Lebesgue积分和Lebesgue的理论

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lebesgue函数

lebesgue函数引言：在数学领域中，Lebesgue函数是一种特殊的函数，它在测度论和实分析中有着重要的应用。

Lebesgue函数的特殊性质使得它在许多数学分支中都有着重要的应用，下面我们将详细介绍Lebesgue函数的定义、性质和应用。

一、Lebesgue函数的定义Lebesgue函数是一种在实数集上的函数，它的定义形式为：$$f(x)=\sum_{n=1}^\infty \frac{\chi_{I_n}(x)}{2^n}$$其中，$I_n$表示实数集上的一个区间，$\chi_{I_n}(x)$是$I_n$的特征函数，即在$I_n$内为1，在$I_n$外为0的函数。

二、Lebesgue函数的性质1. Lebesgue函数的连续性Lebesgue函数在实数集上是一个连续的函数。

这个性质可以通过以下的推导得到：对于任意的$x\in \mathbb{R}$和$\epsilon>0$，我们可以找到一个正整数$N$，使得$\sum_{n=N+1}^\infty \frac{1}{2^n}<\frac{\epsilon}{2}$。

因此，当$|y-x|<\frac{1}{2^N}$时，有：$$|f(y)-f(x)|\leq \sum_{n=1}^N \frac{1}{2^n}+\sum_{n=N+1}^\infty\frac{1}{2^n}<\epsilon$$因此，当$|y-x|<\frac{1}{2^N}$时，有$|f(y)-f(x)|<\epsilon$，即Lebesgue 函数在$x$处连续。

2. Lebesgue函数的可积性Lebesgue函数在实数集上是一个可积的函数。

这个性质可以通过以下的推导得到：对于任意的$\epsilon>0$，我们可以找到一个正整数$N$，使得$\sum_{n=N+1}^\infty \frac{1}{2^n}<\frac{\epsilon}{2}$。

Lebesgue积分与Lebesgue测度

Lebesgue积分与Lebesgue测度Lebesgue积分是数学分析中的一种积分方法，它是由法国数学家亨利·勒贝格(Henri Lebesgue)在20世纪初提出的。

与传统的黎曼积分相比，Lebesgue积分在理论上更加严密，也更加广泛地适用于各种函数类。

为了介绍Lebesgue积分，首先需要了解Lebesgue测度。

Lebesgue测度是由Lebesgue在衡量集合的大小时提出的一种新的测度方法。

在传统的黎曼积分中，我们通过将函数分解为若干小区间上的近似和来进行积分。

而Lebesgue积分则通过将函数关注的点和其取值联系起来，基于集合的度量来定义积分。

Lebesgue测度的定义从开区间扩展到一般的集合上，通过定义集合的外测度、内测度和可测性来确定集合的Lebesgue测度。

其中，外测度是通过向置换集合中的开区间进行测量所得到的上估计，而内测度则是通过向置换集合的闭区间进行测量所得到的下估计。

如果对于任意给定的正实数ε，可以找到一个开区间覆盖集合，使得这些开区间的总长度与集合的外测度之差小于ε，则称该集合是可测的，且定义其外测度为集合的Lebesgue测度。

Lebesgue积分的定义基于Lebesgue测度，它通过将积分的定义扩展到更广泛的函数类上。

传统的黎曼积分只适用于可积函数，即函数在有限闭区间上有界且有有限个间断点的函数。

而Lebesgue积分则可以对更一般的函数进行积分，包括不可积函数、无界函数和带有无穷间断点的函数。

它的优势在于，在定义和计算上更加简洁和自然。

Lebesgue积分的定义通过将函数的取值和其关注的点联系起来，将函数视为一个整体来进行积分。

对于一个非负的可测函数，Lebesgue积分被定义为函数图像下方的小矩形与x轴之间的面积之和，即以函数图像作为被积函数，Lebesgue测度作为积分定义的测度，进行积分运算。

Lebesgue积分的性质与黎曼积分相类似，包括线性性、有界性、可加性、保序性等。

勒贝格测度和勒贝格积分的理论与应用

勒贝格测度和勒贝格积分的理论与应用勒贝格测度和勒贝格积分是现代实分析中的重要概念，由法国数学家勒贝格（Henri Léon Lebesgue）在20世纪初提出，为了解决传统黎曼积分的一些问题。

勒贝格测度和积分在实际应用中具有广泛的重要性，涵盖了概率论、测度论、函数分析等领域。

本文将介绍勒贝格测度和勒贝格积分的理论原理，并探讨它们在各个领域中的应用。

一、勒贝格测度的概念与性质1.1 勒贝格测度的定义勒贝格测度是一种广义度量，用于度量实数集合的大小。

对于实数轴上的任意集合，勒贝格测度通过测量其长度来描述其大小。

具体而言，设E是实数轴上的一个集合，对于给定的ε>0，我们可以通过开区间的并集来逼近E，然后计算其总长度。

当这个长度无论如何逼近时，我们定义这个极限为勒贝格测度，记作m(E)。

1.2 勒贝格测度的性质勒贝格测度具有以下性质：（1）非负性：对于任意集合E，其测度满足m(E)≥0。

（2）空集的测度为零：空集的测度为m(∅)=0。

（3）可列可加性：对于可列个互不相交的集合E_1，E_2，...，其并集E的测度满足m(E)= ∑ m(E_i)。

（4）单调性：若E_1⊆E_2，则m(E_1)≤m(E_2)。

二、勒贝格积分的概念与性质2.1 勒贝格可积性勒贝格积分是一种更一般的积分概念，可以处理更广泛的函数。

与黎曼积分不同，勒贝格积分是基于勒贝格测度的。

对于实数轴上的一个函数f(x)，如果存在一个可测集E，使得f(x)在E上有界，则称f(x)在E上勒贝格可积。

2.2 勒贝格积分的计算勒贝格积分的计算可以通过勒贝格积分的定义和勒贝格测度的性质来进行。

对于一个非负可测函数f(x)，其勒贝格积分记为∫f(x)dx。

可以将f(x)分解为非负函数的差，然后计算每个非负函数的积分，再将结果相加。

三、勒贝格测度和积分在实际应用中的例子3.1 概率论中的应用勒贝格测度和积分在概率论中扮演着重要的角色。

概率空间中的测度被称为概率测度，勒贝格测度提供了一种统一的度量方法，能够处理连续和离散的随机变量。

勒贝格积分和黎曼积分的关系和区别

勒贝格积分的若干简介我们先学习了Riemann 积分（简称R 积分），从而慢慢引入到了勒贝格积分，因此我将在下文中分几部分来讲勒贝格积分。

首先介绍一下在有界函数围，R 积分还是存在这很大的缺陷，主要表现在以下两个方面[1]：⑴R 积分与极限可交换的条件太严。

⑵积分运算不完全是微分运算的逆运算。

⑶不适宜于无界区间：黎曼积分只能用来在有界区间对函数进行积分。

⑷缺乏单调收敛。

鉴于R 积分的上述缺陷，人们致力于对此进行改进。

1902年，法国数学家勒贝格基于可列可加的测度，成功引进了一种新的积分，即Lebesgue 积分（简称L 积分）。

那么，建立L 积分的基本思路和步骤是怎么样的呢？L 积分的思路也基本与R 积分一样先分割，作积分和，取取极限。

在重新审视R 积分和曲边梯形面积的关系时，另一个建立L 积分的思路浮现出来。

首先，为了避免可测函数不是有界函数，最后的积分值可能会出现∞-∞的不定情形的出现，在定义L 积分时第一步仅限于非负函数。

其次，注意到非负函数围成的曲边梯形的面积，对于L 积分，可以将“可测集分割”加以取代，形成所谓“简单函数”，从而过度到L 积分“横着数”的思想。

下文将详细的介绍L 积分和R 积分的区别和联系。

关于Lebesgue 积分与Riemann 积分的定义比较1.1勒贝格积分的定义[3]:定义1：设)(x f 是n R E ⊂()∞<mE 上的非负可测函数.我们定义)(x f 是E 上的Lebesgue 积分()()()sup ():()x Eh x f x E E f x dx h x dx h x ∈≤⎧⎫=⎨⎬⎩⎭⎰⎰是n R 上的非负可测简单函数}，这里的积分可以是+∞;若∞<⎰Edx x f )(,则称)(x f 在E 上Lebesgue 可积的。

设)(x f 是n R E ⊂上的可测函数,若积分⎰+E dx x f )(，⎰-Edx x f )(中至少有一个是有限值,则称⎰⎰⎰-+-=EE E dx x f dx x f dx x f )()()(为)(x f 是E 上的Lebesgue 积分;当上式右端两个积分值皆为有限时,则称)(x f 是E 上是Lebesgue 可积的。

lebesgue积分的几个充要条件

lebesgue积分的几个充要条件Lebesgue分是一种实用的数学概念，它用于衡量定义在某一特定函数上的极限。

它于1902年由法国数学家H. 依拉克莱(Henri Lebesgue)提出，是现代分析学中最基础而又最重要的定义之一。

它被广泛用于各种不同的数学问题，如求解偏微分方程、研究随机过程、处理信号等等。

Lebesgue分的几个充要条件是：（1）长性：函数的积分和总面积大于等于0，即积分函数f(x)，其面积I=∫af(x)dx≥0；（2）均值定理：当f(x)为连续函数时，即积分函数f(x)，其面积I=∫af(x)dx既可以计算函数的积分，又可以计算函数的平均值，即有I=∫a[f(x)]dx=f(x)dx/n；（3）许使用分段/离散函数，一般情况下，可以用离散函数替代连续函数来计算积分，即可以用一个小的窗口，以一定的步长来计算离散函数的积分，而不需要使用连续函数；（4）法性质：即函数的积分可以分解为多个积分，并可以结合得到最后的总积分，即有I=∫af(x)dx=∑∫af1(x)dx+∫af2(x)dx+……+∫afn(x)dx；（5）盖定理：函数的积分可以用来表示定义域[a,b]的面积，也可以用来表示图像下面的积分面积，即有I=∫af(x)dx=∫bak(x)dx，其中k(x)为图像下面的函数；（6）换性质：函数积分的顺序是可以换的，即有I=∫af(x)dx=∫bf(b-x)dx；（7）线性性质：函数积分与系数相乘是线性关系，即有I=∫af(x)dx=c∫af(x)dx，其中c∈R。

Lebesgue分有很多种应用，它可以用来测量一个连续函数的极限界限，也可以用来计算多变量的函数的积分。

它也被广泛应用于函数分析、统计信号处理、最优化、概率和复变函数等领域，用来研究复杂的数学结构。

例如，可以用它来计算多元函数的导数、研究随机过程，解决最优化问题，研究复杂的微积分函数结构等等。

虽然Lebesgue分有一些明确的充要条件，但它们在实际应用中也不是绝对的。

瑕积分的基本知识

瑕积分的基本知识瑕积分（Lebesgue integral）是数学分析中的一个重要概念，它是勒贝格测度论的核心内容之一。

瑕积分的引入，使得我们能够对更广泛的函数进行积分运算，包括那些在有限个点上可能发散的函数。

本文将介绍瑕积分的基本知识，包括定义、性质和计算方法等方面的内容。

一、瑕积分的定义瑕积分的定义是在勒贝格测度论的基础上引入的。

对于一个定义在区间[a, b]上的函数f(x)，如果f(x)在[a, b]上除了有限个点外都是有界的，那么我们称f(x)是[a, b]上的瑕函数。

瑕积分的定义如下：设f(x)是[a, b]上的瑕函数，如果存在一个数值I，对于任意给定的ε>0，存在一个分割[a, b]的有限集合D，使得对于任意的分割D'，只要D'是D的一个细分，就有：|∑(f(x_i)-I)Δx_i|<ε其中，x_i是[a, b]上的分点，Δx_i是相应的分割子区间的长度。

如果存在这样的数值I，我们称I是f(x)在[a, b]上的瑕积分，记作∫[a, b]f(x)dx。

二、瑕积分的性质瑕积分具有一些重要的性质，下面我们将介绍其中的几个。

lebesgue积分的定义

lebesgue积分的定义Lebesgue积分是一种比Riemann积分更加广泛适用的积分方法。

在数学领域，积分是很重要的一个概念，它可以被认为是计算物理中的“面积”。

Lebesgue积分的定义是基于一个新的测度理论来表达，它可以更准确地描述实数轴上的一类函数，包括Riemann积分不能计算的函数。

具体来说，Lebesgue积分是通过将要被积函数划分为“小块”，然后将这些小块合并起来来计算函数的面积。

这些小块是由测度来定义的，测度可以被描述为函数对实数轴的一个“高度评估”。

简单来说，就是一个范围内的函数值被评估为该范围的大小，然后这些评估值加和就是函数的Lebesgue积分。

让我们更深入地了解一下这个定义：设$f(x)$是一个定义在实数轴上的函数，定义在一个长度为$b-a$区间上，用$[a,b]$表示。

$f(x)$的Lebesgue积分是由两部分组成：第一部分是一个非负函数，用$\varphi(x)$表示。

对于任意的$a\leq x\leq b$，$\varphi(x)$都是非负的。

第二部分是函数的符号，表示为$sgn(f)$。

对于任意的$\varphi$，下面的等式都成立：$$\int_{-\infty}^{+\infty}\varphi(x)dx=\sum_{k=-\infty}^{\infty}\varphi(x_k)(x_{k+1}-x_{k})$$其中对于实数$k$，$x_k$是区间$[a,b]$上的分点，必须满足$$a=x_0\leq x_1\leq...\leqx_n=b$$ 而且$x_{k+1}-x_{k}<\delta$，其中$\delta$是一个正数。

Lebesgue积分的定义在很多方面都比Riemann积分更加强大。

例如，它允许有限函数的积分计算更加灵活，这是因为它可以处理任意类型的函数。

此外，Lebesgue积分允许无穷函数进行积分，而Riemann积分只能处理有界函数。

第17讲Lebesgue积分的性质

| f ( x ) | 在E上Lebesgue可积。
第17讲 Lebesgue积分的性质
问题9：有限测度集上有界可测函数的积分性质能否推广到一般可测函数的积分情形（包括有限测度集上的可测函数与无限测度集上的可测函数）？
第17讲 Lebesgue积分的性质
定理2中的（i）~(iv)对于一般可积函数也同样是正确的。其证明需实施一下极限手续。 *定理5 如果E是可测集，则
E
f ( x )dx lim { f ( x )}m dx
m E
m
第17讲 Lebesgue积分的性质
) 从定义5不难看到， f ( x 可积性与 | f ( x的可积相同，即有 )|
定理4 设 f ( x ) 是可测集E上的可测函数，
则 f ( x )在E上Lebesgue可积当且仅当
定义5 设 f ( x )是E上的可测函数，对任意
正整数m， E m同定义4，记
第17讲 Lebesgue积分的性质
Jm f ( x )dx, J m f ( x )dx Em Em
若 lim J m 与 lim J m 至少有一个不为+，则
称 f ( x )在E上有积分并记
(i)当 f ( x ) 在E上可测，g ( x ) 在E上非负可积，
| f ( x ) | g ( x ) 时， f ( x )也在E上可积，且
第17讲 Lebesgue积分的性质
E
| f ( x ) |dx g ( x )dx
E E
证明因为 | f ( x ) | g ( x )，故当 g ( x )dx
第17讲 Lebesgue积分的性质
特别地，当 f ( x ) 是E上的非负可测函数时，

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Lebesgue积分和Lebesgue的理论Abrat Chen, pku作为日志，写得比较随意，希望不会造成误导。

一2011年刚刚过去，当我想起自己到底在2011年收获了什么的时候，总是能够想起许多的失败的经历，而其余的收获又几乎微不足道，唯一聊以自慰的或许只有我幸运地对于Lebesgue的美妙理论有所了解。

我真的很喜欢这个理论，或许是因为我喜欢公理化的东西，这也许可以解释我的物理的悲剧。

整个过程持续的时间很长，从2011年的春季，那时候在看一本书，但是学得很不明白。

真正有所感触，大概要到9月份，那时候在抽象测度论上还是比较磕绊，再后来，鼓起勇气在数分面试的时候想谈谈自己学习这些东西的历程和心得，逼自己把这套优美的理论能够彻底搞明白。

虽然我觉得在面试的时候自己讲的不好，但是，对于自己学习这套理论来说，效果非常得好，很多没有想明白的东西终于想明白了。

所以，我得到这样一种印象，学习一个东西或许可以试试用自己的语言说给身边的老师同学朋友。

我看的书是Friedman的Foundations of Modern Analysis，包含了实变和泛函的内容，关于实变的部分，组织材料的方法非常奇怪，它先将\sigma-代数，然后讲抽象的公理化的外测度（可以初步地认为外测度和测度都是长度或者面积的推广），然后是公理化的抽象的测度，接着推出的Caratheodory的定理，这条非常要紧，就是说每个外测度都可以诱导出一个测度，只不过要限制在一部分集合上，这些集合叫做可测集。

什么意思呢？外测度是大的集合X（可以具体地想成是欧氏空间神马的）的所有子集都有定义的（比如欧氏空间的所有子集都有外测度），但是外测度的公理说了这么三条：首先它是从X的幂集（X的全体子集的集合）到非负实数的映射。

（1）空集的外测度是0（2）F是E的子集，于是F的外测度小于等于E的外测度（这条叫做单调性）（3）次可数可加性，就是说A可以写成En的并，En是集合序列（当然是可数个咯），那么A的外测度小于等于En各自的外测度之和（这个和当然是一个非负无穷级数）这三条都是非常自然的，第三条或许会有些疑虑，其实也很自然，因为En之间可能有交集的，外测度可以想成是长度或者面积的推广，计算A的外测度的时候，这些重叠部分只被算了一次，而计算En的外测度之和的时候，它们都分别被算了，也就是说，被重复计算了，当然会大。

但是外测度有很严重的缺陷，就是，它没有可加性，就是说，我们期待着两个集合A，B不交，那么A并B的长度应该是它们长度之和。

所以引入测度的公理：（1）空集的测度是0（2）可数可加性，这个性质比刚才举的这个A和B的例子还好，现在是说En是集合列，En两两不交，那么它们的测度之和等于它们的并（这个并是不交并）的测度。

这就非常好的。

那么外测度和测度到底什么关系（当然这么说还是太抽象了，这个时候，可以看看Lebesgue 外测度的定义，它这样定义的，现在拿一维欧氏空间做例子，n维欧氏空间类似的也有Lebesgue外测度：定义集合E的Lebesgue外测度为，u*(E)=inf { \sigma_n (b_n - a_n) | (a_n,b_n)是一列开区间，并且覆盖了E}其中取下确界是对所有的覆盖取下确界。

学习过数学分析其实就可以很容易地验证它满足外测度公理，然而它没有可加性（有一个经典例子，基本所有书来会给出，通过区间[0,1]上的等价关系a~b当且仅当a-b 是有理数，这个等价关系诱导出[0,1]的划分，然后用选择公理从每个等价类中选出一个来，就可以验证它没有可加性。

之和可以知道，这个集合是一个Lebesgue不可测集，是由Sierpinski给出的）那么，怎么从外测度得到测度呢，这就是Caratheodory定理的内容：首先定义什么叫u*-可测：设u*是X（可以想成欧氏空间）的一个外测度（就是满足外测度的公理），定义E是u*可测的如果它满足对于任意的集合T，有u*(T) = u*(E\T) + u*(E交T)这个定义可能很不自然。

其实大家可以看到，它已经有可加性的影子了。

其实最早Lebesgue不是这么定义可测的，它用了外测度和内测度（和外测度对偶的一个概念，其实不完全是），外测度是从外面去覆盖，内测度可以认为从内部去扩张（当然，不完全对，Lebesgue当时是用外测度定义内测度的，即假设E包含在区间[a,b]中，则E的内测度=u*([a,b])-u*([a,b] \ E)，可以想象成是E的内部有一列区间，然后它的内测度就是这些区间的和的上确界）。

Lebesgue定义，如果它可测当且仅当它的外测度等于内测度。

可以证明，它和这里的可测定义是等价的。

但是它有致命缺点，就是说一般的抽象空间怎么定义外测度，第二，如果集合无界怎么办，第三，最糟糕的是，当外测度可加的时候，内测度一定可加，反之却不然（这条我木有仔细想过）。

Caratheodory定理就说：X上的所有u*可测集组成的集合是有（代数）结构的，它是一个\sigma-代数，记为a，即全体可测集的集合。

并且u*限制在a上是测度（就具有可数可加性了）。

首先，这么是\sigma-代数，它是这么定义的：定义a是X的幂集的子集（就是说a包含了X的一些子集），定义a是\sigma-代数如果它满足：（1）空集属于a（2）如果E属于a，那么E的补也属于a（3）A对于可数的并运算封闭，就是说E_n都属于A，那么它们的并（这是可数并，而且不要求不交）就属于a其实，就可以很容易地推出X也属于A，并且，A对可数并交补的各种混合运算全部封闭（交可以用补和并来表示，就很容易可以验证了）。

（下面扯点代数内容，如果把并运算看作加法，把对称差运算看作乘法，a实际上代数上的环，也能是把并看作乘法，对称差看作加法，，有点忘了。

一会儿验证下）Caratheodory定理的证明不难，但是很重要。

由它就可以知道，由Lebesgue外测度（上面已经给出了它的定义）可以得到一个限制在可测集类a（它是一个\sigma-代数）上测度，它就是Lebesgue测度。

有几点需要指出：Lebesgue可测集类对于可数并交补的混合运算全部封闭，而且，在后面就可以知道，所有开集都是可测的（从Lebesgue外测度是一个度量外测度可以推出），所以，想构造一个不可测集非常难，因为，它对于这些集合的运算都封闭了，肿么办？当年数学界曾有一段时间，找不到一个Lebesgue不可测集，Lebesgue本人虽然断言不可测集一定存在，但是，他也做不出来。

不可测集的例子，刚才所列出的Sierpinski的例子就是一个，当然不是最早的，后来掌握了不可测集的构造方法，就有了Banach-Tarski 分球怪论，把一个球分成有限块，然后重新组合，可以变成两个一样大的球，当然，那些部分都是不可测的）另外，很容易验证的事实就是，如果E的外测度是0,那么E的所有子集（包括E自己）一定可测，并且是零测集（测度是0），如果测度对于所有这样的集合E（即满足外测度是0的条件的E）都成立，那么就说，这个测度是完备的。

很容易验证，由Caratheodory定理给出的由外测度诱导的测度都是完备的，特别地，Lebesgue测度是完备的。

这就扯出一段轶事来，最早是有Borel测度的，但是不完备，而Lebesgue测度是它的完备化，就是说，每一个Lebesgue可测集都可以写成一个Borel可测集并上一个零测集，反之亦然，能写称这样形式的都是Lebesgue可测的。

于是，Borel（1871-1956，是Lebesgue的老师，只比Lebesgue大4岁，但是Lebesgue 1875-1941，早于他的老师15年就离开人世）说：“Lebesgue的贡献仅在于零测集。

”于是二人反目了。

在20年代的时候，Lebesgue理论已经获得公认，他们争着评法国科学院的院士（其实我认为Borel的成就不亚于Lebesgue），名额只有一个，他们争吵不休，甚至相互辱骂，最后的结果是。

嗯，我先去吃饭去了，下次再说。

二前文提到了Lebesgue和他的老师Borel的争端，两个人在争夺一个法国科学院院士的名额，最后的结果是，额，两个人都评上了有木有！！现在我觉得，如果每一天的下午都能很闲暇地翻一翻这些书，这样的生活也很快乐。

在考试周的时候，虽然关于数学的考试都已经过去，但是，觉得实在复习不下去或许常常感到很悲观的时候，翻一翻这些书，看看我喜欢的Lebesgue和他的奇妙定理，就会感到特别地平静。

Fermat猜想（也就是后来成为Fermat 大定理的那个命题）曾经救过一个悲观厌世的人的生命，他曾经打算结束自己，但那时他看到了Fermat 猜想，他努力去探寻，最后他发现人间还有很多很奇妙的东西，他没有自杀，捐了一笔钱作为给解决这个问题的人的奖励。

Friedman的书里面在讲完Caratheodory的定理之后，也就是在揭示了外测度和它诱导的测度的联系之后，告诉我们如何在抽象的集合X（而不仅仅是欧氏空间）上构造外测度。

我们可以回忆以下Lebesgue外测度的做法，它是对于所有E的开区间覆盖里面取个下确界。

利用覆盖的办法，就可以在抽象的空间上也建立外测度。

在Lebesgue外测度的定义中，我们注意到这么几点：（1）欧氏空间的开区间是能够覆盖R上的任何集合的（当然，只要验证它能覆盖R即可，不妨取(n,n+2)，n取遍所有的整数，这样就显然可以覆盖R，覆盖R的所有子集也就不在话下，而且，后来可以知道，这是\sigma-有限的，英文是\sigma-finite，就是说，虽然R本身的外测度或者测度是无穷的，但是它可以被测度有限的可数个集合盖住，这就是\sigma-有限，这里的\sigma可以理解为可数，不妨想想表示无穷级数时的求和号，那个大\Sigma）（2）这些开区间，我们事先赋予了长度，就是，我们认为区间(a,b)的长度是b-a这样就可以得到一般的构造外测度的方法。

首先有一个叫sequential covering class（不知道中文怎么翻译），这个东西就类似于开区间族（开区间的集合），如果一个X的幂集的子集K满足以下条件就说它是一个sequential covering class:（1）空集属于K（2）X的任何子集E，都可以从K中选取可数个元素（这些元素都是X的子集）把它盖住这些实际上就是R上的开区间族的抽象。

然后，我们要给K中的元素E赋予长度\lambda(E),这就好比给开区间赋予长度b-a一样。

这个\lambda是从K到非负实数的映射。

这样，就可以造出X上的外测度了对于任意的X的子集E, 定义u*(E) = inf { \sum_n \lambda (E_n) | E_n都是K的元素,并且E_n的并覆盖E }是对于所有的覆盖取下确界。