大学物理 动能定理 功能原理
功能原理与动能定理
功能原理与动能定理
功能原理是指某一物体或系统实现特定功能的原理或方法。
它描述了该物体或系统是如何运作的，通过什么方式实现特定功能的。
动能定理是一个物理学定理，描述了一个物体的动能如何随时间变化。
根据动能定理，物体的动能的变化率等于物体所受外力的功率。
换句话说，当一个物体受到外力作用时，物体的动能将发生变化，这个变化的速率等于外力对物体做功的速率。
这意味着如果一个物体受到的外力做正功，那么物体的动能将增加；如果外力做负功，物体的动能将减少。
动能定理在分析物体运动和力学系统中非常有用，可以帮助我们理解物体的动能如何受力和能量转移的影响而变化。
它也是能量守恒定律的重要推论之一。
大学物理-动能定理
4. 势能曲线
Ep (h)
E
Eh
Ep
o
H H h
重力势能
Ep
E
o
Ek
Ep
3-4 动能定理
Ep (x)
AE
B
Ek
Ep
o
x
弹性势能
Ek 0
x
引力势能
26
势能曲线的作用：
3-4 动能定理
（1）根据势能曲线的形状可以讨论物体的运动。
（2）利用势能曲线，可以判断物体在各个位置 所受保守力的大小和方向。
力提供园周运动的向心力而不做功，摩擦力做负
功使滑块动能减少。
W
1 mv2 2
1 2
mv0
2
(1)
34
3-4 动能定理
v2 N m
(2)
R
N m dv
(3)
dt
将式(2)代入式(3)，整理变形为
v2 dv dv d v dv R dt dt d R d
分离变量并积分，得
做功，它们所做元功之和为
dA fij dri f ji drj
因
fij f ji
mi
drji
dri
rij
rij drij
所以
fij
dA fij (dri drj ) fij drij
f ji m j drj
讨论：内力做功的特点
14
成对力的功
对它所作的功为零．
非保守力：力所作的功与路径有关． （例如摩擦力）
23
3. 势能
3-4 动能定理
大学物理功-动能定理-保守力的功
解： 抛体在重力场中运动，
m g 是一恒量，
y
但m 的轨迹是一抛物线， 取一元位移d r
dr b
a
m g 与位移的夹角θ时时在变 在这一元段内写出元功
mg
x
dA Fdrmgdr
m gdscosmgdy
b
b
b
A
Fdr
a
Fcosds mg
a
a
dy
m g(ybya) 9
解：(1)建坐标系如图
l-a O
fμ m(lg x)/l l l μmg
A f afdra l (lx)dx μm(g lx)2l μm(g la)2
a x
2l
a 2l
注意：摩擦力作负功！ 21
(2)对链条应用动能定理：
l-x O
A＝ AP＋ Af 1 2m2v 1 2m0 2v
x
v0
0AP＋ Af
1m2v 2
x
A Pa lp d r a lm l x gd m x(l2 2 g l a 2 )
前已得出： Af
μm (gl a)2
2l
m(lg 2a2)μ m(lg a)21m2v
2l
2l
2
得 v
g l
1
(l2 a 2)μ (l a )22
13
3） A为合外力作功的代数和，不是合外力中某 一个力的功。动能定理中的速度必须相对同一 个惯性系。
4）通过作功，质点与外界进行能量交换。 如果 外力对物体做正功，质点动能增加； 如果 外力对物体做负功，质点的动能减少，
即物体克服外力作功，是以减少自身的动能为 代价。
所以，动能是物体因运动而具有的作功的本领。
力学总结 大学物理
转动定律 角动量定理
考虑产生力矩的力
3.建立坐标系或规定正向，或选择零势点。 重力零势点一般选最低位置，弹性零势点 一般选弹簧平衡位置处。 4.确定始末两态的状态量。 ①.动能定理----确定Ek0，Ek ②.功能原理----确定E0，E ③.动量定理----确定P0，P ④.角动量定理----确定L0，L
(B)动量守恒，动能不守恒。
(C)角动量守恒，动能不守恒。
(D)角动量不守恒，动能守恒。
[C]
8.一轻绳跨过两个质量为 m、半径为 r 的均匀
圆盘状定滑轮,绳的两端分别挂着质量为 2m 和
m 的重物,如图所示,绳与滑轮间无相对滑动,滑
轮轴光滑, 将此系统从静止释放,求重物的加速
度和两滑轮之间绳内的张力。
机械能守恒定律
除保守力外其它力不作功
E mv2 / 2 mgh kx 2 / 2 J 2 / 2
物体系机械能守恒 除保守力外其它力不作功
E0 E
E0 E
平动 冲量 动量
转动
t t0
P mv
t t0
I
Fdt
冲量矩 角动量
质点 L r P
o
F
d
r
Fn
ds
F
0
m
r0 F
o
F
由动能定理： W Ek Ek 0 1 1 2 2 W J J 0 0 2 2 1 r0 2 1 2 2 2 m( ) (4 0 ) mr0 0 2 2 2
3 2 2 mr0 0 0 2
17.如图：一定滑轮两端分别悬挂质量都是 m的物块A和B，图中R和r，已知滑轮的转 动惯量为J，求A、B两物体的加速度及滑轮 的角加速度．
大学物理教案_动能定理
课时：2课时教学目标：1. 理解动能定理的概念，掌握其表达式和物理意义。
2. 能够运用动能定理解决实际问题，分析物体运动状态。
3. 培养学生逻辑思维能力和分析问题的能力。
教学重点：1. 动能定理的概念和表达式。
2. 动能定理的应用。
教学难点：1. 动能定理的理解和应用。
2. 复杂问题中动能定理的应用。
教学过程：一、导入1. 回顾牛顿第二定律和功的定义，引出动能定理。
2. 提问：动能定理与牛顿第二定律和功有何关系？二、新课讲授1. 动能定理的概念：物体动能的变化等于物体所受合外力所做的功。
2. 动能定理的表达式：ΔE_k = W3. 动能定理的物理意义：动能定理揭示了物体运动状态与外力做功之间的关系。
4. 动能定理的应用：a. 计算物体在一段时间内的动能变化。
b. 确定物体运动状态。
c. 分析物体受力情况。
三、例题分析1. 例题1：一个质量为m的物体，从高度h自由落下，求落地时的速度。
2. 例题2：一辆质量为m的汽车，从静止开始加速，在时间t内通过距离s，求汽车所受合外力。
3. 例题3：一个物体在水平面上做匀速直线运动，求物体所受合外力。
四、课堂练习1. 练习1：一个质量为m的物体，从高度h自由落下，求落地时的动能。
2. 练习2：一辆质量为m的汽车，从静止开始加速，在时间t内通过距离s，求汽车所受合外力。
3. 练习3：一个物体在水平面上做匀速直线运动，求物体所受合外力。
五、总结1. 总结动能定理的概念、表达式和物理意义。
2. 强调动能定理的应用。
教学反思：1. 本节课通过引入牛顿第二定律和功的概念，引出动能定理，使学生更容易理解动能定理的物理意义。
2. 通过例题分析和课堂练习，使学生掌握动能定理的应用，提高学生的实际操作能力。
3. 在教学过程中，注重培养学生的逻辑思维能力和分析问题的能力，使学生能够灵活运用动能定理解决实际问题。
大学物理第二章动能定理
例题3. 如图，一轻绳跨过一定滑轮，两边分别拴有质量
为m及M的物体，M离地面的高度为h: (1)若滑轮质量及
摩擦力不计，m与桌面的摩擦也不计，开始时两物体均静
止，求M落到地面时的速度(m始终在桌面上); (2)若m与
桌面的静摩擦系数和滑动摩擦系数均为，结果又如何？
解：
m
(1)不计摩擦,系统(m,M,地球)机械能守恒:
v
m
0 M f c
f
s
s
Wf Wf 0
N
v c
N
WN WN 0
质点系动能定理：
质点系的动能的增量等于作用于质点系的一切外力与
内力做功之和.
W ex
W in
n i1
1 2
mi vi2
n i1
1 2
mi vi20
2.2.1 质点系动量定理
作用于质点系的合外力的冲量等于质点系动量的增量.
t2
系统内所有质点对同一参考点角动量的矢量和称为
质点系的角动量.
L Li ri pi ri mivi
i
i
i
dL dt
d dt
Li
i
Mi外
i
Mi内
i
0
M外
M 外
dL dt
积分得：
t2 t1
M外dt
L2
L1
注意：只有外力矩对质点系的角动量变化有贡献，
内力矩对质点系的角动量变化没有贡献.
W
F dr
l
F dr
acb
F dr
bda
0
a
c
F dr F dr F dr
acb
adb
bda
d
大学物理(3.4.2)--功能原理机械能守恒定律能量守恒定律
第四讲功能原理 机械能守恒定律 能量守恒定律k k k i i i i ii e E E E v m v m W W ∆=-=-=+∑122122)2121(系统的外力和内力作功的总和等于系统动能的增量。
回顾前面学过的知识点：1. 质点系动能定理P1p 2p )(E E E W ∆-=--=2. 保守力作功等于势能的减少3. 成对力的功只与作用力和相对位移有关:r d F dW '⋅= 22/16※ 质点系功能原理1、系统的机械能: 动能与势能的总和称为机械能3、由势能的定义，保守内力的功总等于系统势能的减少pin c E W ∆-= 2、内力的功可分为： 保守内力的功和非保守内力功pk E E E +=（保守内力的功由势能代替）第四讲 功能原理 机械能守恒定律 能量守恒定律 in ncin c in in W W W W i i+==∑非保守内力的功将导致机械能与其他形式的能量转换。
inncex p k W W E E E +=∆+∆=∆k in ncp ex in nc in c ex in ex E W E W W W W W W ∆=+∆-=++=+ 4、系统的功能原理 （由质点系动能定理）在选定的质点系内，在任一过程中，质点系总机械能的增量等于所有外力的功与非保守内力的功的代数和。
4/16※ 机械能守恒定律问题1：有非保守内力作功，系统的机械能不守恒 ？例如：摩擦力作功，机械能转变成热能。
0=+in nc ex W W 0=∆+∆=∆p k E E E 常量=+p k E E 由功能原理:则：或:如果： 如果系统内只有保守内力作功，其他内力和一切外力都不作功，或元功之和恒为零，则系统内各物体的动能和势能可以相互转换，但总机械能保持不变。
问题2：有摩擦力作功：机械能守恒？in nc ex p k W W E E E +=∆+∆=∆力 f 作正功，f ' 作负功，总和为零，机械能守恒。
大学物理2-3功 动能 动能定理
一、功的概念
1.恒力的功
等于恒力在位移上的投影与位移的乘积。 F
F
A Fr cos F r
明确几点
r
f静
（1）功是标量，有正负之分
（2）作功与参照系有关
2.变力的功
物体在变力的作 用下从a运动到b。
a
怎样计算这个力 的功呢？ 采用微元分割法
当物体前端在s处停止时，摩擦力做的功为 L m s A F d x f r d x gx d x mg d x 0 L L L L mg ( s L) mg ( s )
2 2
再由动能定理得
即得
L 1 2 mg ( s ) 0 mv0 2 2 L v0 2 g ( s ) 2
2
l G x
所得结果相同，而现在 的解法无疑大为简便。
x
B
例题2-11 传送机通过滑道将长为L，质量为m的柔软 匀质物体以初速v0向右送上水平台面，物体前端在台 面上滑动 S距离后停下来（如图）。已知滑道上的磨 擦可不计，物与台面间的摩擦系数为 μ ，而且 S>L ， 试计算物体的初速度v0。
动能定理:合外力对质点所做的功等于质点动 能的增量。
Aab Ekb Eka Ek
几点注意： a. 合力做正功时，质点动能增大；反之，质 点动能减小。 b.动能的量值与参考系有关。
c.动能定理只适用于惯性系。
d. 功是一个过程量，而动能是一个状态量， 它们之间仅仅是一个等量关系。
例题2-9 装有货物的木箱，重G＝980N，要把它运 上汽车。现将长 l ＝ 3m 的木板搁在汽车后部，构成一斜 面，然后把木箱沿斜面拉上汽车。斜面与地面成30o角， 木 箱 与 斜 面 间 的 滑 动 摩 擦 系 数 =0.20 ， 绳 的 拉 力 与斜面成10o角，大小为700N，如图所示。
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设子弹受的平均阻力为 fr （即看作常数） , 而子弹相对砂箱的位移即为l ，
所以，
fr
l
1 2
MV 2
1 mv 2 2
1 2
mv
2 0
fr
l
1 2
MV 2
1 2
mv 2
1 2
mv
2 0
将V代入， 可得
V
m M
(v0
v)
fr
NNvv不不垂垂直直于于vrvr12,，AANN
0 0
一对正压力的功恒为零！
一对滑动摩擦力之功恒小于零！
ff vv
讨论 一个物体在地面上滑行， 受摩擦 f 作用，经过距离 s 停了下来。
在地面系看：摩擦力 f 作负功，A = -f s 物体动能减少，动能转化为热能，温度升高。
在物体参考系看：摩擦力 f 不作功，A=0.
第4章 动能定理 功能原理
4. 动能定理 功能原理
• 4.1 动能定理 • 4.2 保守力和非保守力 势能 • 4.3 功能原理和机械能守恒 • 4.4 三种宇宙速度 • 4.5 能量守恒定律
研究力在空间的积累效应。
注意: 1. 提高对 “功、动能、动能定理、势能 、 2. 搞功清能规原律理的、内机容械、能来守源恒、定对律象”、的成理立解条。件。 3. 搞清它们与参考系的关系。
则
fx
d dx
1 2
kx2
kx
例 . 由万有引力势能求万有引力。
E p万
GmM r
f r万
d GmM dr r
GmM r2
例 . 由双原子分子势能曲线 知分子力的大致情况
Ep
斜率 < 0
r > r0 ： 斜率 > 0 ， fr < 0,
O
r0
斜率 > 0 趋向势能小处，是引力。
r
r < r0 ： 斜率 < 0 ， fr > 0, 趋向势能小处，是斥力。
斜率 = 0 r = r0 ： 斜率 = 0 ， fr = 0。
r
是平衡位置，不受力。
4.3 功能原理与机械能守恒定律
质点系动能定理：A外 A内 Ek 2 EK1
A外 A内保 A内非 Ek 2 Ek1
(B)
v f2
d
rv21
(A)
(B)
(或
v f1
d
rv12
)
(A)
１.一对力的功等于其中一个质点受的力沿着它相对 于另一质点移动的路径所作的功。
２.由于一对力的功只与“相对路径”有关，所以与
参考系的选取无关。
一对力的功,可认为一个质点静止,例如，重力做功
3.
AAB对
B A
v f2
重力
f
mg（或恒力）
常见的非保守力（耗散力）：
摩擦力 爆炸力
4.2.2 势能和势能曲线
一对保守力的功只与系统的始末相对位形 有关, 说明系统存在一种只与相对位形有关的能 量。
一对保守力的功（过程量）都可以写成两 个状态量之差,这两个状态量称为系统的势能,
表示 E p A12 Ep1 Ep2 Ep2 Ep1 Δ Ep
系统：砂箱和子弹 水平外力为零， 水平动量守恒，
设子弹射出时砂箱的速度为V，如图，
设V Ml
v0
v
m
x
则有
MV mv mv 0
m
V M ( v0 v ) （＞0）
由动能定理：
A外 + A内 = Ek2 - Ek1 现在外力的功为零； 内力的功 就是一对阻力的功，
我们以砂箱为参照系来计算这一对阻力的功：
A12对
2 1
GMm
r2
v f
d
rv
rˆ
f m rˆ
2 1
GMm r2
rˆ
d
r
2
r2
M
dr
r1
r
f
m
1
dr
rˆ
A12对
2 1
GMm r2
rˆ
d
rv
r2 GMm
dr
r1
r2
GMm GMm
( ) ( )
r1
r2
一对万有引力的功“与质点的始末位置有关, 与路径无关，这种性质的力称为保守力”。
对弹性势能:通常选弹簧自然长度时的
势能为零, 则
Ep弹
1 2
kx2
说明：
1. 势能属于有相互作用的系统。 因为它是与一对保守力的功联系在一起的。
重力势能为 mgh，好象只与一个物体的质
量有关，其实这是以地球为参考系的缘故。 2. 势能的差值不依赖于参考系的选择。
因为一对保守力的功不依赖于参考系的选择。
Q A内保 EP1 EP2
A外 A内非 （Ek 2 Ep2） (Ek1 Ep1)
E2 E1
A外 A内非 E2 E1
（矛盾？） f 到底作不作功？ 若 f 不作功，热能从何而来?
这个问题从一对摩擦力之功来分析就无矛盾:
v
f
f
A ss
B
地面系： 物体系：
A对
A '对
v f
sv
fs
v f
sv
f
s
fs f s A对 A '对
两者相等,而且都是负值。(动能转化为热能！)
(<0)
注意 功的数值依赖于参考系的选择。
例如，上题中，在桌面参照系 f 作负功; 在小球参照系弹性力对小球 f 并不作功！
保守力的另一定义（重要性质）：一质点相对
于另一质点沿闭合路径运动一周时，它们之间
的保守力做的功必然是零。
2
若 f 是保守力，必有
L1
f dr 0
f
dr
L2
d rv21,
或
d rv21
d rv21
0
v f2
(相对位置不变)，
时，A对 0
例、一对静摩擦力的功是多大？
一对静摩擦力的功恒为零！
v
无论大物体怎么运动，这一对力 的功总是零，没有相对运动。
例、小物体下滑大物体后退，一对正压力的
功是多大？
v2
1 2
N
v12
N
v1
f保l d l d Ep
l m d l f保l
f保 l
d Ep dl
(Ep在 l 方向上变化率的负值 )
一般 E p E p ( x , y , z )
则
f保 x
Ep x
,
f保 y
Ep y
,
f保z
Ep z
f保 x
Ep x
,
f保 y
m 的物体从 a 到 b，求重力的功。
b r rb
r
rr
Ap mg d r (mgj).(d xi d yj) a
yab
a
mg d y mg( ya yb )
o
ya
例2. 一人从10m深的井中提水，起始 时桶和水共重10kg，由于水桶漏水， 每升高1m要漏去0.2kg的水。求将水
1 l
1
2
m
v02
v2
1 2
m2 M
v0
v
2
讨论：1. 量纲对
2. 特例对（当 M 0时）
4.2 保守力与非保守力 势能
一对万有引力的功：以 M为参考系的原点,
计算起来就非常方便，
M
r1
r
1
r2
2 只要算一个力的功 即可。
dr
dr
rˆ d rf
r2
f2
d r2
m2
A2
y
一对力的元功
x0
d
A对
fvf12ddrv(1r2fvr21)drv2
f2
v f2
d
(d
r21
rv2
d rv1)
初位形（A）: m1----A1，m2----A2 末位形（B）: m1----B1，m2----B2
说明:
AAB对
L
M m1
2 1
f dr f dr f dr
1 L1
2L2
2 2
f dr f dr 0
1 L1
1 L 2
常见的保守力:
万有引力
弹力 f
f f (r )rˆ ( 或有心力）
kx（或位置的单值函数）
例如： • 功的计算是否依赖参考系？ • 如何理解重力势能属于“物体与地球”系统？ • 某一惯性系中机械能守恒，是否在 其它惯性系也守恒？
4.1 动能定理
4.1.1 功和功率
功: 力和它所作用的质元（质点）的位移的点积。
对微小过程，可当成恒力、直线运动
F