1, 2 ,L , n )B
④
比较③ 、④两个等式，有
(1, 2 ,L , n ) (1, 2 ,L , n )BA
(1,2 ,L ,n ) (1,2 ,L ,n ) AB
Q 1,2 ,L ,n; 1, 2 ,L , n 都是线性无关的,
a22 L an2
L L L
a2n x2
L ann
xMn
⑥
x1 a11 a12 L a1n 1 x1
或
x2 xMn
a21 L an1
a22 L an2
L L L
a2n L ann
x2
xMn
⑦
称⑥或⑦为向量ξ在基变换⑤下的坐标变换公式．
例1 在Pn中，求由基 1,2,L ,n 到基1,2,L ,n 的过渡矩阵及由基1,2,L ,n 到基 1,2,L ,n 的
的基变换公式．
2、有关性质
1）过渡矩阵都是可逆矩阵；反过来，任一可逆
矩阵都可看成是两组基之间的过渡矩阵．
证明：若 1,2 ,L ,n; 1, 2 ,L , n 为V的两组基,
且由基 1,2 ,L ,n到1, 2 ,L , n 的过渡矩阵为A，
即 (1, 2 ,L , n ) (1,2 ,L ,n ) A
(1,2 ,L ,n )AB
三、坐标变换
1、定义：V为数域P上n维线性空间 1, 2 ,L , n;
1, 2 ,L , n 为V中的两组基，且
a11 a12 L a1n
(1, 2 ,L
, n )
(1, 2 ,L
,
n
)
a21 L
a22 L
L L
a2n L⑤Βιβλιοθήκη an1 an2 L ann
设 V且ξ在基 1, 2 ,L , n与基 1, 2 ,L , n
1 0 0
1 1
1 0
11
又 A 3E11 5E12, 4E21 2E22
设A在基 F11, F12,F21, F22下的坐标为( x1, x2 , x3 , x4 ),
x1 1 1 1 11 3
则
x2 x3 x4
0 0 0
1 0 0
1 1 0
1 11
5
4 2
1 1 0 0 3 8
0 0 0
1 0 0
1 1 0
0 11
5 4 2
1 2 2
即A在基 F11, F12,F21, F22下的坐标为(8,1, 2, 2).
作业
P274 ９.３) 10.
AB BA E. 即，A是可逆矩阵,且A－1＝B.
反过来，设 A (aij )nn 为P上任一可逆矩阵，
任取V的一组基 1,2 ,L ,n ,
n
令 j aiji , j 1,2,L , n
i 1
于是有， (1, 2 ,L , n ) (1,2 ,L ,n ) A
由A可逆，有 (1,2,L ,n ) (1, 2,L , n )A1
1
0 1
，
2 0 2 1
(1,2
,3
,4
)
(1,
2
,
3
,
4
)
1 0 1
1 2 2
1 1 2
3
1 2
从而有 (1,2,3,4 )
1 1 1 11 2 0 2 1
(1,2
,3
,4
)
2 1 0
1 1 1
2 1 1
1
0 1
1 1
0 1
2 2
1 1 2
3
1 2
1 1 1 11 2 0 2 1
, n )
(1, 2 ,L
,
n
)
a21 L
a22 L
L L
a2n L
②
an1 an2 L ann
则称矩阵
a11 a12 L
A
a21 L an1
a22 L an2
L L L
a1n
a2n L ann
为由基1, 2 ,L , n到基 1, 2 ,L , n 的过渡矩阵；
称 ① 或 ② 为由基 1, 2 ,L , n到基 1, 2 ,L , n
(a1,a2 ,L ,an )
设 在基 1,2 ,L ,n下的坐标为 ( x1, x2 ,L , xn )，则
x1 x2 xMn
1 1 0 L 0
0 1 1 L 0
0 0 1 L 0
L L L L L
0 0 0 L 1
a1 a2 aMn
a1 a2 a1
M an an1
所以 在基 1,2 ,L ,n 下的坐标为
(a1,a2 a1,L ,an an1 )
例2 在P4中，求由基1,2,3,4 到基1,2,3,4
的过渡矩阵，其中
1 (1,2, 1,0) 2 (1, 1,1,1) 3 (1,2,1,1) 4 (1,1,0,1)
1 (2,1,0,1) 2 (0,1, 2, 2) 3 (2,1,1, 2) 4 (1,3,1, 2)
二、基变换
1、定义
设V为数域P上n维线性空间，1, 2 ,L , n ； 1, 2 ,L , n 为V中的两组基，若
1
a11 1
a21 2
L
an1 n
Ln2
L
a12 1
LL
a1n 1
L
a22 2 L
LLLL
a2n 2 L
L
an2 n
LL
ann n
①
即，
a11 a12 L a1n
(1, 2 ,L
并求矩阵 A
3 4
5 2
在基 F11, F12 , F21, F2下2 的矩阵.
解：
Q
F11 E11
F12 F21 F22
E11 E11 E11
E12 E12 E12
E21 E21
E22
1 1 1 1
(
F11
,
F12,
F21
,
F22
)
(
E11
,
E12,
E21
,
E22
)
0 0 0
L 0
L 0
LL 0L
L 1
故，由基 1,2,L ,n 到基 1,2,L ,n 的过渡矩阵为
1 0 L 0
1 1 L 0
L1
L 1
L L
L 1
由基1,2,L ,n 到基 1,2,L ,n 的过渡矩阵为
1 0 0 L 0
1 1 0 L 0
0 1 1 L 0
L 0
L 0
L 0
L L
L 1
(a1,a2 ,L ,an )在基 1, 2 ,L , n下的坐标就是
3）若由基1,2 ,L ,n到基1, 2 ,L , n过渡矩阵为A, 由基 1, 2 ,L , n到基 1, 2 ,L , n过渡矩阵为B，则 由基 1,2 ,L ,n到基 1, 2 ,L , n 过渡矩阵为AB.
事实上,若 (1, 2 ,L , n ) (1,2 ,L ,n ) A
( 1, 2 ,L , n ) (1, 2 ,L , n )B 则有，( 1, 2 ,L , n ) ((1,2 ,L ,n ) A)B
b1 a1 b1
(1,2 ,L
,
n
)
a2 M
(1,2 ,L
,
n
)
b2 M
a2 M
b2 M
an
bn an bn
2) 1,2 ,L ,n；1, 2 ,L , n 为V中的两组向量，
矩阵 A, B P nn，则
((1,2 ,L ,n )A)B (1,2,L ,n )( AB)；
(1
,2
,3
,4
)
2 1 0
1 1 1
2 1 1
1
0 1
1 1
0 1
2 2
1 1 2
3
1 2
1 0 0 1
(1
,2
,3
,4
)
1 0 0
1 1 0
0 1 1
1
1 0
∴由基 1,2,3,4 到基1,2,3,4 的过渡矩阵为
1 0 0 1
1 1 0 1
0 0
1 0
1 1
1 0
练习：已知 P 22 的两组基：
1)1,2 ,L ,n V ,a1,a2 ,L ,an ,b1,b2 ,L ,bn P
a1
b1
(1,2 ,L
,
n
)
a2 M
(1,2 ,L
,
n
)
b2 M
an
bn a1 b1
(1,2 ,L
,
n
)
a2
b2 M
若1,2 ,L ,n 线性无关，则
an bn
a1
1 a111 a212 L an1n
2
L
n