3.2 圆的对称性.ppt
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北师大版数学九年级下册圆的对称性课件
教学过程
10
记一记
通过探究，我们进一步得出同圆或等圆中圆心角、
新 弧、弦、弦心距之间关系.
知 在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、 两条弦、两个弦心距中有一组量相等，那么
新 它们所对应的其余各组量都分别相等
授
O
O'
A
C
B
A' C' B'
教学过程
11
记一记
同圆或等圆中圆心角、弧、弦、弦心距之间关系的
教学过程
8
议一议
在等圆⊙O和⊙O'中，分别作相等的圆心角∠AOB和
新 ∠A'O'B'，视察两个圆的重叠情况，你有什么发现？.
知
O
O'
新
ACΒιβλιοθήκη BA' C' B'
授 在等圆⊙O和⊙O'中，当圆心角∠AOB=∠A'O'B'时，
它们所对的弦A⌒B=A⌒’B’吗？AB=A’B’吗？它们所对的
弦心距OC=O’C’吗？.
教学过程
9
记一记
通过上面的探究，我们可以得出同圆或等圆中圆心
新 角、弧、弦、弦心距之间关系. 知 在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧
相等，所对的弦相等，所对的弦心距相等。
新 注意：两个圆心角、两条弧、两条弦、两 授 个弦心距相等的前提是“在同圆或等圆中”。
思考：在同圆或等圆中，两个圆心角、两 条弧、两条弦、两个弦心距中任意一组量 相等，其余的各组量也相等吗？
C. BC+BD> AB D. S△ABC＞S△DBC
D O
A
B C
教学过程
3.2 圆的对称性 (共16张PPT)
●
o
圆心角 顶点在圆心的角(如∠AOB). ※如图,在圆O中,分别作相等的圆心角和∠AOB 和∠A′OB′, 将其中的一个旋转一个角度,使 得OA和O′A′重合.
A
B
●
A′
O
B A
A′
A
B′
●
O
B B′
●
O
你能发现那些等量关系?说一说你的理由.
※如图 , 如果在两个等圆⊙O和⊙O′中 , 分别作相 等的圆心角∠AOB和∠A′O′B′,将两圆重叠，并 固定圆心 , 将其中的一个圆旋转一个角度 , 使得 OA 和O′A′重合.
A B′ A′ A′ A
B
●
O
●
O′
B′ B
●
O
你又能发现那些等量关系?说一说你的理由.
用心想一想
圆心角, 弧,弦之间的关系?
圆心角, 弧,弦之间的关系定理 在同圆或等圆中,相等的圆心角所对的弧 相等，所对的弦相等.
A B A′
●
数学符号： ∵∠AOB=∠A′OB′
O
⌒ ⌒ ∴ AB=A′B′
（2）在同圆或等圆中，如果两 条弦相等，你能得出什么结论？ O
B A D
C
在同圆或等圆中，两个圆心角、两个圆心
角所对的弧、两个圆心角所对的弦中如果有一组量相等， 它们所对应的其余各组量也相等。
针对训练
填一填： 如图，AB、CD是⊙O的两条弦． ∠AOB= ∠COD AB=CD ，____________ （1）如果AB=CD，那么_________ ． ( AB=CD ， ∠ AOB= ∠COD （2）如果 AB=CD ，那么_________ _____________ ． ( AB=CD （3）如果∠AOB=∠COD，那么_____________ ， AB=CD ． _________
3.2.2圆的对称性上课课件
B
o
C
如果： ∠AOB=∠ COD
D
下面我们一起来观察一下圆心角与它所对的 弦、弧有什么关系？A
B
o
C
如果： ∠AOB=∠ COD
D
下面我们一起来观察一下圆心角与它所对的 弦、弧有什么关系？A
B
o
C
如果： ∠AOB=∠ COD
D
下面我们一起来观察一下圆心角与它所对的 弦、弧有什么关系？A
B
o
C
3.2 圆的对称性（2）
圆心角、弧、弦、 弦心距之间的关系
想一想
2
驶向胜利 的彼岸
圆的对称性及特性
• 圆是轴对称图形,圆的对称轴是任意一条经过圆 心的直线,它有无数条对称轴.
●
O
做一做
做如下实验：
在两张透明的纸上，分别作半径相等的⊙O和⊙O´， 把两张纸叠在一起,使⊙ O与⊙O´重合,然后固定圆心.
A B′ O B′ A′ A′ A
D′
● ●
O′
B′ B
● ●
O′ O
你又能发现那些等量关系?说一说你的理由.
如图，⊙O 和⊙O' 是等圆， 如果 ∠AOB= ∠ A'O'B' 那么 AB=A'B' 、AB= A'B' 、OM=O'M', 为什么？
D B C
B O A O'
B' A'
O A
前提条件
O'
等圆
O
同圆或等圆的半径相等
D
弦
C
弧
A BLeabharlann 等弧在同圆或等圆中，能够互相重合的 两条弧叫做等弧
o
C
如果： ∠AOB=∠ COD
D
下面我们一起来观察一下圆心角与它所对的 弦、弧有什么关系？A
B
o
C
如果： ∠AOB=∠ COD
D
下面我们一起来观察一下圆心角与它所对的 弦、弧有什么关系？A
B
o
C
如果： ∠AOB=∠ COD
D
下面我们一起来观察一下圆心角与它所对的 弦、弧有什么关系？A
B
o
C
3.2 圆的对称性（2）
圆心角、弧、弦、 弦心距之间的关系
想一想
2
驶向胜利 的彼岸
圆的对称性及特性
• 圆是轴对称图形,圆的对称轴是任意一条经过圆 心的直线,它有无数条对称轴.
●
O
做一做
做如下实验：
在两张透明的纸上，分别作半径相等的⊙O和⊙O´， 把两张纸叠在一起,使⊙ O与⊙O´重合,然后固定圆心.
A B′ O B′ A′ A′ A
D′
● ●
O′
B′ B
● ●
O′ O
你又能发现那些等量关系?说一说你的理由.
如图，⊙O 和⊙O' 是等圆， 如果 ∠AOB= ∠ A'O'B' 那么 AB=A'B' 、AB= A'B' 、OM=O'M', 为什么？
D B C
B O A O'
B' A'
O A
前提条件
O'
等圆
O
同圆或等圆的半径相等
D
弦
C
弧
A BLeabharlann 等弧在同圆或等圆中，能够互相重合的 两条弧叫做等弧
3.2圆的对称性上课课件
九年级数学(下)第三章圆
3.2
圆的对称性(1) -----垂径定理
想一想
1.圆是轴对称图形吗？
●
O
如果是,它的对称轴是什么? 你能找到多少条对称轴? 你是用什么方法解决这个问题的? 圆是轴对称图形. 其对称轴是任意一条过圆心的直线. 用折叠的方法即可解决这个问题.
相关概念
圆上任意两点间的部分叫做圆弧,简称弧. 以A,B两点为端点的弧.记作 ⌒ AB,读作“弧 AB”. ⌒(用两个字母). 小于半圆的弧叫做劣弧,如记作
⌒ ⌒ ⑤AD=BD.
垂径定理的逆定理
平分弦（不是直径）的直径垂直于弦 , ． 并且平 分弦所对的两条弧.
被平分的这条 弦不是直径
C
A
┗M
●
●
B
O
CD是直径 AM=BM
可推得
⌒ ⌒ AC=BC, ⌒
CD⊥AB,
⌒ AD=BD.
D
判断： ⑴垂直于弦的直线平分这条弦,并且平分弦所对 的两条弧. （ ） ⑵平分弦的直径一定垂直于这条弦. （ ）
(3)弦的垂直平分线一定经过圆心. （ √ ）
课堂小结：
1.请说出本节所学习的主要内容。 2.还有什么疑惑请提出来
已知如图，在以O为圆心的两个同心圆中，大 圆的弦AB交小圆于C、D两点。 求证：AC=BD 证明：过O作OE⊥AB于E， 则 AE=BE,CE=DE ∴AE－CE=BE－DE 即AC=BD
B
做一做
垂径定理的逆定理
AB是⊙O的一条弦,且AM=BM. 过点M作直径CD. 下图是轴对称图形吗?如果是,其对称轴是什么? 你能发现图中有哪些等量关系?与同 伴说说你的想法和理由. C
A
3.2
圆的对称性(1) -----垂径定理
想一想
1.圆是轴对称图形吗？
●
O
如果是,它的对称轴是什么? 你能找到多少条对称轴? 你是用什么方法解决这个问题的? 圆是轴对称图形. 其对称轴是任意一条过圆心的直线. 用折叠的方法即可解决这个问题.
相关概念
圆上任意两点间的部分叫做圆弧,简称弧. 以A,B两点为端点的弧.记作 ⌒ AB,读作“弧 AB”. ⌒(用两个字母). 小于半圆的弧叫做劣弧,如记作
⌒ ⌒ ⑤AD=BD.
垂径定理的逆定理
平分弦（不是直径）的直径垂直于弦 , ． 并且平 分弦所对的两条弧.
被平分的这条 弦不是直径
C
A
┗M
●
●
B
O
CD是直径 AM=BM
可推得
⌒ ⌒ AC=BC, ⌒
CD⊥AB,
⌒ AD=BD.
D
判断： ⑴垂直于弦的直线平分这条弦,并且平分弦所对 的两条弧. （ ） ⑵平分弦的直径一定垂直于这条弦. （ ）
(3)弦的垂直平分线一定经过圆心. （ √ ）
课堂小结：
1.请说出本节所学习的主要内容。 2.还有什么疑惑请提出来
已知如图，在以O为圆心的两个同心圆中，大 圆的弦AB交小圆于C、D两点。 求证：AC=BD 证明：过O作OE⊥AB于E， 则 AE=BE,CE=DE ∴AE－CE=BE－DE 即AC=BD
B
做一做
垂径定理的逆定理
AB是⊙O的一条弦,且AM=BM. 过点M作直径CD. 下图是轴对称图形吗?如果是,其对称轴是什么? 你能发现图中有哪些等量关系?与同 伴说说你的想法和理由. C
A
3.2 圆的对称性(2)
在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、 两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余 各组量都分别相等.
议一议
在得到本节结论的过程中，你用到了 哪些方法？与同伴进行交流.
折叠(轴对称)
旋转
证明
随堂练习
1.利用一个圆及其若干条弦分别设计 出符合下列条件的图案: (1)是轴对称图形但不是中心对称图形;
A B'
A'
你能发现哪些等量关系?说一说你的理由.
B
B'
B
O
A
O'
A'
O(O')
A B'
A'
⌒ ⌒ 小红认为 AB=A′B′ AB=A′B′ ∴半径OB与O´B´重合.
她是这样想的：
∵半径OA与O’A’重合，∠AOB=∠A´O´B´， ∵点A与点A´重合，点B与点B´重合 ∴AB与A′B′重合
⌒ ⌒
3.2 圆的对称性（2）
想一想
2
驶向胜利 的彼岸
圆的对称性及特性
• 圆是轴对称图形,圆的对称轴是任意一条经过圆 心的直线,它有无数条对称轴.
●
O
做一做
做如下实验：
在两张透明的纸上，分别作半径相等的⊙O和⊙O´， 把两张纸叠在一起,使⊙ O与⊙O´重合,然后固定圆心.
O'
O
O(O')
将其中一个圆旋转任意一个角度,两个圆还能 重合吗？
利用旋转的方法可以得到：一个圆绕着它 的圆心旋转任意一个角度，都能与原图形重合. 这叫做圆的旋转不变性. 特别地
圆是中心对称图形,对称中心是圆心.
做一做
在下图中，分别作相等的圆心角∠AOB 和∠A´O´B´，固定圆心，将其中一个 圆旋转一个角度，使得OA与O´A´重合.
《圆的对称性》课件
总结词
阐述圆的基本属性
详细描述
圆具有许多基本的性质，包括其对称性、弧长与角度的关系、圆周角定理等。这 些性质是理解圆更深层次特性的基础。
圆的应用
总结词
列举圆在日常生活中的实际应用
详细描述
圆在日常生活和科学中有着广泛的应用，包括几何学、物理学、工程学和天文学等领域。例如，轮胎的设计、管 道的铺设、天文望远镜的制造等都涉及到圆的知识。
详细描述
自然界中的圆对称性，如花朵、树叶、果实 等，这些自然形态的圆对称性不仅美化了我 们的生活，还揭示了生命的奥秘和自然法则 。这种圆对称性的存在，使得生物能够更好 地适应环境，提高生存和繁衍的机会。
艺术创作中的圆对称性
要点一
总结词
艺术创作中的圆对称性，能够创造出和谐、平衡和完美的 艺术效果，是艺术家们常用的表现手法之一。
旋转变换
旋转变换定义
在平面内，将图形绕某一 定点旋转一定的角度，但 不改变图形的大小和形状 。
旋转变换性质
图形在旋转过程中，其内 部任意两点之间的距离保 持不变，且与旋转的角度 和中心点位置无关。
旋转变换的应用
在几何、解析几何等领域 中都有广泛的应用，如三 角形的旋转、极坐标系中 的角度变化等。
轴对称变换
平移变换
01Leabharlann 0203平移变换定义
在平面内，将图形沿某一 方向平行移动一定的距离 ，但不改变图形的大小和 形状。
平移变换性质
图形在平移过程中，其内 部任意两点之间的距离保 持不变，且与平移的方向 和距离无关。
平移变换的应用
在几何、代数、解析几何 等领域中都有广泛的应用 ，如平行线、平行四边形 、函数图像等。
02
圆的对称性
九年级数学北师大版初三下册--第三单元3.2《圆的对称性》课件
在同圆或等圆中，如果两条弦相等，你能得出什么 结论？
归纳
知2－导
1.在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对 的弦相等.
2.在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦 中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分 别相等.
（来自教材）
知2－讲
例2 下列命题中，正确的是( C ) ①顶点在圆心的角是圆心角；
形、圆、等腰三角形，这些图形中只是轴对称图
形的有( A )
A．1个
B．2个
C．3个
D．4个
知1－练
4 【2017·黄石】下列图形中既是轴对称图形，又是 中心对称图形的是( D )
知2－导
知识点 2 圆心角与所对的弧、弦之间的关系
在同圆或等圆中，如果两个圆心角所对的弧相等，那 么它们所对的弦相等 吗？这两个圆心角相等吗？你是怎 么想的？
②相等的圆心角所对的弧也相等；
③在等圆中，圆心角不等，所对的弦也不等．
A．①和②
B．②和③
C．①和③
D．①②③
知2－讲
导引：①根据圆心角的定义知，顶点在圆心的角是圆心角， 故正确；②缺少条件，必须是在同圆或等圆中，相等 的圆心角所对的弧才相等，故错误；③根据弧、弦、 圆心角之间的关系定理，可知在等圆中，若圆心角相 等，则所对的弦相等，若圆心角不等，则所对的弦也 不等，故正确．
总结
知2－讲
本题考查了对弧、弦、圆心角之间的关系的理解，对于 圆中的一些易混易错结论应结合图形来解答．特别要注 意：看是否有“在同圆或等圆中”这个前提条件．
知2－练
1 下面四个图形中的角，是圆心角的是( D )
知2－练
2 如图，AB为⊙O的弦，∠A＝40°，则A︵B所对的 圆心角等于( C ) A．40° B．80° C．100° D．120°
归纳
知2－导
1.在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对 的弦相等.
2.在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦 中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分 别相等.
（来自教材）
知2－讲
例2 下列命题中，正确的是( C ) ①顶点在圆心的角是圆心角；
形、圆、等腰三角形，这些图形中只是轴对称图
形的有( A )
A．1个
B．2个
C．3个
D．4个
知1－练
4 【2017·黄石】下列图形中既是轴对称图形，又是 中心对称图形的是( D )
知2－导
知识点 2 圆心角与所对的弧、弦之间的关系
在同圆或等圆中，如果两个圆心角所对的弧相等，那 么它们所对的弦相等 吗？这两个圆心角相等吗？你是怎 么想的？
②相等的圆心角所对的弧也相等；
③在等圆中，圆心角不等，所对的弦也不等．
A．①和②
B．②和③
C．①和③
D．①②③
知2－讲
导引：①根据圆心角的定义知，顶点在圆心的角是圆心角， 故正确；②缺少条件，必须是在同圆或等圆中，相等 的圆心角所对的弧才相等，故错误；③根据弧、弦、 圆心角之间的关系定理，可知在等圆中，若圆心角相 等，则所对的弦相等，若圆心角不等，则所对的弦也 不等，故正确．
总结
知2－讲
本题考查了对弧、弦、圆心角之间的关系的理解，对于 圆中的一些易混易错结论应结合图形来解答．特别要注 意：看是否有“在同圆或等圆中”这个前提条件．
知2－练
1 下面四个图形中的角，是圆心角的是( D )
知2－练
2 如图，AB为⊙O的弦，∠A＝40°，则A︵B所对的 圆心角等于( C ) A．40° B．80° C．100° D．120°
圆的轴对称性PPT课件
C
CC
C C
A A
A
CC C D D C
O
O
OO
A
AA
B BB
O O
B B
O O
O
A A
O O B
AA
①
D DD
DD D
② ②
③
B B B
④
① ①
③ ③
⑤ ⑤
探索规律
• AB是⊙O的一条弦. 作直径CD,使CD⊥AB,垂足为M.
下图是轴对称图形吗?如果是,其对称轴是什么?
C
A
• 你能发现图中有哪些等量关系?与同伴说 说你的想法和理由.
A O
B D
2.在半径为5cm的⊙ O中，弦AB∥CD,且 AB=6cm,CD=8cm,求AB,CD之间的距离 3.如图，∠C=90°，⊙C与 AB交于点D，AC=5,CB=12, 求AD的长
A C B D
一、圆是轴对称图形，其对称轴是 任意一 条过圆心的直线（或直径所在直线．） 并且平分弦所对的弧． 三、垂径定理和勾股定理相结合，构造 直角三角形，可解决计算弦长、半 径、圆心到弦的距离等问题．
●
O
如何确定圆形纸片的圆心？说 说你的想法。
将圆纸片对折,确定出圆的一条直径; 用同样的方法,再确定出圆的另一条直 径.两条直径的交点即为圆形纸片的圆 心.
（1）判断下列图形是否具有对称性？ 如果一个对称图形与圆具有相同 如果是中心对称图形，指出它的对称 的对称中心或对称轴，那么它和 中心，如果是轴对称图形，指出它的 对称轴。 圆组成的新图形也是对称图形．
O
解：过Ｏ点作ＯＥ⊥ＡＢ， 垂径定理和勾股定理相结合，构
造直角三角形，把圆的问题化归 并延长ＯＥ交⊙Ｏ于Ｆ，连接 为直线形问题解决。
CC
C C
A A
A
CC C D D C
O
O
OO
A
AA
B BB
O O
B B
O O
O
A A
O O B
AA
①
D DD
DD D
② ②
③
B B B
④
① ①
③ ③
⑤ ⑤
探索规律
• AB是⊙O的一条弦. 作直径CD,使CD⊥AB,垂足为M.
下图是轴对称图形吗?如果是,其对称轴是什么?
C
A
• 你能发现图中有哪些等量关系?与同伴说 说你的想法和理由.
A O
B D
2.在半径为5cm的⊙ O中，弦AB∥CD,且 AB=6cm,CD=8cm,求AB,CD之间的距离 3.如图，∠C=90°，⊙C与 AB交于点D，AC=5,CB=12, 求AD的长
A C B D
一、圆是轴对称图形，其对称轴是 任意一 条过圆心的直线（或直径所在直线．） 并且平分弦所对的弧． 三、垂径定理和勾股定理相结合，构造 直角三角形，可解决计算弦长、半 径、圆心到弦的距离等问题．
●
O
如何确定圆形纸片的圆心？说 说你的想法。
将圆纸片对折,确定出圆的一条直径; 用同样的方法,再确定出圆的另一条直 径.两条直径的交点即为圆形纸片的圆 心.
（1）判断下列图形是否具有对称性？ 如果一个对称图形与圆具有相同 如果是中心对称图形，指出它的对称 的对称中心或对称轴，那么它和 中心，如果是轴对称图形，指出它的 对称轴。 圆组成的新图形也是对称图形．
O
解：过Ｏ点作ＯＥ⊥ＡＢ， 垂径定理和勾股定理相结合，构
造直角三角形，把圆的问题化归 并延长ＯＥ交⊙Ｏ于Ｆ，连接 为直线形问题解决。