第4章 套利定价理论(APT)郭多祚
因子模型和套利定价理论APT
因子模型和套利定价理论APT因子模型和套利定价理论（APT）是两种常用于资产定价的方法。
它们的目标都是解释资产的定价和收益的来源，但是它们侧重的角度和方法有所不同。
因子模型是一种基于统计方法的资产定价模型。
它假设资产的收益可以由一组经济因子来解释。
这些因子可以是宏观经济指标（如GDP增速、通货膨胀率等），也可以是行业指标（如市场规模、市场份额等）。
通过对这些因子的权重和收益率进行估计，我们可以预测和解释资产的收益率。
常见的因子模型有单一因子模型（如CAPM）和多因子模型（如Fama-French三因子模型）。
因子模型的优点在于能够提供对资产收益的解释和预测，并且易于理解和实现。
然而，由于因子的选择和估计的不确定性，因子模型的预测效果有一定的局限性。
APT是一种基于套利的资产定价理论。
它假设资产的收益可以由多个的因子来解释，这些因子可以是已知的或未知的风险因素。
与因子模型不同，APT不对因子进行具体的定义和估计，而是通过套利机会来确定资产的定价关系。
具体而言，如果某个组合的收益高于其风险所要求的收益，就存在套利机会。
根据套利的想法，资产的价格将会调整，直至套利机会消失。
APT的优点在于不需要对因子进行具体的选择和估计，可以涵盖更广泛的因素，适应不同的市场环境。
然而，由于套利机会的存在需要假设市场的效率，APT也存在一定的局限性。
综上所述，因子模型和套利定价理论是两种常用的资产定价方法。
因子模型通过对因子权重和收益率的估计来解释和预测资产的收益率，而APT则利用套利机会来确定资产的定价关系。
每种方法都有其优点和局限性，应根据具体情况选择合适的方法进行资产定价。
继续就因子模型和套利定价理论（APT）进行详细的探讨。
首先，我们来深入了解一下因子模型。
因子模型是一种为资产定价提供理论依据的方法。
它认为资产的收益率可以由一组经济因子来解释，而这些因子可以是宏观经济指标、行业指标、公司财务指标等。
因子模型的一个典型例子就是资本资产定价模型（CAPM），它假设资产的收益与市场风险有着正向关系。
套利定价理论概述
套利定价理论概述套利定价理论是金融经济学中的一个重要理论框架，用于解释和分析金融市场中的套利机会和定价行为。
套利定价理论主要基于无风险套利的原则，即通过利用市场中的不完全信息、不平衡的供需关系和价格差异，以无风险的方式获取利润。
本文将对套利定价理论进行概述。
套利定价理论的核心思想是市场是有效的，即所有的信息都被充分反映在资产价格中。
基于这个前提，任何未获得利润的套利机会都将被市场参与者迅速发现并加以利用。
根据套利定价理论，当市场存在未获得利润的机会时，会有投资者利用这些机会进行交易，逐步将市场价格调整到一个平衡状态。
因此，套利定价理论认为，市场中的价格是基于套利行为和投资者的决策而形成的。
套利定价理论的基本原则是无风险套利的存在。
无风险套利是指在不持有任何资金、不承担风险的情况下，通过买入低价资产并卖出高价资产来获取利润。
无风险套利的存在对于套利定价理论的有效性至关重要，因为只有在无风险套利的条件下，市场价格才会被有效地调整到一个平衡状态。
套利定价理论还包括两个重要概念：相对定价和绝对定价。
相对定价是指在两个或多个相关资产之间进行比较，确定它们之间的价值关系。
相对定价考虑了资产之间的相关性和互换性，以确定其相对价值。
绝对定价是指单独对一个资产进行定价，不考虑其他资产的影响。
绝对定价更注重资产本身的内在价值和基本经济原理。
虽然套利定价理论在金融市场中起着重要的作用，但在实际应用中存在一些限制。
首先，套利定价理论基于市场是有效的和无风险套利的前提，然而实际市场中存在着信息不对称、流动性不足、交易成本等问题，这些都会影响套利活动的效果。
其次，套利定价理论忽视了投资者的行为偏好和风险承受能力，而实际市场中的交易决策往往受到投资者情绪和风险偏好的影响。
综上所述，套利定价理论是金融经济学中的一个重要理论框架，通过无风险套利的原则解释和分析金融市场中的套利机会和定价行为。
尽管套利定价理论在理论上是有效的，但在实际应用中需要考虑市场的非理性行为和各种限制条件。
金融经济学(APT-套利定价)
j
=均值为零的第 j 个因子，
e i =证券 i 的随机项。
因子模型说明，所有具有等因子敏感度的证券 或证券组合，除去非因子风险外，其行为是一 致的。因此，所有具有等因子敏感度的证券或 者证券组合的期望回报率是一样的。 否则就存在第二类套利机会，投资者就会 利用它们，直到消除这些套利机会为止。 这就是APT的实质。
多因子模型
对于n种证券相关的m（m<n)个因子，证券i的 收益可以表示为
ri = a +
∑b
j =1
m
ij
f j + ei
其中，i = 1,..., n; j = 1,..., m
E [ ei ] = 0 , c o v ( ei , f j ) = 0 c o v ( ei , ek ) = 0 , i ≠ k
用数学表示就是
⎧ ⎪∑ wi = 0 （I） ⎪ i =1 ⎪ n ⎨∑ bi wi = 0 （II） ⎪ i =1 ⎪ n ⎪∑ wi ri > 0 （III） ⎩ i =1
n
D(∑ wi ri ) = D(∑ wi [ri + bi f + ei ]
i =1 i =1 n
n
n
=D(∑ wi bi f )
σ ij = cov(ri , rj ) = cov(ai + bi1 f1 + bi 2 f 2 + ei ,
a j + b j1 f1 + b j 2 f 2 + e j )
= bi1b j1σ 21 + bi 2b j 2σ 2 2 + (bi1b j 2 + bi 2b j1 ) cov( f1 , f 2 ) f f
套利定价理论与风险收益的多因素模型
属于自融资组合；
套利组合对任何因素的敏感度均为零，即套利
组合没有因素风险；
套利组合的预期收益率应大于零。
8
套利组合（2）
条件一：w1 w2 wn 0 条件二： Pj 0, j 1,2, k , k n w111 w2 21 wn n1 0 w112 w2 22 wn n 2 0 w11k w2 2 k wn nk 0 条件三：w1r1 w2 r2 wn rn 0
多因素套利定价理论(1)
前面都是假定只有一个系统因素影响证券收益。
现分析多个因素产生系统风险影响证券的收益的 情况.以双因素模型为例： ri=E(ri)+β
i1F1+β i2F2
+ei
因素F1和F2代表对宏观因素预期值的偏离。因此
他们的预期值为0
ei代表企业特有的风险，也是对预期值的偏离，
在多因素的证券市场线关系中，因素投资组合将
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多因素套利定价理论(3)
复制组合的构筑：对于任意一个暴露在F1和F2这两
个宏观因素的系统风险下的投资组合P，分别以其
β 值β
P1，β P2为权重选取因素组合1和因素组合2， P1–β P2的无风险证券（若<0，
再加上权重为1-β 新组合记为Q
E(rQ)=β
ri E ri i1 F1 i 2 F2 ei 其中： F1为第一个共同因素的非 预期变动，E F1 0 ei 为资产本身的非系统变 动；Covei , e j 0; F1 , F2 , ei的相关系数均为零； F2为第一个共同因素的非 预期变动，E F2 0
金融工程(5.17)第四章(一)
• 票面利率：也称息票率，指债券利息与债 券面值的比率（区别到期收益率，即利率
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Financial Engineering
票面利率和利率
我们一般情况下指的债券的利率是债券 的到期收益率而非息票率。
这个利率（到期收益率）不是计算利息 的”利率”。计算债券利息的“利率”是 票面利率！！
即将实施的项目作出评估。
7
Financial Engineering
资产定价模型的缺陷
对风险的判断。
资金成本的估算问题。
依赖于预期现金流的问题。
公司内部项目问题。
作为对无风险套利的理解，CAPM和 APT都是对的。但是真正的定价法要在 学习了期权定价法之后才能得到更好的
应用。
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债券的分类
按发行主体划分：政府债券、地方政府 债券、金融债券、企业债券、国际债券 （包括外国债券和欧洲债券）
按利息支付方式划分：附息债券、贴现 债券
按期限划分：短期债券、中期债券、长 期债券
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Financial Engineering
国库券
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Financial Engineering
主要学习的金融工具
债券 股票 金融远期 金融期货 金融期权 金融互换（了解）
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Financial Engineering
金融工具的种类 ——债券(Bond)
债券是政府、金融机构、工商企业等直接向 社会筹措资金时，向投资者发行，承诺按一 定利率支付利息并按约定条件偿还本金的债 权债务凭证。
置权”来表现：期权。
关键是要素，而不是形式。
三分钟读完套利定价理论
三分钟读完套利定价理论经典CAPM模型提出后，人们发现，他苛刻的假设前提严重脱离现实世界，实用性与有效性也有很大的局限。
之后，在对CAPM不断的质疑和责难声中，美国著名学者罗斯提出一种新的、能够更加准确地度量资产预期收益且比经典的CAPM更少的前提假设和更广泛的适用范围的资产定价理论——套利定价理论（英文缩写APT）。
套利定价理论提出了比CAPM更加切合实际的前提假设（在我们看来，西方学者的学术习惯很奇怪啊，在创新理论或者提出观点时候，总是先提出Suppose）：投资者是理性的、规避风险的，他们追求效用最大化且拥有相同的投资理念，市场是完全的（这条有点不太切合实际）。
沿袭西方经济学追求市场均衡思想的传统，套利定价理论也是一种均衡状态下的资产定价理论。
套利定价理论的基本观点是按照单一价格规则，如果市场上存在两种风险程度相同的资产，那么他们的收益应该不会不同。
如果收益不同，市场上就会产生套利机会，结果必然是风险相同的资产的收益率也一致，市场处于均衡状态。
很快，套利定价理论就被投资者所认可，成为一种重要的资产定价模型。
经过仔细分析，大家会发现，套利定价理论可以导出与经典CAPM相似的结论，两者其实是一脉相承的：收益率是单因素，即资产组合时，套利定价理论就会形成与经典CAPM相同的关系。
因此，从某种意义上来说，套利定价理论可以被认为是广义上的CAPM。
单就理解市场中风险与收益率之间的均衡来说，套利定价理论也可以作为一种替代方法为投资者所使用。
与CAPM不同的是，套利定价理论的基础是因素模型。
因素模型是什么？他是一种统计模型，最为一般的表达式是：r、a、B、F和ξ都是列向量或者矩阵，r表示N种资产的收益率，F表示K种因素，a是常数，B是灵敏度系数，表示某因素对资产收益率的影响程度，ξ表示误差项。
撇开复杂的理论模型和晦涩的学术语言，我们可以这样来理解套利定价理论：如果资本市场处于不均衡状态，那么一定会存在无风险套利机会，而套利行为是形成均衡价格的一个决定因素，也是形成现代有效率市场的重要决定因素。
8 第八讲 现代投资理论：套利定价模型(APT)
2. 单因素套利定价理论
假设证券收益率符合单因素模型，考虑充分分散的投 资组合i [组合的非因素风险为零]，其收益率为：
Ri = E ( Ri ) + bi F
那么，当市场无套利均衡时[不存在无风险的套利机会]，有：
E ( Ri ) = R f + bi ( ERPF − R f )
PF是一个充分分散的投资组合，其因素敏感度等于 1，即bPF =1,被称为纯因素组合。
2 2 2 2 σ i2 = b i2 1σ F + b i 2 σ F + σ ε
1 2 i
-0.6
-0.4
-0.2
(1.0885) (12.076)
F = 145.822 R 2 = 0.5791
σ ij = b i1b j 1σ
2 F1
+ b i 2 b j 2σ
2 F2
3.多因素模型
该式表明，某一单个证券的收益率的风险由三个部分 构成：第一部分是该证券收益率关于风险因素F1的风险； 第二部分是关于风险因素F2的风险；第三部分则是该证券 的非因素风险。
2 2 2 σp = bp σ F + ∑ σ ε2
D. 一个实例：单指数模型[index model] 一个运用单因素模型的例子是选择某一具有代表性的市 场指数收益率视为共同因素，即单指数模型(Sharp,1963)，并 通过大量的历史数据回归得到，回归方程为(某一特定证券i)：
1 i =1 n 1 n 2 = b 2σ F + 2 ∑ σ ε2i n i =1
1.单因素模型 A.单因素模型 该模型认为，证券收益率只受某一种共同的因素影响。 对于任意的证券i，其在时期t的单因素模型表达式为： Rit=E(Rit )+biFt+εit 其中，Rit为证券i在时期t的收益率；E(Rit )为证券i在时期 t的期望收益率；Ft为共同因素偏离其期望的离差，其期望值 为0，标准差为 σ Ft ；bi为证券i收益率对共同因素的敏感度； 如果我们只考虑某一给定时间的因素模型，因此，我 们将单因素模型改写为：
ATP套利定价模型
2. 签订一份协议（远期利率协议），该协议规定 该交易者可以按11%的价格6个月后从市场借 入资金1051万元（等于1000e0.10×0.5）。
管理与经济学部
投资学
3. 按12%的利率贷出一笔1年期的款项金 额为1000万元。
4. 1年后收回1年期贷款，得本息1127万 元（等于1000e0.12×1），并用1110万 元（等于1051e0.11×0.5）偿还1年期的 债务后，交易者净赚17万元（1127万 元-1110万元）。
ri = ai + bi f
（4.3）
其回报率的方差
因子风险
σ
2 i
=
bi2σ
2 f
+
σ
2 ei
非因子风险
对于证券i和j而言，它们之间的协方差为
σ ij = cov(ri , rj ) = cov(ai + bi f + ei , a j + bj f + ej )
=
bi
b
jσ
2 f
管理与经济学部
投资学
两因子模型
若只考虑一期的模型，则可以省略表示时 间的下标，从而两因子模型方程为
ri = ai + bi1 f1 + bi2 f2 + ei
其 中 ， E [ei ] = 0, cov(ei , e j ) = 0
cov(ei , f1) = 0, cov(ei , f2 ) = 0
管理与经济学部
2 ei
i =1
i =1
管理与经济学部
投资学
假设残差有界，即
σ2 ei
≤
s2
且于组资合产pi成高立度分w散i化≤，ε即/ nwi充分小，则对
套利定价模型(APT)
应用价值
这里就四点来看： 1.大多数机构投资者评价投资业绩时 2.监管当局确定监管对象的资本成本时 3.法院就未来收入损失判断赔偿金额涉及 收益率时 4.企业资本预算决策确定最低收益率时
不管如何，拿到APT才是关键
多因素模型的定价公式
因素敏感度 因素敏感度 因素敏感度 因素敏感度
rit rf （rp1t rf ）bi1t （rp 2t rf ）bi 2t （rp 3t rf ）bi 3t （rpkt rf ）bikt
主要内容
一 套利与“一价定律” 二 套利如何实现
套利组合的构建
三 套利定价模型的实现
1.单因素模型（ 所有资产 的收益受某一因素影响）
2 2 ri a bi F i , 证券i的方差为: i2 (证券风险) bi2 F（因素风险） （非因素风险） i
2.双因素模型（ 所有资产 的收益受两个因素影响）
双因素以及多因素模型的定价公式
用同样的方法我们可以得到：
ri 0 1bi1 2bi 2 依照单因素模型对0的分析，仍然可以可到0 rf 关于1的含义，考虑一个充分多样化组合，该组合对其一种因素的敏感度为 1， 对第二种因素的敏感度为0，从而可得1 rp1 rf 对第二种因素的敏感度为1，从而可得2 rp 2 rf 从而，可得两因素模型的定价公式： ri rf （rp1 rf ）bi1 （rp 2 rf ）bi 2 同样道理，在多因素模型下，APT资产定价公式为： ri rf （rp1 rf ）bi1 （rp 2 rf ）bi 2 （rp 3 rf ）bi 3 （rpk rf ）bik 即一种证券的预期收益率等于无风险利率加上k个因素的风险报酬。
apt套利定价模型公式
apt套利定价模型公式APT套利定价模型公式APT套利定价模型（Arbitrage Pricing Theory，简称APT）是一种用于评估资产定价的理论模型。
它基于一个假设，即资产的预期收益可以通过一系列因素的组合来解释和预测。
这些因素可以是宏观经济因素、行业特定因素或公司特定因素等。
APT套利定价模型的公式如下：Er = Rf + β1F1 + β2F2 + ... + βnFn + ε其中，Er表示资产的预期收益率；Rf表示无风险利率；β表示资产对各因素的敏感度或贝塔系数；F表示各因素的影响；ε表示不可解释的部分或误差项。
根据APT套利定价模型，资产的预期收益率可以通过对各因素的敏感度进行加权求和来确定。
这些因素可以是市场因子（如股票市场的整体表现）、经济因子（如通货膨胀率、利率水平等）或公司特定因子（如盈利能力、市场份额等）。
在使用APT套利定价模型时，首先需要确定适用于特定资产的相关因素，并计算出每个因素的贝塔系数。
然后，根据资产的预期收益率、无风险利率和各因素的敏感度，可以使用公式来计算资产的合理定价。
APT套利定价模型的优势在于它可以通过考虑多个因素来解释和预测资产的收益，相比于传统的CAPM模型，更具灵活性和适应性。
它可以更好地适应不同市场环境和资产特征，提供更准确的定价结果。
然而，APT套利定价模型也存在一些局限性。
首先，确定适用于特定资产的因素和计算贝塔系数是一个复杂的过程，需要充分的数据和分析。
其次，模型中的预期收益率、因子敏感度等参数的确定也存在一定的主观性和不确定性。
为了有效利用APT套利定价模型，投资者需要进行充分的研究和分析。
他们需要收集和整理相关数据，确定适用于特定资产的因素，并计算出各因素的贝塔系数。
然后，他们可以使用公式来计算资产的预期收益率，并与市场价格进行比较，以确定是否存在套利机会。
APT套利定价模型是一种用于评估资产定价的理论模型。
它通过考虑多个因素的影响来解释和预测资产的预期收益率。