坐标系中图形运动变换问题专项训练

第2题答案：

第2题解答图

解：（1） ∵x 1<0,x 2>0, ∴OA=x 1,OB=x 2, ∵x 1,x 2是方程 - x 2-

2

（m+3）x+m 2-12=0的两个实数根， 由根与系数关系得：x 1+x 2=-2（m+3）①x 1·x 2=-2(m 2-12) ②x 2=-2x 1③联立，整理，得：m 2+8m+16=0，解得：m 1=m 2=-4，

∴抛物线的解析式为y=- x 2

+x+4. （2）设点E （x,0），则OE=-x ，∵△ECO 与△CAO 相似，

∴∴ ∴x=-8 ∴点E （-8,0），设过E 、C 两点的直线解析式为y=k′x+b′

由题意得：

所以直线EC 的解析式为：y=

2

1

x+4 ∵抛物线的顶点D （1， ），当x=1时，y= ，∴点D 在直线EC 上.

（3）存在t 值，使S 梯形MM′N′N ：S △QMN =35：12. ………………（1分） ∵E （-8,0），∴0=

41 ×（-8）+b ，∴b=2，∴y=41x+2, ∴x=4(y-2),∴y=-2

1×[4(y-2)]2+4(y-2)+4,整理得：8y 2-35y+6=0,设M （x m ,y m ）、N(x n ,y n ),

∴MM′=y m ，NN′=y n , ∴y m 、y n 是方程8y 2-35y+6=0的两个实数根，∴y m +y n = ，

∴S 梯形MM′N′N =

21 (y m +y n )(x n -x m ),∵点P 在直线y= 41

x+2上，点Q 在（1）中抛物线上 ∴点P （t, 41t+2）、点Q （t, - 21 t 2+t+4）, ∴PQ=- 21 t 2+t+4- 41t-2=- 21 t 2+ 4

3

t+2,

分别过M 、N 作直线PQ 的垂线，垂足为G 、H ，则GM=t-x m ，NH=x n -t, ∴S △QMN = S △QMP +S △QNP =

2

1

PQ(x n -x m ),

∵S 梯形MM′N′N :S △QMN =35:12

∴ ∴ 整理，得：2t 2-3t-2=0，解得：t 1=- ,t 2=2,

∴当t=-

2

1

或t=2时，S 梯形MM′N′N :S △QMN =35:12.

第3题解答图

4.（2001哈尔滨30题）如图，抛物线y ax bx c =++2

与x 轴交于A 、B 两点，它们的横坐标分别为-1和3，与y 轴交点C 的纵坐标为3，∆ABC 的外接圆的圆心为点M 。 （1）求这条抛物线的解析式；

（2）求图象经过M 、A 两点的一次函数解析式；

（3）在（1）中的抛物线上是否存在点P ，使过P 、M 两点的直线与∆ABC 的两边AB 、BC 的交点E 、F 和点B 所组成的∆BEF 与∆ABC 相似？若存在，求出点P 的坐标；若不存在，请说明理由。

B x

4题图

第4题答案：

解：（1）由题意，可知点A （-1，0），点B （3，0），点C （0，3）.

∴-+=++==⎧⎨⎪⎩⎪a b c a b c c 09303 解得a b c =-==⎧⎨⎪⎩

⎪123∴抛物线的解析式为y x x =-++2

23

（2）在Rt AOC ∆和Rt BOC ∆中， 由勾股定理，得

2310==BC AC 连结CM 并延长交圆M 于点H ，则∆CHB 为Rt ∆.

∠=∠∠=∠=︒H A CBH COA ，90∴∆∆COA CBH ~∴

=AC CH OC

BC

52=∴CH 设圆M 的半径为R ，则R =5连结AM ，设过点M 的抛物线的对称轴与x 轴交于点G.则G （1，0） 在Rt AMG ∆中，

MG AM AG =

-=221∴点M （1，1）.

设过M 、A 两点的一次函数解析式为y kx b =+ ∴+=-+=⎧⎨⎩k b k b 10 解得k b ==

⎧

⎨⎪⎪⎩

⎪⎪12

12

∴=

+y x 121

2

（3）存在点P ，使过P 、M 两点的直线与∆ABC 的两边AB 、BC 的交点E 、F 和点B 所组成的∆BEF 与∆ABC 相似.

（分两种情况）

<1>当EF//AC 时，∆∆BEF BAC ~， ∠=∠MEG CAO ，∴Rt MEG Rt CAO ∆∆~， ∴

=MG CO EG AO ∴=EG 13，OE =-=11323∴ E ()2

3

0，. 设过M 、E 两点的直线解析式为y k x b 111=+，∴=+=+⎧⎨⎪

⎩

⎪102

311

11k b k b 解得k b 1132==-⎧⎨⎩ ∴直线解析式为y x 132=-

抛物线解析式为y x x =-++2

23整理得x x 2

50+-=，

解得x x 1212121212=

-+=--，∴=-+=

--y y 12732127321

2

，

∴点P 1121273212(

)-+-+，或点 P 212127321

2

()----，. <2>当EF 与AC 不平行时，易证∆∆BEF BCA ~.过点A 作AK CB ⊥于K ，由勾股定理，得

AK CK ==222，. Rt MEG Rt ACK ∆∆~，

21=∴EG ∴点E ()120， 设过M 、P 两点的直线解析式为y k x b 222=+ ∴+=+=⎧⎨⎪⎩⎪12

012222k b k b ∴==-⎧⎨⎩k b 222

1 ∴直线解析式为y x 221=-

抛物线解析式为y x x =-++223，联立消去y 得，x 24=

∴=x 32或x 42=-∴=y 33或y 45=-∴点P 3（2，3）或点P 425()--，.

综上所述，存在点P 1121273212(

)-+-+，、P 212127321

2

()----，、 P 3（2，3）、P 425()--，，使过P 、M 两点的直线与∆ABC 的两边AB 、BC 的交点E 、F 和点B 所组成的∆BEF 与

∆ABC 相似

.

第4题解答图