勒贝格控制收敛定理word精品
勒贝格控制收敛定理及其应用
勒贝格控制收敛定理及其应用
勒贝格控制收敛定理及其应用
刘皓春晓;
【期刊名称】《品牌：理论月刊》
【年(卷),期】2015(000)003
【摘要】讨论并证明了实变函数论中的一个重要定理勒贝格控制收敛定理,本定理体现了在勒贝格积分意义下积分与极限交换顺序的条件相对较弱,可以在判断函数连续、求积分极限方面有重大应用。
【总页数】1页(P.273-273)
【关键词】勒贝格控制收敛定理;函数连续;积分;极限
【作者】刘皓春晓;
【作者单位】山东大学(威海)数学与统计学院;
【正文语种】英文
【中图分类】O174.1
【相关文献】
1.勒贝格控制收敛定理及其应用 [J], 刘皓春晓
2.勒贝格控制收敛定理的应用 [J], 侯英
3.Lebesgue控制收敛定理及应用 [J], 刘晓辉; 康叔卫
4.小波级数的部分和在勒贝格点处的收敛性与收敛速度 [J], 赵书改
5.应用傅里叶级数展开定理证明推广的黎曼-勒贝格引理[J], 邢家省; 张愿章以上内容为文献基本信息，获取文献全文请下载。
第八讲 勒贝格积分的极限定理及应用
第8讲勒贝格控制收敛定理及应用一、勒贝格控制收敛定理问题 ()d ()d (lim l d im ).b b bk k a a a k k f x x f x x f x x →∞→∞==⎰⎰⎰ lim ()(),k k f x f x →∞=若能否推出极限运算与积分运算只有在很强的条件下(一致 收敛)才能交换二者次序——黎曼积分的局限性定理 (勒贝格控制收敛定理)1){(},n k k f x E ∞=⊆是上的可测函数列设若注 定理中控制函数的可积性是必不可少的.(2) ,, ()(),() a.e. ,()k k f x F x x E F x E ∈≤∈存在使得对任意的(),()(),k f x f x E ∈则且(1) lim ()(),a.e. .k k f x f x x E →∞=∈lim ()d ()d .k E E k f x x f x x →∞=⎰⎰[0,),E =+∞设考虑反例 函数序列[0,]1, [0,]()(),1,2,0, k k x k f x x k x kχ∈⎧===⎨>⎩{}()(),()1,a.e. ,k f x F x F x E ≥控制的函数必须{}()()1,k f x E f x ≡显然在上处处收敛于()F x E L 则在上不是可积的.()f x E L 在上也不可积的.k y x O推论1 (勒贝格有界收敛定理)注 推论1中的条件(3)不能缺少.0,(),a.e. ,(2) k M f x M x E >≤∈存在常数 控制函数的可积性 (3) ().m E <+∞ 1){(},n k k f x E ∞=⊆是上的可测函数列设若(1) lim ()(),a.e. .k k f x f x x E →∞=∈(),()(),k f x f x E ∈则且lim ()d ()d .k E E k f x x f x x →∞=⎰⎰推论2 (逐项积分)1()()(1,2,), ()d ,i i E i u x E i u x x ∞=∈=<+∞∑⎰ 且设有则1(1)();i i u x E ∞=∑ 在上几乎处 处收敛 (2)()(),f x E ∈其和函数且1()d .i i E u x x ∞==∑⎰1()()d d E E i i x u x f x x ∞=⎡⎤=⎢⎥⎣⎦⎰⎰∑例1 分析 [0,1],lim ()0,n n x f x →∞∈=则对有[]0,1,x ∈当时由于[]0,111sup |()0|sin12n n n x f x f n β∈⎛⎫=-≥= ⎪⎝⎭0,→二、应用举例1220lim()sin d .1n nx R nx x n x →∞+⎰求极限先积分后求极限实难进行, 故需交换次序.解 22()sin ,[0,1]1n nx f x nx x n x=∈+令 ()0,[0,1].n f x x →∈即[]{()}0,1.n f x ⇒在上不一致收敛00.10.20.30.40.50.60.70.80.91-0.2-0.100.10.20.30.40.5x (10 x/(1+100 x 2)) sin(10 x)22()sin ,[0,1]1n nx f x nx x n x =∈+1n =2n =3n =非一致收敛的几何直观验证勒贝格控制收敛定理221()(),[0,1].122n nx nx f x F x x n x nx ∆≤≤==∈+注意到 由R 积分和L 积分的关系, 以及勒贝格控制收敛定理有22[0,1]lim ()sin d 1n nx L nx x n x →∞=+⎰22[0,1]()sin d 1lim n nx L nx x n x →∞⎛⎫= ⎪+⎝⎭⎰[0,1]()0d 0.L x ==⎰1220lim()sin d 1n nx R nx x n x →∞+⎰求函数列积分的极限问题1) 若利用R 积分理论来求, 则需验证函数列在积分区间[a , b ]上的一致收敛性.则利用R 积分与L 积分的关系, 以及勒贝格控制收敛定理.[,]()([,]),()([,]),()()d ()()d .b a b a f x a b f x a b L f x x R f x x ∈∈=⎰⎰若则且 2) 若函数列在区间上不一致收敛, R 积分理论失效亦是如此，直接利用逐项积分性质毋庸置疑。
勒贝格逐项积分定理证明勒贝格控制收敛定理
勒贝格逐项积分定理是数学分析领域的重要定理之一，它为我们理解积分与极限之间的关系提供了重要的理论基础。
在本文中，我将对勒贝格逐项积分定理进行深入探讨，并尝试给出其证明，同时还会结合勒贝格控制收敛定理进行分析。
我将从基本概念出发，逐步展开讨论，帮助读者充分理解这一重要定理。
1. 勒贝格积分的概念在开始探讨勒贝格逐项积分定理之前，我们首先需要了解勒贝格积分的基本概念。
勒贝格积分是对变量在某个区间上的函数进行积分的一种方法，与黎曼积分不同的是，勒贝格积分对函数的可积性有更加严格的要求。
这种积分方法在处理一些特殊的函数和收敛性问题时具有重要的应用价值。
2. 逐项积分的概念在研究级数的收敛性时，我们常常会接触到逐项积分的概念。
逐项积分是将级数中的每一项进行单独的积分，然后再考察这些积分的收敛性。
逐项积分在分析级数的收敛性和积分之间的关系时起着重要的作用，而勒贝格逐项积分定理正是对逐项积分的一个重要的推广和应用。
3. 勒贝格逐项积分定理的表述勒贝格逐项积分定理是关于逐项积分和函数极限交换次序的定理。
它指出，如果级数在某个区间上逐项积分后收敛，那么这个逐项积分所得的函数的极限与原级数在该区间上的逐项积分所得的函数的极限是相同的。
这个定理在分析级数的逐项积分和函数极限的关系时起着至关重要的作用。
4. 勒贝格逐项积分定理的证明为了证明勒贝格逐项积分定理，我们需要结合勒贝格控制收敛定理来进行分析。
勒贝格控制收敛定理是判别逐项积分收敛的重要定理，它为我们提供了一种有效的方法来判断逐项积分的收敛性。
通过对级数的逐项积分进行适当的控制，我们可以得到逐项积分的收敛性，从而进一步推导出勒贝格逐项积分定理。
5. 个人观点与理解在我看来，勒贝格逐项积分定理是数学分析领域中的一个重要定理，它揭示了级数逐项积分和函数极限之间的深刻关系。
通过对该定理的深入理解，我们不仅可以更加深刻地理解级数的收敛性和逐项积分的性质，还可以为解决一些实际问题提供重要的理论支持。
勒贝格 Lebesgue 定理
勒贝格定理
注：若f ( x), g( x)在[a,b]上可积，f ( x)与g( x)可以复合， f ( g( x))在[a,b]上也不一定可积.
例如:R(
x)为[0,1]上黎曼函数,取f
(u)
1, u 0, u
f ( qk ) 0 pk
存在无理数序列
k
,
lim
k
k
x, lim k
f
(k )
lim
k
k
=x
f ( x)在[0,1]不连续点集D( f ) 0，1，
D( f )是区间,不是零测集,f ( x)在[0,1] 有界,所以f 在[0,1]上不可积.
勒贝格定理应用
例4
判断函数在0,1
可积性.f
(
x)
1 x
0 f ( x) 1,函数有界.
y 1
o 1 1 1 1
1x
543 2
f
( x)在[0,1]上有界并且其不连续点集D(
f
)
1
n
n
2, 3,
{0},
D( f )是可数集，所以是零测集，所以f 在[0,1]上可积.
勒贝格定理应用
例2 判断下面函数在[0,1]上可积性
y
f
(
x
)
sgn
勒贝格定理
推论
1) 如果f 在a,b可积 f 0 ,则1/ f 在a,b可积; 2) 如果f , g在a,b可积,则fg在a,b可积; 3) 如果f 在a,b可积,则f 在任何子区间c,d a,b可积； 4) 如果f , g在a,b可积 g 0,则f / g在a,b可积；
关于勒贝格有界收敛定理与法都引理的几点浅见
关于勒贝格有界收敛定理与法都引理的几
点浅见
勒贝格有界收敛定理和法都引理是数学领域的重要定理，它们是非常有价值的定理，对于解决复杂的数学问题具有重要的理论意义和实践意义。
勒贝格有界收敛定理是指，若一个有界函数序列在某点上收敛，则在这个点及其周围的各点上，这个序列的函数都具有有界性，即给定一定的ε >
0，存在正数M，使得当n > M时，|f(x) - f(x_0)| < ε。
勒贝格法都引理是指，对于给定的函数序列{f_n(x)}，如果它们在某点x_0上收敛，则这个序列的函数在x_0处的导数也收敛。
具体来说，假设在x_0处的f_n(x)的导数为f'_n(x)，如果f_n(x)在x_0处收敛，则f'_n(x)也在x_0处收敛。
勒贝格有界收敛定理和法都引理在解决数学问题中具有重要的作用。
首先，它们对于确定函数序列的收敛性具有重要的理论意义，可以用来判断函数序列是否收敛。
其次，它们也可以用来解决有关函数的极限值的问题，即求解函数序列的极限值。
此外，勒贝格有界收敛定理和法都引理还可以用来解决某些不等式的问题，即通过极限的概念来确定不等式的解。
总之，勒贝格有界收敛定理和法都引理是数学领域重要的定理，它们对于解决复杂的数学问题具有重要的理论意义和实践意义。
勒贝格控制收敛定理的应用
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协勒贝格控制收敛定理的应用侯英(贵州财经学院数学与统计学院，贵州贵阳550004)文化与教育技柬摘要：勒贝格控制收敛定理是实变函数论的一个重要定理，可以用于计算积分的极限，证明积分等式、数列收敛、不等式、判断函数连续等许多问题。
关键词：勒贝格控制收敛定理；可测函数；可积函数勒贝格控制收敛定理是积分论中的一个重要定理，它解决了，积分与极限的交换问题，并在一定程度上代表了实变函数论方法的力量。
利用这一定理可以证明列维(L evi)定理等其他定理，而且它在证明和计算中有着广泛的应用。
首先，我们介绍一下勒贝格控制收敛定理。
勒贝格控制收敛定理：设(1){fn}是可测集E上的可测函数列；(2)I f o(x)J≤F(x)a．e．于E，n=l，2，…，且F(x)在E上可积分(称I R}为F(x)所控制，而F(x)叫控制函数)；(3)“x)j f(x)。
则f(x)在E上可积分，且l挚JE五(x)dx2JE f(x)dx注：将条件(3)换为“x)川x)a．e。
于E，定理结论仍成立。
在应用勒贝格控制收敛定理时，关键是找出控制函数。
且要求控制函数是可积的。
下面我们从两个方面探讨勒贝格控制收敛定理的应用。
l利用定理证明勒贝格控制收敛定理可以证明积分等式、函数相等、积分的极限、积分的和、数列收敛、不等式、判断函数连续等等问题。
例l：设fl，f2。
…是E上的非负可积函数，且f L}在E上依测度收敛于f，r,m f,L(幽b= f z，证明：对E的任何町测子集A，均有叩．f正c‘)d(x触=．￡，“)ax证：由于f与丘都是非负函数，因此(f-驴(x)≤“x)。
x∈E．故f是函数列f(f-∞+l的控制函数．冈为{fn}在E上依测度收敛于f，所以{(㈤+I在E上依测度收敛予0。
由勒贝格控制收敛定理。
得．1i r a J．(，一．f O+(x)dx=0由1挚J。
^(触2J。
勒贝格控制收敛定理和levi定理的区别
勒贝格控制收敛定理和levi定理的区别摘要：一、勒贝格控制收敛定理与列维定理的概念及基本原理二、勒贝格控制收敛定理与列维定理的区别1.适用的函数空间不同2.收敛性的判定条件不同3.实际应用场景不同三、勒贝格控制收敛定理与列维定理在实际应用中的案例分析四、如何根据实际问题选择合适的定理正文：一、勒贝格控制收敛定理与列维定理的概念及基本原理勒贝格控制收敛定理（Lebesgue Control Convergence Theorem）是实变函数分析中的一条重要定理，它用于研究函数序列在某个函数空间上的收敛性。
勒贝格控制收敛定理表明，如果一个函数序列在某个函数空间中满足某种条件，那么这个序列在该空间中是收敛的。
列维定理（Levi Theorem）是另一个与勒贝格控制收敛定理相关的定理，它主要研究的是函数序列的一致收敛性。
列维定理告诉我们，如果一个函数序列在某个区间上满足某种条件，那么这个序列在该区间上是一致收敛的。
二、勒贝格控制收敛定理与列维定理的区别1.适用的函数空间不同：勒贝格控制收敛定理适用于一般的函数空间，包括连续函数、可积函数等。
而列维定理主要适用于区间上的函数序列，特别是那些具有良好光滑性质的函数序列。
2.收敛性的判定条件不同：勒贝格控制收敛定理关注的是函数序列在某个函数空间中的性质，例如函数的有界性、单调性等。
而定理的具体条件取决于所研究的函数空间。
列维定理则关注函数序列在某个区间上的性质，如函数的连续性、导数的有界性等。
列维定理的判定条件通常比勒贝格控制收敛定理更为严格。
3.实际应用场景不同：勒贝格控制收敛定理广泛应用于实变函数、泛函分析等领域的教学与研究中，可以帮助我们判断函数序列在不同函数空间上的收敛性。
列维定理则在微积分、实分析等课程中有着广泛的应用。
特别是在证明一些不等式、研究函数的性质以及分析极限问题时，列维定理起到了关键作用。
三、勒贝格控制收敛定理与列维定理在实际应用中的案例分析案例1：研究连续函数序列在闭区间上的收敛性假设我们要研究一个连续函数序列f_n(x)在闭区间[a, b]上的收敛性。
勒贝格控制收敛定理基本用途
勒贝格控制收敛定理基本用途
1.证明函数序列的收敛性：勒贝格控制收敛定理可以用来证明函数序
列的一致收敛性。
对于给定的函数序列，如果能找到一个收敛的控制序列，且该序列的极限与函数序列的极限函数之差能够被控制住，那么这个函数
序列就是一致收敛的。
这对于研究函数序列的收敛性质和性质的保持具有
重要意义。
2.构造逼近函数序列：勒贝格控制收敛定理除了用于证明函数序列的
一致收敛性，它还可以用来构造逼近函数序列。
给定一个函数，可以通过
构造控制函数的逼近序列来逼近该函数。
这对于解决某些特定问题，如数
值解法和图像处理等具有重要意义。
3.证明积分交换次序：勒贝格控制收敛定理还可以用于证明积分的交
换次序。
在某些情况下，对于二重积分或多重积分，如果我们可以对积分
求导，并且利用控制函数的性质，可以通过控制收敛定理来证明积分的交
换次序是成立的。
4.证明测度的可测性：在测度论中，勒贝格控制收敛定理可以用来证
明可测函数的可测性。
对于给定的可测函数序列，如果我们可以找到一个
可测的控制函数序列，并且该序列收敛到一个函数上，那么控制函数和序
列函数的可测性是相同的。
这对于论证测度的性质和测度的可测性具有重
要作用。
总而言之，勒贝格控制收敛定理作为一个重要的收敛性定理，它的基
本用途主要有四个方面：证明函数序列的一致收敛性，构造逼近函数序列，证明积分的交换次序，以及证明测度的可测性。
它在实分析、概率论、测
度论等领域中有着广泛的应用和重要的作用。
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勒贝格控制收敛定理
勒贝格控制收敛定理是积分论中的一个重要定理，它解决了积分与极限的交换问题，并
在一定程度上代表了实变函数论方法的力量。
利用这一定理可以证明列维（Levi ）定理等其他定理，而且它在证明和计算中有着广泛的应用。
首先，我们介绍一下勒贝格控制收敛定理。
勒贝格控制收敛定理：设
（1）｛仁｝是可测集E上的可测函数列；
（2）f n<F（x）a.e.于E，n=1,2,山，且F（x）在E 上可积分（称｛f n｝为F （x）所
控制，而F（x）叫控制函数）；
（3）fn X = f X，则f X 在E 上可积分，且1叩.E fn X dx 二£ f X dx （注：
将条件（3）换为f n x f x a.e.于E，定理结论仍成立。
应用勒贝格控制收敛定理时，关键是找出控制函数，且要求控制函数是可积的。
下面我们从两个方面探讨勒贝格控制收敛定理在分析学中的应用。
1利用定理的证明
勒贝格控制收敛定理可以证明积分等式、函数相等、积分的极限、积分的和、数列收敛、
不等式判断函数连续等等问题。
例 1 ：设f i，f2，l。