LEBESGUE积分极限定理
第八讲 勒贝格积分的极限定理及应用
第8讲勒贝格控制收敛定理及应用一、勒贝格控制收敛定理问题 ()d ()d (lim l d im ).b b bk k a a a k k f x x f x x f x x →∞→∞==⎰⎰⎰ lim ()(),k k f x f x →∞=若能否推出极限运算与积分运算只有在很强的条件下(一致 收敛)才能交换二者次序——黎曼积分的局限性定理 (勒贝格控制收敛定理)1){(},n k k f x E ∞=⊆是上的可测函数列设若注 定理中控制函数的可积性是必不可少的.(2) ,, ()(),() a.e. ,()k k f x F x x E F x E ∈≤∈存在使得对任意的(),()(),k f x f x E ∈则且(1) lim ()(),a.e. .k k f x f x x E →∞=∈lim ()d ()d .k E E k f x x f x x →∞=⎰⎰[0,),E =+∞设考虑反例 函数序列[0,]1, [0,]()(),1,2,0, k k x k f x x k x kχ∈⎧===⎨>⎩{}()(),()1,a.e. ,k f x F x F x E ≥控制的函数必须{}()()1,k f x E f x ≡显然在上处处收敛于()F x E L 则在上不是可积的.()f x E L 在上也不可积的.k y x O推论1 (勒贝格有界收敛定理)注 推论1中的条件(3)不能缺少.0,(),a.e. ,(2) k M f x M x E >≤∈存在常数 控制函数的可积性 (3) ().m E <+∞ 1){(},n k k f x E ∞=⊆是上的可测函数列设若(1) lim ()(),a.e. .k k f x f x x E →∞=∈(),()(),k f x f x E ∈则且lim ()d ()d .k E E k f x x f x x →∞=⎰⎰推论2 (逐项积分)1()()(1,2,), ()d ,i i E i u x E i u x x ∞=∈=<+∞∑⎰ 且设有则1(1)();i i u x E ∞=∑ 在上几乎处 处收敛 (2)()(),f x E ∈其和函数且1()d .i i E u x x ∞==∑⎰1()()d d E E i i x u x f x x ∞=⎡⎤=⎢⎥⎣⎦⎰⎰∑例1 分析 [0,1],lim ()0,n n x f x →∞∈=则对有[]0,1,x ∈当时由于[]0,111sup |()0|sin12n n n x f x f n β∈⎛⎫=-≥= ⎪⎝⎭0,→二、应用举例1220lim()sin d .1n nx R nx x n x →∞+⎰求极限先积分后求极限实难进行, 故需交换次序.解 22()sin ,[0,1]1n nx f x nx x n x=∈+令 ()0,[0,1].n f x x →∈即[]{()}0,1.n f x ⇒在上不一致收敛00.10.20.30.40.50.60.70.80.91-0.2-0.100.10.20.30.40.5x (10 x/(1+100 x 2)) sin(10 x)22()sin ,[0,1]1n nx f x nx x n x =∈+1n =2n =3n =非一致收敛的几何直观验证勒贝格控制收敛定理221()(),[0,1].122n nx nx f x F x x n x nx ∆≤≤==∈+注意到 由R 积分和L 积分的关系, 以及勒贝格控制收敛定理有22[0,1]lim ()sin d 1n nx L nx x n x →∞=+⎰22[0,1]()sin d 1lim n nx L nx x n x →∞⎛⎫= ⎪+⎝⎭⎰[0,1]()0d 0.L x ==⎰1220lim()sin d 1n nx R nx x n x →∞+⎰求函数列积分的极限问题1) 若利用R 积分理论来求, 则需验证函数列在积分区间[a , b ]上的一致收敛性.则利用R 积分与L 积分的关系, 以及勒贝格控制收敛定理.[,]()([,]),()([,]),()()d ()()d .b a b a f x a b f x a b L f x x R f x x ∈∈=⎰⎰若则且 2) 若函数列在区间上不一致收敛, R 积分理论失效亦是如此，直接利用逐项积分性质毋庸置疑。
4.2勒贝格积分的极限定理
f(x) fn(x) 说明 小于等于显然成立， f1(x)
因为fn(x)总在f(x)的下方， 只需证明大于等于。 fn+1(x)
没有假定fn(x) 任何收敛性
问题
？
若 lim f n ( x ) f ( x ),
n
b
ห้องสมุดไป่ตู้
lim f n ( x )dx
n a
a
b
f ( x )dx
Riemann积分的局限性 极限运算与积分运算只有在很强的条件下(一致收敛)才能交 换积分次序
函数列 f n 一致收敛于 f 的几何意义:如图所示,
a
b
x
状区域之内.
函数列 { x n } 在区间 (0, 1) 上
y
1
不一致收敛, 从几何意义上
看, 就是存在某个预先给定
的 (<1), 无论 N 多么大, 总存在某条曲线
y x ( n N ),
n
x1
x2
O
x3
1
x
不能全部落在由 y 与
图 13 2
y 夹成的带状区域内
0, N 0, 对于序
号大于 N 的所有曲线
y f n ( x ) ( n N ),
都落在曲线 y f ( x )
y
y f ( x)
y f ( x) y fn ( x)
y f ( x)
与 y f ( x ) 所夹的带
O
lim f n ( x)dx f ( x)dx ?
n E E
注 定理1反映了L 积分值与积分域之间的一种依赖关系：
第19讲Lebesgue积分的极限定理
本讲目的：掌握控制收敛定理，并能熟 练运用，了解一个函数 Riemann可积的 充要条件。 重点与难点：控制收敛定理及其证明。
第19讲 Lebesgue积分的极限定理
基本内容： 如所周知，函数序列的积分之极限 与该函数序列的极限之积分是否相等是 微积分中的重要问题，也是困难的问题， 同时，它又是应用十分广泛的问题。有 时，为了讨论这类问题，人们常常要进 行十分复杂的推导与演算。
第19讲 Lebesgue积分的极限定理
由无界函数积分定义，可以作有界函数 列 f n ( x) 如下：
f n ( x)
n f ( x)
f ( x ) n f ( x ) n
,
则 f n ( x) 单调递增收敛到f(x)，且
f ( x)dx lim fesgue积分的极限定理
由Levi定理知，对于E上非负单调递 增可测函数列{fn}，其积分与极限可以交 换顺序，即 lim∫Efn(x)dx =∫Elimfn(x)dx (1),
对一般非负可测函数{fn}，由Fatou引理 知有如下的不等式： ∫Elimfn(x)dx ≤ lim∫Efn(x)dx (2)
lim
n
f
E
n
( x)dx
f ( x)dx
E
第19讲 Lebesgue积分的极限定理
由此可见，问题归结为函数序列在E- Eℇ上 的积分如何变化。 回忆一下，对Riemann积分而言，如果f是 区间[a,b]上的可积函数,则对 ∀ℇ>0,存在>0， 使得当[c,d][a,b]，且d-c< 时，有
| f ( x)dx | .
c
d
定积分黎曼定理
定积分黎曼定理定积分黎曼定理（LebesgueIntegralTheorem），简称为黎曼定理，是20世纪初发现的重要数学定理。
由瑞士数学家黎曼发现，它确定了极限积分和定积分之间的关系，标志着计算数学的起源。
黎曼定理是指定积分可以用极限积分来代替，即定积分的积分范围是无穷多的。
也就是说，在定积分中，当积分范围上的点数量变到无穷多时，可以用极限积分来代替定积分。
这也是传统积分的重要推论，并且表明积分也具有统计意义。
许多现代数学的应用都是建立在黎曼定理的基础之上的，特别是微分几何、拓扑学和数学物理学，都基本可以归结为定积分黎曼定理。
它使得定积分可以用极限积分来替换，从而极大简化了数学分析的不变性，降低计算的复杂度，使用的面更宽。
【定积分的基本概念】定积分是定义在实函数上的积分，也叫定义域积分，是积分理论中重要的概念。
定积分是指积分运算时，函数在指定的区间内定义，其实质是用函数曲线下的面积来表示函数的实际值。
定积分的计算一般分成定积分的确定法与定积分的近似计算法。
定积分确定法是按照函数定义、函数特征，使用函数谱、分类归纳等方法，最终计算出某函数的定积分问题；而定积分的近似计算法是按照特定的积分运算方法，假定积分函数是离散的、有规律的，使用数值近似法，将求解的过程转化为数值运算的过程，从而计算出某函数的定积分问题。
【定积分黎曼定理的重要性】定积分黎曼定理是积分概念的大突破，为计算数学的发展和传统积分统计理论提供了基础。
它使得定积分可以用极限积分来替换，从而简化了数学推导过程，提高了计算效率。
黎曼定理也是微分几何、拓扑学和数学物理学的基础，极大地拓展了科学的发掘和应用领域。
有无数的实例表明，定积分黎曼定理的应用确实十分广泛。
例如，它可以用来证明函数的可微性，也可以用来证明某一函数的导数的可积性，以及证明极限积分和定积分之间的某些关系等。
归结起来，可以说，定积分黎曼定理无疑是科学实践中不可缺少的。
【定积分黎曼定理的计算】根据定积分黎曼定理的定义，定积分的计算一般分为两步：确定积分的范围以及确定积分的函数。
321Lebesgue积分极限定理
lim g k ( x)dx 0.
E
最后，由 gk ( x) | f k ( x) f ( x) |, k 1,2,
f x dx f x dx
E E n
E
g n x dx,
令 n ，即知命题成立。
15
推论3.2.5设 E M ， f n M
n 1 n
n 1 E
在 E 上几乎处处收敛。
记和函数为 f x ，则 f L E ，且有
f ( x)dx f ( x)dx.
n 1 E n
E
20
证明：定义函数
F x fn x
n 1
由非负可测函数列逐项积分定理（Lebesgue基本定理）
k 1 E
证明关键：Levi渐升列积分定理。
证明：令
Sn x f k x
k 1
n
非负单调递增可测函数列且 积分线性
lim Sn x f x
n
故由Levi定理，
E
f x dx lim n
S n x dx lim f k x dx E n E
lim f n lim f n
即得2）。
n n
12
定理3.2.4(Lebesgue控制收敛定理) 设 E M , fk M ( E ) 且有
lim f k ( x) f ( x) a.e.
k
若存在 F L E 使得 | fn ( x) | F ( x) a.e.，则
而在Lebesgue积分框架下，条件很弱！
已接触的例子？
lebesgue积分的几个充要条件
lebesgue积分的几个充要条件Lebesgue分是一种实用的数学概念，它用于衡量定义在某一特定函数上的极限。
它于1902年由法国数学家H. 依拉克莱(Henri Lebesgue)提出，是现代分析学中最基础而又最重要的定义之一。
它被广泛用于各种不同的数学问题，如求解偏微分方程、研究随机过程、处理信号等等。
Lebesgue分的几个充要条件是：（1）长性：函数的积分和总面积大于等于0，即积分函数f(x)，其面积I=∫af(x)dx≥0；（2）均值定理：当f(x)为连续函数时，即积分函数f(x)，其面积I=∫af(x)dx既可以计算函数的积分，又可以计算函数的平均值，即有I=∫a[f(x)]dx=f(x)dx/n；（3）许使用分段/离散函数，一般情况下，可以用离散函数替代连续函数来计算积分，即可以用一个小的窗口，以一定的步长来计算离散函数的积分，而不需要使用连续函数；（4）法性质：即函数的积分可以分解为多个积分，并可以结合得到最后的总积分，即有I=∫af(x)dx=∑∫af1(x)dx+∫af2(x)dx+……+∫afn(x)dx；（5）盖定理：函数的积分可以用来表示定义域[a,b]的面积，也可以用来表示图像下面的积分面积，即有I=∫af(x)dx=∫bak(x)dx，其中k(x)为图像下面的函数；（6）换性质：函数积分的顺序是可以换的，即有I=∫af(x)dx=∫bf(b-x)dx；（7）线性性质：函数积分与系数相乘是线性关系，即有I=∫af(x)dx=c∫af(x)dx，其中c∈R。
Lebesgue分有很多种应用，它可以用来测量一个连续函数的极限界限，也可以用来计算多变量的函数的积分。
它也被广泛应用于函数分析、统计信号处理、最优化、概率和复变函数等领域，用来研究复杂的数学结构。
例如，可以用它来计算多元函数的导数、研究随机过程，解决最优化问题，研究复杂的微积分函数结构等等。
虽然Lebesgue分有一些明确的充要条件，但它们在实际应用中也不是绝对的。
Fatou引理以及Lebesgue控制收敛定理推广及其应用
Fatou引理以及Lebesgue控制收敛定理推广及其应用Fatou引理以及Lebesgue控制收敛定理是实分析中重要的定理，它们在测度论、积分论以及概率论等领域有着广泛的应用和推广。
本文将首先介绍Fatou引理以及Lebesgue控制收敛定理的基本概念和定理内容，然后探讨它们在实际问题中的应用及推广。
一、Fatou引理Fatou引理是测度论中的一个重要定理，它描述了非负可测函数序列的积分性质。
具体来说，如果有一列非负可测函数{fn}，则其逐点极限的下积分不大于其逐点极限的下极限的积分，即∫lim inf fn ≤ lim inf ∫fn这个定理的重要性在于它在测度论中具有广泛的应用，特别是在概率论中。
例如在概率论中，可以用Fatou引理来证明随机变量序列收敛到某个随机变量时，其期望收敛到该随机变量的期望。
二、Lebesgue控制收敛定理Lebesgue控制收敛定理是关于可测函数序列的收敛性的一个重要定理。
具体来说，如果存在一个可积函数g，使得对于所有的n，有|fn(x)|≤g(x)几乎处处成立，则当n趋向于无穷时，fn收敛到f几乎处处成立，并且有lim ∫|fn-f| = ∫lim|fn-f| = 0n→∞Lebesgue控制收敛定理的重要性在于其可以推广到广泛的函数类别，例如可测函数、几乎处处有限的函数等。
这使得该定理在实际中有着广泛的应用。
三、Fatou引理及Lebesgue控制收敛定理的推广及应用1. 推广Fatou引理及Lebesgue控制收敛定理都可以推广到更一般的情况。
例如对于可测函数而言，可以将Fatou引理推广到Fatou定理，即逐点极限的下积分不大于其下极限的积分；Lebesgue控制收敛定理也可以推广到其他函数类别中，例如可积函数、Lp空间等。
2. 应用这两个定理在实际问题中有着广泛的应用。
在测度论中，Fatou引理可以用于证明随机变量序列的期望的性质；在积分论中，Lebesgue控制收敛定理可以用于证明函数序列的收敛性及与极限函数的关系；在概率论中，这两个定理也有着重要的应用。
第17讲Lebesgue积分的性质
第17讲 Lebesgue积分的性质
问题9：有限测度集上有界可测函数的积分 性质能否推广到一般可测函数的积分情 形（包括有限测度集上的可测函数与无 限测度集上的可测函数）？
第17讲 Lebesgue积分的性质
定理2中的（i）~(iv)对于一般可积函数也 同样是正确的。其证明需实施一下极限 手续。 *定理5 如果E是可测集，则
E
f ( x )dx lim { f ( x )}m dx
m E
m
第17讲 Lebesgue积分的性质
) 从定义5不难看到， f ( x 可积性与 | f ( x的可积相同，即有 )|
定理4 设 f ( x ) 是可测集E上的可测函数，
则 f ( x )在E上Lebesgue可积当且仅当
定义5 设 f ( x )是E上的可测函数，对任意
正整数m， E m同定义4，记
第17讲 Lebesgue积分的性质
Jm f ( x )dx, J m f ( x )dx Em Em
若 lim J m 与 lim J m 至少有一个不为+，则
称 f ( x )在E上有积分并记
(i)当 f ( x ) 在E上可测，g ( x ) 在E上非负可积，
| f ( x ) | g ( x ) 时， f ( x )也在E上可积，且
第17讲 Lebesgue积分的性质
E
| f ( x ) |dx g ( x )dx
E E
证明 因为 | f ( x ) | g ( x )，故当 g ( x )dx
第17讲 Lebesgue积分的性质
特别地，当 f ( x ) 是E上的非负可测函数时，
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lim fn
n
lim n
fn
即得2）。
12
定理3.2.4(Lebesgue控制收敛定理) 设 E M , fk M (E) 且有
lim
k
fk (x)
f
(x)
a.e.
若存在 F L E 使得 | fn(x) | F(x)
a.e.，则
fn, f LE
且
lim
k
fk (x)dx
f (x)dx
E
由于
lim
k
g
k
(
x)
0,
a.e.
得
lim
k
gk (x)dx 0，
E
即
lim
k
gk (x)dx 0.
E
最后，由 gk (x) | fk (x) f (x) |, k 1, 2,L
E f xdx E fn xdx E gn xdx,
令 n ，即知命题成立。 15
推论3.2.5设 E M ， fnM (E) ，且 fn m f 若 F LE ，满足 fn F a.e. ，则
f E
x dx
E f xn xdx n1
f xdx
n1 En
类似的，
f xdx
f xdx.
E
n1 En
5
若 f 在 E 上积分存在，
E f xdx 与 E f xdx
至少一个有限，
不妨设 于是正项级数
特别的，n
E f xdx .
f xdx f xdx
n1 En
E
f xdx En
所以 f 在 En 上积分存在。
6
若 f LE ，即 f xdx E
因而对每个 n
E f xdx
f xdx En
f xdx
En
故 f L En .
E f xdx E f xdx E f xdx
f xdx
fk L(E)
且
lim
n
E fn xdx
f xdx
E
，
证明：由于 fn m f 由Riesz定理，存在子列 fnk f a.e.
由Lebesgue控制收敛定理， f LE
记： gn (x) | fn (x) f (x) |, n 1, 2,L
类似上面定理，只需要证明
lim
n
gn (x)dx 0.
E
E
左侧极限存在？
注：可积函数 F 称为函数列 fk 的控制函数。
13
证明：由于
lim
k
fk (x)
f
(x)
a.e.
f 为可测函数。进而由 | fn (x) | F (x) a.e.
知： | f | F a.e.
因此 fn, f L E
考虑 E 上可积函数列
gk (x) | fk (x) f (x) |, k 1, 2,L
由于 0 | gk (x) | 2F (x) k 1, 2,L 由Fatou引理，
lim(2F(x) k E
gk (x))dx
lim (2F (x)
k E
gk (x))dx
14
即 2
F (x)dx
lim
k
g
k
(
x)dx
2
F (x)dx lim k
gk (x)dx
E
E
E
•若存在可积函数 g fn g a.e. ，则；
lim E n
fn
x dx lim
n
E
fn xdx;
•若存在可积函数g fn g a.e. ，则
E
lim
n
fn
x dx lim n
E
fn xdx.
证明：1）对函数列 fn g 应用Fatou引理即得1）；
2）在对函数列 fn 应用1）的结果，并意到
n
gn
x
dx
lim n
E gn x dx
lim
n
E gn
x dx
lim n
E
fn xdx.
9
定理3.2.3(Fatou引理) 设 fn 是可测集 E 上非负可测函数列，则
E
lim
n
fn
xdx
lim
n
E
fn
x dx
注：Fatou引理中，不等号可能会出现。
注：Fatou引理中，不等号可能会出现。
n
证明：令 Sn x fk x k 1 非负单调递增可测函数列且
lim
n
Sn
x
f
x
故由Levi定理，
积分线性
n
f x dx
E
lim
n
E Sn
x dx lim n k 1
E fk xdx
E fk xdx k 1
注：非负可测函数的级数求和与积分次序可换。
3
推论3.2.2设En是可测集 E 中互不相交可测子集，
例子：考虑 R 上非负函数列 fn x
1
x2
e 2n
2n
n 1, 2,L
则 R fn xdx 1.
高斯分布
但是当 x 0
时，
lim
n
fn x 0 :
f
x
即极限函数 f x 0 a.e. 于是，
R
lim
n
fn
xdx
0
1 lim n
R fn xdx
11
练习：设 fn 是一列可测函数。
f xdx
n1 En
n1 En
f xdx f xdx
n1 En
En
f xdx
n1 En
8
证明：考虑非负函数
gn x inf f j x : j n
则 gn 非负可测单调递增，且
lim
n
gn
x
lim
n
fn
x
利用Levi定理，
E
lim
n
fn
x dx
E
lim
E
17
假如结论不成立，则存在 0 与 n1 n2 L ，使得
gni (x)dx i 1, 2,L
Lebesgue积分的极限定理
设 fn 是函数列且按照某种意义收敛到 f .
在Riemann积分或Lebesgue积分框架下考虑问题：
若每个 fn 都可积，则 f 是否可积？ 若 f 可积，那么 fn 积分的极限是否为 f 的积分？
即积分与极限是否可以交换次序？
在Riemann积分框架下，要附加很强条件，使得积 分与极限可以交换次序，
而在Lebesgue积分框架下，条件很弱！
已接触的例子？
1
3.2.1Lebesgue积分与极限运算的交换定理
定理3.2.1（Lebesgue基本定理）
设 fn x是可测集合E上非负可测函数列，
f x fk x k 1
则
E f xdx
E fk xdx k 1
证明关键：Levi渐升列积分定理。
1)若 f
E UEn.
n1
在E上积分存在，则在每个 En 上积分存在；
2）若 f LE，则 f L En ，且
E f xdx n1
f xdx
En
积分对积分域的可列可加性
证明：简记n x为En的特征函数，则
En f xdx E f x n xdx
由于 f x f x n x n1