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力矩刚体绕定轴转动定律-精品文档

力矩刚体绕定轴转动定律
一、刚体绕定轴转动的力矩
z
F//
F
F对点O转动的力矩:
MO
O
Mz
y
x
r
P
F
F对定轴z转动的力矩:
M r F O r F r F //
M r F z
二、定轴转动定律
M β z J
M J Fr 2 M Fr 39 . 2 [ rad /s ]
mg T ma
Tr J
J
r
O
T
F
mg
(2)
ar
21 . 8 [ rad /s]
2
例: 均匀细直棒m 、l ，可绕轴 O 在竖直平面内转动初始时它在水平位置 m l O 求: 它由此下摆角时的
转动惯量与转轴有关
例: 求圆环绕中心轴旋转的转动惯量
2 解: dm 转动惯量 d JR d m
2 J R d m R d m mR 2 2 0 0 L L
dl R o
m
例: 求圆盘绕中心轴旋转的转动惯量 m 2 mr m d S 解: d 2 2πrdr 2 dr πR R dm 转动惯量 d J r2d m
M r d f df 的力矩 d
R
2 d M mgR 圆盘摩擦力矩 M 0 2 1 2d 3 mgR mR
d M

d 3 转动定律 MJ dt 3R0 t 0 3 R t d t d 0 4g g 04
2
d t
例: 一均质棒，长度为 l，现有一水平打击力F 作用于距轴 l 处。求: l =? 时, 轴对棒作用力的水平分量为 0。

一,刚体的定轴转动(运动)二,力矩,刚体定轴转动的转动定律,转动惯量

二、刚体定轴转动的转动定律
～利用力矩定义＋牛顿第二定律，研究刚体作定轴转动的动力学规律。设：oz为定轴，为 P 刚体中任一质点 i ，其质量为 ∆ m i。质点 iv ur 受外力 F i ，内力 F i ′ 的作用，均在与 O z 轴相垂直的同一平面内。 ①牛顿第二定律： ur r v F i + Fi ′ = ∆ m i a i 建立自然坐标：切向、法向；
三、转动惯量 J 1.转动惯量的物理意义：当以相同的力矩分别作用于两个绕定轴转动的不同刚体时，它们所获得的角加速度一般是不一样的，转动惯量大的刚体所获得的角加速度小，即角速度改变得慢，也就是保持原有转动状态的惯性大；反之，转动惯量小的刚体所获得的角加速度大，即角速度改变得快，也就是保持原有转动状态的惯性小。因此，转动惯量是描述刚体在转动中的惯性大小的物理量。 2.与转动惯量有关的因素：①刚体的质量；②转轴的位置；③刚体的形状。实质与转动惯量有关的只有前两个因素。形状即质量分布，与转轴的位置结合决定转轴到每个质元的矢径。
R 3
例3、求长为L、质量为m的均匀细棒对图中不同轴的转动惯量。 B 解：取如图坐标，dm=λdx A
J
A
=
∫
∫
L
0
x 2 λ dx = mL 2 / 3
A
x λ dx = mL
2 2
JC =
L 2 L − 2
L C L/2 L/2
X B X
/ 12
例4. 求质量 m ,半径 R 的球壳对直径的转动惯量解：取离轴线距离相等的点的集合为积分元
F i t ri + F i t′ ri = ∆ m i ri 2 α
外力矩内力矩
③对所有质元的同样的式子求和：

第4章刚体转动

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长江大学物理教程
M1
外力在转动平面上对转
轴的力矩使刚体发生转动
F2
j2
F 2
F 1
r2 O r1
P2 d2 d1
P1
F1 力矩 M1 = r1 × F1 j1 大小 M1 = r1 F1 sin j1
= F1 d1 =F 1 r1
方向 MM2 = r2 × F2
M2
大小 M 2 = r2F2 sin j 2
定轴转动刚体在某时刻t 的瞬时角速度为，瞬
时角加速度，刚体中一质点P至转轴的距离为r
瞬时线速度
质点P 瞬时切向加速度瞬时法向加速度
的大小
2019/10/31
这是定轴转动中线量与角量的基本关系
11
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质点直线运动或刚体平动位移速度加速度
匀速直线运动匀变速直线运动
刚体的定轴转动角位移角速度角加速度匀角速定轴转动匀变角速定轴转动
2019/10/31
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例1 在高速旋转的微型电动机里，有一圆柱形转子可绕垂直其横截面并通过中心的转轴旋转．开始起动时，角速度为零．起动
后式其中转m速随5时40间r变 s化1，关系为2.：0s ．求m (：1 et / )
(1)t=6 s时电动机的转速．(2)起动后，电动机在 t=6 s时间内转过的圈数．(3)角加速度随时间变化的规律．
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长江大学物理科学与技术学院
第四章刚体的转动
主讲教师：喻秋山
2010～2011年第一学期
4-0 教学基本要求
一理解描写刚体定轴转动角速度和角加速度的物理意义，并掌握角量与线量的关系．

力矩刚体绕定轴转动定律

3g cos
2l
d d dt d
d
3g cos d
0
0 2l
2 3g sin / l
例: 圆盘以 0 在桌面上转动,受摩擦力而静止
求: 到圆盘静止所需时间。
解: 取宽为dr的细圆环其质量为
dm
σdS
π
m R2
2π
rdr
dm 摩擦力 df gdm
dr r
df
df 的力矩 dM rdf
圆盘摩擦力矩 M
R
dM
2
mgR
0
3
转动定律 M J d
dM
2 mgR 1 mR2 d
3
2 dt
dt
t
0
dt
0
0
3R d 4g
t 3R0 4g
例: 一均质棒，长度为 l，现有一水平打
击力F 作用于距轴 l 处。
求: l =? 时, 轴对棒作用力的水平分量为 0。
解: 设轴对棒的水平分力为 Nx
rO
T

mg
例: 均匀细直棒m 、l ，可绕轴 O 在竖直平面内转动
初始时它在水平位置
求: 它由此下摆角时的
解: dm 质元 dm m dx l
O
ml
dm 重力矩 dM gdm x cos
x
M
dM
1 2
mgl cos
gdm
重力对棒的合力矩等于重力全部集中于质心所产生的力矩
M
J
J 1 ml2 3
在绳端施以 F = 98 N 的拉力，不计摩擦力
求 (1) 滑轮的角加速度；
(2) 如以重量P = 98 N 的物体挂在绳端，计算滑轮的角加速度

力矩作功与刚体绕定轴转动的动能定理

Ek0 0
1 mgl 1 J 2 0
2
2
m,l
o
J 1 ml 2
3
3g
mg
l
练习2、一质量 M、半径 R 圆盘绕一无摩檫轴转动，盘上绕有轻绳，下端挂物体 m。求：当 m 由静止下落h时速度 v ？
解：
刚体 M
N T
o
对m：
G
TP
m
v 2 mgh h
M 2m
注意和前面的方法比较！
练习3、一匀质细棒长l ，质量m，可绕通过其端点O水平轴转动。当棒从水平位置自由释
放后，它在竖直位置上与放在地面上的物体
相撞。该物体的质量也为m ，地面的摩擦系数为。撞后物体沿地面滑行s后而停止。求相撞后棒的质心C 离地面的最大高度h，并说
明棒在碰撞后将向重力外，其余内力与外力都 O
（3）
由匀减速直线运动的公式得
亦即
（4）
由（1）（2）与（4）联合求解，即得
（5）
当 >0 则棒向左摆条件：亦即L>6s；
当0，则棒向右摆条件：
亦即L <6s
由机械能守恒定律，棒上升的最大高度：
(6)
把（5）代入上式，求得：
练习4：工程上，两飞轮常用摩擦啮合器使它们
以相同的转速一起转动。如图所示，A和B两飞
动量守恒；
动量不守恒；
角动量守恒；
角动量守恒；
机械能不守恒 .
机械能不守恒 .
圆锥摆系统动量不守恒；角动量守恒；机械能守恒 .
直线运动与定轴转动规律对照
质点的直线运动
刚体的定轴转动
P126书例2 一长为 l , 质
量为m 的竿可绕支点O自由转动．一质量为m’、速率为v

力矩刚体定轴转动的转动定律

dJ R dm
2
第3章刚体力学基础
3–2 力矩刚体定轴转动的转动定律
12
考虑到所有质元到转轴的距离均为R，所以细圆环对中心轴的转动惯量为
J dJ R dm R
2 m
2

m
dm mR
2
(2)求质量为m，半径为R的圆盘对中心轴的转动惯量
m 如图 dS 2 rdr , , dm dS 2 rdr 2 R
l 2
o
P
d d d d dt d dt d
代入初始条件积分得
第3章刚体力学基础
3g d sin d 2l 3g (1 cos ) l
1 2 J x dx ml 0 3
l 2
由此看出，同一均匀细棒，转轴位置不同，转动惯量不同.
第3章刚体力学基础
3–2 力矩刚体定轴转动的转动定律
11
例3.2 设质量为m，半径为R的细圆环和均匀圆盘分别绕通过各自中心并与圆面垂直的轴转动，求圆环和圆盘的转动惯量. 解 (1) 在环上任取一质元，其质量为dm，距离为R，则该质元对转轴的转动惯量为
解 (1)转轴通过棒的中心并与棒垂直
m l
dm dx
dJ x 2dm x 2dx
第3章刚体力学基础
3–2 力矩刚体定轴转动的转动定律
10
整个棒对中心轴的转动惯量为
J dJ
l 2 l 2
1 x dx ml 2 12
2
(2)转轴通过棒一端并与棒垂直时，整个棒对该轴的转动惯量为
解 (1) M k 2 ，故由转动定律有
k k J 即 J 2 1 k0 0 3 9J

2.91刚体的定轴转动力矩转动定律转动惯量

Fi 0 , M i 0
M r F
d
P

F
F
Fi 0 , M i 0
F
F
2.9刚体的定轴转动定律
讨论
第二章守恒定律
1）若力 F 不在转动平面内，把力分解为平行和垂
直于转轴方向的两个分量其中 Fz 对转轴的力矩为零，故 F 对转轴的力矩
代入初始条件积分得
3g d sind 2l
3g (1 cos ) l
考虑到
7lg 12 v0 dr g cost cos( t) dt 2 24 v0 7l
t
2.9刚体的定轴转动定律
第二章守恒定律
例4 一长为 l 质量为 m 匀质细杆竖直放置，其下端与一固定铰链 O 相接，并可绕其转动 . 由于此竖直放置的细杆处于非稳定平衡状态，当其受到微小扰动时，细杆将在重力作用下由静止开始绕铰链O 转动 .试计算细杆转动到与竖直线成角时的角加速度和角速度 .
刚体定轴转动的角动量定理
第二章守恒定律

t2
t1
Mdt J 2 J1
3 刚体定轴转动的角动量守恒定律若M 讨论若 J 不变，不变；若 J 变，也变，但 L 内力矩不改变系统的角动量.
守恒条件
0 ，则 L J 常量
M 0
J 不变.
在冲击等问题中
L mi ri vi (
i
2 mi ri )
L J
i

ri
mi
z
2 刚体定轴转动的角动量定理 dL d( J ) M dt dt
O
vi
t1

5.2 力矩刚体绕定轴转动微分方程

M J 、 ma F M F , J m, a
两个定律在形式上对应, 都是反映瞬时效应的。 d dv M J J F ma m dt dt (2) m反映质点的平动惯性，J 则反映刚体的转动惯性。
大学物理第三次修订本
7
第5章刚体力学基础动量矩
三、转动惯量刚体质量不连续分布刚体质量连续分布
O .
大小
F
方向由右螺旋法则确定。
r
θ
2
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第5章刚体力学基础动量矩
力对定轴力矩的矢量形式
z
F//
M Z r F
方向由右螺旋法则确定。
F
r
A
F
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3
第5章刚体力学基础动量矩
二、刚体绕定轴转动微分方程作用在 mk上的外力 Fk ，内力 f k dvk mk Fk f k dt 在圆规迹切线方向
2
J z' 刚体绕任意轴的转动惯量；
J z 刚体绕通过质心的轴的转动惯量；
L
两轴间垂直距离。
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第5章刚体力学基础动量矩
5. J 的计算（1）按定义计算
例1求长为L质量为m 的均匀细棒对图中不同轴的转动惯量。
解: 取如图坐标，dm = dx
A
dm B
x
L
J A x dx mL / 3
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第5章刚体力学基础动量矩
求图所示刚体对经过棒端且与棒垂直的轴的转动惯量如何计算？(棒长为L、圆盘半径为R）
J L1
1 2 J o mo R 2

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