1.2_勒贝格积分(tou_)例题
勒贝格测度举例
勒贝格测度举例勒贝格测度（LebegueMeasure）是一种快速、精确的测量单位，它是由法国数学家凯斯勒贝格（Henri Lebegue）首创的，并于1909年发表。
它的计算方式是在数理逻辑的基础上，通过给定的几何体的多维量度，来进行定量的、准确的测量。
勒贝格测度的基本原理勒贝格测度的基本原理是将一个几何体分割成若干小块，并通过对每一个小块的计算来获得这个体积或面积的总量。
在实际应用中，勒贝格测度可分为两个主要部分：（1）测量无限维几何体在测量无限维几何体时，勒贝格测度可将这个无限几何体分割到无限多次方的多维空间中，每一次分割后可以获得一个定义的体积或面积，最终可以将这些体积或面积的总数量计算出来。
（2）测量有限维几何体在测量有限维几何体时，勒贝格测度可将这个有限几何体分割到有限多次方的多维空间中，每一次分割后可以获得一个定义的体积或面积，最终可以将这些体积或面积的总数量计算出来。
勒贝格测度的应用勒贝格测度的应用广泛，可以用来测量概率、统计、地理学等领域中的几何体，也可以用来测量数学空间的大小。
（1）概率领域勒贝格测度已经在概率领域中广泛应用，在它的范围内，概率可以被定义为勒贝格测度的面积或体积。
它可以通过对几何体进行精密分析，计算出概率分布的准确性。
（2）统计领域勒贝格测度也在统计领域中得到了广泛的应用。
它可以用来准确测量不同集合的体积和面积，从而确定准确的条件概率分布，并可以更精确地估计统计抽样的量级和样本数量。
（3）地理学领域勒贝格测度也可以用来测量地球表面上不同地区的体积和面积，从而可以在决策过程中更加准确地准确表示地理空间中的空间分布关系。
（4）数学空间领域最后，勒贝格测度还可以用来测量数学空间中特定类型几何体的大小，比如多维球体、圆锥体等等，从而可以更准确地测量出这些几何体的体积或面积，提供更加准确的数学解答。
结论勒贝格测度是一种快速且精确的测量工具，它不仅可以用来测量无限维、有限维几何体的体积和面积，还可以用于概率、统计、地理学和数学空间等领域中的定量分析。
勒贝格积分[tou]
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二、勒贝格积分的概念与性质 1. 测度有限集上有界函数L积分 定义1 (L积分) 设m(E)<, f (x)是E上的有界可测函数, 且 <f (x) < . ①分割：=y1<y2<...<yn=
( ) (E ②作乘积和式： im i)
i 1
n
(i [ yi-1,yi ], Ei=E( yi-1 f <yi )={x | yi-1 f(x) <yi}
x ) dm x ) dm f( f(
E i 1 E i n
不等式 性质
n
i 1
有限可加性
注：在零测集上任意改变被积函数的值，或被积函数无定义，都不影响函数 的可积性及积分值。（L积分与R积分的显著区别）
例：在[0,1],dirichlet函数D(x)=0(a.e.), 从而有:
E
[ f ( x )] [ f ( x )] ... [ f ( x )] ... 1 2 n
存在 x ) dm lim x )] dm f( [f(
E n E n
注：当极限值有限时，称f(x)在E上L可积; 当极限值无限时，则称f(x)在E上 有积分。
(2) 设m(E)<+, f (x)是E上的一般无界可测函数.则有
第二节 勒贝格积分
•勒贝格积分思想的产生 •勒贝格积分的概念和性质 •积分极限定理
一、勒贝格积分思想的产生 1. 黎曼（Riemann)积分(即定积分)的基本思想 设f(x)在[a,b]上有界，分割[a,b]，作乘积，求和，取极限
( R ) x ) dx lim f ( x i) i f(
f ( x ) f ( x ) f ( x ) f ( x ) f ( x ) f ( x )
欧氏空间上的勒贝格积分
欧氏空间上的勒贝格积分在数学的海洋里，有一种神秘的东西叫勒贝格积分，听起来就像是高深莫测的术语，对吧？它的本质并没有那么复杂。
我们先从欧氏空间说起，欧氏空间就像一个广阔的舞台，任何函数都可以在这个舞台上尽情演出。
想象一下，你有一块面包，想要知道这块面包的面积。
你可以用尺子量一量，但这不是勒贝格积分的魅力所在。
勒贝格积分更像是一个聪明的厨师，他会把面包切成一片一片，逐渐累积，直到他得到了整个面包的完美尺寸。
这样的方法，想必吃货们都懂，分割好食物，慢慢品味，才能享受其中的美妙。
勒贝格积分的基本思想就是把复杂的东西简单化。
我们来看看积分的过程，想象你在沙滩上，沙子一粒一粒地撒在你的手心。
每一粒沙子都有它的分量，最后你合拢手心，捧住了所有的沙子。
这个过程就是勒贝格积分的核心，逐步积累，每一步都不放过。
比起传统的黎曼积分，勒贝格积分就像是一位耐心的老师，不急不躁，一步一个脚印，把你带入更加深奥的数学世界。
用这种方式，我们可以处理一些复杂的函数，甚至是那些在某些地方不太“听话”的函数。
谈到勒贝格积分，难免会提到可测性。
可测性就像是进门的门票，只有那些符合条件的函数，才能在这个美妙的世界里自由游荡。
简单来说，可测函数就像是在餐馆里的菜品，必须经过严格的检验，才能上桌给客人品尝。
可测性为勒贝格积分提供了一个稳定的基础，没有它，整个系统就像没有主厨的厨房，混乱不堪。
我们得确保所有的“食材”都是新鲜的，这样才能做出美味的佳肴。
勒贝格积分在实际应用中，简直就是无所不能！无论是统计学，还是概率论，甚至在物理学中，都能见到它的身影。
想象一下，你在一场抽奖活动中，每个人的中奖概率都不同，如何公平地计算每个人的机会？这时候，勒贝格积分就像是一个公正的裁判，它能帮助你合理分配资源，确保每个人都有机会。
没错，这就是数学的魅力，让看似复杂的事情变得井然有序。
也许你会问，这个勒贝格积分有什么实际意义呢？好吧，想象你正在制定一份理想的预算，每一笔开销都需要仔细计算。
勒贝格测度和勒贝格积分的理论与应用
勒贝格测度和勒贝格积分的理论与应用勒贝格测度和勒贝格积分是现代实分析中的重要概念，由法国数学家勒贝格（Henri Léon Lebesgue）在20世纪初提出，为了解决传统黎曼积分的一些问题。
勒贝格测度和积分在实际应用中具有广泛的重要性，涵盖了概率论、测度论、函数分析等领域。
本文将介绍勒贝格测度和勒贝格积分的理论原理，并探讨它们在各个领域中的应用。
一、勒贝格测度的概念与性质1.1 勒贝格测度的定义勒贝格测度是一种广义度量，用于度量实数集合的大小。
对于实数轴上的任意集合，勒贝格测度通过测量其长度来描述其大小。
具体而言，设E是实数轴上的一个集合，对于给定的ε>0，我们可以通过开区间的并集来逼近E，然后计算其总长度。
当这个长度无论如何逼近时，我们定义这个极限为勒贝格测度，记作m(E)。
1.2 勒贝格测度的性质勒贝格测度具有以下性质：（1）非负性：对于任意集合E，其测度满足m(E)≥0。
（2）空集的测度为零：空集的测度为m(∅)=0。
（3）可列可加性：对于可列个互不相交的集合E_1，E_2，...，其并集E的测度满足m(E)= ∑ m(E_i)。
（4）单调性：若E_1⊆E_2，则m(E_1)≤m(E_2)。
二、勒贝格积分的概念与性质2.1 勒贝格可积性勒贝格积分是一种更一般的积分概念，可以处理更广泛的函数。
与黎曼积分不同，勒贝格积分是基于勒贝格测度的。
对于实数轴上的一个函数f(x)，如果存在一个可测集E，使得f(x)在E上有界，则称f(x)在E上勒贝格可积。
2.2 勒贝格积分的计算勒贝格积分的计算可以通过勒贝格积分的定义和勒贝格测度的性质来进行。
对于一个非负可测函数f(x)，其勒贝格积分记为∫f(x)dx。
可以将f(x)分解为非负函数的差，然后计算每个非负函数的积分，再将结果相加。
三、勒贝格测度和积分在实际应用中的例子3.1 概率论中的应用勒贝格测度和积分在概率论中扮演着重要的角色。
概率空间中的测度被称为概率测度，勒贝格测度提供了一种统一的度量方法，能够处理连续和离散的随机变量。
勒贝格积分练习题
勒贝格积分练习题1．设)(x f 是E 上的可积函数，如果对于E 上的任意可测子集A ，有0)(=⎰dx x f A ，试证：)(x f =].[.E e a证明：因为}1)(|{}0)(|{1k x f x E x f x E k ≥=≠∞= ，而N k ∈∀，}1)(|{kx f x E ≥}1)(|{}1)(|{kx f x E k x f x E -≤≥= .由已知，=+=-≤≥≥⎰⎰⎰kx f x E kx f x E kx f x E dx x f dx x f dx x f 1)(|{1)(|{1|)(|{)()()(000=+.又因为0}1)(|{11)(0}1)(|{}1)(|{≥≥=≥=≥≥⎰⎰kx f x mE k dx k dx x f kx f x E kx f x E ， 0}1)(|{1)1()(0}1)(|{}1)(|{≤-≤-=-≤=≥≥⎰⎰k x f x mE k dx k dx x f kx f x E kx f x E所以，0}1)(|{}1)(|{=-≤=≥k x f x mE k x f x mE .故,0}1)(|{}1)(|{}1|)(|{=-≤+≥=≥kx f x mE k x f x mE k x f x mE ,从而00}1|)(|{}1|)(|{[}0)(|{111==≥≤≥=≠∑∑∞=∞=∞=k k k k x f x mE k x f x E m x f x mE .即，0)(=x f ，].[.E e a .2.设f ，g 都是E 上的非负可测函数，并且对任意常数a ，都有})(|{})(|{a x g x mE a x f x mE ≥=≥，试证：)()(x g x f =，从而=⎰dx x f E )(dx x g E⎰)(.证明：我们证f，g 是同一个简单函数序列∞=1){m m ψ的极限函数.N m ∈∀及12,,1,0-=m m k ，令}21)(2|{,m m k m k x f k x E E +≤≤=，并且 })(|{2,m x f x E E m m m ≥=.则k m E ,是互不相交的可测集，并且k m m k E E m ,21== ，定义简单函数∑==mk m m k E m m x kx 20)(2)(,χψ.下面证明：)()(lim x f x m m =∞→ψ，E x ∈.E x ∈∀0,若+∞=)(0x f ，则N m ∈∀，m m m E x 2,0∈，所以)()(0∞→∞→=m m x m ψ，即)()(lim 00x f x m n =∞→ψ；若+∞<)(0x f ，则可取正整数)(00x f m >，0m m ≥∀时,}21)(2|{})(0|{1210m m m k k x f k x E m x f x E x m +<≤=<≤∈-= .故，存在)120(-≤≤m m k k ， }21)(2|{0m m k x f k x E x +<≤∈.即，m m k x f k 21)(20+<≤，m m k E m m kx k x mk m 2)(2)(20,==∑=χψ.所以，0212212)()()(|)()(|00000→=-+<-=-=-mm m m m m k k k x f x x f x x f ψψ，从而， )()(lim 00x f x m n =∞→ψ.同理，N m ∈∀，定义简单函数列∑==mkm m k E m m x kx 20)(2)(*,χψ，其中：}21)(2|{*,m m k m k x g k x E E +<≤=，12,,1,0-=m m k .})(|{*,m x g x E E k m ≥=.同上一样可证明：)()(lim 0x g x m n =∞→ψ，E x ∈.因为R a '∈∀，有})(|{})(|{a x g x mE a x f x mE ≥=≥.故R a '∈∀，})(|{b x f a x mE <≤})(|{b x g a x mE <≤=.从而，)120(-≤≤∀mm k k ，有k m m m m m k m mE k x g k x mE k x f k x mE mE ,*,}21)(2|{}21)(2|{=+<≤=+<≤= m m m m m m mE m x g x mE m x f x mE mE 2,*2,})(|{})(|{=≥=≥=.即，N m ∈∀，=)(x m ψ )(x m ϕ.因此)()(lim )(lim )(x g x x x f m m m m===∞→∞→ϕψ.3.若⎪⎩⎪⎨⎧=为有理数，当为无理数，当x x x xx f 31)(，计算[0,1]()f x dx ⎰.解：设x x E |]1,0[{0∈=为有理数}，01]1,0[E E -=，则+=⎰⎰1)()(]1,0[E dx x f dx x f⎰]1,0[)(dx x f ⎰⎰⎰+==111E EE dx xdx xdx x=+==⎰⎰⎰1111E E E dx xdx xdx x2]2[11101]1,0[====⎰⎰x dx xdx x.4.设21,,E E 是]1,0[中n 个可测集，若]1,0[内每一点至少属于n 个集中的个集，证明：21,,E E 中至少有一个测度不小于nq .证：令∑==ni E x x f i1)()(χ，其中i E χ为i E 上的特征函数]1,0[∈∀x ，有q x x f ni E i ≥=∑=1)()(χ，所以q qdx dx x f =≥⎰⎰]1,0]1,0[)(.∑∑⎰∑∑⎰⎰⎰========≤n i ni i E n i E n i E mE dx x dx x dx x f q i i 11111,0]1,0[]1,0[)()()(χχ.如果每个n q mE i <，则∑∑===⋅=>n i n i i q n qn n q mE 11.这与∑=≤ni i mE q 1矛盾.从而，)1(n i i ≤≤∃使得nqmE i ≥. 5.设f ，g 都是E 上的可积函数，试证明：22g f +也是E 上可积函数.证明：（1）先证：设)(x f 与)(x F 都是E 上的可测函数且)()(0x F x f ≤≤ ].[.E e a ，若)(x F 在E 可积，则)(x f 在E 可积.事实上，N m l ∈∀,，因为)()(0x F x f ≤≤ ].[.E e a ，故l l x F x f )}({)}({0≤≤，即+∞<≤≤≤⎰⎰⎰EE llE ldx x f dx x F dx x F dx x f mm)()}({)}({)}({，其中：m m S E E =，}||||{∞<=x x S m .从而∞=⎰1})}({{l l E dx x F m是单调递增有上界⎰Edx x F )(的数列，故：⎰⎰⎰≤=∞→EE ll E dx x F dx x f dx x f mm)()}({lim )(.又因为⎰∞=mE m dx x f 1})({单调递增有上界，所以⎰∞→mE l dx x f )(lim存在，并且⎰⎰⎰+∞<≤=∞→EE ll Edx x F dx x f dx x f m)()}({lim )(，即⎰∞→∞→mE ll m dx x f )}({lim lim+∞<≤⎰dx x f E)(.所以)(x f 在E 可积.（2）再证：22f g +在E 上可积.事实上，因为f ，g 在E 上可积，所以||f 与||g 在E 上可积，从而||f +||g 在E 上可积. 又因为22||||f g f g +≤+，由（1）22f g +在E 上可积.6.设+∞<mE ，)(x f 是E 上的非负可测函数，∞+<⎰Edx x f )(，})(|{k x f x E E k >=，试证明：0lim =⋅∞→dx mE k k l .证明：N k ∈∀，因为+∞<≤≤≤⎰⎰EE k dx x f dx x f kmE k)()(0，所以)(0)(10∞→→≤≤⎰k dx x f k mE Ek ，故0lim =∞→k l mE . 又因为⎰+∞<Edx x f )(，由积分的绝对连续性（即，P103，定理4）.0>∀ε,0>∃δ,使得对于任何可测集E A ⊂，δ<mA ，恒有⎰Adx x f |)(|⎰<=Adx x f ε)(.对于0>δ，由0lim =∞→k k mE ，得，存在N k ∈0，0k k ≥∀时，δ<k mE ，有ε<≤⋅≤⎰dx x f mE k kE k )(0，从而0lim =⋅∞→k k mE k .7.设E 为可测集，且+∞<mE ，)(x f 为E 上的非负可测函数，}1)(|{+<≤=∧k x f k x E E k ，试证: )(x f 在E 上可积当且仅当级数∧∞=∑k k E km 1收敛.证：)(⇒设}1)(|{+<≤=∧k x f k x E E k ，N k ∈，因为)(x f 在E 可积，故∑∑⎰∑⎰⎰∞=∞=∞=⋅=≥=111)(k k k E k E EmE k dx k f dx x f kk.即，级数∑∞=∧⋅1k k E m k 收敛.)(⇐N k ∈∀,因为}1)(|{+<≤=k x f k x E E k ，k E k k E mE kmE mE k dx k dx x f kk+=+=+≤⎰⎰)1()1()(，又dx x x f dx x f m kE EE )()()(χ⎰⎰=又dx x x f x f m kE EE )()()(χ⎰⎰=.因为∑∞==1)()()(k E x x f x f k χ，所以=⎰dx x f E)(∑∑⎰∑⎰∑⎰⎰∞=∞=∞=∞=+≤===1112,991)()()()()()(()(k k k k E k E EL TH P k E EEmE kmE dx x f x x f dxx x f x f kk k χχ基本定理+∞<+=+=∑∑∑∞=∞=∞=k k k k k k k mE kmE mE kmE 111.从而，)(x f 在E 上可积.8.设f 是R '上的可积函数，证明：⎰=-+→],[00|)()(|limb a k dx x f b x f .证明：（1）先证：0>∀ε，存在时直线R '上的连续函数)(x ϕ，使得⎰<-+→],[0|)()(|limb a k dx x f b x f ε.对于N n ∈∀，记：⎪⎩⎪⎨⎧-<->≤=N x f N N x f N Nx f x f x f n )(,)(,|)(|,)()]([ ],[b a E x =∈.则：⎪⎩⎪⎨⎧-<+>-≤=-N x f N x f N x f N x f N x f x f x f n )(,)()(,)(|)(|,0)]([)(. 则=-⎰dx x f x f b a n |)]([)(|],[dx x f x f N f E n|)]([)(|)|(|⎰>- +dx x f x f N f E n|)]([)(|)|(|⎰≤- =dx x f x f N f E n|)]([)(|)|(|⎰>-dx N x f N f E |)(|)|(|⎰>+≤dx x f N f E |)(|)|(|⎰>≤.因为)(x f 在],[b a 是lebesgue 可积的，故0>∀ε，0>∃δ，使E A ⊂，δ<mA 时，恒有Adx x f Aε<⎰|)(|，又因为∞=1|)}(|{n f E 是单调的集列，并且)|(|)|(|1+∞==>∞=f E n f E n .从而，=>=>∞→∞→)]|(|lim [)|(|lim n f E m n f mE n n0)|(|=+∞=f mE .所以，对于0>δ，N ∈∃N ，使得4|)(|)|(|ε<⎰>dx x f N f E .对于N x f )]([，取04>=Nεη，由连续扩张定理（第10页，定理3），存在闭集],[b a F ⊂及R '上的连续函数)(x ϕ，使得（i ）F F N x x f |)(|)]([ϕ=（ii ）NF E m 4)(ε<-(iii) N x ≤|)(|ϕ 则242)(2||)|]([|][||][],[εεϕϕϕ=⋅<-⋅≤+≤-=-⎰⎰⎰--NN F E m N dx f dx f dx f FE N FE N b a N ，从而≤-+-≤-⎰⎰dx x f dx x f x f dx x x f b a NNb a |)(][||)]([)(||)()(],[],[ϕϕεεεϕ=+⋅≤-+≤⎰⎰>242|)(][||)(|2],[)|(|dx x f dx x f b a N N f E .(2)再证：0|)()(lim],[0=-+⎰→dx x f b x f b a h0>∀ε，由（1）知，存在R '上的连续函数)(x ϕ使得3|)()(]1,1[εϕ<-⎰+-dx x x f b a ，因为)(x ϕ在]1,1[+-b a 上一致连续，所以)1(0<>∃δδ使得],[b a x ∈∀，)1(||<<δh 时，恒有)(3|)()(|a b x h x -<-+εϕϕ，dx h x h x f dx x f h x f b a b a |)()(|)()(],[],[⎰⎰+-+≤-+ϕ+dx x h x b a |)()(|],[⎰-+ϕϕ+dx x f x b a |)()(|],[⎰-ϕ.因为],[b a x ∈时，)1|:|<<∀δh h ，有]1,1[+-∈+b a h x ，故dx h x h x f b a |)()(|],[⎰+-+ϕ3|)()(|]1,1[εϕ<-≤⎰+-dx x x f b a .所以≤-+⎰dx x f h x f b a |)()(|],[+-⎰+-dx x x f b a |)()(|]1,1[ϕdx x x f dx x h x b a b a |)()(||)()(|],[],[⎰⎰-+-+ϕϕϕεεεε=++<333.故0|)()(|lim],[0=-+⎰→dx x f h x f b a h .9.设f 是E 上的非负可积函数，c 是任意常数，满足⎰≤≤Edx x f c )(0，试证：存在E E ⊂1，使得c dx x f E =⎰1)(.证明：设常数c ，合于⎰≤≤Edx x f c )(0，当⎰=Edx x f c )(时，存在E E=1，使得c dx x f E =⎰1)(，不妨设⎰≤≤Edx x f c )(0.先证：⎰-=Et t dx x f t F ],[)()(在),0[+∞上连续，),0[0+∞∈∀t ，0t t >∀，因为⎰⎰⎰⎰+=-=-≤----Et t Et t Et t Et t dx x f dx x f dx x f dx x f t F t F ],[],[],[],[00000)()()()()()(0，由积分的绝对连续性（P85，定理4），0>∃δ，E A ⊂∀，δ<mA ，有2)(|)(|ε<=⎰⎰AAdx x f dx x f .故，δ<-≤∀00:t t t ，因δ<-≤-00)),([t t E t t m ，δ<-≤00)],((t t E t t m ，故εεε=+=+=-≤⎰⎰--22)()()()(0],[],[000Ety t Et t dx x f dx x f t F t F .所以，)()(lim 00t F t F t t =+→.同理，对于),0[0+∞∈∀t ，用上述完全类似方法可得)()(lim 00t F t F t t =-→.故，)(t F 在 ),0[+∞上连续.又因为c dx x f dx x f EEt t t >=⎰⎰-+∞→)()(lim],[ （根据P89的定义4）.所以00>∃t ，使得c dx x f t F Et t >=⎰- ],[0)()(.故)()0(0t F c F <<，由)(t F 在闭区间],0[0t 上的介值定理（连续函数的介值定理），),0(01t t ∈∃，使得E E t t E ⊂-= ],[111，有c t F dx x f dx x f Et t E ===⎰⎰-)()()(1],[01.10.设g 是E 上的可测函数，P 是大于1的数，2是P 的共轭输，即111=+qp .如果对任意)(E L f P ∈，都有)(E L fg '∈，试证)(E L g q ∈.11，试证：（i ）1)1(1lim),0(1=+⎰+∞∞→dt tktkk k .(ii) dx x e dx x n x x n k ⎰⎰+∞-+∞-∞→=-),0(),0(1)1(limαα.证明：（i ）2≥∀k 时，（寻找控制函数） 当)10(≤<t t 时：tttttktt f kkk k 4111)1(1)(2111≤=≤≤+=；当1>t 时：2211)11(2)(!2)1(11)(1)1(1)(tk kt k k k t k t t kt t f kkkk k -≤+-+⋅+=≤+=224)211(2t t =-≤.令⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+∞≤<≤<=t t t tt F 1,410,4)(2，从而),0(+∞∈∀t ，)()(t F t f k ≤，且)(t F 在),0(+∞是-R 可积的，故)(t F 在),0(+∞是-L 可积的.又因为t t kk tt kk kk k k k e etkt t k tt f -∞→∞→∞→∞→==⋅+=+=11lim])1[(1lim)1(1lim)(lim 11.由lebesgue 控制收敛定理，⎰⎰⎰∞∞→∞∞→∞∞→==+),0(),0(),0(1)(lim )(lim)1(1limdt t f dt t f dt t kt k k k k kk k ⎰∞-=),0(dt e t10==⎰+∞-dt e t .(ii)N n ∈∀,定义⎪⎩⎪⎨⎧+∞∈∈-=-),(,0],0(,)1()(1n x n x x nx x f n n α，并且1)(--=αx e x F x ，),0(+∞∈x .),0(+∞∈∀x ,有)()1(lim )(lim 11x F x e x nxx f x n n n n ==-=---∞→∞→αα.下面证明：N n ∈∀，)()(1x f x f n n +≤.事实上，),0(+∞∈∀x ，令t t x t G )1()(-=，),1[+∞∈t ，取)1ln()(ln txt t G -=，则 x t x t x t x tx t txt G t G -+-=-+-=')1ln(11)1ln()()(2.又记x t xt x t h -+-=')1ln()(，又因222)()()(11)(x t x x t t x x t x t x tx t h ---=---='0)()()(222<--=---=x t t x x t t tx x t x .所以，xt xt x t G t G t h -+-='=)1ln()()()(关于t 单调递减，且0)(lim =∞→t h t .故),1[+∞∈∀t ，有 0)(>t h ，即0)()()(>⋅='t h t G t G .故)(t G 在),1[+∞单调增加，从而， N n ∈∀)1()11()1()(1+=+-<-=+n G n x n x n G n n .所以)()11()1()(1111x f x n x x n x x f n n n n +-+-=+-<-=αα.因此N n ∈∀，1)()(|)(|--=≤=αx e x F x f x f x n n ，),0(+∞∈x ..因为1)(--=αx e x F x 在),0(+∞上可积，由lebesgue 控制收敛定理，⎰⎰⎰+∞--+∞∞→-∞→===-),0(1),0(),0(1)(lim )1(limdx x e dx x f dx x n x x n n n n n αα.12.设+∞<mE ，试证明：在E 上0⇒k f 当且仅当0||1||lim=+⎰∞→dx f f Ek k k .证明：)(⇒0>∀σ，N k ∈∀，因为)1|(|]||1||[σσσ-≥=≥+k k k f E f f E .因为0⇒k f （在E 上），所以， 0)1|(|lim )||1||{lim =-≥=≥+∞→∞→σσσk k k k k f mE f f mE.故在E 上，0||1||⇒+k k f f .又因为，N k ∈∀，1||1||≤+k k f f 且+∞<mE ，由lebesgue 有界收敛定理，有00||1||lim ==+⎰⎰∞→E E k k k dx dx f f .)(⇐对于0>∀σ，因≤+=≥+≤⎰≥Ef E k k dx f mE )|(|1)|(|10σσσσσσ⎰≥+Ef E k k k dx f f )|(|||1||σ)(0∞→→k .故，0)|(|lim 10≤≥-≤∞→δσσk k f mE .从而0)|(|lim =≥∞→δk k f mE .即0⇒k f .§4.2 lebesgue 积分极限定理一．Levi 定理（非负可测函数序列的积分与极限可交换性） 二．lebesgue 控制收敛定理.定理4（定理的绝对连续性定理）若f 在E 上可积，则0>∀ε，0>∃δ，E A ⊂∀：δ<mE ，有ε<⎰||Afdx .证明：因为f 可积，所以||f 可积（只需证：0>∀ε，ε<⎰||Afdx ）0>∀ε，+∞<=⎰⎰∞→EE m dx f dx f m||||lim .N m ∈∃,=-≤⎰⎰mE Edx f dx f ||||04||||ε<-⎰⎰mE Edx f dx f .又因为⎰⎰=∞→mmE E e l dx f dx f |||}{|lim .所以N e >∃，使4]|}{||[||}{|||0ε<-=-≤⎰⎰⎰dx f dx f dx f dx f e E E e E mmm.`要找0>∃δ，使E A ⊂∀，δ<mA ，有=+=⎰⎰⎰-mm E A E E A Adx f dx f dx f ||||||)(⎰⎰⎰+-+-mmm E A e E A e E E A dx f dx f f dx f |}{|]|}{||[|||)(=++<⎰mE A edx 44εε)(2m E A m e ⋅+εεεε=⋅+≤ee 22.定理5（lebesgue 控制收敛定理）设（i ）)(x f m ， ,2,1=m 是E 上可测函数序列.(ii) 存在非负可积函数)(x F 使得N m ∈∀，)(|)(|x F x f m ≤ ].[.E e a .(iii) f f m ⇒ 0(>∀ε,0}|)()(|{lim =≥-∞→εx f x f x mE m l .则f 在E 上可积，并且⎰⎰=∞→EEm l fdx dx x f )(lim .基础知识复习lebesgue Th （P60，定理4） R i e s z Th （P61，定理5）)()(x f x f m → ⇒].[.E e a f f Em ⇒ ⇒存在子列)()(:}{x f x f f i i m m → ].[.E e alebesgue 控制收敛定理的证明：因为f f Em ⇒，由Riesz Th ，存在子列f f i m → ].[.E e a .因此，f 在E 上可测.又因为N i ∈∀，F f i m ≤||.].[.E e a ，所以F f ≤|| ].[.E e a ，故||f 在E 上可积，从而，故f 在E 上可积，下证：⎰⎰=∞→E Emm dx x f x f)()(lim.（1）先证：+∞<mE 时，有⎰⎰=∞→EEmm dx x f x f)()(lim.0>∀ε,N m ∈∀,记})1(2|)()(|{+≥-=mE x f x f x E E m m ε.则=-≤-⎰⎰⎰Em EEm dx f f fdx dx f ||||⎰⎰-+--Em E E m dx f f dx f f m||||⎰⎰⎰+++≤-EE m E E dx f dx f dx mE mm||||)1(2ε⎰⎰+<+-+≤mmE E m Fdx Fdx E E m mE 222)()1(2εε.因为)(x F 在E 上可积，由积分的绝对连续性，0>∃δ，使E A ⊂∀，δ<mA ，有⎰<AFdx 4ε.又因为0})1(2|)()(|{lim lim =+≥-=∞→∞→mE x f x f x mE mE m m m m ε，所以N m ∈∃0，0m m ≥∀时，有δ<m mE .故⎰<mE Fdx 4ε.从而εεε=⋅+<-⎰⎰422||EEm fdx dx f .即，⎰⎰=∞→EEmm fdx dx flim.（2）再证：+∞=mE 时，也有⎰⎰=∞→EEmm fdx dx flim.0>∀ε,因为⎰⎰=∞→EE m dx xF Fdx m)(lim，所以N M ∈∃，有4||ε<=-⎰⎰⎰-mmE E EE Fdx Fdx Fdx .则≤-+-≤-=-⎰⎰⎰⎰⎰-|)(||)(||)(|||mm E mE E mEm EEmdx f fdx f fdx f f fdx dx f|)(|||)||(|⎰⎰-++-mmE m E E mdx f f dx f f|)(||2⎰⎰-+≤-mmE mE E dx f fFdx|)(|2⎰-+<mE m dx f f ε.因为⎰⎰=∞→mmE E mm fdx dx flim（由1的证明），所以N m ∈∃0，0m m ≥∀有 2|)(|ε<-⎰mE m dx f f .即，εεε=+<-⎰⎰22||Eem fdx dx f .从而，.lim ⎰⎰=∞→Eem m fdx dx f推论（lebesgue 有界收敛定理）.设 （i ）+∞<mE（ii ）N m ∈∀，k x f m ≤|)(|（常数）].[.E e a 且)(x f m 在E 上可测 （iii ）f x f Em ⇒)(则)(x f 在E 上可积，且⎰⎰=∞→EEmm dx x f dx f)(lim.定理6. )(x f 在],[b a 上-R 可积⇔)(x f 在],[b a 上的间断点集是一个零测集.三．vital 定理.定义1.设E 是可测集，F 是E 上的一簇可积函数，称F 是E 上的积分等度绝对连续函数簇，如果0>∀ε，0>∃δ，δ<⊂∀mA E A :，F ∈∀f ，恒有ε<⎰||Afdx .基本性质：设E 是可测集，F 是E 上的一簇可积函数，则F 在E 上是积分等度绝对连续的0>∀⇔ε，0>∃δ，δ<⊂∀mA E A :，F ∈∀f ，恒有ε<⎰||Afdx .证明：)(⇒0>∀ε，因为F 在E 上是积分等度绝对连续，所以0>∃δ，δ<⊂∀mA E A :，F ∈∀f ，有ε<⎰||Afdx .记}0)(|{≥=+x f x E A A ，}0)(|{<=-x f x E A A ，则δ<+mA 且δ<-mA .所以，εεε=+<+≤-=+=⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰-+-+-+22|||||||||A A A A A A Afdx fdx fdx fdx dx f dx f dx f .)(⇐直接的.定理7.(vital 定理).设 （i ）+∞<mE .（ii ）∞=1)}({n n x f 是E 上积分等度绝对连续函数簇.（iii ）f x f Em ⇒)(.则)(x f 在E 上可积，且⎰⎰∞→=Enn Edx fdx f lim .证明：先证：f 在E 上可积.(找一个可积函数)(x F ，使得)(|)(|x F x f ≤ ].[.E e a（1）先证：N ∈∀i ，N ∈∃i N ，使得i N n m ≥>∀，恒有⎰≤-Ei n m dx x f x f 21|)()(|. 事实上，N ∈∀i ，取221+=i ε，由∞=1}{n n f 在E 上积分等度绝对连续性，0>∃i δ)21(ii ≤δ使得i E A ⊂∀，i mA δ<时，N ∈∀n ，⎰+≤Ai n dx x f 221|)(|.记})1(21|)()(|{)(2+>-=+mE x f x f x E i E i n n })1(21|)()(|{)(1+>-=+mE x f x f x E i E i m n nm ，则)()()(i E i E i E m n nm ⊂. 因为f f n ⇒，所以0)(lim =∞→i mE n n .所以对于0>i δ，N ∈∃i N ，i N n ≥∀，恒有2)(in i mE δ<，则i N n m ≥>∀时，i iim n nm i mE i mE i mE δδδ=+<+≤22)()()(.所以≤-+-≤-⎰⎰⎰-)()(|)()(||)()(||)()(|i E n m i E E n m En m nm nm dx x f x f dx x f x f dx x f x f11)(2)()()(2121)1(21|||||)()(|++-+⋅+++≤+≤-⎰⎰⎰⎰i i i E E m i E n i E m i E E n m nm nm nm nm dx mE dx f dx f dx x f x f ii i nm i i E E m mE 212121)(()1(21111+<++-++++.即（1）为真.又因为f f n ⇒，由Ri e s z 定理，)({x f n 有子列)({x f i n 使)({lim )(x f x f i n i ∞→=， ].[.E e a .不失一般性，N ∈∀i ，设i i N n ≥，于是，∑∞=+-=+1)()()(()(11i n n n x f x f x fx f i i ].[.E e a .令∑∞=+-=+1)()()(()(11i n n n x f x f x fx F i i .(2)再证：)(|)(|x F x f ≤ ].[.E e a 且⎰+∞<EFdx .事实上，|)()()((||)(|111∑∞=+-=+i n n n x f x f x f x f i i |)(||()(||111∑∞=+-≤+i n n n x f x f x f i i )(x F = ].[.E e a由lebesgue 基本定理（第82页，定理2），有dx x f dx x f x fFdx i En En n Ei i |)(||()(||111∑⎰⎰⎰∞=+-≤++∞<+≤⎰∑∞=dx x f En i i|)(|2111.从而)(x F 在E 可积，又由)(|)(|x F x f ≤ ].[.E e a .f 在E 上可积. 最后证：⎰⎰=∞→EEn n fdx dx f lim .0>∀ε,因为f 在E 上可积，由积分的绝对连续性，0>∃δ，E A ⊂∀：δ<mA ，有3||ε<⎰Adx f .取充分大的自然数0i 使},3min{210δε<i ，则0i N n ≥∀时，有δδ<<<+1000212)(i in i mE ，从而，dx fdx f fdx f dx x f i E ni E E nEEn n n ⎰⎰⎰⎰+-≤--)()(00|||||)(|dx f i E n ⎰+)(0||321)(()1(212020ε++-+≤++i n i i E E m mE 321212200ε++≤++i i 333εεε++=ε=.找一个可积函数)(x F 使得)(|)(|x F x f ≤].[.E e a .因为f f n ⇒，由Riesz 定理，存在子列：f f i n →].[.E e a .于是∑∞=+-=+1)()()(()(11i n n n x f x f x fx f i i ].[.E e a .则≤)(x f|)(||)()(|111∑∞=+-+i n n n x f x f x fi i ].[.E e a .记|)(||)()(|)(111∑∞=+-=+i n n n x f x f x fx F i i .则∑⎰⎰∞=+-=+1|)()(|1i En n Edx x f x f Fdx i idx x fEn i⎰|)(|.若N ∈∀i ，i En n dx x f x f i i 21|)()(|1<-⎰+ ，则+∞<⎰dx F E，即)(x F 可积.⇒ )(x f 在E 可积.。
勒贝格积分
勒贝格积分(2007-09-03 00:39:01)转载▼标签：分类：科普知识/探索数学积分是“和”的概念。
即将东西加起来。
所以积分早期是从面积，路程等计算中发展起来。
比如计算面积，将X轴的区间分成若干小区间，将小区间的高度(Y值)乘以小区间的长度，然后加起来。
用极限法就可以求得精确的面积。
这是传统的积分概念(黎曼积分)。
勒贝格从另一个角度来考虑积分概念，导致勒贝格积分和测度概念。
比如计算面积，可以将小区间的高度(Y值)乘以对应的所有小区间的长度的和(测度)，然后加起来。
又比如现有硬币：25，25，10，5，10，1，5，25。
用黎曼积分来求和：25+25+10+5+10+1+5+25 =106。
用勒贝格积分来求和：25*3+10*2+5*2+1=106。
结果是一样。
但对于一些“坏”函数，结果是不一样。
比如在X轴[0，1]闭区间上定义函数：Y=1，当X是无理数；Y=0，当X是有理数。
求该函数覆盖的面积。
黎曼积分无法定义，因为任意小的区间都包含无理数和有理数。
用勒贝格积分来求和: 1*1+0*0 = 1。
[0，1]闭区间的长度(测度)是1；有限点集的长度(测度)是0；无限可数点集(如，有理数)的长度(测度)是0。
而[0，1]闭区间的长度(测度) = 有理数集的长度 + 无理数集的长度。
所以，[0，1]闭区间的无理数集的长度(测度) 是1。
这就解释了上述计算结果。
由此可见，勒贝格积分比黎曼积分广义。
很多数学概念和思想就是从貌似相同的概念和思想中推导出来。
这启发我们在做研究时应从不同角度来考虑一些现有概念和理论，有时可能导致新的概念和理论。
数学实验题目2 Romberg积分法
数学实验题目2 Romberg 积分法摘要考虑积分()()b aI f f x dx =⎰欲求其近似值，可以采用如下公式：（复化）梯形公式 110[()()]2n i i i hT f x f x -+==+∑ 2()12b a E h f η-''=- [,]a b η∈ （复化）辛卜生公式 11102[()4()()]6n i i i i hS f x f x f x -++==++∑4(4)()1802b a h E f η-⎛⎫=- ⎪⎝⎭ [,]a b η∈ （复化）柯特斯公式 111042[7()32()12()90n i i i i hC f x f x f x -++==+++∑31432()7()]i i f xf x +++6(6)2()()9454b a h E f η-⎛⎫=- ⎪⎝⎭[,]a b η∈ 这里，梯形公式显得算法简单，具有如下递推关系121021()22n n n i i h T T f x -+==+∑因此，很容易实现从低阶的计算结果推算出高阶的近似值，而只需要花费较少的附加函数计算。
但是，由于梯形公式收敛阶较低，收敛速度缓慢。
所以，如何提高收敛速度，自然是人们极为关心的课题。
为此，记0,k T 为将区间[,]a b 进行2k等份的复化梯形积分结果，1,k T 为将区间[,]a b 进行2k等份的复化辛卜生积分结果，2,k T 为将区间[,]a b 进行2k等份的复化柯特斯积分结果。
根据李查逊（Richardson ）外推加速方法，可得到1,11,,0,1,2,40,1,2,41m m k m km k m k T T T m -+-=-⎛⎫=⎪=-⎝⎭可以证明，如果()f x 充分光滑，则有,lim ()m k k T I f →∞= （m 固定）,0lim ()m m T I f →∞=这是一个收敛速度更快的一个数值求积公式，我们称为龙贝格积分法。
勒贝格积分的概念
勒贝格积分的概念勒贝格积分是数学中的一个重要概念，它是对函数在某个区间上的积分进行定义和计算的一种方法。
勒贝格积分是由法国数学家亨利·勒贝格于19世纪末提出的，它是黎曼积分的一种推广和扩展。
1. 勒贝格积分的定义勒贝格积分的定义是基于集合论的，它将函数的积分看作是对函数在某个区间上的值进行加权求和的过程。
具体来说，给定一个函数f(x)和一个定义在区间[a, b]上的集合E，勒贝格积分的定义如下：∫f(x)dμ = sup{∫φ(x)dμ | φ(x)是[a, b]上的简单函数，且φ(x) ≤ f(x)在E上几乎处处成立}其中，sup表示上确界，简单函数是指形如φ(x) = ΣaiχAi(x)的函数，其中ai是常数，Ai是区间[a, b]上的可测集合，χAi(x)是Ai上的特征函数。
2. 勒贝格积分的性质勒贝格积分具有许多重要的性质，使得它成为了数学分析中不可或缺的工具。
以下是一些勒贝格积分的性质：（1）线性性质：对于任意的实数a和b，以及函数f(x)和g(x)，有∫(af(x) + bg(x))dμ = a∫f(x)dμ + b∫g(x)dμ。
（2）单调性质：如果在E上几乎处处有f(x) ≤ g(x)，则∫f(x)dμ ≤ ∫g(x)dμ。
（3）绝对收敛性：如果∫|f(x)|dμ存在，则∫f(x)dμ也存在。
（4）有界性：如果在E上几乎处处有|f(x)| ≤ M，其中M是常数，则∫f(x)dμ存在且|∫f(x)dμ| ≤ M。
（5）积分与极限的交换：如果函数序列{f_n(x)}在E上几乎处处收敛于f(x)，且存在可积函数g(x)使得|f_n(x)| ≤ g(x)在E上几乎处处成立，则有lim(n→∞)∫f_n(x)dμ = ∫f(x)dμ。
3. 勒贝格积分与黎曼积分的关系勒贝格积分是对黎曼积分的一种推广和扩展。
黎曼积分是通过将区间[a, b]划分成若干小区间，然后在每个小区间上对函数进行近似求和来定义的。
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例1 求 解:当0<x<1时,
非一致收敛, 但
在[0,1]上非负可测, 由定理9有
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例2 求极限
解:当0x1 时,
因为
在[0,1]上R可积,从而L可积
由L控制收敛定理有
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例3 设f(x,t)在矩形域{(x,t)|axb, t}上有定义,且满足:1) t[,], f (x,t)
是[a,b]上L可积函数2) C>0, 使得 证明 证:
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例4 设f (t)在(-,+)上L可积, 其富立叶变换为 证明 1) 在(-,+)上连续; 2)
证: 1)
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2)
是(-,+)上L可积, 所以有L控制收敛定理有