坐标系及其变换
数学中的坐标系与坐标变换
数学中的坐标系与坐标变换数学是一门广泛应用于各个领域的学科，而坐标系和坐标变换则是数学中的重要概念。
本文将介绍什么是坐标系，坐标变换的概念以及它们在数学和现实生活中的应用。
一、坐标系坐标系是在某一平面或空间中确定点的位置的一种方式。
它由坐标轴和原点组成。
常见的坐标系包括二维笛卡尔坐标系和三维笛卡尔坐标系。
1. 二维笛卡尔坐标系二维笛卡尔坐标系由两条垂直的数轴组成，通常称为x轴和y轴。
原点是坐标系的交点，用(0,0)表示。
在二维笛卡尔坐标系中，每个点都可以表示为一个有序对(x, y)，其中x表示点在x轴上的坐标，y表示点在y轴上的坐标。
2. 三维笛卡尔坐标系三维笛卡尔坐标系在二维笛卡尔坐标系的基础上增加了一条垂直于x轴和y轴的z轴。
在三维笛卡尔坐标系中，每个点都可以表示为一个有序组(x, y, z)，其中x表示点在x轴上的坐标，y表示点在y轴上的坐标，z表示点在z轴上的坐标。
二、坐标变换坐标变换是指将一个点的坐标从一个坐标系转换到另一个坐标系的过程。
坐标变换在数学和物理学中都有着广泛的应用。
1. 平移平移是一种坐标变换，通过向所有的点添加一个常量向量，从而将一个坐标系中的点转换到另一个坐标系中。
例如，将一个点的坐标由(x, y)变为(x+a, y+b)，其中(a, b)表示平移的向量。
2. 旋转旋转是一种坐标变换，通过围绕一个给定的中心点将点按照一定角度旋转，从而将一个坐标系中的点转换到另一个坐标系中。
旋转可以使用旋转矩阵或旋转角度表示。
3. 缩放缩放是一种坐标变换，通过改变点的坐标的比例，从而将一个坐标系中的点转换到另一个坐标系中。
缩放可以使点的坐标变大或变小，可以根据缩放因子在x方向和y方向上进行分别缩放。
三、数学与现实生活中的应用坐标系和坐标变换在数学和现实生活中有着广泛的应用。
以下是一些常见的应用情景：1. 几何学中的图形表示：坐标系可以用来表示几何图形，例如在平面上绘制直线、圆等图形，或者在空间中绘制立方体、球体等图形。
常用坐标系及其间的转换
将式（1.4）中之φ0、 α0 分别用 B0、 A0 代替。即可得到。
3. 发射坐标系与箭体坐标系间的欧拉角及方向余弦阵 这两个坐标系的关系用以反映箭体相对于发射坐标系的姿态角。为使一般一状态下
这两坐标系转至相应轴平行，现采用下列转动顺序：先绕 oz 轴正向转动ϕ 角，然后绕
新的 y′ 轴正向转动ψ 角，最后绕新的 x1 轴正向转γ 角。两坐标系的欧拉角关系如图 1.4
用该坐标系与其它坐标系的关系反映出火箭的飞行速度矢量状态。
1.1.2 坐标系间转换
1. 地心惯性坐标系与地心坐标之间的方向余弦阵
由定义可知这两坐标系的 oE ZI ， oE ZE 是重合的，而 oE X I 指向平春分点 oE X E 指
向所讨论的时刻格林威治天文台所在子午线一赤道的交点， oE X I 与 oE X E 的夹角要通
cosα0 cosλ0 + sinα0 sinφ0 sin λ0
cosα0 cosφ0 ⎤
sinφ0
⎥ ⎥
−sinα0 cosφ0 ⎦⎥
（1.4）
若将地球考虑为总地球椭球体，则发射点在椭球体上的位置可用经度 λ0 ，地理纬
度 B0 确定， ox 轴的方向则以射击方位角 A0 表示。这样两坐标系间的方向余弦阵只需
过天文年历年表查算得到，记该角为 ΩG ，显然，这两个坐标系之间仅存在一个欧拉角
ΩG ，因此不难写出两个坐标系的转换矩阵关系。
⎡XE⎤
⎡XI ⎤
⎢ ⎢
YE
⎥ ⎥
= EI
⎢ ⎢
YI
⎥ ⎥
(1.1)
⎢⎣ ZE ⎥⎦
⎢⎣ ZI ⎥⎦
其中
பைடு நூலகம்
⎡ cos ΩG sin ΩG 0⎤
(完整word版)参考系坐标系及转换
1 天球坐标系、地球坐标系和卫星测量中常用的坐标系的建立方法.天球直角坐标系天球坐标系天球球面坐标系坐标系地球直角坐标系地球坐标系地球大地坐标系常用的天球坐标系：天球赤道坐标系、天球地平坐标系和天文坐标系。
在天球坐标系中，天体的空间位置可用天球空间直角坐标系或天球球面坐标系两种方式来描述.1 天球空间直角坐标系的定义地球质心O为坐标原点，Z轴指向天球北极，X轴指向春分点，Y轴垂直于XOZ 平面，与X轴和Z轴构成右手坐标系。
则在此坐标系下,空间点的位置由坐标（X，Y，Z)来描述.春分点：当太阳在地球的黄道上由天球南半球进入北半球，黄道与赤道的交点）2 天球球面坐标系的定义地球质心O为坐标原点，春分点轴与天轴（天轴：地球自转的轴）所在平面为天球经度(赤经）测量基准-—基准子午面，赤道为天球纬度测量基准而建立球面坐标.空间点的位置在天球坐标系下的表述为（r,α，δ)。
天球空间直角坐标系与天球球面坐标系的关系可用图2—1表示：岁差和章动的影响岁差:地球实际上不是一个理想的球体，地球自转轴方向不再保持不变，这使春分点在黄道上产生缓慢的西移，这种现象在天文学中称为岁差。
章动：在日月引力等因素的影响下,瞬时北天极将绕瞬时平北天极旋转，大致呈椭圆,这种现象称为章动。
极移：地球自转轴相对地球体的位置并不是固定的，因而，地极点在地球表面上的位置，是随时间而变化的,这种现象称为极移。
地球的自转轴不仅受日、月引力作用而使其在空间变化，而且还受地球内部质量不均匀影响在地球内部运动。
前者导致岁差和章动，后者导致极移。
协议天球坐标系:为了建立一个与惯性坐标系统相接近的坐标系，人们通常选择某一时刻,作为标准历元，并将此刻地球的瞬时自转轴（指向北极）和地心至瞬时春分点的方向，经过瞬时的岁差和章动改正后，分别作为X轴和Z轴的指向，由此建立的坐标系称为协议天球坐标系.3 地球坐标系地球直角坐标系和地球大地坐标系的转换其中:过椭球面上一点的法线，可作无限个法截面，其中一个与该点子午面相垂直的法截面同椭球面相截形成的闭合的圈称为卯酉圈。
平面向量的坐标系和坐标变换
平面向量的坐标系和坐标变换在平面向量的研究中，坐标系和坐标变换起着重要的作用。
它们为我们提供了一种方便和有效的方法来描述和计算平面向量的性质和运算。
本文将介绍平面向量的坐标系和坐标变换的基本概念和应用。
一、坐标系的引入为了描述平面上的向量，我们引入了坐标系。
常用的坐标系有直角坐标系和极坐标系两种。
1. 直角坐标系直角坐标系是平面上最常见的坐标系。
它由两个相互垂直的轴组成，分别称为x轴和y轴。
在直角坐标系下，一个向量可以用坐标(x, y)来表示，其中x是沿着x轴的分量，y是沿着y轴的分量。
例如，向量A可以表示为A(x, y)。
2. 极坐标系极坐标系是另一种描述平面向量的坐标系。
它由原点O和极轴组成，极轴上有正方向和负方向。
在极坐标系下，一个向量可以用极坐标(r, θ)来表示，其中r是向量的长度，也称为模，θ是向量与极轴的夹角，也称为极角。
例如，向量A可以表示为A(r, θ)。
二、坐标变换的原理在不同的坐标系中，同一个向量可以有不同的坐标表示。
坐标变换可以将某一坐标系下的向量转换为另一坐标系下的向量。
下面分别介绍直角坐标系到极坐标系和极坐标系到直角坐标系的坐标变换。
1. 直角坐标系到极坐标系的坐标变换对于直角坐标系下的向量A(x, y)，要将其转换为极坐标系下的表示，可以按照以下公式进行计算：r = √(x^2 + y^2)θ = arctan(y/x)其中，r是向量A的长度，θ是向量A与x轴的夹角。
2. 极坐标系到直角坐标系的坐标变换对于极坐标系下的向量A(r, θ)，要将其转换为直角坐标系下的表示，可以按照以下公式进行计算：x = r * cos(θ)y = r * sin(θ)其中，x是向量A沿着x轴的分量，y是向量A沿着y轴的分量。
三、坐标系和坐标变换的应用坐标系和坐标变换在平面向量的计算和分析中有广泛的应用。
以下是一些常见的应用场景：1. 向量的加法和减法在直角坐标系中，向量的加法和减法可以通过分别计算向量的x轴和y轴分量来实现。
地理空间坐标系及坐标变换
➢ 在应用中空间基准需要解决的相关问题
地理信息的空间基准涉及参考椭球、坐标系统、水准原点、 地图投影、分带等多种因素,因此地理信息的空间基准是一个 复杂问题。 由于不同历史时期我国采用不同的空间基准,造成不同时期 地理信息数据的空间基准不一致的现象，给空间数据共享和应 用带来极大困难。空间基准的统一成为多源空间数据集成与融 合研究的重点。
空间数据坐标变化方法
投影变换
仿射投影
相似变换
橡皮拉伸
2.2 坐标变换方法
投影变换：已知变换前后两个空 间参考的投影参数，利用投影公 式的正解和反解算法，推算变化 前后两个空间参考系之间点的一 一对应函数关系。投影变换是坐 标变换中精度最高的变换方法。 允许角度与长度变形。 大多数GIS软件提供常见投影之间 的转换。
➢ 变形纠正：遥感影像本身的几何变形；扫描地形图或遥感影像 过程变形，没压紧、产生斜置或扫描参数设置不恰当等，都会 使被扫入的地形图或遥感影像产生变形；
➢ 坐标旋转平移
坐标变换原因
2.2 坐标变换方法
➢ 利用一系列控制点与转换方程，在投影坐标上配准地图、影 像的过程。
➢ 实质：空间数据从一种数学状态到另一种数学状态的变换， 实质是建立两个平面点之间（或球面坐标和平面坐标）的一 一对应关系，实现由设备坐标（数字化仪坐标或栅格图像坐 标）到现实世界坐标（实际地理坐标）的转换，同时可以控 制数据采集的精度。
3）将变换方程应用于输入要素， 生成输出图层
利用转换公式，原坐标系所有点实 现变换，具有实际地理坐标。
X Y
a0 a1x a2 b0 b1x b2 y
3.1坐标系与坐标变换
3 计算机图形处理技术 3.1坐标系与坐标变换
图形的输入和输出都是在—定的坐标系中进 行的。为了提高图形处理的效率和便于用户理解， 在输入输出的不同阶段需要采用不同的坐标系。 图形学常用到的坐标系基本上有以下三级。 世界坐标系(World Coordinate System，WC) 设备坐标系(Device Coordinate System，DC) 规格化设备坐标系(Normalized Device Coordinate System，NDC)
世界坐标系
用户针对不同的实际问题而定义的原始坐标系称为用户坐标系。 常用的用户坐标系有直角坐标系、极坐标系、球坐标系、柱坐 标系等。直角坐标系(又称笛卡尔坐标系)成为计算机图形学中 最常用的用户坐标系、也称为世界坐标系。
世界坐标系有右手坐标系(图a)和左 手坐标系(图b)之分。
世界坐标系可以是二维的，也可以是三 维的。
从n维空间映射到n+1维空间是一对多的变 换。当取h＝1时，n+1维空间向量为：
（x1， x2， x3 ，…..xn，1）
则称为规范齐次坐标，这种表示是唯一的。
它仅仅是无穷多个位置向量的一个特例。 例如，二维空间的点(x，y)的齐次表示为 (hx，hy，1)。如果规定它的齐次坐标的第 三个分量h必须是1，即（x，y，1），则 称为规范齐次坐标。
绘图坐标系
规格化设备坐标系是介
于世界坐标系与设备坐标系 之间的一种坐标系，它是与 设备无关的坐标系，约定坐 标轴的取值范围是从0.0到 1.0。用户坐标系的取值范围 因实际问题而异，而设备坐 标系的取值范围又因设备而 异，所以，引入规格化设备 坐标系可提高图形应用程序 的可移植性。
常用坐标系之间的关系与转换
7.5 常用坐标系之间的关系与转换一、大地坐标系和空间大地直角坐标系及其关系大地坐标系用大地纬度企丈地经度L 和丈地髙H 来表示点的位置°这种坐标系是经 典大地测量甬:両用座标紊7屜据地图投影的理论,大地坐标系可以通过一定的投影转 化为投影平面上的直角坐标系，为地形测图和工程测量提供控制基础。
同时，这种坐标系 还是研究地球形状和大小的 种有用坐标系°所以大地坐标系在大地测量中始终有着重要 的作用.空间大地直角坐标系是-种以地球质心为原点购亘墮®坐标系，一般用X 、化Z 表 示点BSSTSTT 逐碇SS 範菇飞両H 绕禎扭转冻其轨道平面随时通过 地球质心。
对它们的跟踪观测也以地球质心为坐标原点，所以空间大地直角坐标系是卫星 大地测量中一种常用的基本坐标系。
现今，利用卫星大地测量的手段*可以迅速地测定点的空间大地直角坐拯，广泛应用于导航定位等空间技术。
同时经过数学变换，还可求岀点 的大地坐标I 用以加强和扩展地面大地网，进行岛屿和洲际联测，使传统的大地测量方法 发生了深刻的变化，所以空间大地宜角坐标系对现今大地测量的发展’具有重要的意义。
、大地坐标系和空间大地直角坐标系的转换如图7- 23所示’尸点的位置用空间 大地直角坐标〔X, Y, Z)表示，其相应 的大地坐标为(E, L)a 将该图与图？一5上式表明了 2种基本坐标系之间的关系。
加以比较可见，图7-5中的子午椭圆平面 相当于图7-23中的OJVP 平面.其中 PPz=Z.相当于图7-5中的j7；OP 3相当 丫于图7-5中的仏两平面的经度乙可视为相同，等于"叽 于是可以直接写岀X=jrcQsi f Y=jrsinL, Z=y将式(7-21).式(7-20)分别代入上式, 井考虑式(7-26)得X=Ncos^cosZr ”Y =NcQsBsinL > (7—78)Z=N (1—护〉sin^ ；BB 7-231.由大地坐标求空间大地直角坐标当已知椭球面上任一点P 的大地坐标(B, L)时，可以按式(7-78)直接求该点的 空间大地直角坐标(X, Y, Z)。
直角坐标系和坐标变换
直角坐标系和坐标变换直角坐标系是描述平面或空间中点位置的一种常用坐标系统。
它由两条互相垂直的坐标轴组成，通常被称为x轴和y轴。
坐标轴上的数值表示了点在对应轴上的位置，从而确定了点在整个坐标系中的位置。
而坐标变换则是通过一定的规则将点在一个坐标系中的表示转变为另一个坐标系中的表示。
一、直角坐标系直角坐标系是一种二维坐标系，由水平的x轴和垂直的y轴构成。
x轴和y轴的交点称为原点，通常用O表示。
在直角坐标系中，每个点都可以用一个有序数对(x, y)表示，其中x表示点在x轴上的位置，y表示点在y轴上的位置。
x轴和y轴的正方向上，数值逐渐增大。
在直角坐标系中，可以通过距离和角度来描述点和图形的性质。
例如，两点之间的距离可以使用勾股定理计算，而斜率可以帮助我们理解直线的倾斜程度。
二、坐标变换坐标变换是指将点在一个坐标系中的表示转变为另一个坐标系中的表示。
常见的坐标变换包括平移、旋转、缩放和镜像等。
1. 平移平移是指将一个点在坐标系中沿着某个方向移动一定距离。
如果要将一个点P(x, y)沿着x轴方向平移a个单位，y坐标保持不变，则新坐标是P(x+a, y)；如果要将点P沿着y轴方向平移b个单位，x坐标保持不变，则新坐标是P(x, y+b)。
2. 旋转旋转是指将一个点或图形绕某个中心点按一定角度进行旋转。
在二维直角坐标系中，可以使用旋转矩阵对点进行旋转。
设点P(x, y)绕原点逆时针旋转θ角度，则新坐标是P'(x', y')，其中：x' = x * cosθ - y * sinθy' = x * sinθ + y * cosθ3. 缩放缩放是指将一个点或图形按照一定比例进行放大或缩小。
在二维直角坐标系中，可以使用缩放矩阵对点进行缩放。
设点P(x, y)按照比例s 进行缩放，则新坐标是P'(x', y')，其中：x' = s * xy' = s * y4. 镜像镜像是指将一个点或图形关于某个轴或面对称翻转。
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Y CX X C1Y
Rot κ, Y CRot Zc, X Rot κ, Y CRot Zc , X CRot Zc , C 1Y Rot κ, CRot Zc, C1
xxV c y xV z s z xV ys 0
R n o a 旋转矩阵
nx
ox ax
n
ny
o
oy
a
a
y
nz
oz az
分别表示固连于刚体的坐标系三个坐标
轴在参考坐标系中的位置！
2、旋转矩阵的一般形式
xA
Ar
yA
zA
xB
Br
yB
zB
已知 Br 和坐标系B与A的关系， 求 Ar 。
Ar ARB Br
A RB
平移方程
2）旋转坐标变换
A p ARB B p
旋转方程
B p BRA A p ARB 1 A p ARB T A p
旋转矩阵为正交矩阵！
同一行、列元素的平方和=1；
不同行、列元素对应乘积的和=0；
矩阵行列式=1.
旋转矩阵的9个元素是线性相关的！
3）复合坐标变换
A p ARB B p ratation
Rot κ, x yV zs y yV c z yV xs 0
x
zV
0
y
s
y zV xs
0
z zV c
0
0 1
V 1 cos
Rotating about Z axis
x 0, y 0, z 1
等效旋转轴及等效旋转角 κ,
本章小结:
➢ 参考坐标和关节坐标（移动坐标） ➢ 位置、姿态的表述方式（直角坐标、欧拉坐标） ➢ 坐标变换、齐次坐标变换 ➢ 一般旋转变换、等效旋转变换
Ap 1
A RB 013
A
pBo 1
Bp 1
齐次坐标变换矩阵可分解成为平移矩阵 与旋转矩阵的乘积
A
RB
013
A
pBo
I33
1 013
A
pBo 1
A RB 013
031 1
基本齐次坐标变换矩阵
组合变换后齐次坐标变换矩阵的求解
变换次序：1-2-3…-N （参考坐标系为0）
2.2 机器人位姿表述
机器人是由一系列关节连接起来的连杆所组成的 多刚体系统。
2.2.1 直角坐标表示 1、刚体位姿表示
用一个3维列向量表示刚体 中的点（向量）在参考坐标系的位置
Ro xo yo zo T
1、刚体位姿表示
用一个固连于刚体上的3维 坐标与参考坐标系之间的方 向关系表示刚体在空间的方 向（姿态）
用来确定定点转动刚体位置的一组（3 个）独立角参量 旋转的组合（刚体的多次旋转）：
绕当前轴旋转；
A EulerB , , R ZA , R Y1, R Z2 ,
绕固定轴旋转
ARPYB , , RZA, RYA, R X A,
c s cc
s
cs s sc ss s cc
1）相对于参考坐标系的组合变换
0TN
T N 1 N
L
2T3 1T2 0T1
矩阵相乘的顺序与变换顺序相反
2）相对于当前坐标系的组合变换
0TN 0T1 1T2 2T3 L
T N 1 N
矩阵相乘的顺序与变换顺序相同
齐次变换的逆变换
A p ATB B p
B p BTA A p ATB 1 A p
第2 章 坐标系及其变换
2.1 机器人坐标系
用来准确、清晰地描述机器人的位姿 2.1.1 参考坐标系
建立空间3维坐标系的右手法则！
位置和方向不随机器人各 关节的运动而变化；一般采用 空间3维坐标系。
2.1.2 关节坐标系
3 2
6
4
5 1
用来描述机器人每一个独立关节的运动。 特别需要指出的是机器人的每一个关节都只具有一个自由度！
BTA
ARB
T
013
ARB
T
P A B0
1
一般旋转变换 旋转轴线不与参考系的任何轴线重合
引入一个新的坐标系{C}
nx ox ax 0
C
ny
oy
ay
0
nz 0
oz 0
az 0
0 1
Rot κ, Rot Zc,
κ axi ay j azk
被旋转的坐标系 O' x' y ' z '
坐标{B}向坐标{A}变换的旋转矩阵；描述坐
标{B}在坐标{A}中的姿态，姿态矩阵。
5
基本旋转矩阵（绕坐标轴的旋转）
1 0
0
R X A, 0
cos
sin
0 sin cos
cos 0 sin
R
YA
,
0
1
0
sin 0 cos
cos sin 0
R
Z
A
,
sin
cos
0
0
0 1
2.2.2 欧拉角表示
Ap
B
p
p A Bo
translation
Ap
ARB
Bp
p A Bo
Composite Transformation
2.3.2 齐次坐标及其变换
Ap
A RB
Bp
p A Bo
A p ATB B p
Ap 1
A RB 013
A
pBo 1
Bp 1
齐次坐标 齐次坐标变换矩阵
齐次变换：就是把被变换坐标系所描述的矢 量变换成用其参考坐标系所描述的矢量
c s
cs c ss
ss c
c s
cc
2.3 坐标变换
2.3.1 直角坐标及其变换 1、直角坐标与向量运算
A axi ay j azk B bxi by j bz k
向量的点积、向量的叉积
2、坐标变换 空间的同一点（向量）在不同坐标系的描述
1）平移坐标变换
Ap
Bp
p A Bo