收敛定理的证明
则
ai2 ( r , r ) r 2
i
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(1) 将此结论推广到 n 维空间, 即为
若
r
a1e1
a2e2
anen
,
ei (0,,1,) ,
则
ai2 ( r , r ) r 2
i
对于无穷维空间向量表示的傅里叶级数
2
t dt
2
0
2sin t
2
2n 1
+
f (x 0) 1
sin
0
f (x t)
t 2 dt ,
2
2 sin t
2
于是把问题归结为证明
lim
n
2n 1
f (x 0) 1
sin
f (x t)
2
t dt
2
0
2 sin t
0
2
和
lim
n
f (x 0) 1
0
sin 2n 1 t
1
方法是把该极限表达式化为积分, 利用 Riemann—Lebesgue 定理证明相应积分 的极限为零.
1 写出 Sn (x)
a0 2
n
ak cos kx bk sin kx
k 1
的简缩形式.
S n
(
x)
1
sin 2n 1t
f (x t)
2 dt .
2sin t
2
称这一简缩形式为 Sn (x) 的积分形式, 或称为 Dirichlet 积分;
为
2n 1
lim
n
1
0
sin
f (x 0) f (x t)
2
2sin t
t dt .
2
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2. 把上式化为应用 Riemann — Lebesgue 定理的形式, 即令
t
(t)
f (x t) t
f (x 0) 2 sin t
,
2
t (0 , ] ,
则
lim
lim f (x) sin( n 1 )xdx 0 ,
n 0
2
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lim 0 f (x) sin( n 1 )xdx 0 .
n
2
预备定理 2 若 f (x) 是以2 为周期的周期函数, 且在区间[ , ] 上可积,
则函数 f (x) 的 Fourier 级数部分和Sn (x) 有积分表示式
1
sin 2n 1 t
f (x 0) f (x t)
2 dt
n
0
2 sin t
2
lim 1 (t) sin n 1 tdt .
n0
0
2
为使最后这一极限等于零, 由 Riemann — Lebesgue 定理, 只要函数(t) 在
区间[ 0 , ] 上可积. 因此希望 (0 0) 存在. 由函数 f 在区间[ , ] 上按段光
§3 收敛定理的证明
Dini 定理 设以 2 为周期的函数 f 在区间[ , ] 上按段光滑, 则在每 一点 x [ , ] , f 的 Fourier 级数收敛于 f 在点 x 的左、右极限的算术
平均值, 即
f (x 0) f (x 0) a0
2
2
an cos nx bn sin nx
1 2
cos
cos 2
cos n
sin 2n 1 2
2sin
,
2
2n 1
1
sin
2
t dt
0 sin t
2
2n 1
1
sin
2
t dt
2 sin t
2
＝ 1
1 cos cos 2 cos n dt 1
2
.
Dini 定理的证明:
三维空间中
r a1i a2 j a3k
f (x t)
2 dt
2 sin t
2
2n 1lim1Fra biblioteksin
f (x 0) f (x t)
2
t dt .
n
0
2 sin t
2
2.利用所谓 Riemann — Lebesgue 定理证明上述极限为零. 为此, 先证明
Bessel 不等式, 再建立 Riemann — Lebesgue 定理, 然后把以上最后的式子化
2
积分,即把 f (x 0) 表示为 Dirichlet 积分
2
f (x 0)
1
sin 2n 1t
f (x 0)
2 dt .
2
0
2sin t
2
f (x 0) 2
表示为
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于是又把上述 1 中所指的第一式左端化为
lim
n
f (x 0) 2
1
0
sin 2n 1 t
2n 1
S n
(x)
1
sin
f (x t)
2
2sin t
t dt .
2
当t 0 时, 被积函数中的不定式由极限
来确定.
lim
sin( n
1 )t 2
n
1
t0 2 sin t
2
2
2n 1
Dirichlet 积分:
1
sin
2
0 sin t
t dt 1 .
2
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证 由三角公式
滑, 可以验证 (0 0) 存在.
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预备定理及其推论: 为实施以上证明方案, 我们先建立以下预备定理和 其推论.
预备定理 1 ( Bessel 不等式) 若函数 f 在区间[ , ] 上可积, 则有
Bessel 不等式
a02
2
(
a
2 n
n 1
bn2
)
1
f 2 (x)dx
2 利用上面表示式,
f (x 0) 2
f (x 0)
Sn (x)
可化为
f (x 0) f (x 0)
2
Sn (x)
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2
2n 1
f (x 0) f (x 0) 1
sin f (x t)
t 2 dt
2
2sin t
2
2n 1
f (x 0) 1
sin
f (x t)
,
其中an 和bn 为函数 f 的 Fourier 系数.
推论 1 ( Riemann— Lebesgue 定理 ) 若函数 f 在区间[ , ] 上可积, 则
有
lim f (x) cos nxdx 0
n
,
lim f (x) sin nxdx 0
n
.
推论 若函数 f 在区间[ , ] 上可积, 则有
f (x t)
2 dt
0
2
2 sin t
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2
3
这两式的证明是相同的, 只证第一式.
1. 为证上述第一式, 先利用三角公式
1 2
cos
cos
2
cos
n
sin 2n 1 2
2sin
2
2n 1
建立所谓
Dirichlet
积分
1
sin
2
0 sin t
t dt 1 , 利用该式把
n1
,
其中 an 和 bn 为 f 的 Fourier 系数.
证明思路:
设
f
(x) ～
a0 2
an
n1
cos nx
bn
sin nx .
对每个
x[ , ], 我
们要证明 Sn (x)
f (x 0) f (x 0) . 即证明 2
lim n
f
(x
0) 2
f
(x
0)
Sn
0.
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傅里叶级数收敛定理及其推论
傅里叶级数的形式为：$f(x) = a_0 + sum_{n=1}^{infty} (a_n cos(nx) + b_n sin(nx))$，其中 $a_0, a_n, b_n$ 是常数，取决于原始函数。
傅里叶级数可以用于分析物体的振动模式，通过分析振动信号的频率成分，可以推断物体的振动 性质。
热传导分析
在热传导分析中，傅里叶级数可以用于分析温度场的变化，通过分析温度信号的频率成分，可以 推断热传导的规律。
电磁场分析
在电磁场分析中，傅里叶级数可以用于分析电磁波的传播和散射，通过分析电磁波信号的频率成 分，可以推断电磁场的性质。
02
通过傅里叶级数，可以分析信号的频率成分、进行图像滤波 和增强等操作。
03
在物理学中，该定理用于研究波动方程、热传导方程等偏微 分方程的解的性质。
03 傅里叶级数的收敛性质
收敛速度的讨论
快速收敛
对于具有快速衰减的函数，傅里叶级数可能 以相对较快的速度收敛。
慢速收敛
对于具有振荡或缓慢衰减的函数，傅里叶级 数可能以较慢的速度收敛。
在信号处理中的应用
1 2
信号的频谱分析
傅里叶级数可以将一个复杂的信号分解为多个正 弦波和余弦波的组合，从而分析信号的频率成分 和强度。
信号滤波
通过傅里叶级数，可以将信号中的特定频率成分 进行增强或抑制，实现信号的滤波。
3
信号压缩
傅里叶级数可以用于信号压缩，通过对信号进行 频域变换，去除冗余信息，实现信号的压缩。
傅里叶变换的推论
傅里叶变换的线性
性质
若 $f(t)$ 和 $g(t)$ 是两个函数， 且 $a, b$ 是常数，则有 $a f(t) + b g(t) rightarrow a F(omega) + b G(omega)$。
§3收敛定理的证明
§3 收敛定理的证明(一) 教学目的：了解收敛定理的证明．(二) 教学内容：贝塞尔不等式，黎曼-勒贝格定理； 收敛定理的证明．(1) 基本要求：掌握贝塞尔不等式，黎曼-勒贝格定理；了解收敛定理的证明要点． (2) 较高要求：理解收敛定理的证明． (三) 教学建议：(1) 要求学生必须掌握贝塞尔不等式和黎曼-勒贝格定理，了解收敛定理的证明要点． (2) 对较好学生布置与收敛定理的证明有关的习题． ——————————————————————————Dini 定理 设以π 2为周期的函数f 在区间] , [ππ-上按段光滑, 则在每一点∈x ] , [ππ-, f 的Fourier 级数收敛于f 在点x 的左、右极限的算术平均值, 即nx b nx a a x f x f n n n sin cos 22)0()0(1++=-++∑∞= , 其中n a 和n b 为f 的Fourier 系数.证明思路: 设)(x f ～∑∞=++1. sin cos 2n n n nx b nx a a 对每个∈x ] , [ππ-, 我们 要证明)(→x S n 2)0()0(-++x f x f . 即证明0 2)0()0(lim =⎪⎭⎫⎝⎛--++∞→n n S x f x f .方法是把该极限表达式化为积分, 利用Riemann —Lebesgue 定理证明相应积分的极限为零.1 写出)(x S n =∑=++nk k k kx b kx a a 1sin cos 2的简缩形式. ⎰-++=πππdt t t n t x f x S n 2sin2212sin)(1)(. 称这一简缩形式为)(x S n 的积分形式, 或称为Dirichlet 积分,2 利用该表示式, 式2)0()0(-++x f x f )(x S n -可化为2)0()0(-++x f x f )(x S n -=2)0()0(-++x f x f ⎰-++-πππdt t t n t x f 2sin2212sin)(1 =2)0(+x f ⎰++-ππ02sin2212sin)(1dt t t n t x f +2)0(-x f ⎰-++-02sin2212sin)(1ππdt t t n t x f , 于是把问题归结为证明[∞→n lim 2)0(+x f ⎰++-ππ02sin2212sin)(1dt t t n t x f ]0=,[∞→n lim 2)0(-x f ⎰-++-02sin2212sin)(1ππdt t t n t x f ]0=.这两式的证明是相同的, 只证第一式. 1为证上述第一式, 先利用三角公式2sin2212sincos 2cos cos 21ϕϕϕϕϕ+=++++n n 建立所谓Dirichlet 积分⎰=+ππ12sin 212sin 1dt t tn , 利用该式把2)0(+x f 表示为积分,即把 2)0(+x f 表示为Dirichlet 积分2)0(+x f =⎰++ππ02sin2212sin)0(1dt t t n x f . 于是又把上述1中所指的第一式左端化为[∞→n lim 2)0(+x f ⎰++-ππ02sin2212sin)(1dt t t n t x f ]=∞→=n lim[]⎰++-+ππ2sin2212sin)()0(1dt t t n t x f x f . 2 利用所谓Riemann — Lebesgue 定理证明上述极限为零. 为此 , 先证明Bessel 不等式, 再建立Riemann — Lebesgue 定理, 然后把以上最后的式子化为∞→n lim[]⎰++-+ππ2sin2212sin)()0(1dt t t n t x f x f . 3 把上式化为应用Riemann — Lebesgue 定理的形式, 即令] , 0( , 2sin2)0()()(πϕ∈⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-+-=t t tt x f t x f t , 则 ∞→n lim[]⎰++-+ππ2sin2212sin)()0(1dt t t n t x f x f ⎰⎪⎭⎫ ⎝⎛+=→πϕπ0021sin )(1limtdt n t n .为使最后这一极限等于零, 由Riemann — Lebesgue 定理, 只要函数)(t ϕ在区间] , 0 [π上可积. 因此希望)00(+ϕ存在. 由函数f 在区间] , [ππ-上按段光滑, 可以验证)00(+ϕ存在.预备定理及其推论: 为实施以上证明方案, 我们先建立以下预备定理和其推论. 预备定理1 ( Bessel 不等式) 若函数f 在区间] , [ππ-上可积, 则有Bessel 不等式∑⎰∞=-≤++122220)(1) ( 2n n n dx x f b a a πππ,其中n a 和n b 为函数f 的Fourier 系数.推论1 ( Riemann — Lebesgue 定理 ) 若函数f 在区间] , [ππ-上可积, 则有 ⎰-∞→=ππ0cos )(lim nxdx x f n , ⎰-∞→=ππ0sin )(limnxdx x f n .推论2 若函数f 在区间] , [ππ-上可积, 则有 ⎰=+∞→π0)21sin()(limxdx n x f n ,⎰-∞→=+00)21sin()(limπxdx n x f n .预备定理2 若)(x f 是以π 2为周期的周期函数, 且在区间] , [ππ-上可积, 则函数)(x f 的Fourier 级数部分和)(x S n 有积分表示式⎰-++=πππdt t t n t x f x S n 2sin2212sin)(1)(. 当0=t 时, 被积函数中的不定式由极限212sin2)21sin(lim0+=+→n t tn t 来确定.Dirichlet 积分:⎰=+ππ12sin 212sin 1dt t t n . 证 由三角公式2sin2212sincos 2cos cos 21ϕϕϕϕϕ+=++++n n⇒⎰=+ππ2sin 212sin 1dt t t n ⎰-=+πππdt t tn 2sin2212sin 1 (ϕϕϕπππn cos 2cos cos 211++++=⎰- )dt 1=.三维空间中 k a j a i a r 321++=则∑=≤iir r r a22),( (1)将此结论推广到 n 维空间, 即为若 ),1,,0(,2211=+++=i n n e e a e a e a r ,则22),(r r r aii=≤∑对于无穷维空间向量表示的傅里叶级数∑∞=++=10)sin cos (2)(n n n nx b nx a a x f 自然应有 ⎰∑-=≤++πππdx x f f f b a a nn n )(1),()(222220这就是有名的Bessel 不等式, 其证明和三维空间中 (1) 式的证明思路完全一样, 都是利用坐标系的正交性.1. Parseval 等式 ( 或称Ляпинов等式 ) 设可积函数)(x f 的Fourie 级 数在区间] , [ππ-上一致收敛于)(x f , 则成立Parseval 等式⎰-=πππdx x f )(12∑∞=++12220 ) ( 2n n n b a a . 证法一 注意到此时函数)(x f 在区间] , [ππ-可积 , 由Bessel 不等式, 有⎰-≥πππdx x f )(12∑∞=++12220 ) ( 2n n nb a a . 现证对0 >∀ε, 有)(12⎰-≤-ππεπdx x f ∑∞=++12220 ) ( 2n n n b a a . 事实上, 令)(x S n =∑=++nk k k kx b kx a a 1, )sin cos (2由)(x S n 一致收敛于)(x f , 对N n N , , 0 ≥∃>∀ε对x ∀∈] , [ππ-, 有 2|)()(|ε<-x S x f n , 因此 ,[]⎰⎰⎰∑---=+--=-≥ππππππππεnk k k n b a a dx x f dx x S x f dx 122222)(2)()()( 2.即当N n ≥时有)(12⎰-≤-ππεπdx x f ∑=++nk k k b a a 12220)(2. 令∞→n , ⇒)(12⎰-≤-ππεπdx x f ∑∞=++12220 ) ( 2n n n b a a . 由0 >ε的任意性, 有 )(12⎰-≤πππdx x f ∑∞=++12220 ) ( 2n n n b a a . 综上即得所证 .证法二 由)(x S n 一致收敛于)(x f , ⇒ 0|)()(|sup lim ],[=--∞→x S x f n n ππ.而()⎰⎰∑--=⎥⎦⎤⎢⎣⎡++-=-ππππππnk k k nb a a dx x f dx x S x f 1222022)(2)(1)()(1.因此, ⎰--≤πππdx x f )(102⎥⎦⎤⎢⎣⎡++∑=nk k kb a a 12220)(2≤()⎰--πππ2|)()(|sup 1x S x f n ()) ( , 0|)()(|sup 22∞→→-=n x S x f n .由两边夹原则, 即得所证等式 .证法三 利用内积的连续性( 可参阅一般泛函书 ) , 有⎰-><=ππππ)( , )(1)(12x f x f dx x f=><∞→∞→)(lim , )(lim 1x S x S n n n n π=⎰-∞→∞→==><=ππππdx x Sx S x S nn n n n )(1lim)( , )( lim 12=∞→n lim ⎥⎦⎤⎢⎣⎡++∑=nk k k b a a 12220)(2= ∑∞=++12220 ) ( 2n n n b a a . Parseval 等式的意义：设在幺正系} , sin , cos , , sin , cos, 21{ πππππnxnx x x *)下函数)(x f 的Fourier 系数为n A 和n B ，可见⎰-==ππππdx x f x f A )(21)21, )((02 )(122022a dx x f A πππππ=⎪⎭⎫⎝⎛=⎰-；⎰-===πππππn n a nxdx x f nxx f A cos )(1)cos, )((22 n n a A π=；同理有 22 n n b B π=; 其中n a 和n b 为函数)(x f 的通常Fourier 系数.于是 ,Parseval 等式即成为()⎰∑∑-∞=∞=++=++=πππππ11222022202) (2)(n n n n nnB A A b a a dx x f.注意到⎰-=><=ππ22)( )( , )( )(x f x f x f dx x f , 就有()∑∞=++=12222)(n n n B A A x f ,这是勾股定理的推广, 可称Parseval 等式是无穷维空间中的勾股定理.Fourier 级数与三角级数: Fourier 级数与三角级数的区别：Fourier 级数是三角级数，但收敛的三角级数却未必是某个可积函数的Fourier 级数.一个三角级数是Fourier 级数( 即是某个可积函数的Fourier 级数 ) 的必要条件为:若三角级数 nx b nx a a n n n sin cos 210++∑∞=为Fourier 级数, 则数项级数∑∞=1n n nb收敛.( 参阅复旦大学编《数学分析》下册P116—117 ). 比如正弦级数∑∞=2ln sin n n nx是收敛的三角级数(利用Dirichlet 判别法), 由级数∑∞=2ln 1n n n 发散, 正弦级数∑∞=2ln sin n n nx不是Fourier 级数.例 证明: 当210≤<α时, 三角级数∑∞=1sin n n nx α在R 内收敛, 但其和函数)(x f 在区间] , [ππ-上不是( R )可积的 .证 由Dirichlet 判别法, 可得该级数在) , (∞+∞-内收敛. 反设和函数)(x f 在区间在] , [ππ-上( R )可积, 则该三角级数是函数)(x f 的Fourier 级数 . 由于)(2x f 也在] , [ππ-上( R )可积 , 则有Bessel 不等式⎰∑-∞=≤ππαπdx x f nn )(1 1212.即有上式左端的正项级数收敛 . 但由∑∞=⇒≤<121, 120n nαα+∞=, 矛盾. 可见, 函数)(x f 在区间在] , [ππ-上不是( R )可积的 . 因此, 本例中的三角级数不是Fourier 级数.一个三角级数是否为Fourier 级数, 与所用积分有关. 在某种积分意义下不是Fourier 级数, 或许在另一种积分意义下是Fourier 级数. 近代或现代有些积分的建立, 其动因就是为了使某些三角级数在该积分意义下成为Fourier 级数. 最新的一个研究结果是: 在所谓SCP 积分( Symmetric Cesaro Perron 积分 ) 意义下, 上例中的三角级数是Fourier 级数.利用傅里叶级数的一致收敛性定理, 我们很容易导出有广泛应用 维尔斯特拉斯逼近定理 定理 ( 维尔斯特拉斯逼近定理) 若函数)(x f 在闭区间 ],[b a 上连续, 则对任意给定的0>ε,存在多项式)(x P n 对一切 ],[b a x ∈, 成立ε<-|)()(|x P x f n傅里叶 ( J.B.J.Fourier 1768.3.21-1830.3.16)法国数学家，出生在一个裁缝家庭，家境贫寒，八岁时成为孤儿，由于才华出众，1790年成为巴黎工科大学教授。
收敛定理的证明
§3 收敛定理的证明(一) 教学目的：了解收敛定理的证明．(二) 教学内容：贝塞尔不等式，黎曼-勒贝格定理； 收敛定理的证明．(1) 基本要求：掌握贝塞尔不等式，黎曼-勒贝格定理；了解收敛定理的证明要点． (2) 较高要求：理解收敛定理的证明． (三) 教学建议：(1) 要求学生必须掌握贝塞尔不等式和黎曼-勒贝格定理，了解收敛定理的证明要点． (2) 对较好学生布置与收敛定理的证明有关的习题．——————————————————————————Dini 定理 设以π 2为周期的函数f 在区间] , [ππ-上按段光滑, 则在每一点∈x ] , [ππ-, f 的Fourier 级数收敛于f 在点x 的左、右极限的算术平均值, 即nx b nx a a x f x f n n n sin cos 22)0()0(10++=-++∑∞= ,其中n a 和n b 为f 的Fourier 系数.证明思路: 设)(x f ～∑∞=++10 . sin cos 2n n nnx b nx aa 对每个∈x ] , [ππ-, 我们要证明)(→x S n 2)0()0(-++x f x f . 即证明0 2)0()0(lim =⎪⎭⎫⎝⎛--++∞→n n S x f x f .方法是把该极限表达式化为积分, 利用Riemann —Lebesgue 定理证明相应积分的极限为零.1 写出)(x S n =∑=++nk k kkx b kx aa 10 sin cos 2的简缩形式.⎰-++=πππdt t t n t x f x S n 2sin2212sin)(1)(.称这一简缩形式为)(x S n 的积分形式, 或称为Dirichlet 积分,2 利用该表示式, 式2)0()0(-++x f x f )(x S n -可化为2)0()0(-++x f x f )(x S n -=2)0()0(-++x f x f ⎰-++-πππdt t t n t x f 2sin2212sin)(1=2)0(+x f ⎰++-ππ2sin2212sin)(1dt t t n t x f+2)0(-x f ⎰-++-2sin2212sin)(1ππdt t tn t x f ,于是把问题归结为证明[∞→n lim2)0(+x f ⎰++-ππ2sin2212sin)(1dtt t n t x f ]0=,[∞→n lim2)0(-x f ⎰-++-2sin2212sin)(1ππdtt t n t x f ]0=.这两式的证明是相同的, 只证第一式. 1为证上述第一式, 先利用三角公式2sin2212sincos 2cos cos 21ϕϕϕϕϕ+=++++n n建立所谓Dirichlet 积分⎰=+ππ12sin212sin1dt t tn , 利用该式把2)0(+x f 表示为积分,即把2)0(+x f 表示为Dirichlet 积分2)0(+x f =⎰++ππ2sin2212sin)0(1dt t t n x f .于是又把上述1中所指的第一式左端化为[∞→n lim2)0(+x f ⎰++-ππ2sin2212sin)(1dtt t n t x f ]=∞→=n lim[]⎰++-+ππ2sin2212sin)()0(1dt t t n t x f x f .2 利用所谓Riemann — Lebesgue 定理证明上述极限为零. 为此 , 先证明Bessel 不等式, 再建立Riemann — Lebesgue 定理, 然后把以上最后的式子化为∞→n lim[]⎰++-+ππ2sin2212sin)()0(1dt t t n t x f x f .3 把上式化为应用Riemann — Lebesgue 定理的形式, 即令] , 0( , 2sin2)0()()(πϕ∈⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-+-=t t tt x f t x f t , 则 ∞→n lim[]⎰++-+ππ2sin2212sin)()0(1dt t t n t x f x f⎰⎪⎭⎫⎝⎛+=→πϕπ21sin )(1limtdt n t n . 为使最后这一极限等于零, 由Riemann — Lebesgue 定理, 只要函数)(t ϕ在区间] , 0 [π上可积. 因此希望)00(+ϕ存在. 由函数f 在区间] , [ππ-上按段光滑, 可以验证)00(+ϕ存在.预备定理及其推论: 为实施以上证明方案, 我们先建立以下预备定理和其推论. 预备定理1 ( Bessel 不等式) 若函数f 在区间] , [ππ-上可积, 则有Bessel 不等式∑⎰∞=-≤++122220)(1) ( 2n n n dx x f b a a πππ,其中n a 和n b 为函数f 的Fourier 系数.推论1 ( Riemann — Lebesgue 定理 ) 若函数f 在区间] , [ππ-上可积, 则有 ⎰-∞→=ππ0cos )(lim nxdx x f n , ⎰-∞→=ππ0sin )(limnxdx x f n .推论2 若函数f 在区间] , [ππ-上可积, 则有 ⎰=+∞→π0)21sin()(limxdx n x f n ,⎰-∞→=+0)21sin()(limπxdx n x f n .预备定理2 若)(x f 是以π 2为周期的周期函数, 且在区间] , [ππ-上可积, 则函数)(x f 的Fourier 级数部分和)(x S n 有积分表示式⎰-++=πππdt t t n t x f x S n 2sin2212sin)(1)(.当0=t 时, 被积函数中的不定式由极限212sin2)21sin(lim 0+=+→n t t n t来确定.Dirichlet 积分:⎰=+ππ12sin212sin1dt t tn .证 由三角公式2sin2212sincos 2cos cos 21ϕϕϕϕϕ+=++++n n⇒⎰=+ππ2sin212sin1dt t t n ⎰-=+πππdt t t n 2sin2212sin1(ϕϕϕπππn cos 2cos cos 211++++=⎰- )dt1=.三维空间中 k a j a i a r 321++=则∑=≤ii r r r a 22),( (1)将此结论推广到 n 维空间, 即为若 ),1,,0(,2211=+++=i n n e e a e a e a r ,则 22),(r r r a ii =≤∑对于无穷维空间向量表示的傅里叶级数∑∞=++=10)sin cos (2)(n n nnx b nx aa x f自然应有 ⎰∑-=≤++πππdx x f f f b aa nnn)(1),()(22222这就是有名的Bessel 不等式, 其证明和三维空间中 (1) 式的证明思路完全一样, 都是利用坐标系的正交性.1. Parseval 等式 ( 或称Ляпинов等式 ) 设可积函数)(x f 的Fourie 级 数在区间] , [ππ-上一致收敛于)(x f , 则成立Parseval 等式⎰-=πππdx x f )(12∑∞=++12220 ) ( 2n n n b a a .证法一 注意到此时函数)(x f 在区间] , [ππ-可积 , 由Bessel 不等式, 有⎰-≥πππdx x f )(12∑∞=++12220 ) ( 2n n n b a a .现证对0 >∀ε, 有)(12⎰-≤-ππεπdx x f ∑∞=++12220 ) ( 2n n n b a a .事实上, 令)(x S n =∑=++nk k kkx b kx aa 10 , )sin cos (2由)(x S n 一致收敛于)(x f ,对N n N , , 0 ≥∃>∀ε对x ∀∈] , [ππ-, 有 2|)()(|ε<-x S x f n , 因此 ,[]⎰⎰⎰∑---=+--=-≥ππππππππεnk k k n b a a dx x f dx x S x f dx 122222)(2)()()( 2.即当N n ≥时有)(12⎰-≤-ππεπdx x f ∑=++nk k kb aa 12220)(2.令∞→n , ⇒)(12⎰-≤-ππεπdx x f ∑∞=++12220 ) ( 2n n n b a a . 由0 >ε的任意性, 有)(12⎰-≤πππdx x f ∑∞=++12220 ) ( 2n n n b a a .综上即得所证 .证法二 由)(x S n 一致收敛于)(x f , ⇒ 0|)()(|sup lim ],[=--∞→x S x f n n ππ.而()⎰⎰∑--=⎥⎦⎤⎢⎣⎡++-=-ππππππnk k k n b a a dx x f dx x S x f 1222022)(2)(1)()(1. 因此, ⎰--≤πππdx x f )(102⎥⎦⎤⎢⎣⎡++∑=nk k k b a a 1222)(2≤()⎰--πππ2|)()(|sup1x S x f n()) ( , 0|)()(|sup 22∞→→-=n x S x f n . 由两边夹原则, 即得所证等式 .证法三 利用内积的连续性( 可参阅一般泛函书 ) , 有⎰-><=ππππ)( , )(1)(12x f x f dx x f=><∞→∞→)(lim , )(lim 1x S x S n n n n π=⎰-∞→∞→==><=ππππdx x Sx S x S nn n n n )(1lim)( , )( lim 12=∞→n lim ⎥⎦⎤⎢⎣⎡++∑=nk kk b a a 12220)(2= ∑∞=++12220 ) ( 2n n n b a a . Parseval 等式的意义：设在幺正系}, sin , cos , , sin , cos, 21{ πππππnxnx x x *)下函数)(x f 的Fourier 系数为n A 和n B ，可见⎰-==ππππdx x f x f A )(21)21, )((02 )(1220220a dx x f A πππππ=⎪⎭⎫⎝⎛=⎰-； ⎰-===πππππn n a nxdx x f nxx f A cos )(1)cos, )((22 n n a A π=；同理有 22 n n b B π=; 其中n a 和n b 为函数)(x f 的通常Fourier 系数.于是 ,Parseval 等式即成为()⎰∑∑-∞=∞=++=++=πππππ1122202222) (2)(n n n n nnB A A b aa dx x f .注意到⎰-=><=ππ22)( )( , )( )(x f x f x f dx x f , 就有()∑∞=++=122202)(n n n B AA x f ,这是勾股定理的推广, 可称Parseval 等式是无穷维空间中的勾股定理.Fourier 级数与三角级数: Fourier 级数与三角级数的区别：Fourier 级数是三角级数，但收敛的三角级数却未必是某个可积函数的Fourier 级数.一个三角级数是Fourier 级数( 即是某个可积函数的Fourier 级数 ) 的必要条件为: 若三角级数nx b nx a a n n n sin cos 210++∑∞=为Fourier 级数, 则数项级数∑∞=1n n nb 收敛.( 参阅复旦大学编《数学分析》下册P116—117 ). 比如正弦级数∑∞=2ln sin n nnx 是收敛的三角级数(利用Dirichlet 判别法), 由级数∑∞=2ln 1n nn 发散, 正弦级数∑∞=2ln sin n nnx 不是Fourier 级数.例 证明: 当210≤<α时, 三角级数∑∞=1sin n nnx α在R 内收敛, 但其和函数)(x f 在区间] , [ππ-上不是( R )可积的 .证 由Dirichlet 判别法, 可得该级数在) , (∞+∞-内收敛. 反设和函数)(x f 在区间在] , [ππ-上( R )可积, 则该三角级数是函数)(x f 的Fourier 级数 . 由于)(2x f 也在] , [ππ-上( R )可积 , 则有Bessel 不等式⎰∑-∞=≤ππαπdx x f nn )(11212.即有上式左端的正项级数收敛 . 但由∑∞=⇒≤<121 , 120n nαα+∞=, 矛盾. 可见, 函数)(x f 在区间在] , [ππ-上不是( R )可积的 . 因此, 本例中的三角级数不是Fourier 级数.一个三角级数是否为Fourier 级数, 与所用积分有关. 在某种积分意义下不是Fourier 级数, 或许在另一种积分意义下是Fourier 级数. 近代或现代有些积分的建立, 其动因就是为了使某些三角级数在该积分意义下成为Fourier 级数. 最新的一个研究结果是: 在所谓SCP 积分( Symmetric Cesaro Perron 积分 ) 意义下, 上例中的三角级数是Fourier 级数.利用傅里叶级数的一致收敛性定理, 我们很容易导出有广泛应用 维尔斯特拉斯逼近定理 定理 ( 维尔斯特拉斯逼近定理) 若函数)(x f 在闭区间 ],[b a 上连续, 则对任意给定的0>ε,存在多项式)(x P n 对一切 ],[b a x ∈, 成立ε<-|)()(|x P x f n傅里叶 ( J.B.J.Fourier 1768.3.21-1830.3.16)法国数学家，出生在一个裁缝家庭，家境贫寒，八岁时成为孤儿，由于才华出众，1790年成为巴黎工科大学教授。
单调有界收敛定理
单调性
序列中的元素按照某种顺序排列，即对于 任意两个元素，要么前者大于后者，要么 前者小于后者。
定理的证明
定理的证明
证明过程 首先，假设序列不收敛。
如果序列是无界的，那么它不满足有界性。
主题的重要性
单调有界收敛定理是数学分析中的一个基础定理，它为研 究数列的收敛性提供了重要的理论依据。
单调有界收敛定理在解决一些数学问题中具有广泛的应用， 例如在求解极限、积分和级数等数学问题中，单调有界收 敛定理常常作为重要的工具。
单调有界收敛定理也是数学分析中其他一些重要定理的基 石，例如极限的运算法则和微积分学基本定理等。
单调有界收敛定 理
目录
• 引言 • 单调有界收敛定理的概述 • 单调有界收敛定理的证明 • 单调有界收敛定理的应用实例 • 结论
01
引言
主题简介
单调有界收敛定理是数学分析中的一 个基本定理，它主要涉及到数列的单 调性和有界性与其收敛性的关系。
单调有界收敛定理指出，如果一个数 列是单调递增且上界有界，或者单调 递减且下界有界，那么这个数列必定 收敛。
04
单调有界收敛定理的应用 实例
应用实例一
序列求和
单调有界收敛定理可以应用于求和序列的收 敛性判断。如果一个数列是单调递增且有上 界，那么该数列收敛。
积分计算
在积分计算中，单调有界收敛定理可以用于 确定积分的存在性和计算方法。例如，在计 算定积分时，如果被积函数在积分区间上单 调有界，则该定积分存在。
应用实二
级数求和
单调有界收敛定理可以应用于级数求和的问题。如果一个级数是单调递减且有下界，那 么该级数收敛。
dvoretzky’s 收敛定理
Dvoretzky’s 收敛定理一、概述Dvoretzky’s 收敛定理是概率论中的一个重要定理，它描述了随机变量序列的收敛性质，对于理解随机序列的极限行为具有重要意义。
本文将对Dvoretzky’s 收敛定理进行深入剖析，旨在帮助读者全面了解该定理的内容、证明过程和应用领域。
二、Dvoretzky’s 收敛定理的表述Dvoretzky’s 收敛定理描述了随机变量序列的收敛性质，在正式表述如下：对于一个随机变量序列X1, X2, …, Xn，在满足一定条件下，这个序列可以在概率意义下收敛于一个常数或者一个随机变量。
具体而言，若满足以下条件：1. 随机变量序列的方差有界：存在一个正数C，使得对于所有的n，有Var(Xn) <= C。
2. 随机变量序列的"距离"有限：对于任意的i≠j，有E|Xi - Xj| <=d(i,j)，其中d(i,j)是一个随机变量序列的"距离"函数。
那么，这个随机变量序列在概率意义下收敛于一个常数或者一个随机变量。
三、Dvoretzky’s 收敛定理的证明Dvoretzky’s 收敛定理的证明是通过利用概率论和数学分析的方法来完成的。
主要思路是采用刻画随机变量序列的距离函数，配合方差有界的条件，最终利用概率的收敛性质来推断序列的收敛性。
具体证明过程如下：1. 定义随机变量序列的距离函数d(i,j)，并使得该距离函数满足E|Xi - Xj| <= d(i,j)。
2. 利用方差有界的条件，推导出随机变量序列的均值序列收敛到一个常数。
3. 利用概率的性质，证明了随机变量序列在概率意义下的收敛性。
四、Dvoretzky’s 收敛定理的应用Dvoretzky’s 收敛定理在概率论和统计学中有着广泛的应用。
主要体现在以下几个方面：1. 随机变量序列的收敛性分析：Dvoretzky’s 收敛定理可以用来分析随机变量序列的收敛性，对于理解随机序列的极限行为具有重要意义。
第12章第1节收敛定理
六、 收敛定理的证明
4.利普希茨定理(判别法): (迪尼定理的推论)
若f（x）在x点连续，且对充分小的 u 0满足L 条件
f ( x u) f ( x) Lu (0 u h)
其中L 0， 0且 1, 则f（x）的傅立叶级数在 x收敛于f（x） .
更一般地，若对于充分 小的u 0满足L 条件
※
11
六、 收敛定理的证明
由以上说明可知，若两 个函数f（x）、g（x）在x点某邻域 取值相同，则无论在其 他点数值如何，它们的 傅立叶级数 在该点的敛散性相同 .
傅氏系数以 0为极限.即 (2)性质: 可积与绝对可积函数的
lim a
n
n
n
lim
n
n
1
f (t ) cos ntdt 0,
limb lim f (t )sin ntdt 0,
n
1
(3)性质: 为得到收敛的充分条件,应用黎曼引理可以 进一步改变要讨论的积分,即证明n→∞时,下 面两个积分有相同的收敛性.
2015年8月31日星期一 12
六、 收敛定理的证明
并类似于性质1 的讨论推知把傅立叶级数收敛问题转化为
2n 1 1 sin ,当sin 0时，有 cos cos n 2 2 2
2 2
2015年8月31日星期一
2n 1 sin 2 , 2 sin 2
5
六、 收敛定理的证明
当 0时，把右边理解为 0时的极限值， 等式也成立 .再把它用到Sn [ f（x） ]表达式，得 2n 1 sin (t x) 1 2 S n [ f ( x)] f (t ) dt. tx 2 sin 2 经验证知，被积函数是 t的周期为 2的函数，
数学分析153傅里叶级数收敛定理的证明doc
数学分析15.3傅里叶级数收敛定理的证明.doc傅里叶级数收敛定理是数学分析中的重要定理之一，它可以用于研究周期函数的展开。
下面给出傅里叶级数收敛定理的证明。
设f(x)是一个周期为2π的函数，它在一个周期内可积，即∫[0,2π]|f(x)|dx < ∞。
我们要证明f(x)的傅里叶级数收敛于f(x)。
设f(x)的傅里叶级数为：f(x) = a0 + ∑[n=1,∞] (an cos(nx) + bn sin(nx))其中a0, an, bn分别为f(x)的傅里叶系数。
我们要证明f(x)的傅里叶级数收敛于f(x)，即要证明对于任意的x，有f(x) = lim[N→∞] (a0 + ∑[n=1,N] (an cos(nx) + bn sin(nx)))为了证明这个结论，我们需要用到以下两个引理：引理1：若f(x)是一个周期为2π的函数，它在一个周期内可积，则对于任意的实数x和整数N，有∫[0,2π] f(x)sin(Nx)dx = bn其中bn为f(x)的傅里叶系数。
引理2：若f(x)是一个周期为2π的函数，它在一个周期内可积，则对于任意的实数x和整数N，有∫[0,2π] f(x)cos(Nx)dx = a0 + ∑[n=1,N] an其中a0, an为f(x)的傅里叶系数。
现在我们来证明傅里叶级数收敛定理。
首先，我们使用引理1和引理2，将f(x)的傅里叶级数展开，并对其进行部分和的计算：∫[0,2π] f(x)sin(Nx)dx = bn = ∫[0,2π] f(x)sin(Nx)dx = ∫[0,2π] (a0 + ∑[n=1,N] an)sin(Nx)dx根据正弦函数的正交性质，我们知道∫[0,2π] sin(Nx)sin(Mx)dx = 0，其中N≠M。
因此，上式中的交叉项∫[0,2π] ansin(Nx)sin(Mx)dx = 0。
所以，我们可以得到：∫[0,2π] f(x)sin(Nx)dx = ∫[0,2π] (a0 + ∑[n=1,N] an)sin(Nx)dx = ∫[0,2π] a0sin(Nx)dx + ∑[n=1,N] ∫[0,2π] ansin(Nx)dx同理，我们可以得到：∫[0,2π] f(x)cos(Nx)dx = a0 + ∑[n=1,N] an现在，我们来证明f(x) = lim[N→∞] (a0 + ∑[n=1,N] (an cos(nx) + bn sin(nx)))。
收敛定理的证明
若三角级数 Fourier 级数, 则数项级数
为
收敛.
比如正弦级数 法), 由级数
是收敛的三角级数(利用 Dirichlet 判别
发散, 正弦级数
不是 Fourier 级数.
法国数学家，出生在一种裁缝家庭，
家境贫寒，八岁时成为孤儿，因为才华
出众，1790年成为巴黎工科大学教授。 1798年参加拿破仑旳远征军，回国后当
.
现证对
,有
.
事实上, 令
由
一致收敛于 ,
对
对
,
有
, 因此 ,
即当
时有
令,
由 的任意性, 有
综上即得所证 .
.
.
.
Fourier级数与三角级数旳区别：Fourier级数 是三角级数，但收敛旳三角级数却未必是某个可积 函数旳Fourier级数.
一种三角级数是Fourier级数( 即是某个可积函数 旳Fourier级数 ) 旳必要条件为:
1 写出
的简缩形式.
称这一简缩形式为
Dirichlet 积分, 2 利用该表示式, 式
的积分形式, 或称为
可化为
+
于是把问题归结为证明
,
,
.
这两式旳证明是相同旳, 只证第一式. 3 为证上述第一式, 先利用三角公式
建立所谓Dirichlet积分
利用该式把
表示为积分,即把
为 Dirichlet 积分
表示
.
于是又把上述1中所指旳第一式左端化为
.
4 利用所谓Riemann — Lebesgue定理证明上 述极限为零. 为此 , 先证明Bessel不等式, 再建立 Riemann — Lebesgue定理, 然后把以上最终旳 式子化为
收敛性定理证明详解
收敛性定理引理1：迭代1(*)()(1())()()[]()t t t t t t Q x a x Q x a x P Q x +=-+。
假设*1()(1())()()[]()t t t t t Q x a x Q x a x P Q x +=-+ 产生的{()}t Q x 序列以概率1收敛到*Q 。
其中t P 为映射:Q Q t P →。
如果下面的条件满足：0<γ<1和序列{|0}t t λλ≥以概率1收敛到0。
若**t t t P Q P Q Q Q γλ-≤-+P P P P 对Q Q ∀∈成立，且()t a x 满足01t a ≤<(x)，0()ti a x ∞==∞∑，20()t i a x ∞=<∞∑，则迭代(*)产生的序列{()}t Q x 当t →∞时，以概率1收敛到*()Q x 。
定理1：贝尔曼方程虽然直接，但状态的数量通常会很巨大（随问题维度指数增加），所以迭代全空间来精确求解Bellman 方程是不可行的。
所以一般会采用近似的方法，采用Q Learning -算法去求解。
经典的Q Learning -方程： '1(,)(1)(,)[(,)max (,)]t t t t t a Q s a Q s a r s a Q s a ααγ+=-++产生的序列{(,)}t Q s a 收敛到*(,)Q s a 对s S ∀∈，a A ∀∈成立。
其中 '*''(,)(,)(|,)()s Q s a r s a p s s a V s γ=+∑证明：定义'(,)(,)max (,)]t t aPQ s a r s a Q s a γ=+。
有**max (,)(,)t s SPQ PQ PQ s a PQ s a ∈-≤-P P 。
其中P 是空间Q 到Q 的映射。
同理有**'(,)(,)max (,)aPQ s a r s a Q s a γ=+。
《数学分析》课件 12-4收敛定理的证明
傅里叶级数
(1).三角函数系
1正,co交s 性x,sin x,cos 2x,sin 2x,cos nx,sin nx,
任意两个不同函数在[, ]上的积分等于零.
cos nxdx 0,
sin nxdx 0,
(其中n 1,2,)
sin
mx
sin
nxdx
0, ,
mn mn
f
(x)
a0 2
n1
an
cos nx
(0 x )
(6) 周期为2l 的周期函数的傅氏展开式
设周期为2l的周期函数 f ( x)满足收敛定理 的条件,则它的傅里叶级数展开式为
f
(
x)
a0 2
n1
(an
cos
nx l
bn
sin
nx ), l
an
1 l
l l
f ( x)cos nxdx, l
(n 0,1,2,)
bn
1 l
l l
f ( x)sin nxdx, l
(n 1,2,)
例1 将 cos x 在 0 x 内展开成以 2 为周期
的正弦级数并在 2 x 2 写出该级数的和 函数，同时画出它的图形．
解 要将 f ( x) cos x 在 (0, )内展开成以2 为
周期的正弦级数cos x bn sin nx , 必须在(, )
n1
内对 cos x 进行奇开拓,
cos x x (0, ),
令
F
(
x)
0
x 0,
cos x x (,0),
an 0,
(n 0,1,2,)
bn
2
cos x sin nxdx