实变函数与泛函分析
实变函数与泛函分析
实变函数与泛函分析
实变函数是指在数学中，变量和函数值都是实数的函数。
泛函分析是一门数学分支，主要研究实变函数的性质和分析。
泛函分析的基本概念包括：
1.函数的连续性：指函数在某个区间内，对于任意两个不同的自变量值，函数值之差都可以被任意给定的常数δ所代替，即函数在该区间内是连续的。
2.函数的可导性：指函数在某个区间内，对于任意一个自变量值，都存在一个导数，即函数在该区间内是可导的。
3.函数的可积性：指函数在某个区间内，对于任意两个自变量值，都存在一个积分，即函数在该区间内是可积的。
泛函分析还研究了一些其他概念，如复合函数、反函数、单调函数、奇偶性函数、周期函数、级数等。
泛函分析的研究方法包括函数的几何表示、函数的微积分学表示、函数的数学分析表示等。
泛函分析是一门广泛应用的数学分支，在工程、物理、化学、经济学等领域都有广泛的应用。
实变函数与泛函分析
开 G n ， 集 E 使 G n 且 m ( G 得 n E ) 1 n
令O
n 1
Gn
,则 O为 G型集， EO 且
m ( O E ) m ( G n E ) 1 n ,n 1 ,2 ,3 , L
故m(OE)0
例： 设E为[0,1]中的有理数全体， 试各写出一个与E只相差一 零测度集的G 型集或 F 型集。
可测集可由 G 型集去掉一零集， 或 F 型集添上一零集得到。
(2).若E可测，则存在 F 型集H, 使 H E 且 m (EH )0
(1).若E可测，则存在G 型集 O, 使 E O 且 m (O E )0
(2).若E可测，则存在 F 型集H, 使 H E 且 m (EH )0
证明：若(1)已证明，由Ec可测可知
(2)若 E可测 ， 0 则 ,闭F 集 ， 使F 得 E且 m(EF)
(1)若 E可测 ， 则 0,开G 集 ， (2)若 E可测 ， 0 则 ,闭F 集 ， 使E 得 G且 m(GE) 使F 得 E且 m(EF)
证明：若(1)已证明，由Ec可测可知
0 , 开 G ， 集 E c 使 G 且 m ( G 得 E c )
令 O n 1 G n ， 则 O 为 G 型 集 ， E O 且
m ( O E ) m ( G n E ) 1 n ,n 1 ,2 ,3 ,
故m(OE)0 从 而 E O (O E ) 为 可 测 集
例：设E为[0,1]中的有理数全体， 试各写出一个与E只相差一小
测度集的开集和闭集。E{r1,r2,r3,}
取F=G c，则F为闭集 FE
且 m (EF )m (E F c)
m (E (c)c F c)m (F cE c)m (G E c)
实变函数与泛函分析电子版15~36页
第 16页定义1 设,A B 为两个非空集合，如果有某一法则ϕ，使每个x A ∈有唯一确定的y B ∈和它对应，则称ϕ为Ａ到Ｂ内的映射，记为:A B ϕ→.当映射ϕ使ｙ和ｘ对应时，y 称为x 在映射ϕ下的像，记作(x)y ϕ=，也可表示为:xy ϕ.对于任一固定的y,称适合关系(x)y ϕ=的x 的全体是元素y 在ϕ之下的原像，集合Ａ称为映射ϕ的定义域，记为()βϕ，设Ｃ是Ａ的子集，Ｃ中所有元素的像的全体，记为(c)ϕ，称它是Ｃ在ϕ之下的像，(A)ϕ称为映射ϕ的值域，记为()ϕℜ。
定义２ 设Ａ和Ｂ是两非空集合，若存在从集合Ａ到Ｂ上的一一映射ϕ ，即满足：⑴ 单设：对任意x,y A ∈，若(x)(y)ϕϕ=,则x=y ；⑵ 满射：对任意y B ∈，存在x A ∈，使得(x)y ϕ=.则称Ａ和Ｂ对等，记为A B ，规定φφ。
例 １我们可给出有限集合的一个不依赖于元素个数概念的定义，集合Ａ称为有限集合，如果A=φ或者A 和正整数的某截段{1,2，......n}对等。
例 2 { 正奇数全体 }{ 正偶数全体 }，事实上，只要令(x)x 1ϕ=+ 即可。
例 3{ 正整数全体}{ 正偶数全体}，这只需令(x)2x ϕ=，第17页X 是整数。
例4 区间（0,1）和全体实数R 对等，只需对每个(0,1)x ∈，令(x)t a n (x )2πϕπ=-。
例5 设A与B是两个同心圆周（图1.4），显然A~B。
事实上，对A上每一点x 与同心圆的圆心的连线与B相交且交与一点，值得注意的是，若将此圆的两周展开为线段时，则这两条线段的长度并不相同。
这告诉我们，一个较长的线段并不例4表明，无限长的“线段”也不比有限比另一个较短线段含有“更多的点”。
长的线段有“更多的点”。
例 3和例4说明一个无限集可以和它的一个真子集对等（可以证明，这一性质正是无限极的特征，常用来作为无限极的定义）。
这一性质对于有限集来说显然不能成立，由此可以看到有限集和无限极之间的诧异。
实变函数与泛函分析
(2) Hilbert旅馆问题
1, 2, 3, 4, 5, 6,… a1, a2, a3, a4, a5, a6, …
问下列情况是否能把新来的人安排下：
1 又来了有限个人{b1, b2, b3, … ，bn}
2 每个人带一个亲戚{b1, b2, b3, …, bn, …}
3 每个人带无限多个亲戚（亲戚可排个队） 4 又来了[0,1]个人
(1) Achilles追龟
0(甲)
甲的速度为1，乙的速度为1/2
½（乙）
3/4
7/8 15/16 1
n1
1 2n
1 2
1 22
1 2n
1
问题：时间由时刻组成，每一时刻，甲、乙都在一确定点上由于 甲、乙跑完相应路程所用时间一样，故甲、乙所用“时刻数”一 样，从而跑过的点的“个数”也一样。
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(2) Riemann可积的充要条件
xi-1 xi
f(x)在[a,b]上Riemann可积
xi-1 xi
b
n
n
b
a
f
( x)dx
lim ||T ||0
i 1
M ixi
lim
||T ||0
i 1
mi xi
a
f (x)dx
其中： M i sup{ f (x) : xi1 x xi} mi inf{ f (x) : xi1 x xi}
如不按面额大小分类，而是按从钱袋取出的先后次序来计 算总数，那就是Ri等理科教学》，2000.1）
0
1
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3.Lebesgue积分构思产生的问题
实变函数与泛函分析基础ppt课件
证明：不妨设f单调增，对任意a∈R
令Ia inf{ x | f (x) a}
由f单调增知下面的集合为可测集
E { [ f a]
E [ I a ,) 当I a {x| f ( x)a} E ( I a ,) 当I a {x| f ( x)a}
a
1
/ I a x1 x2
10
⒊可测函数的等价描述
定理1：设f(x)是可测集E上的广义实函数，则 f(x)在E上可测
16
⑵可测函数类关于四则运算封闭
即:若f(x),g(x)是E上的可测函数,
则f(x)+g(x) , f(x) -g(x) , f(x)g(x) , f(x)/g(x)
仍为E上的可测函数。
a-g(x) r f(x)
证明：先证： a
R, E[
f
ga]
E[ f
可测，
a g ]
猜想：E[ f ag] rQ(E[ f r] E[agr] )。
可测集E上的连续函数f(x)定为可测函数
证明：任取x∈E[f>a], 则f(x)>a,由连续性假设知，
对 f (x) a, x 0, 使得f (O(x,x ) E) O( f (x), ) (a,)
即O( x,x ) E E[ f a]
令G O xE[ f a] ( x,x )
1 ， n
）
E[ f
为可测集。
]
12
注：重要方法：将集合分解为某些集合
的并、交、差等，从而利用已知条件。
如：用分解法证明：
f , g均为E上可测函数，则E[ f g]为E上可测集。
事实上，E[
f
g]
(
rQ
E[
给想学实变函数和泛函分析的一点建议
给想学实变函数和泛函分析的一点建议首先，本人学过到目前为止除了最优化理论其它还没用过，但是最大的收获是数学的一些研究方法，下面是正文不知在哪看过，希望对学弟学妹们有用。
有点长~实变函数和泛函分析在经济学中的用处非常大。
首先，实变函数是研究L积分理论的，这种L积分使积分理论得以应用的函数范围大大推广了，实际上除了数学家刻意构造出来的奇异函数，一般的函数，特别是我们在分析实际问题时遇到的函数，都是L可积的。
因此L积分的理论可以用于我们分析实际问题时遇到的所有函数。
L积分的理论中哪些内容是极其重要的呢？从应用的角度来讲，最有价值的就是测度理论和积分的三个相互等价控制收敛定理。
测度论使的概率论变得更加威力强大，可以解决很多以前被认为是古怪的无法分析的问题。
也使很多概率理论变得更加严格。
比如无限可分事件的概率以及用西格玛域来阐述的条件概率等等。
没有测度论就无法分析连续鞅等等。
另外，积分收敛定理解决了积分运算与极限运算互换的问题，使得很多极限问题变得可以计算。
所以支持大样本统计理论的概率极限理论就建立起来了。
如果搞懂了实变函数，你对统计，计量，金融工程等问题的研究就可以一枪刺到底，从基本概念的学习开始可以一路畅通的达到对前沿理论的深刻理解。
没有实变函数的基础，学计量，统计和金融工程就是隔靴挠痒。
再看泛函分析，泛函分析是建立在实变函数的基础上的。
为什么这么说呢？其实就分析的问题的思路来讲，泛函和实变还是有很大差别的，但是泛函研究的是函数空间，研究函数空间中的收敛和连续等拓扑概念必须依赖范数的定义，而函数空间的范数的定义依赖于积分理论，所以实变函数就成了泛函的基础。
所以一般都是先学实变，再学泛函。
当然，也有先学直接学泛函的，这时就只能直接的接受积分定义的范数概念，或者干脆只从抽象范数的角度来研究，不去管范数的具体形式。
从理解泛函本身的理论来讲并没有什么不妥，只是在用泛函解决实际问题时就有麻烦，因为研究实际问题就要给出具体的范数定义，没有实变函数的积分理论就不行了。
实变函数论泛函分析课件
02 实变函数的定义与性质
实变函数的定义
01
02
03
定义域
实变函数的定义域是实数 集的一个子集，可以是有 限或无限的。
值域
实变函数的值域是实数集 的一个子集，可以是有限 或无限的。
函数表达式
实变函数可以表示为从定 义域到值域的映射关系， 通常用符号 f(x) 表示。
实变函数的性质
单调性
如果对于任意 x1<x2，都有 f(x1)≤f(x2)，则称 f(x) 在其定义
微积分的应用
介绍微积分在各个领域的应用，如物理学、工程学、经济学等。
微积分的进一步发展
介绍微积分的进一步发展，如变分法、最优控制等。
04 泛函分析的基本概念
泛函的定义与性质
定义
泛函是将函数空间的每一个元素作为自变量，其值是实数或 复数的函数。
性质
泛函是定义在函数空间上的，它具有连续性、可加性、线性 等性质。
么该空间是自完备的。
共鸣定理
在赋范线性空间中，如果存在 一个与所有单位球相交的集合，
那么该空间是自完备的。
开映射定理
如果X和Y是赋范线性空间，T 是X到Y的开映射，那么T是满
射。
闭图像定理
如果X和Y是赋范线性空间，T 是X到Y的连续线性映射，那
么T的像集是闭的。
05 泛函分析的应用领域
微分方程的求解
分析中的某些问题。
应用领域
实变函数论和泛函分析 在许多应用领域都有交 叉，如 质
线性性质
对于任意实数k和函数f,g，有 $k(f+g)=(kf)+(kg)$， $(kf)+(kg)=(k+k)(f)$。
连续性质
如果f_n(x)是函数空间中的收敛序列， 那么$f_n(x)$的极限函数也是连续的。
实变函数与泛函分析-实变与泛函_ch3
3.1 距离空间的定义及例子 University of science & Technology of China
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3.3 距离空间的完备性和稠密性
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长春理工大学数学研究生入学加试
《实变函数与泛函分析》考试大纲
一、总体要求
考生应按本大纲的要求，掌握Lebesgue的测度论，实变量的可测函数理论，Lebesgue 积分理论与微分理论，掌握度量空间和赋范线性空间的概念和例子，有界线性算子和连续线性泛函的概念和例子，掌握Hilbert空间的基本性质。
较好的掌握测度论与抽象积分理论，并且在一定程度上掌握集合的分析方法。
二、教材
《实变函数与泛函分析基础(第二版）》，程其襄等，高等教育出版社,2003.
三、考试内容
（一）集合
1. 掌握集合的概念，集合的包含和相等的关系和判定方法；
2. 熟练掌握集合的和、交、差、余的运算，掌握上限集、下限集和收敛集的定义
3. 会求集合的和、交、差、余，会求集合族的上限集、下限集，会判定集合列是否收敛；
4. 理解集合基数的概念，对等的概念，掌握Bernstein定理，会用Bernstein定理判定集合对等；
5. 掌握可数集合与具有连续基数的不可数集合的概念、例子和运算性质，能够利用已知的例子和运算性质去确定集合为哪类无限集合；
6. 知道不存在具有最大基数的集合。
（二）点集
1. 理解距离和距离空间的概念，懂得Euclid空间是距离空间；
2. 掌握邻域的概念与性质，掌握点列收敛、点集距离、有界集和区间的概念；
3．深入理解内点、外点、界点、聚点、孤立点的定义，理解并掌握集合的开核、导集、边界、闭包的概念及相关的性质；
4. 熟练掌握开集、闭集的概念和相关性质，掌握紧集的概念，完备集的概念，掌握有限覆盖定理；
5. 理解直线上开集、闭集的构造定理，掌握Cantor集的性质。
（三）测度论
1.深入理解并熟练掌握外测度，L-可测集的定义和基本性质，并掌握典型的例子
2.理解σ代数的定义，掌握Borel集、G
δ
型集、Fσ型集的定义，明确可测集和Borel
集、Gδ型集、Fσ型集之间的关系，掌握L-可测集类；
（四）可测函数
1. 理解并掌握可测函数的定义与等价条件，掌握简单函数的概念，几乎处处收敛的概念，理解简单函数与可测函数的关系；
2. 理解Egorov定理，Lusin定理；
3. 理解并掌握依测度收敛的定义，理解Riesz定理，Lebesgue定理，会利用这两个定理去解决实际问题。
（五）积分论
1. 理解并熟练掌握Lebesgue积分的定义和等价条件，明确L-可积函数的种类；
2. 熟练掌握L-积分的性质：特别是Lebesgue控制收敛定理，Levi定理，逐项积分定理，积分的可数可加性，Fatou引理，能够熟练地利用这些性质解决实际问题；
3. 知道L-积分与R-积分的关系；理解Lebesgue积分的几何意义及Fubini定理。
（六）微分与不定积分
1. 掌握单调函数、有界变差函数的可微性和其微分的L-可积性,掌握不定积分的概念，绝对连续函数的概念，以及L-可积函数的Newton-Leibniz公式；
2. 理解分步积分法；
3. 了解Steiltjes积分。
（七）度量空间和赋范线性空间
1. 理解并熟练掌握度量空间中的相关概念和性质，特别是可分空间，完备度量空间，度量空间的完备化公理，压缩影射原理及应用；
理解并掌握赋范线性空间的定义，例子；掌握Banach空间的定义，例子和性质。
（八）有界线性算子和连续线性泛函
1. 理解并掌握有界线性算子，无界线性算子，连续线性泛函的定义和例子；
2.理解并掌握算子范数的定义，会求简单的算子范数；
3.理解并掌握有界线性算子空间及其共轭空间的定义，例子，及简单的性质，会求简单的线性算子空间的共轭空间；
4.了解广义函数的定义和例子。
（九）Hilbert空间
1. 掌握内积空间的定义，Hilbert空间的定义和例子，明确内积空间中范数、距离及正交的定义；
2. 理解并掌握Hilbert空间中的投影定理；
3. 掌握规范正交系，Fourier系数的定义，理解并掌握完全规范正交系，Fourier展开式的概念，掌握完全规范正交系的等价条件，判定定理，以及Hilbert空间中完全规范正交系的存在性；
4. 掌握Riesz表示定理，共轭算子的概念及性质；
5. 了解自伴算子，酉算子和正常算子的定义和简单性质。