不同坐标系之间的变换
常用坐标系及其间的转换
将式（1.4）中之φ0、 α0 分别用 B0、 A0 代替。即可得到。
3. 发射坐标系与箭体坐标系间的欧拉角及方向余弦阵 这两个坐标系的关系用以反映箭体相对于发射坐标系的姿态角。为使一般一状态下
这两坐标系转至相应轴平行，现采用下列转动顺序：先绕 oz 轴正向转动ϕ 角，然后绕
新的 y′ 轴正向转动ψ 角，最后绕新的 x1 轴正向转γ 角。两坐标系的欧拉角关系如图 1.4
用该坐标系与其它坐标系的关系反映出火箭的飞行速度矢量状态。
1.1.2 坐标系间转换
1. 地心惯性坐标系与地心坐标之间的方向余弦阵
由定义可知这两坐标系的 oE ZI ， oE ZE 是重合的，而 oE X I 指向平春分点 oE X E 指
向所讨论的时刻格林威治天文台所在子午线一赤道的交点， oE X I 与 oE X E 的夹角要通
cosα0 cosλ0 + sinα0 sinφ0 sin λ0
cosα0 cosφ0 ⎤
sinφ0
⎥ ⎥
−sinα0 cosφ0 ⎦⎥
（1.4）
若将地球考虑为总地球椭球体，则发射点在椭球体上的位置可用经度 λ0 ，地理纬
度 B0 确定， ox 轴的方向则以射击方位角 A0 表示。这样两坐标系间的方向余弦阵只需
过天文年历年表查算得到，记该角为 ΩG ，显然，这两个坐标系之间仅存在一个欧拉角
ΩG ，因此不难写出两个坐标系的转换矩阵关系。
⎡XE⎤
⎡XI ⎤
⎢ ⎢
YE
⎥ ⎥
= EI
⎢ ⎢
YI
⎥ ⎥
(1.1)
⎢⎣ ZE ⎥⎦
⎢⎣ ZI ⎥⎦
其中
பைடு நூலகம்
⎡ cos ΩG sin ΩG 0⎤
直角坐标和极坐标的变换关系是什么
直角坐标和极坐标的变换关系是什么直角坐标系和极坐标系是数学中常见的两种坐标系表示方法，它们之间存在一种特殊的变换关系。
这个关系可以让我们在两种不同的坐标系下进行坐标的转换和计算，从而方便地描述平面上的点位置和运动。
直角坐标系直角坐标系，也称为笛卡尔坐标系，是由两条互相垂直的轴构成的平面坐标系统。
一般来说，我们将水平轴表示为X轴，垂直轴表示为Y轴。
直角坐标系中的点，用一个有序数对 (x, y) 来表示，其中 x 表示点在X轴上的水平位置，y 表示点在Y轴上的垂直位置。
在直角坐标系中，我们可以通过直线的斜率来描述线的特性，以及用向量来表示位移、速度和加速度等概念。
此外，直角坐标系还适用于描述几何图形的方程，如线段、圆、椭圆等。
极坐标系极坐标系是另一种常见的坐标系，它将点的位置表示为极径和极角。
极径表示点到原点的距离，而极角表示该点与极径所在直线的夹角。
在极坐标系中，我们用一个有序数对(r, θ) 来表示点的位置。
其中 r 表示点到原点的距离，θ 表示点与极径所在直线的夹角。
极径通常是非负数，而极角一般采用弧度制表示。
极坐标系的优势在于它对于描述旋转对称的问题特别有用。
例如，绘制圆形、螺旋线等图形时，使用极坐标系比直角坐标系更为方便。
直角坐标系到极坐标系的变换直角坐标系与极坐标系之间存在一种特殊的变换关系。
这个关系允许我们在两种坐标系之间进行转换，从而方便地进行问题的求解。
将直角坐标系中的点(x, y)转换为极坐标系中的点(r, θ)的过程如下：1.计算点(x, y)到原点的距离 r，可以使用勾股定理，即r = √(x^2 +y^2)。
2.计算点(x, y)的极角θ，可以使用反三角函数，即θ = arctan(y / x)。
需要注意的是，当 x 小于0时，需要加上π或180°来调整极角的范围。
将极坐标系中的点(r, θ)转换为直角坐标系中的点(x, y)的过程如下：1.计算点(r, θ)在X轴上的水平位置 x，通过x = r * cos(θ) 得到。
工程测量中不同坐标系变换与精度
工程测量中不同坐标系变换与精度
工程测量中，不同坐标系之间的变换和精度非常重要。
其中，常用的坐标系包括平面
直角坐标系、大地坐标系、投影坐标系等，不同坐标系之间的变换需要考虑到坐标系的基
准面、坐标轴方向、单位等因素。
一、坐标系的基准面
1. 平面直角坐标系的基准面为水平面，通常采用大地水准面作为参考面。
3. 投影坐标系的基准面通常为椭球面或平面，不同的投影方式会导致不同的基准面。
二、坐标轴方向的变换
不同坐标系的坐标轴方向也可能不同，因此需要进行某些坐标轴的转换。
1. 平面直角坐标系通常采用右手坐标系，其中x轴与东向、y轴与北向成正交关系。
2. 大地坐标系中，通常采用地心坐标系或以某个恒星为基准的坐标系，其中z轴与
地轴或某个恒星的指向相同。
3. 投影坐标系的坐标轴方向也有所不同，例如通常采用高斯投影系统的平面坐标系中，x轴指向中央经线的正方向，y轴指向赤道正方向。
三、单位的变换
2. 大地坐标系中，通常采用度或弧度作为单位。
四、变换精度的影响
不同坐标系之间的变换会影响精度，因此需要进行适当的考虑和处理。
1. 坐标系的变换会引入误差，误差的大小与变换参数的精度有关。
2. 不同坐标系之间的误差也有所不同，例如平面直角坐标系与大地坐标系之间的误
差通常比两个大地坐标系之间的误差更小。
综上所述，工程测量中的不同坐标系之间的变换和精度是非常重要的，需要进行适当
的考虑和处理。
为了保证测量的精度和稳定性，应选择合适的坐标系和变换方法，并进行
精确的计算和校正。
不同空间直角坐标系的转换
不同空间直角坐标系的转换
欧勒角
不同空间直角坐标系的转换，包括三个坐标轴的平移和坐标轴的旋转，以及两个坐标系的尺度比参数，坐标轴之间的三个旋转角叫欧勒角。
三参数法
三参数坐标转换公式是在假设两坐标系间各坐标轴相互平行，轴系间不存在欧勒角的条件下得出的。
实际应用中，因为欧勒角不大，可以用三参数公式近似地进行空间直角坐标系统的转换。
公共点只有一个时,采用三参数公式进行转换。
七参数法
用七参数进行空间直角坐标转换有布尔莎公式，莫洛琴斯基公式和范氏公式等。
下面给出布尔莎七参数公式：
坐标转换多项式回归模型
坐标转换七参数公式属于相似变换模型。
大地控制网中的系统误差一般呈区域性，当区域较小时，区域性的系统误差被相似变换参数拟合，故局部区域的坐标转换采用七参数公式模型是比较适宜的。
但对全国或一个省区范围内的坐标转换，可以采用多项式回归模型，将各区域的系统偏差拟合到回归参数中，从而提高坐标转换精度。
两种不同空间直角坐标系转换时，坐标转换的精度取决于坐标转换的数学模型和求解转换系数的公共点坐标精度，此外，还与公共点的分布有关。
鉴于地面控制网系统误差在⎥⎥⎥⎦
⎤⎢⎢⎢⎣⎡+⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡000111222Z Y X Z Y X Z Y X ⎥⎥⎥⎦
⎤⎢⎢⎢⎣⎡+⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡---+⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡+=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡000111111222000)1(Z Y X Z Y X Z Y X m Z Y X X Y X Z Y Z εεεεεε
不同区域并非是一个常数，所以采用分区进行坐标转换能更好地反映实际情况，提高坐标转换的精度。
坐标系的转换
对于坐标系之间的转换，目前我们国家有以下几种：1、大地坐标（BLH）对平面直角坐标（XYZ）；2、北京54全国80及WGS84坐标系的相互转换；3、任意两空间坐标系的转换。
坐标转换就是转换参数。
常用的方法有三参数法、四参数法和七参数法。
以下对上述三种情况作转换基本原理描述如下：1、大地坐标（BLH）对平面直角坐标（XYZ）常规的转换应先确定转换参数，即椭球参数、分带标准（3度，6度）和中央子午线的经度。
椭球参数就是指平面直角坐标系采用什么样的椭球基准，对应有不同的长短轴及扁率。
一般的工程中3度带应用较为广泛。
对于中央子午线的确定的一般方法是:平面直角坐标系中Y坐标的前两位*3，即可得到对应的中央子午线的经度。
如x=3888888m，y=388888666m，则中央子午线的经度=38*3=114度。
另外一些工程采用自身特殊的分带标准，则对应的参数确定不在上述之列。
确定参数之后，可以用软件进行转换，以下提供坐标转换的程序下载。
2、北京54全国80及WGS84坐标系的相互转换这三个坐标系统是当前国内较为常用的，它们均采用不同的椭球基准。
其中北京54坐标系，属三心坐标系，大地原点在苏联的普而科沃，长轴6378245m，短轴6356863，扁率1/298.3；西安80坐标系，属三心坐标系，大地原点在陕西省径阳县永乐镇，长轴6378140m，短轴6356755，扁率1/298.25722101；WGS84坐标系，长轴6378137.000m，短轴6356752.314，扁率1/298.257223563。
由于采用的椭球基准不一样，并且由于投影的局限性，使的全国各地并不存在一至的转换参数。
对于这种转换由于量较大，有条件的话，一般都采用GPS联测已知点，应用GPS软件自动完成坐标的转换。
当然若条件不许可，且有足够的重合点，也可以进行人工解算。
详细方法见第三类。
3、任意两空间坐标系的转换由于测量坐标系和施工坐标系采用不同的标准，要进行精确转换，必须知道至少3个重合点（即为在两坐标系中坐标均为已知的点。
坐标系微分变换
坐标系微分变换微分变换是数学中的一种重要工具，广泛应用于物理学、工程学、经济学等领域。
其中，坐标系微分变换是一种常用的方法，用于描述和分析坐标系的变换规律。
本文将对坐标系微分变换进行详细的介绍和讨论，包括定义、常见的坐标系变换、坐标系变换的微分表示以及应用举例等。
1. 定义坐标系微分变换是指通过一个映射将不同坐标系之间的点进行相互转换的过程。
在二维平面内，我们通常采用笛卡尔坐标系（直角坐标系）表示点的位置，其中点的坐标由横纵坐标表示。
但在实际问题中，常常需要使用其他坐标系，如极坐标系、柱坐标系等，此时就需要进行坐标系的变换。
2. 常见的坐标系变换（1）笛卡尔坐标系与极坐标系的变换：在二维平面内，笛卡尔坐标系（x，y）与极坐标系（r，θ）之间的变换关系可以表示为：x = r*cosθy = r*sinθ（2）笛卡尔坐标系与柱坐标系的变换：在三维空间内，笛卡尔坐标系（x，y，z）与柱坐标系（ρ，θ，z）之间的变换关系可以表示为：x = ρ*cosθy = ρ*sinθz = z（3）笛卡尔坐标系与球坐标系的变换：在三维空间内，笛卡尔坐标系（x，y，z）与球坐标系（r，θ，φ）之间的变换关系可以表示为：x = r*sinφ*cosθy = r*sinφ*sinθz = r*cosφ3. 坐标系变换的微分表示在进行坐标系变换时，我们需要考虑坐标系之间的微小变化。
这种微小变化可以通过微分来描述。
以二维平面为例，设（x，y）为笛卡尔坐标系下的点，（r，θ）为极坐标系下的点，则在微小的变换过程中，两者的微分关系可以表示为：dx = dr*cosθ-r*sinθ*dθdy = dr*sinθ+r*cosθ*dθ类似地，对于三维空间内的其他坐标系变换，也可以得到相应的微分关系表达式。
4. 应用举例坐标系微分变换在物理学、工程学等领域有着广泛的应用。
下面以工程学中的机器人运动学为例，展示坐标系微分变换在实际问题中的应用。
直角坐标系到极坐标系的变换
直角坐标系到极坐标系的变换随着科学技术的发展，我们在研究和描述物理现象时，常常需要使用不同的坐标系来表示空间中的点。
直角坐标系和极坐标系是其中两种常用的坐标系。
它们之间的转换是我们在解决问题时常常需要考虑的一个重要环节。
直角坐标系直角坐标系是我们最为熟悉的坐标系之一。
在直角坐标系中，我们使用坐标轴来描述一个点在空间中的位置。
通常，我们使用 x 轴和 y 轴来确定点的位置。
对于平面直角坐标系，我们还可以引入 z 轴作为垂直于 xy 平面的轴来描述点的位置。
在直角坐标系中，一个点的位置可以用一个有序数对 (x, y) 或有序数齐 (x, y, z) 来表示。
x 坐标代表点在 x 轴上的投影位置，y 坐标代表点在 y 轴上的投影位置，z 坐标代表点在 z 轴上的投影位置。
极坐标系与直角坐标系不同，极坐标系使用距离和角度来描述一个点在空间中的位置。
在极坐标系中，我们使用极径和极角来确定点的位置。
极径（r）代表点到原点的距离，极角（θ）代表点到正 x 轴的角度。
通过给定的极径和极角，我们可以准确地确定点的位置。
直角坐标系到极坐标系的转换公式我们可以通过一些简单的公式将直角坐标系的坐标转换为极坐标系的坐标。
对于二维空间中的点 (x, y)，其对应的极坐标为(r, θ)：r = sqrt(x^2 + y^2)θ = arctan(y / x)其中，sqrt()表示平方根函数，arctan()表示反正切函数。
值得注意的是，由于反正切函数的定义域为 [-π/2, π/2]，所以上述公式只在点(x, y) 不在 x 轴上时成立。
如果点在 x 轴上，可以通过下列方式给出极角的取值范围：•当y ≥ 0 时，θ = 0•当 y < 0 时，θ = π极坐标系到直角坐标系的转换公式同样地，我们也可以通过公式将极坐标系的坐标转换为直角坐标系的坐标。
对于二维空间中的点(r, θ)，其对应的直角坐标为 (x, y)：x = r * cos(θ)y = r * sin(θ)其中，cos()表示余弦函数，sin()表示正弦函数。
测量中常见的坐标转换方法和注意事项
测量中常见的坐标转换方法和注意事项在测量工作中，坐标转换是一个非常关键的步骤。
它可以将不同坐标系下的测量数据进行转换，以便更好地进行分析和比较。
本文将讨论测量中常见的坐标转换方法和注意事项，以帮助读者更好地理解和应用这些知识。
一、常见的坐标转换方法1. 直角坐标系与极坐标系的转换直角坐标系和极坐标系是我们常见的两种坐标系，它们在不同的情况下都有各自的优势。
当我们在进行测量时，有时需要将直角坐标系转换为极坐标系，或者反过来。
这时我们可以使用以下公式进行转换：直角坐标系 (x, y) 转换为极坐标系(r, θ)：r = √(x^2 + y^2)θ = arctan(y/x)极坐标系(r, θ) 转换为直角坐标系 (x, y)：x = r * cosθy = r * sinθ2. 地理坐标系与平面坐标系的转换在地理测量中，我们常常需要将地理坐标系与平面坐标系进行转换。
地理坐标系是以地球表面为基准的坐标系，而平面坐标系则是在局部范围内采用平面近似地球的坐标系。
转换的目的是为了将地球上的经纬度转换为平面上的坐标点，或者反过来。
这时我们可以使用专门的地图投影算法进行转换，例如常见的墨卡托投影、UTM投影等。
3. 坐标系之间的线性转换有时，我们需要将一个坐标系中的点的坐标转换到另一个坐标系中。
这时我们可以通过线性变换来实现。
线性变换定义了一个坐标系之间的转换矩阵，通过乘以这个转换矩阵，我们可以将一个坐标系中的点的坐标转换到另一个坐标系中。
常见的线性变换包括平移、旋转、缩放等操作，它们可以通过矩阵运算进行描述。
二、坐标转换的注意事项1. 坐标系统选择的准确性在进行坐标转换时，必须保证所选择的坐标系统是准确可靠的。
不同的坐标系统有不同的基准面和基准点，选择错误可能导致转换结果出现较大误差。
因此，在进行测量时，我们应该仔细选择坐标系统，了解其基本原理和适用范围。
2. 数据质量的控制坐标转换所依赖的输入数据必须具有一定的质量保证。
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§10.6不同坐标系之间的变换
10.6.1欧勒角与旋转矩阵
对于二维直角坐标，如图所示，有：
⎥⎦
⎤
⎢⎣⎡⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡1122cos sin sin cos y x y x θθθθ(10-8)
在三维空间直角坐标系中，具有相同原点的两坐标系间的变换一般需要在三个坐标平面上，通过三次旋转才能完成。
如图所示，设旋转次序为： ①绕1OZ 旋转Z ε角，11,OY OX 旋
转至0
0,OY OX ；
②绕0
OY 旋转Y ε角
10
,OZ OX 旋转至0
2
,OZ OX ； ③绕2OX 旋转X ε角，
0,OZ OY 旋转至22,OZ OY 。
Z Y X εεε,,为三维空间直角坐标变换的三个旋转角，也称欧勒角，与
它相对应的旋转矩阵分别为：
⎥⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎢⎣⎡-=X X
X X X R εεεεεcos sin 0sin cos 00
01
)(1 (10-10)
⎥⎥⎥⎦
⎤⎢⎢⎢⎣⎡-=Y Y
Y Y
Y R εεεεεcos 0sin 010sin 0cos )(2 (10-11)
⎥⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎢⎣⎡-=10
0cos sin 0sin cos )(3Z
Z Z Z
Z R εεεεε (10-12)
令 )()()(3210Z Y X R R R R εεε= (10-13)
则有：
⎥⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡1110111321222)()()(Z Y X R Z Y X R R R Z Y X Z Y X εεε (10-14) 代入：
⎥⎥⎥⎦
⎤⎢⎢
⎢⎣⎡
+-+++--=Y X Z Y X Z X Z Y X Z X Y X Z Y X Z X Z Y X Z X Y Z Y Z Y R εεεεεεεεεεεεεεεεεεεεεεεεεεεεεcos cos sin sin cos cos sin cos sin cos sin sin cos sin sin sin sin cos cos cos sin sin sin cos sin sin cos cos cos 0一般Z Y X εεε,,为微小转角，可取：
sin sin sin sin sin sin sin ,sin ,sin 1cos cos cos =========Z Y Z X Y X Z
Z Y Y X X Z Y X εεεεεεεεεεεεεεε
于是可化简
⎥⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎢⎣⎡---=111
0X
Y
X Z Y Z
R εεεεεε (10-16) 上式称微分旋转矩阵。
10.6.2不同空间直角坐标之间的变换
当两个空间直角坐标系的坐标换算既有旋转又有平移时，则存在三个平移参数和三个旋转参数，再顾及两个坐标系尺度不尽一致，从而还有一
个尺度变化参数，共计有七个参数。
相应的坐标变换公式为：
⎥⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎢⎣⎡∆∆∆+⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡---+⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡+=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡000111111222000)1(Z Y X Z Y X Z Y X m Z Y X X
Y
X Z Y Z
εεεεεε(10-17) 上式为两个不同空间直角坐标之间的转换模型，其中含有7个转换参数，为了求得7个转换参数，至少需要3个公共点，当多于3个公共点时，可按最小二乘法求得个参数的最或是值。
10.6.3不同大地坐标系的变换
对于不同大地坐标系的换算，除包含三个平移参数、三个旋转参数和一个尺度变化参数外，还包括两个地球椭球元素变化参数，以下推导不同大地坐标系的换算公式。
由(7-30)式
⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎣⎡+-++=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡B H e N L B H N L B H N Z Y X sin ])1([sin cos )(cos cos )(2
取全微分得
⎥⎦⎤
⎢⎣⎡+⎥⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡αd da A dH dB dL J dZ dY dX (10-19) 式中
⎥⎥⎥
⎦
⎤⎢⎢
⎢
⎣⎡++-++-+-=⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢
⎢⎢⎣⎡∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂=B B H M L B L B H M L B H N L B L B H M L B H N H Z B
Z L
Z H Y B Y L Y H X B X
L X
J sin cos )(0cos cos sin sin )(cos sin )(cos cos cos sin )(sin cos )((10-20)
⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡-+-----=⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢
⎢⎢⎣⎡∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂=)sin cos 1(sin 1sin )1(sin sin cos 1sin cos sin cos cos 1cos cos 222222
B e B B M B e a
N B
L B M L B a
N B L B M L B a N Z a
Z Y a Y X
a X
A ααα
α
αα (10-21)
上式两端乘以1-J 并加以整理得：
⎥⎦⎤
⎢⎣⎡-⎥⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--αd da A J dZ dY dX J dH dB dL 11 (10-22)
式中
⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎣⎡-⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡111222Z Y X Z Y X dZ dY dX
⎥⎥⎥
⎦
⎤⎢⎢⎢⎣⎡-⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡111222H B L H B L dH dB dL 顾及（10-21）式及
⎥⎥
⎥⎥
⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢
⎢⎣
⎡
++-
+-++-=-B L
B L B H M B H M L B H M L B B H N L B H N L J sin sin cos cos cos cos sin sin cos sin 0
cos )(cos cos )(sin 1
(10-23) （10-22）式可写为：
=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡dH dB dL ⎥⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎢⎣⎡∆∆∆⎥⎥⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤⎢⎢
⎢⎢⎢⎢⎣
⎡''+'
'+-''+-'
'+''+-000sin sin cos cos cos cos sin sin cos sin 0
cos )(cos cos )(sin Z Y
X B L
B L B H
M B H M L B H
M L B B H N L
B H N L ρρρρρ ⎥⎥⎥⎦⎤
⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎥⎥⎦
⎤⎢⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
'
'''---+Z Y X L
B B Ne L B B Ne L
L
L tgB L tgB εεερρ0cos cos sin sin cos sin 0cos sin 1sin cos 2
2
m
H B e N B B e H M N ⎥⎥⎥⎦
⎤⎢⎢⎢⎣⎡+-''+-+)sin 1(cos sin 0
2
22ρ
⎥
⎦⎤⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦
⎤
⎢
⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡----''-+-''++ααραρd da B B e M B e a N B B H M B e M B B e a H M N 2
222
2222sin )sin 1(1)sin 1(cos sin )1)(()
sin 2(cos sin )(0
(10-24)
上式通常称为广义大地坐标微分公式或广义变换椭球微分公式。
如略去旋转参数和尺度变化参数的影响，即简化为一般的大地坐标微分公式。
根据3个以上公共点的两套大地坐标值，可列出9个以上(10-24)式的方程，可按最小二乘法求得8个转换参数。