线性代数-基变换与坐标变换
矩阵分析引论--第一章 线性空间与线性变换-线性空间的概念、 基变换与坐标变换

复数集的一个非空子集,含非零数,对和、差、 积、商(除数不为零)运算封闭.
• 性质:
必包含0与1; 有理数域是最小的数域.
目录 上页 下页 返回 结束
第一章第一二节 线性空间的概念、基变换与坐标变换
2、线性空间
定义1-1(线性空间) 设V是一非空集合,P是一数域,若
(1)在V上定义了一个二元运算(称为加法, a与b 的和记为a+b), 且 a , b V,有 a b V ;
(2)在P与V的元素之间还定义了一种运算(称为
数乘, k与a的数乘记为ka),
且 a V ,k P, 有 ka V ;
目录 上页 下页 返回 结束
第一章第一二节 线性空间的概念、基变换与坐标变换
(3)加法与数乘满足以下八条规则:
(ⅰ) a b b a; (ⅱ) (a b ) a (b );
第一章第一二节 线性空间的概念、基变换与坐标变换
第一节 线性空间的概念
一、线性代数回顾
★ n维向量:有序数组 ★ 线性运算:加法、数乘 ★ 运算律(八条) ★ 向量关系:线性相关、线性无关 ★ 向量空间 ★ 子空间 ★基
目录 上页 下页 返回 结束
第一章第一二节 线性空间的概念、基变换与坐标变换
(ⅲ) a 0 a;
(ⅳ) a (a ) 0;
(ⅴ) 1a a;
(ⅵ) k(la ) (kl)a;
(ⅶ) (k l)a ka la ;(ⅷ) k(a b ) ka kb .
则称集合V为数域P上的线性空间或向量空间.
目录 上页 下页 返回 结束
第一章第一二节 线性空间的概念、基变换与坐标变换
又若向量 b k1a1 k2a2 knan , 则b 也称为向量 a1,a2,,an 的线性组合,或称 b 可以由向量 a1,a2,,an 线性表示.
线性代数53向量空间的基和维

例 设A a1(2 2 1)T a2(2 1 2)T a3(1 2 2)T B b1(1 0 4)T b2(4 3 2)T 验证a1 a2 a3是R3的一 个基 并求b1 b2在这个基中的坐标
解 要说明a1, a2, a3是R3的一个基,只要证a1, a2, a3线性无关, 即A E
设b1 x11a1 x21a2 x31a3, b2 x12a1x22a2 x32a3, 则
r1 r2
由基的定义知两组向量组都线性无关,即
r1 s, r2 t 从而 s t
定义 向量空间V 的任一基向量的个数, 称为空间V 的维 (dimension), 记这个数为 dimV
由于Rn有一组明显的自然基,
1 0
0
e1
0,
e2
1,
en
0
0
0
1
故有 dim Rn = n , 即Rn是n维向量空间.
Ax O
的解集 N(A) 是向量空间,现在进一步指出:它的通解中 元素的一般式中所含有任意常数的个数 n- r(A) 就是 N(A) 的维数 dimN(A), 即
dim N( A) n r( A)
dim N( A) dim R( A) n
基础解系就是N(A)的一组基,它们线性无关,并生成N(A).
即
A
y1 y2 y3
B
z1 z2 z3
于是
z1 z2 z3
B1A
y1 y2 y3
这就是从旧坐标到新坐标的坐标变换公式
定理 设b1、…、bs 及 f1、…、ft 是向量空间的任两 组基,则必有 s=t. 证 利用等价向量组 根据向量空间基的定义可知两组基等价的,从而其秩相等:
注 (1)只有零向量的向量空间没有基 规定其维数为0 (2)若把向量空间V看作向量组 则向量空间V的基就是
基变换与坐标变换的关系与应用

基变换与坐标变换的关系与应用基变换和坐标变换是线性代数中的重要概念,它们之间存在一定的关系,并且在许多领域中有广泛的应用。
本文将探讨基变换和坐标变换的关系以及它们在实际应用中的应用案例。
1. 基变换与坐标变换的概念在线性代数中,基是向量空间中一组线性无关的向量。
基变换是将一个向量空间的基转换为另一个基的过程。
而坐标是描述向量在某个基下的表示方式。
坐标变换是从一个基的坐标系转换到另一个基的坐标系的过程。
可以说基变换是在向量空间中改变基的方向和大小,而坐标变换是在坐标系中改变坐标的表示。
2. 基变换与坐标变换的关系基变换和坐标变换之间存在紧密的联系。
考虑一个向量在一个基下的坐标表示,如果我们将该基进行变换,那么基相应的坐标系也会发生变化。
而坐标变换是基变换的结果,通过基变换,我们可以得到向量在新基下的坐标表示。
换句话说,基变换决定了坐标变换的方式。
3. 基变换与坐标变换的应用基变换和坐标变换在许多科学领域中有广泛的应用。
3.1 三维坐标变换在三维计算机图形学和计算机视觉中,我们经常需要对三维空间中的对象进行坐标变换。
通过基变换和坐标变换,我们可以将对象从世界坐标系转换到相机坐标系或者屏幕坐标系。
这样可以实现对象在三维空间中的旋转、缩放和平移等操作。
3.2 坐标系的正交化在机器学习领域中,正交化是一个常见的操作。
通过对数据进行基变换,可以将原始数据映射到一个正交基的坐标系中,从而方便进行数据分析和处理。
例如,在主成分分析(PCA)中,我们通过基变换将数据投影到一个新的基上,实现数据的降维和特征提取。
3.3 图像处理中的颜色空间转换在图像处理中,颜色空间的转换是一个重要的任务。
基于RGB颜色模型的图像可以通过基变换和坐标变换转换到其他颜色空间,如HSV、Lab等。
这样可以方便地实现图像的亮度、饱和度和色彩的调整。
3.4 机器人运动规划中的坐标变换在机器人运动规划中,坐标变换是一个关键的步骤。
通过基变换,可以将机器人末端执行器的位置和姿态从机器人局部坐标系转换到全局坐标系,从而方便进行运动轨迹的规划和控制。
2019年教师资格数学线性代数4

1 1
C.
−1 1
1 0
B.
1 1
0 1
D.
−1 0
五、矩阵与线性变换的关系
(二)常见的几何变换与矩阵的关系
2.反射变换(对称变换)
把平面上的任意一点P变成它关于直线 的对称点
换叫做关于直线 的反射。
的线性变
【真题-2017-上半年-初级中学-选择题】
下列矩阵所对应的线性变换为关于y=-x的对称变换的是( )。
下面4个矩阵中,不是正交矩阵的是( )。
A.
C.
1
2
3
2
−
1
2
1 −1
1 1
3
2
0 −1
B.
1 0
D.
−
正交矩阵每一行(列)n个元素的平方和等于1,
两个不同行(列)的对应元素乘积之和等于0.
三、相似矩阵
1.定义:
四、二次型
四、二次型
1.定义:
四、二次型
2.正定二次型:
给定线性变换
对应的n阶方阵为
也就是矩阵与线性变换之间存在一一对应的关系。
例如:矩阵
对应的线性变换为
可看作是
五、矩阵与线性变换的关系
(二)常见的几何变换与矩阵的关系
1.旋转变换
例如:矩阵
对应的线性变换为
3.【2017年上半年-高级中学-选择题】下列矩阵对应的线性
变化为旋转变换的是( )。
A.
1 1
(一)维数
设V为向量空间,若
(1)V中有r个向量组 1 ,2 , … , 线性无关;
(2)V中任一向量都可由1 ,2 , … , 线性表示,
则称1 ,2 , … , 为V的一个基,称数r为V的维数,记作
基变换与坐标变换的理解

基变换与坐标变换的理解在线性代数的学习过程中,我们经常会遇到基变换和坐标变换的概念。
这两个概念是线性代数中非常重要的概念,对于理解矩阵变换和向量空间变换起着至关重要的作用。
基变换的概念和意义在向量空间中,基是一个线性无关且张成整个向量空间的向量集合。
基变换指的是由一个基向量集合变换为另一个基向量集合的过程。
当我们进行基变换时,实际上是在改变向量表示的方式,但是向量本身不会发生变化。
基变换的本质是将原向量空间中的向量通过一种线性变换映射到一个新的基向量空间中,从而使得原空间中的向量在新的基下有着不同的坐标表示。
通过基变换,我们可以更加方便地对向量空间进行分析和处理。
在实际应用中,基变换也被广泛应用于图像处理、机器学习等领域。
例如,在计算机图形学中,基变换可以帮助我们更好地理解和描述图形的变化和转换。
坐标变换的概念和意义坐标变换是指在给定基的基础上,改变向量在这个基下的坐标表示的过程。
坐标变换实际上是一种基变换的特例,特别是当基是标准正交基时,坐标变换可以简化为矩阵乘法的形式。
通过坐标变换,我们可以将向量从一个坐标系表示转换为另一个坐标系表示,这在实际应用中具有重要意义。
在机器人学中,坐标变换可以帮助我们描述机器人在不同坐标系下的位置关系,从而控制机器人的运动。
在三维图形学中,坐标变换也是不可或缺的工具,可以帮助我们实现图形对象的平移、旋转等操作。
基变换与坐标变换的关系基变换和坐标变换之间有着密切的联系。
在实际应用中,基变换可以通过矩阵乘法来表示,而坐标变换也可以通过矩阵乘法来表示。
基变换和坐标变换的关系可以从几何和代数的角度进行理解。
从几何上看,基变换可以看作是一种向量空间的旋转、拉伸和压缩等操作,而坐标变换则是在这个基的基础上描述向量的位置关系的操作。
从代数的角度看,基变换可以看作是基向量的线性组合,坐标变换可以看作是向量在不同基向量下的系数表示。
通过矩阵的乘法运算,我们可以很方便地实现基变换和坐标变换的转换。
华中科技大学线性代数3-3

T T
T
1 0 ,1,1 , 2 1,1, 0 , 3 1, 2 ,1 .
T
(1 )求由基 1 , 2 , 3 到基
a1 1 a1 2 a1 n a a 22 a 2 n 21 C a n1 a n 2 a nn
1
其中
, 2 , , n 的过渡矩阵.
称为由基 1 , 2 , , n 到基
由
1
, 2 , , n 1 , 2 , , n C
a (2) 已知向量 ( a , b , c ) T 在 e 1 , e 2 , e 3 下的坐标为 X b , c 故向量 在 1 , 2 , 3 下的坐标为
1
Y C
1 1 1 X 0 1 1 0 0 1
( B AC )
可知C可逆,故有
( 1 , 2 , , n ) C
1
( 1 , 2 , , n ) ( BC
1
A)
其中C -1
称为由基
1 , 2 , , n
到基 1 , 2 , , n 的过渡矩阵.
定理: 设向量空间V的一组基 1 , 2 , , n 到另一组基 r
(a , b, c )
T
在 1 , 2 , 3 下的坐标 .
1 1 1 ( 1 , 2 , 3 ) ( e 1 , e 2 , e 3 ) 0 1 1 , 0 0 1
由
1 1 1 e 1 , e 2 , e 3 到 1 , 2 , 3 的过渡阵为 C 0 1 1 ; 0 0 1
基变换与坐标变换公式

文档内容模板如下:基变换与坐标变换公式一、基变换概述基变换在数学和物理学中具有重要意义,它是描述向量空间中向量变换的一种数学工具。
基本思想是通过一组新的基底来表示原有的向量,从而实现向量空间中的变换。
二、基变换的原理假设有一组基底向量{a1, a2, …, an}和{b1, b2, …, bn},它们之间通过一个矩阵M相互转换。
则向量v可以表示为:v = a1x1 + a2x2 + … + anxn = b1y1 + b2y2 + … + bnyn其中xi和yi是向量v在{a1, a2, …, an}和{b1, b2, …, bn}基下的坐标。
三、坐标变换的概念坐标变换是指在不同基底下对同一个向量进行表示的变换过程。
假设有向量v在标准基底下的坐标为y,在基底{a1, a2, …, an}下的坐标为x。
则坐标变换关系为:x = My其中矩阵M由基底{a1, a2, …, an}确定。
四、基变换与坐标变换关系在基变换和坐标变换的过程中,两者之间有着密切的联系。
通过基变换矩阵M,可以实现向量之间在不同基底下的表示转换。
同时,坐标变换也可以通过基变换来实现。
假设有向量v,在基{a1, a2, …, an}和基{b1, b2, …, bn}下的坐标分别为x和y,则坐标变换公式为:y = Mx五、总结基变换和坐标变换是线性代数中重要的概念,它们为描述向量空间中的变换提供了有效的数学工具。
通过对基变换和坐标变换的学习,可以更好地理解向量在不同基底下的表示和转换过程。
以上是关于基变换与坐标变换公式的简要介绍,希望对你有所帮助。
线性代数中的基与维数

线性代数中的基与维数线性代数是数学的一个分支,主要研究向量空间和线性映射的性质。
而在线性代数中,基与维数是两个重要的概念,它们扮演着关键的角色。
本文将详细讨论线性代数中的基与维数,并探讨它们的应用。
一、基与线性无关性在线性代数中,我们将向量空间中的一组向量称为基(basis),它们具有以下两个性质:1. 生成性:基中的向量可以通过线性组合生成向量空间中的任意向量。
2. 线性无关性:基中的向量不能通过线性组合得到零向量。
具体来说,设V是一个向量空间,若存在向量组B={v₁, v₂, ..., vₙ}满足以下两个条件,则称该向量组为V的基:1. 所有的向量v∈V都可以由B中的向量线性表出。
2. 如果B中的向量进行线性组合时等于零向量,那么必须其中的所有系数都等于零。
基的一个重要性质是线性无关性。
线性无关的向量组意味着每个向量都是独立的,不能由其他向量线性表示出来。
当一组向量线性无关时,它们的个数称为向量空间的维数。
二、维数的概念及性质在线性代数中,维数(dimension)是向量空间中独立向量的最大个数,记作dim(V)。
维数是衡量向量空间复杂程度的一个指标,它具有以下性质:1. 如果向量空间V中存在有限个向量使得它们线性无关,那么V的维数是有限的。
2. 如果在V中存在无穷多个向量,且它们线性无关,那么V的维数是无穷大。
3. 如果V的维数为n,那么V的任意一个基都包含n个向量。
4. 如果V的维数为n,那么V中的任意n+1个向量必然线性相关。
维数的计算方法也有一些常见的技巧。
对于有限维向量空间V而言,可以通过求解线性方程组的方法来求解维数。
另外,对于一些特殊的向量空间,也可以直接通过观察其内部的向量性质来确定维数。
三、基与维数的应用基与维数在线性代数中有广泛的应用,下面简要介绍几个常见的应用领域:1. 基变换与坐标系:在向量空间中,不同的基可以产生不同的坐标系,基变换就是在不同的基之间进行坐标的转换。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性,平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益,请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间:9:00-18:30)。
问题:在 n 维线性空间 V中,任意 n 个线性 无关的向量都可以作为 V 的一组基.对于不同的 基,同一个向量的坐标是不同的.
那么,同一个向量在不同的基下的坐标有什 么关系呢?换句话说,随着基的改变,向量的坐 标如何改变呢?
设1,2 , ,n及1, 2 , , n是线性空间Vn的
1 , 2
,
,n
P
x2'.
xn
xn'
x1 x1'
即
x2
P
x2'
.
xn xn'
由 于 矩 阵P可 逆, 所 以
x1'
x1
x2'
P
1
x2 .
xn'
xn
例1 在 P[ x]3中取两个基
1 x3 2 x2 x, 3 x3 2 x2 x 1, 及 1 2 x3 x2 1, 3 2 x3 x2 x 2,
过渡矩阵 P是可逆的.
二、坐标变换公式
定理1 设Vn中的元素 ,在基1 , 2 , , n下的坐标
为
( x1 , x2 , , xn )T ,
在基1 , 2 ,
,
下的坐
n
标为
( x1', x2 ', , xn ')T ,
若两个基满足关系式
1, 2, , n 1,2, ,n P
则有坐标变换公式
x1 x1'
x1'
x1
x2
P
x2'
,
或
x2'
P
1
x2 .
xn xn'
xn'
xn
证明
x1
x1'
1 , 2 ,
,n
x2 xn
1, 2 ,
, n
x2' xn '
1, 2 , , n 1,2 , ,n P
x1
x1'
1 , 2 ,
,n
x2
0 1 0 0 1 1 0 0 1 0 0 0
0 0
0 1
E
B1 A
0 0 0 1 1 1 1 1
所以
x1' 0 1 1 1 x1
x x x
2 3 4
' ' '
1 0 1
1 0 1
0 0 1
0 1 1
x x x
2 3 4
.
例2 坐标变换的几何意义.
设
1
1
(k1 k2) x3 k3 x2 (k2 k4)x (k3 k4)
0 k1 k 2 0,
k
k3 2 k4
0,
0,
k1 k2 k3 k4 0
k 3 k 4 0
故 x3 , x3 x, x2 1, x 1线性无关,是 P[ x]3的一个基.
又令
a1 x3 a2 ( x3 x) a3 ( x2 1) a4 ( x 1) x2 2x 3,0, 021及
1
1 1
,
2
1 1
2
为线性空间V R2的两个基.
又设
1
21 2,
则在基 1 , 2下的坐标为
x1 1 2 x2 1
由坐标变换公式可知,在基 1, 2下的坐标为
y1 y2
1 1
1 1 1 2 1 2
1 2 1 1
y
即
1 2
1
2.
1 p11
2
p12
n p1n
p21 p22 p2n
pn1 1
1
pn2
2
PT
2 .
pnn n
n
1, 2 , , n 1,2 , ,n P
基变换公式 在基变换公式
1, 2 , , n 1,2 , ,n P
中, 矩阵P 称为由基 1,2, ,n 到基 1, 2, , n的过 渡矩阵.
两个基, 且有
1 p111 p21 2 pn1 n
2 p121
p22 2 pn2 n
,
n p1n1 p2n 2 pnn n
称此公式为基变换公式.
由于
1 p111 p21 2 pn1 n
2 p121
p22 2
pn2 n
n p1n1 p2n 2 pnn n
2 1
2
1 2
1
1 2
o
1
1 x 2
三、小结
1.基变换公式
1 p111 p212 pn1n
2 p121
p22
2 pn2n
n p1n1 p2n2 pnnn
1, 2 , , n 1,2 , ,n P
2.坐标变换公式
x1 x1'
x2
P
x2'
,
或
a1 a2 0,
则
a3 1,
a
2
a
4
2,
a3 a4 3
解之可得
a1 0,
a2 0,
a
3
1,
a4 2.
故 x2 2x 3在这个基下的坐标为(0,0,1,2)T .
1 1 1 1 2 0 2 1
其中
A
2 1
1 1
2 1
01,
B
1 0
1 2
1 1
3 1
,
0 1 1 1 1 2 2 2
得
( 1 , 2 , 3 , 4) ( 1 , 2 , 3 , 4) A1 B.
故坐标变换公式为
x1'
x1
x2'
x3 x4
' '
B1
A
x2 x3 x4
求坐标变换公式.
2 x3 x2 x 1, 4 x3 x2 1, 2 x2 2x 2, 4 x3 3 x2 x 2,
解 将 1 , 2 , 3 , 4 用 1 , 2 , 3 , 4 表示.
因为 ( 1, 2 , 3 , 4) ( x3 , x2 , x,1)A, ( 1 , 2 , 3 , 4) ( x3 , x2 , x,1)B,
.
用初等变换计算 B1 A.
2 0 2 1 1 1 1 1
B
A
1 0
1 2
1 1
3 2 1 1 1 1
2 1
1 0
1 2 2 2 0 1 1 1
1 0 0 0 0 1 1 1
~ 初等行变换
0 0
1 0
0 1
0 0
1 0
1 0
0 0
0 1
0 0 0 1 1 1 1 1
1 0 0 0 0 1 1 1
xn xn'
x1'
x1
x2'
P
1
x2 .
xn'
xn
思考题
证明 x3 , x3 x, x2 1, x 1是Px3的一个基,
并求多项式x2 2x 3在这个基下的坐标.
思考题解答
证明 令
k1 x3 k 2 ( x3 x) k 3 ( x2 1) k 4 ( x 1)