变力曲线运动推导动能定理
大学物理功-动能定理-保守力的功
解： 抛体在重力场中运动，
m g 是一恒量，
y
但m 的轨迹是一抛物线， 取一元位移d r
dr b
a
m g 与位移的夹角θ时时在变 在这一元段内写出元功
mg
x
dA Fdrmgdr
m gdscosmgdy
b
b
b
A
Fdr
a
Fcosds mg
a
a
dy
m g(ybya) 9
解：(1)建坐标系如图
l-a O
fμ m(lg x)/l l l μmg
A f afdra l (lx)dx μm(g lx)2l μm(g la)2
a x
2l
a 2l
注意：摩擦力作负功！ 21
(2)对链条应用动能定理：
l-x O
A＝ AP＋ Af 1 2m2v 1 2m0 2v
x
v0
0AP＋ Af
1m2v 2
x
A Pa lp d r a lm l x gd m x(l2 2 g l a 2 )
前已得出： Af
μm (gl a)2
2l
m(lg 2a2)μ m(lg a)21m2v
2l
2l
2
得 v
g l
1
(l2 a 2)μ (l a )22
13
3） A为合外力作功的代数和，不是合外力中某 一个力的功。动能定理中的速度必须相对同一 个惯性系。
4）通过作功，质点与外界进行能量交换。 如果 外力对物体做正功，质点动能增加； 如果 外力对物体做负功，质点的动能减少，
即物体克服外力作功，是以减少自身的动能为 代价。
所以，动能是物体因运动而具有的作功的本领。
动能动能定理
举例说明运动的物体具有能量？
风速在12级至13级（即每秒 32.7米至41.4米）称为台风
海水的恶性
运动称为海 啸，蕴藏着 巨大的能量， 同样是极具 破坏力的自 然灾害
风力发电是
把风的动能 转为电能
利用水的势能
转为动能，推 动发电机，从 而得到电能
举例说明影响动能大小的因素？
质量为m的物体沿曲线从A运动到B，推导得出在 这个过程有
B
A
例2：一架喷气式飞机，质量 m =5.0×103 kg，起飞 过程中从静止开始滑跑。当位移达到 l=5.0×102 m 时，速度达到起飞速度 v =60 m/s。在此过程中飞 机受到的平均阻力为 f =1.0×103 N。求飞机受到的 牵引力。
（3）对合功的理解： 合力所做的功或 各力所做功的代数和。
（4）对动能变化的理解：末动能减去初动能。
（5）对过程量与状态量 功是过程量，动能是状态量。 的理解：
（6）合功的正负与动能 合功为正，动能增加；
增减关系：
合功为负，动能减少。
（7）适用范围：
直线运动、恒力做功、 曲线运动、变力做功。
曲线运动、变力做功情境下动能定理的推导
如果乒乓球和铅球具有相同的速度，哪个 动能更大？
子弹速度很小和很大时，哪种情况动能大？
猜想：动能与质量和速度有什么定量关系？
探究活动一：物体动能与质量和速度的关系
物理情境：一质量为m的物体在光滑水平面上受
水平方向的恒力F的作用，经过位移l后获得的速
度为v，请运动所学二、动能定理 三、动能定理的应用
v1=6m/s
v2=6m/s
探究活动二：合功与动能变化的关系
物理情境：一质量为m的物体在光滑水平面上受
第2讲动能定理及其应用
第2讲动能定理及其应用思维诊断(1)动能是机械能的一种表现形式，凡是运动的物体都具有动能．()(2)一定质量的物体动能变化时，速度一定变化，但速度变化时，动能不一定变化．()(3)动能不变的物体所受合外力一定为零．()(4)做自由落体运动的物体，动能与下落距离的平方成正比．()(5)物体做变速运动时动能一定变化．()考点突破2.动能定理叙述中所说的“外力”，既可以是重力、弹力、摩擦力，也可以是电场力、磁场力或其他力．3．合外力对物体做正功，物体的动能增加；合外力对物体做负功，物体的动能减少；合外力对物体不做功，物体的动能不变．4．高中阶段动能定理中的位移和速度应以地面或相对地面静止的物体为参考系．5．适用范围：直线运动、曲线运动、恒力做功、变力做功、各个力同时做功、分段做功均可用动能定理．mv2变式训练1如图所示，木盒中固定一质量为m的砝码，木盒和砝码在桌面上以一定的初速度一起滑行一段距离后停止．现拿走砝码，而持续加一个竖直向下的恒力F(F＝mg)，若其他条件不变，则木盒滑行的距离()A．不变B．变小C．变大D．变大变小均可能＝Mv＋.显然考点二动能定理的应用1.应用动能定理解题的步骤：2．注意事项：(1)动能定理往往用于单个物体的运动过程，由于不涉及加速度及时间，比动力学研究方法要简便．(2)动能定理表达式是一个标量式，在某个方向上应用动能定理没有任何依据．(3)当物体的运动包含多个不同过程时，可分段应用动能定理求解；当所求解的问题不涉及中间的速度时，也可以全过程应用动能定理求解．(4)应用动能定理时，必须明确各力做功的正、负．当一个力做负功时，可设物体克服该力做功为W，将该力做功表达为－W，也可以直接用字母W表示该力做功，使其字母本身含有负号．[例2]如图所示，用跨过光滑定滑轮的缆绳将海面上一艘失去动力的小船沿直线拖向岸边．已知拖动缆绳的电动机功率恒为P，小船的质量为m，小船受到的阻力大小恒为f，经过A点时的速度大小为v0，小船从A点沿直线加速运动到B点经历时间为t1，A、B两点间距离为d，缆绳质量忽略不计．求：(1)小船从A点运动到B点的全过程克服阻力做的功W f；(2)小船经过B点时的速度大小v1；(3)小船经过B点时的加速度大小a.2m1－④点时绳的拉力大小为F，绳与水平方向夹角为＋1－－2m1－＋1－－f m考点三用动能定理处理多过程问题优先考虑应用动能定理的问题(1)不涉及加速度、时间的问题．(2)有多个物理过程且不需要研究整个过程中的中间状态的问题．(3)变力做功的问题．(4)含有F、l、m、v、W、E k等物理量的力学问题．[例3]如图是翻滚过山车的模型，光滑的竖直圆轨道半径R＝2 m，入口的平直轨道AC和出口的平直轨道CD均是粗糙的，质量m＝2 kg的小车与水平轨道之间的动摩擦因数为μ＝0.5，加速阶段AB的长度l＝3 m，小车从A点由静止开始受到水平拉力F＝60 N的作用，在B点撤去拉力，取g＝10 m/s2.试问：(1)要使小车恰好通过圆轨道的最高点，小车在C点的速度为多少？(2)满足第(1)的条件下，小车能沿着出口平直轨道CD滑行多远的距离？(3)要使小车不脱离轨道，求平直轨道BC段的长度范围．[解析](1)设小车恰好通过最高点的速度为mg＝mv20R①变式训练3如图所示，物体在有动物毛皮的斜面上运动，由于毛皮的特殊性，引起物体的运动有如下特点：①顺着毛的生长方向运动时，毛皮产生的阻力可以忽略，②逆着毛的生长方向运动时，会受到来自毛皮的滑动摩擦力，且动摩擦因数μ恒定．斜面顶端距水平面高度为h＝0.8 m，质量为m＝2 kg的小物块M从斜面顶端A处由静止滑下，从O点进入光滑水平滑道时无机械能损失，为使M制动，将轻弹簧的一端固定在水平滑道延长线B处的墙上，另一端恰位于水平轨道的中点C.已知斜面的倾角θ＝53°，动摩擦因数均为μ＝0.5，其余各处的摩擦不计，重力加速度g＝10 m/s2，下滑时逆着毛的生长方向．求：(1)弹簧压缩到最短时的弹性势能(设弹簧处于原长时弹性势能为零)．(2)若物块M能够被弹回到斜面上，则它能够上升的最大高度是多少？(3)物块M在斜面上下滑过程中的总路程．示的物理意义．(2)根据物理规律推导出纵坐标与横坐标所对应的物理量间的函数关系式．(3)将推导出的物理规律与数学上与之相对应的标准函数关系式相对比，找出图线的斜率、截距、图线的交点，图线下的面积所对应的物理意义，分析解答问题．或者利用函数图线上的特定值代入函数关系式求物理量．A．2 m/sB．8 m/s类题拓展质量均为m的两物块A、B以一定的初速度在水平面上只受摩擦力而滑动，如图所示是它们滑动的最大位移x与初速度的平方v20的关系图象，已知v202＝2v201，下列描述中正确的是()A．若A、B滑行的初速度相等，则到它们都停下来时滑动摩擦力对A做的功是对B做功的2倍B．若A、B滑行的初速度相等，则到它们都停下来时滑动摩擦力对A做的功是v2H H⎛⎫11质点在轨道最低点时受重力和支持力，根据牛顿第三定律可知，支持力2R，得v＝gR.对质点的下滑过程应用动能定理，，C正确．．甲车的刹车距离随刹车前的车速v变化快，甲车的刹车性能好乙车与地面间的动摩擦因数较大，乙车的刹车性能好．以相同的车速开始刹车，甲车先停下来，甲车的刹车性能好。
2.24 动能定理的应用
动能定理的应用五 其它问题
❖ ◆运用动能定理求圆周运动问题
例：如图所示，长为L的细绳拴一个小球在竖直平 面内做圆周运动，请问：
❖ （1）小球在最低点A初速为多大时，恰好能完 成一次圆周的运动。
❖ （2）最高点和最低点绳子拉力之差为多大？
B
6m
O
解题关键：同时列g出动能定理
4、动能定理的研究对象一般是一个物体，也可以是几 个物体组成的系统；
5、动能定理的计算式是标量式，遵循代数运算，v为 相对地面的速度；
6、对状态与过程关系的理解： a.功是过程量，动能是状态量。 b.动能定理表示了过程量等于状态量的改变量的关系。
（涉及一个过程两个状态） c.动能定理反应做功的过程是能量转化的过程。等式的左
皮球，测得橡皮球落地前瞬间速度 变力做功
抛球时由动能定理：
v＝12 m/s
为12
m/s，求该同学抛球时所做的
W＝mv02 ＝0.5´ 82 J＝16 J
2
2
解得Wf＝-5 J
功和橡皮球在空中运动时克服空气
抛出后由动能定理：
mgh＋Wf＝
1 2
mv2－
1 2
mv02
即橡皮球克服空 气阻力做功为5 J
阻力做的功．(g取10 m/s2)
例1.用拉力F使一个质量为m的木箱由静止开始 在水平冰道上移动了s，拉力F跟木箱前进的方 向的夹角为α，木箱与冰道间的摩擦因数为μ， 求木箱获得的速度？
Fcos αs-fs= 1 mv2 -0
2 f= μ（mg-Fsin α ）
[F cos (mg F sin )]s 1 mv2 0
2
物理动能定理公式ppt
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2.如图5-2-1所示，用拉力F使一个质量 为m的木箱由静止开始在水平冰道上 移动了l,F与水平方向成α角，木箱与 冰道间的动摩擦因数为μ，求木箱获 得的速度。
图5-2-1
【答案】 2 F cos mg F sin l / m
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要点一 对动能定理的理解
1.动能定理的研究对象是单一物体，或者可以看作单一物体的物体 系统。
2.W表示所研究过程物体受的合外力做的功，也可以是物体的所有 外力做功的代数和。
3.既适用于恒力做功，也适用于变力做功；既适用于直线运动，又 适用于曲线运动。
4.在应用动能定理解决问题时，动能定理中的位移、速度各物理量 都要选取同一个惯性参考系，一般都选地面为参考系。
5.恒力作用下的物体运动问题，凡不涉及加速度和时间及其运动过 程的具体细节，可优先运用动能定理求解。
6.变力做功过程和某些曲线运动问题，用牛顿第二定律结合运动学 公式往往难以求解，但用动能定理则迎刃而解。
7.过程复杂又不需研究中间状态时，可以把多个过程看作一个全过 程进行研究，应用动能定理更方便。
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1.试应用牛顿第二定律并结合运动学公式推导动能定理。
【答案】
如图所示，一物体在合力F作用下，向右做匀加速运动，以v1、v2、l、 F、m依次表示初速度、末速度、位移、合力和质量。
则合力的功为：W合=Fl
①
据牛顿第二定律得：F=ma
②
故W合=mal 据运动学公式v22-v12=2ax得 al=1/2(v22-v21) 故W合=m[1/2(v22-v21)]=1/2mv22-1/2mv12 而Ek1=1/2mv12，Ek2=ห้องสมุดไป่ตู้/2mv22 故有：W合=Ek2-Ek1 即合力的功等于物体动能的变化。
动能和动能定理
动能和动能定理一、动能1、定义：物体由于运动而具有的能叫动能。
2、表达式：221k mv E = ，单位：焦耳（J ） 1kg ·m 2/s 2=1N ·m=1J 物体动能与质量成正比，与速度的平方成正比3、对动能的理解（1）动能是标量，只有大小（且只有正值），没有方向(大小与速度方向无关），是状态量（2）动能具有瞬时性，某一时刻，物体具有一定速度，就具有一定动能。
v 是瞬时速度（3）动能具有相对性，同一物体，对不同参考系，物体速度有不同瞬时值，也就具有不同动能，一般都以地面为参考系研究物体运动4、动能的变化动能是标量，且只有正值，无负值；动能的变化也为标量，但却有正有负。
“变化”是末状态动能减初状态动能，与物体运动过程无关。
动能变化量为正值，物体动能增加，合外力作为动力对物体做正功动能变化量为负值，物体动能减小，合外力作为阻力对物体做负功（或物体克服合力做功）二、动能定理1、内容：合外力对物体做的总功等于动能的变化2、表达式：2121222112合mv mv Ek Ek W -=-= W 是合外力所做总功3、物理意义：动能定理揭示了合外力对物体所做总功与物体动能变化之间的关系，动能定理的实质说明了功和能之间的密切关系，即做功的过程是能量转化的过程。
等号是数值相等的符号，即“功引起物体动能的变化”，而不是“功就是动能增量”，也不是“功转变为动能”。
4、对动能定理的理解（1）动能定理涉及一个过程（做功过程）、两个状态（初末状态），应用动能定理时必须明确是哪些力在哪一个过程中做功，以及这一过程初末状态的物体的速度。
（2）动能定理既适用于直线运动，也适用于曲线运动；既适用于恒力做功，也适用于变力做功，力可以是各种性质的力，既可同时作用，也可分段作用。
（3）动能定理可以分段应用，针对某具体过程，也可全过程应用，针对全过程。
（4）研究对象是单个物体（或可看成单个物体的物体系）。
（5）合W 是合外力对物体做的总功，等于所有外力对物体做功的代数和，正功取正值，负功取负值，即 321合W W W W ++=若物体所受合外力为恒力（非变力），scos αF W 合合=。
动能 动能定理
答 案
6J
小 结
应用动能定理解题一般步骤（尤其是变力功、曲线运动）：
1.明确对象和过程：（通常是单个物体）
2.作二分析： ⑴受力分析
⑵运动情况及过程分析,确
定初、末速度
3.确定各力做功及正负
4.建方程：
2/2-mv 2/2 W合＝mv2 1
高 考 是 怎 样 考 的
一物块由静止开始从粗糙斜面上的 某点加速下滑到另一点，在此过程中重 力对物块做的功等于（05辽宁）： A．物块动能的增加量 B．物块重力势能的减少量与物块 克服摩擦力做的功之和 C．物块重力势能的减少量和物块 动能的增加量以及物块克服摩擦力做的 功之和 D．物块动能的增加量与物块克服 摩擦力做的功之和
下面我们再看一个例题：
一辆质量为m，速度为v0的汽车在关闭发 动机后于水平地面滑行了距离l后停下来， 试求汽车受到的阻力．
通过以前的学习我们知道，做功的过程是能 量从一种形式转化为另一种形式的过程．在上 面的例题中，阻力做功，汽车的动能到哪里去 了?
汽车的动能在汽车与地面的摩擦过程中转化 成内能，以热的形式表现出来，使汽车与地面 间的接触面温度升高．
B. 变 力 功
足球运动员用力踢质量为0.3kg 的静止足球，使足球以10m/s的速度 飞出，假定脚踢足球时对足球的平 均作用力为400N，球在水平面上运 动了20m后停止，那么人对足球做 的功为： A、8000J B、4000J C、15J D、无法确定
一质量为 m的小球，用长为L 的轻绳悬挂于O点。小球在水平拉 力F作用下，从平衡位置P点很缓慢 地移动到Q点，细线偏离竖直方向 的角度为θ，如图所示。则拉力F 做的功是： A. mgLcosθ B. mgL(1－cosθ) C. FLcosθ D. FL
第7节 动能定理
7.7动能与动能定理一.知识与技能1.理解动能的概念，会用动能的定义式进行计算.2.理解动能定理及动能定理的推导过程.3.知道动能定理的适用条件，知道动能定理解题的步骤.4.会用动能定理解决有关的力学问题。
知道用动能定理处理问题的优点.二.教学重点动能定理及其应用三.教学难点对动能定理的理解和应用六.教学过程新课教学进行新课 一、动能1.定义:物体由于运动所具有的能量称为动能.2.定义式：212K E mv = 3.单位:在国际单位制中是焦耳(J).因为1kg ．(m ／s)2=1N ·m=1J.4.动能是状态量，对于给定的物体(m 一定)，某状态下的速度的大小决定了该状态下的动能，动能与速度的方向无关.5.动能是标量.只有大小，没有方向，且总大于(v ≠0时)或等于零(v=0时)，不可能小于零(无负值).6.动能是相对量(因速度是相对量)，参考系不同，速度就不同，所以动能也不同，一般来说都以地面为参考系.二、动能的变化△E k动能的变化，又称动能的增量，是指一个运动过程中的物体末状态的动能E k2(对应于速度v 2)与初状态的动能E k1(对应于速度v 1)之差.三、动能定理1.动能定理的推导:由实验发现，物体动能的改变量等于外力做的功．其实，运用牛顿第二定律和匀变速直线运动的规律，也可以推导出恒力对物体做功与动能改变的关系．设物体的质量为m ，初速度为v 1，在与运动方向相同的合外力F 的作用下发生一段位移l ，速度增加到v 2，根据牛顿第二定律有F ＝ma ①由匀变速运动规律得l ＝v 22－v 212a② 由①×②可得Fl ＝12mv 22－12mv 21 2.内容:合力所做的功等于物体动能的变化(增量).如果用W 表示合外力对物体做的功，E k2表示物体的末动能，E k1表示物体的初动能，上式可写为：W ＝E k2－E k1.3.表达式:21222121mv mv W -=4.物理意义：动能定理指出了外力对物体所做的总功与物体动能变化之间的关系．即外力对物体所做的总功，对应于物体动能的变化，变化的大小由做功的多少来量度．5．实质：动能定理从能量变化的角度反映了力改变运动状态时，在空间上的累积效果(动能的变化情况从侧面体现了物体运动状态的改变情况)．6.动能定理的理解要点(1)动能定理研究的对象是单一物体(质点)或者是可以看成是单一物体的物体系．(2)动能定理适用于物体的直线运动，也适用于曲线运动；适用于恒力做功，也适用于变力做功；作用在物体上的力既可以是同性质的力，亦可以是不同性质的力；既可以是同时作用，也可以是分段作用；只要能够求出在作用过程中各力做功的多少和正负即可．(3)动能定理的计算式为标量式，v 为相对同一参考系的速度，一般以地面为参考系．(4)外力对物体所做的功是指物体所受的一切外力对它所做的总功．四、动能定理的应用1.适用条件(1)动能定理是在恒力做功的条件下推导出来的，但也适用于变力做功．(2)动能定理不仅适用于直线运动，也适用于曲线运动．2.优点(1)动能定理对应的是一个过程，只涉及到物体初、末状态的动能和整个过程中合外力的功，无需关心中间运动过程的细节，而且功和能的物理量都为标量，无方向性，计算方便，因而当题目中不涉及加速度和时间，而涉及力、位移、质量、速度、功和动能等物理量时，优先考虑动能定理．(2)用动能定理解题比用牛顿运动定律和运动学公式解题要简便，动能定理是解决力学问题的重要方法．(3)动能定理提供了一种计算变力做功的简便方法。
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变力曲线运动推导动能定理
概述
动能定理是物理学中一个非常基本的定理，它描述了一个物体的动能的变化与物体所受的净外力的关系。
在变力曲线运动中，物体所受的力随时间变化，因此，推导动能定理需要考虑力的变化情况。
本文将介绍如何推导出变力曲线运动的动能定理。
推导过程
为了推导动能定理，我们需要从牛顿第二定律出发，并结合力的定义和功的概念展开推导。
1. 牛顿第二定律
根据牛顿第二定律，物体所受的净外力等于物体的质量乘以加速度，即 [F_{net} = m a] 其中，F net是物体所受的净外力，m是物体的质量，a是物体的加速度。
2. 力的定义
力是对物体施加作用，使其发生加速度的物理量。
力可以由势能的改变、速度的改变或质量的改变引起。
根据牛顿第二定律，我们可以将力表示为物体的质量乘以加速度的形式。
在变力曲线运动中，力随时间变化，因此，我们可以将力表示为时间的函数：[F(t)]
3. 功的概念
力对物体做功时，会使物体的动能发生变化。
功的定义为力与物体位移的乘积，即：[W = F d]
4. 推导动能定理的基本思路
我们利用功的概念，将物体在时间t1到t2内所受的所有力对物体做的功进行求和。
这个时间段内力的作用是连续变化的，因此，我们将时间t1到t2分成n个小时间段，每个小时间段的时间间隔为Δt。
在每个小时间段内，力的大小可以近似视为常数。
我们考虑第i个小时间段内物体所受的力为F i，物体在该时间段内的位移为Δx i。
根
据功的定义，这个小时间段内力对物体所做的功为W i=F i⋅Δx i。
将所有小时间段内的功求和，得到时间t1到t2内物体所受的所有力对物体做的总功为：[W = {i=1}^{n} W_i = {i=1}^{n} F_i x_i]
5. 近似处理
在计算总功的时候，我们取小时间段个数n趋于无穷大，即lim n→∞。
同时，我们假
设每个小时间段的长度都趋于无穷小，即limΔt→0。
这样，在实际计算时，我们可
以将总功的求和式转化为积分形式。
首先，我们将小时间段的长度表示为Δt=(t2−t1)/n。
其次，我们将每个小时间
段内的力表示为F(t)，并将位移表示为x(t)。
将总功的求和式转化为积分形式，得到： [W = {t_1}^{t_2} F(t) dx(t) =
{x_1}^{x_2} F(x) dx]
由分析力学可知，物体所受的合外力可以表示为势能的负梯度：[F(x) = -]
这样，总功的表达式可以进一步变为： [W = {x_1}^{x_2} - dx = -{x_1}^{x_2} dU = U(x_2) - U(x_1)]
6. 动能定理的推导
根据动能的定义，物体的动能可以表示为：[K = m v^2] 其中，K是物体的动能，m是物体的质量，v是物体的速度。
根据牛顿第二定律，我们可以将速度表示为时间的函数：[v(t)]
我们将时间t1的速度记为v1，时间t2的速度记为v2。
物体在时间t1到t2内的动能的
变化量为：[K = K_2 - K_1 = m v_2^2 - m v_1^2]
根据牛顿第二定律，我们知道[F = m ] 这样我们就得到[dv = dt]
我们将上面得到的结果代入动能的变化量的表达式中，得到： [K = m v_2^2 - m v_1^2 = m _{t_1}^{t_2} v(t) dt]
根据上一步的推导我们有[Fdt = mvdv]
利用上一步的结果，我们可以将上式进一步化简为： [K = m _{v_1}^{v_2} v dv = m ( - ) = m v_2^2 - m v_1^2]
我们可以发现，动能的变化量与总功的结果是相同的，即： [K = W = U(x_2) -
U(x_1)]
这就得到了变力曲线运动的动能定理。
总结
动能定理是物理学中一个非常重要的定理，它揭示了物体动能的变化与所受的力的关系。
通过推导，我们得到了变力曲线运动的动能定理：动能的变化量等于物体所受的总功，即ΔK=W。
这一定理在力的变化情况下仍然成立，对于研究不同力场下的物体运动具有重要意义。
在推导动能定理的过程中，我们利用了牛顿第二定律、力的定义、功的概念以及近似处理的方法。
通过逐步推导，我们找到了动能定理的形式化表达式，并解释了物理意义。
动能定理在物理学的研究和应用中有广泛的应用，如机械运动学、电磁学等领域。
通过运用动能定理，我们可以更好地理解和分析物体的运动特性，为实际问题的解决提供指导。