圆的对称性
24.1圆的对称性
想一想P 想一想 88 2
圆的对称性
圆是轴对称图形. 圆是轴对称图形. 圆的对称轴是任意一条经过圆心的直线, 圆的对称轴是任意一条经过圆心的直线,它有无 数条对称轴. 数条对称轴. 可利用折叠的方法即可解决上述问题. 可利用折叠的方法即可解决上述问题. 圆也是中心对称图形. 圆也是中心对称图形. 它的对称中心就是圆心. 它的对称中心就是圆心.
平分弦所对的两条弧的直线经过圆心,并且垂直平分弦 平分弦所对的两条弧的直线经过圆心 并且垂直平分弦. 并且垂直平分弦
A
P
O
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
B
5.在半径为30㎜的⊙O中，弦AB=36 5.在半径为30㎜ 在半径为30 ㎜，则O到AB的距离是= 24mm ， AB的距离是= 的距离是 OAB的余弦值 的余弦值= ∠OAB的余弦值= 0.6 。 6.已知：如图，在以 为圆心的两个同心 已知： 已知 如图，在以O为圆心的两个同心 圆中，大圆的弦AB交小圆于 交小圆于C， 两点 两点。 圆中，大圆的弦 交小圆于 ，D两点。 你认为AC和 有什么关系 为什么？ 有什么关系？ 你认为 和BD有什么关系？为什么？ 证明： 证明：过O作OE⊥AB，垂足为 ， 作 ⊥ ，垂足为E， 则AE＝BE，CE＝DE。 ＝ ， ＝ 。 O ∴ AE－CE＝BE－DE － ＝ － 即 AC＝BD ＝ A C E 注意：解决有关弦的问题， 注意：解决有关弦的问题，过圆心作 弦的垂线，或作垂直于弦的直径， 弦的垂线，或作垂直于弦的直径，也 是一种常用辅助线的添法． 是一种常用辅助线的添法．
A B D C
●
A C
●
O
O
B D
圆的两条平行弦所夹的弧相等. 垂径定理的推论 圆的两条平行弦所夹的弧相等
圆的对称性
圆的对称性温故知新：1.已知:如图,点O是∠EPF的平分线的一点,以O为圆心的圆和∠EPF的两边分别交于点A、B和C、D.求证: ∠OBA=∠OCD1、圆的对称性(1)圆是轴对称图形，它的对称轴是直径所在的直线。
(2)圆是中心对称图形，它的对称中心是圆心。
(3)圆是旋转对称图形。
2、垂径定理。
(1)垂直于弦的直径平分这条弦，且平分这条弦所对的两条弧。
(2)推论：平分弦(非直径)的直径，垂直于弦且平分弦所对的两条弧。
平分弧的直径，垂直平分弧所对的弦。
【例1】如图，AB、AC、BC是⊙O的弦，∠AOC＝∠BOC.∠ABC与∠BAC相等吗？为什么？【例2】如图，在△ABC中，∠C＝90°，∠B＝28°，以C为圆心，DE的度数．CA为半径的圆交AB于点D，交BC与点E．求⌒AD、⌒【例3】如图，在同圆中，若⌒AB＝2⌒CD，则AB与2CD的大小关系是( ) ．A. AB＞2CDB. AB＜2CDC. AB＝2CDD. 不能确定【例4】如图，已知在⊙O中，弦AB的长为8厘米，圆心O到AB的距离为3厘米，求⊙O的半径．【例5】如图，圆柱形水管内原有积水的水平面宽CD=10cm，水深GF=1cm，若水面上升1cm（EG=1cm），则此时水面宽AB为多少？【例6】有一座弧形的拱桥，桥下水面的宽度AB 为7.2米，拱顶高出水面CD ，长为2.4米，现有一艘宽3米，船舱顶部为长方形并且高出水面2米的货船要经过这里，此货船能顺利通过这座弧形拱桥吗？课堂练习1．如图，在⊙O 中，AB ︵＝AC ︵，∠AOB ＝122°，则∠AOC 的度数为( )A ．122°B ．120°C ．61°D ．58°2．下列结论中，正确的是( )A ．同一条弦所对的两条弧一定是等弧B ．等弧所对的圆心角相等C ．相等的圆心角所对的弧相等D ．长度相等的两条弧是等弧3．如图，在⊙O 中，若C 是AB ︵的中点，∠A ＝50°，则∠BOC 等于( )A ．40°B ．45°C ．50°D ．60°4．如图，已知BD 是⊙O 的直径，点A ，C 在⊙O 上，AB ︵＝BC ︵，∠AOB ＝60°，则∠COD 的度数是________．5．如图，AB 是⊙O 的直径，BC ︵＝CD ︵＝DE ︵，∠BOC ＝40°，则∠AOE ＝________°.6．在⊙O 中，若弦AB 的长恰好等于半径，则弦AB 所对的圆心角的度数为________．7．如图，在⊙O 中，AB ，CD 是两条直径，弦CE ∥AB ，EC ︵的度数是40°，求∠BOD的度数．8．已知：如图，在⊙O 中，弦AB 的长为8，圆心O 到AB 的距离为3.(1)求⊙O 的半径；(2)若P 是AB 上的一动点，试求OP 的最大值和最小值．9．如图，已知在以点O 为圆心的两个同心圆中，大圆的弦AB 交小圆于点C ，D.(1)求证：AC ＝BD ；(2)若大圆的半径R ＝10，小圆的半径r ＝8，且圆心O 到直线AB 的距离为6，求AC 的长．10．如图，已知在⊙O 中，AB 是弦，半径OC ⊥AB ，垂足为D.要使四边形OACB 为菱形，还需添加一个条件，这个条件可以是( )A ．AD ＝BDB ．OD ＝CDC ．∠CAD ＝∠CBDD ．∠OCA ＝∠OCB11．如图，AB 是⊙O 的弦，AB 的长为8，P 是⊙O 上一个动点(不与点A，B重合)，过点O作OC⊥AP于点C，OD⊥PB于点D，则CD的长为________．12．如图，AB是⊙O的直径，AB＝4，M是OA的中点，过点M的直线与⊙O交于C，D两点．若∠CMA＝45°，则弦CD的长为________．13．已知：如图，∠PAQ＝30°，在边AP上顺次截取AB＝3 cm，BC＝10 cm，以BC 为直径作⊙O交射线AQ于E，F两点，求：(1)圆心O到AQ的距离；(2)线段EF的长．14．如图，某地有一座圆弧形拱桥，圆心为O，桥下水面宽度AB为7.2 m，过点O作OC⊥AB于点D，交圆弧于点C，CD＝2.4 m．现有一艘宽3 m、船舱顶部为方形并高出水面2 m的货船要经过拱桥，则此货船能否顺利通过这座拱桥？15．如图，AB，CD是半径为5的⊙O的两条弦，AB＝8，CD＝6，MN是直径，AB⊥MN于点E，CD⊥MN于点F，P为EF上的任意一点，试求PA＋PC的最小值．课后练习1．圆是轴对称图形，____________都是它的对称轴，因此圆有________条对称轴．2．如图，已知⊙O 的直径AB ⊥CD 于点E ，则下列结论中不一定正确的是( )A ．CE ＝DEB ．AE ＝OEC.BC ︵＝BD ︵ D ．△OCE ≌△ODE3．在⊙O 中，非直径的弦AB ＝8 cm ，OC ⊥AB 于点C ，则AC 的长为( )A ．3 cmB ．4 cmC ．5 cmD ．6 cm4．如图，AB 是⊙O 的弦，半径OC ⊥AB 于点D .若⊙O 的半径为5，AB ＝8，则CD 的长是( )A ．2B ．3C ．4D ．55．如图，⊙O 的直径CD 垂直弦AB 于点E ，且CE ＝2，DE ＝8，则AB 的长为( )A ．2B ．4C ．6D ．86．如图，AB 是⊙O 的直径，C 是⊙O 上的一点．若BC ＝6，AB ＝10，OD ⊥BC 于点D ，则OD 的长为________．7．如图，AB 为⊙O 的直径，弦CD ⊥AB 于点E ，已知CD ＝6，EB ＝1，则⊙O 的半径为________．8．如图是一个古代车轮的碎片，小明为求其外圆半径，连接外圆上的两点A ，B ，外圆半径OC ⊥AB 于点D 交外圆于点C.测得CD ＝10 cm ，AB ＝60 cm ，则这个车轮的外圆半径是________cm .。
《圆的对称性》圆心角优秀自己总结
在半径为5cm的圆O中，弦AB的长为6cm，则弦AB的弦心距是多少？
已知圆O的半径为5cm，弦AB的长为8cm，P是弦AB上的一个动点，则点P到圆心O的最短距离是多少？
思考题
练习题
感谢观看
THANKS
01
02
利用圆的对称性解题技巧
04
CHAPTER
利用对称性简对称性可以简化计算过程。例如，计算圆心角所对的弧长或面积时，只需考虑圆心角的一半或特定部分，然后利用对称性得到完整的结果。
对称性简化计算
利用圆的镜像对称性，可以将问题转化为更容易处理的形式。例如，在处理与弦或切线相关的问题时，可以通过作垂线或构造相似三角形等方法，利用镜像对称简化计算。
镜像对称
利用对称性判断图形性质
判定等腰三角形
在圆内接三角形中，如果两个角所对的弧相等，则这两个角相等，从而可以判定该三角形为等腰三角形。
判定直角三角形
如果圆内接三角形的一个角所对的弧是另一个角所对弧的两倍，则该三角形为直角三角形。这一性质可以通过圆的对称性和相似三角形的性质来证明。
利用对称性解决实际问题
01
圆的对称性定义
圆是中心对称图形，任意一点关于圆心的对称点仍在圆上。
02
圆心角性质
在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等。
拓展延伸相关知识点
一条弧所对的圆周角等于它所对圆心角的一半。 圆周角定理 弦切角等于它所夹弧所对的圆周角。 弦切角定理 相交两圆的连心线垂直平分两圆的公共弦。 圆的幂定理
圆上任一点绕圆心旋转任意角度后，仍然位于圆上。
对于圆上任意两点，如果它们关于圆心对称，则它们的连线段通过圆心且被圆心平分。
中心对称性
《圆的对称性》
01
在古希腊和古埃及，数学家们开始研究圆的对称性，并探索其
几何性质。
欧几里得几何
02
在欧几里得几何中，圆被定义为所有到定点距离相等的点的集
合，这个定点被称为圆心。
反射对称性
03
圆的反射对称性是指，如果一个点在圆上，那么与它关于圆心
对称的点也在圆上。
圆的对称性的发展现状
微积分学的发展
在微积分学中，圆的对称性被进一步研究，并应用于解决各种 问题。
更广泛的应用
随着科技的发展，圆的对称性将会在更多的领域得到应用，例如 计算机图形学、人工智能等。
感谢您的观看
THANKS
。
03
工程学
在工程学中，圆的对称性被广泛应用于机械设计、建筑设计等领域。
例如，许多机械零件和建筑结构都采用了旋转对称性和反射对称性的
பைடு நூலகம்
原理进行设计和建造。
02
圆的基本性质
圆的定义
圆是平面上所有与给定点（称为圆心）的距离等于给定长度（称为半径）的点的 集合。
圆的方程通常表示为(x - h)^2 + (y - k)^2 = r^2，其中(h, k)是圆心的坐标，r是 半径。
测量与计算
圆的对称性在测量和计算 中也经常用到，如计算圆 的周长、面积等。
在物理学中的应用
运动学
圆的对称性在运动学中有着重要的应用，如物体 做圆周运动时的向心力和离心力。
光学
圆的对称性在光学中也有着重要的应用，如各种 光学仪器（如望远镜、显微镜等）的设计。
电磁学
在电磁学中，圆的对称性对于理解电磁场的分布 和性质非常重要。
在日常生活中的应用
建筑设计
圆的对称性在建筑设计中有着广泛的应用，如圆形屋顶、圆形窗 户等。
3[1].圆的对称性课件
![3[1].圆的对称性课件](https://img.taocdn.com/s3/m/cd24d461f5335a8102d22017.png)
R
O
1.如图，在⊙o中，弦AB的长 是48cm,点o到这条弦的距离 为10cm.求⊙o的半径
A
•o
B
2.在直径为650mm的圆柱形油槽内装入一 些油后，截面如图所示.若油面宽AB = 600mm，求油的最大深度.
O A B
3.已知如图，在以O为圆心的两个同心圆中， 大圆的弦AB交小圆于C、D两点。 求证：AC=BD
•o A C
┐E
D
B
注意：在圆中，解有关弦的问题时，常常需要作 出“垂直于弦的直径”作为辅助线，实际上，往 往只需从圆心作弦的垂线段。
挑战自我 画一画
如图,M为⊙O内的一点,利用三角尺作一条弦AB, 使AB过点M.并且AM=BM.
M ●O
●
E
练习:在圆O中，直径CE⊥AB于 D，OD=4 ㎝，弦AC= 10 ㎝ ， 求圆O的半径。
1.在⊙O中，若CD ⊥AB于M，AB为直径，A 则下列结论不正确的是（ ） C C M└ ⌒ ⌒ ⌒ ⌒ B、BC=BD A、AC=AD O C、AM=OM D、CM=DM
●
D
2.已知⊙O的直径AB=10，弦CD ⊥AB， 垂足为M，OM=3，则CD= 8 . 3.在⊙O中，CD ⊥AB于M，AB为直径， 若CD=10，AM=1，则⊙O的半径是 13 .
O
r
D A
4
B
r-4
C
E
B
弦AB的长为8厘米，圆心 O到AB的距离为3厘米， 求⊙O的半径。
. O
若E为弦AB上一动点，则OE取值范围是_______。
做一做
垂径定理的逆定理
平分弦（不是直径）的直径垂直于弦, ． AB是⊙O的一条弦,且AM=BM. 并且平 分弦所对的两条弧. 过点M作直径CD. 下图是轴对称图形吗?如果是,其对称轴是什么? 被平分的这条 弦不是直径 你能发现图中有哪些等量关系?与同 伴说说你的想法和理由. C
《圆的对称性》圆
《圆的对称性》圆日期:目录•圆的定义与基本性质•圆的对称性概述•圆的轴对称性•圆的中心对称性•圆的对称性在日常生活中的应用•总结与展望圆的定义与基本性质定义圆是平面上所有与给定点（称为圆心）距离相等的点的集合。
几何表示通常，我们用圆心O和半径r来表示一个圆，记为⊙O(r)。
圆的定义圆中心的点，记作O，是圆的对称中心。
圆心、半径与直径圆心从圆心到圆上任一点的线段，记作r，长度等于圆的半径。
半径通过圆心，且两个端点都在圆上的线段，记作d，长度等于半径的两倍，即d=2r。
直径圆的基本性质同心性：所有与给定圆同心的圆都共享同一个圆心。
等距性：圆上任意两点到圆心的距离相等。
这些基本性质不仅定义了圆，也为后续研究圆的性质和其在各种应用中的作用奠定了基础。
圆周角定理：同弧所对的圆周角相等，等于圆心角的一半。
对称性：圆具有旋转对称性，任何经过圆心的角度旋转后，圆保持不变。
圆的对称性概述对称性，在几何学中，是指图形在某个变换下保持不变的性质。
例如，一个图形在旋转、翻折等操作后，如果与原图形重合，那么这个图形就具有对称性。
对称性定义几何变换包括旋转、翻折、平移等。
如果一个图形在这些变换下保持不变，我们说这个图形具有相应的对称性。
变换的种类对称性的定义实际应用圆的对称性在建筑设计、艺术设计、工程学等领域都有广泛应用，对这些应用的理解和分析需要深入研究圆的对称性。
几何基本图形圆是最基本的几何图形之一，对于理解更复杂的几何形状和结构至关重要。
数学理论圆的对称性研究也有助于推动数学理论的发展，如群论、拓扑学等。
为何研究圆的对称性圆的对称性的种类旋转对称性：圆具有旋转对称性，即无论沿着哪个方向旋转，只要旋转的角度相同，都能与原始图形重合。
平移对称性：由于圆是各向同性的，它在任何方向的平移都不会改变它的形状，这也是圆的一种对称性。
翻折对称性：圆也具有翻折对称性，即无论沿着哪条直径翻折，都能与原始图形重合。
总结起来，圆的对称性是其在各个方向上均匀性的体现，这也是它在几何学和应用领域中重要地位的原因之一。
圆及圆的对称性
圆及圆的对称性 圆及圆的对称性圆圆的对称性圆的定义圆的有关概念点与圆的位置关系圆的对称性圆心角圆心角、弧、弦之间的关系知识点1 圆及与的相关的概念1.（1）圆的定义：在一个平面内，线段OA 绕它的一个固定端点O 旋转一周，另一个端点A 所形成的图形叫做圆。
固定端点O 叫做圆心，线段OA 叫做半径。
以点O 为圆心的圆，记作“⊙O ”，读作“圆O ”.注意：①在平面内，②圆是指圆周，而不是圆面，③圆的两要素．．．：圆心和半径，圆心确定圆的位置，半径确定圆的大小，④线段OP 的长也可以叫半径.（2）圆的集合性定义：圆心为O ，半径为r 的圆，可以看成所有到定点O ，距离等于定长r 的点的集合。
注：①圆上各点到定点（圆心O ）的距离都等于定长（半径r ）； ②到定点的距离都等于定长的点都在同一个圆上。
2.弦与直径、弧与半圆①连接圆上任意两点的线段叫做弦，如下图线段AC ，AB ；②经过圆心的弦叫做直径，如下图线段AB ；③圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧，“以A 、C 为端点的弧记作AC ”，读作“圆弧AC ”或“弧AC ”．大于半圆的弧（如图所示ABC 叫做优弧，•小于半圆的弧（如图所示）AC 或BC 叫做劣弧．BA C O④圆的任意一条直径的两个端点把圆分成两条弧，每一条弧都叫做半圆．3.同心圆和等圆同心圆：圆心相同，半径不等的圆叫做同心圆。
如图2所示：图2 图3等圆：半径相等的圆（能够互相重合的圆）叫做等圆。
注：同圆或等圆的半径相等。
如图3.等圆与位置无关等弧：在同圆和等圆中，等够完全重合．．．．．．的弧叫做等弧。
注：长度相等的弧，度数相等的弧都不一定是等弧。
例 1.如图，一枚直径为4cm的圆形古钱币沿着直线滚动一周，圆心移动的距离是( )A．2πcm B．4πcm C．8πcm D．16πcm例2.如图，AB是⊙O的直径，CD是⊙O的弦，AB、CD的延长线相交于点E.已知AB＝2DE，∠E＝18°.试求∠AOC的度数．例3.在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝3 cm，AC＝4 cm，以点B为圆心，BC长为半径作⊙B，点A，C及AB，AC的中点D，E与⊙B有怎样的位置关系？例4.由于过度砍伐森林和破坏植被，我国某些地区多次受到沙尘暴的侵袭．近来A 市气象局测得沙尘暴中心在A 市正东方向400 km 的B 处，正在向西北方向移动，若距沙尘暴中心300 km 的范围内将受到影响，则A 市是否会受到这次沙尘暴的影响？例5.如图所示，在⊙O 中，A ，C ，D ，B 是⊙O 上四点，OC ，OD 交AB 于点E ，F ，且AE＝FB ，下列结论：①OE ＝OF ；②AC ＝CD ＝DB ；③CD ∥AB ；④AC ︵＝BD ︵.其中正确的有( )A ．4个B ．3个C ．2个D ．1个例6.若点P 到⊙O 的最小距离为6 cm ，最大距离为8 cm ，则⊙O 的半径是 。
初三培优专题18 圆的对称性
AC
DB
（第 6 题图）
O
B
A
EC
DF
（第 7 题图）
A
E CP F D
B （第 8 题图）
7．如图，AB 为⊙O 的直径，CD 是弦．若 AB=10cm，CD=8cm，那么 A，B 两点到直线 CD 的距离之和
为（ ）
A．12cm
B．10cm
C．8cm
D．6cm
8．如图，半径为 2 的⊙O 中，弦 AB 与弦 CD 垂直相交于点 P，连结 OP．若 OP=1，求 AB2+CD2 的
AP
BE
C
O
F
D 图3
⑵ 如图 2，若弦 BC 经过半径 OA 的中点 E，F 是 C»D 的中点，G 是 F»B 的中点，⊙O 的半径为 1，求弦
FG 的长； ⑶ 如图 3，在⑵中若弦 BC 经过半径 OA 的中点 E，P 为劣弧上一动点，连结 PA，PB，PD，PF，求证：
PA PF
的定值．
PB PD
【例 4】如图，已知圆内接△ABC 中，AB>AC，D 为 B¼AC 的中点，DE⊥AB 于 E．求证：BD2-AD2=AB g
AC． （天津市竞赛试题）
解题思路：从化简待证式入手，将非常规几何问题的证明转化为常规几何题的证明． D A E C
B
圆是最简单的封闭曲线，但解决圆的问题还要用到直线形的有关知识和方法．同样，圆也为解决直线形
⑴如图 1，PA+PB= 3 PH；
⑵如图 2，PA+PB=PH；
⑶ 进 一 步 ， 如 图 3 ， 若 ∠ APB=α ， PH 平 分 ∠ APB ， 则 PA+PB=2PHcos 为 定