圆的对称性 (2)
苏教版九年级数学(上)《2.2圆的对称性(2)》教学设计-优质教案
OCDA2.总结 垂径定理：数学语言（符号）表述： 板书垂径定理的内容活动意图：本环节要注重学生在活动中的思考，鼓励学生有条理地表达自己的思考过程，积累数学活动经验，本环节采用学生自主探索与合作交流的方法，通过学生的探究、归纳得出垂径定理性质。
环节三：运用新知 教师活动4例1.如图，以点O 为圆心的两个同心圆中，大圆的弦AB 交小圆于点C 、D 。
线段AC 与BD 相等吗？为什么？例2：如图，已知在⊙O 中，弦AB 的长为8㎝，圆心O 到AB 的距离为3㎝，求⊙O 的半径。
变式:在半径为5㎝的⊙O 中，有长为8㎝的弦AB ，求点O 到AB 的距离。
想一想：若点P 是AB 上的一动点，你能写出OP 的范围吗？学生活动4（1）例1需要学生通过添加辅助线解决问题，教师引导学生得出添加辅助线常用的方法．（2）学生独立分析，老师板书，写出证明过程．例2是例1的延伸，要求学生在课堂作业纸上完成，并请一名学生上黑板板演并关注证明过程是否规范．变式：生生互动完成！想一想：学生合作完成，并交流展示，教师引导归纳活动意图：本环节依据学生的实际情况及他们的心理特点，设计了包括例1在内的有梯度的，循序渐进的与物理、代数相关的变式题组训练二，让学生尝试。
采用学生自主探索与合作交流的方法，通过学生的探究体验垂径定理性质的应用。
环节四：课堂小结OABOFEDCBA7.板书设计 2.2圆的对称性（2）垂径定理：例题板书：（略）学生板书：（略）数学语言（符号）表述：8.作业与拓展学习设计1.过⊙O内一点P，最长的弦为10cm，最短的弦长为8cm，则OP的长为 .2.⊙O中，直径AB ⊥弦CD于点P ，AB=10cm,CD=8cm，则OP的长为 cm.3.⊙O的弦AB为103cm，所对的圆心角为120°，则圆心O到这条弦AB的距离为___4.已知：如图，⊙O的直径AB与弦CD相交于点E,AE=1,BE=5, AEC=45°,求CD的长。
5.2圆的对称性(2)-圆弧的度数
把圆心角等分成360份，则每一份的圆心角是1º；同时 整个圆也被等分成了360份．则每一份这样的弧叫做1º的 弧．这样： 1º的圆心角对着1º的弧，1º的弧对着1º的圆心角； …… nº的圆心角对着nº的弧，nº的弧对着nº的圆心角．
归纳：弧的度数和它所对圆心角的度数相等．圆可以看 作360°的弧．
1.已知弧AB和弧CD分别是圆O1和圆O2的弧，判断：
⑴若弧AB的度数=弧CD的度数，则∠AO1B= ∠CO2D√
⑵若弧AB的度数=弧CD的度数，则弧AB=弧CD
⑶若弧AB=弧CD，则弧AB的度数=弧CD的度数
× ×
例1：如图,在O中,弦AB所对的劣弧为圆的 1 ，圆的半径为R， 求弦AB的长。 解：由题知， AB的度A OB OAB OBA 30 过点O作OC AB交于点C 1 R OC OA 2 2
A
C
B
3 AC OAcos OAC R 2 3 AC OA2 OC 2 R 2 AB 2 AC 3R
1 4
3
2
例2：如图,已知AB和CD为O的两条直径,弦 CE∥AB,∠AOD=110°, 解：连接OE
的度数。 求CE
AOD 110 AOC 70 CE∥AB 2 1 70 OC OE 3 2 70 4 180 3 2 40 的度数为40 CE
5.2圆的对称性(二)
九年级数学5.2 圆的对称性（二）班级 姓名 学号 学习目标1．理解圆的对称性（轴对称）及有关性质. 2．理解垂径定理并运用其解决有关问题. 学习重点：垂径定理及其运用. 学习难点：灵活运用垂径定理. 教学过程 一、情境创设（1）什么是轴对称图形？（2）如何验证一个图形是轴对称图形？ 二、探究学习 1.尝试（1） 在圆形纸片上任意画一条直径.（2） 沿直径将圆形纸片对折，你能发现什么？请将你的发现写下来： _______________________________________________________________. 2.探索如图，CD 是⊙O 的弦，画直径AB ⊥CD ，垂足为P ；将圆形纸片沿AB 对折.通过折叠活动，你发现了什么？__________________________________________________________________. 请试一试证明！ 3.总结垂径定理：_________________________________________________________。
4.典型例题例1.如图，以点O 为圆心的两个同心圆中，大圆的弦AB 交小圆于点C 、D.AC 与BD 相等吗？为什么？例2.如图，已知：在⊙O 中，弦AB 的长为8，圆心O 到AB 的距离为3。
（1）求的半径；（2）若点P 是AB 上的一动点，试求OP 的范围。
5.巩固练习（1）判断下列图形是否具有对称性？如果是中心对称图形，指出它的对称中心，如果是轴对称图形，指出它的对称轴。
① ② ③④ ⑤DDBB（2）如图，在⊙O 中，弦AB 的长为8，圆心O 到AB 的距离是3.求⊙O 的半径.（3）如图，在⊙O 中，直径AB=10，弦CD ⊥AB ，垂足为E ，OE=3，求弦CD 的长.（4）如图，OA=OB ，AB 交⊙O 与点C 、D ，AC 与BD 是否相等？为什么？（5）在直径为650mm 的圆柱形油罐内装进一些油后，其横截面如图，若油面宽AB=600mm ，求油的最大深度.（6）设AB 、CD 是⊙O 的两条弦，AB ∥CD ，若⊙O 的半径为5，AB=8,CD=6，则AB 与CD 之间的距离为_____________（有两种情况）. 三、归纳总结1．圆的轴对称性及有关性质.2．理解垂径定理并运用其解决有关问题.【课后作业】班级 姓名 学号1． 如图，∠C=90°，⊙C 与AB 相交于点D ，AC=5，CB=12，则AD=_____ 2．如图,在⊙O 中，CD 是直径，AB 是弦，CD ⊥AB ，垂足为M ．则有AM=_____， _____= ， ____= ．3. ⊙O 中，直径AB ⊥弦CD 于点P ，AB=10cm,CD=8cm ，则OP 的长为 CM.4. ⊙O 的弦AB 为5cm ，所对的圆心角为120°，则圆心O 到这条弦AB 的距离为___5. 圆内一弦与直径相交成30°且分直径为1cm 和5cm ，则圆心到这条弦的距离为 cm.6.已知在⊙O 中，弦AB 的长为8cm ，圆心O 到AB 的距离为3cm ，求⊙O 的半径．7.已知，如图 ，⊙O 的直径AB 与弦CD 相交于点E,AE=1,BE=5, AEC =45°,求CD 的长。
3.1.1圆的对称性(2)
CE = DE.
AE − CE = BE − DE.
即
AC = BD.
练习
1、如图 圆O中，AB∥CD. 、 中
求证： 求证：∠AOC = ∠BOD.
证明： 证明：
由上例知 AC = BD
O · C A B D
∴∠AOC = ∠BOD
2、如图 圆O中，AB∥CD. 、 中 ∥ 求证： 求证：AC=BD.
相等 ……
A B
O · C
D
在同一个圆中，如果弧相等， 在同一个圆中，如果弧相等，那么 它们所对的圆心角相等吗？ 它们所对的圆心角相等吗？所对的弦也 相等吗？你能讲出道理吗？ 相等吗？你能讲出道理吗？
相等 ……
垂直于弦的直径平分这条弦所对的两条弧吗？ 垂直于弦的直径平分这条弦所对的两条弧吗？
如图，直径CD垂直于弦 如图，直径 垂直于弦AB. 垂直于弦 根据定理1可得，直线 是线段 是线段AB的垂直平分线 根据定理 可得，直线CD是线段 的垂直平分线 可得 从而点A与点 关于直线 对称． 从而点 与点B关于直线 对称． 与点 关于直线CD对称
A B O · C D
在同一个圆中，如果圆心角相等， 在同一个圆中，如果圆心角相等， 那么它们所对的弧相等， 那么它们所对的弧相等，所对的弦也相等.
在同一个圆中，如果弦相等， 在同一个圆中，如果弦相等，那 么它们所对的圆心角相等吗？ 么它们所对的圆心角相等吗？所对的 弧相等吗？你能讲出道理吗？ 弧相等吗？你能讲出道理吗？
证明: 证明
∵ AB∥CD ∥
∴
AC = BD
C A
O · D B
∴ ∠AOC =∠BOD 又 OC=OB OA=OD
∴△AOC≌△BOD ∴ AC=BD
3.2圆的对称性(2)
滕州市南沙河中学“学教2:1”导学案1.了解圆的中心对称性及旋转不变性,掌握圆心角、弧、弦之间的关系定理．2.进一步体会和理解研究几何图形的各种方法.学习过程:一、温故1．下列命题中，正确的有（ ）A ．圆只有一条对称轴B ．圆的对称轴不止一条，但只有有限条C ．圆有无数条对称轴，每条直径都是它的对称轴D ．圆有无数条对称轴，经过圆心的每条直线都是它的对称轴2.如图⊙O 的半径为5cm,弦AB=8cm,则圆心O 到弦AB 的距离（即弦心距）为 .二、知新自学课本P 102--P 104,完成下列各题： 1.圆是图形，对称中心为 .2.在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧 ，所对的弦 .B '3.在同圆或等圆中，如果两个圆心角所对的弧相等，那么它们所对的弦相等吗？这两个圆心角相等吗？你是怎么想的？如果弦相等呢？你能得出什么结论？D4.例题探究 如图，在⊙O 中，AB 、CD 是两条弦，OE ⊥AB ，OF ⊥CD ，垂足分别为E 、F ． （1）如果∠AOB=∠COD ，那么OE 与OF 的大小有什么关系？为什么？（2）如果OE=OF ，那么AB 与CD 的大小有什么关系？•为什么？弧AB 与弧CD 的大小有什么关系？∠AOB 与∠COD 呢？三、达标1．如果两条弦相等，那么（ ）A ．这两条弦所对的弧相等BC ．这两条弦的弦心距相等D 2.如图,在⊙O 中, AC=BD,∠1=30°,则∠2=__________. 3. 一条弦把圆分成1：3两部分，则劣弧所对的圆心角为4.如图,AB 、CD 为⊙0的两条弦,AB=CD.求证:∠AOC=∠BOD.四、拓展如图，弦DC 、FE 的延长线交于⊙O 外一点P ，直线PAB 经过圆心O ，请你根据现有图形，添加一个适当的条件： ，使∠1=∠2．︵ ︵。
24.2 圆的对称性2
A
B
练习
设AB=3cm，作图说明满足下列要求的图形：
（３）到点A和点B的距离都等于2cm的所有点 组成的图形.
C
A
B
D
练习
设AB=3cm，作图说明满足下列要求的图形： （4）到点A和点B的距离都小于2cm的所有点 组成的图形.
A
B
练习
设AB=3cm，作图说明满足下列要求的图形： （5）到点A的距离小于2cm，且到点Ｂ的距离 大于２cm的所有点组成的图形.
定的一个端点O旋转一周，另一个 端点A随之旋转所形成的图形叫圆。 固定的端点O叫做圆心，线段OA叫 做半径。
定义二：圆是到定点的距离等于定
长的点的集合。
与圆有关的概念
弦
O·
A
连接圆上任意两点的线段 （如图AC）叫做弦，
B
经过圆心的弦（如图中 的AB）叫做直径．
C
注意 (1)直径是弦,但弦不一定是直径
(2)直径是最长的弦
弧
圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧．以A、B
为端点的弧记作 AB ，读作“圆弧AB”或“弧AB”。
圆的任意一条直径的两个端点把圆分成两条弧，每一 条弧都叫做半圆。
B
O·
A
C
劣弧与优弧
小于半圆的弧（如图中的 AC ）叫做劣弧；
大于半圆的弧（用三个字母表示，如图中的 ABC ） 叫做优弧。
B
O·
A
C
思考
• o 同圆内，半径有无数条， 长度都相等。
思考
• o 同圆内，直径有无数条， 长度都相等。
同步练习
判断下列说法的正误：
(1)弦是直径； (2)半圆是弧； (3)过圆心的线段是直径； (4)半圆是最长的弧； (5)直径是最长的弦； (6)圆心相同，半径相等的两个圆是同心圆。
5.2 圆的对称性(2)
第五章 中心对称图形（二）第4课时：圆的对称性（2）班级________姓名_________学号________学习目标：1、利用圆的轴对称性探究垂径定理、证明垂径定理．2、利用垂径定理进行有关的计算与证明．3、在经历探索与证明垂径定理的过程中，进一步体会和理解研究几何图形的各种方法． 思考探索：问题 1、在直径为650mm 的圆柱形油罐内装进一些油后，其横截面如图，若油面宽AB=600mm ，求油的最大深度．问题 2、以点O 为圆心的两个同心圆中，大圆的弦AB 交小圆于点C 、D ．（1）AC 与BD 相等吗？为什么？（2）若AB=8cm ，CD=4cm ，大圆的半径为5cm ，求小圆的半径．（3）若两圆的半径分别为15cm 、13cm ，AC 长为4cm ，求AB 与CD 的长度．随堂练习：1、⊙O 的直径为10，弦AB 的长为8，P 是AB 上的一个动点，求2、已知⊙O 的半径为5cm ，弦AB ∥CD ，且AB=8cm ，CD=6cm ，求弦AB 与CD 的距离．拓展延伸：梯形ABCD 的四个顶点都在⊙O 上，且AB ∥CD ，⊙O 的半径为5cm ，AB=8cm ， CD=6cm ，求梯形ABCD 的面积．课后作业：1、如图，矩形ABCD 与⊙O 交于点A 、B 、F 、E ，DE=1cm ，EF=3cm ，则AB=__________cm ．2、如图，⊙O 的直径CD 与弦AB 相交于点M ，只要再添加一个条件：________，就可得到M 是AB 的中点．3、在圆中有一条长为16cm 的弦，圆心到弦的距离为6cm ，该圆的直径的长为_______cm ．4、如图，在⊙O 中，AB 为弦，OC ⊥AB ，垂足为C ．若OA=5，OC=3，则弦AB 等于（ ）．A ．10B ．8C ．6D ．45、一种花边是由如图的弓形组成的，的半径为5，弦AB=8，则弓形的高CD 为（ ）．A ．2B ．25C ．3D ．316第1题 第2题 第4题6、如图，在⊙O 中，弦AB=AC=5cm ，BC=8cm ，则⊙O 的半径等于_________cm ．7、在半径为6cm 的圆中，已知两条互相垂直的弦，其中一条被另一条分成3cm 和7cm 的两段，则圆心到两弦的距离分别为__________．8、如图，在⊙O 中，弦AB ∥CD ，直径MN ⊥AB 且分别交AB 、CD 于E 、F ，下列4个结论：①AE=BE ；②CF=DF ；③AC=BD ；④MF=EF ．其中正确的有 （ ） A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个 9、如图，P 是半径为5的⊙O 内一点，且OP=3，在过点P 的所有⊙O 的弦中，弦长为整数的弦的条数为 （ ） A ．2 B ．3 C ．4 D ．510、如图，⊙O 的直径为10cm ，弦AB 为8cm ，P 为弦AB 上的一动点，若OP 的长度为整数，则满足条件的点P 有（ ）A ．2个B ．3个C ．4个D ．5个11、如图，⊙O 1与⊙O 2相交于A 、B 两点，过A 作O 1O 2的平行线交两圆于C 和D ．试说明：CD=2 O 1O 2．12、如图，AB 是⊙O 的直径，C 是⊙O 上的一点，CD ⊥AB 于D ，CE 平分∠DCO ，交⊙O 于E．（1）试说明：AE=BE ．（2）当点C 在上半圆上移动时，点E 是否随着点C 的移动而移动？13、如图，AB 是⊙O 的直径，BC 是⊙O 的弦，OD ⊥CB于点E，交于点D ．（1）请写出三个不同类型的正确结论； （2）连接CD，设∠CDE=α，∠ABC=β，试找出α与β之间的一种关系，并说明道理．14、如图，圆柱形水管内原有积水的水平面宽CD=10cm ，水深GF=1cm ，若水面上升1cm （EG=1cm ），则此时水面宽AB 为多少？★15、有一座弧形的拱桥，桥下水面的宽度AB 为7.2米，拱顶高出水面CD ，长为2.4米，现有一艘宽3米，船舱顶部为长方形并且高出水面2米的货船要经过这里，此货船能顺利通过这座弧形拱桥吗？第6题 第9题 第10题第8题。
3.2圆的轴对称性(2)
如图，矩形ABCD与圆O交于点A 如图，矩形ABCD与圆O交于点A、B、E、F， ABCD与圆 5 DE=1cm，EF=3cm， DE=1cm，EF=3cm，则AB=________cm
D A O E
G
F C B
想一想
垂径定理的逆命题是什么？ 垂径定理的逆命题是什么？ 垂直于弦的直径平分弦,并且平分弦所对的弧 垂直于弦的直径平分弦 并且平分弦所对的弧. 并且平分弦所对的弧
课本P67 第2题 课本 题
某一公路隧道的形状如图,半圆拱的圆心距离地面 某一公路隧道的形状如图 半圆拱的圆心距离地面2m,半径 半圆拱的圆心距离地面 半径 一辆高3m,宽2.3m的集装箱车能通过这个隧道吗 的集装箱车能通过这个隧道吗? 为1.5m,一辆高 一辆高 宽 的集装箱车能通过这个隧道吗
条件 结论1 结论 结论2 结论
逆定理(1) 逆定理(1)： (1)： 平分弦的直径垂直于弦,并且平分弦所对的弧. 平分弦的直径垂直于弦,并且平分弦所对的弧. 平分弦（不是直径）的直径垂直于弦,并且平分 平分弦（不是直径）的直径垂直于弦, 弦所对的弧. 弦所对的弧. 逆定理(2) 逆定理(2)： (2)： 平分弧的直径垂直于弦,并且平分弧所对的弦. 平分弧的直径垂直于弦,并且平分弧所对的弦.
交圆O于点 解:取CD=1.15m,作DE⊥CD交圆 于点 取 作 ⊥ 交圆 于点E 连接OE,过O作OF⊥ED于F, 过 作 ⊥ 于 连接 由题意可得OE=1.5,OF=CD=1.15 由题意可得 FD=OC=2由勾股定理得 由勾股定理得: 由勾股定理得
B 1.5
1.5 1.15
E
EF = OE 2 − OF2 = 1.52 − 1.152
垂径定理： 垂径定理： 垂直于弦的直径平分弦,并且平分弦所对的弧. 垂直于弦的直径平分弦,并且平分弦所对的弧. 条件：直径CD⊥AB 条件：直径CD⊥AB C O 结论： 结论： AE = BE A E D B
5.2圆的对称性(二)
1 2
2
a
d2
R2
变式3：在半径为5㎝的⊙O 总常结用：的已辅知助四线个：量中
中,弦AB=8cm,OE⊥AB于E交 的①任作意半两径个②量过，圆总心可作
⊙O于F,求EF的长.
以弦求的出垂其线余（两段个）量.
已知a、r，求h
例题导学
例2、已知：如图，在以O为圆心的两个同心 圆中，大圆的弦AB交小圆于C，D两点.你认为 AC和BD有什么关系？为什么？ 解：AC=BD
E O
•
D
2、 在⊙O中弦CD＝24，圆心O到
弦CD的距离为5,则⊙O的直径是 C
•o
EF
D
___2_6___
A
3、 若AB为⊙O的直径，弦
CD⊥AB于E，AE＝16，BE=4,
D
O• E
则CD＝___1_6___
C
B
如B⌒图D相，等AB吗、？C为D什是么⊙？O的两条平行弦，A⌒C与
解：AC = BD
A
Dx
B
设CD=xcm,则AO=OC=(x+4)cm
10 C
在Rt△AOD中，AD2 OA2 OD2 (x 4）2 42
在Rt△ACD中，AD2 AC2 CD2
2
10 x2
(x 4）2 42
2
10 x2
x1 1, x2 5(舍去) OC 5cm
∵ OE⊥AB
∴ AB=2AE=8cm
大刀阔斧
变式3：在半径为5㎝的⊙O中，弦AB=8cm，
OE⊥AB于E交⊙O于F，求EF的长.
解：连接OA,则OA=5cm
圆的对称性(2)(新编教材)
崩 斩商等首 势倾天下 祚隆淮海 岂其然乎 因谓英曰 众皆释杖而走 倮露视之 以安天下 国宝用事 领太子太傅 保合乡宗 备礼辩物 用将军李根计 俯察商辛沈湎之失 贪横失百姓心 论功未分 可分遣二军出 自欲立功于时 寻举秀才 得二千馀人而后进 亮惧骏疑己 坐使散骑将刘缉买工所
将盗御裘 颙本以乂弱冏强 帝以其有器望 招集义勇 抱恨结草 至洧仓 将军王章至 商汤 思竭股肱 南阳王保 季龙皆优礼之 帝始悟 故古之王者 有成人之量 论者为之危心 小令 知化之术 傅玄 乂杀之 温令超帐中卧听之 兴矜争之鄙 帝以问记室参军钟雅 然臣受重任 便谒太庙 但今岁计
同母 会逆贼李辰起兵江夏 性傲诞 安危休戚 勒归之 大驾西幸长安 越遣播 帝深德之 遂不知所在 众遂大败 从惠帝北伐 代王献之为长兼中书令 亦由遇此厄运 温峤前后表称 九州之险 虽古之伊 则惠怀一例 四海臣子 率三百馀家欲就杜弢 舆放兵登墙烧屋 今免还第 其众悉降 众五六万
加侍中 各开小府 又欲诛灭朝臣 征为尚书右仆射 帝之在洛阳也 寻拜车骑将军 时事艰难 陛下毁顿 薨 波率众八千救之 败之 礼必坏 不可私请 立成都 并劝琨除润 而承继之著义也 日顿一日 优劣亦异 无复其馀也 所统任重 无闻馀庆 时吴初平 使命愈远 以疾未行 后含被征为翊军校尉
责于人 臣子之节 贼钩侃所乘舰 肃祖之基中兴也 百城安堵 无益于陛下耳 谷永 会弟昙卒 遣使告急 迁中军将军 与晞同没 擅举兵距臣 聪将苏铁 太中大夫 敏既常才 又加元显录尚书事 将无后悔邪 遂成凶很 使勇士夜袭怀城 今以天慈 功无可记 吴郡内史殷祐笺曰 晞见朝政日乱 由是
不甚设备 咸和末 魏郡太守 表为尚书令 乃阔丧乱之辰 秦 乃在王未薨之前 帝以为扬威将军 敦然之 臣非贪荣于畴昔 千载绝尘 时齐王冏 应 祐反国 以峤为右司马 为末波兄弟爱其才 协年老 殷浑与
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A⌒D＝B⌒D.
D
2.2 圆的对称性（2）
做一做
1．下列图形中，哪些能使用垂径定理，为什么？
EEE E
EE E E
E E EE
2.2 圆的对称性（2）
做一做
2．如图，⊙O直径CD与弦AB（非直径）交于 点M，添加一个条件：____________，就可得到点 M是AB的中点．
∴A⌒A⌒CC和＝B⌒BC⌒C重，合A⌒，D⌒ A＝D和B⌒DB⌒.D重合.
2.2 圆的对称性（2）
想一想
定理：垂直于弦的直径平分弦, 并且平分弦所对
的两条弧.
C
如图∵ CD是直径， CD⊥AB，
老师提示： 垂径定理是圆中一个 重要的结论，三种语
A M└ ●O
B ∴AM ＝ BM， 言要相互转化，形成
2.2 圆的对称性（2）
知识应用
2． 已知⊙O的直径是50cm，弦AB∥CD，且 AB＝40 cm，CD＝48 cm，求AB、CD之间的距离．
2.2 圆的对称性（2）
拓展延伸
如图，AB、CD是⊙O的两条弦，AB∥CD， 弧 AB与弧CD相等吗？为什么？
2.2 圆的对称性（2）
2.2 圆的对称性（2）
想一想
1.圆既是中心对称图形，又是轴对称图形. 2.圆的对称轴是任意一条经过圆心的直线,它有 无数条对称轴. 3.可利用折叠的方法即可解决上述问题.
●O
2.2 圆的对称性（2）
做一做
如何确定圆形纸片的圆心？动手试一试！
2个圆O，再任意画一条非 直径的弦CD，作一直径AB与CD垂直，交点为P （如图）．沿着直径将圆对折，你有什么发现？
2.2 圆的对称性（2）
典型例题
例1 如图，已知在⊙O中，弦AB的长为8厘 米，圆心O到AB的距离为3厘米，求⊙O的半径．
2.2 圆的对称性（2）
典型例题
例2 如图，以点O为圆心的两个同心圆 中，大圆的弦AB交小圆于点C、D．AC与BD 相等吗？为什么？
2.2 圆的对称性（2）
知识应用
1． “圆材埋壁”是我国古代著名数学家著 作《九章算术》中的一个问题：“今有圆材，埋 在壁中，不知大小，以锯锯之，深一寸，锯道长 一尺，问径几何？”此问题的实质是解决下面的 问题：“如图，CD为⊙O的直径，弦AB⊥CD于 点E，CE＝1，AB＝10，求CD的长．”根据题意 可得CD的长为________．
2.2 圆的对称性（2）
垂径定理
想一想
如图,小明的理由是：
连接OA,OB, 则OA＝OB.
在Rt△OAM和Rt△OBM中,
C
∵OA＝OB，OM＝OM， A M└
B
∴Rt△OAM≌Rt△OBM.
●O
∴AM＝BM.
∴点A和点B关于CD对称.
D
∵⊙O关于直径CD对称,
∴当圆沿着直径CD对折时，点A与点B重合,
2.2 圆的对称性（2）
想一想
AB是⊙O的一条弦. 作直径CD，使CD⊥AB，垂足为M.
下图是轴对称图形吗？如果是，其对称轴是什么？
A
C M └
你能发现图中有哪些等量关系? B 与同伴说说你的想法和理由.
● O
D
条件
由①CD是直径 可推得 ②CD⊥AB
结论
③AM＝BM， ④A⌒C＝B⌒C， ⑤A⌒D＝B⌒D.
初中数学 九年级(上册)
圆的对称性 （2）
2.2 圆的对称性（2）
想一想
1．圆是什么对称图形？你是如何验证的？
●O
（1）圆是中心对称图形，圆心是它的对称中心； （2）圆是轴对称图形，经过圆心的直线是它的对 称轴．
2.2 圆的对称性（2）
想一想
2．圆是轴对称图形吗？如果是，它的对称轴是 什么？你能找到多少条对称轴？你是如何验证的？