勒贝格积分[tou]
勒贝格积分
勒贝格积分将给定的函数按函数值的区域进行划分，作和、求极限而产生的积分概念，就是勒贝格积分。
概念简述定义：设f (x) 是E ∈ L q(mE < ∞) 上的有界函数，则称f (x) ∈ L(E) ，如果对任意ε > 0，必然存在E 的分划D，使S(D, f ) -s(D, f ) = ΣωimEi<ε，这里S(D, f ) 及s(D, f )分别是f (x) 关于分划D 的大和及小和，ωimEi是Ei上的振幅。
它与黎曼积分的主要区别在于前者是对函数的函数值区域进行划分；后者是对函数定义域进行划分。
对此Lebesgue自己曾经作过一个比喻,他说:假如我欠人家一笔钱,现在要还,此时按钞票的面值的大小分类,然后计算每一类的面额总值,再相加,这就是Lebesgue积分思想；如不按面额大小分类,而是按从钱袋取出的先后次序来计算总数,那就是Riemann积分思想。
(参见:周性伟,实变函数教学的点滴体会,《高等理科教学》,2000.1) 即采取对值域作分划,相应得到对定义域的分划(每一块不一定是区间), 使得在每一块上的振幅都很小, 即按函数值的大小对定义域的点加以归类。
积分介绍积分是“和”的概念。
即将东西加起来。
所以积分早期是从面积，路程等计算中发展起来。
比如计算面积，将X轴的区间分成若干小区间，将小区间的高度(Y值)乘以小区间的长度，然后加起来。
用极限法就可以求得精确的面积。
这是传统的积分概念(黎曼积分)。
勒贝格从另一个角度来考虑积分概念，导致勒贝格积分和测度概念。
比如计算面积，可以将小区间的高度(Y值)乘以对应的所有小区间的长度的和(测度)，然后加起来。
又比如现有硬币：25， 25，10，5，10，1，5，25。
用黎曼积分来求和：25+25+10+5+10+1+5+25=106。
用勒贝格积分来求和：25*3+10*2+5*2+1=106。
结果是一样。
但对于一些“坏”函数，结果是不一样。
第二讲 勒贝格积分的思想简介
第2讲勒贝格积分的思想简介勒贝格的生平简介• 1875年6月28日生于法国的博韦• 1894—1897在巴黎高师学习• 1899—1902在南锡的一所中学任教• 1902年发表了博士论文《积分、长度、面积》• 1921年获得法兰西学院教授称号, 翌年作为Jordan的后继人被选为巴黎科学院院士• 1941年7月26日卒于巴黎一、勒贝格积分的思想简介1902年勒贝格(Lebesgue, 法, 1875－1941)建立的这套新的积分理论(L积分理论), 对函数限制较少, 适用范围更大.Lebesgue自己曾经作过一个比喻，他说：假如我欠人家一笔钱，现在要还，此时按钞票的面值的大小分类，然后计算每一类的面额总值，再相加，这就是Lebesgue积分思想；如不按面额大小分类，而是按从钱袋取出的先后次序来计算总数，那就是Riemann积分思想.具体来说, 假设一堆乱七八糟的零钱需要汇总：1 2 2 1 5 5 2 5 1 2 2 1 5✓ 1+2+2+1+5+5+2+5+1+2+2+1+5=34——Riemann ✓ 1×4+2×5+5×4=34——Lebesguexa b yo 01lim 0ni i T i x ω→=∆=∑黎曼可积的充要条件（从分割函数值域着手） 01,i n m y y y y M =<<<<<=步骤如下： step1. 分割 ()[,],[,],f x m M x a b ∈∈不妨设1i y -iy 11max{}.i i i n y y δ-≤≤=-记M mxa b yo1{[,]:()},i i i E x a b y f x y -=∈≤<1[,),i i i y y ξ-∈任取"i E "边的长度底i imE ξstep2. 近似作和 i ξi E 1i y -iy 11max{},i i i ny y δ-≤≤=-记Mm xa b yo 1n i =∑近似求和[,]01()()d lim ().ni i a b i L f x x m E δξ→==∑⎰step3. 求极限优势 通过y 轴上对值域作划分来限制函数值变动的振幅，相应得到对定义域的划分. (可能是分散而杂乱无章的点集及其并集）4E xyo✓(1) 集合E 的“长度”m (E ) 如何定义?（测度论） 2. 实现新思路的攻关路线 ✓(2)怎样的函数可使每个 E i 都有“长度”? ✓(3)如何定义Lebesgue 积分并研究其性质? （积分论） （可测函数）1{[,]:()}i i i E x a b y f x y -=∈≤<1）集合， 2）元素， 3）集合与元素的关系， 6）子集 5）集合与集合之间的关系， 二、集合及相关概念1. 集合的概念4）表示, 2. 集合的运算 1）并与交{:}A B x x A x B =∈∈或并{:}A B x x A x B =∈∈且交XABXAB{:,}A x x A αααα∈Γ=∃∈Γ∈使{|}{}A A αααα∈Γ∈Γ或集簇： {}n A 特别当 时, 称集簇为集列, 简记为 Γ=集簇的并与交集簇的并Γ为指标集集簇的交 {:,}A x x A αααα∈Γ=∀∈Γ∈有2）差与补\{:,}A B x x A x B =∈∉差：但\,cA X A =补(余)： 其中X 为全集cAXA关于集合的并与交的一些运算性质: （1） 交换律 , ;AB BA AB BA ==()(),()();A BC A B C A B C A B C ==（2）结合律 ()()(),()()(),A B C A B A C A B C A B A C ==（3）分配律 ()(),()().A B A B A B AB αααααααα∈Γ∈Γ∈Γ∈Γ==,.ccccA A A A αααααααα∈Γ∈Γ∈Γ∈Γ⎛⎫=⎪⎝⎭⎛⎫=⎪⎝⎭（4）德摩根（De Morgan ）公式1）集合的对等3. 对等与基数 设A , B 是两个集合, 如果存在某映射11:,A B ϕ-−−→例如 {1,2,3,...},A ={2,4,6,...},B =则 ~.A B (0,1).x ∀∈11:(0,1),ϕ-−−→构造映射区间(0, 1)和实数域 对等,π()tan(π),2x x ϕ=-例如 则称A 和B 对等, 记为 .AB2）集合的基数注2 按照基数可将所有的集合进行分类. 注1 基数是一切彼此对等的集合之间的某种共同属性，是有限集的元素个数概念的推广. 设A , B 是两个集合, 如果则称A 与 B 的基数或势是相等的, 记为 ,A B .A B （两个集合属于同一类当且仅当它们对等）4. 可数集与不可数集 2）可数集的性质 （略）记自然数集 的基数为 0.ℵ若 则称集合 为可数集或可列集. 0,A =ℵA 注 A 为可数集 A 的元素可以用自然数加以编号，使之成为无穷序列的形式，即例如 有理数全体 可数集合.1）可数集（可列集）12{,,,,}.n A a a a =——不是可数集的无 限集称为不可数集.有限集集合可数集无限集不可数集⎧⎪⎧⎨⎨⎪⎩⎩注 [0, 1]的基数记为又称为连续基数. 1(),c ℵ或3）不可数集（不可列集）例如 区间[0, 1]是不可数集.区间(0, 1)和实数集 的基数为 .cn 维欧几里德空间n设n 为一个正整数, 称n 元有序数对 的全体为n 维欧几里德空间, 记为.n12(,,,)n x x x 每一个 称为 中的一个点(或元素)其中 为该点的第 个坐标. 12(,,,)n x x x i x i n12(,,,),n x x x x 即,x.nc =,.n中可赋予运算: 加法和数乘 在上述运算下构成一线性空间个,,nx y 中任意两点引入距离2221122(,)()()().n n d x y x y x y x y =-+-++-n开集中的、闭集.（详见参考文献1）参考文献1. 周民强. 实变函数论, 北京: 北京大学出版社, 2001.2. 郑维行, 王声望. 实变函数与泛函分析概要, 北京:高等教育出版社, 2010.3. 程其襄等. 实变函数与泛函分析基础, 北京: 高等教育出版社, 2010.4. 夏道行等. 实变函数论与泛函分析, 北京: 高等教育出版社, 2010.感谢大家的聆听！。
第七章 勒贝格积分理论简介
第七章 勒贝格积分理论简介本章所讨论的测度都是勒贝格测度，故不再特别说明。
所说可测均指。
所指函数也都是定义在实数子集上的实值函数。
可测-L 在第六章第二节中，我们曾经提到勒贝格积分的一种定义方式。
由此积分的定义可以看出，定义在一个可测集上的符号函数是可以积分的当且仅当E f 是可测的，由此引入了可测函数的概念。
但是从可测函数的角)(1+<≤i i y f y E 度考虑，可测函数可以另外的方式引入。
本章先讨论可测函数的刻画方式和一些基本性质，然后对勒贝格积分的常见计算方式作一些粗略的介绍。
进一步的内容可以在任何一本实变函数的教材可见。
§1 可测函数的定义刻画与运算我们先给出可测函数的一种最朴素的定义方式。
7.1定义：设是定义在上的函数，若对任意集合是可侧集，f E R ∈a )(a f E <称是可侧函数。
f 7.2命题. 设是集合上的函数。
f E (1)若是可侧，在上连续，则是上可测函数。
E f E f E (2)若是上可测函数，，则集合，，,f E R ∈a E )(f a E ≤)(f a E <都是可测集。
)(a f E ≤(3)若，且在上可测，则是上的可测函数。
φ==)0(f E f E f1E 证明：(1)对任意，是中开集，即存在中开集,使得R ∈a )(a f E <E R G ,故是可侧集。
E G a f E =<)()(a f E <(2)结论可由如下的集合等式得到)(a f E E n <=∈ω)(\)(a f E E f a E <=≤)1()(1f na E f a E n ≤+=<∞= )(\)(f a E E a f E <=≤(3)由⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧<><=<><>=<0)1()0(0)0(0)0()1()1(a a f E f E a f E a f E a f E a f E 可知是可侧集。
定积分的勒贝格积分
定积分的勒贝格积分定积分是微积分中的一个重要的概念，是对函数在一定区间上的面积的计算。
在定积分的计算中，勒贝格积分是一种非常重要的积分方法。
1. 定积分的定义定积分是在一定的积分区间上，对函数的一段长度进行求和的过程。
在数学上，定积分可以表示为：I = ∫ab f(x)dx其中，a和b表示积分的区间，f(x)表示被积函数。
定积分的几何意义就是表示在函数曲线与x轴之间的面积。
2. 勒贝格积分勒贝格积分，是由法国数学家亨利·勒贝格所创立的积分方法。
勒贝格积分提供了一种非常有效的方法来计算具有不连续性的函数的积分。
勒贝格积分的基本思想是将被积函数分为两个部分，一个是连续的部分，另一个是不连续的部分。
对于连续的部分，可以使用黎曼积分进行计算，而对于不连续的部分，则采用类似积分的方式进行计算。
使用勒贝格积分方法，可以推广到高维空间和泛函分析中，具有非常广泛的应用。
3. 勒贝格积分的特点勒贝格积分与黎曼积分相比，具有以下几个特点：1. 勒贝格积分可以计算具有不连续性的函数的积分。
2. 勒贝格积分的定义更加精确严谨，相比于黎曼积分需要更少的假设条件。
3. 勒贝格积分可以推广到高维空间和泛函分析中，具有非常广泛的应用。
4. 勒贝格积分的计算方法更加灵活，在实际操作中更加方便。
4. 勒贝格积分的计算勒贝格积分的计算方法主要分为两类，一种是使用勒贝格-斯蒂尔切斯公式计算，另一种则是使用勒贝格积分的性质进行计算。
勒贝格-斯蒂尔切斯公式是使用勒贝格积分的划分法进行计算。
通过将被积函数等分为若干个小的区间，然后对每个小的区间进行求和，最后将这些小的区间的和相加得到最终的积分结果。
另一种计算方法是使用勒贝格积分的积分性质，将被积函数拆分为连续的函数部分和不连续的函数部分。
对于连续的部分，采用黎曼积分的方法进行计算，对于不连续的部分，则采用类似积分的方式进行计算。
5. 结论勒贝格积分是微积分中非常重要的一个概念，对于一些具有不连续性的函数，使用勒贝格积分的方法进行计算会更加准确可靠。
不定积分的勒贝格积分
不定积分的勒贝格积分在高等数学中，不定积分是一个重要的工具，在各个领域都有着广泛的应用。
而勒贝格积分则是积分学中的一种重要的积分方式。
在本文中，我们将通过对不定积分的勒贝格积分进行深入的探讨，来进一步了解这一话题。
勒贝格积分，是以勒贝格测度为核心的定义的一种广义积分。
在勒贝格积分的定义中，我们使用关注积分范围内每个小区间长度的方式来计算积分，可以较好地适应各种不同的积分求解需求。
在实际应用中，勒贝格积分的优点也得到了充分的利用。
而对于不定积分求解，我们也可以使用勒贝格积分来辅助求解。
在实践中，我们常常面临求解形如$f(x)dx$形式的不定积分问题。
而这些问题本身的定义并不严谨，存在着多种不确定性。
但是我们可以通过勒贝格积分的方法来解决这些不确定性，从而得到更加精确的解答。
对于一个不定积分问题，我们可以使用勒贝格积分对函数原形式进行优化，从而得到更加精确的答案。
勒贝格积分的核心思想是分区间求和，而对于一个不定积分的求解问题，则可以将整个求解过程看成一个区间的求和过程。
我们可以将需要求解的函数在某一区间内分解成多个小区间，并在每个小区间内分别求解，最终将这些小区间计算出的结果求和即可得到整个函数的不定积分。
在这个过程中，我们使用的勒贝格积分方法也需要考虑到函数定义上可能存在的不连续性。
在具体实践中，我们可以根据具体的问题要求，选择不同的分区方法。
对于一些较复杂的函数，我们可能需要进行多次分区，才能得到较为精确的答案。
为了保证结果的精确性，我们需要仔细的推导和计算每一个小区间内的勒贝格积分，以得到最终答案。
总而言之，通过使用勒贝格积分对不定积分进行求解，我们可以得到更加精确的答案，避免了某些不连续性或误差对计算结果的影响。
这不仅提高了数值计算的精度，还有助于我们更好的认识数学中的一些重要概念和方法。
因此，在数学学习中，我们需要深入了解和掌握勒贝格积分等相关的积分方法，在实践中得到更好的应用。
第四章勒贝格积分
第四章 勒贝格积分本章介绍勒贝格积分理论.定义勒贝格积分有多种方法，本处采用从非负简单函数到非负可测函数，然后到一般可测函数的方法逐步建立勒贝格积分理论.§1 非负简单函数的勒贝格积分定义1 设n R E ⊂是可测集，)(x ϕ是E 上的非负简单函数，即E x x c x nk E k k∈=∑=,)()(1χϕ，其中 nk k E E 1==,k E 是互不相交的可测集，k c 是非负实数（1≤k ≤n ），记⎰∑==Enk kk mEc dx x 1)(ϕ称⎰Ex dx x )()(ϕϕ为在E 上的勒贝格积分.显然，当⎰==Edx x mE 0)(,0ϕ时.下面的定理1说明非负简单函数的勒贝格积分值与其表示无关.定理1 设)(),(x x ψϕ是可测集E 上的非负简单函数，如果E x x x ∈=),()(ψϕ，则⎰⎰=EEdx x dx x )()(ψϕ证明 设E x x a x nk E k k∈=∑=,)()(1χϕ，nk k k E E n k a 1),1(0==≤≤≥，E k 是互不相交的可测集，又E x x b x jF mj j ∈=∑=),()(1χψ，mj j j j F F E m j b 1,),1(0==≤≤≥是互不相交的可测集. 因为在E 上，)()(x x ψϕ=，所以对任何k 和),1,1(m j n k j ≤≤≤≤ 总有)()(j k j j k k F E m b F E m a ⋂=⋂，于是∑∑∑∑====⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⋂=⋂=nk m j j k k k nk k nk k k F E m a E E m a mE a 1111)()()()(1111j k m j nk j j kmj kn k F E m b F Em a ⋂=⋂∑∑∑∑=====∑=mj j j mF b 1即⎰⎰=EEdx x dx x )()(ψϕ .定理2 设)(),(x x ψϕ是E 上的非负简单函数,则 (1)对任何非负实数c,有⎰⎰=EEdx x c dx x c )()(ϕϕ ；(2) ()⎰⎰⎰+=+EEEdx x dx x dx x x )()()()(ψϕψϕ ； (3)若,),()(E x x x ∈≤ψϕ则⎰⎰≤EEdx x dx x )()(ψϕ ，特别地，mE x dx x E⋅≤⎰)(max )(ϕϕ ；（4）若A 、B 是E 的两个不相交的可测子集，则⎰⎰⎰+=⋃BABA dx x dx x dx x )()()(ϕϕϕ .证明 仅证（2）式，其余作为习题.设 E x x a x ni A i i ∈=∑=)()(1χϕ，,)()(1E x x b x mj B j j∈=∑=χψ其中}{},{),1,1(0,j i j i B A m j n i b a ≤≤≤≤≥均为互不相交的可测集列，且 n i mj j i B A E 11====.易知jiB A n i mj i i b a x x ⋂==∑∑+=+χψϕ11)()()(所以())()()()(11j i Eni mj j iB A m b adx x x ⋂+=+⎰∑∑==ψϕ=)()(1111j i ni m j i j i ni mj i B A m b B A m a ⋂+⋂∑∑∑∑=====∑∑∑∑====⎪⎭⎫⎝⎛⋂+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⋂m j n i j i j j i m j ni i B A m b B A m a 1111)()(=⎰⎰∑∑+=+==EEmj j j i n i i dx x dx x mB b mA a )()(11ψϕ定理3 设})({)},({x x n n ψϕ是E 上单调增的非负简单函数列，如果E x x x n n n n ∈=∞→∞→)(lim )(lim ψϕ，那么 ⎰⎰∞→∞→=En n En n dx x dx x )(lim )(lim ψϕ .证明 不妨设)(lim x n n ϕ∞→在E 上几乎处处有限，因为)}({x n ψ在E 上单调增，所以对任何自然数m ≥1，有)(lim )(lim )(x x x n n n n m ϕψψ∞→∞→=≤ .令 )}(),(m in{)(x x x f n m n ϕψ=,则非负简单函数列)}({x f n 收敛,且,)()(lim E x x x f m n n ∈=∞→ψ当+∞<mE 时，由Egoroff 定理，0>∀ε，存在可测集)(),()(,\,∞→<→→n x x f E E mE E m n ψεεεε上在使，于是存在N ≥1，当n>N 时，对一切εE E x \∈，)()()(x x f x n n m ϕεεψ+≤+<从而dx x dx x n E E m E E ))(()(\\ϕεψεε+≤⎰⎰dx x mE E n ⎰+≤)(ϕε因此， dx x mE dx x En E E n m⎰⎰∞→+≤)(lim )(\ϕεψε另外， )(m ax )(m ax )(x mE x dx x m m E m ψεψψεε⋅<≤⎰故 dx x dx x dx x m E m E E E m)()()(\ψψψεε⎰⎰⎰+=dx x mE x n En m )(lim ))((max ϕψε⎰∞→++<令0→ε，),1()(lim )(≥∀≤⎰⎰∞→m dxx dx x En n Emϕψ当+∞=mE 时，存在可测集列)1(,,,},{121≥+∞<=⊂⊂⊂⊂∞=k mE E E E E E E k k k k k 使.由上述证明知，对每个k ≥1， ⎰⎰⎰∞→∞→≤≤En n E n n E m dx x dx x dx x kk)(lim )(lim )(ϕϕψ .记 Tj j j Tj F j m F F E E x x a x j 11}{,,,)()(===∈=∑其中χψ是互不相交的可测集，)1(,0T j a j ≤≤≥，则由积分定义，∑⎰==Tj k j j E m E F m a dx x k1)()( ψ ,因为 j k j k mF E F m =∞→)(lim ，所以⎰⎰∑===∞→Em E Tj j j m k dx x mF a dx x k)()(lim1ψψ，于是 ⎰⎰∞→≤En n Emdx x dx x )(lim )(ϕψ,因此⎰⎰∞→∞→≤EEn n m n dx x dx x )(lim )(lim ϕψ .同理可证相反的不等式，故⎰⎰∞→∞→=EEn n m n dx x dx x )(lim )(lim ϕψ .§2 非负可测函数的勒贝格积分定义1 设)(x f 是E 上的非负可测函数，)}({x n ϕ是E 上单调增收敛于)(x f 的非负简单函数列，记⎰⎰∞→=En En dx x dx x f )(lim )(ϕ,称 )()(x f dx x f E为⎰在E 上的勒贝格积分，或L 积分，如果⎰+∞<Edx x f )(，则称)(x f 在E 上是勒贝格可积的，或L可积，简记为)(E L f ∈.由§1定理3知，非负可测函数的勒贝格积分值与非负简单函数列)}({x n ϕ选取无关.显然，若⎰=∈=Edx x f E x x f 0)(,,0)(则；若mE =0，则对于E 上的任何非负可测函数)(x f ， ⎰=Edx x f 0)( .定理1 设)(x f ,)(x g 是E 上的非负可测函数, 则 （1） 若 E x x g x f ∈≤),()(，则⎰⎰≤EEdx x g dx x f )()( ；（2） 若A 、B 是E 的可测子集，且B A ⊂，则⎰⎰≤ABdx x f dx x f )()( ；（3）若A 、B 是E 的可测子集，且φ=B A ，则⎰⎰⎰+=BA ABdx x f dx x f dx x f )()()( ；（4）若E e a x g x f 于..)()(=，则⎰⎰=EEdx x g dx x f )()( ；（5）对任何非负实数c ，⎰⎰=EEdx x f c dx x cf )()( ；（6）()⎰⎰⎰+=+EEEdx x g dx x f dx x g x f )()()()( .证明 证明由定义即得.定理2 （Levi 单调收敛定理）设)}({x f n 是E 上的非负可测函数列，满足 （1） 1,..)()(1≥≤+n E e a x f x f n n 于；（2）,..)()(lim E e a x f x f n n 于=∞→则⎰⎰=∞→EEn n dx x f dx x f )()(lim .证明 因为)(x f n 是E 上非负可测函数（n ≥1），所以E x x x f n kk n ∈=∞→),(lim )()(ϕ，其中)}({)(x n k ϕ是单调增的非负简单函数列，于是⎰⎰∞→=En k k En dx x dx x f )(lim )()(ϕ ,令)}(,),(),(max {)()()2()1(x x x x k k k k k ϕϕϕψ = ,则对每个)(,1x k k ψ≥是E 上的非负简单函数，且E x x x x k ∈≤≤≤≤,)()()(21 ψψψ ,E x k n x x k n k ∈≤≤≤),1(),()()(ψϕ ,又 E x x f x f x f x f x k k k ∈=≤),()}(,),(),(max {)(21 ψ ,所以 E x k n x f x x k k n k ∈≤≤≤≤,1),()()()(ψϕ, （1） 从而dx x f dx x dx x Ek EEk n k ⎰⎰⎰≤≤)()()()(ψϕ .（2）固定n ，令∞→k ，由（1）和（2）式，有E x x f x f x x f k k k k n ∈=≤≤∞→∞→),()(lim )(lim )(ψ ,和dx x f dx x dx x f k Ek Ek k n E)(lim )(lim )(⎰⎰⎰∞→∞→≤≤ψ ,进一步，令∞→n ，则)(lim )(lim )(x x f x f k k n n ψ∞→∞→== ,及dx x dx x f k Ek En n )(lim )(lim ψ⎰⎰∞→∞→= .（3）于是，由非负可测函数勒贝格积分定义和（3）式，有⎰⎰∞→=En n Edx x f dx x f )(lim )( .定理3 （逐项积分定理）设)}({x f n 是E 上的非负可测函数列，则⎰∑⎰∑∞=∞==⎪⎭⎫⎝⎛En n E n n dx x f dx x f )()(11 .证明 由定理1，对每个n ≥1⎰∑⎰∑===⎪⎭⎫⎝⎛Ek nn E n k k dx x f dx x f )()(11令 )}({,)()(1x S x f x S n nk k n 则∑==是非负可测函数列，且 E x x S x S n n ∈≤+),()(1 ,E x x f x S n n n n ∈=∑∞=∞→1)()(lim ，由Levi 单调收敛定理知，dx x S dx x f n E n E n n )(lim )(1⎰⎰∑∞→∞==⎪⎭⎫⎝⎛ =⎰∑⎰⎪⎭⎫ ⎝⎛==∞→∞→En k k n n En dx x f dx x S 1)(lim )(lim=()⎰∑⎰∑∞==∞→=Enn k Enk n dx x f dx x f 11)(lim .推论 设{E n }是可测集列，互不相交，∞==1n n E E 如果)(x f 是E 上的非负可测函数，则⎰∑⎰∞==En E ndx x f dx x f 1)()( .证明 令)1(,),()()(≥∈=n E x x x f x f n E n χ，则 )(x f n 是E 上的非负可测函数，且 ∑∞==1)()(n n x f x f ,⎰⎰=EnEn dx x f dx x f )()( .由逐项积分定理知∑⎰⎰∑⎰∞=∞===11)()()(n EnEn n Edx x f dx x f dx x f .定理4 设)(x f 是E 上几乎处处有限的非负可测函数，),0[}{,+∞⊂+∞<n y mE ，满足)(,01∞→+∞→<<<<=n y y y y n n o其中 δ<-+n n y y 1，令,1,0],)(|[1=<≤=+n y x f y x E E n n n则)(x f 在E 上是勒贝格可积的充分必要条件是∑∞=∞<0n nn mEy ,此时⎰∑=∞=→En n n dx x f mE y )(lim 0δ .证明 不妨假设)(x f 在E 上处处有限，因为在E n 上，)0(,)(1≥<≤+n y x f y n n ，所以由定理1，对每个n ≥0，n n Enn n mE y dx x f mE y 1)(+≤≤⎰，由定理3的推论知，∑⎰⎰∞==0)()(n E Endx x f dx x f ,所以⎰∑∑∞=+∞=≤≤En n n n nn mE y dx x f mEy 010)(=∑∑∞=∞=++-01)(n n n n n n n mE y mE y y∑∞=+<0n n n mE y mE δ，因此结论成立.定理5（Fatou 定理） 设{})(x f n 是E 上的非负可测函数列，则⎰⎰∞→∞→≤En n nE n dx x f dx x f)(lim )(lim .证明 令1,),(inf )(≥∈=≥n E x x f x g k nk n ，则 g n (x)是E 上的非负可测函数，且E x x g x g n n ∈≤+),()(1，于是，由Levi 单调收敛定理知，⎰⎰⎰∞→∞→∞→==En n n E n n n Edx x g dx x g dx x f )(lim )(lim )(lim .因为 E x x f x g n n ∈≤),()(所以 dx x f dx x gEn En⎰⎰≤)()( ,从而⎰⎰∞→∞→≤En n n En dx x f dx x g )(lim )(lim ,因此，⎰⎰∞→∞→≤En n n n Edx x f dx x f )(lim )(lim .Fotou 定理中的严格不等式有可能成立，例如设⎪⎩⎪⎨⎧-∈∈=]1,0[]1,0[0]1,0[)(n x n x n x f n ，易知 )1(,1)(],1,0[,0)(lim ]1,0[≥=∈=⎰∞→n dx x f x x f n n n ,所以1)(lim 0)(lim ]1,0[]1,0[=<=⎰⎰∞→∞→x f dx x f n n n n .§3 一般可测函数的勒贝格积分定义1 设)(x f 是E 上的可测函数，如果积分⎰⎰-+EEdx x f dx x f )(,)(中至少有一个是有限值，记⎰⎰⎰-+-=EEEdx x f dx x f dx x f )()()(，则称)()(x f dx x f E为⎰在E 上的勒贝格积分.如果上式右端两个积分值均是有限的，则称)(x f 在E 上是勒贝格可积的，或称)(x f 是E 上的勒贝格可积函数.通常把区间[a ,b ]上的勒贝格积分记成dx x f a b L )()(⎰,或 dx x f ab)(⎰.定理1 设)(x f 是E 上的可测函数，则 （1）)(x f 在E 上勒贝格可积的充分必要条件是)(x f 在E 上勒贝格可积，此时⎰⎰≤EEdx x f dx x f |)(||)(|；（2）若)(x f 在E 上勒贝格可积，则)(x f 在E 上几乎处处有限；（3）若)()(x g x f = ..e a 于E ，且)(x f 在E 上勒贝格可积，则)(x g 在E 上勒贝格可积，且⎰⎰=EEdx x g dx x f )()(.证明 （1）)(x f 与)(x f 在E 上勒贝格可积的等价性由定义1和)()()(x f x f x f -++=即得，另外，由§2 定理1， ⎰⎰⎰⎰-+-++=+=EEEEdx x f dx x f dx x f x fdx x f )()())()((|)(|⎰⎰⎰=-≥-+EEEdx x f dx x f dx x f |)(||)()(| .（2）若)(x f 在E 上勒贝格可积，则⎰⎰+∞<+∞<-+EEdx x f dx x f )(,)( ,对任何n ≥1，记])(|[n x f x E E n ≥=，则⎰⎰⎰⋅≥=≥++EE E n nnmE n dx x f dx x f dx x f )()()( ,所以 0lim =∞→n n mE ，而n n n E E x f x E ⊂=+∞=∞= 1])(|[ ,于是 0])(|[=+∞=x f x mE ，同理可证 0])(|[=-∞=x f x mE ，因此0]|)(||[=+∞=x f x mE ，即)(x f 在E 上是几乎处处有限的.（3）因为..)()(e a x g x f =于E ，所以..)()(),()(e a x g x f x g x f --++==于E ，再由勒贝格积分定义和§2定理1知结论成立.由定理1知，对于可测函数而言，其勒贝格可积性和积分值大小与零测集无关，因而我们总可以假定可积函数是处处有限的. 定理2 设)(),(x g x f 是E 上的勒贝格可积函数，则 （1） )(,1x cf R c ∈∀在E 上勒贝格可积，且⎰⎰=EEdx x f c dx x cf )()( ；（2） )()(x g x f +在E 上勒贝格可积，且()⎰⎰⎰+=+EEEdx x g dx x f dx x g x f )()()()( .证明 （1）当0≥c 时，),())((),())((x cf x cf x cf x cf --++==于是 ⎰⎰⎰-+-=EEEdx x cf dx x cf dx x cf ))(())(()(⎰⎰-+-=EEdx x cf dx x cf )()(=()⎰⎰⎰=--+EEEdx x f c dx x f dx x f c )()()( ；当0<c 时, ()())()(),()(x cf x cf x cf x cf +--+-=-=, 所以()()⎰⎰⎰-+-=EEEdx x cf dx x cf dx x cf )()()(=()()⎰⎰+----EEdx x cf dx x cf )()(=[]⎰⎰⎰=--+-EEEdx x f c dx x f dx x f c )()()( .（2）因为|)(||)(||)()(|x g x f x g x f +≤+，所以当)(),(x g x f 在E 上勒贝格可积时，)(,)(x g x f 在E 上勒贝格可积，从而)()(x g x f +在E 上勒贝格可积，故)()(x g x f +可积.另外，由于-++-+=+))()(())()(()()(x g x f x g x f x g x f , 又 ))()(())()(()()(x g x g x f x f x g x f -+-+-+-=+ ,所以 ,))()(())()(()()()()(-+-+-++-+=-+-x g x f x g x f x g x g x f x f 从而)()())()(())()(()()(x g x f x g x f x g x f x g x f --+-+++++=+++ .于是由§2定理1（6），⎰⎰⎰-+++++EEEdx x g x f dx x g dx x f ))()(()()(=⎰⎰⎰--++++EEEdx x g dx x f dx x g x f )()())()((因此⎰⎰⎰+=+EEEdx x g dx x f dx x g x f )()())()((定理3 设函数)(x f 在E 上勒贝格可积， ∞==1n n E E ，E n 是可测集（n ≥1），且互不相交，则)(x f 在每个E n 上勒贝格可积，且dx x f dx x f Enn E⎰∑⎰∞==)()(1.证明 对每个n ≥1，)(x f 在E n 上勒贝格可积，（留作习题）.因为)(x f 在E 上勒贝格可积，所以由非负可测函数积分的可数可加性，+∞<=⎰⎰∑++∞=dx x f dx x f EE n n)()(1 ,+∞<=⎰⎰∑--∞=dx x f dx x f EE n n)()(1 ,于是⎰⎰∑⎰∑-+∞=∞=-=nnnE E n E n dx x f dx x f dx x f ))()(()(11=⎰∑⎰∑-∞=+∞=-nnE n E n dx x f dx x f )()(11=⎰⎰-+-EEdx x f dx x f )()(=dx x f E)(⎰ .定理4 (勒贝格控制收敛定理) 设)(x f 、)1)((≥n x f n 是E 上的可测函数，如果（1）)()(x f x f n →a . e.于E ,（2）存在E 上的勒贝格可积函数g (x )，使),()(x g x f n ≤ a. e.于E ，则)1)((),(≥n x f x f n 在E 上勒贝格可积，且⎰⎰=∞→EEn n dx x f dx x f )()(lim .证明 由（2），f (x ), f n (x )(n ≥1)在E 上勒贝格可积，且g (x )+f n (x )≥0 (n ≥1), a .e.于E . 由Fatou 定理,⎰⎰+≤+∞→∞→E n n E nn dx x f x g dx x fx g ))()((lim ))()((lim ,于是 ⎰⎰⎰⎰∞→∞→+≤+E n En En n Edx x f dx x g dx x f dx x g )(lim )()(lim )( , 从而⎰⎰⎰∞→∞→≤=E n En n n Edx x f dx x f dx x f )(lim )(lim )( .同理，由g (x )－f n (x )≥0，（n ≥1），a.e.于E 知，()⎰⎰-≤-∞→Enn Edx x fdx x f )(lim ))(( ,即⎰⎰∞→-≤-En n Edx x f dx x f )(lim )(，所以， ⎰⎰∞→≥En n Edx x f dx x f )(lim )( ,因此⎰⎰∞→=En n Edx x f dx x f )(lim )( .推论 设)(,x f mE n +∞< )1(≥n 是E 上的可测函数，如果 （1）..),()(e a x f x f n →.于E ，（2）M x f n ≤)(， a.e.于E ，(n ≥1) ,则 可积，且上在L E x f )(⎰⎰∞→=En n Edx x f dx x f )(lim )(.定理5 （积分的绝对连续性）设f (x )在E 上勒贝格可积，则对任何ε>0，存在δ>0，对E 的任何可测子集A ，当mA<δ时，ε<⎰Adx x f )(证明 不失一般性，设f (x )在E 上非负可积. 令⎩⎨⎧>≤=nx f nn x f x f x f n )()()()(,则 )1,(),()(0≥∈≤≤n E x x f x f n ，且)()(lim x f x f n n =∞→，)()(1x f x f n n +≤.因为f (x )勒贝格可积，所以对每个n ，f n (x )是勒贝格可积的，于是由Levi 单调收敛定理，有⎰⎰∞→=EEn n dx x f dx x f )(lim )( ,因此，对任意正数ε>0, 存在N ≥1，使⎰<-≤EN dx x f x f 2))()((0ε.令 N2εδ=，则对E 的任何可测子集A ，当mA<δ时，()⎰⎰⎰+-=AAN AN dx x f dx x f x f dx x f )()()()(<εεεε=+<⋅+222mA N . 定理6 设f (x )是1R E ⊂上的L 可积函数，mE<+∞，则对任何ε>0，存在R 1上的连续函数g (x )，使⎰<-Edx x g x f ε)()(.证明 令[]n x f x E E n >=)(|，则1+⊃n n E E ，且[] ∞=+∞==1)(|n n x f x E E . 因为f (x )在E 上勒贝格可积，所以f (x )在E 上几乎处处有限. 又mE <+∞，故由可测集性质，[]0)(|lim =+∞==∞→x f x mE mE n n ,因此，由积分的绝对连续性，对任何ε>0，存在N ≥1，使⎰<≤NE N dx x f NmE 4)(ε.对于E\E N ，由第三章§3定理3，存在R 1上连续函数)(x g 和闭集N N E E F \⊂，使（1）[]NF E E m N N 4\)\(ε<，（2）f (x )=g (x ), ,N F x ∈ 且,)(sup 1N x g R x ≤∈ 于是⎰⎰⎰-+-=-EE E E NNdx x g x f dx x g x f dx x g x f \)()()()()()(⎰⎰⎰---++≤NNN NE F E E E dx x g x f dx x g dx x f )(|)()(||)(|)([]N N N F E E Nm NmE \)\(24++<εεεεε=++<244.例1 证明dy y f y x a b dy y f y x abdx d )()cos()()sin(+=+⎰⎰ , 其中f (x )是[a ,b ]上的勒贝格可积函数. 证明 对任何1R x ∈,|)(|)()sin(y f y f y x ≤+所以函数 sin(x+y )f (y )在[a ,b ]上勒贝格可积,对任何0→n ε,令[])()sin()()sin(1)(y f y x y f y x y f n nn +-++=εε ,则|)(||)(|y f y f n ≤，且 )()cos()(lim y f y x y f n n +=∞→，由控制收敛定理，dy y f y x a b dy y f y x ab dx d )()cos()()sin(+=+⎰⎰. 例2证明 0101lim 2223=+⎰∞→dx x n xn n .证明 易知]1,0[,01lim2223∈=+∞→x x n xn n ,令xx g xn xn x f n 2)(,1)(2223=+=，则)1()12(2)()(222323x n x xn nx x f x g n +-+=-， 当 0)12(2,1412323>-+≤<x n nx x n时；当 时nx 410≤≤,()04122122232323232323>⎪⎭⎫⎝⎛-≥-≥-+n n x n x n nx ,所以 1],1,0[),()(0≥∈≤≤n x x g x f n ，由习题6, g (x )在[0,1]上勒贝格可积，所以由控制收敛定理，0001101lim 2223==+⎰⎰∞→dx dx x n xn n .§4 黎曼积分与勒贝格积分本节介绍黎曼积分与勒贝格积分的关系，并给出黎曼可积函数的特征性质. 定理1 设f (x )是闭区间[a ,b ]上的有界函数，如果f (x )在[a ,b ]上黎曼可积，则f (x )在[a ,b ]上勒贝格可积，且⎰⎰=bab adx x f L dx x f R )()()()( .证明 设|,)(|sup ],[x f M b a x ∈= 则0≤M<+∞.作[a ,b ]的分划D n 如下：D n : b x x a x n k n n n=<<<=)()(1)(0 , 使1+n D 比n D 更细密，并且())(0max )(1)(1∞→→-=-≤≤n x x D n j n j k j n n.记 )(sup )(inf ],[)(],[)(11x f M x f m j j j j x x x n j x x x n j --∈∈==，作简单函数[](]⎪⎩⎪⎨⎧∈∈=-)()(1)()(1)(0)(1,,)(n jn j n j n n n n x x x m x x x m x L ，n k j ≤≤2，[](]⎪⎩⎪⎨⎧∈∈=-)()(1)()(1)(0)(1,,)(n jn j n jn n n n x x x M x x x M x U ，n k j ≤≤2，易知简单函数列{L n (x )}和{U n (x )}满足 )()(1x L x L n n +≤ , )()(1x U x U n n +≥ ,],[),()()(b a x x U x f x L n n ∈≤≤ .令 )(lim )(),(lim )(x U x U x L x L n n n n ∞→∞→==，则],[),()()(b a x x U x f x L ∈≤≤ .因为对每个n ，],[,|)(|,|)(|b a x M x U M x L n n ∈≤≤，所以由有界控制收敛定理， ⎰⎰∞→=],[],[)(lim )(b a b a n n dx x L dx x L ,⎰⎰∞→=],[],[)(lim )(b a b a n n dx x U dx x U .另外，由简单函数勒贝格积分定义知，()⎰∑=-=-=],[1)(1)()(),()(b a k j n n j n j n j n nf D s x x m dx x L ，()⎰∑=-=-=],[1)(1)()(),()(b a k j n n j n j n j n nf D S x x M dx x U ,其中s (D n , f )与S(D n , f )分别是f (x )关于分别D n f (x )在[a ,b ]上黎曼可积，所以),(lim ),(lim )()(f D S f D s dx x f R n n n n ba∞→∞→==⎰ ,从而 ⎰⎰⎰==],[],[)()()()(b a b a badx x U dx x L dx x f R ,注意到 ()⎰=-≥-],[,0)()(0)()(b a dx x L x U x L x U 及于是 U (x )－L (x )=0 a .e .于[a ,b ], 因此 f (x )=U (x )=L (x ) a .e .于[a ,b ].故f (x )在[a ,b ]上L 可积，并且⎰⎰⎰==],[],[)()()()(b a b a ba dx x U dx x L dx x f L ,于是 ⎰⎰=b a dx x f L dx x f abR )()()()(.以下我们给出黎曼可积函数的充分必要条件，先给出如下引理.引理 函数f (x )在],[0b a x ∈处连续的充分必要条件是对任意ε>0，存在包含x 0的开区间I ，使f (x )在I 上的振幅.ε<-=∈∈)(inf)(sup )(],[],[x f x f I w Ib a x Ib a x f证明 由连续函数的定义即得.定理2 设f (x )为[a ,b ]上的有界函数，则f (x )在[a ,b ]上黎曼可积的充分必要条件是它的不连续点的全体是零测集，即f (x )在[a ,b ]上几乎处处连续.证明 必要性 因为f (x )黎曼可积，所以同于定理1的证明，做[a ,b ]的分划列{D n }和简单函数列{L n (x )}与{U n (x )}，得知.],[),()()(b a x x U x f x L ∈≤≤， 进而],[..),()()(b a e a x f x L x U 于==，其中 )(lim )(),(lim )(x L x L x U x U n n n n ∞→∞→== .记D 是分划{D n }的所有分点所成之集，令 )}()()()(],,[|{x U x f x L x f b a x x E <>∈=或 ,E DF = ,则mF =0，下证f (x )在[a ,b ]-F 上连续.事实上，设E x D x F b a x ∉∉-∈000,,],[且则. 若f (x )在x 0处不连续，则由引理知，存在00>ε，对任何包含x 0的开区间I ，有0)(ε≥I w f . 因为D x ∉0，所以对每个n ，存在)1(00n k k k ≤≤，使())()(1000,n k n k x x x -∈，于是()0)()(100),()()(00ε≥=--n k n k f n n x x w x L x U ， 而 )(lim )(),(lim )(0000x L x L x U x U n n n n ∞→∞→==，所以0)()(000>≥-εx L x U ，这与E x ∉0矛盾，故f (x )在x 0处连续. 充分性设f (x )在[a ,b ]上几乎处处连续，且|f (x )|≤M ，],[b a x ∈. 作[a ,b ]上的一列越来越细密的分划{D n }，D n :b x x x a n k n n n=<<<=)()(1)(0 , 满足：())(0max )(1)(1∞→→-=-≤≤n x x D n j n j k j n n同于定理1的证明，做简单函数列{U n (x )}和{L n (x )}，使1],,[,)(,)(≥∈≤≤n b a x M x L M x U n n ， 并且].,[),(lim )()(lim b a x x U x f x L n n n n ∈≤≤∞→∞→下证对于f (x )的任何连续点x ，有).()(lim )(lim x f x U x L n n n n ==∞→∞→事实上，设f (x )在x 处连续，则由引理，任给0>ε，存在开区间I =(α,β)，使ε<∈)(,I w I x f 且. 因为0→n D ，所以存在N ≥1，当n ≥N 时，},min{x x D n --<βα,另外，存在k 0(1≤k 0≤k n )，使[]I x x x n k n k ⊂∈-)()(100,，因此[]()ε<≤=--)(,)()()()(100I w x x w x L x U f n k n k f n n , 由ε的任意性知，).()(lim )(lim x f x L x U n n n n ==∞→∞→因为f (x )在[a ,b ]上几乎处处连续，所以].,[..)()(lim )(lim b a e a x f x L x U n n n n 于==∞→∞→又 ⎰=],[),()(b a n n f D S dx x U ,⎰=],[),()(b a n n f D s dx x L ,于是由勒贝格有界控制收敛定理， ⎰⎰==∞→∞→bab a n n n n dx x f L dx x U f D S )()()(lim ),(lim ],[，⎰⎰==∞→∞→bab a n n n n dx x f L dx x L f D s )()()(lim),(lim ],[,因此 ()0),(),(lim =-∞→f D s f D S n n n ,故f (x )在[a ,b ]上黎曼可积.例1 设⎩⎨⎧=,]1,0[1,]1,0[0)(中有理数为中无理数为x x x D 则D (x )在[0,1]上黎曼不可积.证明 因为D (x )在[0,1]上处处不连续，所以由定理2，D (x )在[0,1]上黎曼不可积. 例2 黎曼函数⎪⎩⎪⎨⎧=,]1,0[0,1)(上其它数为为任约真分数x q px qx ξ则ξ(x )在[0,1]上黎曼可积.证明 因为ξ(x )不连续点的全体为(0,1)中的有理数集，而该集合为零测集，所以由定理2，ξ(x )在[0，1]上黎曼可积.§5 重积分与累次积分在黎曼积分中，重积分可化为累次积分. 例如设D =[a ,b ]×[c ,d ], f (x ,y )是D 上的连续函数，则⎰⎰⎰⎰⎰⎰==Ddx y x f abdy c d dy y x f c d dx a b dxdy y x f ),(),(),(本节我们在勒贝格积分中建立相应的定理——即富比尼（Fubini ）定理，由此看到，在勒贝格积分中重积分化为累次积分，以及积分次序的交换等问题中，勒贝格积分要求的条件比在黎曼积分时要求的条件弱得多，这再次显示了勒贝格积分的优越性. 一、富比尼定理设p 、q 是正整数，n =p +q ，此时R n 可以看成R p 和R q 的直积，即R n =R p ×R q . R n上的函数f 可以用f (x ,y )表示，其中,,q p R y R x ∈∈相应的积分可写成⎰⨯qp R R dxdy y x f ),(,称为重积分. 另一方面，固定),(,y x f R x p ∈看成q R y ∈的函数，令⎰=q Rdy y x f x F ),()(,则称[]⎰⎰⎰⎰⎰∆=p q ppqRRR R R dy y x f dx dx dy y x f dx x F ),(),()(为累次积分. 富比尼定理给出了等式⎰⎰⎰⨯=p q qp RRR R dy y x f dx dxdy y x f ),(),(成立的条件. 定理1 （Tonelli ）设f (x ,y )是R p ×R q 上的非负可测函数，则 （1）对几乎所有的q p R y y x f R x ∈∈作为),(,的函数是非负可测的； （2）⎰∈=q RP R x dy y x f x F 作为),()(的函数是非负可测的；（3）.),(),(⎰⎰⎰⨯=qp p q R R RRdy y x f dx dxdy y x f证明 由于非负可测函数是非负单调增简单函数列的极限，我们只需证)(x f 是R p ×R q 中可测集E 的特征函数的情形即可.以下分五种情形加以证明.情形1 E=I 1×I 2，其中I 1和I 2分别是R p 和R q 中的区间； 当1I x ∉时，f (x ,y )=0；当,1时I x ∈⎩⎨⎧∉∈=,,1),(22I y I y y x f所以对一切q p R y y x f R x ∈∈作为),(,的函数是非负可测的，并且⎰⎩⎨⎧∉∈==q R I x I x I dy y x f x F ,0,||),()(112于是 ⎰⎰⨯==p RI I I dx I dx x F 1||||||)(212 . 而⎰⨯⨯==qp R R I I mE dxdy y x f ||||),(21 ,所以⎰⎰⎰⨯=qp p q R R RRdy y x f dx dxdy y x f ),(),( .情形2 E 是开集；由开集结构知， ∞==1)(k k I E ，其中I (k) (k ≥1)是R p ×R q 中互不相交的半开半闭区间，记)(2)(1)(k k k I I I ⨯=，其中)(2)(1k k I I 和分别是R p 和R q 中的区间，令⎩⎨⎧⨯∉⨯∈=,),(0,),(1),()(2)(1)(2)(1k k k k k I I y x I I y x y x f 则 ∑∞==1),(),(k k y x f y x f .由情形1，每个f k (x ,y )满足（1）~（3），于是对一切qp R y y x f R x ∈∈作为),(,的函数是非负可测的，从而由逐项积分定理，∑∑⎰⎰⎰∞=∞====11),(),(),()(k k Rk kRRq q qdy y x f dy y x fdy y x f x F在R p 上非负可测，仍由逐项积分定理，∑⎰⎰∞=⨯⨯=1),(),(k kR R R R dxdy y x fdxdy y x f qp qp=[]∑∑⎰⎰⎰∞=∞=⨯=11),(),(k k R R k k R R pqqp dx dy y x f dxdy y x f=⎰⎰⎰∑∑⎰⎥⎦⎤⎢⎣⎡=⎥⎦⎤⎢⎣⎡∞=∞=p p q q R RR k k k R k dx dy y x f dx dy y x f 11),(),( =[]⎰⎰⎰⎰=pp q qR RRR dy y x f dx dx dy y x f ),(),( .情形3 E 是有界闭集； 令 },1)),,((0),{(1<<⨯∈=E y x d R R y x G q p},1)),,((),{(2<⨯∈=E y x d R R y x G qp则G 1和G 2是R p ×R q 中的有界开集，且E =G 2\G 1，21G G ⊂，及,0),(),(),(12≥-=y x f y x f y x f其中f 1, f 2分别是G 1与G 2的特征函数，由情形2，f 1, f 2均满足（1）~（3），并且对一切),(,y x f R x p ∈关于p R y ∈是非负可积的，从而dy y x f dy y x f dy y x f x F q q q RRR),(),(),()(12⎰⎰⎰-==在R p 上非负可积，并且[]dy y x f dx dy y x f y x f dx dx x F q p p q pRRRRR ),(),(),()(12⎰⎰⎰⎰⎰=-= .另外，由f i (x ,y )在R p ×R q 上非负可积及情形2知（i=1,2），⎰⎰⎰⨯⨯⨯-=qp qp qp R R R R R R dxdy y x f dxdy y x f dxdy y x f ),(),(),(12=⎰⎰⎰⎰-p q p q RRRRdy y x f dx dy y x f dx ),(),(12=[]⎰⎰⎰⎰=-pq qRRRR dy y x f dx dy y x f y x f dx ),(),(),(112.情形4 E 是零测集；因为E 是零测集，所以存在递减开集列{G k }，使)1(≥⊂k G E k 且)(0∞→→k mG k ，令k k G H ∞==1，则.0,=⊂mH H E 且令⎩⎨⎧∉∈=kkk G y x G y x y x f ),(0),(1),(, 则由控制收敛定理和情形2， 0=⎰⎰⨯⨯∞→=qP qp R R RR k k H dxdy y x f dxdy y x ),(lim ),(χ =[]⎰⎰⎰⎰∞→∞→=p q p qRRR R k k k k dx dy y x f dy y x f dx ),(lim ),(lim=[]⎰⎰⎰⎰=∞→pp q q R RRH R k k dy y x dx dx dy y x f ),(),(lim χ .因此，对几乎所有的p R x ∈，有⎰=q RH dy y x 0),(χ，从而对几乎所有p R x ∈，q H R y y x ∈关于),(χ几乎处处为零，但),(),(),(0y x y x y x f H E χχ≤=≤,因而对几乎所有的p R x ∈，几乎处处为零关于q R y y x f ∈),(，因此对几乎所有的p R x ∈，⎰==0),()(dy y x f x F q R ,于是⎰⎰⎰==⨯0),(),(dy y x f dx dxdy y x f q p qp R R R R .情形5 E 是一般可测集.由可测集结构知，存在有界单增的闭集列Z F k 和零测集}{,使φ=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=∞= Z F Z F E k k k ,1(k ≧1),记()则的特征函数和分别为和,1≥k F Z f f k k o),(),(lim ),(),(y x f y x f y x y x f o k k E +==∞→χ.由情形3和4，)1(,≥k f f o k 满足定理（1）～（3），故由单调收敛定理和可积函数性质知),(y x f 也满足（1）～（3）.至此我们证明了q p R R ⨯中任何可测集E 上的特征函数)3(~)1()(满足定理x f ，从而易知任何非负简单函数和非负可测函数都满足定理（1）～（3）. 定理2 （Fubini ），设),(y x f 在q p R R ⨯上可积，则（1）对几乎所有的q R x ∈,),(y x f 作为q R y ∈ 的函数在q R 上可积； （2）⎰=q Rdy y x f x F 在),()(q R x ∈上可积；（3）⎰⎰⎰⨯=qp qpR R R R dy y x f dx dxdy y x f ),(),(.证明 因为),(),(),(y x f y x f y x f -+-=，而q P R R f f ⨯-+都是,上的非负可积函数,所以由定理1即得结论.推论 设),(y x f 在q p R R ⨯上非负可测（L 可积），则dx y x f dy dxdy y x f dy y x f dx pqqp qpR R R R R R ),(),(),(⎰⎰⎰⎰⎰==⨯ .证明 在定理1和定理2的证明中交换y x 与的位置即得结论. 二、富比尼定理的应用以下我们介绍富比尼定理在函数的卷积和分布函数方面的应用.为此先给出如下引理:引理 设上的可测函数是则上的可测函数是n n n n R R R y x f R x f 2)(,)(=⨯-. 证明 因为函数上可测在n R x f )(，所以对任何})({,1αα>∈=∈x f R x A R n 是n R y x y x g -=),(，则})(),{(a y x f R R y x n n >-⨯∈)(}),{(1A g A y x R R y x n n -=∈-⨯∈=. 为证引理，只需证明 中可测集是n R A g 21)(-. 分三种情形证明:（1）若A 为中n R Borel 集，因为n n R R g →2:是连续映射，则)(1A g -为n R 2中Borel 集，从而)(1A g -是可测集. （2）若A 是中n R 零测集，即mA=0,则存在δG 型集G ),(,0,1G g B mA mG A -===⊃令且则B 的特征函数B χn R 2是上的非负可测函数，由推论及有,0}){(==+mG y G m.0}){(),(),(),(}{2=+=====⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰+dy y G m dxdy dx y x dy dyy x dx dxdy y x mB nnnn nnn R y G R B R R B R R B R χχχ另外，由A G ⊃知，从而所以,0))((,)()(111==⊂---A g m B G g A g )(1A g -是n R 2中可测集.（3）若A 是n R 中任一可测集，则存在,0)\(,=⊂F A m A F F 使型集σ因为知所以由集型集是)1(,Borel F σ,)2(,)(1知又由是可测集F g -)\(1F A g -是可测集，从而)\()()(111F A g F g A g ---= 是可测集.定义 设n R x g x f 是)(),(上的可测函数，如果对几乎所有的n R x ∈,积分dy y g y x f nR )()(-⎰存在，则称dy y g y x f x g f nR )()())(*(-=⎰为)()(y g x f 与的卷积.定理3 设)(x f ,)(x g 在n R 上可积，则对几乎所有的n R x ∈，))(*(x g f 存在，并且))()()(()(*dx x g dx x f dx x g f nnnR R R ⎰⎰⎰≤.证明 先设0)(≥x f ，0)(≥y g ，由引理，)()(y g y x f -在n n R R ⨯上是非负可测的，由推论，).)()()(())()((])()([))()(())(*(dy y g dx x f dydx y x f y g dydx y g y x f dxdy y g y x f dx x g f nnnnnn nnnR R R R R R R R R ⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰=-=-=-=一般情形由下式即得：dx x g Rdx x f Rdx x g f Rdx x g f Rnnnn)()())(*())(*(⎰⎰⎰⎰=≤.定理4 设n R E ⊂是可测集，)(x f 是E 上几乎处处有限的可测函数，对每个0>λ，令 }))(({)(λλ>∈=x f E x m F ，称的分布函数为)()(x f F λ,则当∞<≤p 1时，λλλd F p dx x f E p p)(0)(1-⎰⎰∞=.证明 令⎩⎨⎧≤>=,)(0,)(1),(λλλx f x f x g固定的函数是可测集合作为时x x g ),(,0λλ>})({λ>∈x f E x 的特征函数，所以由定理1，⎰⎰⎰-=λλd p x f dx dx x f p E pE10)()(().)(.),(101010λλλλλλλλλd F p dx x g d p d x g p dx p E p p E -∞-∞-∞⎰⎰⎰⎰⎰===习 题1、证明§1定理2中（1）、（3）、（4）.2、证明§2定理1中（2）、（4）、（6）.3、设则上可测在,)(E x f 对任何0>η，有,)(])([dx x f x f x mE E ⎰≤≥ηη4、设上在E x f )(非负可测，且⎰=0)(dx x f E，则E e a x f 于,,0)(=5、设令上可测在,0)(E x f ≥,)(,)(0)()]([n x f n x f x f x f n >≤⎩⎨⎧= 若则于,..)(E e a x f +∞<[]⎰⎰=∞→dx x f dx x f E n En )()(lim .6、设(]⎪⎩⎪⎨⎧=∈=⎪⎩⎪⎨⎧=,00,1,02)(,]1,0[,]1,0[1)(4x x xx g x x x xx f 中有理数为中无理数为证明并求可积上在,]1,0[)(),(L x g x f ⎰⎰dx x g dx x f )()(]1,0[]1,0[和.7、 设中任一点至少属于如果的可测子集是]01[,]1,0[,,,21n E E E 这n 个集合中的q个，证明必有一个集合，它的测度大于或等于nq. 8、设是上可积的充分必要条件在证明上非负可测在E x f E x f mE )(,)(,+∞<级数])([1n x f x mE n ≥∑∞=）收敛， +∞=mE 时，结论是否成立？9、设()x f 在可测集E 上L 可积，1E 是E 的可测子集，则()x f 在1E 上L 可积. 10、设+∞<mE ，()x f 在E 上有界可测，则()x f 在E 上L 可积，从而[ a ，b ]上的连续函数是L 可积的.11、设()x f ，()x g 是E 上的可积函数，则)()(22x g x f +，也在E 上可积.12、设]1,0[0为P 中康托集，⎪⎩⎪⎨⎧∈∈=阶邻接区间n x P x n x f 0100)( ,证明 3)(]1,0[=⎰dx x f .13、设()x f 在E 上L 可积，mE mE mE n E E n n n =+∞<≥⊂→∞lim ,),1(且，证明dx x f dx x f E E n n )()(lim ⎰⎰=→∞.14、设.0lim ],)([,)(,=≥=+∞<∞→n n n nmE n x f x E E L E x f mE 证明记可积上在15、设mE ≠0，()x f 在E 上L 可积，如果对于任何有界可测函数)(x ϕ，都有0)()(=⎰dx x x f Eϕ，则()x f =0，a.e.于E16、设+∞<mE ，0,,)}({⇒n n f E E x f 上证明在函数列上几乎处处有限的可测为的充要条件为 0)(1)(lim =+⎰∞→dx x f x f n n En .17、设{})(x f n 为E 上非负可测函数列，且)1()()(1≥≥+n x f x f n n ，若)()(lim x f x f n n =∞→，且存在0k ，使⎰+∞<Ek dx x f )(0，则dx x f dx x f En En )()(lim ⎰⎰=∞→ .18、设()x f 在[a ,b ]上L 可积，则对任意ε＞0,存在[a ,b ]上的连续函数()x g ,使ε<-⎰dx x g x f b a )()(],[.19、若()x f 是),(+∞-∞上的L 可积函数，则0)()(lim ],[0=-+⎰→dx x f h x f b a h .。
勒贝格积分公式
勒贝格积分公式一、勒贝格积分的定义。
1. 简单函数的勒贝格积分。
- 设E⊆R^n是可测集，φ(x)=∑_i = 1^k c_iχ_E_i(x)是E上的非负简单函数，其中c_i≥slant0，E_i⊆ E是可测集且E=bigcup_i = 1^k E_i，E_i∩ E_j=varnothing(i≠ j)，χ_E_i是E_i的特征函数。
- 则∫_Eφ(x)dx=∑_i = 1^k c_im(E_i)，这里m(E_i)表示集合E_i的勒贝格测度。
2. 非负可测函数的勒贝格积分。
- 对于E上的非负可测函数f(x)，定义∫_E f(x)dx=sup<=ft{∫_Eφ(x)dx:φ(x)≤slant f(x),φ(x)是简单函数}。
3. 一般可测函数的勒贝格积分。
- 设f(x)是E上的可测函数，将f(x)分解为f(x)=f^+(x)-f^-(x)，其中f^+(x)=max{f(x),0}，f^-(x)=-min{f(x),0}。
- 如果∫_E f^+(x)dx和∫_E f^-(x)dx至少有一个是有限值，则∫_E f(x)dx=∫_Ef^+(x)dx-∫_E f^-(x)dx。
当∫_E f^+(x)dx和∫_E f^-(x)dx都有限时，称f(x)在E上勒贝格可积。
二、勒贝格积分的基本性质。
1. 线性性质。
- 设f(x)和g(x)是E上的勒贝格可积函数，α,β∈R，则∫_E[α f(x)+βg(x)]dx=α∫_E f(x)dx+β∫_E g(x)dx。
2. 单调性。
- 若f(x)≤slant g(x)在E上几乎处处成立（即除了一个勒贝格测度为零的集合外成立），则∫_E f(x)dx≤slant∫_E g(x)dx。
3. 可加性。
- 设E = E_1∪ E_2，E_1∩ E_2=varnothing，f(x)在E上勒贝格可积，则∫_Ef(x)dx=∫_E_1 f(x)dx+∫_E_2 f(x)dx。
勒贝格积分的概念
勒贝格积分的概念勒贝格积分是数学中的一个重要概念，它是对函数在某个区间上的积分进行定义和计算的一种方法。
勒贝格积分是由法国数学家亨利·勒贝格（Henri Lebesgue）在20世纪初提出的，它是对黎曼积分的一种推广和拓展，能够更好地处理一些复杂的函数和集合。
一、勒贝格可积函数的定义在介绍勒贝格积分之前，首先需要了解什么样的函数是勒贝格可积的。
给定一个定义在闭区间[a, b]上的函数f(x)，如果存在一个数I，对于任意给定的ε > 0，都存在一个分割P = {x0, x1, ..., xn}，使得当这个分割的任意一种选取方式下，对应的上下和满足：S*(f, P) - S(f, P) < ε其中S*(f, P)和S(f, P)分别表示上和下达尔差分和。
如果这个数I存在且唯一，那么称函数f(x)在闭区间[a, b]上是勒贝格可积的，此时这个数I就是函数f(x)在[a, b]上的勒贝格积分，记作∫[a,b]f(x)dx。
二、勒贝格积分的性质勒贝格积分具有许多优良的性质，使得它在数学分析和实际问题中得到广泛应用。
以下是一些勒贝格积分的重要性质：1. 可积函数的有界性：勒贝格可积函数在定义区间上是有界的，即存在一个常数M，使得|f(x)| ≤ M对于所有x∈[a, b]成立。
2. 线性性质：勒贝格积分具有线性性质，即对于任意可积函数f(x)和g(x)，以及任意实数α、β，有∫[a, b](αf(x) +βg(x))dx = α∫[a, b]f(x)dx + β∫[a, b]g(x)dx。
3. 单调性质：如果在闭区间[a, b]上有f(x) ≤ g(x)，则∫[a,b]f(x)dx ≤ ∫[a, b]g(x)dx。
4. 加法性质：如果函数f(x)在闭区间[a, b]上可积，且在点c∈[a, b]上连续，则有∫[a, b]f(x)dx = ∫[a, c]f(x)dx + ∫[c,b]f(x)dx。
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二、勒贝格积分的概念与性质 1. 测度有限集上有界函数L积分 定义1 (L积分) 设m(E)<, f (x)是E上的有界可测函数, 且 <f (x) < . ①分割：=y1<y2<...<yn=
( ) (E ②作乘积和式： im i)
i 1
n
(i [ yi-1,yi ], Ei=E( yi-1 f <yi )={x | yi-1 f(x) <yi}
x ) dm x ) dm f( f(
E i 1 E i n
不等式 性质
n
i 1
有限可加性
注：在零测集上任意改变被积函数的值，或被积函数无定义，都不影响函数 的可积性及积分值。（L积分与R积分的显著区别）
例：在[0,1],dirichlet函数D(x)=0(a.e.), 从而有:
E
[ f ( x )] [ f ( x )] ... [ f ( x )] ... 1 2 n
存在 x ) dm lim x )] dm f( [f(
E n E n
注：当极限值有限时，称f(x)在E上L可积; 当极限值无限时，则称f(x)在E上 有积分。
(2) 设m(E)<+, f (x)是E上的一般无界可测函数.则有
第二节 勒贝格积分
•勒贝格积分思想的产生 •勒贝格积分的概念和性质 •积分极限定理
一、勒贝格积分思想的产生 1. 黎曼（Riemann)积分(即定积分)的基本思想 设f(x)在[a,b]上有界，分割[a,b]，作乘积，求和，取极限
( R ) x ) dx lim f ( x i) i f(
f ( x ) f ( x ) f ( x ) f ( x ) f ( x ) f ( x )
( L ) x ) dm ( R ) x ) dx f( f(
[ a , b ] a
b
定理3 (L积分基本性质) 设m(E)<, f (x)及g(x)都是E上的有界可测函数，与是常数。 1) [ f ( x ) g ( x )] dm f ( x ) dm g ( x ) dm E E E 线性 性质 ( x ) ( 常数 ) f ( x ) dm m ( E ) 2) f
x [ x , x ] i 1 i x [ x , x ] i 1 i
注： f(x)在[a,b]上R可积 lim f(i)xi存在 lim (S-s)=0 lim ixi=0
这表明: f(x)在[a,b]上R可积时, =max xi充分小时, 每个振幅i(i=1,2,…)都 很小或振幅i不能任意小的子区间的长度之和(即测度)很小.
E
3) 4)
m ( E ) 0 ( x ) dm 0 f
E
E E
零测集上的积分性质
m(E(fg))=0 f ( x ) g ( x )( a . e .) f ( x ) dm g ( x ) dm
( x ) 0 f ( x ) dm 0 5) f E
6)
f ( x ) m ( E ) f ( x ) dm m ( E )
E
( x ) g ( x )( a . e .) f ( x ) dm g ( x ) dm 7) f E E m(E(f<g))=0
可E 测 E ， ( i j ), E E 8) E i i j i
(x )dm 0 D
E
2. 无界函数及测度无限集上的L积分
(1) 设m(E)<+, f (x)是E上的非负无界可测函数.作函数
f( x ) f( x ) n [f( x )] n n f( x ) n
{[f (x)]n}是一非负有界可测函数列, 称[f (x)]n 为 f (x)的第n截断函数. 都存在 n , [f(x )] dm n
b a n
0
1 ( n )i
2.达布(Darbour)大和与达布小和 设xi(i=1,2,..n)为区间[a,b]的任一分点组, 记 :
M sup f ( x ),m inf f ( x ) i i
=Mi−mi称为f(x)在[xi-1,xi]上的振幅 S=Mixi为f(x)的D大和 s=mixi为f(x)的D小和
3. R积分的局限性 （1） 对被积函数和积分域要求过于严格. 要求积分域为区间, 对一般点 集而言, R积分无法定义;并要求被积函数f(x)在积分区间[a,b]上的变化 不能太快,至少急剧变化的点不能太多(一般f(x)在[a,b]上应是连续或分 段连续, 即几乎处处连续). 象[0,1]上的狄里克来函数就不R可积. （2）另一方面, R积分理论上存在弊端. R可积函数序列的极限函数(逐 点收敛)未必可积;极限运算与积分运算只有在很强的条件下(一致收敛) 才能交换积分次序; 由R可积函数类构成的某些空间不具有完备性. 4 L积分的产生 为克服R积分的缺陷, 法国数学家勒贝格1902年建立了一套新的积分理论 (L积分理论), 对函数限制较少, 适用范围更大。L积分与极限交换次序所要求 的条件较之R积分要弱得多.,而切使用起来也比较灵活.
E
n
( ) 0 i 1
c
0 aE i1 Ei2
也称f (x)在E上L可积
x Ei3Ei4b
定理1 (L积分存在定理) m(E)<, f (x)在E上是有界可测函数f (x)在E上L可积
定理2 (L积分与R积分的关系) f (x)在E=[a,b]上R可积f (x)在E=[a,b]上L可积，且
③取极限： lim m ( E ) ( ( ) max ( y y )) i i i i 1
( ) 0 i 1
1 i
则函数f (x)在E上的L积分定义
( L ) x ) dm lim m ( E i i) f(