大学物理 动能定理
大学物理-动能定理
4. 势能曲线
Ep (h)
E
Eh
Ep
o
H H h
重力势能
Ep
E
o
Ek
Ep
3-4 动能定理
Ep (x)
AE
B
Ek
Ep
o
x
弹性势能
Ek 0
x
引力势能
26
势能曲线的作用：
3-4 动能定理
（1）根据势能曲线的形状可以讨论物体的运动。
（2）利用势能曲线，可以判断物体在各个位置 所受保守力的大小和方向。
力提供园周运动的向心力而不做功，摩擦力做负
功使滑块动能减少。
W
1 mv2 2
1 2
mv0
2
(1)
34
3-4 动能定理
v2 N m
(2)
R
N m dv
(3)
dt
将式(2)代入式(3)，整理变形为
v2 dv dv d v dv R dt dt d R d
分离变量并积分，得
做功，它们所做元功之和为
dA fij dri f ji drj
因
fij f ji
mi
drji
dri
rij
rij drij
所以
fij
dA fij (dri drj ) fij drij
f ji m j drj
讨论：内力做功的特点
14
成对力的功
对它所作的功为零．
非保守力：力所作的功与路径有关． （例如摩擦力）
23
3. 势能
3-4 动能定理
大学物理功-动能定理-保守力的功
解： 抛体在重力场中运动，
m g 是一恒量，
y
但m 的轨迹是一抛物线， 取一元位移d r
dr b
a
m g 与位移的夹角θ时时在变 在这一元段内写出元功
mg
x
dA Fdrmgdr
m gdscosmgdy
b
b
b
A
Fdr
a
Fcosds mg
a
a
dy
m g(ybya) 9
解：(1)建坐标系如图
l-a O
fμ m(lg x)/l l l μmg
A f afdra l (lx)dx μm(g lx)2l μm(g la)2
a x
2l
a 2l
注意：摩擦力作负功！ 21
(2)对链条应用动能定理：
l-x O
A＝ AP＋ Af 1 2m2v 1 2m0 2v
x
v0
0AP＋ Af
1m2v 2
x
A Pa lp d r a lm l x gd m x(l2 2 g l a 2 )
前已得出： Af
μm (gl a)2
2l
m(lg 2a2)μ m(lg a)21m2v
2l
2l
2
得 v
g l
1
(l2 a 2)μ (l a )22
13
3） A为合外力作功的代数和，不是合外力中某 一个力的功。动能定理中的速度必须相对同一 个惯性系。
4）通过作功，质点与外界进行能量交换。 如果 外力对物体做正功，质点动能增加； 如果 外力对物体做负功，质点的动能减少，
即物体克服外力作功，是以减少自身的动能为 代价。
所以，动能是物体因运动而具有的作功的本领。
大学物理2-6动能定理
ab Fτ
ds
ab maτ
ds
b
a
m
d d
v t
d
s
vb va
mv d v
1 2
m vb2
1 2
m va2
定义质点的动能为：Ek
1 mv2 2
动能定理
质点动能定理:合外力对质点所做的功等于质点 动能的增量。
Aab Ekb Eka Ek
几点注意： a.合力做正功时，质点动能增大；反之，质
点动能减小。
b.动能的量值与参考系有关。
c.动能定理只适用于惯性系。 d.功是一个过程量，而动能是一个状态量。
动能定理
(3)质点系动能定理
多个质点组成的质点系，既要考虑外力，又要 考虑质点间的相互作用力（内力）。
二质点组成的 系统
推 广
多个质点组成 的系统
两个质点在外力及内
力作F用1下如图所示F：2
m1
f1 2
下从a运动到b。
b
a
怎样计算这个力
的功呢？
采用微元分割法
动能定理
第1段近似功： A1 F1 r1
第2段近似功： A2 F2
r2
Δ
r3
Δ
r4
Δ r2
F4
Δ r1
F3
a
F2
F1
Δ ri
b Fi
第i 段近似功：
Δ Ai Fi • ri
总功近似：
Aab Δ Ai Fi • ri
i
i
F
N
F
300
(a)
100
fr
(b)
G
动能定理
解： 木箱所受的力为：拉力F ，方向与斜面成100 角向上；重力G ，方向竖直向下；斜面对木箱的支 持力N ，方向垂直于斜面向上，斜面对木箱的摩擦 力 fr 方向和斜面平行，与木箱运动方向相反， 如图 (b).已知l=3m,每个力所作的功可计算如下。
物理动能定理公式
物理动能定理公式物理动能定理是指物体的动能与其质量和速度之间的关系。
根据动能定理，当物体的速度发生变化时，其动能也会相应地发生变化。
这个定理由德国物理学家赫尔曼·冯·亥姆霍兹于19世纪中叶首次提出，并在之后的研究中得到了广泛应用。
动能定理可以用以下公式表示：动能(KE)=1/2×m×v^2其中，KE代表物体的动能，m代表物体的质量，v代表物体的速度。
根据这个公式，我们可以得出一些有趣的结论。
首先，当物体的质量m增加时，其动能也相应地增加。
这是因为质量是物体的一个重要属性，而动能正比于质量。
例如，两个速度相同的汽车碰撞，其中一个汽车质量更大，它的动能也更大，从而对碰撞的影响也更大。
其次，当物体的速度v增加时，其动能会呈平方倍增长。
这意味着速度的增加对动能的影响要比质量的增加更显著。
这个结论在能量守恒定律中也有体现，即一个静止的物体获得速度后，其动能增加的数量比质量增加的数量要大得多。
动能定理的应用非常广泛。
在力学中，我们经常会用到这个公式来计算物体的动能。
例如，当一个物体受到外力作用而加速时，我们可以通过测量物体的质量和速度来计算其动能增量。
同样地，当一个物体的速度减小时，我们也可以通过动能定理来计算其动能减少的数量。
动能定理还可以帮助我们理解机械能守恒定律。
根据机械能守恒定律，在物体没有受到非保守力（如摩擦力或空气阻力）的情况下，机械能（动能和势能的总和）保持不变。
因此，我们可以利用动能定理来分析物体在不同位置或状态之间的能量转化。
最后，动能定理的应用还可以扩展到其他领域。
例如，可以应用于工程领域中的物体运动学问题，或者应用于天体物理学领域中的天体运动问题。
通过使用动能定理，我们可以更好地理解并预测物体的行为。
总之，动能定理是一个非常重要的物理原理，它描述了物体动能与质量和速度之间的关系。
通过这个定理，我们可以更深入地理解物体的运动规律，推导出与速度和质量相关的结论。
大学物理第二章动能定理
例题3. 如图，一轻绳跨过一定滑轮，两边分别拴有质量
为m及M的物体，M离地面的高度为h: (1)若滑轮质量及
摩擦力不计，m与桌面的摩擦也不计，开始时两物体均静
止，求M落到地面时的速度(m始终在桌面上); (2)若m与
桌面的静摩擦系数和滑动摩擦系数均为，结果又如何？
解：
m
(1)不计摩擦,系统(m,M,地球)机械能守恒:
v
m
0 M f c
f
s
s
Wf Wf 0
N
v c
N
WN WN 0
质点系动能定理：
质点系的动能的增量等于作用于质点系的一切外力与
内力做功之和.
W ex
W in
n i1
1 2
mi vi2
n i1
1 2
mi vi20
2.2.1 质点系动量定理
作用于质点系的合外力的冲量等于质点系动量的增量.
t2
系统内所有质点对同一参考点角动量的矢量和称为
质点系的角动量.
L Li ri pi ri mivi
i
i
i
dL dt
d dt
Li
i
Mi外
i
Mi内
i
0
M外
M 外
dL dt
积分得：
t2 t1
M外dt
L2
L1
注意：只有外力矩对质点系的角动量变化有贡献，
内力矩对质点系的角动量变化没有贡献.
W
F dr
l
F dr
acb
F dr
bda
0
a
c
F dr F dr F dr
acb
adb
bda
d
动能定理角动量定理
注意 1)守恒条件： M 0
能否为 Mdt 0 ?
2)与动量守恒定律对比：
当
F 0
时，
当
M
0
时，
p
恒矢量
L 恒矢量
彼此独立
《大学物理C》
第三章 刚体定轴转动
角动量守恒定律适用于以下情况：
(1)对于单一刚体：J、 均不变， 则匀速转动
(2) 对于系统: Ji、 均可以变化，但
角动量守恒
角动量守恒；
角动量守恒；
机械能不守恒 .
机械能不守恒 .
圆锥摆系统 动量不守恒； 角动量守恒； 机械能守恒 .
《大学物理C》
第三章 刚体定轴转动
注意：区分两类冲击摆
角动量守恒
(1)
O
l v0
m M
质点
质点 柔绳无切向力
➢水平方向： Fx = 0 ， px 守恒
mv0 = (m+M)v
➢ 对 O点：
解 碰撞前 M 落在
A点的速度
vM (2gh)1 2
碰撞后的瞬间, M、
N具有相同的线速度
N
u l
B
2
M
h
C
A
l/2 l
《大学物理C》
第三章 刚体定轴转动
角动量守恒
vM (2gh)1 2
u l
2
N
C
M h
A
B
l/2
l
解得
mvM
l 2
J
2mu
l 2
1 12
ml 2
1 2
ml 2
mvMl 2 ml 2 12 ml2
6m(2gh)1 2 2 (m 6m)l
演员 N 以 u 起 跳, 达到的高度
动能定理基础知识点
动能定理基础知识点动能定理是物理学中的基本定理之一，它描述了物体的动能与外力所做的功之间的关系。
在本文中，我将介绍动能定理的基本概念和公式，并解释其在物理学中的应用。
一、动能定理的概念动能定理是指当物体受到外力作用时，物体的动能的增量等于外力对物体所做的功。
换句话说，如果一个物体的动能从初态到末态发生变化，那么这个变化值等于外力所做的功。
动能定理的思想基于牛顿第二定律：物体的加速度与外力成正比，加速度越大，物体的动能增加得越快。
通过动能定理，我们可以通过物体动能的变化来推断外力所做的功的大小。
二、动能定理的公式动能定理可以表述为以下公式：ΔK = W其中：ΔK表示物体动能的变化量，单位为焦耳(J)；W表示外力所做的功，单位也为焦耳(J)。
根据动能定理，如果一个物体的动能发生了变化，那么这个变化值等于外力所做的功。
三、动能定理的应用1. 碰撞与能量转化：在物体之间的碰撞中，根据动能定理可以推断出物体在碰撞过程中的动能转化情况。
例如，在弹性碰撞中，当两个物体碰撞之后，它们的动能是互相转化的，总的动能保持不变。
2. 机械能守恒定律：在只受重力做功的系统中，根据动能定理可以推导出机械能守恒定律。
机械能守恒定律指的是，在只受重力做功的系统中，物体的总机械能（动能和势能之和）保持不变。
3. 动能定理与力学工作：根据动能定理，我们可以计算外力所做的功。
功是物体在力的作用下沿着力的方向移动时所吸收或放出的能量。
功可以用来计算一些力学工作，比如推车沿着平面移动、抬起重物等。
4. 动能定理在运动学中的应用：动能定理也经常应用在运动学分析中，特别是在研究物体在一段时间内的加速度变化时。
根据动能定理，我们可以通过物体动能的变化来推断物体的加速度变化情况。
总结：动能定理是解决物体动能变化以及外力所做功的基本定理之一。
它提供了物体动能与外力作用之间的定量关系，并在物理学的不同领域中有着广泛的应用。
通过动能定理，我们可以深入理解物体在受力作用下的运动情况，分析碰撞、能量转化以及力学工作等问题。
13 大学物理动能定理
1J 1N 1m
2
, W 0;
2
, W 0;
2
, W 0.
力的功是代数量。
2
( F Fx i Fy j Fz k , dr dxi dyj dzk )
二．变力的功 元功： W F cos ds W Ft ds, W F dr ,
α1
mg D FD F'Ax A F
α2
B vB
mg E
(b)
Cv ωBD
α2
ωAB
D v D F' D
25
FAy
(a)
F'Ay
例题
动能定理
例 题 3
ωAB = ωBD
但两者的转向相反。另外，当2=20 º 时，有 DCv = 2l sin 20 º 由余弦定理可求得Cv E ，从而得杆BD质心C的速度
Fx 0, Fy 0, Fz mg
W12 mgdz mg ( z1 z 2 )
z1
z2
质点系： W12
W m g(z
i i
i1
zi 2 ) Mg( zC1 zC 2 )
质点系重力的功，等于质点系的重量与其在始末位置重
心的高度差的乘积，而与各质点的路径无关。 W12=Mgh 重心下降，W120 重心上升，W120
0 0
F
力F 所作的功为
x 1 W Fx M C Fx 2r 2
O x
15
力F 所作的功是否还有其它方法可算？
§13 -2
动能
物体的动能是由于物体运动而具有的能量，是机械运动强弱 的又一种度量。
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W
F dx F dy F d z
x y z
W Wx Wy Wz
平面自然坐标系
dW F dr ( Fe t t F nen ) dset Fds t
W Ft ds
第三章 动量守恒定律和能量守恒定律
一
功
动能定理
物理学教程 （第二版）
关于功的说明
W b v d t
2
o
v0
由动力学方程可得
v v0 e
bt 2 m
bt m
W
1 2 2mb t W mv0 (e 1) 2
第三章 动量守恒定律和能量守恒定律
2 t bv0 0 e
dt
x
一
功
动能定理
物理学教程 （第二版）
(二) 质点的动能定理
dv Ft m dt v2 v2 dv 1 1 2 2 W m ds mvdv mv2 mv1 v1 v1 dt 2 2 2 1 p 动能（状态函数） Ek mv 2 2 2m 动能定理
势能是属于系统的 .
势能计算 若令
W ( Ep Ep0 ) Ep
Ep0 ( x0 , y0 , z0 ) 0
Ep ( x, y, z)
第三章 动量守恒定律和能量守恒定律
( x0 , y0 , z0 )
( x, y , z )
Fc dr
二 保守力与非保守力 势能
变力的功
dW F cos dr F cos ds
dri
dr
*
i
B
*
dW F dr 0 90 , dW 0 90 180 , dW 0 90 F dr dW 0
B A A
1 F dr1
二 保守力与非保守力 势能 (三) 势能 势能 势能曲线
物理学教程 （第二版）
与物体间相互作用及相对位置有关的能量 .
重力功
重力势能
W (mgyB mgyA )
引力功
Ep mgy
引力势能
m' m Ep G r 弹力功 弹性势能 1 2 1 2 1 2 Ep kx W ( kx B kx A ) 2 2 2
程中所作的功为： （A）
( A) 67 J , ( C ) 17 J ,
( B) 91J , ( D) 67 J
分析： W F r
67 J
(4i 5 j 6k ) (3i 5 j 9k )
第三章 动量守恒定律和能量守恒定律
一
0
d
W mgl sin d
0
第三章 动量守恒定律和能量守恒定律
mgl(cos cos 0 )
F T v ds P
l
一
功
动能定理
物理学教程 （第二版）
l 1.0m 10 W mgl(cos cos0 )
m 1.0kg 0 30
弹力功
W (mgy B mgy A) 1 2 1 2 W ( kxB kxA ) 2 2
A
D
C
ACB
F dr
ADB
F dr
B
第三章 动量守恒定律和能量守恒定律
二 保守力与非保守力 势能
物理学教程 （第二版）
l
ACB
F dr
功是标量，力、位移是矢量 功的大小与参考系的选择有关 合力所作的功等于各分力沿同一路径 所作功的代数和
W Fi dr Fi dr Wi
i
第三章 动量守恒定律和能量守恒定律
一
功
动能定理
物理学教程 （第二版）
例 一个质点在恒力 F 3i 5 j 9k ( N) 作用下 的位移为， r 4i 5 j 6k (m) 则这个力在该位移过
功
动能定理
物理学教程 （第二版）
例1 质量为 2kg 的物体由静止出发沿直线运动, 作 用在物体上的力为 F = 6 t (N) . 试求在头 2 秒内, 此力 对物体做的功.
解:
ax Fx m 3t
vx
0
dv 3tdt
0
t
dv a dt
vx 1.5t
2
2
2
dx vxdt 1.5t dt
二 保守力与非保守力 势能 例 对功的概念有以下儿种说法: (1)保守力作正功时,系统内相应的势能增加.
物理学教程 （第二版）
(2)质点运动经一闭合路径，保守力对质点作的功为零. (3)作用力和反作用力大小相等、方向相反,两者所作 功的代数和必为零. (A)(1)、(2)是正确的 (C)只有(2)是正确的
W F dr Ft dr Ft ds
合外力对质点所作的功, 等于质点动能的增量 .
W Ek2 E k1
第三章 动量守恒定律和能量守恒定律
一
功
动能定理
物理学教程 （第二版）
(三) 质点系的动能定理 对第 i 个质点，有
Wi Wi Eki Eki 0
物理学教程 （第二版）
势能曲线:由势能函数确定的势能随坐标变化的曲线.
Ep mgy
Ep
1 2 Ep kx 2
m' m E p G r
Ep
O
Ep
x
O
y
O
x
弹性势能曲线 引力势能曲线
重力势能曲线
y 0, Ep 0
x 0, Ep 0
r , Ep 0
第三章 动量守恒定律和能量守恒定律
一
功
动能定理
物理学教程 （第二版）
（2）考虑到保险箱初始速率为零，由动能定理有
1 2 W mv 0 2
式中v即为两人对物体做功后物体的速率，即
v 2W 2 306.88 1.65m s 1 m 225
第三章 动量守恒定律和能量守恒定律
二 保守力与非保守力 势能
物理学教程 （第二版）
一
功
动能定理
物理学教程 （第二版）
力的空间累积效应
W, E
，动能定理等.
(一 ) 功
力对质点所作的功为力在质点位移方向的分量与 位移大小的乘积 . （功是标量，过程量） 恒力的功
W F cos r
W F r
第三章 动量守恒定律和能量守恒定律
F
F M
一
功
动能定理
物理学教程 （第二版）
W kx dx 0
1 2 1 2 W ( kxB kxA ) 2 2
第三章 动量守恒定律和能量守恒定律
二 保守力与非保守力 势能 (二) 保守力和非保守力
物理学教程 （第二版）
保守力: 力所作的功与路径无关，仅决定于相 互作用质点的始末相对位置 . 引力功 重力功
m' m m' m W (G ) (G ) rB rA
W1 F1d cos 1 24.0 8.50 cos 300 J 176.66 J W2 F2 d cos 2 20.0 8.50 cos 400 J 130.22 J
则两人做的总功为
W W1 W2 306.88 J
F1
400
300
F2
第三章 动量守恒定律和能量守恒定律
A F1
F cos
s ds
o sA
ds
sB
s
第三章 动量守恒定律和能量守恒定律
一
功
动能定理
物理学教程 （第二版）
直角坐标系
F Fxi Fy j Fz k dr dxi dyj dzk
（ C）
(B)(2)、(3)是正确的 (D)只有(3)是正确的
分析： （1）错.(保守力作正功时,系统相应的势能减少). （ 3 ）错 .( 作用力和反作用力虽然大小相等、方 向相反,但两者所作功的代数和不一定为零；而等于 力与两者相对位移的乘积.)
保守力的功
m' m m' m W (G ) (G ) rB rA
W ( Ep2 Ep1 ) EP
第三章 动量守恒定律和能量守恒定律
二 保守力与非保守力 势能
物理学教程 （第二版）
讨论
势能是状态函数
Ep Ep ( x, y, z )
势能具有相对性，势能大小与势能零点的选取有关 .
B m' m m A W F dr G 2 er dr A r (t) dr r m' er dr er dr cos dr r (t dt )
m' m W G 2 dr rA r
rB
O
m' m m' m W (G ) (G ) rB rA
第三章 动量守恒定律和能量守恒定律
r (t )
B
dr
dr r (t dt )
二 保守力与非保守力 势能 2 ） 重力作功
物理学教程 （第二版）
P m g j dr dxi dyj
W
B A
y
yA
A
D
dr
C
B
yB P dr mgdy
W Fdx 9t dt 36.0 J
3 0
第三章 动量守恒定律和能量守恒定律