大学物理(4.4.2)--力矩的功刚体定轴转动的动能定理
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4.4_力矩作功__刚体绕定轴转动的动能定理
3 g sin θ 1 2 ω = ( ) 2 l
第4章 刚体的定轴转动
2
4.4 力矩作功 刚体绕定轴转动的动能定理
力的空间累积效应 力矩的空间累积效应 4.4.1 力矩作功 力的功,动能 动能定理 力的功 动能,动能定理 动能 动能定理. 力矩的功,转动动能 动能定理. 转动动能,动能定理 力矩的功 转动动能 动能定理
v v dW = F ⋅ dr = Ft ds = Ft rdθ
o
30
o
a
m v v
'
1 1 2 ( m′l + ma 2 )ω 2 = 2 3 l mga (1 − cos 30°) + m′g (1 − cos 30°) 2
v = g (2 − 3 )(m′l + 2ma )(m′l + 3ma ) 6 ma
2 2
第4章 刚体的定轴转动
4.4 力矩作功 刚体绕定轴转动的动能定理
2
第4章 刚体的定轴转动
4.4 力矩作功 刚体绕定轴转动的动能定理
讨论 子细 弹绳 击质 入量 沙不 袋计
o
v v
子 弹 击 入 杆
o
圆 锥 摆
o
v θ T
'பைடு நூலகம்
m
v v
v p
o
v v
R
以子弹和沙袋为系统 以子弹和杆为系统 圆锥摆系统 动量守恒； 动量不守恒； 动量守恒； 动量不守恒； 动量不守恒； 动量不守恒； 角动量守恒； 角动量守恒； 角动量守恒； 角动量守恒； 角动量守恒； 角动量守恒； 机械能不 机械能不守恒 . 机械能守恒 . 机械能不守恒 . 机械能不
一根长为l、质量为m 例 一根长为 、质量为 的均匀细棒, 的均匀细棒 棒的一端可绕通过 O点并垂直于纸面的轴转动 棒 点并垂直于纸面的轴转动, 点并垂直于纸面的轴转动 的小球. 的另一端有质量为 m 的小球 开 始时, 棒静止地处于水平位置A. 始时 棒静止地处于水平位置 当棒转过 θ 角到达位置 B, 棒的 角速度为多少? 角速度为多少
力矩的功刚体动能定理
3.一根长l质量为m 的匀质细杆，其一端固定在光滑的 水平轴O，可以在竖直平面内转动。最初杆静止在水 平位置。求:杆由初始位置下摆 时的角速度?
θβ
解: 方法一用转动定律求解(略)
方法二用转动动能定理求解
杆处在β时,力矩 M mg l cos
杆转过d时, dA Md mg l cosd
2
2
A EK
k = 2.74×10-4 N·m·rad-2·s2. 求（2）吊扇由静止匀加
速的达到第二档转速经历的时间为 5s . 在此时间内阻力
矩做了多少功 ?
解: 吊扇由静止作匀角加速度运动
2
t5
t
阻力矩做功 W Mf 2d k3dt
W t k 3t3dt 1 k 3t 4
0
4
在 t ＝ 5s 时间内 W 84.8 J
EkA EpA EkB EpB
EkA EpA EkB EpB
o
m, l A
EkA EPA 0
m
EkB
1 2
J 2
J J1 J2
J 1 ml2 ml2 4 ml2
mg
B
mg
3
3
EpB
(mg
l 2
sin
mgl sin )
3 mgl sin
2
0 3 ml22 3 mgl sin 3 ( g sin )1 2
合外力矩对绕定轴转动的刚体所作的功等于刚 体转动动能的增量。
与质点运动类似，若刚体转动过程中，只有 保守力做功，同样刚体的机械能守恒。
3. 刚体的重力势能
y
N
N
mi yi
E p
mi gyi
i 1
Mg
i 1
力矩的功刚体绕定轴转动的动能定理
4-4力矩的功 刚体绕定轴转动的动能定理
物理学
第五版
第四章
刚体转动
四
刚体绕定轴转动的动能定理 1 2 2 d d Jd W Md J 1 1 1 dt 2 1 1 2 2 W Md J 2 J1 1 2 2
——刚体绕定轴转动的动能定理
mg
1 2 始末两态动能： E k J , 2 由动能定理： W Ek Ek 0
1 1 mgl sin J 2 0 2 2
Ek0 0
m ,l
o
1 2 J ml 3
3gsin l
2
1 1 1 mgl si n ( ml 2 ) 2 2 2 3
3gsin 1/ 2 ( ) l
J 11 3 70 -1 3 . 5s 2 60 . 4 J2
由转动惯量的减小，角速度增加。
在此过程中机械能不守恒，因为人 收臂时做功。 例：两个共轴飞轮转动惯量分别为J1、J2， 角速度分别为 1 、2，求两飞轮啮合后共 同的角速度 。啮合过程机械能损失。
解：两飞轮通过摩 擦达到共同速度,合 外力矩为0，系统角 动量守恒。
Ft
F
dr
o
r
x
W Md 1 比较 W F dr
4-4力矩的功 刚体绕定轴转动的动能定理
2
物理学
第五版
第四章
刚体转动
讨论
(1) 合力矩的功
W Md ( M i )d M i d Wi
1 1
i i22比较 1 1 2 2 W F dr mv2 mv1 2 2
4-4力矩的功 刚体绕定轴转动的动能定理
物理学
第五版
第四章
刚体转动
四
刚体绕定轴转动的动能定理 1 2 2 d d Jd W Md J 1 1 1 dt 2 1 1 2 2 W Md J 2 J1 1 2 2
——刚体绕定轴转动的动能定理
mg
1 2 始末两态动能： E k J , 2 由动能定理： W Ek Ek 0
1 1 mgl sin J 2 0 2 2
Ek0 0
m ,l
o
1 2 J ml 3
3gsin l
2
1 1 1 mgl si n ( ml 2 ) 2 2 2 3
3gsin 1/ 2 ( ) l
J 11 3 70 -1 3 . 5s 2 60 . 4 J2
由转动惯量的减小，角速度增加。
在此过程中机械能不守恒，因为人 收臂时做功。 例：两个共轴飞轮转动惯量分别为J1、J2， 角速度分别为 1 、2，求两飞轮啮合后共 同的角速度 。啮合过程机械能损失。
解：两飞轮通过摩 擦达到共同速度,合 外力矩为0，系统角 动量守恒。
Ft
F
dr
o
r
x
W Md 1 比较 W F dr
4-4力矩的功 刚体绕定轴转动的动能定理
2
物理学
第五版
第四章
刚体转动
讨论
(1) 合力矩的功
W Md ( M i )d M i d Wi
1 1
i i22比较 1 1 2 2 W F dr mv2 mv1 2 2
4-4力矩的功 刚体绕定轴转动的动能定理
刚体绕定轴转动的动能定理
刚体绕定轴转动的动能定理1. 引言刚体是指其内部各点之间的相对位置关系在运动过程中不会发生改变的物体。
刚体绕定轴转动是指刚体在固定轴线上做圆周运动的情况。
动能定理是物理学中的一条重要定理，描述了物体运动过程中动能的变化与外力做功之间的关系。
本文将对刚体绕定轴转动的动能定理进行全面详细、完整且深入的阐述。
2. 刚体绕定轴转动在刚体绕定轴转动的情况下，我们需要考虑刚体的转动惯量和角速度等因素。
转动惯量是描述刚体对转动运动抵抗程度的物理量，通常用符号I表示。
角速度是描述刚体旋转快慢程度的物理量，通常用符号ω表示。
根据牛顿第二定律和角动量守恒定律，我们可以得到刚体绕定轴转动时的基本方程：τ=Iα其中，τ表示作用于刚体上产生转矩（力矩）大小，α表示角加速度。
刚体绕定轴转动的运动规律与作用在刚体上的转矩和转动惯量有关。
3. 动能定理的推导根据刚体绕定轴转动的基本方程，我们可以推导出刚体绕定轴转动的动能定理。
我们来考虑刚体上某一质点的动能T。
由于刚体上各质点都在绕着同一个轴旋转，因此它们具有相同的角速度ω。
设某一质点到轴心的距离为r，则该质点具有的线速度v为v=rω。
该质点的动能T′可以表示为：T′=12mv2=12m(rω)2=12mr2ω2其中，m表示质点的质量。
由于刚体是由众多质点组成的，因此整个刚体的动能T 可以表示为所有质点动能之和：T=∑Tni=1′i其中，n表示刚体上质点的总数。
根据牛顿第二定律和角动量守恒定律，我们知道刚体绕定轴转动时转动惯量I和角加速度α之间存在关系τ=Iα。
将该关系代入动能的表达式中，得到：T=12Iω2其中，ω表示整个刚体的角速度。
刚体绕定轴转动的动能可以表示为12Iω2。
这就是刚体绕定轴转动的动能定理。
4. 动能定理的物理意义刚体绕定轴转动的动能定理描述了刚体在转动过程中动能的变化与外力做功之间的关系。
根据动能定理，我们可以得出以下物理结论：1.外力对刚体做功会改变刚体的动能。
大学物理4-4定轴转动的动能定理
表明：一个不太大的刚体的重力势能与它的质量集 中在质心时所具有的势能一样。
刚体在重力场中运动时重力作功为 即重力作功等于刚体重力势能的减少
定轴转动的动能定理
例 题 4-7 如 图 ， 冲 床 上 配 置 一 质 量 为 5000kg 的 飞 轮 ， r1=0.3m, r2=0.2m.今用转速为900rev/min的电动机借皮 带传动来驱动飞轮，已知电动机的传动轴直径为 d=10cm。（1）求飞轮的转动动能。
A M d M d 0 0
对于刚体的运动，因质
点间相对距离不变，故任何
一对内力作功为零。
O
F
d r
drP2.刚体定来自转动的动能定理根据刚体定轴转动定理 M J d
dt
则物体在 d时t 间内转过角位移 d 时 dt
外力矩所做元功为：
dA Md J d d Jd d Jd
dt
dt
总外力矩对刚体所作的功为：
解 先对细棒oA所受的力作 O
一分析；重力 G作用在棒的
中心点C，方向竖直向下； 轴和棒之间没有摩擦力，轴
对棒作用力 通N过o点，在
棒的下摆过程中，此力的方 向和大小是随时改变的。
C
G
v
A
A
定轴转动的动能定理
在棒的下摆过程中，支撑力 不N做功。
棒从水平位置摆到竖直位置过程中，重力所作的 功是
A mgl / 2
60
这样飞轮的转动动能是
Ek
1 2
J2
1 2
325
2 3.14 150 60
2
40055J
（2）在冲断钢片过程中，冲力F所作的功为
A Fd 9.80 104 0.5 103 J
力矩作功与刚体绕定轴转动的动能定理
Ek0 0
1 mgl 1 J 2 0
2
2
m,l
o
J 1 ml 2
3
3g
mg
l
练习2、一质量 M、半径 R 圆盘绕一无摩檫 轴转动，盘上绕有轻绳，下端挂物体 m。 求：当 m 由静止下落h时速度 v ？
解：
刚体 M
N T
o
对m：
G
TP
m
v 2 mgh h
M 2m
注意和前面的方法比较！
练习3、一匀质细棒长l ，质量m，可绕通过 其端点O水平轴转动。当棒从水平位置自由释
放后，它在竖直位置上与放在地面上的物体
相撞。该物体的质量也为m ，地面的摩擦系 数为 。撞后物体沿地面滑行s后而停止。求 相撞后棒的质心C 离地面的最大高度h，并说
明棒在碰撞后将向重力外，其余内力与外力都 O
（3）
由匀减速直线运动的公式得
亦即
（4）
由（1）（2）与（4）联合求解，即得
（5）
当 >0 则棒向左摆条件： 亦即L>6s；
当0，则棒向右摆条件：
亦即L <6s
由机械能守恒定律，棒上升的最大高度：
(6)
把（5）代入上式，求得：
练习4：工程上，两飞轮常用摩擦啮合器使它们
以相同的转速一起转动。如图所示，A和B两飞
动量守恒；
动量不守恒；
角动量守恒；
角动量守恒；
机械能不守恒 .
机械能不守恒 .
圆锥摆系统 动量不守恒； 角动量守恒； 机械能守恒 .
直线运动与定轴转动规律对照
质点的直线运动
刚体的定轴转动
P126书例2 一长为 l , 质
量为m 的竿可绕支点O自由转 动．一质量为m’、速率为v
4力矩的功动能定理(大学物理 - 刚体部分)
sinφ = cosα
φ
α
F
dW= Fr sinφ dθ
dW= M dθ
力矩所作的微功等于力矩M和角位 移dθ的乘积。
§6.力矩功、转动动能定理 / 二、力矩的功率
对于恒力矩作功 W M ( 0 ) M
恒力矩的功为力矩与角位移的乘积。 变力矩作功
W
0
Md
二、力矩的功率 由功率的定义： P dW M d M dt dt
三、刚体绕定轴转动的动能定理
W Md d J d dt 1 1 2 2 W Jd J J 0 2 2 刚体的转动动能
0
0 0
d M J J dt
1 n 2 2 Ek ( miri ) 2 i 1
J m r
第四节 力矩的功 刚体定轴转动 中的动能定理
力对空间的累积效应——功，在这节中要 介绍力矩对空间的累积效应——力矩的功。
一、力矩的功
o
r
d ds
φ
α
F
§6.力矩功、转动动能定理 / 一、力矩的功
由功的定义dLeabharlann = Fdscosαds rd
dW= Fdscosα=Frdθ cosα
o
r
d ds
§6.力矩功、转动动能定理 / 四、解题方法及举例
§6.力矩功、转动动能定理 / 三、转动动能定理
四、应用转动动能定理解题方法 1.确定研究对象。 2.受力分析，确定作功的力矩。 3.确定始末两态的动能，Ek0、Ek。 4.列方程求解。 例1：一细杆质量为m，长度为l， 一端固定在轴上，静止从水平位置 摆下，求细杆摆到铅直位置时的角 速度。
§6.力矩功、转动动能定理 / 四、解题方法及举例
刚体定轴转动的动能定理
它的动能为 ΔEki
1 2
Δmi vi2
1 2
Δmi
ri 2 2
整个刚体的动能为全部质元的动能之和，即 Ek
1
2
n i 1
Δmi
ri2
2
1 2
J2
式即为刚体转动动能的表达式。
刚体定轴转动的动能定理
1.3 刚体定轴转动的动能定理
将式的转动定律代入可得 dW Md J d J d d Jd
式中 ds ——位移元 dr 对应的弧长，其与对应角位移 dθ 的关系为 ds rd
刚体定轴转动的动能定理
1.1 力矩的功
于是，式可写为 dW Fτrd Md
当刚体的角位置由1 变为2 时，外力矩所做功为W
2 Md
1
式中，M 若是合外力矩，则 W 就是合外力矩的功。
刚体定轴转动的动能定理 1.2 转动动能
大学物理
刚体定轴转动的动能定理 1.1 力矩的功
如图所示，一个绕固定轴 OO 转动的圆盘状刚体，在圆盘平面上有外力 F 作用于 A 点。外力 F 可分解 为切向分力 Fτ 和法向分力 Fn 。
刚体定轴转动的动能定理 1.1 力矩的功
由于法向分力 Fn 垂直于 A 点的角位移，不做功，因此，外力 F 所做的功等于切向分力 Fτ 所做的功，则 外力 F 所做的元功为 dW F dr Fτds
静止下降 h 距离时物体的速率 v。
【解】 由题意可知，以滑轮、物体和地球组成的系统机械能守恒。
取物体在 h 处时系统的重力势能为零，设物体下降到 h 处时滑轮的角速度为 ω，
则根据机械能守恒定律可得
m2 gh
1 2
J2
1 2
m2v2
根据表可知，滑轮的转动惯量为
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Ml 2
ma2 )
2
mga(1
cos
)
Mg
l 2
(1
cos
)
8/15
求杆的最大摆动角度 φ
L r p r mv
小
o
球
与
杆
al
弹
性 碰
v
mM
撞
守恒定律的条件 过程问题
以弹性球和杆为系统
动量不守恒 ?机械能守恒 ?
amv
amv
(
1 3
Ml
2
)
1 2
mv 2
1 2
dM
mg
πR 2
rdr (2πr )
2mg
R2
r 2dr
用微积分思想和方法
df
dl
o r dr
R
唱片与转盘间总的摩擦力矩为
：
M
2mg
R2
R 0
r 2dr
2 3
Rmg
(2) 由转动定律求 ， ( 唱片 J = m R2/2 )
M J
4g
3R
（作匀加速转动）
由 0 t
求得：
可
t
3R 4g
(3) 由 0到 t
比 较 ：Ek
1 2
mv 2
1( 2
i
miri2 ) 2
1 2
J 2
4/15
※ 刚体绕定轴转动的动能定理
W
2 Md
1
1 J
1
d
dt
d
2 Jd
1
1 2
J22
1 2
J12
W
2 Md
1
1 2
J
2 2
1 2
J12
—— 刚体绕定轴转动的动能定理
比较： W
F
dr
1 2
mv2 2
1 2
mv12
说明 ： 1 、动能定理与质点动力学中讲的动能定理相同 ，只是动能的表示形式不同而己
W Ek2 Ek1
2 、对刚体，内力的功总和在任何过程中都为零。
W内 0
6/15
求沙箱升高的最大高度 h
讨论
子细 弹绳 击质 入量 沙不 箱计
o l
v
mM
守恒定律的条件
L
r
p
r
mv
以子弹和沙箱为系统 动量守恒 ?
mv 2
C
守恒定律的条件
M, L 是对哪一点 ? 10/15
例题 留声机的转盘绕通过盘心垂直盘面的轴
以角ω速率 作匀速转动。放上唱片后，唱片将在摩
擦力作用下随转盘一起转动。设唱片的半径为 R ，质
量为 m ，它与转盘间的摩擦系数为 ，求： (1) 唱
片与转盘间的摩擦力ω矩； (2) 唱片达到角速度 时
mv2
1 2
(13
Ml 2 ) 2
1 2
(1 3
Ml 2 ) 2
Mg
l 2
(1 cos)
o
圆锥摆系统
圆 锥
T
动量不守恒 ? 角动量守恒 ?
摆
点 O点
m oR
p v
M 0， L 恒矢量
机械能守恒 ? MLrrpF r mv
点 O点 M 0， L 恒矢量
L Rmv
W 0 外
E
1 2
第四讲 力矩作功 刚体定轴转动的动能定理
第四讲 力矩作功 刚体定轴转动的动能定理
力的空间累积效应： 力的功、动能、动能定理．
力矩的空间累积效应： 力矩的功、转动动能、动能定理．
2/15
※dW力矩F作 d功r F cos dr
Ftds Ftrd
dW Md
力矩的功 W 2 Md 1
o
dvrFt
F
dr
x
说明：所谓力矩的功，实质上还是力的功，并 无任何关于力矩的功的新的定义，只是在刚体 转动中，用力矩和角位移的积来表示功更为方 便而己。
※
力矩的功率 比较 W
PFdddWrt M PddtFMv
当M 与 同方向W， P和
为正
当M 与 反方向W， P和 为负
※ 转动动能 Ek i 12mi vi2
角动量守恒 ?
机械能不守恒 ?
mv (m M )v
mvl (m M )vl
1 2
(m
M
)v2
(m
M
) gh
过程问题
求杆的最大摆动角度 φ
L
r
p
r
mv
以子弹和杆为系统
子
o
弹
动量不守恒 ? 角动量守恒 ?
击
al
入
杆
v
mM
Ek
1 2
J 2
机械能不守恒 ?
amv
(ma 2
1 3
Ml
2
)
1 2
(13
需要多长时间； (3) 在这段时间内，转盘的驱动力矩
做了多少功？
解 (1) 如图取面积元 ds = drdl ，该面元所受的摩擦力为
df
mg
πR 2
drdl
此力对点 O 的力矩为
dM rdf
mg
πR 2
rdrdl
用微积分思想和方法
df
dl
o r dr
R
12/15
于是，在宽为 dr 的圆环 上，唱片所受的摩擦力矩为
2 02 2
可得在
的时间内， 转过的角度为：
3 2R 8g
驱动力矩做的功为：
W
Md
M
1 4
mR2 2
同学们再见！