关于Lebesgue控制收敛定理的条件
控制收敛定理
控制收敛定理今天正好看到这个问题跑来回答一下233）一般测度空间中的Lebegue控制收敛定理：若 f_n 为测度空间 (,\mathcr{F},\mu) 上的可测函数列，有f_n\overet{p}\rightarrow f 或 f_n\overet{a。
e。
}\rightarrow f ，且存在 g\in L^1 使得，f_n，\leq g ，则 \intf_n\,d\mu\rightarrow \int f\,d\mu\ (n\rightarrow \infty)当然，我觉得题主可能不仅仅想知道控制收敛定理是什么，还会想要知道控制收敛定理可以用来干什么、以及控制收敛定理有没有更多更有意思的不同版本。
我们不妨下面假定 (,\mathcr{F},\mu) 是一个概率空间，并且总在这个概率空间上进行讨论，来看看可以用控制收敛定理做些什么事情。
利用概率空间的有限性得到一个显然的推论是Lebegue有界收敛定理：若 _n 为随机变量列，有 _n\overet{p}\rightarrow 或_n\overet{a。
}\rightarrow ，且 _n 几乎处处一致有界，则\mathbb{E}_n\rightarrow \mathbb{E}\ (n\rightarrow \infty)其在概率中另一个重要的应用是推出Vitali收敛定理：对于随机变量列 _n ，若有 _n\in L^p,_n\overet{p}\rightarrow ，则下列三者等价：1、_n^p一致可积2、 _n\overet{L^p}\rightarrow \in L^p3、，_n，_p\rightarrow ，，_p,\ \in L^p熟悉Vitali收敛定理证明的读者会清楚从3推出2时（这是一个弱推强），Lebegue控制收敛定理提供了关键的收敛性。
在具体的计算方面，Lebegue控制收敛定理结合Fubini定理能够被用来证明Levy' Inverion Formula：对于随机变量的分布 F ，及其对应特征函数 \phi ，对于 \foralla<b ，总是有 \frac{F(b)+F(b-0)}{2}-\frac{F(a)+F(a-0)}{2}=\frac{1}{2\pi}\lim_{T\rightarrow \infty} \int _{-T}^T\frac{e^{-itb}-e^{-ita}}{-it}\phi(t)\,dt这个定理的关键意义在于完成了“分布与特征函数一一对应”的论证。
第八讲 勒贝格积分的极限定理及应用
第8讲勒贝格控制收敛定理及应用一、勒贝格控制收敛定理问题 ()d ()d (lim l d im ).b b bk k a a a k k f x x f x x f x x →∞→∞==⎰⎰⎰ lim ()(),k k f x f x →∞=若能否推出极限运算与积分运算只有在很强的条件下(一致 收敛)才能交换二者次序——黎曼积分的局限性定理 (勒贝格控制收敛定理)1){(},n k k f x E ∞=⊆是上的可测函数列设若注 定理中控制函数的可积性是必不可少的.(2) ,, ()(),() a.e. ,()k k f x F x x E F x E ∈≤∈存在使得对任意的(),()(),k f x f x E ∈则且(1) lim ()(),a.e. .k k f x f x x E →∞=∈lim ()d ()d .k E E k f x x f x x →∞=⎰⎰[0,),E =+∞设考虑反例 函数序列[0,]1, [0,]()(),1,2,0, k k x k f x x k x kχ∈⎧===⎨>⎩{}()(),()1,a.e. ,k f x F x F x E ≥控制的函数必须{}()()1,k f x E f x ≡显然在上处处收敛于()F x E L 则在上不是可积的.()f x E L 在上也不可积的.k y x O推论1 (勒贝格有界收敛定理)注 推论1中的条件(3)不能缺少.0,(),a.e. ,(2) k M f x M x E >≤∈存在常数 控制函数的可积性 (3) ().m E <+∞ 1){(},n k k f x E ∞=⊆是上的可测函数列设若(1) lim ()(),a.e. .k k f x f x x E →∞=∈(),()(),k f x f x E ∈则且lim ()d ()d .k E E k f x x f x x →∞=⎰⎰推论2 (逐项积分)1()()(1,2,), ()d ,i i E i u x E i u x x ∞=∈=<+∞∑⎰ 且设有则1(1)();i i u x E ∞=∑ 在上几乎处 处收敛 (2)()(),f x E ∈其和函数且1()d .i i E u x x ∞==∑⎰1()()d d E E i i x u x f x x ∞=⎡⎤=⎢⎥⎣⎦⎰⎰∑例1 分析 [0,1],lim ()0,n n x f x →∞∈=则对有[]0,1,x ∈当时由于[]0,111sup |()0|sin12n n n x f x f n β∈⎛⎫=-≥= ⎪⎝⎭0,→二、应用举例1220lim()sin d .1n nx R nx x n x →∞+⎰求极限先积分后求极限实难进行, 故需交换次序.解 22()sin ,[0,1]1n nx f x nx x n x=∈+令 ()0,[0,1].n f x x →∈即[]{()}0,1.n f x ⇒在上不一致收敛00.10.20.30.40.50.60.70.80.91-0.2-0.100.10.20.30.40.5x (10 x/(1+100 x 2)) sin(10 x)22()sin ,[0,1]1n nx f x nx x n x =∈+1n =2n =3n =非一致收敛的几何直观验证勒贝格控制收敛定理221()(),[0,1].122n nx nx f x F x x n x nx ∆≤≤==∈+注意到 由R 积分和L 积分的关系, 以及勒贝格控制收敛定理有22[0,1]lim ()sin d 1n nx L nx x n x →∞=+⎰22[0,1]()sin d 1lim n nx L nx x n x →∞⎛⎫= ⎪+⎝⎭⎰[0,1]()0d 0.L x ==⎰1220lim()sin d 1n nx R nx x n x →∞+⎰求函数列积分的极限问题1) 若利用R 积分理论来求, 则需验证函数列在积分区间[a , b ]上的一致收敛性.则利用R 积分与L 积分的关系, 以及勒贝格控制收敛定理.[,]()([,]),()([,]),()()d ()()d .b a b a f x a b f x a b L f x x R f x x ∈∈=⎰⎰若则且 2) 若函数列在区间上不一致收敛, R 积分理论失效亦是如此，直接利用逐项积分性质毋庸置疑。
勒贝格逐项积分定理证明勒贝格控制收敛定理
勒贝格逐项积分定理是数学分析领域的重要定理之一，它为我们理解积分与极限之间的关系提供了重要的理论基础。
在本文中，我将对勒贝格逐项积分定理进行深入探讨，并尝试给出其证明，同时还会结合勒贝格控制收敛定理进行分析。
我将从基本概念出发，逐步展开讨论，帮助读者充分理解这一重要定理。
1. 勒贝格积分的概念在开始探讨勒贝格逐项积分定理之前，我们首先需要了解勒贝格积分的基本概念。
勒贝格积分是对变量在某个区间上的函数进行积分的一种方法，与黎曼积分不同的是，勒贝格积分对函数的可积性有更加严格的要求。
这种积分方法在处理一些特殊的函数和收敛性问题时具有重要的应用价值。
2. 逐项积分的概念在研究级数的收敛性时，我们常常会接触到逐项积分的概念。
逐项积分是将级数中的每一项进行单独的积分，然后再考察这些积分的收敛性。
逐项积分在分析级数的收敛性和积分之间的关系时起着重要的作用，而勒贝格逐项积分定理正是对逐项积分的一个重要的推广和应用。
3. 勒贝格逐项积分定理的表述勒贝格逐项积分定理是关于逐项积分和函数极限交换次序的定理。
它指出，如果级数在某个区间上逐项积分后收敛，那么这个逐项积分所得的函数的极限与原级数在该区间上的逐项积分所得的函数的极限是相同的。
这个定理在分析级数的逐项积分和函数极限的关系时起着至关重要的作用。
4. 勒贝格逐项积分定理的证明为了证明勒贝格逐项积分定理，我们需要结合勒贝格控制收敛定理来进行分析。
勒贝格控制收敛定理是判别逐项积分收敛的重要定理，它为我们提供了一种有效的方法来判断逐项积分的收敛性。
通过对级数的逐项积分进行适当的控制，我们可以得到逐项积分的收敛性，从而进一步推导出勒贝格逐项积分定理。
5. 个人观点与理解在我看来，勒贝格逐项积分定理是数学分析领域中的一个重要定理，它揭示了级数逐项积分和函数极限之间的深刻关系。
通过对该定理的深入理解，我们不仅可以更加深刻地理解级数的收敛性和逐项积分的性质，还可以为解决一些实际问题提供重要的理论支持。
现代应用数学基础
《现代应用数学基础》温习2021-11-121. (Lebesgue 操纵收敛定理) 设(1) {})(x f n 是可测集E 上的可测函数列; (2))()(x F x f n ≤ .于E ,,,2,1 =n 且)(x F 在E 上Lebesgue 可积;(3) {})(x f n 依测度收敛于)(x f . 则)(x f 在E 上Lebesgue 可积且 lim()()n EEn f x dx f x dx →∞=⎰⎰.证明: 分两步进行讨论. 第一步. 先设+∞<mE .利用Lebesgue 积分的绝对持续性, 对任意0>ε,存在0>δ,使得E e ⊂ 且δ<me 时,.4)(⎰<edx x F ε由{})(x f n 依测度收敛于)(x f 知,存在0>N ,当N n ≥时,.]2[δε<≥-mEf f mE n于是, 当N n ≥时,.4)(]2[⎰≥-<mE f f E n dx x F εε因此,dx x f x f dx x f dx x f mEf f E n EEn n ⎰⎰⎰≥--≤-]2[)()()()(ε+dx x f x f mEf f E n n ⎰<--]2[)()(ε2≤dx x F mEf f E n ⎰<-]2[)(ε+]2[2mEf f mE mEn εε<-ε<.故等式lim()()n EEn f x dx f x dx →∞=⎰⎰成立.第二步. 设+∞=mE .采取用测度有限的集合列E E k ⊂}{逼近的方式. 选择集合列}{k E 知足条件+∞<k mE 且[].4)()(⎰⎰<<E k E dx x F dx x F k ε由此推出.4)(\⎰<k E E dx x F ε另一方面, 从上可知, 存在0>N ,当N n ≥时, .2)()(ε<-⎰dx x f x f kE n因此,dx x f x f dx x f dx x f En EEn ⎰⎰⎰-≤-)()()()(+dx x f x f kE E n ⎰-\)()(+dx x f x f kE n ⎰-)()(.2)(2\εε<+≤⎰kE E dx xF 证毕2.（1）求证：E 是气宇空间X 的有界集当且仅当0,M x E ∃>∀∈，有()0,x x M ρ≤，其中0x X ∈为某定点．专门地，E 是赋范空间X 的有界集当且仅当0,M x E ∃>∀∈，x M ≤．（2）假设{}n x 是气宇空间X 中的收敛点列，那么{}n x 是有界集．证明 （1）设E 是有界集， 0x X ∈. 那么()0,()sup ,x y Ed E x y M ρ∈==<+∞．取0y E ∈. 那么()000,0M x y M ρ=+>，x E ∀∈，有()()()0000,,,x x x y y x ρρρ≤+()000,M x y M ρ≤+=．反之，设0M >， x E ∀∈，()0,x x M ρ≤．于是,x y E ∀∈，()()()00,,,2x y x x x y M ρρρ≤+≤，(),()sup ,2x y Ed E x y M ρ∈=≤<+∞，即E 是有界集．专门地，当X 是赋范空间时，取0x θ=，有(),x x x ρθθ=-=，因此E 是有界集当且仅当0M ∃>，x E ∀∈，x M ≤．（2）设()n x xn →→∞，那么()lim ,0n n x x ρ→∞=．即(){},n x x ρ是收敛于0的数列．因此0M ∃>，n ∀，(),n x x M ρ≤．由（1）已证，此式说明{}n x 是气宇空间X 中的有界点列．3.（Banach 紧缩映射原理）设),(ρX 是完备的气宇空间，X X T →:是X 上的紧缩映射，即，存在)1,0[∈α，使),(),(y x Ty Tx αρρ≤.那么T 存在唯一的不动点x ，即.T x x =证明 任取.0X x ∈由此点动身逐次迭代，10x Tx =，2210,,x Tx T x ==n x =1n Tx -0,n T x =取得点列}{n x ，其中1-=n n Tx x .先证}{n x 是Cauchy 列.事实上，由于T 是紧缩的，存在)1,0[∈α有),(),(),(111--+≤=n n n n n n x x Tx Tx x x αρρρ),(),(01212x x x x n n n ραρα≤≤≤-- .对任意,p n m +=有),(),(),(),(1211n n p n p n p n p n n p n x x x x x x x x +-+-+-++++++=ρρρρ),()(0121x x n p n p n ρααα+++≤-+-+),(1),(10101x x x x np n n ρααρααα-≤--=+ .由于0nα→(),n →∞因此}{n x 是Cauchy 列.次证不动点存在性.因为X 完备，故,x X ∃∈使lim n n x x →∞=.又因为T 是紧缩映射，从而必是持续映射，对1-=n n Tx x 令∞→n 取得x T x =.再证不动点的唯一性.假设又有*x 使,**x Tx =则***(,)(,)(,),x x T x Tx x x ρραρ=≤即.0),(1*≤-x x ρα）（由于01＞α-，因此,0),(*=x x ρ即.*x x =4.设计一种迭代格式，利用紧缩映射原理求方程017=-+x x 在]1,0[的根.解 令1)(7-+=x x x f ，因为,017)(6>+='x x f 故f 是严格增加的.又因为,1)1(,1)0(=-=f f 因此方程017=-+x x 在]1,0[内有且仅有一个根.取初值10=x ，将方程写成,17x x -=用711--=n n x x 进行迭代，那么取得近似解,01=x }{,,1,0,1432n x x x x ===不收敛.这是因为070,1T x x T -=在]1,0[不是紧缩映射.现改良迭代公式，引入参数λ，令()(()0)Tx x f x Tx x f x λ=+=⇔=.x ∀,y [0,1],∈由微分中值定理得，)1,0(∈∃η使1().Tx Ty f x y λη'-=+-因661()1(71)(1)7f ληληλλη'+=++=++,故取18λ=-,有1()f λη'+=786(1)η-78<， 从而78Tx Ty x y -<-，这说明T 是]1,0[上的紧缩映射，紧缩常78α=.]1,0[=X 作为一维欧氏空间R 的闭气宇子空间是完备的，由紧缩映射原理，T 有唯一不动点，确实是方程017=-+x x 的唯一的根.),1(8187)1(8177x x x x x Tx -+=-+-=迭代公式1-=n n Tx x 即).1(8187711---+=n n n x x x 取10=x ，得178x =，20.8415x =，30.8240x =，40.8138x =，50.8075x =，8036.06=x ，70.8017x =，80.7995x =.取近似解,7995.08=x 则8101x x αα--870.348⎛⎫== ⎪⎝⎭，781x x --αα70.79950.80170.01=-=.于是，误差 {}0.7995min 0.34,0.010.01.x -≤=5.（常微分方程解的存在唯一性）考虑初值问题⎪⎩⎪⎨⎧==00)(),(x t x x t f dt dx（A ）其中),(x t f 在平面2R 上持续，且关于变量x 知足Lipschitz 条件：1212(,)(,)f t x f t x L x x -≤-，0>L 为常数.那么初值问题（A ）在],[00ββ+-t t 上存在唯一解，其中1Lβ<. 证明 第一指出，初值问题（A ）有解与积分方程0()(,())t t x t x f u x u du =+⎰（B ）有持续解是等价的.事实上，设（A ）有解),(t x x =那么它知足常微分方程与初始条件()(,()),dx t f t x t dt= 00().x t x = 对上式两头积分可得，0()()(,()).tt x t x t f u x u du -=⎰这说明)(t x x =是（B ）的解，且由)(t x 的可微性知)(t x 是持续的.反之，假设)(t x x =是（B ）的持续解，那么在式（B ）中令0t t =得,)(00x t x =由于)(t x 持续，故变上限积分函数可微，对式（B ）两边求导得，)).(,()(t x t f dtt dx = 这说明)(t x x =是方程（A ）的解.现利用方程（B ），在持续函数空间],[00ββ+-t t C 上概念映射T 为0()()(,()).t t Tx t x f u x u du =+⎰（C ）由f 的持续性可知],,[00ββ+-∈t t C Tx 且))(())((max 0t Ty t Tx Ty Tx t t -=-≤-β0max(,())(,())t t t t f u x u f u y u du β-≤≤-⎰00max ()()t t t t L x u y u du β-≤≤-⎰0maxt t t t L x y du β-≤≤-⎰000max t t L x x t t β-≤=--.0x x L -=β因,1<βL 故T 是Banach 空间],[00ββ+-t t C 上的紧缩映射.由紧缩映射原理，存在唯一的],,[)(00ββ+-∈=t t C t x x 使.T x x = 按式（C ），T x x =就表示x 是方程（B ）的唯一的持续解.从而方程（A ）存在唯一的解.6.(线性代数方程组解的存在唯一性)设有线性方程组,b Ax =其中n n ij a A ⨯=)(为n n ⨯矩阵，1)(⨯=n i b b 为1⨯n 矩阵（列向量）.假设A 知足12,nijii j aa =<∑ 1,2,i n =.(即A 是所谓的对角占优阵)，那么b Ax =存在唯一解.证明 由于0≠ii a ，记,ij ii n na C a ⨯⎛⎫=⎪⎝⎭ 1i ii n b e a ⨯⎛⎫= ⎪⎝⎭，那么原方程组b Ax =与e Cx =同解.记n n ij I ⨯=)(δ为单位矩阵，其中⎩⎨⎧≠==.01j i ji ij δ那么方程组e Cx =与下述方程组同解：x e x C I =+-)(. （A ）对任意列向量n n i K x x ∈=⨯1)(，取范数,max 1i ni x x≤≤∞=则),(∞x K n是有限维赋范空间从而是Banach 空间.由式（A ），令nnK K T →:为.)(e x C I Tx +-= （B ）因为ij ij ii n na I C a δ⨯⎛⎫-=-⎪⎝⎭,,,nK y x ∈∀有 =-∞TyTx ∞+--+-])[(])[(e y C I e x C I∑=≤≤∞--=--=nj j j iiij ij ni y x a a y x C I 11))((max ))((δ)max(11∑=≤≤-≤nj iiij ijni a a δ1max j j j nx y ≤≤-∞-=y x α其中∑=≤≤-=nj iiij ijni a a 11maxδα1])[(1max 11<-=∑=≤≤ii nj ij ii n i a a a ，故T 是紧缩映射.由紧缩映射原理，T 存在唯一不动点x ，由T x x =，x 是方程（A ）的唯一解，从而是方程组b Ax =的唯一解.7.（积分方程的Fredholm 定理）设2[,],f L a b ∈ (,)K t u 是概念在矩形],[],[b a b a ⨯上的Lebesgue 可测函数，且是平方可积的，即2(,)b baaM K t u dtdu =⎰⎰<+∞.那么Fredholm 积分方程⎰+=badu u x u t K t t x )(),()()(λϕ （A ）当M1<λ时有唯一解].,[)(2b a L t x x ∈=证明 作],[2b a L 上的映射T 为⎰+=badu u x u t K t t Tx )(),()())((λϕ. （B ）由Holder 不等式（2==q p ）得，dt du u x u t K ba b a2)(),(⎰⎰dt du u x du u t K bab aba])(),([22⎰⎰⎰⋅≤.2+∞<=xM故⎰badu u x u t K )(),(],,[2b a L ∈从而由],[2b a L 是线性空间及],[2b a L ∈ϕ可知，2[,].Tx L a b ∈ T 是],[2b a L 到],[2b a L 的映射.已知],[2b a L 是Banach 空间，由Holder 不等式（2==q p ）得，22()()()()baTx Ty Tx t Ty t dt -=-⎰2(,)(()())b b aaK t u x u y u du dt λ=-⎰⎰222[(,)()()]b bbaaaK t u du x u y u du dt λ≤⋅-⎰⎰⎰,22y x M -=λ 即≤-Ty Tx y x M -λ.因为,1<M λ故T 为紧缩映射.由紧缩映射原理得，T 存在唯一不动点2()[,].x x t L a b =∈由()()()T x t x t =及式（B ）可知，)(t x x =是积分方程（A ）的唯一解.8． 设X ,Y 是赋范空间，Y X T →:是线性算子，那么以下诸条件等价：（1）T 是有界算子；（2）X x M ∈∀>∃,0，有x M Tx ≤；. （3）T 在某一点X x ∈0持续； （4）T 在X 上持续．.证明 （1）⇒（2）设T 有界，即T 将X 的任一有界集映射为Y 的有界集．那么T 将=)(X S {}1y Xy ∈=映射成有界集．即),(,0X S y M ∈∀>∃有M Ty ≤.从而，x X ∀∈, 假设x θ=, 那么T θθ=, 显然有Tx M x ≤; 假设x θ≠, 那么()x y S X x =∈, 由于,M x x T x Tx ≤⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=故x M Tx ≤. （2）⇒（3）设.θ→n x 由条件（2）得，n n x M Tx ≤.于是由θ→n x 得，θθT Tx n =→.这说明T 在θ=0x 持续．（3）⇒（4）设T 在某点X x ∈0持续，即当0x x n →有0Tx Tx n →.设X y ∈0是任一点且0y y n →.令00x y y x n n +-=.那么0x x n →，从而应有()000Tx x y y T Tx n n →+-=. 由于T 是线性的，故()0000Tx Ty Ty x y y T n n +-=+-.因此，()00000→-+-=-Tx x y y T Ty Ty n n ，即0Tx Tx n →.0y 的任意性说明T 在X 上持续．（4）⇒（1）（反证法）假设T 不是有界算子，那么T 将X 的某有界集映射成Y 的无界集．不妨设A 有界而TA 无界．于是，0,,M x A ∃>∀∈ x M ≤；且n ∀（正整数），A x n ∈∃，有n Tx n >.令nx y nn =，那么 nM x n y n n ≤=1，n y θ→()n →∞. 由于T 持续，因此n Ty T θθ→= ()n →∞. 这与11>=n n Tx nTy 相矛盾. 因此T 有界．9． 设积分算子T 概念为()()()taTx t x u du =⎰，其中()1[,]x t L a b ∈．(1)T 是从1[,]L a b 到[,]C a b 的算子. (2) T 是从1[,]L a b 到自身的算子. 别离求出T .解 (1) 1[,]x L a b ∀∈,有()maxt a a t bTx x u du ≤≤=⎰()max taa t bx u du ≤≤≤⎰()bax u du x ==⎰,取得1T ≤.令()01x t b a=-,那么10[,]x L a b ∈,且()001b a x x u du ==⎰,于是取得01sup x T Tx Tx ==≥max ta a tb du b a ≤≤=-⎰1b a dt b a ==-⎰. 因此1T =.(2) 1[,]x L a b ∀∈，有()bt aa Tx x u du dt =⎰⎰()b t aax u dudt ≤⎰⎰()[]b baax u du dt ≤⎰⎰()baxdt b a x ==-⎰，取得T b a ≤-．n ∀（正整数），令1[,]()10(,]n n t a a nx t t a b n ⎧∈+⎪⎪=⎨⎪∈+⎪⎩（如下图）.那么()bn n ax x t dt =⎰11a nandt +==⎰,()bt n n aaTx x u du dt =⎰⎰()11a b naa nn t a dt dt ++=-+⎰⎰12b a n=--, 12n n T T x Tx b a n=≥=--． 由n 的任意性得,T b a ≥-.因此T b a =-.10． 设X ，Y 为赋范空间，:T X Y →是线性算子．(1)T 为闭算子的充要条件是：任一点列{}n x X ⊂，假设n x x →，n Tx y →，那么y Tx =．(2)有界限性算子是闭算子．证明 (1)必要性 设T 是闭算子且设{}n x X ⊂，n x x →，n Tx y →．那么(){}(),nnx Tx G T ⊂，且()(),,n n x Tx x y -n n x x Tx y=-+-0→，即()(),,n n x Tx x y →．由于()G T 是X Y ⨯中闭集，故()(),x y G T ∈，从而有y Tx =．充分性 设(){}(),nnx Tx G T ⊂，()(),,nnx Tx x y →．那么{}max ,n n x x Tx y --n n x x Tx y ≤-+-()(),,0n n x Tx x y =-→．因此n x x →，n Tx y →．于是由题设所述的条件得，y Tx =，即()(),x y G T ∈，()G T 是闭的．证得T 是闭算子．(2) 设:T X Y →是有界的，并设{}n x X ⊂，n x x →且n Tx y →．由T 的持续性得，n Tx Tx →；再利用极限的唯一性得，Tx y =．由(1)可知，T 是闭算子．11． 设T 是从Banach 空间X 到Banach 空间Y 的线性算子且T 是幂等的，即对x X ∀∈，()T Tx Tx =．假设零空间()N T 与值空间TX 都是闭的，证明T 是有界的．证明 先证T 是闭算子．设{}n x X ⊂，,x y X ∈，n x x →且n Tx y →．因为TX 是闭的．故y TX ∈，从而存在x X ∈使T x y =．因为()()n n n n T Tx x T Tx Tx -=-n n Tx Tx θ=-=，故()n n Tx x N T -∈，而()N T 是闭的，因此T x x -=()()lim n n n Tx x N T →∞-∈．于是()T T x x θ-=，从而有()y T x T T x Tx ===．证得T 是闭算子．因为X ，Y 是Banach 空间，故应用闭图象定理得，T 是有界的．证完.12. 在欧氏空间n K 中，点列收敛等价于依坐标（分量）收敛．事实上，设{}nk x K ⊂，nx K∈，其中()()()()12,,,k k k k n x a a a =，(12,,,x a a =)n a ．咱们有()1221nk k i i i x x a a =⎛⎫-=- ⎪⎝⎭∑，()()()()1122k k k k i i k n n a a x x a a a a a a -≤-≤-+-++-．于是()lim lim k k ii k k x x a a →∞→∞=⇔=，1,2,,i n =．13. 在持续函数空间[],C a b 中，点列收敛等价于函数列一致收敛．事实上，设()n n x x t =，[](),x x t C a b =∈．咱们有max ()()n n a t bx x x t x t ≤≤-=-.于是，lim 0,,,n n n x x N n N x x εε→∞=⇔∀>∃∀>-<[]0,,,,,()()n N n N t a b x t x t εε⇔∀>∃∀>∀∈-<⇔函数列{}()n x t 在[],a b 上一致收敛于()x t ．14. 在离散气宇空间X 中，由于()0,1ε∀∈，(),n x x ρε<等价于n x x =，因此点列{}n x 收敛于x 意味着{}n x 大体上是常点列，即存在正整数N ，n N >必有n x x =，从而{}n x 确实是12,,,,,,,N x x x x x ．15. 在[],p L a b （1p ≤<+∞）中，点列{}n f 收敛于f ，即()()1()()0bppn n af f f t f t dtn -=-→→∞⎰．这种收敛被称为函数列{}()n f t 的p 次幂平均收敛．专门地，当2p =，其物理意义是按能量收敛．由函数列{}()n f t 的p 次幂平均收敛一样不能取得{}()n f t 逐点（对每点[],t a b ∈）收敛于()f t ，但必然存在子列{}()k n f t ，使()()()k n f t f t n →→∞ .．16. 证明：[],C a b 完备（即函数列一致收敛Cauchy 准那么）．证：设{}[],n x C a b ⊂为Cauchy 列. 那么0ε∀>，N ∃，,m n N ∀>，[],t a b ∀∈,有()()max ()()m n m n m n a t bx t x t x t x t x x ε≤≤-≤-=-<． （）固定t ，那么{}()n x t 是Cauchy 数列，从而有唯一的()x t 使lim ()()n n x t x t →∞=．由此式概念的()x t 是[],a b 上的函数．对式（）令m →∞得，n N ∀>，[],t a b ∀∈，()()n x t x t ε-≤，即{}()n x t 一致收敛于()x t ．又每一个()n x t 是持续的，因此极限函数()x t 持续，即[],x C a b ∈.由依范数收敛与一致收敛的等价性（例），有n x x →()n →∞．这说明[],C a b 完备．17． 证明：p l （1p ≤<+∞）完备．证：设{}p n x l ⊂为Cauchy 列，其中()()()()12,,,,n n n n i x a a a =. 那么0ε∀>，N ∃，,m n N ∀≥，有()()11pp m n i i n m i a a x x ε∞=⎛⎫-=-<⎪⎝⎭∑ （） 于是,m n N ∀≥，i ∀有()()m n i im n a a x x ε-≤-<，即(){}1n in a ∞=是Cauchy 数列（i ∀），因此可设()()0lim n ii n a a →∞=，()()()()000012,,,,i x a a a =，由式（）得, ,m n N ∀≥，k ∀，()()11kpp m n i i i a a ε=⎛⎫-< ⎪⎝⎭∑． （）对式（）令m →∞得，n N ∀≥，k ∀，()()101kpp n i i i a a ε=⎛⎫-≤ ⎪⎝⎭∑． （） 对式（）令k →∞得，n N ∀≥，()()101ppn i i i a a ε∞=⎛⎫-≤⎪⎝⎭∑，即0n x x ε-≤．这说明0n x x →()n →∞．而且由0N x x ε-≤也说明0p N x x l -∈．由于p l 是线性空间，故()00p N N x x x x l =+-∈．因此p l 是完备的．18． 证明：l ∞完备．设{}n x l ∞⊂是Cauchy 数列，其中()()()()12,,,,n n n n i x a a a =.那么0ε∀>，N ∃，,m n N ∀≥，有()()1sup m n i i m n i a a x x ε≥-=-<．于是,m n N ∀≥,i ∀, ()()m n ii a a ε-<, （）即(){}1n in a ∞=是Cauchy 数列（i ∀），因此可设()()0lim n ii n a a →∞=，()()(00012,,,x a a =()0,i a ).对式（）令m →∞得，n N ∀≥，i ∀，()()0n i i a a ε-≤．于是n N ∀≥，0n x x -=()()01sup n i i i a a ε≥-≤．这说明0n x x →()n →∞．由0N x x ε-≤也说明0N x x l ∞-∈．由于l ∞是线性空间，因此00N N x x x x l ∞=-+∈，因此l ∞完备．A first three books have earned a conservatively estimated $480 million in 3 years.Potter and the Goblet of Fire promises to break all previous bookselling records.Britain and North America, thousands of children rushed to claim their copies when Harry Potter and the Goblet of Fire was on sale.:Reading of the books has been challenged in 25 school districts and the books have been banned in schools in Kansas and Colorado.are beautifully crafted works of entertainment, the literary counterpart of Steven Spielberg.amount to much more than just the sum of parts of children’s classic, and they can be read by children and adults with equal pleasure.language of the books may be unadorned, but the way with naming people and things is quirky and original.also find the books appealing because of the deepintellectualism in them.第一单元way that companies win the competition that happens 24/7/365 is to get “there”faster. This trait is a requirement not only for people who can act quickly, but for those who can think fast with the courage to act on their own conviction key players who succeed in their work at the bench in industry environment in great measure depends on their ability to work with a broad variety of personalities。
勒贝格控制收敛定理的应用
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协勒贝格控制收敛定理的应用侯英(贵州财经学院数学与统计学院，贵州贵阳550004)文化与教育技柬摘要：勒贝格控制收敛定理是实变函数论的一个重要定理，可以用于计算积分的极限，证明积分等式、数列收敛、不等式、判断函数连续等许多问题。
关键词：勒贝格控制收敛定理；可测函数；可积函数勒贝格控制收敛定理是积分论中的一个重要定理，它解决了，积分与极限的交换问题，并在一定程度上代表了实变函数论方法的力量。
利用这一定理可以证明列维(L evi)定理等其他定理，而且它在证明和计算中有着广泛的应用。
首先，我们介绍一下勒贝格控制收敛定理。
勒贝格控制收敛定理：设(1){fn}是可测集E上的可测函数列；(2)I f o(x)J≤F(x)a．e．于E，n=l，2，…，且F(x)在E上可积分(称I R}为F(x)所控制，而F(x)叫控制函数)；(3)“x)j f(x)。
则f(x)在E上可积分，且l挚JE五(x)dx2JE f(x)dx注：将条件(3)换为“x)川x)a．e。
于E，定理结论仍成立。
在应用勒贝格控制收敛定理时，关键是找出控制函数。
且要求控制函数是可积的。
下面我们从两个方面探讨勒贝格控制收敛定理的应用。
l利用定理证明勒贝格控制收敛定理可以证明积分等式、函数相等、积分的极限、积分的和、数列收敛、不等式、判断函数连续等等问题。
例l：设fl，f2。
…是E上的非负可积函数，且f L}在E上依测度收敛于f，r,m f,L(幽b= f z，证明：对E的任何町测子集A，均有叩．f正c‘)d(x触=．￡，“)ax证：由于f与丘都是非负函数，因此(f-驴(x)≤“x)。
x∈E．故f是函数列f(f-∞+l的控制函数．冈为{fn}在E上依测度收敛于f，所以{(㈤+I在E上依测度收敛予0。
由勒贝格控制收敛定理。
得．1i r a J．(，一．f O+(x)dx=0由1挚J。
^(触2J。
Lebesgue控制收敛定理的证明及应用
１ ２ ５・
若记Ｍ 和 分别是 ， （ 在 ， ｌ 】 上的上下确界， 即有
（ 一 Ｘ ｉ ～ １ ） ≤ Ｌ 厂 ） ｄ ｘ ＜ Ｍ ｚ （ 一 一 １ ） ，
因此可 得
窑 （ 一 ） ≤ ￡ 朋 ． ， ＇ （ 批 喜 （ 一 ） 。
于是对上式两端所有划分分别取上下确源自 ， 便得 Ｌ ， ｂ ｌ ｆ （ ＝ （ ＝ （ 。
・ ．
．
） 在【 口 ， ｂ ｌ ＿ Ｌ￣ Ｌ积分和 Ｒ积分相 同。
例１ ： 定义在【 ０ ， １ 】 的狄利克雷函数 厂 （ ｘ ） ：
八 ＝ 妻
・ 。
．
对于区间【 ０ ， １ 】 的任意分划 ， 一切积分大和等于 １ ， 一切小和等于 ０， 因此 （ ） 不可能是 Ｒ可积
２ ０ １ ６ｆ － ￣６ 期 ５ 期 ）
－
营
。
贵 州 工 程 应 用 技 术 学 院 学 报 Ｊ Ｏ Ｕ 贝 Ｒ Ｎ Ａ Ｌ ｏ Ｆ Ｇ Ｕ Ｉ Ｚ Ｈ 匪 Ｏ ｕ Ｕ ⅢＶ Ｅ ～ Ｒ Ｓ １ Ｔ Ｙ０ 小 Ｆ Ｅ Ｎ Ｇ 于 Ｉ Ｎ Ｅ Ｅ Ｒ Ｉ Ｎ Ｇ 于 Ｓ Ｃ Ｅ 报 Ｎ Ｃ Ｅ
摘 要： 通过 引Ａ ． Ｌ ｅ ｂ ｅ ｓ ｇ ｕ ｅ ￣， 分与 Ｒ Ｊ ｅ ｍａ ｎ ｎ 积分 的关 系， 仔 细比较 两个积 分 的优越 性 ， 进 而详 细地 阐述 了Ｌ ｅ ｂ ｅ ｓ ｇ ｕ ｅ 控 制收敛 定理 的证 明及 其应 用。 首先给 出了Ｌ ｅ ｂ ｅ ｓ ｇ ｕ ｅ 控 制收敛 定理 并对其进 行证 明 ， 其 次再
举例说明其基本的应用， 最后 ， 指 出该定理的不足之处并给 出条件稍宽松的定理， 从而可为解题带来便利， 为理解并掌握 Ｌ ｅ ｂ ｅ ｓ ｇ ｕ ｅ 控制收敛定理及应用提供指导。
勒贝控制收敛定理及其他格
勒贝格控制收敛定理及其他莱维单调收敛定理：.1.lim ,I }{lim )}){}{⎰⎰⎰∞→∞→=In n I n I n n n n s ff s s b I s a s 且有极限函数上几乎处处收敛于一个在则存在，上是递增的，在区间使得是一个阶梯函数序列，理：设关于阶梯函数的莱维定2. (关于勒贝格可积函数序列的莱维定理)设}{n f 是)(I L 中的一个函数序列，使得a)}{n f 在I 上几乎处处是递增的，b)⎰→I n n n f lim 存在，则}{n f 在I 上几乎处处收敛于L(I)内的一个极限函数f,且有.lim ⎰⎰→=In n n I f f3. (关于勒贝格可积函数级数的莱维定理)设}{n g 是)(I L 中的一个函数序列，使得a)每个}{n g 在I 上几乎处处是非负的，b)级数∑⎰∞=1n In g收敛， 则级数∑⎰∞=1n I n g 在I 上几乎处处收敛于L(I)内的一个极限函数,且有⎰∑⎰∑⎰∞=∞===I i In i n I g gg 11. 4．设}{n g 是)(I L 中的一个函数序列，使得级}{n f 数∑⎰∞=1||n I n g是收敛的，则级数∑⎰∞=1n I n g在I 上几乎处处收敛于L(I)内的一个极限函数,且有⎰∑⎰∑∞=∞==I i I n i n g g11. 5 . (勒贝格控制收敛定理) 设}{n f 是区间I 上的一个勒贝格可积函数序列. 设a) }{n f 在I 上几乎处处收敛于一个极限函数f ,b) 在)(I L 内有一个非负函数g 使得对于一切1≥n 都有I ..),(|)(|于e a x g x f n ≤则极限函数)(I L f ∈,序列⎭⎬⎫⎩⎨⎧⎰I n x f )(收敛，且.lim ⎰⎰→=In n n I f fb)可表述为}{n f 在I 上几乎处处被g 控制6. 设I 是一个有界区间，假设}{n f 是)(I L 中的一个函数序列，它在I 上几乎处处有界收敛，即，存在一个极限函数f 和一个正常数M ，使得在I 上几乎处处有,|)(|),()(lim M x f x f x f n n n ≤=∞→则.lim ),(⎰⎰=∈→II n n n f f I L f 7 . (勒贝格可积性) 设}{n f 是L(I)中的一个函数序列. 它I 上几乎处处收敛于一个极限函数f .若在)(I L 内有一个非负函数g 使得对于一切1≥n 都有I ..),(|)(|于e a x g x f ≤则极限函数)(I L f ∈.8．设f 在半无穷区间),[+∞=a I 上有定义，假定对每个a b ≥，f 在紧区间[a,b]上是勒贝格可积的，而且存在一个正常数M ，使得对于每个a b ≥都有⎰≤b a M f ,|| 则)(I L f ∈，极限⎰+∞→b a b f lim 存在，且⎰⎰+∞→+∞=b a b a f f lim阶梯函数的极限函数类比勒贝格可积函数类要大，该类中的函数称为 可测函数由勒贝格积分定义的函数的连续性设X 和Y 是不是R 的两个子区间，f 是定义在Y X ⨯上的函数，它满足以下条件 a) 对Y 中的每个y ，在X 上由下式),()(y x f x f y =定义的函数)(x f y 在X 上是可测的.b) 在)(X L 内存在一个非负函数g,使得对任意的Y y ∈都有.X ..),(|),(|于e a x g y x f ≤c) 对Y 中固定的y 有.X ..),,(),(lim 于e a y x f t x f yt =→ 于是勒贝格积分⎰X dx y x f ),(对Y 中的每个y 都存在，而且由等式 ⎰=X dx y x f y F ),()(定义的函数F 在Y 上连续.积分号下的微分法设X 和Y 是不是R 的两个子区间，f 是定义在Y X ⨯上的函数，它满足以下条件 a) 对Y 中的每个y ，由等式 ),()(y x f x f y =定义的函数)(x f y 在X 上是可测的，且对于Y 内的某个点a 有).(X L f a ∈.b) 对于Y X ⨯的每个内点(x,y),偏导数.),(2存在y x f Dc)在)(X L 内存在一个非负函数G ,使得对于Y X ⨯的全部内点都有),.(|),(|2x G y x D ≤那么勒贝格积分⎰X dx y x f ),(对Y 中的每个y 都存在，其导数为 ⎰=X dx y x f D y F ),()('2即求导和求积分可交换次序.••••••••••••••••••【唯美句子】走累的时候，我就到升国旗哪里的一角台阶坐下，双手抚膝，再闭眼，让心灵受到阳光的洗涤。
lebesgue积分收敛定理
Lebesgue积分收敛定理是关于Lebesgue积分的收敛性的一个重要定理，它在实分析、复变函数等领域有着广泛的应用。
Lebesgue积分是勒贝格提出的一种广义的积分概念，可以处理一些传统的黎曼积分难以处理的函数，它的收敛性定理对于理解积分的性质，以及在数学分析、概率论等领域的应用有着重要的意义。
Lebesgue积分收敛定理的表述比较复杂，但是在实际的应用中，它对于理解和解决一些重要的数学问题具有重要的意义。
这个定理在分析、概率论、调和分析等领域都有着重要的应用。
下面我们将对Lebesgue 积分收敛定理进行详细的介绍和解释。
一、Lebesgue积分的定义在介绍Lebesgue积分收敛定理之前，我们先来回顾一下Lebesgue积分的定义。
给定一个可测函数$f: \mathbb{R} \rightarrow\mathbb{R}$，我们可以定义其Lebesgue积分为：$$\int_{\mathbb{R}} f(x) d\mu (x)$$其中$\mu$是勒贝格测度，对于可积函数$f$，其Lebesgue积分可以通过分割区间，对每个小区间上的函数值进行积分求和的方式进行定义。
Lebesgue积分的引入和定义是为了克服黎曼积分在处理某些特殊情况下的局限性。
二、Lebesgue积分收敛定理的主要内容Lebesgue积分收敛定理是关于Lebesgue可积函数序列的收敛性的一个重要定理，它有助于我们理解Lebesgue积分的性质，并在数学分析、概率论、调和分析等领域有着重要的应用。
Lebesgue积分收敛定理的表述如下：设$\{f_n(x)\}$是一列在$\mathbb{R}$上的可测函数序列，并且存在一个可测函数$f(x)$，使得对几乎所有$x \in \mathbb{R}$，有：$$\lim_{n \to \infty} f_n(x) = f(x)$$并且存在一个可积函数$g(x)$，使得对几乎所有$x \in \mathbb{R}$，有：$$|f_n(x)| \leq g(x), \quad \forall n$$那么有：$$\lim_{n \to \infty} \int_{\mathbb{R}} f_n(x) d\mu (x) =\int_{\mathbb{R}} f(x) d\mu(x)$$这个定理的主要内容是对于Lebesgue可积函数序列的收敛性进行了严格的描述和证明，它表明了当一个可测函数序列在几乎处处收敛于一个可测函数时，其Lebesgue积分也会收敛于相同的值。
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关于Lebesgue控制收敛定理的条件
论文框架
.论文写作背景及原因 .论文的结构及主要内容 .论文要点 .结论 .参考文献 .致谢
论文写作背景及原因
• Lebesgue积分理论中基本的极限定理主要包括Levi定理, Fatou定 理和Lebesgue控制收敛定理, 合称为Lebesgue的三大极限定理. 它们 不需要一致收敛的条件, 可以在较弱的条件下解决积分与极限的换序 问题, 定理结论易于验证. 其中最为核心也是最为广泛的当数控制收敛 定理. • 在数学分析和测度论中, Lebesgue控制收敛定理提供了积分运算 和极限运算可以交换顺序的一个充分条件, 在分析逐点收敛的函数数 列的勒贝格积分时, 积分号和逐点收敛的极限号并不总是可以交换的. 控制收敛定理说明了, 如果逐点收敛的函数列的每一项都能被同一个 勒贝格可积的函数“控制”, 那么函数列的极限函数的勒贝格积分等 于函数列中每个函数的勒贝格积分的极限. • 勒贝格控制收敛定理显示出勒贝格积分相比于黎曼积分的优越性, 在数学分析和实变函数论中有很大的应用.
论备知识，主要介绍了论文的写作依据和一些相关 的定义和定理 • 第二部分给出了Lebesgue控制收敛定理及证明过程和在积分运算中 的应用 • 第三部分是本文的重点内容，主要包括Lebesgue控制收敛定理中的 一个重要特例， Lebesgue控制收敛定理的条件作明显减弱之后得出 的三个推论以及 Lebesgue控制收敛定理中的可积的控制函数的不可 缺少性
论文要点
1引言及预备知识 1.1引言 1.2预备知识 2 Lebesgue控制收敛定理 3Lebesgue控制收敛定理中的条件 3.1 Lebesgue控制收敛定理中的一个重要特例 3.2 Lebesgue控制收敛定理的条件可以作明显减弱 3.3 Lebesgue控制收敛定理中的可积的控制函数的不可缺少性 3.3.1控制函数的可积性 3.3.2控制函数的不可缺少性 4 全文总结 参考文献 致谢
结论
Lebesgue控制收敛定理为积分和极限次序的 交换提供了充分条件, 并且有着广泛的应用. 对定 理的条件作适当的减弱之后,定理结论仍然成立, 但定理条件中可积的控制函数是不可缺少的.
参考文献
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