27.1.2圆的对称性(3)PPT课件
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27.圆的对称性PPT课件(华师大版)
（3）如果∠AOB=∠COD，那么____________A_，B=_C__D______． AB=CD
（4）如果AB=CD，OE⊥AB于E，OF⊥CD于F，OE与OF相等吗？为什么？
解：OE=OF.
理由如下：
OE AB, OF CD,
AE 1 AB, CF 1 CD.
2
2
又 AB＝CD , AE＝CF.
又 OA＝OC, RtAOE≌RtCOF.
OE OF.
A C
E O·
F
B D
当堂练习
1．如果两个圆心角相等，那么
（）
D
A．这两个圆心角所对的弦相等
B．这两个圆心角所对的弧相等
C．这两个圆心角所对的弦的弦心距相等
D．以上说法都不对 2.弦长等于半径的弦所对的圆心角等于
.
60 °
3.在同圆中，圆心角∠AOB=2∠COD,则AB与CD的关系⌒是（⌒ ）
C
BOC COD DOE=35 ，
A
· O
B
75 .
例2 如图，在⊙O中， AB=AC ,∠⌒AC⌒B=60°,
求证：∠AOB=∠BOC=∠AOC.
A
证明： ∵A⌒B=C⌒D，
∴ AB=AC．△ABC是等腰三角形. 又∠ACB=60°， ∴ △ABC是等边三角形 , AB=BC=CA.
∴ ∠AOB＝∠BOC＝∠AOC.
·O
B
C
温馨提示：本题告知我们，弧、圆心角、弦灵活转化是解题的关键.
填一填： 如图，AB、CD是⊙O的两条弦．
( ( ( (
( (
（1）如果AB=CD，那么__________A_B，=_C_D_________∠_．AOB= ∠COD
3.2 圆的对称性 (共16张PPT)
●
o
圆心角 顶点在圆心的角(如∠AOB). ※如图,在圆O中,分别作相等的圆心角和∠AOB 和∠A′OB′, 将其中的一个旋转一个角度,使 得OA和O′A′重合.
A
B
●
A′
O
B A
A′
A
B′
●
O
B B′
●
O
你能发现那些等量关系?说一说你的理由.
※如图 , 如果在两个等圆⊙O和⊙O′中 , 分别作相 等的圆心角∠AOB和∠A′O′B′,将两圆重叠，并 固定圆心 , 将其中的一个圆旋转一个角度 , 使得 OA 和O′A′重合.
A B′ A′ A′ A
B
●
O
●
O′
B′ B
●
O
你又能发现那些等量关系?说一说你的理由.
用心想一想
圆心角, 弧,弦之间的关系?
圆心角, 弧,弦之间的关系定理 在同圆或等圆中,相等的圆心角所对的弧 相等，所对的弦相等.
A B A′
●
数学符号： ∵∠AOB=∠A′OB′
O
⌒ ⌒ ∴ AB=A′B′
（2）在同圆或等圆中，如果两 条弦相等，你能得出什么结论？ O
B A D
C
在同圆或等圆中，两个圆心角、两个圆心
角所对的弧、两个圆心角所对的弦中如果有一组量相等， 它们所对应的其余各组量也相等。
针对训练
填一填： 如图，AB、CD是⊙O的两条弦． ∠AOB= ∠COD AB=CD ，____________ （1）如果AB=CD，那么_________ ． ( AB=CD ， ∠ AOB= ∠COD （2）如果 AB=CD ，那么_________ _____________ ． ( AB=CD （3）如果∠AOB=∠COD，那么_____________ ， AB=CD ． _________
《圆的对称性》圆PPT课件3 (共26张PPT)
2 2 2
这段弯路的半径约为545m.
1.在⊙O中，OC垂直于弦AB，AB = 8，
OA = 5，则AC= 4 OC = ， .3
A O
5 ┏
2.在⊙O中，OC平分弦AB，AB = 16，
C8
B
OA = 10，则∠OCA =
OC =
90 °，
6
.
10
O C 16 B
A
【规律方法】运用垂径定理及其推论解决一些数学问题. 最常见的辅助线是连接圆上的点与圆心构成半径，及过 圆心作弦的垂线，构造直角三角形，利用勾股定理解决
2 2 2 2 ∴ AM AO OM 10 6 8
D
∴ AB = 2AM = 2
×
8 = 16
例2.如图，两个圆都以点O为圆心，小圆的弦CD与大圆的
弦AB在同一条直线上.你认为AC与BD的大小有什么关系？ 为什么？ 提示:作OG⊥AB ∵AG=BG,CG=DG
A O
└
∴AC=BD
问题.
通过本课时的学习，需要我们掌握： 1.圆的相关概念，弦、弧、优弧、劣弧. 2.垂径定理及推论.及圆的对称性. 垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的弧平分弦 （不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的弧.
例1.如图，在⊙O中，CD是直径，AB是弦，且CD⊥AB，已 知CD = 20，CM = 4，求AB.
(4)弦的垂直平分线一定平分这条弦所对的弧（ 对 ）
善良和谦虚是永远不应令人厌恶的两
种品德。 ——斯蒂文生
• • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • •
这段弯路的半径约为545m.
1.在⊙O中，OC垂直于弦AB，AB = 8，
OA = 5，则AC= 4 OC = ， .3
A O
5 ┏
2.在⊙O中，OC平分弦AB，AB = 16，
C8
B
OA = 10，则∠OCA =
OC =
90 °，
6
.
10
O C 16 B
A
【规律方法】运用垂径定理及其推论解决一些数学问题. 最常见的辅助线是连接圆上的点与圆心构成半径，及过 圆心作弦的垂线，构造直角三角形，利用勾股定理解决
2 2 2 2 ∴ AM AO OM 10 6 8
D
∴ AB = 2AM = 2
×
8 = 16
例2.如图，两个圆都以点O为圆心，小圆的弦CD与大圆的
弦AB在同一条直线上.你认为AC与BD的大小有什么关系？ 为什么？ 提示:作OG⊥AB ∵AG=BG,CG=DG
A O
└
∴AC=BD
问题.
通过本课时的学习，需要我们掌握： 1.圆的相关概念，弦、弧、优弧、劣弧. 2.垂径定理及推论.及圆的对称性. 垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的弧平分弦 （不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的弧.
例1.如图，在⊙O中，CD是直径，AB是弦，且CD⊥AB，已 知CD = 20，CM = 4，求AB.
(4)弦的垂直平分线一定平分这条弦所对的弧（ 对 ）
善良和谦虚是永远不应令人厌恶的两
种品德。 ——斯蒂文生
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圆的对称性PPT演示课件
7
结论
二、点与圆的位置关系有三种：
A C O 到圆心的距离小于半径 的点叫作圆内的点； 到圆心的距离大于半径 B 的点叫作圆外的点.
8
要点归纳
二、点和圆的位置关系
设点到圆心的距离为d,圆的半径为r，在点和圆三种不同位 置关系时，d与r有怎样的数量关系？
P d P d P r
d
r
r d<r
点P在⊙O内 点P在⊙O外
练一练 如图. (1)请写出以点A为端点的优弧及劣弧; AF, AD, AC, AE. 劣弧： AFE, AFC,AED, ACD. 优弧： (
D F A O C B E
(
(2)请写出以点A为端点的弦及直径.
弦AF,AB,AC.其中弦AB又是直径.
(
(
(
(
(
(
14
探究
1.如图，在一块硬纸板和一张薄的白纸分别画一个圆，使 它们的半径相等，把白纸放在硬纸板上面，使两个圆的圆 心重合，观察这两个圆是否重合.
C
·
1.圆是中心对称图形，圆心是它的对称中心 . 2.圆是轴对称图形，任意一条直径所在的直 线都是圆的对称轴
18
O
D
议一议
如图,为什么通常要把车轮设计成圆形？ 请说说理由.
19
议一议 为什么通常把车轮设计成圆形？说说理由.
把车轮做成圆形，车轮上各点到车轮中心（圆心）的
距离都等于车轮的半径，当车轮在平面上滚动时，车轮中
D E B
四 条．
A
O
F
C
32
2.正方形ABCD的边长为2cm，以A为圆心2cm为半径作 ⊙A，则点B在⊙A 上 ；点C在⊙A 外 ；点D在⊙A 上 . 3.⊙O的半径r为5㎝，O为原点，点P的坐标为（3,4）， 则点P与⊙O的位置关系为 （ B ） A.在⊙O内 C.在⊙O外 B.在⊙O上 D.在⊙O上或⊙O外
初中数学《圆的对称性》实用ppt北师大版1
1、用一块硬纸板和一张薄的白纸分别画一个圆，它们的半径相等， 把白纸放在硬纸板上面，使两个圆的圆心重合，观察这两个圆是否 重合？
这两个圆 重合
2、现在用一根大头针穿过这两个圆的圆心，让硬纸板保持不 动，让白纸绕圆心旋转任意角度，观察旋转后，白纸上的圆是 否仍然与硬纸板上的圆重合？这体现圆具有什么样的性质？
P
E
G O.
FB
AH
C
K
Q
新知探究
2、在白纸的圆上面画任意一条直径，把白纸沿着这条直径所 在的直线折叠．观察圆的两部分是否互相重合？
C
直径CD两侧的两个半圆
能够完全重合.
·O
这体现圆具有什么样的对称性？
E
A
B
D
圆是轴对称图形，任意一条直径所在的直线,都是 圆的对称轴.
新知探究
圆的对称性
圆是轴对称图形. 圆的对称轴是任意一条经过圆心的直线,它有无数条对称轴.
(8)半径相等的两个圆是等圆．√
课堂小结 1.回顾圆的两种定义，弦（直径），弧（半圆、优弧、劣 弧、等弧），等圆等知识点. 2.通过这节课的学习,你掌握了哪些新知识,还有哪些疑问?请 与同伴交流.
●
1.情节是叙事性文学作品内容构成的 要素之 一,是叙 事作品 中表现 人物之 间相互 关系的 一系列 生活事 件的发 展过程 。
可利用折叠的方法即可体现上述问题.
圆也是中心对称图形. 它的对称中心就是圆心.
用旋转的方法即可体现这个问题.
议一议 如图，为什么通常要把车轮设计成圆形？ 请说说理由.
因为圆心到圆上各个点的距离相等，都等于半径，车轴离开地面的距离始终等于 半径，车子就可以达到平稳的行驶；相同的面积时，圆的周长最长，节省材料； 变滑动摩擦为滚动摩擦，省力；等，……
这两个圆 重合
2、现在用一根大头针穿过这两个圆的圆心，让硬纸板保持不 动，让白纸绕圆心旋转任意角度，观察旋转后，白纸上的圆是 否仍然与硬纸板上的圆重合？这体现圆具有什么样的性质？
P
E
G O.
FB
AH
C
K
Q
新知探究
2、在白纸的圆上面画任意一条直径，把白纸沿着这条直径所 在的直线折叠．观察圆的两部分是否互相重合？
C
直径CD两侧的两个半圆
能够完全重合.
·O
这体现圆具有什么样的对称性？
E
A
B
D
圆是轴对称图形，任意一条直径所在的直线,都是 圆的对称轴.
新知探究
圆的对称性
圆是轴对称图形. 圆的对称轴是任意一条经过圆心的直线,它有无数条对称轴.
(8)半径相等的两个圆是等圆．√
课堂小结 1.回顾圆的两种定义，弦（直径），弧（半圆、优弧、劣 弧、等弧），等圆等知识点. 2.通过这节课的学习,你掌握了哪些新知识,还有哪些疑问?请 与同伴交流.
●
1.情节是叙事性文学作品内容构成的 要素之 一,是叙 事作品 中表现 人物之 间相互 关系的 一系列 生活事 件的发 展过程 。
可利用折叠的方法即可体现上述问题.
圆也是中心对称图形. 它的对称中心就是圆心.
用旋转的方法即可体现这个问题.
议一议 如图，为什么通常要把车轮设计成圆形？ 请说说理由.
因为圆心到圆上各个点的距离相等，都等于半径，车轴离开地面的距离始终等于 半径，车子就可以达到平稳的行驶；相同的面积时，圆的周长最长，节省材料； 变滑动摩擦为滚动摩擦，省力；等，……
圆的对称性课件
2.2 圆的对称性
情境引入
你知道车轮为什么设计成圆形吗？
设计成三角形、四边形又会怎样？
从中你发现了什么？
新课讲授
·
α
O
A
圆绕着圆心旋转
任何角度后,都
能与自身重合.
圆是中心对称图形,圆心是它的对称中心.
180
°
操作与思考
(1)在两张透明纸片上,分别作半径相等的⊙O 和⊙O′.
(2)在⊙O 和⊙O′中，分别作相等的圆心角∠AOB ,∠A′OB′，
例1
如图, AB、AC、BC都是⊙O 的弦,∠AOC＝∠BOC.
∠ABC与∠BAC相等吗？为什么？
解：∠ABC与∠BAC相等.
在⊙O中，∵∠AOC＝∠BOC，
∴AC=BC
∴∠ABC=∠BAC
O
B
A
C
若∠ABC与∠BAC,
则∠AOC=∠BOC吗？
例2：已知：如图，AB是⊙O的直径，点C、D在⊙O上，
AB=CD.
A
D
拓展延伸
如图，在☉O中，2∠AOB=∠COD，那么CD=2AB成立吗？
⌒ ⌒
CD=2AB也成立吗？请说明理由；如不是，那它们之间的
关系又是什么？
⌒
⌒
答：CD=2AB成立，CD=2AB不成立.
取 CD 的中点E,连接OE.那么
∠AOB=∠COE=∠DOE,所以 AB = CE
= DE . CD =2 AB，弦AB=CE=DE,
你能证明上面的结论吗？
根据旋转的性质，将圆心角∠AOB连同AB绕圆
心O旋转,射线 OA与OA′重合.
∵ ∠AOB＝∠A′OB′，
A′
B
B′
∴OB与OB′重合．
情境引入
你知道车轮为什么设计成圆形吗？
设计成三角形、四边形又会怎样？
从中你发现了什么？
新课讲授
·
α
O
A
圆绕着圆心旋转
任何角度后,都
能与自身重合.
圆是中心对称图形,圆心是它的对称中心.
180
°
操作与思考
(1)在两张透明纸片上,分别作半径相等的⊙O 和⊙O′.
(2)在⊙O 和⊙O′中，分别作相等的圆心角∠AOB ,∠A′OB′，
例1
如图, AB、AC、BC都是⊙O 的弦,∠AOC＝∠BOC.
∠ABC与∠BAC相等吗？为什么？
解：∠ABC与∠BAC相等.
在⊙O中，∵∠AOC＝∠BOC，
∴AC=BC
∴∠ABC=∠BAC
O
B
A
C
若∠ABC与∠BAC,
则∠AOC=∠BOC吗？
例2：已知：如图，AB是⊙O的直径，点C、D在⊙O上，
AB=CD.
A
D
拓展延伸
如图，在☉O中，2∠AOB=∠COD，那么CD=2AB成立吗？
⌒ ⌒
CD=2AB也成立吗？请说明理由；如不是，那它们之间的
关系又是什么？
⌒
⌒
答：CD=2AB成立，CD=2AB不成立.
取 CD 的中点E,连接OE.那么
∠AOB=∠COE=∠DOE,所以 AB = CE
= DE . CD =2 AB，弦AB=CE=DE,
你能证明上面的结论吗？
根据旋转的性质，将圆心角∠AOB连同AB绕圆
心O旋转,射线 OA与OA′重合.
∵ ∠AOB＝∠A′OB′，
A′
B
B′
∴OB与OB′重合．
《圆的对称性》圆PPT课件教学课件
●O
垂足为M，OM=3，则CD= 8 .
5.在⊙O中，CD ⊥AB于M，AB为直径，若
CD=10，AM=1，则⊙O的半径是 13 .
B
3、过⊙O内一点M的最长弦长为10cm，最短弦长为
8cm，那么OM长为（ ）A．3 B．6cm C．41 cm D．9cm
4、如图，⊙O的直径为10，弦AB长为8，M是弦AB上
2
2
37. 4C
OD OC DC R 7.2.
7.2
在Rt△OAD中，由勾股定理，得
A
D
B
OA2 AD2 OD 2 , R
即R2 18.72 (R 7.2)2.
解得 R≈27.9（m） O
答：赵州石拱桥的桥拱半径约为
27.9m.
垂径定理的逆定理
如图,在下列五个条件中:
① CD是直径, ② CD⊥AB, ③
B
平分线就能把⌒AB平分.
作法:
1.连结AB;
2.作AB的垂直平分线CD,交⌒AB与点E; ∴点E就是所求A⌒B的中点.
变式一： 求弧AB的四等分点．
Ｅ
C
G
错在哪里？
Ｍ
Ｎ
Ｐ
1．作AB的垂直平分线CD
A
2．作AT、BT的垂直平分线 EF、GH
F
Ｔ
B
DＨ
强调：等分弧时一定要作弧所对的弦的垂
直平分线．
变式一： 求弧AB的四等分点．
求证：PO平分∠BPD
若把上题改为：P
B
C 是⊙O内一点，
E
直线APB，CPD
A 分别交⊙O于A、
P O
F
B和C、D，已知 AB=CD，
结论还成立吗？
初中数学课件-圆的对称性课件北师大版2
（1）此图是轴对称图形，对称轴是 直径CD所在的直线
（2）AP=BP， A⌒C=B⌒C，A⌒D=B⌒D
初中数学课件-圆的对称性课件北师大 版2（ 精品课 件）
D
O
P
A
B
C
初中数学课件-圆的对称性课件北师大 版2（ 精品课 件）
已知：在☉O中，CD是直径，AB是弦，AB⊥CD，
垂足为P. 求证：AP=BP， A⌒C =B⌒C，A⌒D =B⌒D.
初中数学课件-圆的对称性课件北师大 版2（ 精品课 件）
初中数学课件-圆的对称性课件北师大 版2（ 精品课 件）
在等圆中探究
如图，在等圆中，如果∠AOB＝∠CO ′ D，你发现
的等量关系是否依然成立？为什么？
FB
C
ED
O· A
·O'
初中数学课件-圆的对称性课件北师大 版2（ 精品课 件）
通过平移和旋转将两个等圆变成同圆
初中数学课件-圆的对称性课件北师大 版2（ 精品课 件）
初中数学课件-圆的对称性课件北师大 版2COD，那么，A⌒B与C⌒D，
弦AB与弦CD有怎样的数量关系？
由圆的旋转不变性，我们发现： D
在⊙O中，如果∠AOB= ∠COD，
C B
· OA
那么，A⌒B=C⌒D，弦AB=弦CD
课堂小结
圆心角
概念：顶点在圆心的角
弦、弧、圆心 角的关系定理
应用提醒
在同圆或等圆中 圆心角 相等
初中数学课件-圆的对称性课件北师大 版2（ 精品课 件）
①要注意前提条件； ②要灵活转化.
弧 相等
弦 相等
初中数学课件-圆的对称性课件北师大 版2（ 精品课 件）
27.1.2 圆的对称性 第2课时 垂径定理
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A⌒D＝B⌒D，A⌒C＝B⌒C
倍 命题（3）：平分弦所对的一条弧的直径，垂直平分弦，并且
速 平分弦所对的另一条弧
课 时 学
已知：CD是直径，AB是弦，并且A⌒D＝B⌒D （A⌒C＝B⌒C）求证：CD平分AB，A⌒C＝B⌒C
练
⌒⌒
（AD＝BD）CD ⊥AB
2020年10月2日
7
推论（1）
（1）平分弦（不是直径）的直径垂直于弦， 并且平分弦所对的两条弧
倍 速
（垂直平分弦的直径平分弦所对的弦）
课 时
A⌒M－C⌒M＝B⌒M－D⌒M
学 练
∴A⌒C＝B⌒D
2020年10月2日
15
推论（1）
（1）平分弦（不是直径）的直径垂直于弦， 并且平分弦所对的两条弧
（2）弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所 对的两条弧
（3）平分弦所对的一条弧的直径，垂直平分 弦，并且平分弦所对的另一条弧
2020年10月2日
6
命题（1）：平分弦（不是直径）的直径垂 直于弦，并且平分弦所对的两条弧
.C O
已知：CD是直径，AB是弦，并且CD平分AB
求证：CD⊥AB，A⌒D＝B⌒D，A⌒C＝B⌒C
A
E B
命题（2）：弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所D对
的两条弧
已知：AB是弦，CD平分AB，
CD ⊥AB，求证：CD是直径，
圆是轴对称图形，经过圆 心的每一条直线都是它们
.
学
的对称轴
练
2020年10月2日
2
看一看
C
.O
A E
倍
B
速
D
课
时
学 练
AE≠BE
2020年10月2日
C
.O
A
E
B
D
AE＝BE
3
动动脑筋
已知：在⊙O中，CD是直径， AABE是＝弦BE，，CA⌒DC⊥＝AB⌒BC，，垂A⌒足D＝为B⌒ED。。求证：
证明：连结OA、OB，则OA＝OB。 A
27.1圆的认识
圆的对称性
倍 速 课 时 学 练
复习提问：
1、什么是轴对称图形？我们在前面学过哪些轴 对称图形？ 如果一个图形沿一条直线对折，直线两旁的部分能 够互相重合，那么这个图形叫轴对称图形。如线段、 角、等腰三角形、矩形、菱形、等腰梯形、正方形
2、我们所学的圆是不是
倍
轴对称图形呢？
速 课 时
倍 速
推论（2）
课
时
圆的两条平行弦所夹的弧相等
学
练
2020年10月2日
16
M
A
E
B
C
D
A
.
O
O.
E AC
DB
.O
小结:
N
倍
解决有关弦的问题，经常是过圆心作
速 课
弦的垂线，或作垂直于弦的直径，连结半
时
径等辅助线，为应用垂径定理创造条件。
学
练
2020年10月2日
17
演讲完毕，谢谢观看！
Thank you for reading! In order to facilitate learning and use, the content of this document can be modified, adjusted and printed at will after downloading. Welcome to download!
C
.O
E
B
D
叠 合 法
4
垂径定理
垂直于弦的直径平分这条弦，并 且平分弦所对的两条弧。
题设
结论
｝ ｛ 倍 （1）过圆心
速
（直径）
（3）平分弦 （4）平分弦所对的优弧
课
时 （2）垂直于弦
学
（5）平分弦所对的劣弧
练
2020年10月2日
5
讨论 （1）过圆心 （2）垂直于弦 （3）平分弦 （4）平 分弦所对优弧 （5）平分弦所对的劣弧
（3） （1）
（2） （2）
（4） （3）
（5）
（1） （4） （1） （5） （4）
（3） （2） （5）
（1） （5）
（3） （4） （2）
（1）平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且
平分弦所对的两条弧
倍
速 （2）弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对
课 时
的两条弧
学 练
（3）平分弦所对的一条弧的直径，垂直平分弦， 并且平分弦所对的另一条弧
平分弦所对的优弧 （5）平分弦所对的劣弧
倍
速 上述五个条件中的任何两个条件都
课 时
可以推出其他三个结论
学
练
2020年10月2日
12
例2：平分弧AB
• 画法：连结AB；画AB的中垂线，交弧AB 于点E。 点E就是所求的分点。
倍 速 课 时 学 练
2020年10月2日
13
讲解
例3 已知：如图，在以
O为圆心的两个同心圆中，
速 课
的两条弧
时 学
（3）平分弦所对的一条弧的直径，垂直平分弦，并
练
且平分弦所对的另一条弧
2020年10月2日
9
判断
（1）垂直于弦的直线平分弦，并且平分弦所对的 弧…………………………………………..( × )
（2）弦所对的两弧中点的连线，垂直于弦，并且 经过圆心……………………………………..(√ )
（3）圆的不与直径垂直的弦必不被这条直径平
倍 分…………………………………………...( × )
速 课
（4）平分弦的直径垂直于弦，并且平分弦所对的
时 两条弧………………………………………( × )
学
练 （5）圆内两条非直径的弦不能互相平分（ √ ）
2020年10月2日
10
讲解
A 例1 如图，已知在⊙O中， 弦AB的长为8厘米，圆心O到 AB的距离为3厘米，求⊙O的 半径。
大圆的弦AB交小圆于C，
D两点。
A
O.
E
C
D
B
求证：AC＝BD。
证明：过O作OE⊥AB，垂足为E，
倍 则AE＝BE，CE＝DE。
速
课 时
AE－CE＝BE－DE。
学 练
所以，AC＝BD
2020年10月2日
14
讲解
C
A
例4 已知：⊙O中弦 AB∥CD。
求证：A⌒C＝B⌒D
M D B
.O
N
证 ∴明 MN：⊥作C直D径。M则NA⊥⌒MA＝BB。⌒M∵，ACB⌒M∥＝CDD⌒M，
（2）弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所 对的两条弧
（3）平分弦所对的一条弧的直径，垂直平分
倍 速
弦，并且平分弦所对和的另一条弧
课
时
学
练
2020年10月2日
8
记忆
垂径定理
垂直于弦的直径平分这条弦， 并且平分弦所对的两条弧。
（1）平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平 分弦所对的两条弧
倍
（2）弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对
因为垂直于弦AB的直径CD所在的
直线既是等腰三角形OAB的对称轴
又是⊙ O的对称轴。所以，当把圆
沿着直径CD折叠时，CD两侧的两
倍 速 课 时 学 练
个和B⌒D半B重E圆重合重合。合，因，A此⌒AC点、和A⌒DB分点别重和合B，⌒CA、E AE＝BE，A⌒C＝B⌒C，A⌒D＝B⌒D
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
2020年10月2日
E
B
.
O
解：连结OA。过O作OE⊥AB，垂足为E，
则OE＝3厘米，AE＝BE。∵AB＝8厘米
倍 速
∴AE＝4厘米
课 时
在RtAOE中，根据勾股定理有OA＝5厘米
学 ∴⊙O的半径为5厘米。
练
2020年10月2日
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注意
根据垂径定理与推论可知对于一个 圆和一条直线来说。如果具备
（1）过圆心 （2）垂直于弦 （3）平分弦（4）