6.1 力矩 刚体绕定轴转动微分方程(2014)
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刚体绕定轴转动 力矩讲解
刚体绕定轴转动力矩讲解刚体绕定轴转动是物理学中的一个基本概念，它与我们日常生活紧密相关。
在机器运转、车辆行驶、球类运动、人体姿势等方面都具有重要作用。
力矩的计算可以帮助我们更好地理解刚体转动的规律和特点，以及如何减小运动过程中的摩擦损失。
一、力矩的定义力矩是刚体绕定轴转动的一个重要物理量，表示力对于转动物体的影响程度。
换句话说，力矩代表了力对于旋转的影响。
力矩的定义为力乘以力臂，即M=F×L。
其中，F是施加力的大小，L是施力部分到轴的垂直距离。
力矩的单位是牛·米(N·m)。
二、力矩方向力矩的方向是垂直于力臂和力的平面。
当施加的力垂直于力臂时，力矩的方向与力的方向相同。
当施加的力不垂直于力臂时，力矩的方向与力的方向不同。
例如，当我们开车向左转时，发动机产生的推力作用在车轮上，车轮又通过车轴作用于车身。
此时，车身受到的偏向右侧的推力会以一个垂直于车身和推力平面的方向，产生一个向右的力矩，从而使车身向左旋转。
三、力矩对转动过程的影响力矩的大小和方向直接影响物体旋转的速度和方向。
如果力矩的大小越大，则物体越容易旋转，转动速度也会更快。
反之，如果力矩的大小越小，则物体旋转的速度会变慢，甚至停止旋转。
此外，力矩的方向也会影响物体旋转的方向。
例如，在21世纪以前，人们使用手摇脚踏车等交通工具，脚踩的力矩与轮子的直径就影响了车速。
当轮子的直径越大时，给定的力就可以产生更大的力矩，从而可以更快地旋转轮子，提高车速。
四、力矩对弹性和耗能的影响刚体转动过程中，摩擦力和阻力都会抵消物体的动能，从而减缓物体的运动速度。
为了减小耗能，可以通过减小力矩的大小来实现。
另外，灵活的物体，在旋转过程中会变形，因此会有一部分弹性势能被储存，当刚体停止或者倒转时，则会释放出来，从而重复利用能量。
例如，在儿童玩具模型飞机中，弹性势能的利用充当了关键角色。
当人们给玩具模型飞机的机翼打入动能时，机翼会以某个角度形变，蓄储弹性势能。
工程力学06-刚体绕定轴的转动微分方程分析
车辆工程
在车辆工程中，车辆的动力学分析需要考虑车体的转动惯量、轮胎的阻尼等因素。通过 优化车辆的动力学特性，可以提高车辆的操控性能和行驶稳定性。
05
刚体绕定轴转动的微分方程 的扩展分析
多质点刚体的转动分析
刚体的定义
刚体是一个理想化的物理模型，指在运动过程中，其内部 任意两点间的距离始终保持不变的物体。
外力矩
作用在刚体上的外力对转动轴的力矩 总和，其大小等于力与力臂的乘积， 方向垂直于力和力臂所在的平面。
刚体绕定轴转动的运动微分方程
运动微分方程
描述刚体绕定轴转动的运动状态， 包括角速度、角加速度和外力矩
之间的关系。
转动定律
刚体绕定轴转动的运动微分方程 的一种形式，表述为刚体的转动 惯量与外力矩的乘积等于刚体的
刚体特性
无弹性、无质量、无体积， 只考虑形状和大小。
刚体的分类
根据其形状和大小，可以 分为平面刚体、空间刚体 等。
刚体的转动自由度
自由度定义
描述物体运动状态的独立 变量个数。
刚体的转动自由度
描述刚体绕定轴转动的独 立变量个数，通常为3个。
自由度的计算
根据刚体的形状和大小， 计算其绕定轴转动的自由 度。
角加速度
描述刚体绕定轴转动的加速度， 用矢量表示，其大小等于单位时 间内角速度的变化量，方向与角 速度变化的方向相同。
刚体绕定轴转动的动力学方程
动力学方程
角动量
描述刚体绕定轴转动时所受外力矩与 角动量之间的关系，是刚体动力学的 基本方程。
描述刚体绕定轴转动的惯性性质，等 于刚体的质量乘以质心到转动轴的距 离再乘以角速度。
02 03
刚体的弹性力学分析方法
对于刚体的弹性力学分析，可以采用有限元法或有限差分 法等数值计算方法，将刚体离散化为有限个小的单元，并 建立每个单元的应力-应变关系。通过求解离散化的方程 组，可以得到刚体的位移、应变和应力等参数。
在车辆工程中，车辆的动力学分析需要考虑车体的转动惯量、轮胎的阻尼等因素。通过 优化车辆的动力学特性，可以提高车辆的操控性能和行驶稳定性。
05
刚体绕定轴转动的微分方程 的扩展分析
多质点刚体的转动分析
刚体的定义
刚体是一个理想化的物理模型，指在运动过程中，其内部 任意两点间的距离始终保持不变的物体。
外力矩
作用在刚体上的外力对转动轴的力矩 总和，其大小等于力与力臂的乘积， 方向垂直于力和力臂所在的平面。
刚体绕定轴转动的运动微分方程
运动微分方程
描述刚体绕定轴转动的运动状态， 包括角速度、角加速度和外力矩
之间的关系。
转动定律
刚体绕定轴转动的运动微分方程 的一种形式，表述为刚体的转动 惯量与外力矩的乘积等于刚体的
刚体特性
无弹性、无质量、无体积， 只考虑形状和大小。
刚体的分类
根据其形状和大小，可以 分为平面刚体、空间刚体 等。
刚体的转动自由度
自由度定义
描述物体运动状态的独立 变量个数。
刚体的转动自由度
描述刚体绕定轴转动的独 立变量个数，通常为3个。
自由度的计算
根据刚体的形状和大小， 计算其绕定轴转动的自由 度。
角加速度
描述刚体绕定轴转动的加速度， 用矢量表示，其大小等于单位时 间内角速度的变化量，方向与角 速度变化的方向相同。
刚体绕定轴转动的动力学方程
动力学方程
角动量
描述刚体绕定轴转动时所受外力矩与 角动量之间的关系，是刚体动力学的 基本方程。
描述刚体绕定轴转动的惯性性质，等 于刚体的质量乘以质心到转动轴的距 离再乘以角速度。
02 03
刚体的弹性力学分析方法
对于刚体的弹性力学分析，可以采用有限元法或有限差分 法等数值计算方法，将刚体离散化为有限个小的单元，并 建立每个单元的应力-应变关系。通过求解离散化的方程 组，可以得到刚体的位移、应变和应力等参数。
6.1 力矩 刚体绕定轴转动微分方程(2014)
2
外力矩 M
内力矩为0
转动惯量 J
刚体的转动定律 讨论
M Jβ
ri fi
h mi
-fi
(1) 与牛顿定律 F ma 比较
(2) 转动惯量 J Δmi ri
2
三. 转动惯量
定义式 质量不连续分布
J z mi ri
z
2
J z mi ri
2
dm
质量连续分布
r
F
P
h
• •
力矩是矢量 —— 反映力的大小、方向和作用点 在刚体的定轴转动中，力矩矢量只有两个指向
讨论 (1) 力对定轴的力矩
Mo
F
A
力对轴的力矩为 M r ' F O . Z r (2) 力对点的力矩 —更为一般的物体转动 F// MO r F
解
· ·
设 J C k ml 2
k是一个无量纲的量 z
C
立方体绕棱边z的转动惯量为
l 2 1 J z J C m( ) (k ) ml 2 2 2
分成八个相同的小立方体
· ·
他们绕各自棱边的转动惯量为 1 m l 2 J小 (k )（ ） （ ） 2 8 2 八个相同的小立方体绕棱边的转动惯量=JC 1 8 1 k (k ) k J C 8J小 32 2 6
mg
dm g
M 1 3 3g cos d d mgl cos 2 J 2 ml 2l dt d 3 g cos 3g sin 2 d d 2l l 0 0
例 圆盘以 0 在桌面上转动,受摩擦力而静止 求 到圆盘静止所需时间 解 取一质元
外力矩 M
内力矩为0
转动惯量 J
刚体的转动定律 讨论
M Jβ
ri fi
h mi
-fi
(1) 与牛顿定律 F ma 比较
(2) 转动惯量 J Δmi ri
2
三. 转动惯量
定义式 质量不连续分布
J z mi ri
z
2
J z mi ri
2
dm
质量连续分布
r
F
P
h
• •
力矩是矢量 —— 反映力的大小、方向和作用点 在刚体的定轴转动中，力矩矢量只有两个指向
讨论 (1) 力对定轴的力矩
Mo
F
A
力对轴的力矩为 M r ' F O . Z r (2) 力对点的力矩 —更为一般的物体转动 F// MO r F
解
· ·
设 J C k ml 2
k是一个无量纲的量 z
C
立方体绕棱边z的转动惯量为
l 2 1 J z J C m( ) (k ) ml 2 2 2
分成八个相同的小立方体
· ·
他们绕各自棱边的转动惯量为 1 m l 2 J小 (k )（ ） （ ） 2 8 2 八个相同的小立方体绕棱边的转动惯量=JC 1 8 1 k (k ) k J C 8J小 32 2 6
mg
dm g
M 1 3 3g cos d d mgl cos 2 J 2 ml 2l dt d 3 g cos 3g sin 2 d d 2l l 0 0
例 圆盘以 0 在桌面上转动,受摩擦力而静止 求 到圆盘静止所需时间 解 取一质元
5.2 力矩 刚体绕定轴转动微分方程解析
m
R
0
2m 3 m 2 r dr R 2 R 2
10
例3 求质量为m、半径为R、厚为h 的均匀圆盘 的转动惯量。轴与盘平面垂直并通过盘心。 解: 取半径为r宽为dr 的薄圆环: 圆环质量:
R
h
dm 2πrdr h
圆环转动惯量:
r
dJ r dm 2πhr dr
z
mk ak Fk f k
o
vk
在圆轨迹切线方向 投影： mk ak mk rk Fk f k 两边乘以rk，得：m
2 k k
mk
r Fk rk fk rk
对整个刚体求和,得：
( m r ) Fk rk f k rk
力不在转动平面内时:
h θ
r
A
F Fn F//
F F
M F r sin F h Fτ r
z z
r
F
F
矢量形式： M r F
方向由右螺旋法则确定。
h θ
A
Fn
F
2
二、刚体绕定轴的转动微分方程 作用在 mk 上的合外力 Fk ，合内力 f k
L
0
1 2 2 x dx mL 3
2
O
m
dx C
L
x
1 2 J C x dx mL L /2 12
L /2
m
O
2
L dx
x
1 2 L J D J C mL J C m 此关系具有普遍意义 4 2
13
平行轴定理
J D J C mL
力矩 刚体定轴转动的转动定律解析
如图 dS 2 rdr, m , dm dS 2 rdr R2
dJ r2dm 2 r3dr
J
dJ
R
2
r3dr
1
mR2
0
2
第3章 刚体力学基础
3–2 力矩 刚体定轴转动的转动定律
竿
子
长
些
还
是
短
些
较
安
飞轮的质量为什么
全
大都分布于外轮缘？
？
第3章 刚体力学基础
3–2 力矩 刚体定轴转动的转动定律
9
例3.1 如图所示，求质量为m，长为l的均匀细棒 的转动惯量：(1)转轴通过棒的中心并与棒垂直； (2)转轴通过棒一端并与棒垂直.
解 (1)转轴通过棒的中心并与棒垂直
m dm dx
l
dJ x2dm x2dx
第3章 刚体力学基础
3–2 力矩 刚体定轴转动的转动定律
10
整个棒对中心轴的转动惯量为
J
dJ
l
2 l
2
x2dx
1 12
ml 2
(2)转轴通过棒一端并与棒垂直时，整个棒对该轴的 转动惯量为
J l x2dx 1 ml2
0
3
由此看出，同一均匀细棒，转轴位置不同，转动惯 量不同.
第3章 刚体力学基础
3–2 力矩 刚体定轴转动的转动定律
11
例3.2 设质量为m，半径为R的细圆环和均匀圆盘分 别绕通过各自中心并与圆面垂直的轴转动，求圆环和 圆盘的转动惯量.
第四章 刚体转动
4 – 2 力矩 转动定律 转动惯量
二 刚体定轴转动的转动定律
物理学教程 （第二版）
Fit (mi )ait
力矩 刚体定轴转动的转动定律
dJ R dm
2
第3章 刚体力学基础
3–2 力矩 刚体定轴转动的转动定律
12
考虑到所有质元到转轴的距离均为R，所以细圆环对 中心轴的转动惯量为
J dJ R dm R
2 m
2
m
dm mR
2
(2)求质量为m，半径为R的圆盘对中心轴的转动惯量
m 如图 dS 2 rdr , , dm dS 2 rdr 2 R
l 2
o
P
d d d d dt d dt d
代入初始条件积分 得
第3章 刚体力学基础
3g d sin d 2l 3g (1 cos ) l
1 2 J x dx ml 0 3
l 2
由此看出，同一均匀细棒，转轴位置不同，转动惯 量不同.
第3章 刚体力学基础
3–2 力矩 刚体定轴转动的转动定律
11
例3.2 设质量为m，半径为R的细圆环和均匀圆盘分 别绕通过各自中心并与圆面垂直的轴转动，求圆环和 圆盘的转动惯量. 解 (1) 在环上任 取一质元，其质量 为dm，距离为R， 则该质元对转轴的 转动惯量为
解 (1)转轴通过棒的中心并与棒垂直
m l
dm dx
dJ x 2dm x 2dx
第3章 刚体力学基础
3–2 力矩 刚体定轴转动的转动定律
10
整个棒对中心轴的转动惯量为
J dJ
l 2 l 2
1 x dx ml 2 12
2
(2)转轴通过棒一端并与棒垂直时，整个棒对该轴的 转动惯量为
解 (1) M k 2 ，故由转动定律有
k k J 即 J 2 1 k0 0 3 9J
力矩+刚体定轴转动的转动定律
rF
sin
rF
F
Mz
r F
F
·
Fn
F// F
式中为力F到轴的距离
若力的作用线不在转动在平面内，
则只需将力分解为与轴垂直、平行
r
F 的两个分力即可。
力对固定轴的力矩为零的情况：
若力的作用线与轴平行 若力的作用线与轴相交
则力对该轴无力矩作用 。
第3章 刚体力学基础
第2节
大学物理学(力学和电磁
M 的方向垂直于r和F所决定的平面，指向用右手法则确定。
第3章 刚体力学基础
第2节
2）力矩的单位: 牛·米 (N·m)
大学物理学(力学和电磁
•2
学)
3)
在直角坐标系中，表示式为
i jk
M x yF z zF y
M x y z
M y zF x xF z
Fx Fy Fz
M z xF y yF x
力对固定点的力矩为零的情况：
有两种情况, M 0
(1)力F等于零， (2)力F的作用线与矢径r共线 （力F的作用线穿过O点, 即， 有心力对定点的力矩恒为零）。
有心力的力矩为零
第3章 刚体力学基础
第2节
大学物理学(力学和电磁
•3
学)
２、力对固定轴z轴的力矩：
M z rF sin
r sin F
的乘积等于作用在刚体上的合外力矩。
— 刚体绕定轴转动微分方程，或转动定律。 刚体定轴转动的角加速度与它所受的合外力矩成正比,与 刚体的转动惯量成反比。
第3章 刚体力学基础
•5
第2节 三 转动定律的应用
大学物理学(力学和电磁
•6
学)
刚体的转动惯量就是组成刚体的各质元的质量与 其到转轴的距离的平方的乘积之和．是刚体转动时惯 性大小的量度．
理论力学第4节 刚体的定轴转动和平面运动微分方程
圆盘质心 加速度
aC
2M 3mR
FN
2）如果作用于圆盘的力偶矩 M
圆盘连滚带滑，所受摩擦力为
3 2
fmgR
时，则
F mgf
aC fg
2(M mgfR) mR2
0
d
dt
maC F
FN mg
1 mR 2 M FR
2
纯滚动 应满足
M C aC
mg F
FN
F f FN
M
3 2
fmgR
解得
F
2M 3R
，M
3 2
RF
，aC
2M 3mR
讨论
M
1）为使圆盘作纯滚动，应满足
作用于圆盘 的力偶矩
M
3 2
fmgR
C aC mg F
• 刚体绕定轴转动的运动微分方程：绕定轴转动的刚 体对转轴的转动惯量与其角加速度的乘积，等于作 用在刚体上的所有外力对转轴力矩的代数和。
例11-5 如图所示一均质圆盘质量 m = 100kg，半径 r = 0.5m，转速 n 擦因数 f = 0.6。开始加制动闸，使闸块对轮
dt
J C
n
M C (Fi(e) )
i1
式中 M 为刚体的质量，aC 为质心的加速度，J C为刚 体对通过质心Cz轴的转动惯量。
MaC
F (e) R
y
d(JC)
dt
JC
n
M C (Fi(e) )
i1
d
dt
d 2
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1 2
例 一根长为 l ，质量为 m 的均匀细直棒，可绕轴 O 在竖直平 x 面内转动，初始时它在水平位置 m l O 求 它由此下摆 角时的 x
解 取一质元
M mgxC
M xdm g g xdm
C
dm
由转动定律
1 M mgl cos 2
xdm mxC
m
J z :刚体绕任意轴的转动惯量 JZ ? J c :刚体绕通过质心轴的转动惯量
JC
d :两轴间垂直距离
例 均匀细棒的转动惯量
z
z
L m
L/ 2
L 1 2 J Z m mL JZ 2 3
2
1 J z ML2 12
薄板垂直轴定理
z x
y
Jz Jx Jy
2
外力矩 M
内力矩为0
转动惯量 J
刚体的转动定律 讨论
M Jβ
ri fi
h mi
-fi
(1) 与牛顿定律 F ma 比较
(2) 转动惯量 J Δmi ri
2
三. 转动惯量
定义式 质量不连续分布
J z mi ri
z
2
J z mi ri
2
dm
质量连续分布
解
· ·
设 J C k ml 2
k是一个无量纲的量 z
C
立方体绕棱边z的转动惯量为
l 2 1 J z J C m( ) (k ) ml 2 2 2
分成八个相同的小立方体
· ·
他们绕各自棱边的转动惯量为 1 m l 2 J小 (k )（ ） （ ） 2 8 2 八个相同的小立方体绕棱边的转动惯量=JC 1 8 1 k (k ) k J C 8J小 32 2 6
m
G T T t h
v0=0
mg T ma
运动学方程
a
a R
1 2 h at 2
mg
gt 2 Jo ( 1)mR 2 1.14kg m 2 2h
例 一不变的力矩M作用在绞车的鼓轮上使轮顺时针转动，如图 所示。 绳子的质量忽略不计， 鼓轮可看作均质圆柱。 开始时此系统静止， M 求 鼓轮转过角j 时，绳中的张力及鼓轮的角速度 r m1 解 对鼓轮 使用转动定律 m2
(2)
rO
T F
T
Fr 98 0.2 39.2 rad/s 2 J 0.5
mg
mg T ma Tr J a r
mgr 2 J mr 98 0.2 2 21 . 8 rad/s 2 0.5 10 0.2
例 一个作定轴转动的轮子，对轴的转动惯量为J=2.0kg．m2 ， 正以角速度ω0匀速转动。现对轮子加一恒定的力矩 M=-7.0N·m，经过时间t=8.0s时轮子的角速度为-ω0 求 ω0
d 解 M J dt
0 Mdt
t
0
0
Jd
Mt 2 J 0
0 14rad / s
例 R=0.2m, m=1kg, h=1.5m, v0=0 。绳轮无相对滑动，轻绳不 可伸长，下落时间t=3s
求 J0
解 由转动定律得
N
R 定轴O
TR J 0
由牛顿定律得
则填满后的总质量为m+m/
m m/ π R2 R2 2 2 / m πr r
2 mr m/ 2 2 (R r )
1 J 满 （m m /）R 2 2
J小o
1 / 2 m r m/ d 2 2
J J 满 J 小o
d
例 求均匀立方体(边长l、质量m)绕通过面心的中心轴的转动惯量
mg
dm g
M 1 3 3g cos d d mgl cos 2 J 2 ml 2l dt d 3 g cos 3g sin 2 d d 2l l 0 0
例 圆盘以 0 在桌面上转动,受摩擦力而静止 求 到圆盘静止所需时间 解 取一质元
§6.1 力矩 刚体绕定轴转动微分方程
一. 力矩
• •
力
改变质点的运动状态 改变刚体的转动状态
质点获得加速度 刚体获得角加速度 z
定义： 力 F 的大小与 O 点到 F 的
作用线间垂直距离 h 的乘积
Mz
O
M z ( F ) Fh Fr sin 矢量式 Mz r F
(3) J 与转轴的位置有关 z O M L z M x O
L/ 2
R dr r O
m
L dm
2
J
L
0
1 2 x dx ML 3
2
dm
x
1 J x dx ML2 L / 2 12
结论：刚体的转动惯量与刚体的质量、质量分布和转 轴的位置均有关
平行轴定理
z d C
J z J c md 2
m, a
根据牛顿第二定律，第 i 个质元
圆周轨迹切线投影 同乘以 ri 对所有质元求和
Fi fi mi ai
外 力
内 力
Fi fi mi ai Fi ri fi ri mi ai ri mi ri 2β
ai=ri
Fi r i fi r i ( mi ri ) β
dm ds 2π rdr
R
dM rdf r gdm
R
2 摩擦力矩 M dM mgR 0 3 2 1 d 2 d 由转动定律 M J mgR mR 3 2 dt dt t 0 3R 3R 0 t 0 dt 0 4gd 4g
m
J R dm R
2 0
2 m
0
2 mR dm
问题
质量分布的均匀性对圆环绕 中心轴旋转的转动惯量有影响吗?
例 质量均匀分布的圆盘绕中心轴旋转的转动惯量
ds 2π rdr m 2mr 2π rdr 2 dr dm ds 2 πR R R 2m 3 m 2 m 2 J r dm 2 r dr R 0 R 0 2
说明
F
(1) 力对任意点的力矩，在通过该点 的任一轴上的投影，等于该力对 该轴的力矩。
(2) 力矩随参考点而变
O r
A
F
例 已知棒长 L ,质量 m，在摩擦系数为 的桌面转动 (如图) 求 摩擦力对转轴的力矩
m df dm g 解 dm dx m L L m 根据力矩 dM gxdx O x L L m 1 d x M gxdx mgL 0 L 2
z 例 求对薄圆盘的一条直径的转动惯量
m 圆盘 R
1 2 已知 J z mR 2 Jz Jx Jy
垂直轴定理
C
y
Jx Jy
1 J x J y mR 2 4
x
例 求对过圆环中心且垂直于圆 环平面的转轴O 的转动惯量
解 J 棒，c
3r
m
m r O
C
1 m(3r ) 2 12
m
Байду номын сангаас
r
J r dm
2 V
•
转动惯量的三个要素
z M dm L x
(1) J 与刚体的总质量有关 例 两根等长、质量均匀分布的
O
x
细木棒和细铁棒 绕端点轴 转动惯量 L 2 L 2 M 1 2 J x dx 0 x dx ML 0 L 3
J铁 J木
R O m
(2) 当刚体质量一定，J 与质量分布有关 dm 例 圆环绕中心轴旋转的转动惯量
M J
刚体的定轴转动定律
M kJ
M z Jz
刚体绕 z 轴转动 的角加速度
作用在刚体上所有的外力对 刚体对 z 轴 定轴 z 轴的力矩的代数和 的转动惯量 说明 (1) M 正比于 ，力矩越大，刚体的 越大
(2) 力矩相同，若转动惯量不同，产生的角加速度不同 (3) 与牛顿定律比较： M F, J
即
1 J C ml 2 6
五. 转动定律的应用举例
例 一轻绳绕在半径 r =20cm 的飞轮边缘，在绳端施以F=98N 的 拉力，飞轮的转动惯量 J=0.5kg· m2，飞轮与转轴间的摩擦不 计， 求 (1) 飞轮的角加速度 (2) 如以重量P=98N的物体挂在绳
端，试计算飞轮的角加速度 解 (1) Fr J
例 一个刚体系统，如图所示，已知，转动惯量
1 2 J ml ，现用一水平冲力作用于距轴为 l' 处 3
求 轴对棒的作用力(也称轴反力)。 解 设轴对棒的作用力为 N , 由转动定律
Ny
O
Nx
Nx, N y
Fl ' J
l' F
C
mg
l 质点系 由质心运 F N x macx m 2 l 2 动定理 N y mg macy m 0 打击中心 2 ml Fl ' 3l ' 2 Nx F F ( 1) l' l Nx 0 2 J 2l 3 N y mg • 质心运动定理与转动定律联用
J 棒，O
3 2 J 棒，C m( r r ) 2
J 环,o mr
2
J O J 环，O J 棒，O 8mr 2
例 从半径为R 的均质圆盘上挖掉一块半径为r 的小圆盘，该系 统的质量为m,两圆盘中心O 和O′相距为d ，且(d + r) < R 求 挖掉小圆盘后，该系统对垂直于盘面, 且过中心轴的转动惯量 解 使用补偿法 设小圆盘的质量为m/ R O m O′ r
例 一根长为 l ，质量为 m 的均匀细直棒，可绕轴 O 在竖直平 x 面内转动，初始时它在水平位置 m l O 求 它由此下摆 角时的 x
解 取一质元
M mgxC
M xdm g g xdm
C
dm
由转动定律
1 M mgl cos 2
xdm mxC
m
J z :刚体绕任意轴的转动惯量 JZ ? J c :刚体绕通过质心轴的转动惯量
JC
d :两轴间垂直距离
例 均匀细棒的转动惯量
z
z
L m
L/ 2
L 1 2 J Z m mL JZ 2 3
2
1 J z ML2 12
薄板垂直轴定理
z x
y
Jz Jx Jy
2
外力矩 M
内力矩为0
转动惯量 J
刚体的转动定律 讨论
M Jβ
ri fi
h mi
-fi
(1) 与牛顿定律 F ma 比较
(2) 转动惯量 J Δmi ri
2
三. 转动惯量
定义式 质量不连续分布
J z mi ri
z
2
J z mi ri
2
dm
质量连续分布
解
· ·
设 J C k ml 2
k是一个无量纲的量 z
C
立方体绕棱边z的转动惯量为
l 2 1 J z J C m( ) (k ) ml 2 2 2
分成八个相同的小立方体
· ·
他们绕各自棱边的转动惯量为 1 m l 2 J小 (k )（ ） （ ） 2 8 2 八个相同的小立方体绕棱边的转动惯量=JC 1 8 1 k (k ) k J C 8J小 32 2 6
m
G T T t h
v0=0
mg T ma
运动学方程
a
a R
1 2 h at 2
mg
gt 2 Jo ( 1)mR 2 1.14kg m 2 2h
例 一不变的力矩M作用在绞车的鼓轮上使轮顺时针转动，如图 所示。 绳子的质量忽略不计， 鼓轮可看作均质圆柱。 开始时此系统静止， M 求 鼓轮转过角j 时，绳中的张力及鼓轮的角速度 r m1 解 对鼓轮 使用转动定律 m2
(2)
rO
T F
T
Fr 98 0.2 39.2 rad/s 2 J 0.5
mg
mg T ma Tr J a r
mgr 2 J mr 98 0.2 2 21 . 8 rad/s 2 0.5 10 0.2
例 一个作定轴转动的轮子，对轴的转动惯量为J=2.0kg．m2 ， 正以角速度ω0匀速转动。现对轮子加一恒定的力矩 M=-7.0N·m，经过时间t=8.0s时轮子的角速度为-ω0 求 ω0
d 解 M J dt
0 Mdt
t
0
0
Jd
Mt 2 J 0
0 14rad / s
例 R=0.2m, m=1kg, h=1.5m, v0=0 。绳轮无相对滑动，轻绳不 可伸长，下落时间t=3s
求 J0
解 由转动定律得
N
R 定轴O
TR J 0
由牛顿定律得
则填满后的总质量为m+m/
m m/ π R2 R2 2 2 / m πr r
2 mr m/ 2 2 (R r )
1 J 满 （m m /）R 2 2
J小o
1 / 2 m r m/ d 2 2
J J 满 J 小o
d
例 求均匀立方体(边长l、质量m)绕通过面心的中心轴的转动惯量
mg
dm g
M 1 3 3g cos d d mgl cos 2 J 2 ml 2l dt d 3 g cos 3g sin 2 d d 2l l 0 0
例 圆盘以 0 在桌面上转动,受摩擦力而静止 求 到圆盘静止所需时间 解 取一质元
§6.1 力矩 刚体绕定轴转动微分方程
一. 力矩
• •
力
改变质点的运动状态 改变刚体的转动状态
质点获得加速度 刚体获得角加速度 z
定义： 力 F 的大小与 O 点到 F 的
作用线间垂直距离 h 的乘积
Mz
O
M z ( F ) Fh Fr sin 矢量式 Mz r F
(3) J 与转轴的位置有关 z O M L z M x O
L/ 2
R dr r O
m
L dm
2
J
L
0
1 2 x dx ML 3
2
dm
x
1 J x dx ML2 L / 2 12
结论：刚体的转动惯量与刚体的质量、质量分布和转 轴的位置均有关
平行轴定理
z d C
J z J c md 2
m, a
根据牛顿第二定律，第 i 个质元
圆周轨迹切线投影 同乘以 ri 对所有质元求和
Fi fi mi ai
外 力
内 力
Fi fi mi ai Fi ri fi ri mi ai ri mi ri 2β
ai=ri
Fi r i fi r i ( mi ri ) β
dm ds 2π rdr
R
dM rdf r gdm
R
2 摩擦力矩 M dM mgR 0 3 2 1 d 2 d 由转动定律 M J mgR mR 3 2 dt dt t 0 3R 3R 0 t 0 dt 0 4gd 4g
m
J R dm R
2 0
2 m
0
2 mR dm
问题
质量分布的均匀性对圆环绕 中心轴旋转的转动惯量有影响吗?
例 质量均匀分布的圆盘绕中心轴旋转的转动惯量
ds 2π rdr m 2mr 2π rdr 2 dr dm ds 2 πR R R 2m 3 m 2 m 2 J r dm 2 r dr R 0 R 0 2
说明
F
(1) 力对任意点的力矩，在通过该点 的任一轴上的投影，等于该力对 该轴的力矩。
(2) 力矩随参考点而变
O r
A
F
例 已知棒长 L ,质量 m，在摩擦系数为 的桌面转动 (如图) 求 摩擦力对转轴的力矩
m df dm g 解 dm dx m L L m 根据力矩 dM gxdx O x L L m 1 d x M gxdx mgL 0 L 2
z 例 求对薄圆盘的一条直径的转动惯量
m 圆盘 R
1 2 已知 J z mR 2 Jz Jx Jy
垂直轴定理
C
y
Jx Jy
1 J x J y mR 2 4
x
例 求对过圆环中心且垂直于圆 环平面的转轴O 的转动惯量
解 J 棒，c
3r
m
m r O
C
1 m(3r ) 2 12
m
Байду номын сангаас
r
J r dm
2 V
•
转动惯量的三个要素
z M dm L x
(1) J 与刚体的总质量有关 例 两根等长、质量均匀分布的
O
x
细木棒和细铁棒 绕端点轴 转动惯量 L 2 L 2 M 1 2 J x dx 0 x dx ML 0 L 3
J铁 J木
R O m
(2) 当刚体质量一定，J 与质量分布有关 dm 例 圆环绕中心轴旋转的转动惯量
M J
刚体的定轴转动定律
M kJ
M z Jz
刚体绕 z 轴转动 的角加速度
作用在刚体上所有的外力对 刚体对 z 轴 定轴 z 轴的力矩的代数和 的转动惯量 说明 (1) M 正比于 ，力矩越大，刚体的 越大
(2) 力矩相同，若转动惯量不同，产生的角加速度不同 (3) 与牛顿定律比较： M F, J
即
1 J C ml 2 6
五. 转动定律的应用举例
例 一轻绳绕在半径 r =20cm 的飞轮边缘，在绳端施以F=98N 的 拉力，飞轮的转动惯量 J=0.5kg· m2，飞轮与转轴间的摩擦不 计， 求 (1) 飞轮的角加速度 (2) 如以重量P=98N的物体挂在绳
端，试计算飞轮的角加速度 解 (1) Fr J
例 一个刚体系统，如图所示，已知，转动惯量
1 2 J ml ，现用一水平冲力作用于距轴为 l' 处 3
求 轴对棒的作用力(也称轴反力)。 解 设轴对棒的作用力为 N , 由转动定律
Ny
O
Nx
Nx, N y
Fl ' J
l' F
C
mg
l 质点系 由质心运 F N x macx m 2 l 2 动定理 N y mg macy m 0 打击中心 2 ml Fl ' 3l ' 2 Nx F F ( 1) l' l Nx 0 2 J 2l 3 N y mg • 质心运动定理与转动定律联用
J 棒，O
3 2 J 棒，C m( r r ) 2
J 环,o mr
2
J O J 环，O J 棒，O 8mr 2
例 从半径为R 的均质圆盘上挖掉一块半径为r 的小圆盘，该系 统的质量为m,两圆盘中心O 和O′相距为d ，且(d + r) < R 求 挖掉小圆盘后，该系统对垂直于盘面, 且过中心轴的转动惯量 解 使用补偿法 设小圆盘的质量为m/ R O m O′ r