大学物理：3_1动能定理
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大学物理-动能定理
(4) 势能是状态的函数 Ep Ep (x, y, z) 25
4. 势能曲线
Ep (h)
E
Eh
Ep
o
H H h
重力势能
Ep
E
o
Ek
Ep
3-4 动能定理
Ep (x)
AE
B
Ek
Ep
o
x
弹性势能
Ek 0
x
引力势能
26
势能曲线的作用：
3-4 动能定理
（1）根据势能曲线的形状可以讨论物体的运动。
（2）利用势能曲线，可以判断物体在各个位置 所受保守力的大小和方向。
力提供园周运动的向心力而不做功，摩擦力做负
功使滑块动能减少。
W
1 mv2 2
1 2
mv0
2
(1)
34
3-4 动能定理
v2 N m
(2)
R
N m dv
(3)
dt
将式(2)代入式(3)，整理变形为
v2 dv dv d v dv R dt dt d R d
分离变量并积分，得
做功，它们所做元功之和为
dA fij dri f ji drj
因
fij f ji
mi
drji
dri
rij
rij drij
所以
fij
dA fij (dri drj ) fij drij
f ji m j drj
讨论：内力做功的特点
14
成对力的功
对它所作的功为零．
非保守力：力所作的功与路径有关． （例如摩擦力）
23
3. 势能
3-4 动能定理
4. 势能曲线
Ep (h)
E
Eh
Ep
o
H H h
重力势能
Ep
E
o
Ek
Ep
3-4 动能定理
Ep (x)
AE
B
Ek
Ep
o
x
弹性势能
Ek 0
x
引力势能
26
势能曲线的作用：
3-4 动能定理
（1）根据势能曲线的形状可以讨论物体的运动。
（2）利用势能曲线，可以判断物体在各个位置 所受保守力的大小和方向。
力提供园周运动的向心力而不做功，摩擦力做负
功使滑块动能减少。
W
1 mv2 2
1 2
mv0
2
(1)
34
3-4 动能定理
v2 N m
(2)
R
N m dv
(3)
dt
将式(2)代入式(3)，整理变形为
v2 dv dv d v dv R dt dt d R d
分离变量并积分，得
做功，它们所做元功之和为
dA fij dri f ji drj
因
fij f ji
mi
drji
dri
rij
rij drij
所以
fij
dA fij (dri drj ) fij drij
f ji m j drj
讨论：内力做功的特点
14
成对力的功
对它所作的功为零．
非保守力：力所作的功与路径有关． （例如摩擦力）
23
3. 势能
3-4 动能定理
哈里德大学物理第三章
注意
Fi内 0 I i内 0
i i
W
i
i内
0
二、变力的功
微元分析法：
ds dr
P
P
a
F
r
F r
o
b
取微元过程
以直代曲
以不变代变
再求和
§3-1 功 功率
ds
P
dr
P
r
a
F
r
F
o
b
元功： dW F dr F dr cosθ Fcosθds
F
M
m
r
r
o
以上这些力的共同特点？
保守力
1）做功与路径无关，只与起、末点位置有关；
2）做功等于与相互作用物体的相对位置有关的 某函数在始末位置的值之差。
势能
§3-2 保守力与非保守力 势能
二、保守力与非保守力
势能
1. 保守力与非保守力
• 做功与路径无关，只与起点、终点位置有关
b m L1 a
§3-2 保守力与非保守力 势能
保守力在 x 轴的分力，等于其相关势 能对坐标 x 的导数的负值:
F
dW F dr
x
Fx dx dEp x
m
θ
Fx
Fx
dEp x dx
§3-2 保守力与非保守力 势能
练习3：
一质量为 m 的人造地球卫星沿一圆形轨道运动，
§3-4 功能原理
1. 动能定理与功能原理的区别与联系：
功能原理是从动能定理推出的，完全包含在 动能定理之中； 由于保守力的功已反映在势能的改变中，运 用功能原理时，只需要计算非保守力的功， 而动能定理，则需要计算所有力做的功 。 2. 功与能的联系与区别： 功与能的单位与量纲相同； 功是过程量，能量是状态量； 功是能量传递和转化的一种方式和量度。
大学物理功-动能定理-保守力的功
解： 抛体在重力场中运动，
m g 是一恒量，
y
但m 的轨迹是一抛物线， 取一元位移d r
dr b
a
m g 与位移的夹角θ时时在变 在这一元段内写出元功
mg
x
dA Fdrmgdr
m gdscosmgdy
b
b
b
A
Fdr
a
Fcosds mg
a
a
dy
m g(ybya) 9
解：(1)建坐标系如图
l-a O
fμ m(lg x)/l l l μmg
A f afdra l (lx)dx μm(g lx)2l μm(g la)2
a x
2l
a 2l
注意：摩擦力作负功！ 21
(2)对链条应用动能定理：
l-x O
A＝ AP＋ Af 1 2m2v 1 2m0 2v
x
v0
0AP＋ Af
1m2v 2
x
A Pa lp d r a lm l x gd m x(l2 2 g l a 2 )
前已得出： Af
μm (gl a)2
2l
m(lg 2a2)μ m(lg a)21m2v
2l
2l
2
得 v
g l
1
(l2 a 2)μ (l a )22
13
3） A为合外力作功的代数和，不是合外力中某 一个力的功。动能定理中的速度必须相对同一 个惯性系。
4）通过作功，质点与外界进行能量交换。 如果 外力对物体做正功，质点动能增加； 如果 外力对物体做负功，质点的动能减少，
即物体克服外力作功，是以减少自身的动能为 代价。
所以，动能是物体因运动而具有的作功的本领。
动能定理原理
动能定理原理
动能定理是物理学中的一个重要定理，它描述了物体的动能与其速度的关系。
根据动能定理，一个物体的动能等于其质量与速度平方的乘积的一半。
动能定理可以表示为以下公式：
动能 = 1/2 ×质量 ×速度²
其中，动能用K表示，质量用m表示，速度用v表示。
根据动能定理，当一个物体的速度增加时，它的动能也会增加。
同样地，当一个物体的质量增加时，它的动能也会增加。
这说明物体的动能与其速度和质量直接相关。
动能定理的应用广泛。
在机械工程中，我们可以根据物体的动能来计算其所需的能量或者进行能量转化的分析。
在运动学中，我们可以利用动能定理来计算物体的速度或者质量。
在碰撞分析中，动能定理也起到了重要的作用。
需要注意的是，动能定理只适用于质点的分析，即只考虑物体的整体运动而忽略其形状和内部结构的影响。
在实际应用中，我们需要结合具体情况来确定使用动能定理的合理性与准确性。
总之，动能定理是一个重要的物理定律，在物体的运动分析和能量转化的研究中具有广泛的应用价值。
它为我们理解物体运动和能量转化的过程提供了重要的理论基础。
大学物理第二章动能定理
例题3. 如图，一轻绳跨过一定滑轮，两边分别拴有质量
为m及M的物体，M离地面的高度为h: (1)若滑轮质量及
摩擦力不计，m与桌面的摩擦也不计，开始时两物体均静
止，求M落到地面时的速度(m始终在桌面上); (2)若m与
桌面的静摩擦系数和滑动摩擦系数均为，结果又如何？
解：
m
(1)不计摩擦,系统(m,M,地球)机械能守恒:
v
m
0 M f c
f
s
s
Wf Wf 0
N
v c
N
WN WN 0
质点系动能定理：
质点系的动能的增量等于作用于质点系的一切外力与
内力做功之和.
W ex
W in
n i1
1 2
mi vi2
n i1
1 2
mi vi20
2.2.1 质点系动量定理
作用于质点系的合外力的冲量等于质点系动量的增量.
t2
系统内所有质点对同一参考点角动量的矢量和称为
质点系的角动量.
L Li ri pi ri mivi
i
i
i
dL dt
d dt
Li
i
Mi外
i
Mi内
i
0
M外
M 外
dL dt
积分得：
t2 t1
M外dt
L2
L1
注意：只有外力矩对质点系的角动量变化有贡献，
内力矩对质点系的角动量变化没有贡献.
W
F dr
l
F dr
acb
F dr
bda
0
a
c
F dr F dr F dr
acb
adb
bda
d
动能定理角动量定理
注意 1)守恒条件： M 0
能否为 Mdt 0 ?
2)与动量守恒定律对比：
当
F 0
时，
当
M
0
时，
p
恒矢量
L 恒矢量
彼此独立
《大学物理C》
第三章 刚体定轴转动
角动量守恒定律适用于以下情况：
(1)对于单一刚体：J、 均不变， 则匀速转动
(2) 对于系统: Ji、 均可以变化，但
角动量守恒
角动量守恒；
角动量守恒；
机械能不守恒 .
机械能不守恒 .
圆锥摆系统 动量不守恒； 角动量守恒； 机械能守恒 .
《大学物理C》
第三章 刚体定轴转动
注意：区分两类冲击摆
角动量守恒
(1)
O
l v0
m M
质点
质点 柔绳无切向力
➢水平方向： Fx = 0 ， px 守恒
mv0 = (m+M)v
➢ 对 O点：
解 碰撞前 M 落在
A点的速度
vM (2gh)1 2
碰撞后的瞬间, M、
N具有相同的线速度
N
u l
B
2
M
h
C
A
l/2 l
《大学物理C》
第三章 刚体定轴转动
角动量守恒
vM (2gh)1 2
u l
2
N
C
M h
A
B
l/2
l
解得
mvM
l 2
J
2mu
l 2
1 12
ml 2
1 2
ml 2
mvMl 2 ml 2 12 ml2
6m(2gh)1 2 2 (m 6m)l
演员 N 以 u 起 跳, 达到的高度
大学物理-第三章三大守恒定律
i
i
1 若质点系动量守恒，则动量在三个坐标轴上的分量都守恒。
2、在系统内质点间的碰撞，打击，爆炸过程中，内力很大，可 忽略重力、摩擦力等外力，可近似认为动量守恒。
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3、虽然有时系统总动量不守恒，但只要系统在某个方向受 的合外力为0，则系统在该方向动量守恒。
即 F x 当 F ix 0 时 p x ， m iv ix 常量
mv1
得 F (0 .3 )22 0 32 0 2 2 0 3c0o 3 s()0 14 (N )51
0 .01
根据正弦定理
sm i 2 nvsiF n t() 18 ,即力的 v 夹 方 角 1向 6 。 为 2
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例2-6质量为m=30kg的铁锤（彩电）从1m高处由静止下落，碰撞
Ixt1 t2F xd tpx2px1mx2 vmx1v Iyt1 t2F yd tpy2py1my2v my1v Izt1 t2F zd tpz2pz1mz2 vmz1v
4 . 对于碰撞、打等 击过 、程 爆， 炸物体互 之作 间用 的
称为冲力， 值其 大特 ， 点 变 t短是 化 ，峰 大 在， 某
b v2
d v
d(m v )
d p
t 2
Fm am
Fdtdp
dt dt
微分形式
dt
a
v1
I 定义 ：t1 t动2F 量 d ptp p 1 m 2d vp p 2 t 1 p 1 P 2m mv( 2v I2 t1t2v F1 d)t
（ M d)v M (d v ) d( v M d v u ) Mv
3-第3章 刚体力学基础
大学物理学（第5版）
二、定轴转动定律
把刚体看作一个质点系
Fi
f i Δ m i a i
ri Fi ri f i Δ m i ri a i
加速度： a i a i a in
§3-2力矩 刚体定轴转动的转动定律
Mi
z M iz
Fi
Fi //
ri
mi Fi
(ri Fi ) (ri fi ) Δmi ri ai Δmi ri ai Δmi ri ain
§3-2力矩 刚体定轴转动的转动定律
M外z Miz ( mi ri 2 ) ( mi ri 2 )
i
i
i
若令
J z (mi ri 2 )
i
M 外z J z
绕定轴转动的刚体的角加速度与作用于刚体上的合外力矩成正比，与刚体的转
动惯量成反比。
注意：
——刚体定轴转动中的转动定律
（1）M和J均对于同一转轴而言；
1
2
合外力矩对定轴转动刚体所做的功等于刚体转动动能的增量。 ——刚体定轴转动时的动能定理
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“十二五”普通高等教育本科国家级规划教材
大学物理学（第5版）
§3-3 刚体定轴转动的动能定理
四、机械能守恒定律
1、刚体的势能
EP mghc
m为刚体的总质量； hc为刚体质心的高度。
dm dx m dx O
r2 x2
l
dm x dx
l
x
J l x2 m dx 1 m x3 l
J 1 ml 2
J=
0
1 ml 2 3
l
1 12
3l
ml 2 m
0
l2 4
二、定轴转动定律
把刚体看作一个质点系
Fi
f i Δ m i a i
ri Fi ri f i Δ m i ri a i
加速度： a i a i a in
§3-2力矩 刚体定轴转动的转动定律
Mi
z M iz
Fi
Fi //
ri
mi Fi
(ri Fi ) (ri fi ) Δmi ri ai Δmi ri ai Δmi ri ain
§3-2力矩 刚体定轴转动的转动定律
M外z Miz ( mi ri 2 ) ( mi ri 2 )
i
i
i
若令
J z (mi ri 2 )
i
M 外z J z
绕定轴转动的刚体的角加速度与作用于刚体上的合外力矩成正比，与刚体的转
动惯量成反比。
注意：
——刚体定轴转动中的转动定律
（1）M和J均对于同一转轴而言；
1
2
合外力矩对定轴转动刚体所做的功等于刚体转动动能的增量。 ——刚体定轴转动时的动能定理
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“十二五”普通高等教育本科国家级规划教材
大学物理学（第5版）
§3-3 刚体定轴转动的动能定理
四、机械能守恒定律
1、刚体的势能
EP mghc
m为刚体的总质量； hc为刚体质心的高度。
dm dx m dx O
r2 x2
l
dm x dx
l
x
J l x2 m dx 1 m x3 l
J 1 ml 2
J=
0
1 ml 2 3
l
1 12
3l
ml 2 m
0
l2 4
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2.3.1 功 动 能 定 理
力的空间累积效应:
F
对
r
积累
2.3 能量守恒定律
W，动能定理.
一功
力对质点所作的功为力在质点位移方向的分量与
位移大小的乘积 . （功是标量，过程量）
dW
F
cos
dr
F cosds
dW F dr
dri
i
B
*
dr Fi
dr1*A1
F1
F
2.3.1 功 动 能 定 理
注意
内力可以改变质点系的动能
2.3.1 功 动 能 定 理
2.3 能量守恒定律
例：一质量为M的小车与地面光滑接触，初始 静止，一质量为m物体以初速度v0滑到小车上， 物体与小车间摩擦系数为，小车长为d，当 物体碰到小车前挡板时速度为v，此时小车移 动了距离为l。试问系统动量守恒吗？动能守 恒吗?
2.3.1
dr
2.3 能量守恒定律
F cos
W
B F dr
B
F cosdr
A
A
r
合力的功 = 分力的功的代数和
W
Fi
dr
Fi
o
dr
rA dr
Wi i
rB
F
Fxi
Fy
j
Fz k
dr dxi dyj dzk
W Fxdx Fydy Fzdz
W Wx Wy Wz
2.3.1 功 动 能 定 理
2.3 能量守恒定律
平均功率 瞬时功率
P A t
P lim
A
dA
F
v
t0 t dt
P Fvcos
P
dA
M
d
M
dt
dt
2.3.1 功 动 能 定 理
2.3 能量守恒定律
例：质量为m的物体放在水平桌面上，
物体和桌面的摩擦系数为 ，物体在
外力作用下沿半径为R圆由a运动到b，
F
2.3.1 功 动 能 定 理
动能（状态函数）
2.3 能量守恒定律
Ek
1 mv2 2
p2 2m
动能定理
合外力对质点所作的功, 等于质点动能的增量 .
A Ek2 E k1
注意
功和动能都与 参考系有关；动能定理
仅适用于惯性系 .
2.3.1 功 动 能 定 理
2.3 能量守恒定律
质点系统动能定理
2.3 能量守恒定律
例：质量为m的物体以一初速度v0切入一个 固定在光滑桌面上半径为R的半圆屏障，并
沿屏障运动，已知m与屏障之间的摩擦系数
为 ，试求质点沿屏障由a点运动到b点的
过程中摩擦力所作的功。
a
f a
m
m
v0
Nn
b
b
这是物体在变力作用下求功的例子
2.3.1 功 动 能 定 理
2.3 能量守恒定律
二 动能定理
B B
A A F dr A F dr cos Ftds
Ft
m
dv dt
A
B
m
dvds
v2 mvdv
A dt
v1
1 2
mv22
1 2
mv12
dri
B
i *
dr Fi
dr1*A1
F1
2.3.1 功 动 能 定 理
2.3 能量守恒定律
几点说明:
1、功是标量。 功没 有方向，但有正负 dW F dr
0 90, dW 0
90 180 , dW 0
90
F
dr
dW 0
２、功是个过程量
３、功是个相对量
2.3.1 功 动 能 定 理
2.3 能量守恒定律
３、一对作用力和反作用力的元功：
移动了半个圆周，求在这一过程中摩擦 力的功。
这是力的大小不变，物体沿曲线运 动的例子
2.3.1 功 动 能 定 理
2.3 能量守恒定律
例：设作用于质量m=2kg的物体上的力 F=6t(F的单位为N，t的单位为s），如 果物体由静止出发沿力的作用方向作直 线运动，求在头2s的时间内，这个力做 了多少功？
每一个质点都满足动能定理，则都有
A1
1 2
m1v12
1 2
m1v120
Ai
1 2
mi vi2
1 2
mi vi20
以上各式左
右分别相加
Ai
1 2
mi vi2
1 2
mi
vi20
2.3.1 功 动 能 定 理 质点系动能定理：
2.3 能量守恒定律
A A内 A外 Ek Ek0 E
质点系动能的增量等于作用在系统内各质点 的力（包括内力和外力）所做的功的代数和
dA f b d r ab
mB
mA fA
rAB rA
fB
rB o
2.3.1 功 动 能 定 理
2.3 能量守恒定律
力矩的功
dA F dr F (d r ) d (r F)
d M M d
A dA 0 M d
力矩所做的功就是产生力矩的力所做的功，只不 过是用角量表示而已。
力的空间累积效应:
F
对
r
积累
2.3 能量守恒定律
W，动能定理.
一功
力对质点所作的功为力在质点位移方向的分量与
位移大小的乘积 . （功是标量，过程量）
dW
F
cos
dr
F cosds
dW F dr
dri
i
B
*
dr Fi
dr1*A1
F1
F
2.3.1 功 动 能 定 理
注意
内力可以改变质点系的动能
2.3.1 功 动 能 定 理
2.3 能量守恒定律
例：一质量为M的小车与地面光滑接触，初始 静止，一质量为m物体以初速度v0滑到小车上， 物体与小车间摩擦系数为，小车长为d，当 物体碰到小车前挡板时速度为v，此时小车移 动了距离为l。试问系统动量守恒吗？动能守 恒吗?
2.3.1
dr
2.3 能量守恒定律
F cos
W
B F dr
B
F cosdr
A
A
r
合力的功 = 分力的功的代数和
W
Fi
dr
Fi
o
dr
rA dr
Wi i
rB
F
Fxi
Fy
j
Fz k
dr dxi dyj dzk
W Fxdx Fydy Fzdz
W Wx Wy Wz
2.3.1 功 动 能 定 理
2.3 能量守恒定律
平均功率 瞬时功率
P A t
P lim
A
dA
F
v
t0 t dt
P Fvcos
P
dA
M
d
M
dt
dt
2.3.1 功 动 能 定 理
2.3 能量守恒定律
例：质量为m的物体放在水平桌面上，
物体和桌面的摩擦系数为 ，物体在
外力作用下沿半径为R圆由a运动到b，
F
2.3.1 功 动 能 定 理
动能（状态函数）
2.3 能量守恒定律
Ek
1 mv2 2
p2 2m
动能定理
合外力对质点所作的功, 等于质点动能的增量 .
A Ek2 E k1
注意
功和动能都与 参考系有关；动能定理
仅适用于惯性系 .
2.3.1 功 动 能 定 理
2.3 能量守恒定律
质点系统动能定理
2.3 能量守恒定律
例：质量为m的物体以一初速度v0切入一个 固定在光滑桌面上半径为R的半圆屏障，并
沿屏障运动，已知m与屏障之间的摩擦系数
为 ，试求质点沿屏障由a点运动到b点的
过程中摩擦力所作的功。
a
f a
m
m
v0
Nn
b
b
这是物体在变力作用下求功的例子
2.3.1 功 动 能 定 理
2.3 能量守恒定律
二 动能定理
B B
A A F dr A F dr cos Ftds
Ft
m
dv dt
A
B
m
dvds
v2 mvdv
A dt
v1
1 2
mv22
1 2
mv12
dri
B
i *
dr Fi
dr1*A1
F1
2.3.1 功 动 能 定 理
2.3 能量守恒定律
几点说明:
1、功是标量。 功没 有方向，但有正负 dW F dr
0 90, dW 0
90 180 , dW 0
90
F
dr
dW 0
２、功是个过程量
３、功是个相对量
2.3.1 功 动 能 定 理
2.3 能量守恒定律
３、一对作用力和反作用力的元功：
移动了半个圆周，求在这一过程中摩擦 力的功。
这是力的大小不变，物体沿曲线运 动的例子
2.3.1 功 动 能 定 理
2.3 能量守恒定律
例：设作用于质量m=2kg的物体上的力 F=6t(F的单位为N，t的单位为s），如 果物体由静止出发沿力的作用方向作直 线运动，求在头2s的时间内，这个力做 了多少功？
每一个质点都满足动能定理，则都有
A1
1 2
m1v12
1 2
m1v120
Ai
1 2
mi vi2
1 2
mi vi20
以上各式左
右分别相加
Ai
1 2
mi vi2
1 2
mi
vi20
2.3.1 功 动 能 定 理 质点系动能定理：
2.3 能量守恒定律
A A内 A外 Ek Ek0 E
质点系动能的增量等于作用在系统内各质点 的力（包括内力和外力）所做的功的代数和
dA f b d r ab
mB
mA fA
rAB rA
fB
rB o
2.3.1 功 动 能 定 理
2.3 能量守恒定律
力矩的功
dA F dr F (d r ) d (r F)
d M M d
A dA 0 M d
力矩所做的功就是产生力矩的力所做的功，只不 过是用角量表示而已。