投资学 第10章 套利定价理论(APT)
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因子模型和套利定价理论APT
因子模型和套利定价理论APT因子模型和套利定价理论（APT）是两种常用于资产定价的方法。
它们的目标都是解释资产的定价和收益的来源，但是它们侧重的角度和方法有所不同。
因子模型是一种基于统计方法的资产定价模型。
它假设资产的收益可以由一组经济因子来解释。
这些因子可以是宏观经济指标（如GDP增速、通货膨胀率等），也可以是行业指标（如市场规模、市场份额等）。
通过对这些因子的权重和收益率进行估计，我们可以预测和解释资产的收益率。
常见的因子模型有单一因子模型（如CAPM）和多因子模型（如Fama-French三因子模型）。
因子模型的优点在于能够提供对资产收益的解释和预测，并且易于理解和实现。
然而，由于因子的选择和估计的不确定性，因子模型的预测效果有一定的局限性。
APT是一种基于套利的资产定价理论。
它假设资产的收益可以由多个的因子来解释，这些因子可以是已知的或未知的风险因素。
与因子模型不同，APT不对因子进行具体的定义和估计，而是通过套利机会来确定资产的定价关系。
具体而言，如果某个组合的收益高于其风险所要求的收益，就存在套利机会。
根据套利的想法，资产的价格将会调整，直至套利机会消失。
APT的优点在于不需要对因子进行具体的选择和估计，可以涵盖更广泛的因素，适应不同的市场环境。
然而，由于套利机会的存在需要假设市场的效率，APT也存在一定的局限性。
综上所述，因子模型和套利定价理论是两种常用的资产定价方法。
因子模型通过对因子权重和收益率的估计来解释和预测资产的收益率，而APT则利用套利机会来确定资产的定价关系。
每种方法都有其优点和局限性，应根据具体情况选择合适的方法进行资产定价。
继续就因子模型和套利定价理论（APT）进行详细的探讨。
首先，我们来深入了解一下因子模型。
因子模型是一种为资产定价提供理论依据的方法。
它认为资产的收益率可以由一组经济因子来解释，而这些因子可以是宏观经济指标、行业指标、公司财务指标等。
因子模型的一个典型例子就是资本资产定价模型（CAPM），它假设资产的收益与市场风险有着正向关系。
投资学第10章APT与风险收益多因素模型
则组合风险：
2 P
2 P
2 F
2 (eP )
又：
2(eP )
n 1
i1 n
2
2 (ei)
1 n
2 (ei)
其中，
2 (ei)
2(ei) ,又 n
E (ei)
0
于是有： rP E ( rP ) P F , 且： P P F
28
10.2.3 贝塔与期望收益
▪ 套利准则一：如果两个充分分散化的投资 组合具有相同的β值，则它们在市场中必 有相同的预期收益。
1. 交易者按10%的利率借入一笔6个月资金（假 设1000万元）
2. 签订一份协议（远期利率协议），该协议规定 该交易者可以按11%的价格6个月后从市场借 入资金1051万元（等于1000e0.10×0.5）。
21
3. 按12%的利率贷出一笔1年期的款项金 额为1000万元。
4. 1年后收回1年期贷款，得本息1127万元 （等于1000e0.12×1），并用1110万元 （等于1051e0.11×0.5）偿还1年期的债务 后，交易者净赚17万元（1127万元1110万元）。
▪
4.0%
无风险利率
▪
+1.2*6%
+GDP风险的风险溢价
▪
+(-.3)*(-7%) +利率风险的风险溢价
▪ 总计：13.3%
总收益
▪
用（10-5）式计算的结果：
▪
E(r)=4%+1.2*6%+(-0.3)*(-7%)=13.3%
10.2 套利定价理论
利用证券定价之间的不一致进行资金转移，从中赚取无风险 利润的行为称为套利，套利的特点是： 1）无投资需要,投资者可建立大的头寸来获取高利润； 2）在有效市场内,有利的套利机会会很快消失。
套利定价模型(APT)
双因素以及多因素 2bi 2 依照单因素模型对0的分析，仍然可以可到0 rf 关于1的含义，考虑一个充分多样化组合，该组合对其一种因素的敏感度为 1， 对第二种因素的敏感度为0，从而可得1 rp1 rf 对第二种因素的敏感度为1，从而可得2 rp 2 rf 从而，可得两因素模型的定价公式： ri rf （rp1 rf ）bi1 （rp 2 rf ）bi 2 同样道理，在多因素模型下，APT资产定价公式为： ri rf （rp1 rf ）bi1 （rp 2 rf ）bi 2 （rp 3 rf ）bi 3 （rpk rf ）bik 即一种证券的预期收益率等于无风险利率加上k个因素的风险报酬。
谢谢！
L x1 x2 x3 xn 0 0 L b1 x1 b2 x2 b2 x3 bn xn 0 1 可得到： ri 0 1bi ; 此即为单因素模型APT定价公式，其中0，1是常数。
应用价值
这里就四点来看： 1.大多数机构投资者评价投资业绩时 2.监管当局确定监管对象的资本成本时 3.法院就未来收入损失判断赔偿金额涉及 收益率时 4.企业资本预算决策确定最低收益率时
不管如何，拿到APT才是关键
多因素模型的定价公式
因素敏感度 因素敏感度 因素敏感度 因素敏感度
rit rf （rp1t rf ）bi1t （rp 2t rf ）bi 2t （rp 3t rf ）bi 3t （rpkt rf ）bikt
关于2的含义，另考虑一个充分多样化组合，该组合对其一种因素的敏感度为0，
套利定价模型的意义
1.套利机制是实现金融市场均衡的重要机制
套利定价理论(APT)
10
套利定价模型（APT Model） 套利定价模型（APT Model）
套利定价模型的假设。 APT与CAPM相同的假设包括：投资者都有相同的预 期；投资者追求效用最大化；市场是完美的；收益由 一个因素模型产生。 APT的最基本假设就是投资者都相信证券i的收益随意 受k个共同因素影响，证券i的收益与这些因素的关系 可以用下面这个因素模型表示出来：
9
ri = the return on asset i bi1 = the change in the return on asset i per unit change in factor 1 f1 = the value of factor 1 bi2 = the change in the return on asset i per unit change in factor 2 f2 = the value of factor 2 ... = terms of the form bij*fj with j going from 3 to m-1 fm = the value of factor m bim = the change in the return on asset i per unit change in factor m m = the number of factors ei = the portion of the return on asset i not related to the m factors
E ( ri ) = λ0 + β i1λ1 + β i 2 λ 2 + ⋅ ⋅ ⋅ + β ik λ k
12
套利定价模型（APT Model） 套利定价模型（APT Model）
套利定价模型（APT Model） 套利定价模型（APT Model）
套利定价模型的假设。 APT与CAPM相同的假设包括：投资者都有相同的预 期；投资者追求效用最大化；市场是完美的；收益由 一个因素模型产生。 APT的最基本假设就是投资者都相信证券i的收益随意 受k个共同因素影响，证券i的收益与这些因素的关系 可以用下面这个因素模型表示出来：
9
ri = the return on asset i bi1 = the change in the return on asset i per unit change in factor 1 f1 = the value of factor 1 bi2 = the change in the return on asset i per unit change in factor 2 f2 = the value of factor 2 ... = terms of the form bij*fj with j going from 3 to m-1 fm = the value of factor m bim = the change in the return on asset i per unit change in factor m m = the number of factors ei = the portion of the return on asset i not related to the m factors
E ( ri ) = λ0 + β i1λ1 + β i 2 λ 2 + ⋅ ⋅ ⋅ + β ik λ k
12
套利定价模型（APT Model） 套利定价模型（APT Model）
APT套利定价理论
xn nk 0 x11k x2 2 k
同时为了满足特征1和2的解，要求 n k 。
• 特征三；套利组合的期望收益率必须为正 值。公式表示为：
x1E r1 x2 E r2 xn E rn 0
当一个组合可以同时满足上述三点要求时， 该组合就是一个套利组合。当市场给出了期 望收益率和敏感性的时候，利用同时特征一 和特征二可以得到无穷多个满足上述特征一 和特征二的组合。最后利用特征三来检验。 如果期望收益率可以大于0，则是套利组合。
套利定价模型
• 假设一个组合中有三种证券，并且满足套 利定价组合，加入证券1和证券2收益率高， 而证券3收益率低。由于每个投资者必定买 入证券1和证券2并卖出证券3，届时他们的 期望收益率做出相应的调整。具体来说由 于不断增加的买方压力，证券1和证券2的 价格将上升，进而导致期望收益率的下降， 相反证券3的价格下降和期望收益率上升。
在实际运用中，通常用市场指数近似代替市 场组合，得到证券i的收益率为： ri ai i Rm i 同时为了分析的需要，通常对随机项 i 做出 如下假设：
COV i , j 0 COV i , R m
E i 0
0
有了随机项的这些假设，可以根据市场模型 求出证券i的期望收益率和方差：
*
E rp* rf 1
1 E rp
r
*ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
f
于是 1 称为单位敏感性的组合的期望超额收 益率（即表示高出无风险利率的那部分期望 收益率），也被称作因素风险溢价。用 1 E rp* 表示对因素有单位敏感性的组合的期望收益 1 rf 1 则套利定价的第 率，则可以得到： 二种形式为： E ri rf (1 rf )i
同时为了满足特征1和2的解，要求 n k 。
• 特征三；套利组合的期望收益率必须为正 值。公式表示为：
x1E r1 x2 E r2 xn E rn 0
当一个组合可以同时满足上述三点要求时， 该组合就是一个套利组合。当市场给出了期 望收益率和敏感性的时候，利用同时特征一 和特征二可以得到无穷多个满足上述特征一 和特征二的组合。最后利用特征三来检验。 如果期望收益率可以大于0，则是套利组合。
套利定价模型
• 假设一个组合中有三种证券，并且满足套 利定价组合，加入证券1和证券2收益率高， 而证券3收益率低。由于每个投资者必定买 入证券1和证券2并卖出证券3，届时他们的 期望收益率做出相应的调整。具体来说由 于不断增加的买方压力，证券1和证券2的 价格将上升，进而导致期望收益率的下降， 相反证券3的价格下降和期望收益率上升。
在实际运用中，通常用市场指数近似代替市 场组合，得到证券i的收益率为： ri ai i Rm i 同时为了分析的需要，通常对随机项 i 做出 如下假设：
COV i , j 0 COV i , R m
E i 0
0
有了随机项的这些假设，可以根据市场模型 求出证券i的期望收益率和方差：
*
E rp* rf 1
1 E rp
r
*ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
f
于是 1 称为单位敏感性的组合的期望超额收 益率（即表示高出无风险利率的那部分期望 收益率），也被称作因素风险溢价。用 1 E rp* 表示对因素有单位敏感性的组合的期望收益 1 rf 1 则套利定价的第 率，则可以得到： 二种形式为： E ri rf (1 rf )i
吴晓求《证券投资学》课后问答题答案
1.简述罗斯的套利定价理论（APT）套利定价理论认为套利者使得市场不存在无风险套利，进而保证市场的动态均衡，因此套利者是导致市场更具效率的必要条件；资产价格受多方面因素的影响，表现为多因素模型，但是该理论未能确定资产价格到底受哪些因素的影响以及影响度。
2.现代资产定价理论从哪些方面对传统资产定价理论进行了改进和突破？答：谢夫林和斯塔特曼1994年发表了《行为资本资产定价模型》，该模型通过引入非理性投资者，对传统的CAPM进行了调整，使其更加符合现实3.资本定价模型与资产组合理论的联系是什么?答：1952年,马科维茨发表的《现代资产组合理论》奠定了资产定价理论的发展基础。
1964年夏普提出了资本资产定价模型（CAPM），从投资者效用最大化出发，认为在市场均衡条件下，单一资产或资产组合的收益由无风险收益和风险溢价两部分组成。
4.简述衍生品定价理论的发展历程。
答：（1）期货定价理论：a）持有成本理论。
该理论认为持有存货有成本和价格波动的风险必须补偿，因此期货价格等于现货价格与成本和风险补偿之和。
但与实际情况不一致。
后来者提出了改进，代表性的是1949年沃金提出的储存价格理论和1958年布伦南提出的理论b）延期交割费用理论。
凯恩斯1930年提出的理论，认为较低的期货价格出售和约是让渡一定的风险报偿给投机者。
；c）基于对冲压力的期货定价理论。
针对延期交割费用理论不足。
赫希雷弗于1988年提出了基于对冲压力的期货定价理论。
（2）期权定价理论：最早起源于1900年法国数学家路易斯·巴彻利尔的博士论文《投机理论》；1961年斯普伦克尔在假设股票价格服从对数正态分布、固定均值和方差的基础上推导期权定价公式，期权定价理论才有所进展。
5.行为金融学与现代金融学的差异是什么？答：a)现代金融学理论假设投资者是理性的，能够在现有信息状态下无偏地估计风险和收益，从而做出最佳的决策。
然而，行为金融学家认为：①由于人类有限的认识能力，无法在短时间内对所有的信息进行最佳的处理，往往采取一些简单的方式，如经验法则来处理问题，虽然有时是有效的，但在特殊的环境中就会产生偏差。
套利定价理论
A的需求加大， A对应的直线向右移， 的需求减小，B对应的直线向左移，直到套 因此，市场处于均衡状态时，相同 βB 值的充分分散化资产组合的收益 利消失，两直线重合。 是唯一的。
二、充分分散化的资产组合的收益与风险
（4）不同β值的充分分散化资产组合均衡的风险溢价与β值 成正比例 如图，直线A是一定系统条件下，不同β值的充分分散化资 产组合在均衡状态时收益与β值的关系曲线
'
[ E (rA ) r f ] / A [ E (rB ) r f ] B
三、套利定价模型的表达
•
•
• • • •
对于一般的资产组合和单个证券，尽管不是充分分散化组合资产，也近似表 现出相同的趋势。否则会有套利机会 因此，对于任意两个资产i、j之间，市场均衡时存在下列关系:
①相同β值的点，应是直线上的同一点。如 图，β╭垂线上的点，均衡点应是A‘’点。假 如存在C、D点，就存在套利，套利消失， C、D回到均衡点A
r
A*
C
A
A'
E
D *
②不同β值的点均衡时应在同一直线上。 如图，D、E两点β值分别是β‘’，这两点经 过套利，达到均衡，应分别在AA点 因此，不同β值的点均衡时应在同一直线上 存在这样的关系:
二、充分分散化的资产组合的收益与风险
（2）几何表示 如图，横轴为系统因素，竖轴为资产组合的收益率，βр为 直线的斜率 （3）相同β值的充分分散化资产组合的均衡收益是唯一的 R A A*
B* F* F
B
假如βA＝1的充分分散化资产组合 还存在另一个B，且E（ r B）＝8％， 对于任意系统水平F*，A、B两资 产组合存在的收益假如RA＞RB， 有套利机会，投资者愿意购买资产 A，卖出（或卖空）B，就稳获无 风险套利2％。
套利定价理论ppt课件
如果上述假设不成立，则单因子模型不准确， 应该考虑增加因子或者其他措施。
完整版课件
15
对于证券i，由（8.2）其回报率的均值（期望值）为
ri ai bi f
（8.3）
其回报率的方差
因子风险
i2 bi22f e2i
非因子风险
对于证券i和j而言，它们之间的协方差为
ij cov(ri,rj)cov(aib ifei,ajbjfej)
相反，APT所作的假设少得多。APT的基本 假设之一是：个体是非满足，而不需要风 险规避的假设！
每个人都会利用套利机会：在不增加风险的前提 下提高回报率。
只要一个人套利，市场就会出现均衡！
完整版课件
5
因子模型 （Factor model）
定义：因子模型是一种假设证券的回报率只 与不同的因子波动（相对数）或者指标的 运动有关的经济模型。
对于证券i和j，其协方差为
ij cov(ri,rj)cov(aibi1f1bi2f2ei,
ajbj1f1bj2f2ej)
b i 1 b j 12 f1 b i 2 b j 22 f2 ( b i 1 b j 2 b i 2 b j 1 ) c o v ( f 1 ,f 2 )
完整版课件
22
除CAPM理论外，另一种重要的定价理论是由 Stephen Ross在1976年建立的套利定价理论 （Arbitrage pricing theory，APT），从另 一个角度探讨了资产的定价问题。
市场均衡条件下的最优投资组合理论=CAPM
无套利假定下因子模型=APT
完整版课件
4
CAPM是建立在一系列假设之上的非常理想 化的模型，这些假设包括Harry Markowitz 建立均值-方差模型时所作的假设。这其中 最关键的假设是同质性假设。
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15
对于证券i，由（8.2）其回报率的均值（期望值）为
ri ai bi f
（8.3）
其回报率的方差
因子风险
i2 bi22f e2i
非因子风险
对于证券i和j而言，它们之间的协方差为
ij cov(ri,rj)cov(aib ifei,ajbjfej)
相反，APT所作的假设少得多。APT的基本 假设之一是：个体是非满足，而不需要风 险规避的假设！
每个人都会利用套利机会：在不增加风险的前提 下提高回报率。
只要一个人套利，市场就会出现均衡！
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5
因子模型 （Factor model）
定义：因子模型是一种假设证券的回报率只 与不同的因子波动（相对数）或者指标的 运动有关的经济模型。
对于证券i和j，其协方差为
ij cov(ri,rj)cov(aibi1f1bi2f2ei,
ajbj1f1bj2f2ej)
b i 1 b j 12 f1 b i 2 b j 22 f2 ( b i 1 b j 2 b i 2 b j 1 ) c o v ( f 1 ,f 2 )
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22
除CAPM理论外，另一种重要的定价理论是由 Stephen Ross在1976年建立的套利定价理论 （Arbitrage pricing theory，APT），从另 一个角度探讨了资产的定价问题。
市场均衡条件下的最优投资组合理论=CAPM
无套利假定下因子模型=APT
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CAPM是建立在一系列假设之上的非常理想 化的模型，这些假设包括Harry Markowitz 建立均值-方差模型时所作的假设。这其中 最关键的假设是同质性假设。
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11 Copyright©Lin Hui 2005, Department of Finance, Nanjing University
➢从这个例子可以看出，A在任何一期的 回报率包含了三种成份：
1.在任何一期都相同的部分a 2.依赖于GDP的预期增长率，每一期都不相
同的部分b×IGDPt 3.属于特定一期的特殊部分et。
➢ 不花钱就能挣到钱，即免费的午餐！
▪ 两种套利方法：
➢ 当前时刻净支出为0，将来获得正收益（收益 净现值为正）
➢ 当前时刻一系列能带来正收益的投资，将来的 净支出为零（支出的净现值为0）。
25 Copyright©Lin Hui 2005, Department of Finance, Nanjing University
在两因子模型下，对于证券i ，其回报率的均值
ri ai bi1f1bi2f2
其回报率的方差
证券i对因子1的敏感度
i 2 b i 2 12 f 1 b i 2 22 f2 2 b i1 b i2 c o v (f1 ,f2 ) e 2 i
对于证券i和j，其协方差为
ij cov(ri,rj)cov(aibi1f1bi2f2ei,
a i =截距项
b i m =证券i对因素m的敏感度
e i t =随机误差项，
E [ e i t] 0 ,c o v (i t,r m t) 0 ,c o v (i t,j t) 0
8 Copyright©Lin Hui 2005, Department of Finance, Nanjing University
➢ 例子：公用事业公司与航空公司，前者对GDP 不敏感，后者对利率不敏感。
▪ 单因素模型难以把握公司对不同的宏观经 济因素的反应。
20 Copyright©Lin Hui 2005, Department of Finance, Nanjing University
两因子模型
▪ 若只考虑一期的模型，则可以省略表示时 间的下标，从而两因子模型方程为
10.2 因子模型 （Factor model）
▪ 定义：因子模型是一种假设证券的回报率 只与不同的因子波动（相对数）或者指标 的运动有关的经济模型。
▪ 因子模型是APT的基础，其目的是找出这 些因素并确认证券收益率对这些因素变动 的敏感度。
▪ 依据因子的数量，可以分为单因子模型和 多因子模型。
6 Copyright©Lin Hui 2005, Department of Finance, Nanjing University
riaib i1f1b i2f2ei
其 中 ， E [ e i] 0 ,c o v ( e i,e j) 0
c o v (e i,f1 ) 0 ,c o v (e i,f2 ) 0
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投资学 第10章
套利定价理论（APT）
1
10.1 概述
▪ 在上一章，为了得到投资者的最优投资组 合，要求知道：
➢ 回报率均值向量 ➢ 回报率方差-协方差矩阵 ➢ 无风险利率
▪ 估计量和计算量随着证券种类的增加以指 数级增加
2 Copyright©Lin Hui 2005, Department of Finance, Nanjing University
rt
r6 13.0%
e6 3.2%
▪ 4%
IGDP6 2.9%
I G D Pt
▪ 图中，横轴表示GDP的增长率，纵轴表示 股票A的回报率。图上的每一点表示：在 给定的年份，股票A的回报率与GDP增长 率。
▪ 通过线性回归，我们得到一条符合这些点 的直线为（极大似然估计）
rt 4% 2IG D P tet
子载荷（factor loading）
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▪ 为简单计，只考虑在某个特定的时间的因 子模型，从而省掉角标t，从而（10.1）式 变为
r i a i b if e i
（10.2）
并且假设 (1)cov(ei,f)0
E[ei ] 0
(2)cov(ei,ej)0
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▪ 假设(1)：因子f具体取什么值对随机项没有 影响，即因子f与随机项是独立的，这样保 证了因子f是回报率的唯一因素。
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单因子模型具有两个重要的性质
2. 风险的分散化
➢分散化导致因子风险的平均化
➢分散化缩小非因子风险
n
lnimp2
limD( n i1
wi(ai
bi
f
ei))
lnimbp2f 2 ep2
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▪ 通过分析上面这个例子，可归纳出单因子模型的 一般形式：对时间t 的任何证券i 有时间序列
rit ai bift eit
（10.1）
▪ 其中：
➢ ft是t时期公共因子的预测值； ➢ rit在时期t证券i的回报； ➢ eit在时期t证券i的特有回报 ➢ ai零因子 ➢ bi证券i对公共因子f的敏感度(sensitivity),或因
▪ 两因子模型同样具有单因子模型的重 要优点：
➢ 有关资产组合有效边界的估计和计算量大 大减少（但比单因子增加），若要计算均 方有效边界，需要
n个期望收益，n个bi1， n个bi2， n个残差，2 个因子f方差，1个因子间的协方差，共4n＋3 个估计值。
➢ 分散化导致因子风险的平均化。 ➢ 分散化缩小非因子风险。
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3. 按12%的利率贷出一笔1年期的款项金 额为1000万元。
4. 1年后收回1年期贷款，得本息1127万元 （等于1000e0.12×1），并用1110万元 （等于1051e0.11×0.5）偿还1年期的债务 后，交易者净赚17万元（1127万元1110万元）。
ajbj1f1bj2f2ej)
b i 1 b j 12 f1 b i 2 b j 22 f2 ( b i 1 b j 2 b i 2 b j 1 ) c o v ( f 1 ,f 2 )
22 Copyright©Lin Hui 2005, Department of Finance, Nanjing University
7 Copyright©Lin Hui 2005, Department of Finance, Nanjing University
▪ 例1：设证券回报仅仅与市场因子回报有关
rit ai bimrmt eit
其中
r it rm t
=在给定的时间t，证券i 的回报率 =在同一时间区间，市场因子m的相对数
对于证券i，由（10.2）其回报率的均值（期望值）
为
ri ai bi f
（10.3）
其回报率的方差
因子风险
i2 bi22f e2i
非因子风险
对于证券i和j而言，它们之间的协方差为
ij cov(ri,rj)cov(aib ifei,ajbjfej)
b ibj
2 f
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E[ei]0,cov(ei, fj) 0 cov(ei,ek) 0,i k
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10.3 套利定价理论（APT）
▪ 定义：套利（Arbitrage）是同时持有一种 或者多种资产的多头或空头，从而存在不 承担风险的情况下锁定一个高于无风险利 率的收益。
因子模型回归
年份 1 2 3 4 5 6
IGDPt（%） 5.7 6.4 8.9 8.0 5.1 2.9
股票A收益率（%） 14.3 110.2 23.4 15.6 10.2 13.0
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▪ 假设现在6个月即期年利率为10%（连续复 利，下同），1年期的即期利率是12%。如 果有人把今后6个月到1年期的远期利率定 为11%，则有套利机会。
▪ 套利过程是：
1. 交易者按10%的利率借入一笔6个月资金（假 设1000万元）
2. 签订一份协议（远期利率协议），该协议规定 该交易者可以按11%的价格6个月后从市场借 入资金1051万元（等于1000e0.10×0.5）。
▪ 相反，APT所作的假设少得多。APT的基 本假设之一是：个体是非满足，而不需要 风险规避的假设！
➢ 每个人都会利用套利机会：在不增加风险的前 提下提高回报率。
➢ 只要一个人套利，市场就会出现均衡！
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➢ 若不独立，结果是什么？
▪ 假设(2)：一种证券的随机项对其余任何证 券的随机项没有影响，换言之，两种证券 之所以相关，是由于它们具有共同因子f所 致。
➢从这个例子可以看出，A在任何一期的 回报率包含了三种成份：
1.在任何一期都相同的部分a 2.依赖于GDP的预期增长率，每一期都不相
同的部分b×IGDPt 3.属于特定一期的特殊部分et。
➢ 不花钱就能挣到钱，即免费的午餐！
▪ 两种套利方法：
➢ 当前时刻净支出为0，将来获得正收益（收益 净现值为正）
➢ 当前时刻一系列能带来正收益的投资，将来的 净支出为零（支出的净现值为0）。
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在两因子模型下，对于证券i ，其回报率的均值
ri ai bi1f1bi2f2
其回报率的方差
证券i对因子1的敏感度
i 2 b i 2 12 f 1 b i 2 22 f2 2 b i1 b i2 c o v (f1 ,f2 ) e 2 i
对于证券i和j，其协方差为
ij cov(ri,rj)cov(aibi1f1bi2f2ei,
a i =截距项
b i m =证券i对因素m的敏感度
e i t =随机误差项，
E [ e i t] 0 ,c o v (i t,r m t) 0 ,c o v (i t,j t) 0
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➢ 例子：公用事业公司与航空公司，前者对GDP 不敏感，后者对利率不敏感。
▪ 单因素模型难以把握公司对不同的宏观经 济因素的反应。
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两因子模型
▪ 若只考虑一期的模型，则可以省略表示时 间的下标，从而两因子模型方程为
10.2 因子模型 （Factor model）
▪ 定义：因子模型是一种假设证券的回报率 只与不同的因子波动（相对数）或者指标 的运动有关的经济模型。
▪ 因子模型是APT的基础，其目的是找出这 些因素并确认证券收益率对这些因素变动 的敏感度。
▪ 依据因子的数量，可以分为单因子模型和 多因子模型。
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riaib i1f1b i2f2ei
其 中 ， E [ e i] 0 ,c o v ( e i,e j) 0
c o v (e i,f1 ) 0 ,c o v (e i,f2 ) 0
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投资学 第10章
套利定价理论（APT）
1
10.1 概述
▪ 在上一章，为了得到投资者的最优投资组 合，要求知道：
➢ 回报率均值向量 ➢ 回报率方差-协方差矩阵 ➢ 无风险利率
▪ 估计量和计算量随着证券种类的增加以指 数级增加
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rt
r6 13.0%
e6 3.2%
▪ 4%
IGDP6 2.9%
I G D Pt
▪ 图中，横轴表示GDP的增长率，纵轴表示 股票A的回报率。图上的每一点表示：在 给定的年份，股票A的回报率与GDP增长 率。
▪ 通过线性回归，我们得到一条符合这些点 的直线为（极大似然估计）
rt 4% 2IG D P tet
子载荷（factor loading）
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▪ 为简单计，只考虑在某个特定的时间的因 子模型，从而省掉角标t，从而（10.1）式 变为
r i a i b if e i
（10.2）
并且假设 (1)cov(ei,f)0
E[ei ] 0
(2)cov(ei,ej)0
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▪ 假设(1)：因子f具体取什么值对随机项没有 影响，即因子f与随机项是独立的，这样保 证了因子f是回报率的唯一因素。
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单因子模型具有两个重要的性质
2. 风险的分散化
➢分散化导致因子风险的平均化
➢分散化缩小非因子风险
n
lnimp2
limD( n i1
wi(ai
bi
f
ei))
lnimbp2f 2 ep2
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▪ 通过分析上面这个例子，可归纳出单因子模型的 一般形式：对时间t 的任何证券i 有时间序列
rit ai bift eit
（10.1）
▪ 其中：
➢ ft是t时期公共因子的预测值； ➢ rit在时期t证券i的回报； ➢ eit在时期t证券i的特有回报 ➢ ai零因子 ➢ bi证券i对公共因子f的敏感度(sensitivity),或因
▪ 两因子模型同样具有单因子模型的重 要优点：
➢ 有关资产组合有效边界的估计和计算量大 大减少（但比单因子增加），若要计算均 方有效边界，需要
n个期望收益，n个bi1， n个bi2， n个残差，2 个因子f方差，1个因子间的协方差，共4n＋3 个估计值。
➢ 分散化导致因子风险的平均化。 ➢ 分散化缩小非因子风险。
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3. 按12%的利率贷出一笔1年期的款项金 额为1000万元。
4. 1年后收回1年期贷款，得本息1127万元 （等于1000e0.12×1），并用1110万元 （等于1051e0.11×0.5）偿还1年期的债务 后，交易者净赚17万元（1127万元1110万元）。
ajbj1f1bj2f2ej)
b i 1 b j 12 f1 b i 2 b j 22 f2 ( b i 1 b j 2 b i 2 b j 1 ) c o v ( f 1 ,f 2 )
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▪ 例1：设证券回报仅仅与市场因子回报有关
rit ai bimrmt eit
其中
r it rm t
=在给定的时间t，证券i 的回报率 =在同一时间区间，市场因子m的相对数
对于证券i，由（10.2）其回报率的均值（期望值）
为
ri ai bi f
（10.3）
其回报率的方差
因子风险
i2 bi22f e2i
非因子风险
对于证券i和j而言，它们之间的协方差为
ij cov(ri,rj)cov(aib ifei,ajbjfej)
b ibj
2 f
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E[ei]0,cov(ei, fj) 0 cov(ei,ek) 0,i k
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10.3 套利定价理论（APT）
▪ 定义：套利（Arbitrage）是同时持有一种 或者多种资产的多头或空头，从而存在不 承担风险的情况下锁定一个高于无风险利 率的收益。
因子模型回归
年份 1 2 3 4 5 6
IGDPt（%） 5.7 6.4 8.9 8.0 5.1 2.9
股票A收益率（%） 14.3 110.2 23.4 15.6 10.2 13.0
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▪ 假设现在6个月即期年利率为10%（连续复 利，下同），1年期的即期利率是12%。如 果有人把今后6个月到1年期的远期利率定 为11%，则有套利机会。
▪ 套利过程是：
1. 交易者按10%的利率借入一笔6个月资金（假 设1000万元）
2. 签订一份协议（远期利率协议），该协议规定 该交易者可以按11%的价格6个月后从市场借 入资金1051万元（等于1000e0.10×0.5）。
▪ 相反，APT所作的假设少得多。APT的基 本假设之一是：个体是非满足，而不需要 风险规避的假设！
➢ 每个人都会利用套利机会：在不增加风险的前 提下提高回报率。
➢ 只要一个人套利，市场就会出现均衡！
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➢ 若不独立，结果是什么？
▪ 假设(2)：一种证券的随机项对其余任何证 券的随机项没有影响，换言之，两种证券 之所以相关，是由于它们具有共同因子f所 致。