大学物理静电场(高斯定理)
关于静电场的高斯定理和静电场的环路定理
关于静电场的高斯定理和静电场的环路定理静电场的高斯定理和静电场的环路定理是库仑定律的推论，所以称之为定理。
由于库仑定律是静电场的基本规律，适用于静电场，所以库仑定律的推论也适用于静电场。
电场有许多种：静电场（由静止电荷激发）、恒定电场（由运动然而空间分布不随时间改变的电荷体系激发的电场）、位电场（可以在其中建立电位函数的电场，位电场的电场强度等于电位的负梯度，分为恒定的与时变的，静电场和恒定电场就属于恒定的位电场）、涡旋电场。
静电场的高斯定理的文字表述是：静电场中，电场强度穿出闭合曲面的通量等于该闭合曲面所包围的总电量除以真空电容率。
静电场的高斯定理的数学表述式是：in 0d i S qE S ε⋅=∑⎰ 。
英国著名物理学家麦克斯韦首先假设静电场的高斯定理的数学表示式in 0d i S q E S ε⋅=∑⎰ 适用于一切电场，也就是说，实际的电场强度（即总电场强度）穿出闭合曲面的通量等于闭合曲面内的总电量除以真空电容率。
这个假设后来被实验证实了。
正因为这个原因，数学表示式in 0d i S qE S ε⋅=∑⎰ 也叫做高斯定律。
由于德国数学家高斯根据库仑定律推出的这个静电场规律的数学表示式是普遍适用的，这让高斯在电磁学中享有很高的声誉。
in 0d i S q E S ε⋅=∑⎰ 有好几个称谓：高斯定理、高斯通量定理、电场的高斯定理、电场的高斯通量定理、高斯定律、高斯通量定律、电场的高斯定律、电场的高斯通量定律。
对于静电场，这个规律叫做静电场的高斯定理，或者静电场的高斯通量定理。
高斯在数学方面有一项重要成就，叫做高斯公式（也可以叫做高斯通量公式或者高斯散度公式）。
高斯公式的数学表示式是d d S Vf S f V ⋅=∇⋅⎰⎰ 。
其含义是：矢量场穿出闭合曲面的通量等于矢量场的散度在闭合曲面所包围的空间区域内的体积分。
高斯定理是电（磁）学规律，高斯公式是纯粹数学规律，两者截然不同。
但是把两者结合起来，就可以推出0E ρε∇⋅= 。
大学物理常用公式(电场磁场 热力学)
第四章 电 场一、常见带电体的场强、电势分布2）均匀带电球面（球面半径 ）的电场：3）无限长均匀带电直线（电荷线密度为）: E = ，方向：垂直于带电直线。
2r( rR ) 4）无限长均匀带电圆柱面（电荷线密度为）:E =2r (rR )5）无限大均匀带电平面（电荷面密度为）的电场: E =/20 ，方向：垂直于平面。
二、静电场定理 1、高斯定理：e = ÑE v dS v = q 静电场是有源场。
Sq 指高斯面内所包含电量的代数和；E 指高斯面上各处的电场强度，由高斯面内外的全 部电荷产生； Ñ E vdS v 指通过高斯面的电通量，由高斯面内的电荷决定。
2、环路定理： Ñ E v dl v =0 静电场是保守场、电场力是保守力，可引入电势能三、求场强两种方法1、利用场强势叠加原理求场强 分离电荷系统： E v = E v i ；连续电荷系统： E v = dE v i =12、利用高斯定理求场强 四、求电势的两种方法n1、利用电势叠加原理求电势 分离电荷系统：U =U i ；连续电荷系统： U = dU i =1电势零点v v 2、利用电势的定义求电势 U =电势零点Edl五、应用vv b点电荷受力： F = qE电势差： U ab =U a -U b = b EdraE =1 qU =q4r 24r1）点电荷：E =0 (rR ) q2 (rR ) 4r 2U =q (r R ) 4r q (r R ) 4Ra 点电势能：W a = qU a由 a 到 b 电场力做功等于电势能增量的负值 A ab = -W = -（W b -W a ）六、导体周围的电场1、静电平衡的充要条件： 1）、导体内的合场强为 0，导体是一个等势体。
2）、导体表面的场强处处垂直于导体表面。
E v ⊥表面。
导体表面是等势面。
2、静电平衡时导体上电荷分布： 1）实心导体： 净电荷都分布在导体外表面上。
大学物理电场高斯定理
(2) 库仑力满足牛顿第三定律；
F12
1 4πε0
q1q2 r2
rˆ21
(3) F电 F万 e.g. 两个粒子
m 6.64 1027 kg q 3.2 1019 C
F电 F万
kq2 / r 2 Gm2 / r 2
9 109 （3.2 1019 )2 6.67 1011 (6.64 1027 )2
E
2p
4πε0r3
例10.2 均匀带电细直棒，与棒垂直距离为 a 的P点的
场强。已知电荷线密度为，棒两端到P点的连线与X
轴的夹角分别为1和 2
dE dE
y
Y
dE x P
ar 1
解场：强建为立：坐解 标轴： d如E图, x41x+0ddrx2电qe荷r1元dλx产d生x的
2
dE xdE coθs4π0εr2 coθs
②改为均匀带电的半圆环，线电荷密度
为0，结果？
Y
O
X
[例] 均匀带电(Q)直线段延长线上一点的场强．
L O x x+dx
a X
p
解：建立坐标轴如图
xx+dx电荷元在P点产生的场强：
dE
dq
4 0r2
i
QL dx
40(Lax)2
i
P点的总场强：
E dE i4Q 0L0 L(Ld ax x)2
q2
q1
r2 q0 r1
F1
F2
10.2 静电场 电场强度
早期：电磁理论是超距作用理论 电荷
电荷
后来: 法拉第提出近距作用，并提出力线和场的概念
电荷 电场 电荷
一、电场 (electric field)
大学物理 第七章 高斯定理
。 解：电荷及场分布：柱对称性，场方向沿径向。
高斯面：与带电圆柱同轴的圆柱形
R
闭 合面,高为l,半径为r
sE dS 侧面 E dS E 2 rl
qin
0
由高斯定理知 E qin
2 0lr
r
l
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（1）当r<R 时，高斯面内电荷量为：
半径R,电荷量为q
高斯面
E
问题关键：高斯面的选取
+ +P+
+
+q
+
A:球壳内任意一点P的场强如何求？
+ +
+ +
e E dS
0
+
+
+++ +
S
径向
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e EdS EdS
S
s
E dS E 4 r2 0 S
E 0 (r R)
高斯面
E
+ +P+
+
+q
+
+
+
+ +
qin
q
4 R3
4r3
3
q
r
3
R
3
e EdS EdS E dS
S
S
S
E 4 r2 qin
0
E
高斯面
P+
+ +r +
+
E
qr
4 0 R 3
(r R)
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大学物理_高斯定理
②穿过该高斯面的电通量容易计算。
一般地，高斯面各面元的法线矢量n与E平行或垂直， n与E平行时，E的大小要求处处相等，使得E能提到 积分号外面；
3.计算电通量和高斯面内所包围的电荷的代数和， 最后由高斯定理求出场强。
高斯定理的应用
高斯定理的应用举例
条件： 电荷分布具有较高的空间对称性 1. 均匀带电球面的电场 2. 均匀带电球体的电场 3. 均匀带电无限大平面的电场 4.均匀带电无限长直线的电场 5. 均匀带电无限长圆柱面的电场 6. 均匀带电球体空腔部分的电场
轴对称分布：包 括无限长均匀带 电的直线，圆柱 面，圆柱壳等；
无限大平面电荷： 包括无限大的均 匀带电平面，平 板等。
步骤：
1.进行对称性分析，即由电荷分布的对称性，分 析场强分布的对称性，判断能否用高斯定理来求 电场强度的分布（常见的对称性有球对称性、轴 对称性、面对称性等）； 2.根据场强分布的特点，作适当的高斯面，要求：
•当闭合曲面上各点 E =时0，通过闭合曲面的电通量 反之e , 0
不一定成立. •高斯定理中所说的闭合曲面，通常称为高斯面。
电通量计算
四、高斯定律应用举例
当场强分布具有某种特殊的对称性时，应用高斯定 理能比较方便求出场强。求解的关键是选取适当的 高斯面。常见的具有对称性分布的源电荷有：
球对称分布：包括 均匀带电的球面， 球体和多层同心球 壳等
强分布
S
解：以带电直导线为轴，作一个通过P
点，高为h的圆筒形封闭面为高斯面 S。
eSEdS
h
O
E
rp
侧 面 E d S 上 E d S 下 E d S
其中上、下底面的电场强度方向与面平行，
大学物理常用公式(电场磁场-热力学)
第四章 电 场一、常见带电体的场强、电势分布 1）点电荷：2014q E r πε=04q U rπε=2）均匀带电球面（球面半径R ）的电场：200()()4r R E qr R r πε≤⎧⎪=⎨>⎪⎩00()4()4qr R r U q r R R πεπε⎧>⎪⎪=⎨⎪≤⎪⎩3）无限长均匀带电直线（电荷线密度为λ）:02E rλπε=，方向：垂直于带电直线。
4）无限长均匀带电圆柱面（电荷线密度为λ）: 00()()2r R E r R rλπε≤⎧⎪=⎨>⎪⎩5）无限大均匀带电平面（电荷面密度为σ）的电场:0/2E σε=，方向：垂直于平面。
二、静电场定理 1、高斯定理：0e Sq E dS φε=⋅=∑⎰静电场是有源场。
q ∑指高斯面内所包含电量的代数和；E指高斯面上各处的电场强度，由高斯面内外的全部电荷产生；SE dS ⋅⎰指通过高斯面的电通量，由高斯面内的电荷决定。
2、环路定理：0lE dl⋅=⎰ 静电场是保守场、电场力是保守力，可引入电势能三、求场强两种方法1、利用场强势叠加原理求场强 分离电荷系统：1ni i E E ==∑；连续电荷系统：E dE =⎰2、利用高斯定理求场强 四、求电势的两种方法1、利用电势叠加原理求电势 分离电荷系统：1nii U U==∑；连续电荷系统： U dU =⎰2、利用电势的定义求电势 rU E dl =⋅⎰电势零点五、应用点电荷受力：F qE = 电势差： bab a b aU U U E dr =-=⋅⎰a由a 到b六、导体周围的电场1、静电平衡的充要条件： 1）、导体内的合场强为0，导体是一个等势体。
2）、导体表面的场强处处垂直于导体表面。
E ⊥表表面。
导体表面是等势面。
2、静电平衡时导体上电荷分布： 1）实心导体： 净电荷都分布在导体外表面上。
2）导体腔内无电荷： 电荷都分布在导体外表面，空腔内表面无电荷。
3）导体腔内有电荷+q ，导体电量为Q ：静电平衡时，腔内表面有感应电荷-q ，外表面有电荷Q ＋q 。
大学物理 静电场总结
5. 电势定义:
a
Wpa q0
ur r E dl
a
静电场力作的功与电势差、电势能之间的关系：
b ur r
Aab qE dl q(a b ) (Wpb Wpa ) a
6. 电势分布的典型结论
1) 点电荷: q 4 0r
2) 均匀带电圆环轴线上:
4 0
q R2 x2
3) 均匀带电球面的电势分布:
1)平行板电容器 C 0S
d
2) 电容器的串并联:
串联 1 1 1 1
C C1 C2
Cn
并联 C C1 C2 Cn
4. 电场能量
电容器的静电能: W Q2
2C
电场能量密度:
w
1 2
0E2
各向同性的电介质：
电介质 电位移
D ε0E P
D ε0εr E εE
Gauss定理
2. 静电平衡时导体上的电荷分布 1) 实心导体: 电荷只分布在表面，导体内部没有净电荷.
2) 空腔导体: • 腔内无电荷 电荷分布在外表面,内表面无电荷. •：腔内有电荷: 腔体内表面所带的电量和腔内带电体所带 的电量等量异号。 • 接地空腔导体 外表面不带电, 静电屏蔽 :
3. 电容 C Q
q
4
q
0R
L L rR L L rR
40r
4) 无限长均匀带电直线: ln rB 20 r
(B 0)
7. 电势的计算 叠加法 定义法
第6章 静电场中的导体与电介质
1. 导体的静电平衡条件：
电场描述: ⑴ 导体内部任意一点的场强为零。 ⑵ 导体表面处的场强方向与该处表面垂直.
电势描述: 导体是一等势体,表面是一等势面.
大学物理静电场的高斯定理
n
过P点作高斯面
eSE dS
P
侧 E d S 上 E 底 d S 下 E 底 d S
侧 E d S E 侧 d S E 2 r l
根据高斯定理得
r
l n E n
E2rl 1l 0
E 2 0 r
例题2 已知“无限大”均匀带电平面上电荷面密度为
求 电场强度分布
解 电场强度分布具有面对称性
§4.2 静电场的高斯定理
一、电通量
电场线：形象描写电场强度的假想曲线
规定: 起始于正电荷（或无穷远处），终止于负电荷（或无穷远处）
电场线上的任一点的切线方向为该点电场强度的方向；
通点过E电的场大中小某，点即，垂E直于dEN的单位面积的电场线等于该 dS
ds
E
电场线
电场线的特点:
• 起始于正电荷，终止于负电荷（或
(3) 通过闭合曲面的电通量
e de S E d S
穿出、穿入闭合面电力线条数之差
dS2 E
二、静电场的高斯定理
高斯定理的推导
1.点电荷q处在任一球面的球心，则通过此球面的电通量为
eE ds 4 q 0R 2d sq 0
q
则穿过球面的电力线条数为 0
ds
2.由于电力线在空间不能中断，当以
q1 q2 q3
高斯定理
e SE dS10q内
(不连续分布的源电荷)
Φe SE dSV10dV
(连续分布的源电荷)
E
是高斯面内外所有电荷产生的;
e
只与内部电荷有关。
真空中的任何静电场中，穿过任一闭合曲面的电通量，
等于该曲面所包围的电荷电量的代数和乘以
1 0
讨论 静电场的高斯定理适用于一切对称分布的静电场；反映电场 是有源场；
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Eds
例3 金属导体静电平衡时,体内场强处处为0
求证: 体内处处不带电
证明：
在导体内任取体积元 dV
E dS 0 由高斯定理
S
qi dV 0
i
V
体积元任取
0
证毕
d
1
立体角 d
也对应面元dS2
两d面元E处1 对ds1应的E2点 d电s2荷的4电q0r场12 ^强r1 度ds1分 别4为q0r22Er^21， dsE2 2
qds1 cos1 qds2 cos2 0
4 0r12
4 0r22
d1 d2 0
SE ds 0
此种情况下 仍得证 3) 源和面均 任意
4.微分形式
1
E
0
四. 高斯定理在解场方面的应用
对 Q 的分布具有某种对称性的情况下 利用高斯定理解 E 较为方便
常见的电量分布的对称性：
球对称
均
匀 带
球体
电 球面
的 (点电荷)
柱对称 无限长 柱体 柱面 带电线
面对称 无限大 平板 平面
例1 均匀带电球面 总电量为 Q 半径为 R 求：电场强度分布
r
dS
qds cos 4 0r 2
q d
4 0
E dS
q d q
d q
S
S 4 0
4 0 S
0
在所设的情况下得证
E ds
i
q内i
S
0
2)源电荷仍是点电荷
取一闭合面不包围点电荷(如图示)
在闭合面上任取面元 dS1
q
dS
r2
2
S
r1 r^1
E2
E1
dS1
该面元对点电荷张的
r0
球面面元 ds1
定义式
d
dS1 r12
dS0 r02
dS
d r 2 cos
单位 球面度
计算闭合平面曲线对曲线内一点所张的平面角
d dl cos dl0 2 弧度
l
lr
r l0 0
平面
r0 r
l0
l
计算闭合曲面对面内一点所张的立体角
d
S
S
dS0 r02
4
球面度
2.高斯定理的证明 库仑定律 + 叠加原理
S
dS
qi
E
i
4 0r 2
过场点的高斯面内电量代数和?
r<R qi 0
i
r>R qi Q
i
r< R E 0
r>R
Q
E 40r 2
如何理解面内场强为0 ?
P
过P点作圆锥
dq1
则在球面上截出两电荷元
dq1 dS1 dq2 dS2
dq1 在P点场强
dE1
dS1 4 0 r12
d
§3 高斯定理
一.电力线
用一族空间曲线形象描述场强分布
通常把这些曲线称为电场线(electric field line)或电力线 (electric line of force)
1.规定
方向：力线上每一点的切线方向；
大小：在电场中任一点，取一垂直于该点场强 方向的面积元，使通过单位面积的电力线数目， 等于该点场强的量值。
q
dS
r2
2
S
r1
r^1
E2
E1
dS1
d
1
qi
E ds i
S
0
根据叠加原理可得
E dS Ei dS
S
Si
qi
i
0
讨论
1.闭合面内、外电荷的贡献
对 E 都有贡献
对电通量 E dS 的贡献有差别
只有闭合面S 内的电量对电通量有贡献
2.静电场性质的基本方程 有源场
3.源于库仑定律 高于库仑定律
解: 根据电荷分布的对称性， 选取合适的高斯面(闭合面)
Q
Ro
r
P E
S
dS
取过场点的 以球心 o 为心的球面 先从高斯定理等式的左方入手
先计算高斯面的电通量
E dS
EdS E dS E4 r 2
S
S
S
E dS E4 r 2
S
再根据高斯定理解方程
qi
E4r i 0
Q
Ro
r
P E
之所以具有这些基本性质， 由静电场的基本性质和场的单值性决定的。 可用静电场的基本性质方程加以证明。
dS 匀强电场
二.电通量 (electric flux)
E
藉助电力线认识电通量 通过任一面的电力线条数
dS
dsE
通过任意面积元的电通量 d E dS
通过任意曲面的电通量怎么计算？
把曲面分成许多个面积元
思路：先证明点电荷的场
然后推广至一般电荷分布的场
1) 源电荷是点电荷
在该场中取一包围点电荷的闭合面(如图示)
在闭合面S上任取面元
ds
q
E
该面元对点电荷所张
的立体角 d
S d
dS
点电荷在面元处的场强为 E
点电荷在面元处的场强为
E
q
4 0r 2
r^
qr S d
Hale Waihona Puke r^EdS
d
E dS
q
4 0r 2
dlr1 0dl0
dl
当然 也
dl0 r0
r 射线长为
r1
d
dl1
一般的定义：线段元dl 对某点所张的平面角
d
dl0
dl
cos
rr
单位：弧度
r 平面角
d
dl0
dl
cos
rr
立体角
d
面元dS 对某点所张的立体角：
r1 drlr1 0dl0
dl
dS
锥体的“顶角”
d
dS1 dS0
对比平面角，取半径为 r1 r1
每一面元处视为匀强电场
d E dS
S
S
E dS
S
讨论
正与负
E dS
d E dS 取决于面元的法
S
线方向的选取
如前图 知 E
若如红箭头所示
ds >0
则E
ds
<0
通过闭合面的电通量
S
SE dS
规定：面元方向
由闭合面内指向面外
E dS 确定的值 S
E
ds
<0
4 0
dq2
在P点场强
dE2
dS2 4 0 r22
d
4 0
dE1 dE2
dq2
方向 如图 方向 如图
例2 均匀带电的无限长的直线 线密度
对称性的分析
取合适的高斯
面 计E 算ds电 通量 E
ds
E ds
S
侧面
两底面
r P
dE
E2rl
利用高斯定理解出E
E2rl l 0
E
2 0r
ds r
d
E dS
d Eds
若面积元不垂直电场强度，
匀强电场 E
ds
E
dS dS
电场强度与电力线条数、面积元的
关系怎样？
由图 可知 通过 ds和 ds 电力线条数相同
ds dsn^
d Eds Edscos
d E dS
2.电力线的性质 1)电力线起始于正电荷(或无穷远处)， 终止于负电荷，不会在没有电荷处中断； 2)两条电场线不会相交； 3)电力线不会形成闭合曲线。
电力线穿入
E
E ds>0
电力线穿出
dS
S
dS
三.静电场的高斯定理 Gauss theorem 1.表述 在真空中的静电场内，任一闭合面的电通量
等于这闭合面所包围的电量的代数和除以 0 。
qi内
E dS i
S
0
补充：立体角的概念
平面角：
r 由一点发出的两条射线之间的夹角
取 r1为半径的弧长 dl1 d r1