圆的对称性
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平分弦 平分弦所对的优弧 平分弦所对的劣弧
判断题：
(1)过圆心的直线平分弦 错
C C
(2)垂直于弦的直线平分弦错
•o
E
(3)⊙O中，OE⊥弦AB于E，A
则AE=BE
对
D (1)
B
•o
E A
D
(2)
A
B
•O EB
(3)
练一练
1．半径为4cm的⊙O中，弦AB=4cm,
那么圆心O到弦AB的距离是2 3百度文库m.
求赵州桥桥拱半径的问题
驶向胜利 的彼岸
1300多年前,我国隋朝建造的赵州石拱桥(如图)的 桥拱是圆弧形,它的跨度(弧所对是弦的长)为 37.4 m,拱高(弧的中点到弦的距离,也叫弓形高)
为7.2m,求桥拱的半径(精确到0.1m).
求赵州桥桥拱半径的问题
A
B
如图，用弧AB表示主桥拱，设弧AB所在圆的圆心为
A O O E 2A E 2=3 2+ 4 2= 5 cm
答：⊙O的半径为5cm.
检测
2 已知：如图，在以O为
圆心的两个同心圆中， 大圆的弦AB交小圆于C， D两点。试说明：AC＝A C
O.
E
D
B
BD。
证明：过O作OE⊥AB，垂足为E，则 AE＝BE，CE＝DE
∴AE－CE＝BE－DE
∴ AC＝BD
O AE B
2．⊙O的直径为10cm，圆心O到弦AB的
O
距离为3cm，则弦AB的长是 8cm . A E B
3．半径为2cm的圆中，过半径OC中点E且
O
垂直于这条半径的弦AB长是 2 3cm. A E B
C
问题2 平分弦的直径有什么特点？
如图在⊙O中，直径CD交弦AB于点P，AP=BP
下图是轴对称图形吗?如果是,其对称轴是什么?
动手操作，观察猜想.
CD是⊙O的直径，过直径上任一点P 作弦AB⊥CD，将⊙O沿CD对折，比 较图中的线段和弧，你有什么发现？
D
线段： AP=BP 弧： A⌒C=B⌒C, A⌒D=B⌒D.
·O
P
A
B
C
问题1. 垂直于弦的直径有什么特点？
n由 ① CD是直径 ② CD⊥AB
可推得
③AP=BP,
④A⌒C=B⌒C, ⑤A⌒D=B⌒D.
圆的对称性
学习目标
理解并掌握垂径定理：垂直于弦 的直径平分这条弦，并且平分弦 所对的两条弧。
赵州桥主桥拱的半径是多少？
A
B
问题 ：你知道赵州桥吗?它是1300多年前我国隋代建造的石 拱桥, 是我国古代人民勤劳与智慧的结晶．它的主桥是圆弧 形,它的跨度(弧所对的弦的长)为37.4m, 拱高(弧的中点到弦 的距离)为7.2m，你能求出赵州桥主桥拱的半径吗？.(精确 到0.1米)
O
OA2=AD2+OD2
即
R2=18.72+（R－7.2）2
解得：R≈27．9（m）
∴赵州桥的主桥拱半径约为27.9m.
检测题
1．如图，在⊙O中，弦AB的长为8cm，圆心O到
弦AB的距离（弦心距）为3cm，求⊙O的半径．
解：过点O做OE ⊥AB于E,连结OA
A
E
B
则AE1AB184 22
·
O
在RT△AOE中
由 ① CD是直径
④A⌒C=B⌒C,
可推得
②CD⊥AB, ③ AP=BP
⑤A⌒D=B⌒D.
D
●O
P
推论2：
A
B
C
平分弧的直径垂直平分这条弧所对的弦。
问题4：弦的垂直平分线有什么特点？
D
由②CD⊥AB ③ AP=BP
可推得
① CD是直径
④⑤AA⌒⌒CD==BB⌒⌒CD,.
●O
A
●P B
D
推论3：
弦的垂直平分线经过圆心并且
练一练
挑战自我
驶向胜利 的彼岸
1、判断：
(1)垂直于弦的直线平分这条弦,并且平分弦所对的两条 弧。
√（2）平分弦所对的一条弧的直径一定平分这条弦所对 的另一条弧。
（3）经过弦的中点的直径一定垂直于弦。 √（4）弦的垂直平分线一定平分这条弦所对的弧。 √（5）平行弦所夹的弧相等。
（6）圆的两条弦所夹的弧相等，则这两条弦平行。
▪ 你能发现直径CD与弦AB有什么关
D
系？图中有哪些等量关系?与同伴说
说发现你图的中想有法: 和理由.
●O
A
┗●P
推论1C：
n由 ① CD是直径
B
③ AP=BP
可推得
②CD⊥AB,
④A⌒C=B⌒C, ⑤A⌒D=B⌒D.
平分弦（不是直径）的直径垂直于这条弦,并
且平分弦所对的两条弧;
问题3：平分弧的直径有什么特点？
如图,理由是: 连结OA,OB, 则OA=OB.
∵ CD⊥AB
D
∴AP=BP ∠AOC= ∠BOC
∴
A⌒C
=
⌒
BC,
∴A⌒D =B⌒D,
●O
P
A
B
C
定理：垂直于弦的直径平分这条弦,并且平分弦所对
的两条弧.
垂径定理：垂直于弦的直径平分弦，并且平分
弦所对的两条弧。
题设
直径（或过圆心的直线） 垂直于弦
结论
平分弦所对的两条弧。
理解
记忆
垂径定理
垂直于弦的直径平分这条弦，并 且平分弦所对的两条弧。
推论1：平 平分 分弦 弦（ 所不对是的直两径条）弧的。直径垂直于弦，并且
推论2：平 并分 且弦 平所 分对弦的所一对条的弧另的一直条径弧，。垂直平分弦，
推论3： 弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对
的两条弧。
O，半径为R．经过圆心O 作弦AB 的垂线OC，D为
垂足，OC与弧AB 相交于点C，根据前面的结论，D
是AB 的中点，C是弧AB的中点，CD 就是拱C高．
在图中 AB=37.4，CD=7.2，
AD 1 2A B1 23.7 41.8 7,A
D B
OD=OC－CD=R－7.2
R
在Rt△OAD中，由勾股定理，得
讲解
3 已知⊙O的直径是50 cm，⊙O的两 条平行弦AB=40 cm ，CD=48cm， 求弦AB与CD之间的距离。
A
20 E
B
A
. 25
15
C
25
C
O7
D
24
E
B
.F
D
O
EF有两解：15+7=22cm 15-7=8cm
请你谈谈这节课 的收获和体会。
人有了知识，就会具备各种分析能力， 明辨是非的能力。 所以我们要勤恳读书，广泛阅读， 古人说“书中自有黄金屋。 ”通过阅读科技书籍，我们能丰富知识， 培养逻辑思维能力； 通过阅读文学作品，我们能提高文学鉴赏水平， 培养文学情趣； 通过阅读报刊，我们能增长见识，扩大自己的知识面。 有许多书籍还能培养我们的道德情操， 给我们巨大的精神力量， 鼓舞我们前进。
判断题：
(1)过圆心的直线平分弦 错
C C
(2)垂直于弦的直线平分弦错
•o
E
(3)⊙O中，OE⊥弦AB于E，A
则AE=BE
对
D (1)
B
•o
E A
D
(2)
A
B
•O EB
(3)
练一练
1．半径为4cm的⊙O中，弦AB=4cm,
那么圆心O到弦AB的距离是2 3百度文库m.
求赵州桥桥拱半径的问题
驶向胜利 的彼岸
1300多年前,我国隋朝建造的赵州石拱桥(如图)的 桥拱是圆弧形,它的跨度(弧所对是弦的长)为 37.4 m,拱高(弧的中点到弦的距离,也叫弓形高)
为7.2m,求桥拱的半径(精确到0.1m).
求赵州桥桥拱半径的问题
A
B
如图，用弧AB表示主桥拱，设弧AB所在圆的圆心为
A O O E 2A E 2=3 2+ 4 2= 5 cm
答：⊙O的半径为5cm.
检测
2 已知：如图，在以O为
圆心的两个同心圆中， 大圆的弦AB交小圆于C， D两点。试说明：AC＝A C
O.
E
D
B
BD。
证明：过O作OE⊥AB，垂足为E，则 AE＝BE，CE＝DE
∴AE－CE＝BE－DE
∴ AC＝BD
O AE B
2．⊙O的直径为10cm，圆心O到弦AB的
O
距离为3cm，则弦AB的长是 8cm . A E B
3．半径为2cm的圆中，过半径OC中点E且
O
垂直于这条半径的弦AB长是 2 3cm. A E B
C
问题2 平分弦的直径有什么特点？
如图在⊙O中，直径CD交弦AB于点P，AP=BP
下图是轴对称图形吗?如果是,其对称轴是什么?
动手操作，观察猜想.
CD是⊙O的直径，过直径上任一点P 作弦AB⊥CD，将⊙O沿CD对折，比 较图中的线段和弧，你有什么发现？
D
线段： AP=BP 弧： A⌒C=B⌒C, A⌒D=B⌒D.
·O
P
A
B
C
问题1. 垂直于弦的直径有什么特点？
n由 ① CD是直径 ② CD⊥AB
可推得
③AP=BP,
④A⌒C=B⌒C, ⑤A⌒D=B⌒D.
圆的对称性
学习目标
理解并掌握垂径定理：垂直于弦 的直径平分这条弦，并且平分弦 所对的两条弧。
赵州桥主桥拱的半径是多少？
A
B
问题 ：你知道赵州桥吗?它是1300多年前我国隋代建造的石 拱桥, 是我国古代人民勤劳与智慧的结晶．它的主桥是圆弧 形,它的跨度(弧所对的弦的长)为37.4m, 拱高(弧的中点到弦 的距离)为7.2m，你能求出赵州桥主桥拱的半径吗？.(精确 到0.1米)
O
OA2=AD2+OD2
即
R2=18.72+（R－7.2）2
解得：R≈27．9（m）
∴赵州桥的主桥拱半径约为27.9m.
检测题
1．如图，在⊙O中，弦AB的长为8cm，圆心O到
弦AB的距离（弦心距）为3cm，求⊙O的半径．
解：过点O做OE ⊥AB于E,连结OA
A
E
B
则AE1AB184 22
·
O
在RT△AOE中
由 ① CD是直径
④A⌒C=B⌒C,
可推得
②CD⊥AB, ③ AP=BP
⑤A⌒D=B⌒D.
D
●O
P
推论2：
A
B
C
平分弧的直径垂直平分这条弧所对的弦。
问题4：弦的垂直平分线有什么特点？
D
由②CD⊥AB ③ AP=BP
可推得
① CD是直径
④⑤AA⌒⌒CD==BB⌒⌒CD,.
●O
A
●P B
D
推论3：
弦的垂直平分线经过圆心并且
练一练
挑战自我
驶向胜利 的彼岸
1、判断：
(1)垂直于弦的直线平分这条弦,并且平分弦所对的两条 弧。
√（2）平分弦所对的一条弧的直径一定平分这条弦所对 的另一条弧。
（3）经过弦的中点的直径一定垂直于弦。 √（4）弦的垂直平分线一定平分这条弦所对的弧。 √（5）平行弦所夹的弧相等。
（6）圆的两条弦所夹的弧相等，则这两条弦平行。
▪ 你能发现直径CD与弦AB有什么关
D
系？图中有哪些等量关系?与同伴说
说发现你图的中想有法: 和理由.
●O
A
┗●P
推论1C：
n由 ① CD是直径
B
③ AP=BP
可推得
②CD⊥AB,
④A⌒C=B⌒C, ⑤A⌒D=B⌒D.
平分弦（不是直径）的直径垂直于这条弦,并
且平分弦所对的两条弧;
问题3：平分弧的直径有什么特点？
如图,理由是: 连结OA,OB, 则OA=OB.
∵ CD⊥AB
D
∴AP=BP ∠AOC= ∠BOC
∴
A⌒C
=
⌒
BC,
∴A⌒D =B⌒D,
●O
P
A
B
C
定理：垂直于弦的直径平分这条弦,并且平分弦所对
的两条弧.
垂径定理：垂直于弦的直径平分弦，并且平分
弦所对的两条弧。
题设
直径（或过圆心的直线） 垂直于弦
结论
平分弦所对的两条弧。
理解
记忆
垂径定理
垂直于弦的直径平分这条弦，并 且平分弦所对的两条弧。
推论1：平 平分 分弦 弦（ 所不对是的直两径条）弧的。直径垂直于弦，并且
推论2：平 并分 且弦 平所 分对弦的所一对条的弧另的一直条径弧，。垂直平分弦，
推论3： 弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对
的两条弧。
O，半径为R．经过圆心O 作弦AB 的垂线OC，D为
垂足，OC与弧AB 相交于点C，根据前面的结论，D
是AB 的中点，C是弧AB的中点，CD 就是拱C高．
在图中 AB=37.4，CD=7.2，
AD 1 2A B1 23.7 41.8 7,A
D B
OD=OC－CD=R－7.2
R
在Rt△OAD中，由勾股定理，得
讲解
3 已知⊙O的直径是50 cm，⊙O的两 条平行弦AB=40 cm ，CD=48cm， 求弦AB与CD之间的距离。
A
20 E
B
A
. 25
15
C
25
C
O7
D
24
E
B
.F
D
O
EF有两解：15+7=22cm 15-7=8cm
请你谈谈这节课 的收获和体会。
人有了知识，就会具备各种分析能力， 明辨是非的能力。 所以我们要勤恳读书，广泛阅读， 古人说“书中自有黄金屋。 ”通过阅读科技书籍，我们能丰富知识， 培养逻辑思维能力； 通过阅读文学作品，我们能提高文学鉴赏水平， 培养文学情趣； 通过阅读报刊，我们能增长见识，扩大自己的知识面。 有许多书籍还能培养我们的道德情操， 给我们巨大的精神力量， 鼓舞我们前进。