1.5.3 Fourier级数的性质及收敛定理的证明
12
现在证明 (收敛定理).重新叙述如下:
定理 若以2π为周期的函数 f 在 [π, π] 上按段
光滑, 则在每一点 x [π, π], f 的傅里叶级数收敛
于 f 在点 x 的左、右极限的算术平均值,即
f
(x
0) 2
f
(x
0)
a0 2
(an cos nx
n1
bn sin nx),
其中 an , bn 为 f 的傅里叶系数.
π
π
π F1( x) sin nxdx 0 F2( x) cos nxdx, (7)
7
其中
F1( x)
f
( x)cos
x 2
,0
x
π
,
0
,π x 0,
F2
(
x)
f
(
x)
sin
x 2
,
0
xπ
,
0 ,π x 0.
显见F1与 F2和 f 一样在 [π, π]上可积.由推论1,(7) 式右端两项积分的极限在 n 时都等于零. 所以
13
证 只要证明在每一点 x 处下述极限成立:
lim
n
f
(x
0) 2
f
(x
0)
Sn( x)
0,
即
lim
f
(x
0)
f
(x
0)
1
π
f
(
x
t
)
sin
n
1 2
t
dt
0.
n
2
π π
2sin t
2
或证明同时有
14
lim
f
(
x
0)
1
π
f
(x
t)
sin
n
1 2
t
dt
左边的极限为零.
同样可以证明
lim
n
0 π
f
(
x ) sin
n
1 2
xdx
0.
8
定理2 若 f 是以2 π为周期的函数, 且 在 [π, π]
上可积, 则它的傅里叶级数的部分和 Sn( x)可写成
Sn
(x
)=
1 π
π
f
(
x
t
)
sin
n
1 2
t
dt
,
π
2sin t
(8)
2
当 t = 0 时, 被积函数中的不定式由极限
收敛定理:
定理 若以 2π为周期的函数 f 在 [π, π] 上按段
光滑, 则在每一点 x [π, π], f 的傅里叶级数收敛
于 f 在点 x 的左、右极限的算术平均值,即
f
(x
0) 2
f
(x
0)
a0 2
(an cos nx
n1
bn sin nx),
其中 an , bn 为 f 的傅里叶系数.
bn2 )
1 π
π f 2 ( x)dx.
π
(Parseval等式)
2
证 令
Sm( x)
a0 2
m
(an
n1
cos nx
bn
sin nx)
π π
[
f
(
x
)
Sm
(x
)]2dx
考察积分
π π
f
2 ( x)dx
2
π π
f
( x)Sm (x)dx
π π
Sm2
(x
)dx.
(2)
由于
π π
f
( x)Sm (x)dx
f
(
x)sin
n
1 2
xdx
0,
(6)
lim
n
π π
f
(
x
)sin
n
1 2
xdx
0,
证 由于
sin
n
1 2
x
cos
x 2
sin
nx
sin
x 2
cos
nx,
所以
π 0
f
(
x)
sin
n
1 2
xdx
π 0
f
(
x)cos
x 2
sin
nxdx
π 0
f
(
x
)
sin
x 2
cos
nxdx
2
由于上式左边为偶函数, 因此两边乘以 f ( x 0) 后
又得到
f ( x 0) 1
π
f
(x
0)
sin
n
1 2
t
dt .
2
π0
2sin t
2
16
从而(10)式可改写为
lim 1
π
[
f
(x
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
0)
f
(x
t
)]
sin
n
1 2
t
dt
0.
π n 0
2sin t
(12)
2
令
(t)
f
(x
t) f (x 2sin t
因为(1)的左边级数收敛, 所以当 n 时, 通项
an2 bn2 0, 亦即有an 0 与 bn 0, 这就是 (5) 式, 这个推论称为Riemann引理.
a02
2
(an2 bn2 )
n1
1 π
π π
f 2( x)dx.
(1)
6
推论2 若 f 为可积函数,则
lim
n
π 0
0)
2
t
f (x t) t
f ( x 0) 2 sin t
,
t (0, π].
2
17
取极限得到
lim(t) f ( x 0) 1 f ( x 0).
t 0
再令(0) f ( x 0), 则函数 在点 t 0 右连续.
因为 在 [0, π]上至多只有有限个第一类间断点,
所以 在 [0, π]上可积. 根据定理1和推论2,
而
1 π
π [ f ( x)]2dx为有限值,
π
所以正项级数
a02 2
(an2
n1
bn2 )
的部分和数列有界, 因而它收敛且有不等式(1)成立. 5
推论1 若 f 为可积函数, 则
lim
n
π π
f ( x)cos nx dx 0,
π
(5)
lim
n
-π
f ( x)sin nx dx 0,
a0 2
π
f ( x)dx
π
m
π
π
(an
π f ( x)cos nxdx bn
f ( x)sin nxdx),
π
n1
根据Fourier系数公式可得
π π
f
( x)Sm (x)dx
π 2
a02
m
π (an2
n1
bn2 ).
(3) 3
根据Fourier系数公式可得
π π
f
( x)Sm (x)dx
nxdx
πa02 2
m
π (an2
n1
bn2 ).
(4)
4
将(3), (4)代入(2)，可得
0
π
[
π
f
(
x
)
Sm
(x)]2dx
π π
f
2( x)dx
πa02 2
m
π (an2
n1
bn2 ).
因而
a02 2
m
(an2
n1
bn2 )
1 π
π [ f ( x)]2dx,
π
它对任何正整数m成立.
0.
这就证得 (12)式成立, 从而(10)式成立.
用同样方法可证 (11) 也成立.
19
lim 1
π
[
f
(x
0)
f
(x
0)]
sin
n
1 2
t
dt
π n 0
2sin t
2
lim 1 n π
π
(t
0
)sin
n
1 2
tdt
0.
18
lim 1
π
[
f
(x
0)
f
(x
0)]
sin
n
1 2
t
dt
π n 0
2sin t
2
lim 1 n π
π 0
(t
)
sin
n
1 2
tdt
1
1.5.3 Fourier级数的性质
定理1 (贝塞尔(Bessel)不等式) 若函数 f 在
[π, π] 上可积, 则
a02
2
(an2 bn2 )
n1
1 π
π f 2( x)dx.
π
(1)
其中 an , bn为 f 的傅里叶系数. (1)式称为Bessel不等
式.
a02
2
(an2
n1
lim
sin
n
1 2
t
n
1
t0 2sin t
2
来确定.
2
9
证 在傅里叶级数部分和
Sn( x)
a0 2
n
(ak
k 1
cos kx
bk
sin kx)
中, 用傅里叶系数公式代入, 可得
Fourier级数和Fourier积分
Fourier 级数和Fourier 积分1， 设)(x f 是以π2为周期的函数，形如∑∞=++1)sin cos (2n n n nx b nx a a 的三角级数，称为)(x f 的Fourier 级数，其中⎰-=πππnxdx x f a n cos )(1，,...)3,2,1,0(=n⎰-=πππnxdx x f b n sin )(1，,...)3,2,1(=n 2， Riemann 引理：设函数)(u ψ在],[b a 上可积和绝对可积，那么下列极限式成立： 0cos )(lim=⎰+∞→bap pudu u ψ， 0sin )(lim=⎰+∞→bap pudu u ψ。
3， Fourier 级数的性质性质1 局部性定理 函数)(x f 的Fourier 级数在x 点的收敛和发散情况，只和)(x f 在这一点的充分邻近区域的值有关。
性质2 可积和绝对可积函数的Fourier 系数n n b a ,趋向于零，即0cos )(1lim=⎰-+∞→πππnxdx x f n ，0sin )(1lim =⎰-+∞→πππnxdx x f n 。
性质3 积分⎰+πϕπ02sin2212sin)(1du u un u ，⎰+πϕπ02212sin )(1du u u n u 的收敛情况相同，即0212sin )12sin21)((1lim 0=+-⎰+∞→πϕπudu n u u u n 。
这里s u x f u x f u 2)()()(--++=ϕ。
4， Dini 定理（Dini 判别法）：设能取到适当的s ，使得由函数)(x f 以及x 点所作出的s u x f u x f u 2)()()(--++=ϕ满足条件：对某正数h ，使在],0[h 上，uu )(ϕ为可积和绝对可积，那么)(x f 的Fourier 级数在x 点收敛于s 。
Lipschitz 判别法：如果函数)(x f 在点x 点连续，并且对充分小的正数u ，在一点的Lipschitz 条件αLu x f u x f <-±|)()(|，)0(h u ≤<成立，其中L ，α皆为正数，且1≤α那么)(x f 的Foueier 级数在x 点收敛于)(x f 。
收敛定理的证明
1 写出
的简缩形式.
称这一简缩形式为
的积分形式, 或称为
Dirichlet 积分, 2 利用该表示式, 式
可化为
+
,
于是把问题归结为证明
,
.
这两式的证明是相同的, 只证第一式. 3 为证上述第一式, 先利用三角公式
建立所谓Dirichlet积分
利用该式把 为 Dirichlet 积分
表示为积分,即把
15.3 收敛定理的证明
Dini 定理 设以 为周期的函数 在区间 上按段光滑,则在每一点 ,
的 Fourier 级数收敛于 在点 的左、右
极限的算术平均值, 即
其中
和
为
的 Fourier 系数.
证明思路: 设
对每个
～
, 我们要证明
.
.
即证明
.
方法是把该极限表达式化为积分, 利用 R—L定理证明相应积分的极限为零.
.
.
综上即得所证 .
Fourier级数与三角级数的区别：Fourier级数 是三角级数，但收敛的三角级数却未必是某个可积 函数的Fourier级数. 一个三角级数是Fourier级数( 即是某个可积函数 的Fourier级数 ) 的必要条件为:
若三角级数 Fourier 级数, 则数项级数
比如正弦级数 法), 由级数
表示
.பைடு நூலகம்
于是又把上述1中所指的第一式左端化为
.
4 利用所谓Riemann — Lebesgue定理证明上 述极限为零. 为此 , 先证明Bessel不等式, 再建立 Riemann — Lebesgue定理, 然后把以上最后的 式子化为
.
5
函数的fourier级数展开
函数的fourier级数展开Fourier级数展开是应用数学中一种非常重要的展开形式，它可以将任意周期函数表示为由正弦和余弦函数组成的无穷级数的和。
其基本的数学原理是利用Fourier定理，将一个周期函数展开成正弦函数和余弦函数的线性组合，这样就可以将任意复杂的函数表示为一个简单的函数的和。
（1）Fourier级数展开的概念Fourier级数展开是在函数分析领域中非常有用的一种展开技术，它可以将一个周期函数表示为无穷多正弦函数和余弦函数的线性组合。
其基本原理就是根据Fourier定理，将一个周期函数分解成一系列正弦和余弦函数的和。
由Fourier定理可以推出正弦函数和余弦函数构成级数的系数，并且当正弦函数和余弦函数的频率越高时，其系数越小，因此任意复杂的函数可以利用Fourier级数展开的方法表示成一个由简单函数构成的无穷级数的和。
（2）Fourier级数展开的用途Fourier级数展开的用途很广泛，几乎在所有研究中都有用到。
其中最常用到的是数学分析，特别是在解决各类偏微分方程时，通常都会用到Fourier级数展开。
此外，Fourier级数展开也经常用在信号处理的研究中，例如图像压缩、声音和音乐的处理等，都会用到这种技术。
Fourier级数展开也广泛应用于工程科学中，对于对于复杂的物理系统的理解和数值模拟也都需要利用Fourier级数展开技术来进行研究。
（3）Fourier级数展开的特性Fourier级数展开有很多优越的特点，首先它具有良好的精度。
在计算上，由于Fourier级数展开可以将复杂的函数简化成由简单函数构成的线性组合，因此Fourier级数展开对高精度的计算是非常有用的。
其次，Fourier级数展开可以最大程度地增加函数信息的传递效率。
可以说，Fourier级数展开最主要地优势在于复杂函数的快速精确展开。
（4）Fourier级数展开的方法Fourier级数展开的方法非常的多，大致可以分为几种类型。
第三次课、Fourier级数的性质
的完备序列，如果对任意 f L ([ , ]), 0， 存在
n
的有限线性组合
c
n n 1
k
n
使得
c
n n 1
k
n
f .
定义3.3 如果
n
是 L ([ , ]) 中的完备序列，
2
而且其中的元素两两正交，则称 L ([ , ]) 的正交基。
则 f ( x) 是周期为 2 的连续函数（读者自己证
明），而且在 f ( x) 的连续点处 F ( x) 是可导的。
对于 f ( x) 的第一类间断点 x0 有
F ( x0 ) lim
' x 0
F ( x0 x) F ( x0 ) x
x0 a0 a0 1 x0 x lim f (t ) dt f (t ) 2 dt x 0 x 2
dt
n 1
x
( an cos nt bn sin nt )dt.
说明 该定理的一般性证明已经超出了本课程的范 围，下面只对一种特殊情形进行证明。
我们假设 f ( x) 只有有限个第一类间断点，并考 虑函数 F ( x)
x
a0 f (t ) 2 dt ,
2
3
4
k 1
(1) n
2
cos nx.
2.逐项求导定理
且 f '( x) 在 [- , ] 上可积或绝对可积， f ( x) a0 2 ( an cos nx bn sin nx),
n 1
定理3.2 设 f ( x) 在 [ , ] 上除了有限个点外可导，
Fourier级数的收敛条件
Keywords:Fourier series；Dirichlet integral；Dini conditions；Jordan conditions
1 引言
1.1 Fourier级数的诞生
人们普遍认识的简单函数主要有两类：幂函数和三角函数。早在18世纪初期，英国伟大的数学家Taylor就发现了可以用幂函数的线性组合来表示一般函数 ，也就是我们现在所说的利用Taylor展开将函数化为幂级数形式： 。然而，一般函数 的Taylor展开在实际应用中会受到一定的限制，因为我们在实际问题中总会使用Taylor级数的部分和，也就是 的n次Taylor多项式 来近似代替函数 。要做到这点就必须要求函数 有至少n阶导数，但是这个条件对于实际问题过于严苛，为此人们有必要寻找对于函数的新的级数展开方法。
1.1 Fourier级数的起源……………………………………………………………………1
1.2 收敛性的发展 ……………………………………………………………………2
2 Fourier级数的收敛性 ………………………………………………………………2
2.1 理论背景 ……………………………………………………………………2
4.4 Fourier级数的平方收敛性质………………………………………………………10
4.5 Fourier级数的应用…………………………………………………………………11
5 结语……………………………………………………………………………………12
主要参考文献…………………………………………………………………………………12
入学时间： 2015 年 9 月
导师姓名： 黄华鹰 职称/学位： 副教授
第十六部分傅里叶Fourier级数教学-精品
对可积. 如果f(x)为奇函数,则
an
0,n0,
2
bn0 f(x)sin nx,n dx1
此时, f (x)的Fourier级数称为正弦级数,即
f (x) ~ bn sinnx
n1
2020/2/24
5. 正弦级数和余弦级数
如果f(x)为偶函数,则
an 20 f(x)consx,n dx 0,bn 0,n1
2020/2/24
2. 基本三角函数系
定义1 设平方可积函数f(x)和g(x)定义
于区间[a,
b]上.
称数(f,g) bf(x)g(x)dx a
为函数f(x)和g(x)在区间[a, b]上的内积.
若 (f,g)0, 则称函数f(x)和g(x20/2/24
2. 基本三角函数系
此时, f (x)的Fourier级数称为余弦级数,即
f
(x)
~a0 2
an
n1
cosnx
2020/2/24
例3 将下列函数展成 Fourier 级数
1 )f(x)x,x ( ,];
2 )f(x ) sg x ,x n( ,];
3)f(x)x,x[,];
4)f(x)x2,x [,]
{2 1 ,cx o ,s s x i,c n 2 o x ,s s 2 ix ,n ,c n o,s x s n i,n x }
是区间 [,]上的标准正交函数系.
2020/2/24
3. 正交级数展开
假设{gn (x)}是区间[a, b]上的正交函数系. 如果 f (x)定义于区间 [a, b]上, 能否找到 系数 cn,n0,1,2,使得
n0,1,2,
Fourier级数
x
16
( cos n 1) 2 0 n
2
4 ( 2 k 1) 2
, n 2k 1
,
n 2k ( k 1 , 2 , )
f ( x) sin nx d x
1
2
1
cos x
cos 3 x 2 cos 5 x 3 5
1 2
cos(k n) x cos(k n) x d x 0 同理可证 : sin k x sin nx d x 0 (k n ) cos k x sin nx d x 0
3
但是在三角函数系中两个相同的函数的乘积在 上的积分不等于 0 . 且有
o
x
将 f (x) 展成Fourier级数. 1 1 0 1 x2 0 解: a0 f ( x) d x x d x 2 2
an
1
f ( x) cos nxdx
x cos nx d x
y n 1
an
1
(n )
6. Bailey-Borwein-Plouffe算法（BBP，1995）
Fabrice Bellard（ 1997年）
20
3. 正弦级数和余弦级数
1. 周期为2 的奇、偶函数的Fourier级数 定理4 . 对周期为 2 的奇函数 f (x) , 其傅里叶级数为 正弦级数, 它的Fourier系数为
f ( x) d x
1
ak
cos 2 k x d x
Fourier级数的收敛性和计算方法
Fourier级数的收敛性和计算方法傅里叶级数是一种用于描述周期性函数的函数级数，它由一组基函数构成，这些基函数是余弦函数和正弦函数。
傅里叶级数可以用来表达任何周期性函数，无论它的形态如何，而且可以对这些函数进行分析和处理。
在这篇文章中，我们将探讨傅里叶级数的收敛性和计算方法。
一、傅里叶级数的定义傅里叶级数可以用以下形式表示：$f(x)=\frac{a_0}{2}+\sum_{n=1}^{\infty}[a_n\cos(n\omegax)+b_n\sin(n\omega x)]$其中，$f(x)$是一个周期为$T$的函数，$\omega=\frac{2\pi}{T}$是角频率，$a_0$、$a_n$和$b_n$是常数，称为傅里叶系数。
$a_0$表示$f(x)$在一个周期内的平均值，$a_n$和$b_n$分别表示$f(x)$在一个周期内的偶函数和奇函数的振幅。
二、傅里叶级数的收敛性傅里叶级数是否收敛是一个重要的问题。
如果它收敛，那么我们可以用级数来逼近原函数；但如果它不收敛，那么级数就不能用来逼近原函数，我们需要采用其他方法。
我们知道，一个函数的收敛性可以通过其四个部分来评估，即其绝对值函数、相邻两个极差之和、偏导数的和以及傅里叶系数的和。
如果这几个部分都可以收敛，那么函数就是可积的，其傅里叶级数也是收敛的。
傅里叶级数收敛的一个重要性质是，如果$f(x)$是$L^2$函数，那么其傅里叶级数就一定收敛。
这是因为$L^2$函数的傅里叶系数是有界的，而且其级数收敛于$L^2$空间中的$f(x)$。
因此，$L^2$函数的傅里叶级数对于绝大多数函数而言都是收敛的。
三、傅里叶级数的计算方法在计算傅里叶级数时，我们通常需要计算它的各个傅里叶系数。
这是一项相对简单但繁琐的工作，需要计算许多积分和三角函数。
下面介绍一些常见的计算方法：1.奇偶拓展法如果$f(x)$是一个偶函数，那么它可以表示为一个余弦级数，其$b_n$都为0。
数学公式知识：微积分中的Fourier级数展开及其应用
数学公式知识：微积分中的Fourier级数展开及其应用Fourier级数展开在微积分中是一个非常重要的概念，它可以通过将任何周期函数分解为无限个正弦或余弦函数之和，从而使得对周期函数的分析更加容易。
本文将介绍Fourier级数展开的原理、计算方法及其应用。
1. Fourier级数展开的原理Fourier级数展开的基本思想是将任何周期为T的函数f(x)表示为以下无限级数的形式：f(x) = a0 + ∑(an*cos(nωx) + bn*sin(nωx))其中ω=2π/T，而a0、an和bn均为待定系数。
在该级数中，a0是函数f(x)在一个周期内的平均值，an和bn分别表示正余弦函数的振幅。
为了得到a0、an和bn的具体值，我们需要利用如下公式：a0 = (1/T)*∫(0->T) f(x)dxan = (2/T)*∫(0->T) f(x)cos(nωx)dxbn = (2/T)*∫(0->T) f(x)sin(nωx)dx2. Fourier级数展开的计算方法对于一个给定的周期函数f(x)，我们可以通过计算其a0、an和bn来得到其Fourier级数展开式。
具体方法如下：（1）计算a0：根据上述公式，将f(x)在一个周期内的积分求出，并除以周期长度T即可得到a0的值。
（2）计算an和bn：同样根据上述公式，可以将f(x)乘以cos(nωx)和sin(nωx)分别后再在一个周期内积分，并除以周期长度T即可得到an和bn的值。
（3）代入Fourier级数展开式：将所求的a0、an和bn代入Fourier级数展开式中，即可得到f(x)的Fourier级数展开式。
需要注意的是，由于Fourier级数展开式是无限级数，因此可以用其前几项来逼近一个给定的周期函数f(x)，但要得到较为准确的结果，需要计算更多的项。
3. Fourier级数展开的应用Fourier级数展开在微积分中的应用非常广泛，以下简要介绍几个具体的应用：（1）信号处理：将一个信号用Fourier级数展开式表示后，可以根据需要选择一定的频率范围，从而实现信号的滤波、去噪等处理。
fourier函数 -回复
fourier函数-回复Fourier函数的基本原理和应用中括号内的内容为主题，我们将探讨Fourier函数，这是一种在信号处理、图像处理和数学分析中广泛应用的函数。
我们将逐步回答以下问题，帮助读者初步了解Fourier函数的基本原理和应用：1. Fourier函数的定义和特性Fourier函数是以法国数学家Jean-Baptiste Joseph Fourier的名字命名的，他发现了这个函数的奇妙特性。
在数学中，Fourier函数是指一组完备的正交函数集合。
对于一个连续函数f(t)，它可以通过Fourier变换分解为一系列正弦和余弦函数的叠加形式，即：f(t) = ∑(A_n * cos(nωt) + B_n * sin(nωt))其中，A_n和B_n是系数，n是正整数，ω是角频率。
这个分解过程被称为Fourier级数展开。
2. Fourier级数展开的原理和推导过程Fourier级数展开的原理是基于奇函数和偶函数的性质。
任何连续函数f(t)都可以表示为奇函数和偶函数的和：f(t) = f_odd(t) + f_even(t)其中，f_odd(t)是f(t)的奇部分，此部分满足f_odd(-t) = -f_odd(t)；f_even(t)是f(t)的偶部分，此部分满足f_even(-t) = f_even(t)。
通过数学推导，我们可以得到奇函数和偶函数的Fourier级数展开：f_odd(t) = ∑(B_n * sin(nωt))f_even(t) = ∑(A_n * cos(nωt))将奇函数和偶函数的展开式相加，即可得到原函数f(t)的Fourier级数展开。
3. Fourier函数的应用Fourier函数在信号处理、图像处理和数学分析等领域有广泛的应用，下面我们介绍一些常见的应用场景：- 信号分析：通过Fourier变换，可以将时域上的信号转换为频域上的频谱，从而更好地分析信号的频率特性。