安庆师范实变函数第五章积分理论5.3 Lesbesgue积分的极限定理
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实变函数与泛函分析基础(第三版)----第五章_复习指导.docx
主要内容本章的中心内容是建立一种新的积分——勒贝格积分理论.它也是实变函数数论研究的中心内容.一、关于勒贝格积分的建立.本章首先引入测度有限点集上有界函数的积分，这是全章的基础，建立有界函数的积分时应注意两点：一是黎曼积分意义下的积分区间，现已被一般点集所代替；二是分划的小区间长度，现已被点集的测度所代替.一般集合上i般函数的积分是通过两步完成的.第一步是建立非负函数的积分.它是通过非负函数表示为有界函数列的极限、把无穷测度集合表示为测度有限集列的极限来完成的.第二步是建立一般函数的积分，它是将其分解两个非负函数（正部与负部）的差的办法来完成的.二、勒贝格积分的性质.勒贝格积分的性质主要反映在以下儿个方面：（1）勒贝格积分是一种绝对收敛积分，即兀兀）在E上可积当且仅当|/（兀）|在E上可积（/（x）在E上可测）.这是它与黎曼积分重要区别之一.（2）勒贝格积分的绝对连续性.设/（力在E上可积，则对任意£>0,存在》〉0,使当e u E且加£<5时，恒有（3）勒贝格积分的唯一性.即£|/（x）|ck = 0的充要条件是/（x） = 0 a.e. T E・由此可知，若f（x）与巩兀）几乎相等，则它们的可积性与积分值均相同.（4）可积函数可用连续函数积分逼近•设/（兀）是可积函数，对任意£>0,存在［°,切上的连续函数從无），使此外尚有许多与黎曼积分类似的性质，如线性性、单调性、介值性等，望同学们自己总结、比较.三、关于积分极限定理.积分极限定理是本章的重要内容，这是由于积分号下取极限和逐项积分，无论在理论上还是应用上都有着十分重要的意义.其中列维渐升函数列积分定理（定理5.4. 1）,勒贝格控制收敛定理（定理5. 4. 2）,和法都定理（定理5.4. 3）在现代数学中都有广泛的应用.同学们不难发现，与黎曼积分相比较，勒贝格积分与极限换序的条件大大减弱，这也是勒贝格积分优越于黎曼积分的重要之处.|H|、关于勒贝格积分同黎曼积分之间的关系.我们知道，若［°,切上的有界函数/（兀）黎曼可积，则必勒贝格可积口二者积分值相等.值得注意的是，上述结论对于广义黎曼积分并不成立.实际上，广义黎曼可 积函数成为勒贝格可积的充要条件是该函数广义黎曼绝对可积.关于勒贝格积分的计算，一般是应用积分的定义借助于积分的性质将其转化 为黎曼积分.五、勒贝格重积分换序的富比尼定理指出，只要/(x, y)在R 〃xRq 上可积即 可将重积分化为累次积分.特别是对非负可测函数来说，可无条件换序，这是勒 贝格积分较黎曼积分的又一优越之处.复习题(一)一、判断题1、 设/(x)是可测集E^R n上的非负简单函数，则f /(x)cLr -定存在。
42勒贝格积分的极限定理
因此，对 0，当n N 时,有
E fn (x)dx
f (x)dx
E
[
E
fn (x)
f
( x )]dx
[
Ek
fn (x)
f
( x )]dx
[
E \ Ek
fn(x)
f
( x)]dx
2
E \ Ek
fn f dx
2F (x)dx
性, 0，使当mA 时，有
A F (x)dx 3 ．
(4.2.2)
对上述 ,根据 fn f ,则存在自然数 N ,当n N 时,有
mE[
fn (x)
f
(x)
3(mE
] 1)
.
(4.2.3)
记
En
E[
fn (x)
f
(x)
3(mE
], 1)
E
n EN
f (x)
dx lim
N
n
E
fn (x)dx ，
因此
证毕．
E
f (x)dx lim
n
E
fn (x)dx ．
Lvei 定理的重要性在于非负单增可测函数列，其极限运 算和积分运算的次序可以交换．而任何非负可测函数可由单
增的非负简单函数列来逼近，因此非负可测函数的积分性质
n
n
记 E E fn (x) fn1(x) ，则 mE 0 ．在 E0 E \ E
n1
上， f (x) lim fn (x) 存在，可测，且有 n
实变函数5.3
例
Dirichlet函数不Riemann可积
D ( x) =
{
0
1
1 x∈[ 0 ,1]∩ Q 0 x∈[ 0 ,1]− Q
处处不连续
Riemann函数Riemann可积
R( x) =
{
1/ q 0
x = p / q∈( 0 ,1) ∩ Q x∈( 0 ,1) − Q
在有理点处不连续，在无理点处连续（参见：数学分析）
5 -0.2
10
15
20
25
30
注：Lebesgue积分与广义Riemann积分无必然联系 注：Lebesgue积分与广义Riemann积分无必然联系
例： f(x)有暇积分但不Lebesgue可积
f ( x) = {
( − 1) n +1 n 0 x=0
1 < x≤ 1 n +1 n
1/5
1 1 1 ( − 1) n +1 + − +K + +K ln 2 = 1 − 2 3 4 n
第五章 积分论
第三节 Lesbesgue积分与Riemann积分的关系 Lesbesgue积分与Riemann积分的关系
Riemann积分 Riemann积分 对定义域作分划
( R) ∫ f ( x)dx = lim
a b ||T || →0
∑ f (ξ )∆x
i =1 i
n
i
xi-1 xi yi yi-1
定理：若f(x)在[a,b]上Riemann可积，则f(x)在 [a,b]上Lebesgue可积，且
( L) ∫
[ a ,b ]
f ( x)dx = ( R) ∫ f ( x)dx
勒贝格积分的计算方法
f (x ) d x = ∫
E
infS (D , f ) = sup s (D . f ) 。
D D
( 2) 当函数非负可测 ( 集合测度不限) 时, 定义积分为: ( 3) 一般情形。 当 f
E
f ( x ) d x = li m ∫ ∫[ f (x ) ] dx
E n →∞ E n n
( x ) d x 至少有一个有限时, 定义积分为: f ∫ (x ) d x 和 ∫ (x ) d x (x ) d x 。 f (x ) d x = f f ∫ ∫ ∫
2005年11月
安庆师范学院学报 ( 自然科学版)
J ourna l of A nq ing Te a che rs C o lle ge (N a tura l S c ie nce )
N ov. 2 0 0 5
第 11 卷第 4 期
Ξ Ξ Ξ Ξ Ξ Ξ
. 11 NO. 4 Vol
勒贝格积分的计算方法
・90・
安庆师范学院学报 ( 自然科学版)
n →∞
2005 年
积分。 当然, 这样的分法 D 不见得总能找得到, 但如果能选取一列可测分划 {D n }, 使得 lim S (D n , f ) =
n →∞
lim s (D n , f ) , 则这个共同值便是所求的积分。 对于非负可测函数也可以直接用定义求积分。 如下例:
x
∫
解 由于 Can to r 集的测度为零, 由上面性质 1 和性质 3 得 1 1 1 1 1 3 (L ) f ( x ) d x = (L ) d x = (R ) dx = 3 0 0 0 3 2 x x 注: 例 5 中的函数 f ( x ) 不是 R 可积的, 因为它在 [ 0, 1 ] 上虽是几乎处处连续的, 但它在 [ 0, 1 ] 上无 界。 但 f ( x ) 却是广义 R 可积的, 且积分值也为 3 2。 下例则不同。
E
infS (D , f ) = sup s (D . f ) 。
D D
( 2) 当函数非负可测 ( 集合测度不限) 时, 定义积分为: ( 3) 一般情形。 当 f
E
f ( x ) d x = li m ∫ ∫[ f (x ) ] dx
E n →∞ E n n
( x ) d x 至少有一个有限时, 定义积分为: f ∫ (x ) d x 和 ∫ (x ) d x (x ) d x 。 f (x ) d x = f f ∫ ∫ ∫
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勒贝格积分的计算方法
・90・
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n →∞
2005 年
积分。 当然, 这样的分法 D 不见得总能找得到, 但如果能选取一列可测分划 {D n }, 使得 lim S (D n , f ) =
n →∞
lim s (D n , f ) , 则这个共同值便是所求的积分。 对于非负可测函数也可以直接用定义求积分。 如下例:
x
∫
解 由于 Can to r 集的测度为零, 由上面性质 1 和性质 3 得 1 1 1 1 1 3 (L ) f ( x ) d x = (L ) d x = (R ) dx = 3 0 0 0 3 2 x x 注: 例 5 中的函数 f ( x ) 不是 R 可积的, 因为它在 [ 0, 1 ] 上虽是几乎处处连续的, 但它在 [ 0, 1 ] 上无 界。 但 f ( x ) 却是广义 R 可积的, 且积分值也为 3 2。 下例则不同。
5实变函数
定理
若F(x)在[a,b]上绝对连续，则
( L ) F ' ( t ) dt F ( x ) F ( a )
a x
定理
d dx
若f(x)在[a,b]上Lebesgue可积，则
(( L ) f ( t ) dt ) f ( x ) a .e .于 [ a , b ]
a x
推论 F(x)在[a,b]上绝对连续当且仅当
第五章 微分与不定积分
第1节 单调函数与有界变差函数
引入 微积分基本定理
若f(x)在[a,b]上连续，则
d dx (( R ) f ( t ) dt ) f ( x )
a x
若F `(x)
x
在[a,b]上连续，则
( R ) F ' ( t ) dt F ( x ) F ( a )
1 单调函数的可微性
Weierstrass在1772构造出一 处处连续但无处可导的函数
f (x)
b
n 0
n
n cos (a π x ) （其中 0 <b< 1
且 a为正奇数）
定理 设f(x)是[a,b]上的单调不减函数，则f `(x) 在[a,b]上几乎处处存在有限导数，且
f ' ( x ) dx f ( b ) f ( a )
如前图规定:在第n次去掉的2n-1个开区间上依次取值为
1 2
n
,
3 2
n
,
5 2
n
, ,
2
n
1
n
2
;
b.规定
c.当
( 0 ) 0 (1) 1
x P { 0 ,1}
若F(x)在[a,b]上绝对连续，则
( L ) F ' ( t ) dt F ( x ) F ( a )
a x
定理
d dx
若f(x)在[a,b]上Lebesgue可积，则
(( L ) f ( t ) dt ) f ( x ) a .e .于 [ a , b ]
a x
推论 F(x)在[a,b]上绝对连续当且仅当
第五章 微分与不定积分
第1节 单调函数与有界变差函数
引入 微积分基本定理
若f(x)在[a,b]上连续，则
d dx (( R ) f ( t ) dt ) f ( x )
a x
若F `(x)
x
在[a,b]上连续，则
( R ) F ' ( t ) dt F ( x ) F ( a )
1 单调函数的可微性
Weierstrass在1772构造出一 处处连续但无处可导的函数
f (x)
b
n 0
n
n cos (a π x ) （其中 0 <b< 1
且 a为正奇数）
定理 设f(x)是[a,b]上的单调不减函数，则f `(x) 在[a,b]上几乎处处存在有限导数，且
f ' ( x ) dx f ( b ) f ( a )
如前图规定:在第n次去掉的2n-1个开区间上依次取值为
1 2
n
,
3 2
n
,
5 2
n
, ,
2
n
1
n
2
;
b.规定
c.当
( 0 ) 0 (1) 1
x P { 0 ,1}
Lesbesgue积分的定义
+∞
）
注：当 ( L) ∫E f ( x)dx 有限时，称f(x)在E上 L可积
( 积分的几何意义： L) ∫E f ( x)dx = mG( E; f )
G ( E; f ) = {( x, y ) : x ∈ E ,0 ≤ y < f ( x)}
2.L积分与R积分的关系 Riemann积分 对定义域作分划
证明参照教材p-102
（2）Lesbesgue积分与Riemann积分的关系 (Lebesgue积分是对Riemann积分的推广)
定理：若f(x)在[a,b]上Riemann可积，则 f(x)在[a,b]上Lebesgue可积，且
( L) ∫
[ a ,b ]
f ( x)dx = ( R) ∫ f ( x)dx
从 而 ∑ m i ( x i −1 − x i ) ≤
i =1
n
∫
[ a ,b ]
f ( x ) dx ≤
∑M
i =1
n
i
( x i −1 − x i )
对上式左、右端关于一切分划各取 上、下确界，即得
∫
[ a ,b ]
f ( x)dx = ∫
b
a
f ( x)dx = ∫
b
a
f ( x)dx
xi-1 xi
例
Dirichlet函数不Riemann可积
D ( x) =
{
0
1
1 x∈[ 0 ,1]∩ Q 0 x∈[ 0 ,1]− Q
处处不连续
Riemann函数Riemann可积
R( x) =
{
1/ q 0
x = p / q∈( 0 ,1) ∩ Q x∈( 0 ,1) − Q
实变函数第五章
(2)任意集合上的L积分
例2 设D为[0,1]上的无理点集，f ( x) x 2 , x D, 求 f ( x)dx.
D
(3)无界函数的L积分
例3 设f ( x) x , x (0,1), 分列的极限：利用积分的极限定理
例4
二、勒贝格积分的性质 1、mE<+∞时， f(x)有界可测等价于有界可积， 从而可测函数的性质可以推广至可积函数. 2、子集、并集上的可积性.
3、线性性质、可积的必要条件.
4、不等式性质（包括单调性）. 5、绝对可积性：f 与| f | 可积性一致. 6、积分的绝对连续性.
二、勒贝格积分的性质 7、积分的唯一性：
cos nx 证明 lim dx 0. n (0,1) n
1 2 3
nx 例5 求 lim( R) cos nxdx. 2 2 0 1 n x n
例6 设f 为[0,1]上的有限函数，试证 lim
n (0,1)
| cos f ( x) | dx存在且有限，并求此极限值.
x n x2 证明 lim (1 ) e dx存在，并求其值. n ( n , n ) n
n
例7
3、其他
例8 设f ( x)在E上可积，并且 f ( x)dx a, 则存在
E
a E的可测子集e，使 f ( x)dx . e 3 a.e. 例9 若f L( E )，则 0, 有n f (nx) 0, n .
f ( x)在E上可积， |f |dx 0 f ( x) 0 a.e.于E;
E
8、两个几乎处处相等的函数的可加性相同，且 积分值相等. 9、积分的可数可加性.
三、L积分与R积分的关系 1、若f(x)在[a,b]上R可积，则必L可积，且积分
例2 设D为[0,1]上的无理点集，f ( x) x 2 , x D, 求 f ( x)dx.
D
(3)无界函数的L积分
例3 设f ( x) x , x (0,1), 分列的极限：利用积分的极限定理
例4
二、勒贝格积分的性质 1、mE<+∞时， f(x)有界可测等价于有界可积， 从而可测函数的性质可以推广至可积函数. 2、子集、并集上的可积性.
3、线性性质、可积的必要条件.
4、不等式性质（包括单调性）. 5、绝对可积性：f 与| f | 可积性一致. 6、积分的绝对连续性.
二、勒贝格积分的性质 7、积分的唯一性：
cos nx 证明 lim dx 0. n (0,1) n
1 2 3
nx 例5 求 lim( R) cos nxdx. 2 2 0 1 n x n
例6 设f 为[0,1]上的有限函数，试证 lim
n (0,1)
| cos f ( x) | dx存在且有限，并求此极限值.
x n x2 证明 lim (1 ) e dx存在，并求其值. n ( n , n ) n
n
例7
3、其他
例8 设f ( x)在E上可积，并且 f ( x)dx a, 则存在
E
a E的可测子集e，使 f ( x)dx . e 3 a.e. 例9 若f L( E )，则 0, 有n f (nx) 0, n .
f ( x)在E上可积， |f |dx 0 f ( x) 0 a.e.于E;
E
8、两个几乎处处相等的函数的可加性相同，且 积分值相等. 9、积分的可数可加性.
三、L积分与R积分的关系 1、若f(x)在[a,b]上R可积，则必L可积，且积分
实变函数
勒贝格思路： 集合 集合“长度”（测度） 定义新的积分（L- 积分）
积分与微分关系
从这个知识脉络图，我们可以看
到，在实变函数中，集合的概念被经
常应用，所以，我们要先研究集合。 从今天开始，我门来学习第一章有 关集合的知识。
实变函数论产生于19世纪末， 20世纪初，主要由法国数学家勒 贝格（Lebesgue,1875—1941）创 建．它是普通微积分学的继续， 其目的是想克服牛顿和莱布尼茨 所建立的微积分学存在的缺点， 使得微分和积分的运算更加对称、 更加完美．
i 1
注：D(x)的下方图形 可看成由[0,1]中每个 有理点长出的单位线 段组成。
Riemann积分
xi-1 xi
b
为使f(x)在[a,b]上Riemann可积， 按Riemann积分思想，必须使得 分划后在多数小区间上的振幅 足够小，这迫使在较多地方振动 的函数不可积。Lebesgue提出， 不从分割定义域入手， 而从分割值域入手；
( L)
[ a ,b ]
f ( x)dx lim i m Ei
0
i 1
n
1902年Lebesgue在其论文“积分、长度与面积” 中提出（参见：Lebesgue积分的产生及其影响， 数学进展，2002.1）
Lebesgue积分思想
即： 0, 作分划m y0 y1 y2 yn M
0, 分划T，使得 i xi
i 1 n
(2) Riemann可积的充分条件
xi-1 xi
f(x)在[a,b]上Riemann可积的充分条件是？
注：连续函数、只有有限个 间断点的有界函数和闭区间 上的单调函数Riemann可积
实变函数
b
n
(R)
f (x)dx lim ||T ||0 i1
f (i )xi
(积分与分割、介点集的取法无关)
2.Lebesgue积分思想简介
yi
Ei {x : yi1 f (x) yi}
yi-1
yi1 i yi
用 mEi 表示 Ei 的“长度”
n
(L)
[ a ,b ]
f
( x)dx
2）理论性强
教材：实变函数论与泛函分析基础（第三版）,程其襄 等编 高等教育出版社，2010年6月.
参考文献
周民强，实变函数(论)，北京大学出版社，1995.6(2001) 周性伟，实变函数，科学出版社，1998.9 胡适耕，实变函数，高等教育出版社，1999.7 徐森林，实变函数论，中国科学技术大学出版社，2002 郑维行等，实变函数论与泛函分析概要，高等教育出版社,1987 夏道行等，实变函数论与泛函分析，高等教育出版社，1983.2 Halmos，测度论(Measure theory) Rudin , 实分析与复分析(Real and complex analysis).
前两节属于复习性质。不过，无限集合的 交与并，是以前没有接受过的。它在本课 中常常要遇到。
§1 集合概念
一、描述定义：具有某种特定性质的事物 （具体或抽象）的全体称为集合。记为 A,B,…等等。集合的成员称为它的元素， 记为a,b,c…等等。
二、表示法： 1.列举 法： A=｛a，b，c，…｝ 例1 A=｛4，7，8，3｝. 2.描述法： A=｛x | x满足性质p｝
(2) Riemann可积的充分条件
xi-1 xi
f(x)在[a,b]上Riemann可积的充分条件是？
实变函数三大基本定理
实变函数三大基本定理实变函数是数学中的重要概念，它的研究过程中涉及到多个定理和概念。
今天，让我们来一起了解实变函数的三大基本定理。
一、极限定理实变函数的极限定理是指，如果一个函数在某个点处存在极限，那么这个点就称为这个函数的极限点，而且极限点的值必须是函数在这个点处的唯一极限。
这一基本定理的具体表达式有很多，其中最常见的是柯西准则和斯特朗定理。
柯西准则是指，如果在函数f(x)的定义域内，对于任意ε > 0，总存在一个小于ε的δ > 0，使得当0 < |x - a| < δ时，有|f(x) - L| < ε，则称函数f(x)在x = a处的极限是L。
斯特朗定理是指，如果一个函数在区间[a,b]上连续，且在[a,b]上的任意一个点x0的导数存在，则函数在[a,b]上满足柯西准则。
二、中值定理中值定理是指，如果一个函数在某个区间[a,b]上连续，且在(a,b)内可导，那么它在[a,b]上至少存在一个点c，使得f'(c) = (f(b) -f(a)) / (b - a)。
有了中值定理，我们可以更好地了解函数的变化规律，为后面的研究打下基础。
三、泰勒公式泰勒公式是一种常见的数值分析方法，它用一系列导数来逼近一个函数的值。
具体地讲，如果一个函数在某个闭区间上多次可导，那么这个函数可以被一组多项式所逼近。
这个多项式是以函数在某个点的导数为系数的多项式。
泰勒公式的概念非常重要，它在实际工程应用中发挥了重要的作用。
综上所述，实变函数的三大基本定理——极限定理、中值定理和泰勒公式——在实际的数学运算中都起到了至关重要的作用，是我们系统学习实变函数的重要组成部分。
如果你正在研究实变函数，这三个基本定理是你必须掌握的关键知识点。
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n
E
fn (x)dx E
f (x)dx
所以lim n
E
fn (x)dx
E
f (x)dx
对Levi逐项积分定理的说明
若fn(x)为E上非负可测函数列，
f1(x)
f2 (x)
f3(x)
fn (x)
, 且 lim n
fn (x)
f (x)
则lim n
En
n1
En
E
f(x) fn(x) cφ(x)
由引理1知
lim c (x)dx c (x)dx
n En
E
φ(x)
Levi逐项积分定理的证明 En {x E | fn (x) c(x)}
于是从（应用引理2）
E fn (x)dx E fn (x)En (x)dx
则 fn (x) 为非负连续函数，当然为可测函数，
从而由Lebesgue逐项积分定理知：
(L)
1 (0,1) 1 x
dx (L)
(0,1)
n1
fn (x)dx
(L)
n1
( 0 ,1)
fn (x)dx
(R)
n1
1 0
fn (x)dx
(R) 1 (x2n2 x2n1)dx ( 1 1 )
En fn (x)dx
c(x)dx c (x)dx,
En
En
f(x) φ(x) fn(x)
cφ(x)
得到lim n
E
fn (x)dx c
( x)dx
E
令c 1,则有lim fn (x)dx (x)dx
n E
E
再由的积分定义知
lim
所以
E
lim
n
f
n
(
x)dx有定义，又
E
fn (x)dx
E fn1(x)dx, n 1,2,3,
故 lim n E
fn (x)dx 有定义，且从函数列的渐升性知道
lim
n E
fn (x)dx E
f (x)dx E
lim
n
fn (x)dx
E
n1
En（En可测且两两不交）
上非负可测或可积，则 f (x)dx
f (x)dx
n1
En
n1 En
证明：由 En
f (x)dx
E
f，
然后利用Lebesgue
及f
(x)
n1
f
(x)
En
(x)
逐项积分定理即可
对应于测度的可数可加性
(
1 3
)
n
2 n 1
n
3
n 1
4.Fatou引理
若fn(x)为E上非负可测函数列，则
E lim fn(x)dx limE fn(x)dx
n
n
lim fn (x) supinf{ fm (x)}
n
n mn
证明：令 gn (x) inf{ fn (x), fn1(x), }，
f (x)dx f (x)dx f (x)dx
E
E1
E2
g(x)dx g(x)dx g(x)dx
E1
E2
E
例 设[0,1]上的函数f(x)在Cantor集P上定义为0，在Cantor 集余集中长度为1/3n的构成区间上定义为n(n=1,2,3，…) ，
求f(x)在[0,1]上的Lebesgue积分值
m( i 1
Ai
)
mAi
i 1
推论：在一零测度集上改变函数的取值，不影响其可 积性且积分值不变
注：在一零测度集上改变函数的取值不影响函数的可测性
即： 设f(x)=g(x) a.e.于E， f(x)在E上可积，则g(x)在E上也可积且
E f (x)dx E g(x)dx
证明：令E 1= E[f≠g]， E 2= E[f=g]，则m E1=0 从而
则{gn (x)}为非负可测函数递增列 ，且 然后利用Levi逐项
lim fn (x) limgn (x)
n
n
积分定理即可
Levi逐项积分定理：
若fn(x)为E上非负可测函数列，
f1(x)
f2 (x)
f3(x)
fn (x)
, 且 lim n
fn (x)
f (x)
(L) [ a ,b ]
f
(x)dx
b
(R)a
f
(x)dx
试从 1 (1 x) (x2 x3) (x2n2 x2n1) ,0 x 1
例
1 x
证明 ln 2 1 1 1 1 (1)n1
234
n
解：令 fn (x) x2n2 x2n1, x (0,1), n 1,2,3,
E lim(F(x) fn (x))dx limE (F(x) fn (x))dx
n
n
又F(x)可积，从而 E f (x)dx limE fn(x)dx n E f (x)dx limE fn (x)dx n
从而limE fn (x)dx E f (x)dx limE fn(x)dx
说明：小于等于显然成立，
因为fn(x)总在f(x)的下方,
只要证明大于等于，但一般而 言fn(x)不会跑到f(x)上方,所以 我们有必要先把f(x)下移一点。
f(x) fn(x) cf(x)
注意：当fn(x)一致收敛f(x)时， fn(x)才会整体跑到f(x)上方。
Levi逐项积分定理的证明
证明：由条件知fn(x)为E上非负可测函数递增列，
E fn (x)dx
lim
E n
fn (x)dx
f(x)
积分的几何意义（函数非负）：
fn+1(x)
(L)E f (x)dx mG(E; f )
fn(x)
G(E; fn )为递增集列
m(lim n
G(E;
fn)
lim
n
mG(E;
fn
)
单调增集列测度的性质
2.Lebesgue逐项积分定理（级数形式）
下证大于等于号
引理1：设{En}是递增集列，E 函数，则
n1
En
,(
x)
是Rn上的非负可测简单
lim (x)dx (x)dx
n En
E
引理2：设f(x)是E上的非负可测函数，A是E中可测子集，则
f (x)dx A
E f (x)A(x)dx
Levi逐项积分定理的证明
然后利用Levi逐项 积分定理即可
对应于测度的可数可加性
m( i 1
Ai
)
mAi
i 1
(R)
n1
1 1
例x 2
(1 x
试2 )n求dx
解: 令fn (x)
x2 (1 x2 )n
,
x [1,1]
则fn (x) 为非负连续函数，当然为非负可测函数，
0 n 1
n1 2n 1 2n
111
(1)n1
1
234
n
另外(L)
1
1
dx (R)
1
dx ln 2
从而结论成立
(0,1) 1 x
0 1 x
3.积分的可数可加性
Lebesgue逐项积分定理是关于被积函数 积分的可数可加性是关于积分区域
若f(x)在
从而 (R)
n 1
1 1
(1
x2 x
2
)
n
dx
(L)
n1
[
1,1]
(1
x2 x
2
)
n
dx
(L) 1dx 2 (L)
x2 dx
[ 1,1] n1 (1 x 2 ) n
[ 1,1]
定理：若f(x)在[a,b]上Riemann可积，则f(x)在
[a,b]上Lebesgue可积，且
（可测函数列的极限函数是可测函数）
且由|fn(x)| ≤F(x) a.e.于E，知|f(x)| ≤F(x) a.e.于E， 所以fn(x)， f(x)都为E上可积函数
Lebesgue控制收敛定理的证明
由|fn(x)| ≤F(x) a.e.于E， 知F(x)±fn(x)≥ 0 a.e.于E，由Fatou引理知
若fn(x)为E上非负可测函数列， 则
E fn (x)dx E fn (x)dx
n1
n1
对比:积分的线性 (有限个函数作和)
n
证明：令gn (x) fi (x) i 1
则{gn (x)}为非负可测函数递增列，且
fn (x) limgn (x)
n 1
n
E f (x)dx sup{E(x)dx :(x)为E上的简单函数，0 (x) f (x)}
证明：令c满足0<c<1，(x) 是Rn上的非负可测 简单函数，且 (x) f (x)
记En {x E | fn (x) c(x)}
则{En}是递增集列，
E
fn (x)dx E
f (x)dx
所以lim n
E
fn (x)dx
E
f (x)dx
对Levi逐项积分定理的说明
若fn(x)为E上非负可测函数列，
f1(x)
f2 (x)
f3(x)
fn (x)
, 且 lim n
fn (x)
f (x)
则lim n
En
n1
En
E
f(x) fn(x) cφ(x)
由引理1知
lim c (x)dx c (x)dx
n En
E
φ(x)
Levi逐项积分定理的证明 En {x E | fn (x) c(x)}
于是从（应用引理2）
E fn (x)dx E fn (x)En (x)dx
则 fn (x) 为非负连续函数，当然为可测函数，
从而由Lebesgue逐项积分定理知：
(L)
1 (0,1) 1 x
dx (L)
(0,1)
n1
fn (x)dx
(L)
n1
( 0 ,1)
fn (x)dx
(R)
n1
1 0
fn (x)dx
(R) 1 (x2n2 x2n1)dx ( 1 1 )
En fn (x)dx
c(x)dx c (x)dx,
En
En
f(x) φ(x) fn(x)
cφ(x)
得到lim n
E
fn (x)dx c
( x)dx
E
令c 1,则有lim fn (x)dx (x)dx
n E
E
再由的积分定义知
lim
所以
E
lim
n
f
n
(
x)dx有定义，又
E
fn (x)dx
E fn1(x)dx, n 1,2,3,
故 lim n E
fn (x)dx 有定义，且从函数列的渐升性知道
lim
n E
fn (x)dx E
f (x)dx E
lim
n
fn (x)dx
E
n1
En（En可测且两两不交）
上非负可测或可积，则 f (x)dx
f (x)dx
n1
En
n1 En
证明：由 En
f (x)dx
E
f，
然后利用Lebesgue
及f
(x)
n1
f
(x)
En
(x)
逐项积分定理即可
对应于测度的可数可加性
(
1 3
)
n
2 n 1
n
3
n 1
4.Fatou引理
若fn(x)为E上非负可测函数列，则
E lim fn(x)dx limE fn(x)dx
n
n
lim fn (x) supinf{ fm (x)}
n
n mn
证明：令 gn (x) inf{ fn (x), fn1(x), }，
f (x)dx f (x)dx f (x)dx
E
E1
E2
g(x)dx g(x)dx g(x)dx
E1
E2
E
例 设[0,1]上的函数f(x)在Cantor集P上定义为0，在Cantor 集余集中长度为1/3n的构成区间上定义为n(n=1,2,3，…) ，
求f(x)在[0,1]上的Lebesgue积分值
m( i 1
Ai
)
mAi
i 1
推论：在一零测度集上改变函数的取值，不影响其可 积性且积分值不变
注：在一零测度集上改变函数的取值不影响函数的可测性
即： 设f(x)=g(x) a.e.于E， f(x)在E上可积，则g(x)在E上也可积且
E f (x)dx E g(x)dx
证明：令E 1= E[f≠g]， E 2= E[f=g]，则m E1=0 从而
则{gn (x)}为非负可测函数递增列 ，且 然后利用Levi逐项
lim fn (x) limgn (x)
n
n
积分定理即可
Levi逐项积分定理：
若fn(x)为E上非负可测函数列，
f1(x)
f2 (x)
f3(x)
fn (x)
, 且 lim n
fn (x)
f (x)
(L) [ a ,b ]
f
(x)dx
b
(R)a
f
(x)dx
试从 1 (1 x) (x2 x3) (x2n2 x2n1) ,0 x 1
例
1 x
证明 ln 2 1 1 1 1 (1)n1
234
n
解：令 fn (x) x2n2 x2n1, x (0,1), n 1,2,3,
E lim(F(x) fn (x))dx limE (F(x) fn (x))dx
n
n
又F(x)可积，从而 E f (x)dx limE fn(x)dx n E f (x)dx limE fn (x)dx n
从而limE fn (x)dx E f (x)dx limE fn(x)dx
说明：小于等于显然成立，
因为fn(x)总在f(x)的下方,
只要证明大于等于，但一般而 言fn(x)不会跑到f(x)上方,所以 我们有必要先把f(x)下移一点。
f(x) fn(x) cf(x)
注意：当fn(x)一致收敛f(x)时， fn(x)才会整体跑到f(x)上方。
Levi逐项积分定理的证明
证明：由条件知fn(x)为E上非负可测函数递增列，
E fn (x)dx
lim
E n
fn (x)dx
f(x)
积分的几何意义（函数非负）：
fn+1(x)
(L)E f (x)dx mG(E; f )
fn(x)
G(E; fn )为递增集列
m(lim n
G(E;
fn)
lim
n
mG(E;
fn
)
单调增集列测度的性质
2.Lebesgue逐项积分定理（级数形式）
下证大于等于号
引理1：设{En}是递增集列，E 函数，则
n1
En
,(
x)
是Rn上的非负可测简单
lim (x)dx (x)dx
n En
E
引理2：设f(x)是E上的非负可测函数，A是E中可测子集，则
f (x)dx A
E f (x)A(x)dx
Levi逐项积分定理的证明
然后利用Levi逐项 积分定理即可
对应于测度的可数可加性
m( i 1
Ai
)
mAi
i 1
(R)
n1
1 1
例x 2
(1 x
试2 )n求dx
解: 令fn (x)
x2 (1 x2 )n
,
x [1,1]
则fn (x) 为非负连续函数，当然为非负可测函数，
0 n 1
n1 2n 1 2n
111
(1)n1
1
234
n
另外(L)
1
1
dx (R)
1
dx ln 2
从而结论成立
(0,1) 1 x
0 1 x
3.积分的可数可加性
Lebesgue逐项积分定理是关于被积函数 积分的可数可加性是关于积分区域
若f(x)在
从而 (R)
n 1
1 1
(1
x2 x
2
)
n
dx
(L)
n1
[
1,1]
(1
x2 x
2
)
n
dx
(L) 1dx 2 (L)
x2 dx
[ 1,1] n1 (1 x 2 ) n
[ 1,1]
定理：若f(x)在[a,b]上Riemann可积，则f(x)在
[a,b]上Lebesgue可积，且
（可测函数列的极限函数是可测函数）
且由|fn(x)| ≤F(x) a.e.于E，知|f(x)| ≤F(x) a.e.于E， 所以fn(x)， f(x)都为E上可积函数
Lebesgue控制收敛定理的证明
由|fn(x)| ≤F(x) a.e.于E， 知F(x)±fn(x)≥ 0 a.e.于E，由Fatou引理知
若fn(x)为E上非负可测函数列， 则
E fn (x)dx E fn (x)dx
n1
n1
对比:积分的线性 (有限个函数作和)
n
证明：令gn (x) fi (x) i 1
则{gn (x)}为非负可测函数递增列，且
fn (x) limgn (x)
n 1
n
E f (x)dx sup{E(x)dx :(x)为E上的简单函数，0 (x) f (x)}
证明：令c满足0<c<1，(x) 是Rn上的非负可测 简单函数，且 (x) f (x)
记En {x E | fn (x) c(x)}
则{En}是递增集列，