坐标系中图形运动变换问题专项训练
专题4.2 坐标系中平移的几何综合(压轴题专项讲练)(浙教版)(原卷版)
专题4.2 坐标系中平移的几何综合【典例1】如图，在平面直角坐标系中，点A，B的坐标分别为A(0，3)，B(6，3)，现同时将点A，B分别向下平移3个单位，再向左平移2个单位，分别得到点A，B的对应点C，D，连接AC，BD，AB．（1）求点C，D的坐标；（2）点M从O点出发，以每秒1个单位的速度向上平移运动．设运动时间为t秒，问：是否存在这样的t使得四边形OMDB的面积为12？若存在，请求出t的值，若不存在，请说明理由．（3）在（2）的条件下，点M从O点出发的同时，点N从D点出发，以每秒2个单位的速度向左平移运动，当点N到达点O时运动停止．设射线BN交y轴于点E．设运动时间为t秒，问：S△EMB−S△OEN的值是否会发生变化？若不变，请求出它的值；若变化，请说明理由．（1）根据点的坐标及平移方法即可确定；（2）过B作BH⊥OD的延长线，垂足为H．由（1）中点的坐标得出D=6,DH=2,OD=4，AB=6，设M点坐标为（0，t），连接MB、OB，则四边形OMDB的面积等于△OBD的面积加上△OMD的面积等于12，然后解出t即可；（3）设运动时间为t秒，OM=t，ON=4-2t(0≤t≤2)，过B作BH⊥OD的延长线，垂足为H，连接MB，OB，结合图形可得SΔEMB−SΔOEN=S△ONB+S△OMB，然后代入求解即可．（1）解：∵点A，B的坐标分别为A(0，3)，B(6，3)，将点A，B分别向下平移3个单位，再向左平移2个单位∴C（-2,0），D（4,0）；（2）解：存在；如图，过B作BH⊥OD的延长线，垂足为H．由题意得点C 和点D 的坐标分别为（-2,0）和（4,0）．A (0，3)，B (6，3)，∴CD =6,DH =2,OD =4，AB =6，设M 点坐标为（0，t ），连接MB 、OB ，∴OM =t ．∵S 四边形OMBD =S △OBD +S △OMB =12，∴12OD·BH +12OM·AB =12,即12×4×3+12t ×6=12，解得t =2；（3）解：不变．理由如下：如图所示，设运动时间为t 秒，OM =t ，ON =4-2t (0≤t≤2)，过B 作BH ⊥OD 的延长线，垂足为H ，连接MB ，OB ，∵S ΔEMB −S ΔOEN =S 四边形OMBN ，S 四边形OMBN =S △ONB +S △OMB ，∴S ΔEMB −S ΔOEN =S △ONB +S △OMB=12ON·BH +12OM·AB=12×(4−2t )×3+12t ×6=6-3t+3t=6；∴SΔEMB−SΔOEN为定值6，故其值不会变化．1．（2022春·四川自贡·七年级四川省荣县中学校校考阶段练习）如图，在正方形网格中，横、纵坐标均为整数的点叫做格点，点A、B、C、O均在格点上，其中O为坐标原点，A(﹣3，3)．（1）点C的坐标为 ；（2）将△ABC向右平移6个单位，向下平移1个单位，对应得到△A1B1C1，请在图中画出平移后的△A1B1C1，并求△A1B1C1的面积；（3）在x轴上有一点P，使得△PA1B1的面积等于△A1B1C1的面积，直接写出点P坐标．2．（2022春·广东韶关·七年级统考期中）如图，平面直角坐标系中，已知点A(−3,3)，B(−5,1)，C(−2,0)，P(a,b)是ΔABC的边AC上任意一点，ΔABC经过平移后得到△A1B1C1，点P的对应点为P1(a+6,b−2)．（1）直接写出点A1，B1，C1的坐标．（2）在图中画出△A1B1C1．（3）连接AA1，AO，A1O，求ΔAOA1的面积．（4）连接BA1，若点Q在y轴上，且三角形QBA1的面积为8，请直接写出点Q的坐标．3．（2022春·湖南湘西·七年级统考阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，A（-1，-2），B（-2，-4），C （-4，-1）．（1）把△ABC向上平移2个单位长度，再向右平移1个单位长度后得到△A1B1C1，请画出△A1B1C1，并写出点A的对应点的坐标；（2）求△A1B1C1的面积；（3）点P在坐标轴上，且△A1B1P的面积是2，直接写出点P的坐标_____________________．4．（2022春·北京西城·九年级校考期中）如图，在平面直角坐标系中，△ABC的三个顶点分别是A（﹣3，2），B（0，4），C（﹣1，0）．（1）在坐标系中画出△ABC并写出△ABC的面积为．（2）点P（a﹣4，b+2）是△ABC内任意一点．将△ABC平移至△A1B1C1的位置，点A，B，C，P的对应点分别是A1，B1，C1，P1．若点P1的坐标为（a，b）．在坐标系中画出△A1B1C1．（3）若坐标轴上存在一点M，使△BCM的面积等于△ABC的面积，求点M的坐标．5．（2022秋·八年级课时练习）如图（1），在平面直角坐标系中，已知点A(m,0)，B(n,0)，且m，n满足(m+2)2+=0，将线段AB向右平移2个单位长度，再向上平移4个单位长度，得到线段CD，其中点C与点A对应，点D与点B对应，连接AC，BD．（1）求点A、B、C、D的坐标；（2）在x轴上是否存在点P，使三角形PBC的面积等于平行四边形ABDC的面积？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由；（3）如图（2），点E在y轴的负半轴上，且∠BAE=∠DCB．求证：AE//BC．6．（2022秋·八年级单元测试）如图1，在平面直角坐标系中，点A，B的坐标分别是(−2,0)，(4,0)，现同时将点A，B分别向上平移2个单位长度，再向右平移2个单位长度，得到A，B的对应点C，D，连接AC，BD，CD．（1）点C的坐标为_________，点D的坐标为_________，四边形ABDC的面积为_________；（2）在x轴上是否存在一点E，使得△DEC的面积是△DEB面积的2倍？若存在，请求出点E的坐标；若不存在，请说明理由．（3）如图2，点P是线段BD上一动点（B，D两点除外），试说明∠CPO与∠1+∠2的大小关系，并说明理由．7．（2023春·全国·八年级专题练习）在平面直角坐标系中，点A，B的坐标分别为(2,0)，(−2,0)，现将线段AB先向上平移3个单位，再向右平移1个单位，得到线段DC，连接AD，BC．（1）如图1，求点C，D的坐标及四边形ABCD的面积；（2）如图1，在y轴上是否存在点P，连接PA，PB，使S△PAB=S四边形ABCD？若存在这样的点，求出点P的坐标；若不存在，试说明理由；S四边形ABD？若存在这（3）如图2，点E为CD与y轴交点，在直线CD上是否存在点Q，连接QB，使S△QCB=14样的点，直接写出点Q的坐标；若不存在，试说明理由；8．（2022秋·八年级单元测试）规定：如果图形G′是由图形G经过平移所得，那么把图形G′称为图形G的“友好图形”，两个图形上对应点的距离称为图形G′与G的“友好距离”在平面直角坐标系xOy中，已知点A（3，0）．（1）①如图1，若点A的“友好图形”点B（3，6），则点A与点B的“友好距离”是______；②若点A的“友好图形”点A′在y轴上，则点A与点A′的“友好距离”最小值为______；（2）若点A的“友好图形”点C在x轴上，点A与点C的“友好距离”是4，点D在y轴上，且三角形ACD 的面积为10，求点D的坐标；（3）如图3，若点E（0，6），直线AE的“友好图形”直线A′E′恰好过点F（0，－2），且点A的“友好图形”点A′在x轴上，求点A与点A′的“友好距离”．9．（2022秋·八年级单元测试）如图，在长方形ABCD中，AB＝10cm，BC＝6cm，E为DC的中点．（1）以A为原点（即O与A重合），以AB所在直线为x轴，AD所在直线为y轴建立平面直角坐标系，则C的坐标为 ；（2）若（1）中长方形以每秒2cm的速度沿x轴正方向移动2秒后，得到长方形A1B1C1D1，则C1的坐标为 ，长方形A1BCD1的面积为 cm2；（3）若（1）中长方形以每秒2cm的速度沿x轴正方向移动，运动时间为t，用含t的式子直接表示出长方形A1BCD1的面积 （线段可以看成是面积为0的长方形）；点E移动后对应点为F，直接写出t为何值时长方形A1BCD1的面积是三角形FBB1的3倍？10．（2023春·全国·八年级专题练习）如图，平面直角坐标系中，A(a,0)，B(0,b)，C(0,c)|2−b| =0，c=1(a−b)．2（1）求△ABC的面积；（2）如图2，点A以每秒m个单位的速度向下运动至A′，与此同时，点Q从原点出发，以每秒2个单位的速度沿x轴向右运动至Q′，3秒后，A′、C、Q′在同一直线上，求m的值；（3）如图3，点D在线段AB上，将点D向右平移4个单位长度至E点，若△ACE的面积等于14，求点D坐标．11．（2022·全国·八年级假期作业）如图，在平面直角坐标系中，点A2，6，B(4,3)，将线段AB进行平移，使点A刚好落在x轴的负半轴上，点B刚好落在y轴的负半轴上，A，B的对应点分别为A′，B′，连接AA′交y轴于点C，BB′交x轴于点D．（1）线段A′B′可以由线段AB经过怎样的平移得到？并写出A′，B′的坐标；（2）求四边形AA′BB′的面积；（3）P为y轴上的一动点（不与点C重合），请探究∠PCA′与∠A′DB′的数量关系，给出结论并说明理由．12．（2022春·福建厦门·七年级统考期末）在平面直角坐标系中，O为坐标原点，将三角形ABC进行平移，平移后点A,B,C的对应点分别是点D,E,F，点A(0,a)，点B(0,b)，点D a,12a，点E m−b,12a+4.（1）若a=1，求m的值；（2）若点C−a,14m+3，其中a>0. 直线CE交y轴于点M，且三角形BEM的面积为1，试探究AF和BF的数量关系，并说明理由.13．（2022春·内蒙古通辽·七年级统考期中）已知点A在平面直角坐标系中第一象限内，将线段AO平移至线段BC，其中点A与点B对应．（1）如图（1），若A(1,3),B(3,0)，连接AB，AC，在坐标轴上存在一点D，使得S△AOD=2S△ABC，求点D 的坐标；（2）如图（2），若∠AOB=60°，点P为y轴上一动点（点P不与原点重合），请直接写出∠CPO与∠BCP 之间的数量关系（不用证明）．14．（2023·全国·七年级专题练习）如图在平面直角坐标系中，点A，B的坐标分别为A(a,0)，B(b,0)．且a，b满足|a+3|+(a−2b+7)2=0，现同时将点A，B分别向左平移2个单位，再向上平移2个单位，分别得到点A、B的对应点C、D，连接AC，BD，CA的延长线交y轴于点K．（1）点P是线段CK上的一个动点，点Q是线段CD的中点，连接PQ，PO，当点P在线段CK上移动时（不与A，C重合），请找出∠PQD，∠OPQ，∠POB的数量关系，并证明你的结论．（2）连接AD，在坐标轴上是否存在点M，使△MAD的面积与△ACD的面积相等？若存在，直接写出点M 的坐标；若不存在，试说明理由．15．（2022春·吉林·七年级统考期中）如图，在平面直角坐标系中，点A，B的坐标分别为（−1，0），（3，0）．现将线段AB向上平移2个单位，再向右平移1个单位，得到线段AB的对应线段CD，连接AC，BD．ABDC；（1）点C，D的坐标分别为_______，________，并求出四边形ABDC的面积S四边形（2）在y轴上存在一点P，连接PA，PB，且S△PAB =S四边形ABDC，求出满足条件的所有点P的坐标．（3）若点Q为线段BD上一点（不与B，D______（填“变”或“不变”）．16．（2022春·福建福州·七年级福建省福州第十六中学校考期中）如图，在平面直角坐标系中，点A，B的坐标分别为（0，1），（0，﹣3），现将点A向右平移2个单位，再向下平移1个单位，得到点C，点D 在点C的下方，CD∥x轴，且CD的长度为4，连接AC，BD，CD．（1）填空：点D的坐标为 ．（2）若P点在直线BD上运动，连接PC、PO．①若P在线段BD上（不与B，D重合），求S△CDP+S△BOP的取值范围．②若P在直线BD上运动，请在考卷的图中画出相应的示意图，并写出∠CPO、∠DCP、∠BOP的数量关系．17．（2022秋·江苏·八年级专题练习）如图，已知点A(a,0)、B(b,0)满足(3a+b)2+|b−3|=0．将线段AB 先向上平移2个单位，再向右平移1个单位后得到线段CD，并连接AC、BD．（1）请求出点A和点B的坐标；（2）点M从O点出发，以每秒1个单位的速度向上平移运动．设运动时间为t秒，问：是否存在这样的t，使得四边形OMDB的面积等于9？若存在，请求出t的值：若不存在，请说明理由；（3）在（2）的条件下，点M从O点出发的同时，点N从点B出发，以每秒2个单位的速度向左平移运动，设射线DN交y轴于点E．设运动时间为t秒，问：SΔEMD−SΔOEN的值是否会发生变化？若不变，请求出它的值：若变化，请说明理由．18．（2023春·全国·七年级专题练习）在平面直角坐标系中，A(a,0)，B(1,b)，a，b满足|a+b−1|+=0，连接AB交y轴于C．（1）直接写出a=______，b=______；（2）如图1，点P是y轴上一点，且三角形ABP的面积为12，求点P的坐标；（3）如图2，直线BD交x轴于D(4,0)，将直线BD平移经过点A，交y轴于E，点Q(x,y)在直线AE上，且，求点Q横坐标x的取值范围．三角形ABQ的面积不超过三角形ABD面积的13。
初中数学：直角坐标系中矩形的变换问题
初中数学：直角坐标系中矩形的变换问题1、平移+旋转+翻析例1、如图1-①，以矩形OABC的两边OA和OC所在的直线为x轴、y轴建立平面直角坐标系，A点的坐标为（3，0），C点的坐标为（0，4），将矩形OABC绕O点逆时针旋转，使B点落在y轴的正半轴上，旋转后的矩形为、BC、相交于点M。
（1）求点的坐标与线段的长；（2）将图1-①中的矩形沿y轴向上平移，如图1-②，矩形是平移过程中的某一位置，、相交于点，点P运动到C点停止，设点P运动的距离为x，矩形与原矩形OABC重叠部分的面积为y，求y关于x的函数关系式，并写出x的取值范围；（3）如图1-③，当点P运动到点C时，平移后的矩形为，请你思考如何通过图形变换使矩形与原矩形OABC重合，请简述你的做法。
分析：第（1）问由勾股定理得的长，从而求出点的坐标，已知线段OC的长，继而求出线段的长。
第（2）问在矩形的整个平移过程中，矩形与原矩形OABC重叠图形由四边形（当点从开始位置平移到矩形OABC的边BC上时）变为三角形（当点从矩形OABC的边BC上到运动停止时），求出对应图形在对应条件下自变量x的取值范围及重叠部分的面积。
第（3）问具有开放性，可直接通过图形沿某一条直线翻折得到，或先旋转再平移得到，或先旋转再翻折得到，或先平移再旋转得到。
解：（1）如图1-①，因为，所以点的坐标为（0，5）。
（2）在矩形沿y轴向上平移到P点与C点重合的过程中，点运动到矩形OABC的边BC上时，求得P点移动的距离。
当自变量x的取值范围为时，如图1-②，由△∽△，得，此时，，即，当自变量x的取值范围为时，求得。
（3）①把矩形沿∠的角平分线所在直线对折。
或②把矩形绕C点顺时针旋转，使点与点B重合，再沿y轴向下平移4个单位长度。
或③把矩形绕C点顺时针旋转，使点与点B重合，再沿BC所在的直线对折。
或④把矩形沿y轴向下平移4个单位长度，再绕O点顺时针旋转，使点与点A重合。
2、旋转例2、如图2，在平面直角坐标系xOy中，把矩形COAB绕点C顺时针旋转角，得到矩形CFED。
图形的变换与坐标练习
图形的变换与坐标（练习）1、如图，已知△ABC的三个顶点的坐标分别为A（-2，3）、B（-6，0）、C（-1，0）．（1）将△ABC向右平移五个单位，再向下平移四个单位，则平移后点A的对应点的坐标是_______________。
（2）将△ABC沿x轴翻折，则翻折后点A的对应点的坐标是__________2．在平面直角坐标系中，△ABC各顶点坐标分别为：A（4，0），B（-1，4），C（-3，1）（1）在图中作△A′B′C′使△A′B′C′和△ABC关于x轴对称；（2）A′坐标是____________，B′坐标是____________，C′坐标是____________。
第1题第2题3．在平面直角坐标系中，△ABC三个顶点坐标分别为A（-2，1），B（-1，4），C（-3，2）．（1）画出△ABC关于y轴对称的图形△A1B1C1，点C1点坐标是_____________；（2）以原点O为位似中心，位似比为1：2，在y轴的左侧，画出△ABC放大后的图形△A2B2C2，点C2坐标是____________；（3）如果点D（a，b）在线段AB上，请直接写出经过（2）的变化后点D的对应点D2的坐标是_____________．4．在平面直角坐标系中，△ABC三个顶点坐标分别为A（-1，2），B（-3，4）C（-2，6）（1）画出△ABC绕点A顺时针旋转90°后得到的△A1B1C1（2）以原点O为位似中心，画出将△A1B1C1三条边放大为原来的2倍后的△A2B2C2．第3题第4题5．在13×13的网格图中，已知△ABC和点M（1，2）．（1）△ABC的面积是__________。
（2）以点M为位似中心，位似比为2，画出△ABC的位似图形△A′B′C′；（3）A′坐标是____________，B′坐标是____________，C′坐标是____________。
6．如图，△OAB三个顶点的坐标分别为O（0，0），A（1，2），B（3，0）．（1）以O为位似中心，画出一个△OA′B′，使得△OA′B′与△OAB的相似比为2：1，（2）点A′坐标是____________，点B′坐标是___________．第5题第6题7．每个小方格都是边长为1个单位长度的正方形，在建立平面直角坐标系后，△ABC的顶点均在格点上，①写出A、B、C的坐标．②以原点O为对称中心，画出△ABC关于原点O对称的△A1B1C1，并写出A1、B1、C1的坐标。
备考2023年中考数学一轮复习-图形的变换_平移、旋转变换_坐标与图形变化﹣平移-填空题专训及答案
备考2023年中考数学一轮复习-图形的变换_平移、旋转变换_坐标与图形变化﹣平移-填空题专训及答案坐标与图形变化﹣平移填空题专训1、(2016黑龙江.中考真卷) 如图，等边三角形的顶点A（1，1）、B（3，1），规定把等边△ABC“先沿x轴翻折，再向左平移1个单位”为一次変换，如果这样连续经过2016次变换后，等边△ABC的顶点C的坐标为________．2、(2011宿迁.中考真卷) 在平面直角坐标系中，已知点A（﹣4，0）、B（0，2），现将线段AB向右平移，使A与坐标原点O重合，则B平移后的坐标是________．3、(2019海门.中考模拟) 在平面直角坐标系中，将点A（﹣2，3）向右平移2个单位长度得到点B，则点B关于x轴的对称点C的坐标是________.4、(2018江苏.中考模拟) 若将点A（1，3）向左平移2个单位，再向下平移4个单位得到点B，则点B的坐标为________．5、(2018金华.中考模拟) 如图，已知直线与反比例函数（）图像交于点A，将直线向右平移4个单位，交反比例函数（）图像于点B，交y轴于点C，连结AB、AC，则△ABC的面积为________6、(2022北.中考模拟) 如图，正比例函数y=kx 与反比例函数y= 的图象有一个交点A(2，m)，AB⊥x 轴于点B ，平移直线y=kx 使其经过点B ，得到直线l ，则直线l 对应的函数表达式是________ .7、(2019泰安.中考模拟) 如图，单位网格中，将线段AB 先向右平移2个单位，再向上平移2个单位，然后再绕P 点按顺时针方向旋转90°得到A'B'，则A 的坐标是________8、(2017东营.中考模拟) 将抛物线y=﹣x 2向左平移2个单位，再向下平移3个单位，所得抛物线的表达式为________．9、(2017常德.中考真卷) 如图，有一条折线A 1B 1A 2B 2A 3B 3A 4B 4…，它是由过A 1（0，0），B 1（2，2），A 2（4，0）组成的折线依次平移4，8，12，…个单位得到的，直线y=kx+2与此折线恰有2n （n≥1，且为整数）个交点，则k 的值为________．10、(2020湖州.中考模拟) 如图，在平面直角坐标系中，反比例y＝（k＞0）的图象和△ABC都在第一象限内，AB＝AC＝，BC∥x轴，且BC＝4，点A的坐标为（3，5）.若将△ABC向下平移m个单位长度，A，C两点同时落在反比例函数图象上，则m的值为________.11、(2014钦州.中考真卷) 如图，△A′B′C′是△ABC经过某种变换后得到的图形，如果△ABC中有一点P的坐标为（a，2），那么变换后它的对应点Q的坐标为________．12、(2017广元.中考真卷) 在平面直角坐标系中，将P（﹣3，2）向右平移2个单位，再向下平移2个单位得点P′，则P′的坐标为________．13、(2013绵阳.中考真卷) 如图，把“QQ”笑脸放在直角坐标系中，已知左眼A的坐标是（﹣2，3），嘴唇C点的坐标为（﹣1，1），则将此“QQ”笑脸向右平移3个单位后，右眼B的坐标是________．14、(2011遵义.中考真卷) 将点P（﹣2，1）先向左平移1个单位长度，再向上平移2个单位长度得到点P′，则点P′的坐标为________．15、(2019青海.中考模拟) 如图，等边三角形的顶点A(1，1)，B(3，1)，规定把等边△ABC“先沿x轴翻折，再向左平移1个单位”为一次变换，则一次变换后顶点C的坐标为________，如果这样连续经过2017次变换后，等边△ABC的顶点C 的坐标为________.16、(2019朝阳.中考模拟) 如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为（0，6），将△OAB沿x轴向左平移得到△O′A′B′，点A的对应点A′落在直线y=﹣x上，则点B与其对应点B′间的距离为________．17、(2020中宁.中考模拟) 若线段CD是由线段AB平移得到的，点A（﹣2，3）的对应点为C（3，6），则点B（﹣5，﹣2）的对应点D的坐标是________18、(2020通榆.中考模拟) 如图，在平面直角坐标系中，已知点A(2，1)，点B(3，-1)，平移线段AB，使点A落在点A1(-2，2)处，则点B的对应点B1的坐标为________ 。
坐标变化练习题
坐标变化练习题今天我们来进行一些关于坐标变化的练习题。
通过这些题目，我们可以巩固和拓展我们对坐标变化的理解，提高解决问题的能力。
让我们开始吧！1. 坐标平移题在笛卡尔坐标系中，平移是指将图形沿着x轴或y轴的方向移动一定的距离。
请你计算以下图形在平移后的新坐标：a) 苹果坐标：(3, 5)；平移向量：(2, -3)b) 椅子坐标：(-2, 4)；平移向量：(-1, 2)2. 坐标旋转题旋转是指将图形按照某个中心点旋转一定的角度。
请你计算以下图形在旋转后的新坐标：a) 家的坐标：(1, 2)，旋转角度：90°b) 车的坐标：(-3, 4)，旋转角度：180°3. 坐标缩放题缩放是指将图形按照一定的比例进行放大或缩小。
请你计算以下图形在缩放后的新坐标：a) 钢琴的坐标：(4, 3)，缩放比例：2b) 小狗的坐标：(-2, 1)，缩放比例：0.54. 坐标反射题反射是指将图形按照某个直线进行镜像翻转。
请你计算以下图形在反射后的新坐标：a) 鸟的坐标：(1, 2)，关于y轴反射b) 汽车的坐标：(-3, 4)，关于x轴反射5. 坐标变换题结合平移、旋转、缩放和反射，通过一系列坐标变换，请你计算以下图形在变换后的新坐标：a) 星星的坐标：(2, 3)，平移向量：(1, -2)，旋转角度：60°，缩放比例：0.5，关于x轴反射b) 人的坐标：(-4, 5)，平移向量：(-2, 3)，旋转角度：120°，缩放比例：2，关于y轴反射通过以上练习题，我们加深了对坐标变化的理解，并提高了解决问题的能力。
坐标变化是数学中的重要内容，在几何学、物理学、计算机图形学等领域都有广泛的应用。
通过不断的练习和实践，我们能够更加熟练地处理各种坐标变化问题，为日后的学习和工作打下坚实的基础。
本文仅为坐标变化练习题的示例，提供了一种格式来呈现题目和解答。
在实际写作时，可以根据需要调整和适应不同的题目和内容，以求更好地表达和传达信息。
直角坐标系伸缩变换练习题
第一讲 直角坐标系伸缩变换练习题1、在直角坐标系中，求下列方程所对应的图形经过伸缩变换''23x x y y⎧=⎨=⎩后的图形。
（1）2x+3y=0; (2) 221x y +=2、在同一平面坐标系中，经过伸缩变换⎩⎨⎧='='yy x x ,3后，曲线C 变为曲线9922='+'y x ，求曲线C 的方程并画出图象。
3、已知x x f x x f ωsin )(,sin )(21==（)0>ω)(2x f 的图象可以看作把)(1x f 的图象在其所在的坐标系中的横坐标压缩到原来的31倍（纵坐标不变）而得到的，则ω为（ ） A ．21 B .2 C.3 D.31 4、在同一直角坐标系中，经过伸缩变换⎩⎨⎧='='yy x x 35后，曲线C 变为曲线22281,x y ''+=则曲线C 的方程为（ ） A ．2225361x y += B.2291001x y +=C ．2210241x y += D.22281259x y += 5、抛物线24y x =经过伸缩变换1413x x y y ⎧'=⎪⎪⎨⎪'=⎪⎩后得到 6、把圆2216x y +=变成椭圆22116y x ''+=的伸缩变换为 7、在同一坐标系中将直线321x y +=变成直线''22x y +=的伸缩变换为 8、把曲线3sin 2y x =的图象经过伸缩变换124x x y y⎧'=⎪⎨⎪'=⎩得到的图象所对应的方程为9、在同一平面直角坐标系中，经过伸缩变换212x x y y '=⎧⎪⎨'=⎪⎩后，曲线C 变为221640x y x '''--=，则曲线C 的方程10、在平面直角坐标系中，求下列方程所对应的图形经过伸缩变换⎪⎩⎪⎨⎧='='y y xx 3121后的图形。
图形在坐标系中的平移重难点题型
图形在坐标系中的平移-重难点题型【北师大版】【知识点1 点在坐标系中的平移】平面直角坐标内点的平移规律，设a >0，b >0（1）一次平移：P （x ，y ） P '（x ＋a ，y ）P （x ，y ） P '（x ，y －b ）（2）二次平移： 【题型1 点在坐标系中的平移】 【例1】（2021春•开福区校级期中）在平面直角坐标系中，将点A （x ，y ）向左平移3个单位长度，再向上平移5个单位长度后与点B （﹣3，2）重合，则点A 的坐标是（ ）A ．（2，5）B ．（0，﹣3）C ．（﹣2，5）D ．（5，﹣3） 【变式1-1】（2021春•重庆期中）在平面直角坐标系中，点A （m ，n ）经过平移后得到的对应点A ′（m +3，n ﹣4）在第二象限，则点A 所在的象限是（ ）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限【变式1-2】（2021春•江夏区期末）已知△ABC 内任意一点P （a ，b ）经过平移后对应点P 1（a +2，b ﹣6），如果点A 在经过此次平移后对应点A 1（4，﹣3），则A 点坐标为（ ）A ．（6，﹣1）B ．（2，﹣6）C ．（﹣9，6）D ．（2，3）【变式1-3】（2021春•新罗区期末）在平面直角坐标系中，将A （n 2，1）沿着x 的正方向向右平移3+n 2个单位后得到B 点．有四个点M （﹣2n 2，1）、N （3n 2，1）、P （n 2，n 2+4）、Q （n 2+1，1），一定在线段AB 上的是（ ）A ．点MB ．点QC ．点PD ．点N【知识点2 图形在坐标系中的平移】 P （x ，y ） P （x － a ，y ＋b ）向左平移a 个单位 再向上平移b 个单向下平移b 个单位向右平移a 个单位在平面直角坐标系内，把一个图形各个点的横坐标都加上（或减去）一个整数a，相应的新图形就是把原图形向右（或向左）平移a个单位长度；如果把它各个点的纵坐标都加（或减去）一个整数a，相应的新图形就是把原图形向上（或向下）平移a个单位长度．（即：横坐标，右移加，左移减；纵坐标，上移加，下移减．）【题型2 图形在坐标系中的平移】【例2】（2021春•深圳校级期中）如图，△ABC经过一定的平移得到△A′B′C′，如果△ABC上的点P的坐标为（a，b），那么这个点在△A′B′C′上的对应点P′的坐标为（）A．（a﹣2，b﹣3）B．（a﹣3，b﹣2）C．（a+3，b+2）D．（a+2，b+3）【变式2-1】（2021•邛崃市模拟）如图，在平面直角坐标系中，已知点M（2，1），N（1，﹣1），平移线段MN，使点M落在点M'（﹣1，2）处，则点N对应的点N'的坐标为（）A．（﹣2，0）B．（0，﹣2）C．（﹣1，1）D．（﹣3，﹣1）【变式2-2】（2021春•东湖区期末）如图，点A、B的坐标分别是为（﹣3，1），（﹣1，﹣2），若将线段AB平移至A1B1的位置，A1与B1坐标分别是（m，4）和（3，n），则线段AB在平移过程中扫过的图形面积为（）A．18B．20C．28D．36【变式2-3】（2020春•凉州区校级期中）如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为（2，0），点B的坐标为（0，1），将线段AB平移，使其一个端点到C（3，2），则平移后另一端点的坐标为（）A．（1，3）B．（5，1）C．（1，3）或（3，5）D．（1，3）或（5，1）【题型3 图形在网格中的平移变换】【例3】（2021春•锦江区校级月考）如图，三角形A'B'C'是由三角形ABC经过某种平移得到的，点A与点A'，点B与点B'，点C与点C'分别对应，且这六个点都在格点上，观察各点以及各点坐标之间的关系，解答下列问题：（1）分别写出点B和点B'的坐标，并说明三角形A'B'C'是由三角形ABC经过怎样的平移得到的．（2）连接BC'，直接写出∠CBC'与∠B'C'O之间的数量关系．（3）若点M（a﹣1，2b﹣5）是三角形ABC内一点，它随三角形ABC按（1）中方式平移后得到的对应点为点N（2a﹣7，4﹣b），求a和b的值．【变式3-1】（2020春•江汉区月考）如图，三角形A′B′C′是由三角形ABC经过某种平移得到的，点A与点A′，点B与点B′，点C与点C′分别对应，且这六个点都在格点上，观察各点以及各点坐标之间的关系，解答下列问题：（1）分别写出点B和点B′的坐标，并说明三角形A′B′C′是由三角形ABC经过怎样的平移得到的；（2）连接BC′，直接写出∠CBC′与∠B′C′O之间的数量关系；（3）若点M（a﹣1，2b﹣5）是三角形ABC内一点，它随三角形ABC按（1）中方式平移后得到的对应点为点N（2a﹣7，4﹣b），求a和b的值．【变式3-2】（2020春•江岸区校级月考）在如图的直角坐标系中，将△ABC平移后得到△A′B′C′，它们的三个顶点坐标如表所示：△ABC A（a，0）B（5，3）C（2，1）△A′B′C′A′（3，4）B′（7，b）C′（c，d）（1）观察表中各对应点坐标的变化，并填空：△ABC向右平移个单位长度，再向上平移个单位长度可以得到△A′B′C′；a＝，b＝．（2）求出线段AB在整个平移的过程中在坐标平面上扫过的面积．（3）若点M（m，n）为线段AB上的一点，则m、n满足的关系式是．【变式3-3】（2020春•金乡县期末）在平面直角坐标系中，点A的坐标为（0，4），线段MN的位置如图所示，其中点M的坐标为（﹣3，﹣1），点N的坐标为（3，﹣2）．（1）将线段MN平移得到线段AB，其中点M的对应点为A，点N的对应点为B．①点M平移到点A的过程可以是：先向平移个单位长度，再向平移个单位长度；②点B的坐标为；（2）在（1）的条件下，若点C的坐标为（4，0），连接AC，BC，求△ABC的面积．（3）在y轴上是否存在点P，使以A、B、P三点为顶点的三角形的面积为3，若存在，请直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由．【题型4 坐标系内的平移变换与角度计算综合】【例4】（2020春•通山县期末）如图，在平面直角坐标系中，点A（2，6），B（4，3），将线段AB进行平移，使点A刚好落在x轴的负半轴上，点B刚好落在y轴的负半轴上，A，B的对应点分别为A'，B'，连接AA'交y轴于点C，BB'交x轴于点D．（1）线段A'B'可以由线段AB经过怎样的平移得到？并写出A'，B'的坐标；（2）求四边形AA'B'B的面积；（3）P为y轴上的一动点（不与点C重合），请探究∠PCA′与∠A'DB'的数量关系，给出结论并说明理由．【变式4-1】（2021春•庆阳期末）如图①，在平面直角坐标系中，点A、B的坐标分别为（﹣1，0），（3，0），现同时将点A、B向上平移2个单位长度，再向右平移1个单位长度，得到A、B的对应点C、D，连接AC、BD、CD．（1）直接写出点C、D的坐标；（2）如图②，点P是线段BD上的一个动点，连接PC、PO，当点P在线段BD上运动时，试探究∠OPC、∠PCD、∠POB的数量关系，并证明你的结论．【变式4-2】（2020春•大同期末）综合与实践问题背景如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为（﹣3，5），点B的坐标为（0，1），点C 的坐标为（4，5），将线段AB沿AC方向平移，平移距离为线段AC的长度．动手操作（1）画出AB平移后的线段CD，直接写出B的对应点D的坐标；探究证明（2）连接BD，试探究∠BAC，∠BDC的数量关系，并证明你的结论；拓展延伸（3）若点E在线段BD上，连接AD，AE，且满足∠EAD＝∠CAD，请求出∠ADB：∠AEB的值，并写出推理过程．【变式4-3】（2020春•鞍山期末）如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标是（﹣1，0），点B的坐标是（4，0），现将线段AB向右平移一个单位，向上平移4个单位，得到线段CD，点P是y轴上的动点，连接BP；（1）当点P在线段OC上时（如图一），判断∠CPB与∠PBA的数量关系；（2）当点P在OC所在的直线上时，连接DP（如图二），试判断∠DPB与∠CDP，∠PBA之间的数量关系，请直接写出结论．。
九年级下学期数学中考复习《直角坐标系中的图形变换综合解答题》专题突破训练
九年级数学中考复习《直角坐标系中的图形变换综合解答题》专题突破训练（附答案）1．如图，DEF是三角形ABC经过某种变换得到的图形，点A与点D，点B与点E，点C 与点F分别是对应点，观察点与点坐标之间的关系，解答下面的问题：（1）写出点A与点D，点B与点E，点C与点F的坐标，并说明这些对应点的坐标有何特征；（2）若点P（a+4，﹣5﹣b）与点Q（2b，2a+8）也是通过上述变换得到的对应点，求a，b的值．2．如图，△DEF是△ABC经过某种变换得到的图形，点A与点D，点B与点E，点C与点F分别是对应点，观察点与点的坐标之间的关系，解答下列问题：（1）分别写出点A与点D，点B与点E，点C与点F的坐标，并说说对应点的坐标有哪些特征；（2）若点P（a+3，4﹣b）与点Q（2a，2b﹣3）也是通过上述变换得到的对应点，求a，b的值．（3）求图中△ABC的面积．3．如图，在平面直角坐标系中，△PQR是△ABC经过某种变换后得到的图形，其中点A与点P，点B与点Q，点C与点R是对应的点，在这种变换下：（1）直接写出下列各点的坐标①A（，）与P（，）；B（，）与Q（，）；C（，）与R（，）②它们之间的关系是：（用文字语言直接写出）（2）在这个坐标系中，三角形ABC内有一点M，点M经过这种变换后得到点N，点N 在三角形PQR内，其中M、N的坐标M（，6（a+b）﹣10），N（1﹣，4（b﹣2a）﹣6），求关于x的不等式﹣＞b﹣1的解集．4．如图，已知△ABC三个顶点的坐标分别是A（4，3），B（3，1），C（1，2）．按下列要求画出图形，并回答问题．（1）将△ABC三个顶点的横坐标都减去3，纵坐标不变，分别得到点A1，B1，C1，连接A1B1、B1C1，C1A1，所得△A1B1C1可以由△ABC经历怎样的变换得到？（2）将△ABC绕原点O旋转180度，分别得到点A2，B2，C2，连接A2B2，B2C2，C2A2，所得△A2B2C2与△ABC的位置有什么关系？5．在平面直角坐标系中，如图所示A（﹣2，1），B（﹣4，1），C（﹣1，4）．（1）△ABC向上平移一个单位，再向左平移一个单位得到△A1B1C1，那么C的对应点C1的坐标为；P点到△ABC三个顶点的距离相等，点P的坐标为；（2）△ABC关于第一象限角平分线所在的直线作轴对称变换得到△A2B2C2，那么点B 的对应点B2的坐标为；（3）△A3B3C3是△ABC绕坐标平面内的Q点顺时针旋转得到的，且A3（1，0），B3（1，2），C3（4，﹣1），点Q的坐标为．6．如图，在平面直角坐标系xOy中，点A的坐标为（﹣2，0），等边三角形AOC经过平移或轴对称或旋转都可以得到△OBD．（1）若△AOC沿x轴向右平移得到△OBD，则平移的距离是个单位长度；若△AOC绕原点O顺时针旋转得到△DOB，则旋转角度可以是°；（2）连接AD，求证AD是OC的垂直平分线．7．如图，矩形ABCD在平面直角坐标系中，AB⊥x轴于B，且点A的坐标（﹣5，6），OC ＝1，矩形ABCD经过平移得到矩形CDEF．（1）矩形ABCD经过平移或轴对称或旋转都可以得到形CDEF，则平移的距离是个单位长度；若矩形ABCD关于某直线对称得到矩形CDEF，则对称轴方程是；若矩形ABCD经过中心对称变换得到矩形CDEF，则对称中心的坐标为．（2）若矩形ABCD经过旋转得到矩形CDEF，且P为旋转中点，连接PE，求F到PE 的距离．8．如图，在平面直角坐标系xOy中，点A的坐标为（﹣2，0），B的坐标为（2，0），等边三角形AOC经过平移或轴对称或旋转都可以得到△OBD．（1）△AOC沿x轴向右平移得到△OBD，则平移的距离是个单位长度；△AOC 与△BOD关于直线对称，则对称轴是；△AOC绕原点O顺时针旋转得到△DOB，则旋转角度可以是度．（2）连接AD，交OC于点E，求∠AEO的度数．9．如图，三角形A′B′C′是三角形ABC经过某种变换后得到的图形．（1）分别写出点A和点A′，点B和点B′，点C和点C′的坐标；（2）观察点A和点A′，点B和点B′，点C和点C′的坐标，用文字语言描述它们的坐标之间的关系；（3）三角形ABC内任意一点M的坐标为（x，y），点M经过这种变换后得到点M′，则点M′的坐标为．10．如图，已知点A（x，3）、B（﹣2，﹣3），C（5，y），▱ABCD的对角线交于坐标原点O．（1）求出x，y的值；（2）写出从线段AD到线段CB的变换过程；（3）求出▱ABCD的面积．11．如图，线段CD是线段AB经过某种变换得到的图形．（1）若点A与点C，点B与点D是对应点，第一象限内的点M的坐标为（m，n），在这种变换下，点M的对应点N的坐标为（用含m、n的式子表示）；（2）若点A与点D、点B与点C是对应点，第一象限内的点M的坐标为（m，n），在这种变换下，点M的对应点N的坐标为（用含m、n的式子表示）；（3）连接BD、AC，直接写出四边形ABDC的面积为．12．如图，△DEF是由△ABC经过某种变换后得到的图形，其中A和D、B和E、C和F 分别是对应点．（1）佳佳说：这个变换下，三角形边上一点P（m，n）的对应点Q的坐标为（﹣m，﹣n）；音音说：这个变换下，三角形边上一点P（m，n）的对应点Q的坐标为（﹣n，﹣m），你同意谁的观点，简要说明理由．（2）若平面直角坐标系中有一点G（a+3，2b﹣4），按照（1）中的变换后得到对应点为H（2﹣5a，b+1），求G点所在的象限．13．在平面直角坐标系中，△DEF是△ABC经过某种变换得到的图形，点A与点D，点B 与点F，点C与点E分别是对应点（如图所示），观察对应点与点的坐标之间的关系，解答下列问题：（1）分别写出点A与点D，点B与点F，点C与点E的坐标（2）若点P（a+9，4﹣b）与点Q（2a，2b﹣3）也是通过上述变换得到的对应点，求a、b的值．14．如图，平面直角坐标系中，已知点A（﹣3，3），B（﹣5，1），C（﹣2，﹣1），P（a，b）是△ABC的边AC上一点，△ABC经过平移后得到△A1B1C1，点P的对应点为P1（a+6，b﹣2）．（1）直接写出点A1，B1，C1的坐标；（2）连接BB1和CC1，则这两条线段之间的关系是；（3）连接AA1，AO，A1O，求△AOA1的面积．15．如图，在平面直角坐标系中，点A，B的坐标分别为（a，0），（b，0），其中a，b满足|a﹣2|+＝0，现同时将点A，B分别向上平移6个单位长度，再向左平移2个单位长度，分别得到AB的对应点C，D，连接AC，BD，CD．（1）点C的坐标为，点D的坐标为；（2）把AC的中点M（1，3）向左平移4个单位长度得到点E，如图②，连接EC，EA，求△ACE的面积；（3）P是x轴上一点，连接PC，BC，使S△PBC＝2S△ABC，直接写出点P点坐标．16．如图，在平面直角坐标系中，点A，B的坐标分别为（3，5），（3，0）．将线段AB向下平移2个单位长度，再向左平移4个单位长度，得到线段CD，连接AC，BD；（1）直接写出坐标：点C（），点D（）．（2）M，N分别是线段AB，CD上的动点，点M从点A出发向点B运动，速度为每秒1个单位长度，点N从点D出发向点C运动，速度为每秒0.5个单位长度，若两点同时出发，求几秒后MN∥x轴？（3）点P是直线BD上一个动点，连接PC、P A，当点P在直线BD上运动时，请直接写出∠CP A与∠PCD，∠P AB的数量关系．17．如图1，已知，点A（1，a），AH⊥x轴，垂足为H，将线段AO平移至线段BC，点B （b，0），其中点A与点B对应，点O与点C对应，a、b满足+（b﹣3）2＝0．（1）填空：①直接写出点C的坐标：C（）；②直接写出三角形AOH的面积．（2）如图1，若点D（m，n）在线段OA上．①用含m，n的式子表示三角形AOH的面积；②求证：4m＝n．（3）如图2，连OC，动点P从点B开始在x轴上以每秒2个单位的速度向左运动，同时动点Q从点O开始在y轴上以每秒1个单位的速度向下运动．若经过t秒，三角形AOP 与三角形COQ的面积相等，试求t的值及点P的坐标．18．如图，在平面直角坐标系xOy中，点A（0，2），过点（﹣1，0）作x轴的垂线l，点A 关于直线l的对称点为B．（1）点B的坐标为；（2）已知点C（﹣3，﹣2），点D（1，﹣2），在图中描出点B，C，D，顺次连接点A，B，C，D．①在四边形ABCD内部有一点P，满足S△P AD＝S△PBC且S△P AB＝S△PCD，则此时点P的坐标为，S△P AB＝；②在四边形ABCD外部是否存在点Q，满足S△QAD＝S△QBC且S△QAB＝S△QCD，若存在，直接写出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．19．在10×10的网格中建立如图所示的直角坐标系，规定在网格内（包括边界）横，纵坐标都是整数的点称为格点，已知△ABC的三个顶点都是格点，直线m经过点（0，3）且平行x轴，直线n经过点（﹣1，0）且平行y轴．（1）直接写出△ABC的三个顶点的坐标；（2）△ABC与△A'B'C'关于x轴对称，A，B，C的对应点分别是A'，B'，C'，直接写出△A'B'C'的三个顶点的坐标；（3）点D是格点，且以点A，B，C，D为顶点的四边形是轴对称图形，直接写出所有符合条件的点D坐标；（4）点E是直线m上的点，点F是直线n上的点，△AEF是以点F为直角顶点的等腰直角三角形，直接写出所有符合条件的点E坐标．20．如图，三角形PQR是三角形ABC经过某种变换后得到的图形．①分别写出点A与点P，点B与点Q，点C与点R的坐标；②并观察它们之间的关系，如果三角形ABC中任意一点M的坐标为（a，b），那么它的对应点N的坐标是什么？③求三角形ABC的面积．参考答案1．解：（1）它们的坐标分别是A（2，3），D（﹣2，﹣3），B（1，2），E（﹣1，﹣2），C（3，1），F（﹣3，﹣1）这些对应点横坐标互为相反数，纵坐标也是互为相反数．（2）依题意得：a+4+2b＝0且﹣5﹣b+2a+8＝0，∴a＝﹣2，b＝﹣1．2．解：（1）A（2，3）与D（﹣2，﹣3）；B（1，2）与E（﹣1，﹣2）；C（3，1）与F（﹣3，﹣1）．对应点的坐标的特征：横坐标互为相反数，纵坐标互为相反数；（2）由（1）可得a+3＝﹣2a，4﹣b＝﹣（2b﹣3）．解得a＝﹣1，b＝﹣1；（3）三角形ABC的面积＝2×2﹣×2×1﹣×2×1﹣×1×1＝．3．解：（1）由图可得，①A（4，3）与P（﹣4，﹣3）；B（3，1）与Q（﹣3，﹣1）；C （1，2）与R（﹣1，﹣2）．②由①可得：两个三角形各顶点横、纵坐标互为相反数．故答案为：4，3，﹣4，﹣3，3，1，﹣3，﹣1，1，2，﹣1，﹣2；（2）由题意：M、N两点的横坐标互为相反数，纵坐标互为相反数，∴+1﹣＝0，6（a+b）﹣10+4（b﹣2a）﹣6＝0，解得a＝2，b＝2，∴﹣＞2﹣1∴6x+4﹣7x+3＞8∴x＜﹣1．4．解：如图：（1）∵将△ABC三个顶点的横坐标都减去3，纵坐标不变，∴A1（1，3），B1（0，1），C1（﹣2，2），∴△ABC向x轴负方向平移3个单位长度得到△A1B1C1；（2）∵将△ABC绕原点O旋转180度，∴A2（﹣4，﹣3），B2（﹣3，﹣1），C2（﹣1，﹣2），∴△ABC与△A2B2C2关于坐标原点中心对称．5．解：（1）如图，△A1B1C1即为所求，那么C的对应点C1的坐标为（﹣2，5）P，点P 的坐标为（﹣3，3）．故答案为（﹣2，5），（﹣3，3）．（2）△A2B2C2如图所示，那么点B的对应点B2的坐标为（1，﹣4）．故答案为（1，﹣4）．（3）△A3B3C3即为所求，Q（﹣1，﹣1），故答案为（﹣1，1）．6．解：（1）△AOC沿x轴向右平移得到△OBD，则平移的距离是线段AO的长，∵点A的坐标为（﹣2，0），∴平移的距离等于2个单位长度；若△AOC绕原点O顺时针旋转得到△DOB，则旋转角度等于∠BOC的度数，∵△AOC为等边三角形，∴∠AOC＝∠BOD＝60°，∴∠BOC＝120°，∴△AOC绕原点O顺时针旋转120°得到△DOB．故答案为：2，120；（2）如图所示，连接CD，∵CO＝DO，∠COD＝60°，∴△COD是等边三角形，∴DC＝DO，又∵AC＝AO，∴点A点D在CO的垂直平分线上，即AD是OC的垂直平分线．7．解：（1）矩形ABCD经过平移或轴对称或旋转都可以得到形CDEF，则平移的距离是4个单位长度；若矩形ABCD关于某直线对称得到矩形CDEF，则对称轴方程是x＝﹣1；若矩形ABCD经过中心对称变换得到矩形CDEF，则对称中心的坐标为（﹣1，3）．故答案为：4，x＝﹣1，（﹣1，3）．（2）连接PE，PF，过点F作FH⊥EP交EP于H．由题意，P（﹣1，3），E（3，6），∴EP＝＝5，∵S△PEF＝S矩形DCFE，∴×5×FH＝×4×6，∴FH＝，∴F到PE的距离为．8．解：（1）∵点A的坐标为（﹣2，0），∴△AOC沿x轴向右平移2个单位得到△OBD；∴△AOC与△BOD关于y轴对称；∵△AOC为等边三角形，∴∠AOC＝∠BOD＝60°，∴∠AOD＝120°，∴△AOC绕原点O顺时针旋转120°得到△DOB．故答案为：2；y轴；120．（2）如图，∵等边△AOC绕原点O顺时针旋转120°得到△DOB，∴OA＝OD，∵∠AOC＝∠BOD＝60°，∴∠DOC＝60°，即OE为等腰△AOD的顶角的平分线，∴OE⊥AD，∴∠AEO＝90°．9．解：（1）观察图象可知A（﹣2，4），B（﹣4，2），C（﹣1，﹣1），A′（2，4），B′（4，2），C′（1，﹣1）．（2）点A和点A′，点B和点B′，点C和点C′的坐标纵坐标相同，横坐标互为相反数．故答案为：纵坐标相同，横坐标互为相反数．（3）M′（﹣x，y）．故答案为：（﹣x，y）．10．解：（1）由题意，A，C关于原点对称，∵A（x，3）、C（5，y），∴x＝﹣5，y＝﹣3．（2）线段AD绕点O顺时针旋转180°可以得到线段CB．（3）▱ABCD的面积＝7×6＝42．11．解：（1）∵点A向左平移5个单位长度，再向下平移5个单位长度点C，∴点M的对应点N的坐标为（m﹣5，n﹣5）；（2）∵点A与点D关于原点对称，∴点M的对应点N的坐标为（﹣m，﹣n）；（3）如图所示：四边形ABDC的面积＝；故答案为：（1）（m﹣5，n﹣5）；（2）（﹣m，﹣n）；（3）1012．解：（1）同意音音的观点，理由：∵A（﹣2，3）而D（﹣3，2），B（1，4）而E（﹣4，﹣1），C（3，1）而F（﹣1，﹣3），故音音的观点正确；（2）∵平面直角坐标系中有一点G（a+3，2b﹣4），按照（1）中的变换后得到对应点为H（2﹣5a，b+1），∴（a+3）+（b+1）＝0，（2b﹣4）+（2﹣5a）＝0，解得：a＝﹣2，b＝﹣4，∴G（1，﹣12），∴G点所在的象限是第四象限．13．解：（1）点A的坐标为（2，3），点D的坐标为（﹣2，﹣3），点B的坐标为（4，2），点F的坐标为（﹣4，﹣2），点C的坐标为（1，1），点E的坐标为（﹣1，﹣1）；（2）由对应点的坐标可知，对应点的横、纵坐标互为相反数，∴a+9+2a＝0，4﹣b+2b﹣3＝0，解得，a＝﹣3，b＝﹣1．14．解：（1））∵点P（a，b）的对应点为P1（a+6，b﹣2），∴平移规律为向右6个单位，向下2个单位，∴A（﹣3，3），B（﹣5，1），C（﹣2，﹣1）的对应点的坐标为A1（3，1），B1（1，﹣1），C1（4，﹣3）；（2）平行且相等，故答案为：平行且相等；（3）＝＝18﹣12＝6．15．解：（1）∵|a﹣2|+＝0，∴a﹣2＝0，8﹣b＝0，∴a＝2，b＝8，∴A（2，0），B（8，0），∵同时将点A，B分别向上平移6个单位长度，再向左平移2个单位长度，分别得到A，B的对应点C，D，∴C（0，6），D（6，6）．故答案为：（0，6），（6，6）；（2）∵把AC的中点M（1，3）向左平移4个单位长度得到点E，∴E（﹣3，3），ME∥x轴，∴EM＝1﹣（﹣3）＝4．如图，连接EM，则S△ACE＝S△AME+S△CME＝×4×6＝12；（3）∵S△PBC＝2S△ABC，P是x轴上一点，∴•PB•OC＝2×AB•OC，∴PB＝2AB＝2×（8﹣2）＝12，∵B（8，0），∴P点横坐标为：8+12＝20，或8﹣12＝﹣4，∴P点坐标为（20，0）或（﹣4，0）．16．解：（1）由题意C（﹣1，3），D（﹣1，﹣2），故答案为：﹣1，3，﹣1，﹣2；（2）设t秒后MN∥x轴，∴5﹣t＝0.5t﹣2，解得t＝，∴t＝时，MN∥x轴；（3）①如图1中，当点P在线段BD上时，∠APC＝∠PCD+∠P AB．②如图2中，当点P在BD的延长线上时，∠P AB＝∠PCD+∠APC．③如图3中，当点P在DB的延长线上时，∠PCD＝∠P AB+∠APC．17．（1）①解：∵+（b﹣3）2＝0，又∵≥0，（b﹣3）2≥0，∴a＝4，b＝3，∴A（1，4），B（3，0），∴C（2，﹣4）．故答案为：（2，﹣4）；②S△AOH＝×1×4＝2；故答案为：2；（2）①解：如图1中，连接DH，∴S△AOH＝S△ADH+S△ODH＝×1×n+×4×（1﹣m）＝n+2﹣2m；②证明：∴S△AOH＝2，∴2＝n+2﹣2m，∴4m＝n；（3）当点P在y轴的右侧时，×（3﹣2t）×4＝×t×2，解得，t＝．此时P（，0）．当点P在y轴的左侧时，×（2t﹣3）×4＝×t×2，解得，t＝2，此时P（﹣1，0）．18．解：（1）B（﹣2，2），故答案为：（﹣2，2）；（2）如图：①∵S△P AD＝S△PBC且S△P AB＝S△PCD，BC＝AD，CD＝2AB，∴点P在直线l上，且到AB的距离是到CD距离的2倍，∵P在四边形ABCD的内部，∴2﹣×（2+2）＝﹣，∴P（﹣1，﹣）；S△P AB＝×2×（2+）＝，故答案为：（﹣1，﹣），②∵S△P AD＝S△PBC且S△P AB＝S△PCD，BC＝AD，CD＝2AB，∴点P在直线l上，且到AB的距离是到CD距离的2倍，∴Q在四边形ABCD的外部，∴﹣2﹣（2+2）＝﹣6，∴Q（﹣1，﹣6）．19．解：（1）如图，A（2，4），B（5，2），C（3，﹣1）；（2）如图1中，△A'B'C'即为所求．A′（2，﹣4），B′（5，﹣2），C′（3，1）；（3）如图2中，D（0，1）或（﹣5，0）；（4）如图2中，满足条件的点E（﹣3，3），或（﹣5，3）．20．解：①∵三角形PQR是三角形ABC经过某种变换后得到的图形，∴点A（4，3）、点P（﹣4，﹣3），点B（3，1）、点Q（﹣3，﹣1），点C（1，2）、点R （﹣1，﹣2）；②观察三组对应点坐标可得：若三角形ABC中任意一点M的坐标为（a，b），∴它的对应点N的坐标是（﹣a，﹣b）；③S△ABC＝2×3﹣×1×2﹣×1×2﹣×3×1＝．。
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第2题答案：第2题解答图解：（1） ∵x 1<0,x 2>0, ∴OA=x 1,OB=x 2, ∵x 1,x 2是方程 - x 2-2（m+3）x+m 2-12=0的两个实数根， 由根与系数关系得：x 1+x 2=-2（m+3）①x 1·x 2=-2(m 2-12) ②x 2=-2x 1③联立，整理，得：m 2+8m+16=0，解得：m 1=m 2=-4，∴抛物线的解析式为y=- x 2+x+4. （2）设点E （x,0），则OE=-x ，∵△ECO 与△CAO 相似，∴∴ ∴x=-8 ∴点E （-8,0），设过E 、C 两点的直线解析式为y=k′x+b′由题意得：所以直线EC 的解析式为：y=21x+4 ∵抛物线的顶点D （1， ），当x=1时，y= ，∴点D 在直线EC 上.（3）存在t 值，使S 梯形MM′N′N ：S △QMN =35：12. ………………（1分） ∵E （-8,0），∴0=41 ×（-8）+b ，∴b=2，∴y=41x+2, ∴x=4(y-2),∴y=-21×[4(y-2)]2+4(y-2)+4,整理得：8y 2-35y+6=0,设M （x m ,y m ）、N(x n ,y n ),∴MM′=y m ，NN′=y n , ∴y m 、y n 是方程8y 2-35y+6=0的两个实数根，∴y m +y n = ，∴S 梯形MM′N′N =21 (y m +y n )(x n -x m ),∵点P 在直线y= 41x+2上，点Q 在（1）中抛物线上 ∴点P （t, 41t+2）、点Q （t, - 21 t 2+t+4）, ∴PQ=- 21 t 2+t+4- 41t-2=- 21 t 2+ 43t+2,分别过M 、N 作直线PQ 的垂线，垂足为G 、H ，则GM=t-x m ，NH=x n -t, ∴S △QMN = S △QMP +S △QNP =21PQ(x n -x m ),∵S 梯形MM′N′N :S △QMN =35:12∴ ∴ 整理，得：2t 2-3t-2=0，解得：t 1=- ,t 2=2,∴当t=-21或t=2时，S 梯形MM′N′N :S △QMN =35:12.第3题解答图4.（2001哈尔滨30题）如图，抛物线y ax bx c =++2与x 轴交于A 、B 两点，它们的横坐标分别为-1和3，与y 轴交点C 的纵坐标为3，∆ABC 的外接圆的圆心为点M 。
（1）求这条抛物线的解析式；（2）求图象经过M 、A 两点的一次函数解析式；（3）在（1）中的抛物线上是否存在点P ，使过P 、M 两点的直线与∆ABC 的两边AB 、BC 的交点E 、F 和点B 所组成的∆BEF 与∆ABC 相似？若存在，求出点P 的坐标；若不存在，请说明理由。
B x4题图第4题答案：解：（1）由题意，可知点A （-1，0），点B （3，0），点C （0，3）.∴-+=++==⎧⎨⎪⎩⎪a b c a b c c 09303 解得a b c =-==⎧⎨⎪⎩⎪123∴抛物线的解析式为y x x =-++223（2）在Rt AOC ∆和Rt BOC ∆中， 由勾股定理，得2310==BC AC 连结CM 并延长交圆M 于点H ，则∆CHB 为Rt ∆.∠=∠∠=∠=︒H A CBH COA ，90∴∆∆COA CBH ~∴=AC CH OCBC52=∴CH 设圆M 的半径为R ，则R =5连结AM ，设过点M 的抛物线的对称轴与x 轴交于点G.则G （1，0） 在Rt AMG ∆中，MG AM AG =-=221∴点M （1，1）.设过M 、A 两点的一次函数解析式为y kx b =+ ∴+=-+=⎧⎨⎩k b k b 10 解得k b ==⎧⎨⎪⎪⎩⎪⎪1212∴=+y x 1212（3）存在点P ，使过P 、M 两点的直线与∆ABC 的两边AB 、BC 的交点E 、F 和点B 所组成的∆BEF 与∆ABC 相似.（分两种情况）<1>当EF//AC 时，∆∆BEF BAC ~， ∠=∠MEG CAO ，∴Rt MEG Rt CAO ∆∆~， ∴=MG CO EG AO ∴=EG 13，OE =-=11323∴ E ()230，. 设过M 、E 两点的直线解析式为y k x b 111=+，∴=+=+⎧⎨⎪⎩⎪10231111k b k b 解得k b 1132==-⎧⎨⎩ ∴直线解析式为y x 132=-抛物线解析式为y x x =-++223整理得x x 250+-=，解得x x 1212121212=-+=--，∴=-+=--y y 127321273212，∴点P 1121273212()-+-+，或点 P 2121273212()----，. <2>当EF 与AC 不平行时，易证∆∆BEF BCA ~.过点A 作AK CB ⊥于K ，由勾股定理，得AK CK ==222，. Rt MEG Rt ACK ∆∆~，21=∴EG ∴点E ()120， 设过M 、P 两点的直线解析式为y k x b 222=+ ∴+=+=⎧⎨⎪⎩⎪12012222k b k b ∴==-⎧⎨⎩k b 2221 ∴直线解析式为y x 221=-抛物线解析式为y x x =-++223，联立消去y 得，x 24=∴=x 32或x 42=-∴=y 33或y 45=-∴点P 3（2，3）或点P 425()--，.综上所述，存在点P 1121273212()-+-+，、P 2121273212()----，、 P 3（2，3）、P 425()--，，使过P 、M 两点的直线与∆ABC 的两边AB 、BC 的交点E 、F 和点B 所组成的∆BEF 与∆ABC 相似.第4题解答图5. （2002哈尔滨30题）如图，抛物线y=ax 2+bx+c 与x 轴交于A 、B 两点（点A 在点B 左侧），与y 轴交于点C ，且当x=0和x=2时，y 的值相等．直线y=3x-7与这条抛物线相交于两点，其中一点的横坐标是4，另一点是这条抛物线的顶点M ．（1）求这条抛物线的解析式；（2）P 为线段BM 上一点，过点P 向x 轴引垂线，垂足为Q ．若点P 在线段BM 上运动（点P 不与点B 、M 重合），设OQ 的长为t ，四边形PQAC 的面积为S ．求S 与t 之间的函数关系式及自变量t 的取值范围；（3）在线段BM 上是否存在点N ，使△NMC 为等腰三角形？若存在，请求出点N 的坐标；若不存在，请说明理由．第5题图 第5题答案：解：（1）设这条抛物线的解析式为y ＝ax 2＋bx ＋c ．∵ x ＝0和x ＝2时，y 的值相等， ∴ c ＝4a ＋2b ＋c ，由抛物线的对称性，可知x ＝1是这条抛物线的对称轴．又∵ y ＝3x －7与y ＝ax 2＋bx ＋c 交于两点，且其中一点的横坐标为4，另一点是抛物线的顶点M ．∴ 点M 的坐标为M （1，－4）．直线与抛物线的另一交点为（4，5）．∴ ⎪⎩⎪⎨⎧．＝＋＋，＝－＋＋，＝＋＋5416424c b a c b a c c b a解得⎪⎩⎪⎨⎧．＝－，＝－，＝321c b a ∴ 这条抛物线的解析式为y ＝x 2－2x －3．（2）当y ＝0时，即x 2－2x －3＝0．∴ A （－1，0）、B （3，0）． 当x ＝0时，即y ＝－3．∴ C （0，－3）．设直线BM 的解析式为y ＝kx ＋b ．∵ M （1，－4）、B （3，0）， 则⎩⎨⎧．＝－＋，＝＋403b k b k ∴ ⎩⎨⎧62＝－，＝b k∴ 直线BM 的解析式为：y ＝2x －6． ∵ PQ ⊥x 轴于点Q ，OQ ＝t ，又点P 在线段MB 上，∴ P （t ，2t －6），∣PQ ∣＝∣2t －6∣＝6－2t ∴S 四边形PQAC ＝S △AOC ＋S 梯形OCPQ ＝21×1×3＋21（3＋6－2t ）·t ＝－t 2＋29t ＋23（1＜t ＜3）． （3）假设存在这样的点N ，使△NMC 为等腰三角形∵ 点N 在BM 上，不妨设N 点坐标为（m ，2m －6），则CM 2＝12＋12＝2， CN 2＝m 2＋［3－（6－2m ）］2，或CN 2＝m 2＋［（6－2m ）－3］2．MN 2＝（m －1）2＋［4－（6－2m ）］2△NMC 为等腰三角形，有以下三种可能：①若CN ＝CM ，则m 2＋［（6－2m ）－3］2＝2，∴ m 1＝57，m 2=1（舍去）．∴ N （57，516-）． ②若MC ＝MN ，则（m －1）2＋［4－（6－2m ）］2＝12＋12．∴ m 1＝1±510．∵ 1＜m ＜3， ∴ m ＝1－510（舍去）．∴ N （1＋510， 45102-） ③若NC ＝NM ，则m 2＋［3－（6－2m ）］2＝（m －1）2＋［4－（6－2m ）］2，解得m ＝2∴ N （2，－2） 综上所述，存在这样的点N ，使△NMC 为等腰三角形． 且点N 的坐标分别为：N 1（57，516-），N 2（1＋510，45102-），N 3（2，－2）．第5题解答图二.直线型问题中的图形变换6. （2013哈尔滨27题）如图，在平面直角坐标系中，点0为坐标原点，A 点的坐标为(3，0)，以0A 为边作等边三角形OAB ，点B 在第一象限，过点B 作AB 的垂线交x 轴于点C ．动点P 从0点出发沿0C 向C 点运动，动点Q 从B 点出发沿BA 向A 点运动，P ,Q 两点同时出发，速度均为1个单位／秒。
设运动时间为t 秒． (1)求线段BC 的长；(2)连接PQ 交线段OB 于点E ，过点E 作x 轴的平行线交线段BC 于点F 。
设线段EF 的长为m ，求m 与t 之间的函数关系式，并直接写出自变量t 的取值范围；(3)在(2)的条件下，将△BEF 绕点B 逆时针旋转得到△BE 'F ',使点E 的对应点E '落在线段AB 上，点F 的对应点是F '，E 'F '交x 轴于点G ，连接PF 、QG ，当t 为何值时，2BQ-PF=第6题答案：7.（2013哈尔滨市模27题）如图．在平面直角坐标系中，点0为坐标原点．直线364y x=+与x轴交于点A，与y轴交于点C，点B为x轴正半轴上一点，∠CAB=∠OCB，点E从A点出发沿AC向C点运动，点F从B点出发沿BC向C点运动，两点同时出发，速度均为1个单位，秒．并且一个点到达终点时另一个点也停止运动．设运动时间为t秒．(1)求直线BC的解析式；(2)连接EF．将线段EF绕点F顺时针旋转45°，得到线段FC，过点E作EM⊥FG．垂足为M，连接MC．求MC的长；(3)在(2)的条件下．作点M关于直线EF的对称点N，连接NB、CN．当t为何值时，△CNB为直角三角形．第7题答案：8.（2012哈尔滨27题）如图，在平面直角坐标系中，点0为坐标原点，直线y=2x+4交x轴于点A，交y轴于点B，四边形ABCO是平行四边形，直线y=-x+m经过点C,交x轴于点D．(1)求m的值；(2)点P(0，t)是线段OB上的一个动点(点P不与0，B两点重合)，过点P作x轴的平行线，分别交AB，OC，DC于点E，F，G．设线段EG的长为d，求d与t之间的函数关系式(直接写出自变量t的取值范围)；(3)在(2)的条件下，点H是线段OB上一点，连接BG交OC于点M，当以OG为直径的圆经过点M时，恰好使∠BFH=∠ABO．求此时t的值及点H的坐标．第8题答案：8. （2008哈尔滨28题）如图，在平面直角坐标系中，直线y ＝5x 21与x 轴、y 轴分别交于A 、B 两点，将△ABO绕原点O 顺时针旋转得到△A´B´O ，并使OA´⊥AB ，垂足为D ，直线AB 与线段A´B´相交于点G ．动点E 从原点O 出发，以1个单位/秒的速度沿x 轴正方向运动，设动点E 运动的时间为t 秒． （1）求点D 的坐标；（2）连接DE ，当DE 与线段OB´相交，交点为F ，且四边形DFB´G 是平行四边形时，（如图2）求此时线段DE 所在的直线的解析式；（3）若以动点为E 圆心，以52为半径作⊙E ，连接A´E ，t 为何值时。