5.2.1圆的对称性
《圆的对称性》圆圆的对称性
艺术家们也经常利用圆形的对称性来创作美丽的艺术作品，例如旋转对称的图案、镜像对称的图案等。
艺术创作
02
CHAPTER
圆的轴对称性
轴对称性是一种几何属性，指的是一个图形关于某一直线（称为“对称轴”）对称，即图形上的任意点到对称轴的距离相等，且在对称轴的两侧有相对应的点。
对称轴是一条直线，它把图形划分成两个部分，其中一个部分相对于对称轴折叠后能够与另一个部分重合。
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04
CHAPTER
圆的旋转对称性
旋转对称性是指一个图形在旋转一定角度后，仍然保持不变的形状和大小。
旋转对称轴是一条通过图形中心的直线，将图形旋转特定角度后，图形上的点与旋转前的点重合。
圆在绕其中心旋转任意角度时，其形状和大小均保持不变。
圆上任意一点在绕圆心旋转一定角度后，都会与原来的点重合。
雕塑中的应用
许多生物形状都表现出圆的对称性，如人的身体、树叶等。这种对称性有助于保持生物体的平衡，使其在运动时更加流畅、自然。
在天体运动中，圆的对称性也非常重要。例如，地球的自转和公转都是以圆形轨道进行的，这种圆形运动方式使得天体能够更加稳定地运动，避免了不必要的震动和变化。
生物形状
天体运动
THANKS
圆是一个具有轴对称性的图形，它的对称轴是经过圆心的任意一条直线。
圆上的任意一点到对称轴的距离相等，且在对称轴的两侧有相对应的点。
圆沿着对称轴折叠后，两侧的点能够完全重合。
通过圆的轴对称性，我们可以很容易地找到圆上任意一点的对称点，以及通过旋转和翻转等变换得到新的图形。
圆的轴对称性也是证明一些几何定理的重要工具，例如，利用圆的轴对称性可以证明圆中的垂径定理和切线长定理等。
5.2圆的对称性(一)导学案
响水县双语学校九（8）班数学导学案（023）课题：5.2圆的对称性（1） 主备人：张亚元 学生姓名_________学习目标：1、理解圆的轴对称性和中心对称性；2、利用圆的旋转不变性，研究圆心角、弧、弦之间相互关系定理及其简单应用；3、通过观察、比较、操作、推理、归纳等活动，发展空间观念、推理能力及概括问题的 学习重点：中心对称性及相关性质.学习难点：运用圆心角、弧、弦之间的关系解决有关问题. 教学过程 一、情境创设(1) 什么是中心对称图形?(2) 我们采用什么方法研究中心对称图形? 二、探究学习1.尝试（1）在两张透明纸片上，分别作半径相等的⊙O 和⊙O '（2）在⊙O 和⊙O '中,分别作相等的圆心角∠AOB 、∠'''B O A ，连接ＡＢ、''B A .（3）将两张纸片叠在一起，使⊙O 与⊙O '重合（如图）.（4）固定圆心，将其中一个圆旋转某个角度，使得OA 与OA '重合.2.交流在操作的过程中，你有什么发现，请与小组同学交流. _______________________________________________ 3.总结上面的命题反映了在同圆或等圆中，圆心角、弧、弦的关系，对于这三个量之间的关系，你还有什么思考？请与小组同学交流.你能够用文字语言把你的发现表达出来吗?（1）在同圆或等圆中,如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么 . 试一试： 如图,已知⊙O 、⊙O '半径相等，AB 、CD分别是⊙O 、⊙O '的两条弦.填空：①若AB=CD ，则 ， ②若，则 ， ③若∠AOB=∠CO 'D ，则 ， .C ’ ’思考：在圆心角、弧、弦这三个量中，角的大小可以用度数刻画，弦的大小可以用长度刻画，那么如何来刻画弧的大小呢？（2）圆心角的度数与 相等.三、典型例题例1、如图，在△ABC 中，∠C ＝90°，∠B ＝28°，以C 为圆心， CA 为半径的圆交AB 于点D ，交BC 于点E ，求AD 、DE 的度数．例2．如图,AB 、AC 、BC 都是⊙O 的弦，∠AOC=∠BOC.∠ABC与∠BAC 相等吗？为什么？随堂练习：1、下列说法正确的是（ ） A. 相等的弦所对的弧相等 B. 相等的圆心角所对的弧相等C. 相等的弧所对的弦相等D. 相等的弦所对的圆心角相等 2、若两条弧的度数相等，那么（ ） A. 两条弧所对的弦相等 B. 两条弧的长度相等C. 两条弧所对的圆心角相等D. 两条弧是等弧 3、如图，在⊙O 中，＝A ＝40°，求∠B 的度数．4.如图，在⊙O 中，∠AOC ＝∠BOD ，AD 的度数为50°，求∠BOC 的度数．四、回顾总结1．探索圆的中心对称性及有关性质的过程.2．运用圆心角、弧、弦之间的关系解决有关问题.【课后作业】1、如图，AB 、CD 是⊙O 的直径，AB ∥DE ．则（ ） A. AC ＝AE B. AC ＞AE C. AC ＜AE D. AC 与AE 的大小无法确定2、如图，在⊙O 中，点C 是AB 的中点，∠A ＝40°，则∠BOC 等于_________． 3、（1）如图，弦AB 把⊙O 分成2:7，∠AOB ＝_________°；（2）在⊙O 中，弦AB 的长恰好等于半径，AB 的度数为_______°． 4、如图，在⊙O 中，，∠B ＝70°，∠A ＝_______°．5、如图，在⊙O 中，AB 是直径，BC=CD=DE ，∠BOC ＝50°，求∠AOE 的度数．6、如图，AB 、CD 是⊙O 的直径，弦CE ∥AB ，CE 的度数为40°，求∠AOC 的度数．7、如图，点A 、B 、C 、D 在⊙O 上，AB=DC ，AC 与BD 相等吗？为什么？8、如图，OA 、OB 、OC 是⊙O 的半径，AC=BC ，D 、E 分别是OA 、OB 的中点，CD 与CE 相等吗？为什么？第1题 第2题 第3题第4题9、如图，CD 为⊙O 的直径，以D 为圆心，DO 长为半径作弧，交⊙O 于两点A 、B ． ．10、已知：如图，AB 是⊙O 的直径，M 、N 分别为AO 、BO 的中点，CM ⊥AB ，DN ⊥AB ，垂足分别为M 、N ．求证：．11、如图，OA 、OB 延⊙O 的两条半径，且OA ⊥OB ，C 、D 的三等两点，OC 、OD 分别交AB 于E 、F ．则AE 、CD 与BF 相等吗？为什么？★12、空投物资用的某种降落伞的轴截面如图所示，△ABG 是等边三角形，C 、D 是以AB 为直径的半圆O 的三等分点，CG 、DG 分别交AB 于点E 、F ，试判断点E 、F 分别位于所在线段的什么位置？并说明理由．。
圆的对称性课件
情境引入
你知道车轮为什么设计成圆形吗？
设计成三角形、四边形又会怎样？
从中你发现了什么？
新课讲授
·
α
O
A
圆绕着圆心旋转
任何角度后,都
能与自身重合.
圆是中心对称图形,圆心是它的对称中心.
180
°
操作与思考
(1)在两张透明纸片上,分别作半径相等的⊙O 和⊙O′.
(2)在⊙O 和⊙O′中，分别作相等的圆心角∠AOB ,∠A′OB′，
例1
如图, AB、AC、BC都是⊙O 的弦,∠AOC＝∠BOC.
∠ABC与∠BAC相等吗？为什么？
解：∠ABC与∠BAC相等.
在⊙O中，∵∠AOC＝∠BOC，
∴AC=BC
∴∠ABC=∠BAC
O
B
A
C
若∠ABC与∠BAC,
则∠AOC=∠BOC吗？
例2：已知：如图，AB是⊙O的直径，点C、D在⊙O上，
AB=CD.
A
D
拓展延伸
如图，在☉O中，2∠AOB=∠COD，那么CD=2AB成立吗？
⌒ ⌒
CD=2AB也成立吗？请说明理由；如不是，那它们之间的
关系又是什么？
⌒
⌒
答：CD=2AB成立，CD=2AB不成立.
取 CD 的中点E,连接OE.那么
∠AOB=∠COE=∠DOE,所以 AB = CE
= DE . CD =2 AB，弦AB=CE=DE,
你能证明上面的结论吗？
根据旋转的性质，将圆心角∠AOB连同AB绕圆
心O旋转,射线 OA与OA′重合.
∵ ∠AOB＝∠A′OB′，
A′
B
B′
∴OB与OB′重合．
圆的对称性同步课件
以C 中命题错误. 故选A.
自主合作，探究新知
核心知识点二： 圆心角、弧、弦之间的关系
1.圆心角：顶点在圆心的角,叫圆心角，如∠AOB .
⌒
2.圆心角 ∠AOB 所对的弧为 AB.
B
3.圆心角 ∠AOB所对的弦为AB.
任意给圆心角，对应出现两个量：
试确定四边形 OACB的形状，并说明理由.
解：如图，四边形OACB是菱形．理由如下：连接OC.
∵C是AB的中点，
∴AC＝BC. ∴∠AOC＝∠BOC.
∵∠AOB＝120°，∴∠AOC＝∠BOC＝60°.
又∵OB＝OC，OA＝OC，
∴△BOC和△AOC都是等边三角形．
∴OB＝BC＝CA＝AO. ∴四边形OACB是菱形．
弧
圆心角
弦
A
O
M
自主合作，探究新知
在同圆中探究
⌒ ⌒
在⊙O中，如果∠AOB= ∠A'OB'，那么，AB与A'B'，弦AB与弦
A'B'有怎样的数量关系？
由圆的旋转不变性，我们发现：
A′
B
பைடு நூலகம்B′
O
在⊙O中，如果∠AOB= ∠A'OB'，
︵
︵
那么，AB A ' B '. 弦AB=弦A'B'
A
自主合作，探究新知
随堂练习
=
=
，∠COD＝34°，
5.如图，AB是⊙O的直径，
则∠AOE的度数是 78° .
6.如图，AB是⊙O的直径，BC，CD，DA是⊙O的弦，且
《圆的对称性》课件
总结词
阐述圆的基本属性
详细描述
圆具有许多基本的性质，包括其对称性、弧长与角度的关系、圆周角定理等。这 些性质是理解圆更深层次特性的基础。
圆的应用
总结词
列举圆在日常生活中的实际应用
详细描述
圆在日常生活和科学中有着广泛的应用，包括几何学、物理学、工程学和天文学等领域。例如，轮胎的设计、管 道的铺设、天文望远镜的制造等都涉及到圆的知识。
详细描述
自然界中的圆对称性，如花朵、树叶、果实 等，这些自然形态的圆对称性不仅美化了我 们的生活，还揭示了生命的奥秘和自然法则 。这种圆对称性的存在，使得生物能够更好 地适应环境，提高生存和繁衍的机会。
艺术创作中的圆对称性
要点一
总结词
艺术创作中的圆对称性，能够创造出和谐、平衡和完美的 艺术效果，是艺术家们常用的表现手法之一。
旋转变换
旋转变换定义
在平面内，将图形绕某一 定点旋转一定的角度，但 不改变图形的大小和形状 。
旋转变换性质
图形在旋转过程中，其内 部任意两点之间的距离保 持不变，且与旋转的角度 和中心点位置无关。
旋转变换的应用
在几何、解析几何等领域 中都有广泛的应用，如三 角形的旋转、极坐标系中 的角度变化等。
轴对称变换
平移变换
01Leabharlann 0203平移变换定义
在平面内，将图形沿某一 方向平行移动一定的距离 ，但不改变图形的大小和 形状。
平移变换性质
图形在平移过程中，其内 部任意两点之间的距离保 持不变，且与平移的方向 和距离无关。
平移变换的应用
在几何、代数、解析几何 等领域中都有广泛的应用 ，如平行线、平行四边形 、函数图像等。
02
圆的对称性
5.2圆的对称性
●
O
∴当圆沿着直径CD对折时,点A与点B ⌒ ⌒ ⌒ 重合, ⌒ AC和BC重合, AD和BD重合.
D
⌒ =BC, ⌒ AD ⌒=BD. ∴AC
⌒
探索规律
定理 垂直于弦的直径平分弦,并且平分弦所对 的两 条弧.
CLeabharlann AM└●如图∵ CD是直径, CD⊥AB, B
O
∴AM=BM,
⌒ ⌒ ⌒ ⌒ AC =BC, AD =BD.
A
E
O
B
变式1:在半径为5 ㎝的圆O中，有长8 ㎝的 弦AB，求点O与AB的距离。 2：在半径为5 ㎝的圆O中，圆心O到弦AB的距离 为3 ㎝，求AB的长。
E
练1 ：如图， 圆O的弦AB＝8 ㎝ ， DC＝2㎝，直径CE⊥AB于D， 求半径OC的长。
A
O
D B
E
C
练习2:在圆O中，直径CE⊥AB于 D，OD=4 ㎝，弦AC= 10 ㎝ ， 求圆O的半径。
O
D A B
C
挑战自我画一画
如图 ,M 为⊙ O 内的一点 , 利用尺规作一条弦 AB, 使AB过点M.并且AM=BM.
A
M ●O
●
B
练一练
在直径为650mm的圆柱形油槽内装入一些油后，截面 如图所示.若油面宽AB = 600mm，求油的最大深度.
A
O ┌ E
D
600
B
想一想
方法规律
已知：如图，直径CD⊥AB，垂足为E . ⑴若半径R = 2 ，AB = 2 3 , 求OE、DE 的长. ⑵若半径R = 2 ，OE = 1 ，求AB、DE 的长.
2 2
思考题:如图，CD为圆O的直径，弦 AB交CD于E， ∠ CEB=30°， DE=9㎝，CE=3㎝，求弦AB的长。
5.2圆的对称性(一)导学案
响水县双语学校九（8）班数学导学案（023）课题：5.2圆的对称性（1） 主备人：张亚元 学生姓名_________学习目标：1、理解圆的轴对称性和中心对称性；2、利用圆的旋转不变性，研究圆心角、弧、弦之间相互关系定理及其简单应用；3、通过观察、比较、操作、推理、归纳等活动，发展空间观念、推理能力及概括问题的 学习重点：中心对称性及相关性质.学习难点：运用圆心角、弧、弦之间的关系解决有关问题. 教学过程 一、情境创设(1) 什么是中心对称图形?(2) 我们采用什么方法研究中心对称图形? 二、探究学习1.尝试（1）在两张透明纸片上，分别作半径相等的⊙O 和⊙O '（2）在⊙O 和⊙O '中,分别作相等的圆心角∠AOB 、∠'''B O A ，连接ＡＢ、''B A .（3）将两张纸片叠在一起，使⊙O 与⊙O '重合（如图）.（4）固定圆心，将其中一个圆旋转某个角度，使得OA 与OA '重合.2.交流在操作的过程中，你有什么发现，请与小组同学交流. _______________________________________________ 3.总结上面的命题反映了在同圆或等圆中，圆心角、弧、弦的关系，对于这三个量之间的关系，你还有什么思考？请与小组同学交流.你能够用文字语言把你的发现表达出来吗?（1）在同圆或等圆中,如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么 . 试一试： 如图,已知⊙O 、⊙O '半径相等，AB 、CD分别是⊙O 、⊙O '的两条弦.填空：①若AB=CD ，则 ， ②若，则 ， ③若∠AOB=∠CO 'D ，则 ， .C ’ ’思考：在圆心角、弧、弦这三个量中，角的大小可以用度数刻画，弦的大小可以用长度刻画，那么如何来刻画弧的大小呢？（2）圆心角的度数与 相等.三、典型例题例1、如图，在△ABC 中，∠C ＝90°，∠B ＝28°，以C 为圆心， CA 为半径的圆交AB 于点D ，交BC 于点E ，求AD 、DE 的度数．例2．如图,AB 、AC 、BC 都是⊙O 的弦，∠AOC=∠BOC.∠ABC 与∠BAC 相等吗？为什么？随堂练习：1、下列说法正确的是（ ） A. 相等的弦所对的弧相等 B. 相等的圆心角所对的弧相等C. 相等的弧所对的弦相等D. 相等的弦所对的圆心角相等 2、若两条弧的度数相等，那么（ ） A. 两条弧所对的弦相等 B. 两条弧的长度相等C. 两条弧所对的圆心角相等D. 两条弧是等弧 3、如图，在⊙O 中，＝A ＝40°，求∠B 的度数．4.如图，在⊙O 中，∠AOC ＝∠BOD ，AD 的度数为50°，求∠BOC 的度数．四、回顾总结1．探索圆的中心对称性及有关性质的过程.2．运用圆心角、弧、弦之间的关系解决有关问题.【课后作业】1、如图，AB 、CD 是⊙O 的直径，AB ∥DE ．则（ ） A. AC ＝AE B. AC ＞AE C. AC ＜AE D. AC 与AE 的大小无法确定2、如图，在⊙O 中，点C 是AB 的中点，∠A ＝40°，则∠BOC 等于_________． 3、（1）如图，弦AB 把⊙O 分成2:7，∠AOB ＝_________°；（2）在⊙O 中，弦AB 的长恰好等于半径，AB 的度数为_______°． 4、如图，在⊙O 中，，∠B ＝70°，∠A ＝_______°．5、如图，在⊙O 中，AB 是直径，BC=CD=DE ，∠BOC ＝50°，求∠AOE 的度数．6、如图，AB 、CD 是⊙O 的直径，弦CE ∥AB ，CE 的度数为40°，求∠AOC 的度数．7、如图，点A 、B 、C 、D 在⊙O 上，AB=DC ，AC 与BD 相等吗？为什么？8、如图，OA 、OB 、OC 是⊙O 的半径，AC=BC ，D 、E 分别是OA 、OB 的中点，CD 与CE 相等吗？为什么？第1题 第2题 第3题第4题9、如图，CD 为⊙O 的直径，以D 为圆心，DO 长为半径作弧，交⊙O 于两点A 、B ． ．10、已知：如图，AB 是⊙O 的直径，M 、N 分别为AO 、BO 的中点，CM ⊥AB ，DN ⊥AB ，垂足分别为M 、N ．求证：．11、如图，OA 、OB 延⊙O 的两条半径，且OA ⊥OB ，C 、D 的三等两点，OC 、OD 分别交AB 于E 、F ．则AE 、CD 与BF 相等吗？为什么？★12、空投物资用的某种降落伞的轴截面如图所示，△ABG 是等边三角形，C 、D 是以AB 为直径的半圆O 的三等分点，CG 、DG 分别交AB 于点E 、F ，试判断点E 、F 分别位于所在线段的什么位置？并说明理由．。
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课题： 5.2.1 圆的对称性
时间： 2013 年 11 月 日
教学目标 1、经历探索圆的中心对称性及有关性质的过程。 2、理解圆的中心对称性及有关性质。 3、会运用圆心角、弧、弦之间的关系解决有关问题。 重点与难点
重点：理解圆的中心对称性及有
关性质。
难点：运用圆心角、弧、弦之间
的关系解决有关问题。
课前准备
完成预习作业
板块 教师问题串 学生活动串 目标反馈串
一、
复习
中心对称概念 概念：把一个图形绕某点旋转1800，如果旋转后的图形能与原图形重合。 方法：我们研究中心对称图形采用的方法是：旋转。 倾听、回顾
教师直接呈
现
二、
探究圆的对称性 活动1：按照下列步骤进行操作： ⑴在两张透明纸片上，分别作半径相等的⊙O和⊙O’ ； ⑵在⊙O和⊙O’ 中，分别作相等的圆心角 ∠AOB、∠'''BOA ，连接AB、''BA ⑶将两张纸片叠在一起，使⊙O与⊙O 重合（如图） ⑷固定圆心，将其中一个圆旋转某个角度，使得OA与O’A’ 重合 问题1：在操作的过程中，你有什么发现，请与小组同学交流。 问题2：上面的命题反映了在同圆或等圆中，圆心角、弧、弦的关系，对于这三个量之间的关系，你还有什么思考？请与小组同学交流。 你能够用文字语言把你的发现表达出来吗? 归纳：圆心角、弧、弦之间的关系： 在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等。 符号语言：如图，在⊙O中，AB、CD分别是⊙O的两条弦。填空： （1）若AB=CD，则 ， 。 动手操作 小组交流 小组讨论 归纳结论 教师巡视 学生代表发
言
学生代表发
言
（2）若BA= DC，则 ， 。
（3）若∠AOB=∠COD，则 ， 。
活动2：阅读：在圆心角、弧、弦这三个量中，角
的大小可以用度数刻画，弦的大小可以用长度刻
画，那么如何来刻画弧的大小呢？
弧的大小：圆心角的度数与它所对的弧的度数相
等。
填空
了解
三、
例题
学习
例1.如图，AB、AC、BC都是⊙O的弦，∠AOC=∠BOC，
∠ABC与∠BAC相等吗？为什么？
例2.已知：如图，AB是⊙O的直径，点C、D在⊙O
上，CE⊥AB于E，DF⊥AB于F，且AE=BF，弧AC与
弧BD相等吗？为什么？
独立思考
同伴交流
学生代表发
言
四、
课堂
小结
问题1：圆的中心对称性体现在：
圆是 图形， 是圆的对称中心。
问题2：圆心角、弧、弦之间互相转化的前提是什
么？
O
B
A
C
O
B
A
C
D
EF