2019 2020高中数学第六章直线上向量的坐标及其运算623平面向量的坐标及其运算课件新人教B版
2019_2020学年新教材高中数学第六章平面向量初步6.2.2直线上向量的坐标及其运算课件新人教B版必修第二册
探究一
探究二
思维辨析 当堂检测
分类讨论比较数或式的大小——数学思想
典例比较 a 和���1���的大小.
解:方法一:a-1 = ������2-1 = (������-1)(������+1),
������
������
������
当 a=±1 时,1=a;
������
当
a<-1
时,a-1<0,a+1<0,a<0,(������
(3)中点坐标公式 设 M(x)是线段 AB 的中点,则 x=������1+������2.
2
探究一
探究二
思维辨析 当堂检测
课堂篇探究学习
概念的辨析问题 例1下列命题正确的个数有( ) (1)向量的长度大于0;(2)数轴上离原点越远的点表示的数越 大;(3)������������ + ������������ = ������������.
-1)(������ ������
+1)<0,a<���1���
;
当-1<a<0 时,(������-1)���(���������+1)>0,a>���1���;
当 0<a<1 时,(������-1)(������+1)<0,a<1;
������
������
当 a>1 时,(������-1)(������+1)>0,a>1.
6.2.2 直线上向量的坐标及其运算
-1-
课标阐释
1.理解实数与数轴上的 点的一一对应关系及实 数运算在数轴上的几何 意义. 2.理解向量及其相等的 概念. 3.掌握数轴上向量加法 的坐标运算及数轴上两 点间的距离公式. 4.理解数轴上向量坐标 与其长度之间的区别与 联系.
2020学年新教材高中数学第六章6.2.2直线上向量的坐标及其运算6.3.2两点间的距离中点坐标公式及向量平行
6.3.2 两点间的距离、中点坐标公式及向量平行一、选择题1．已知平面向量a ＝(1,2)，b ＝(－2，m )，且a ∥b ，则2a ＋3b ＝( )A ．(－2，－4)B ．(－3，－6)C ．(－4，－8)D ．(－5，－10)解析：由a ＝(1,2)，b ＝(－2，m )，且a ∥b ，得1×m ＝2×(－2)，解得m ＝－4，所以b ＝(－2，－4)，所以2a ＋3b ＝2(1,2)＋3(－2，－4)＝(－4，－8)．答案：C2．已知向量a ＝(1,2)，b ＝(λ，1)，若(a ＋2b )∥(2a －2b )，则λ的值等于( ) A.12 B.13C ．1D ．2解析：a ＋2b ＝(1,2)＋2(λ，1)＝(1＋2λ，4)，2a －2b ＝2(1,2)－2(λ，1)＝(2－2λ，2)，由(a ＋2b )∥(2a －2b )，可得2(1＋2λ)－4(2－2λ)＝0，解得λ＝12，故选A. 答案：A3．已知A (1，－3)，B ⎝ ⎛⎭⎪⎫8，12，且A ，B ，C 三点共线，则点C 的坐标可以是( ) A ．(－9,1) B ．(9，－1)C ．(9,1)D ．(－9，－1)解析：设点C 的坐标是(x ，y )，因为A ，B ，C 三点共线，所以AB →∥AC →.因为AB →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫8，12－(1，－3)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫7，72， AC →＝(x ，y )－(1，－3)＝(x －1，y ＋3)，所以7(y ＋3)－72(x －1)＝0，整理得x －2y ＝7， 经检验可知点(9,1)符合要求，故选C.答案：C4．已知向量OA →＝(3，－4)，OB →＝(6，－3)，OC →＝(2m ，m ＋1)，若AB →∥OC →，则实数m 的值为( )A.35 B ．－35C ．3D ．－3解析：向量OA →＝(3，－4)，OB →＝(6，－3)，∴AB →＝(3,1)，∵OC →＝(2m ，m ＋1)，AB →∥OC →，∴3m ＋3＝2m ，解得m ＝－3，故选D.答案：D二、填空题5．向量a ＝(1,2)，b ＝(－1,1)，求|2a －b |＝________.解析：由a ＝(1,2)得2a ＝(2,4)，∴2a －b ＝(3,3)，∴|2a －b |＝3 2.答案：3 26．已知A (2,1)，B (0,2)，C (－2,1)，O (0,0)，给出下列结论：①直线OC 与直线BA 平行；②AB →＋BC →＝CA →；③OA →＋OC →＝OB →；④AC →＝OB →－2OA →.其中，正确结论的序号为________．解析：①因为OC →＝(－2,1)，BA →＝(2，－1)，所以OC →＝－BA →，又直线OC ，BA 不重合，所以直线OC ∥BA ，所以①正确；②因为AB →＋BC →＝AC →≠CA →，所以②错误；③因为OA →＋OC →＝(0,2)＝OB →，所以③正确；④因为AC →＝(－4,0)，OB →－2OA →＝(0,2)－2(2,1)＝(－4,0)，所以④正确．答案：①③④7．已知向量a ＝(1,2)，b ＝(1，λ)，c ＝(3,4)．若a ＋b 与c 共线，则实数λ＝________. 解析：因为a ＋b ＝(1,2)＋(1，λ)＝(2,2＋λ)，所以根据a ＋b 与c 共线得2×4－3×(2＋λ)＝0，解得λ＝23.答案：23三、解答题8．已知a ＝(x,1)，b ＝(4，x )，a 与b 共线且方向相同，求x .解析：∵a ＝(x,1)，b ＝(4，x )，a ∥b .∴x 2－4＝0，解得x 1＝2，x 2＝－2.当x ＝2时，a ＝(2,1)，b ＝(4,2)，a 与b 共线且方向相同；当x ＝－2时，a ＝(－2,1)，b ＝(4，－2)，a 与b 共线且方向相反．∴x ＝2.9．已知A ，B ，C 三点的坐标分别为(－1,0)，(3，－1)，(1,2)，并且AE →＝13AC →，BF →＝13BC →，求证：EF →∥AB →.证明：设E (x 1，y 1)，F (x 2，y 2)，依题意有AC →＝(2,2)，BC →＝(－2,3)，AB →＝(4，－1)．∵AE →＝13AC →，∴AE →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫23，23， ∵BF →＝13BC →，∴BF →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－23，1. ∵AE →＝(x 1＋1，y 1)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫23，23，∴E ⎝ ⎛⎭⎪⎫－13，23， ∵BF →＝(x 2－3，y 2＋1)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－23，1，∴F ⎝ ⎛⎭⎪⎫73，0， ∴EF →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫83，－23. 又∵4×⎝ ⎛⎭⎪⎫－23－83×(－1)＝0，∴EF →∥AB →. [尖子生题库]10．已知a ＝(1,0)，b ＝(2,1)．(1)当k 为何值时，k a －b 与a ＋2b 共线？(2)若AB →＝2a ＋3b ，BC →＝a ＋m b 且A ，B ，C 三点共线，求m 的值．解析：(1)k a －b ＝k (1,0)－(2,1)＝(k －2，－1)， a ＋2b ＝(1,0)＋2(2,1)＝(5,2)．因为k a －b 与a ＋2b 共线，所以2(k －2)－(－1)×5＝0，得k ＝－12. (2)因为A ，B ，C 三点共线，所以AB →＝λBC →，λ∈R ，即2a ＋3b ＝λ(a ＋m b )，所以⎩⎪⎨⎪⎧ 2＝λ，3＝mλ，解得m ＝32.。
2019_2020学年新教材高中数学第六章平面向量初步6.2.2直线上向量的坐标及其运算6.3.1平面向量的坐标及运算
答案：2 由 B 是 AP 的中点，得A→P＝2A→B，求出 t 的值．
知识点三 平面向量的坐标表示
一般地，给定平面内两个相互垂直的单位向量 e1，e2，对于平 面内的向量 a，如果 a＝xe1＋ye2，则称(x，y)为向量 a 的坐标，记 作 a＝(x，y)．
状元随笔 1.对平面向量坐标的几点认识
(1)设O→A＝x→i ＋y→j (O 为坐标原点)，则向量O→A的坐标(x，y) 就是终点 A 的坐标；反过来，终点 A 的坐标就是向量O→A的坐标(x， y)．因此，在直角坐标系内，每一个平面向量都可以用一个有序实 数对唯一表示，即以原点为起点的向量与实数对是一一对应的．
跟踪训练 2 在直角坐标系 xOy 中，向量 a，b 的方向如图所示， 且|a|＝2，|b|＝3，分别求出它们的坐标．
解析：设点 A(x，y)，B(x0，y0)， ∵|a|＝2，且∠AOx＝45°，
∴x＝2cos 45°＝ 2，且 y＝2sin 45°＝ 2.又|b|＝3，∠xOB＝90°
＋30°＝120°，
故x2－x＋2y3＝y＝4， 1， 解得xy＝ ＝2－，1. 所以 c＝2a－b. 答案：(1)(－18,18) (－3，－3) (2)2a－b
(1)先求A→B，B→C，A→C坐标，再计算A→B＋2B→C，B→C－12A→C的值． (2)设→c ＝x→a ＋y→b ，建立方程组，求出 x，y.
方法归纳
向量中含参数问题的求解策略 (1)向量的坐标含有两个量：横坐标和纵坐标，如果纵坐标或横 坐标是一个变量，则表示向量的点的坐标的位置会随之改变． (2)解答这类由参数决定点的位置的题目，关键是列出满足条件 的含参数的方程(组)，解这个方程(组)，就能达到解题的目的．
高中数学(人教B版)直线上向量的坐标及其运算
M(x), A(x1), B(x2 )
3. 利用直线上向量的运算与坐标之间的关系，求数轴上的
中点坐标公式
设 A(x1), B(x2 ) 是数轴上两点，O为坐标原点，
设M(x)是线段AB的中点，则 AM MB，有 OM OA OB OM ，
则 OM
1 2 (OA OB)
取 |a| = 1，也就是 a 为单位向量时，则 |λ| = |b| ，|μ| = |c|.
l
b
a
c
一.直线上向量的坐标 给定一条直线 l 以及这条直线上一个单位向量e ，由共线向 量基本定理可知，对于直线 l 上的任意一个向量 a，一定存 在唯一的实数x，使得 a = xe，此时，x 称为向量 a 的坐标.
直线上向量的坐标及其运算
高一年级 数学
知识概要
一.直线上向量的坐标 二.直线上向量的运算与坐标的关系 三.例题分析与讲解 四.课堂小结
复习
向量相等：把大小相等、方向相同的向量称为相等的向量. 零向量：把始点和终点相同的向量称为零向量，即 AA= 0. 单位向量：把模等于1的向量称为单位向量.
交换律 结合律 分配律
AB | AB | AB OB OA
A(x1), B(x2 )
3. 利用直线上向量的运算与坐标之间的关系，求数轴上两 点间的距离公式 设 A(x1), B(x2 ) 是数轴上两点，O为坐标原点， 则 OA x1e ，OB x2e ， 因此 AB OB OA x2e x1e = ( x2 x1)e.
1. 向量的相等与它们对应的坐标之间的关系： 当a = b时，有 x1e x2e ， 则 (x1 x2 )e = 0， 因为 e 是单位向量，所以 x1 x2 .
2019_2020学年高中数学第六章直线上向量的坐标及其运算6.3.1平面向量的坐标及运算新人教B版必修第二册 (1)
6.2.2 直线上向量的坐标及其运算 6.3.1 平面向量的坐标及运算一、选择题1．数轴上两点，P 坐标为1，Q 坐标为－3，|PQ →|＝( ) A ．1 B ．2 C ．3 D ．4解析：∵PQ 的坐标为－4， ∴|PQ →|＝4. 答案：D2．设i ，j 是平面直角坐标系内分别与x 轴，y 轴正方向相同的两个单位向量，O 为坐标原点，若OA →＝4i ＋2j ，OB →＝3i ＋4j ，则2OA →＋OB →的坐标是( )A ．(1，－2)B ．(7,6)C ．(5,0)D ．(11,8)解析：因为OA →＝(4,2)，OB →＝(3,4)， 所以2OA →＋OB →＝(8,4)＋(3,4)＝(11,8)． 答案：D3．已知向量a ＝(－1,2)，b ＝(1,0)，那么向量3b －a 的坐标是( ) A ．(－4,2) B ．(－4，－2) C ．(4,2) D ．(4，－2)解析：3b －a ＝3(1,0)－(－1,2)＝(4，－2)． 答案：D4．已知向量a ＝(1,2)，2a ＋b ＝(3,2)，则b ＝( ) A ．(1，－2) B ．(1,2) C ．(5,6) D ．(2,0)解析：b ＝(3,2)－2a ＝(3,2)－(2,4)＝(1，－2)． 答案：A 二、填空题5．在平面直角坐标系内，已知i 、j 是两个互相垂直的单位向量，若a ＝i －2j ，则向量用坐标表示a ＝________.解析：由于i ，j 是两个互相垂直的单位向量，所以a ＝(1，－2)． 答案：(1，－2)6．已知向量a ＝(x ＋3，x 2－3x －4)与AB →相等，其中A (1,2)，B (3,2)，则x ＝________.解析：易得AB →＝(2,0)，由a ＝(x ＋3，x 2－3x －4)与AB →相等得⎩⎪⎨⎪⎧x ＋3＝2，x 2－3x －4＝0，解得x ＝－1.答案：－1 三、解答题7．如图，取与x 轴、y 轴同向的两个单位向量i ，j 作为基底，分别用i ，j 表示OA →，OB →，AB →，并求出它们的坐标．解析：由图形可知，OA →＝6i ＋2j ，OB →＝2i ＋4j ，AB →＝－4i ＋2j ，它们的坐标表示为OA →＝(6,2)，OB →＝(2,4)，AB →＝(－4,2)．8．已知O 是坐标原点，点A 在第一象限，|OA →|＝43， ∠xOA ＝60°， (1)求向量OA →的坐标；(2)若B (3，－1)，求BA →的坐标．解析：(1)设点A (x ，y )，则x ＝|OA →|cos 60°＝43cos 60°＝23，y ＝|OA →|sin 60°＝43sin 60°＝6，即A (23，6)， 所以OA →＝(23，6)．(2)BA →＝(23，6)－(3，－1)＝(3，7)．[尖子生题库]9．已知O 是△ABC 内一点，∠AOB ＝150°，∠BOC ＝90°，设OA →a ，OB →＝b ，OC →＝c ，且|a |＝2，|b|＝1，|c |＝3，试用a ，b 表示c .解析：如图，以O 为原点，OA →为x 轴的非负半轴建立平面直角坐标系，由三角函数的定义，得B (cos 150°，s in 150°)，C (3co s 240°，3sin 240°)．即B ⎝ ⎛⎭⎪⎫－32，12，C ⎝ ⎛⎭⎪⎫－32，－332，又∵A (2,0)， 故a ＝(2,0)，b ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－32，12，c ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－32，－332. 设c ＝λ1a ＋λ2b (λ1，λ2∈R )，∴⎝ ⎛⎭⎪⎫－32，－332＝λ1(2,0)＋λ2⎝ ⎛⎭⎪⎫－32，12＝2λ1－32λ2，12λ2，∴⎩⎪⎨⎪⎧2λ1－32λ2＝－32，12λ2＝－332，∴⎩⎨⎧λ1＝－3，λ2＝－33，∴c ＝－3a －33b .。
高中数学公开课直线上向量的坐标及其运算
二、平面向量的正交分解及坐标表示
把一个向量分解为两个互相垂直的向量，叫做把向量正交分解.在平面直角坐标系
中，分别取与x轴、y轴方向相同的两个单位向量i、j作为基底.对于平面内的一个
向量a，由平面向量基本定理可知，有且只有一对实数x、y，使得a＝xi+yj.
这样，平面内的任一向量a都可由x、y唯一确定，我们把有序数对
叫做
向量a的坐标，记作a＝（x，y），这就是向量的坐标表示.
（x，y）
三、平面向量的坐标运算
a＝（x1，y1），b＝（x2，y2），
a+b＝ （x1+x2，y1+y2） ，a-b＝（x1-x2，y1-y2）
.
即两个向量和（差）的坐标分别等于这两个向量相应坐标的和（差）. λa＝ （λx1，λy1） . 即实数与向量的积的坐标等于用这个实数乘原来向量的相应坐标.
（4）若线段BC的中点为F，求点F的坐标.
【解】 （1）∵ A，B，C三点的坐标分别为1，7，-3，
∴ BA ＝ OA - OB ， BA 的坐标为-6，| BA |＝6； AC ＝ OC - OA ， AC 的坐标 为-4，| AC |＝4； CB ＝ OB - OC ，CB 的坐标为10，| CB |＝10.
变式训练
已知在数轴上四点A，B，C，D的坐标分别为-4，-2，c，d.（1）若 AC
的坐标为5，求c的值； （2）若| BD |＝6，求d的值；
（3）若 AC ＝- 3AD ，求证： 3CD ＝- 4AC .
（1）解：∵ AC 的坐标为5，∴ c-（-4）＝5，∴ c＝1. （2）解：∵ | BD |＝6，∴ |d-（-2）|＝6，∴ d＝4或d＝-8.
（3）证明：∵ AC 的坐标为c+4， AD 的坐标为d+4，
高中数学第六章平面向量初步6.2向量基本定理与向量的坐标6.2.3平面向量的坐标及其运算第2课时向量
若A→P＝2P→B，则(x－3，y＋4)＝2(－1－x,2－y)，
∴xy－ ＋34＝ ＝－ 4－2－ 2y，2x，
∴x＝13， y＝0，
∴P13，0.
若A→P＝－2P→B，则(x－3，y＋4)＝－2(－1－x,2－y)， ∴xy－ ＋34＝ ＝2－＋42＋x，2y， ∴xy＝ ＝－ 8，5， ∴P(－5,8)． 综上，点 P 的坐标为13，0或(－5,8)．
3．设向量 a＝(1,0)，b＝(1,1)，若向量 λa＋b 与向量 c＝(6,2)共线，则实 数 λ＝________.
答案 2 解析 λa＋b＝(λ＋1,1)，因为 λa＋b 与 c 共线，所以 2(λ＋1)＝6×1，λ ＝2.
4．已知A→B＝(6,1)，B→C＝(4，k)，C→D＝(2,1)．若 A，C，D 三点共线， 则 k＝________.
[跟踪训练4] 已知四边形 ABCD 的四个顶点 A，B，C，D 的坐标依次 是(3，－1)，(1,2)，(－1,1)，(3，－5)．
求证：四边形 ABCD 是梯形．
证明 ∵A→B＝(－2,3)，D→C＝(－4,6)．∴D→C＝2A→B， 又∵A，B，C，D 四点不共线， ∴在四边形 ABCD 中，DC∥AB，
∴λλ＝ m＝1，－2. ∴m＝－2， 即 m＝－2 时，A，B，C 三点共线．
解法二：依题意知 i＝(1,0)，j＝(0,1)，则A→B＝(1,0)－2(0,1)＝(1，－2)，B→C ＝(1,0)＋m(0,1)＝(1，m)，而A→B，B→C共线，
∴1×m＋2＝0，解得 m＝－2. 故当 m＝－2 时，A，B，C 三点共线．
3
2
A.2
B.3
C.16D．6答案D解析 由向量共线条件知－2×(－3)＝x，∴x＝6.
6.3平面向量及运算的坐标表示课件(人教版)
（3）两向量差的坐标与两向量的顺序无关。（ ） （4）向量（2，3）与向量（-4，-6）同向。（ ）
【提示】（1）×。对于同一个向量，无论位置在哪里， 坐标都一样。 （2）√。根据向量的坐标表示，当始点在原点时，终 点与始点坐标之差等于终点坐标。 （3）×。根据两向量差的运算，两向量差的坐标与两 向量的顺序有关。
2
线，则C的坐标可以是（ ）
A.（-9，1） B.（9，-1）
C.（9，1）
D.（-9，-1）
【思维·引】设出点C的坐标，因为A，B，C三点共线， 写出向量 AB,AC（或 BC），由向量共线的条件结合选项 求解。
【解析】选C。设点C的坐标是（x，y），
【内化·悟】 1.由共线的坐标条件求参数的解题步骤是怎样的？ 提示：（1）分别写出共线的两个向量的坐标。 （2）通过共线条件列出方程（组）。 （3）解方程（组）求出参数。
2.如何判断共线的向量u与v是同向还是反向？ 提示：写成u=λv的情势，若λ>0，同向，若λ<0，反向。
角度3 三点共线问题 【典例】已知A（1，-3），B (8，1 )，且A，B，C三点共
量 AB共线的单位向量是（ ）
A.(3， 4) C.(6，8)
B.( 3，4 ) 55
D.( 4， 3 ) 55
【思维·引】利用向量共线的坐标表示判断。 【解析】选B。因为AB =（7，-3）-（4，1）=（3，-4）， 由向量共线的条件可知，A，B，C选项中的向量均与AB共 线，但A，C中向量不是单位向量。
因为A（0，1），AC=（-3，-3），
所以
x y
3, 1 3,
解得
x y
3, 2,
所以点C的坐标为（-3，-2）。又B（3，2），所以BC=（-
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知识点二 平面向量的坐标及平面上向量的运算与坐标的 关系
(一)教材梳理填空 1．基本概念 (1)平面上的两个非零向量 a 与 b ，如果它们所在的直线互
相 垂直 ，我们就称向量 a 与 b 垂直，记作 a ⊥b . 规定零向 量与任意向量都 垂直 ．
(2)如果平面向量的基底 {e1，e2}中， e1⊥e2，就称这组基底 为正交基底 ；在正交基底下向量的分解称为向量的 正交分解．
(3)ua ＋vb ＝(ux 1＋vx2，uy1＋vy2)，ua －vb ＝ _(_u_x_1－___v_x_2，__u_y_1_－__v_y_2_) ．
(4)向量的模：设 a ＝(x，y)，则|a |＝ x2＋y2.
4．平面直角坐标系内两点之间的距离公式与中点坐标公式
设 A(x1，y1)，B(x2，y2)为平面直角坐标系中的两点，该线 段的中点 M(x，y)，则
(二)基本知能小试 1．判断正误：
(1)已知a ＝(a1，a2)，b ＝(b1，b2)，若a ∥b ，则必有 a1b2＝
a2b1. (2)向量 (2,3)与向量 (－4，－ 6)反向． 答案：(1)√ (2)√
() ()
2．若向量 a ＝(1,2)，b ＝(2,3)，则与a ＋b 共线的向量可以是
A．(2,1) C ．(6,10)
B．(－1,2) D．(－6,10)
()
答案： C
3．已知a ＝(1,2)，b ＝(x,4)，若a ∥b ，则x等于
A．－12 C ．－ 2 答案： D
1 B.2 D．2
()
题型一 直线上向量的坐标及其运算 [学透用活 ]
[典例1] (1)已知e是直线l上的一个单位向量，向量 a 与b 都
(4)数轴上两点间的距离公式与中点坐标公式
设A(x1)，B(x2)是数轴上的两点， O为坐标原点， M(x)是线 段AB 的中点．
①距离公式： AB ＝|―AB→x1|＝＋|xx22－x1|.
②中点坐标公式： x＝___2____.
(二)基本知能小试 1．数轴上 A点的坐标为－ 5，则向量 ―OA→的坐标是 ________ ．
(1)两点间距离公式：
AB ＝|―AB→|＝ ?x2－x1?2＋?y2－y1?2 .
(2)中点坐标公式： x＝
x
＝x
1＋x 2
2
，y＝
y1＋y2 2
.
(二)基本知能小试
1．判断正误：
(1)相等向量的坐标相同与向量的起点、终点无关． ( )
(2)当向量的始点在坐标原点时，向量的坐标就是向量终点
的坐标．
为向量a 的坐标．
(2)直线上的向量完全被其坐标确定：
直线l上向量a 的坐标为x，此 时|a |＝|xe|＝|x||e|＝|x|.
结论
x>0 a 的方向与e的方向_相__同_
x＝0
a 是零向量
直线上的向量完全被 其 坐标 确定
x<0 a 的方向与e的方向 相反
[微提醒] 在谈到数轴时默认为已经指定了与数轴正方向 同向的单位向量 e.
6．2.2&6.2.3 直线上向量的坐标及其运算 平面向量的坐标 及其运算
新课程标准
1．借助于平面直角坐标系，掌握平面向量的正交分解及坐标 表示．
2．会用坐标表示平面向量的加、减运算与数乘运算． 3．通过学习，提高学生直观想象和数学抽象的核心素养．
知识点一 直线上向量的坐标及其运算 (一)教材梳理填空 1．直线上向量的坐标 (1)直线上向量的坐标： 给定一条直线 l以及这条直线上一个 单位向量 e，由共线向量基本定理可知，对于直线 l上的任意一 个向量a ，一定存在 唯一 的实数x，使得__a_＝__x_e__ ，此时， x称
2．直线上向量的运算与坐标的关系 (1)直线上两个向量相等的充要条件是它们的坐标 相等 ． (2)直线上两个向量和的坐标等于两个向量的坐标的 和 ．
(3)如果u，v是两个实数，直线上两个向量 a ，b 的坐标分
别为x1，x2，那么 ua ＋vb 的坐标为 ux 1＋vx2 ，ua －vb 的坐标 为 ux 1－v x2 .
答案： － 5
2．数轴上
―→ OA
＝3e(e为数轴上的单位向量
)，则点 A的坐标是
________ ．
答案： 3
3．直线l上向量a 的坐标是 5，b 的坐标是 x，若a ＝b ，则x＝ ________. 答案： 5
4．已知数轴上向量 a 的坐标为 2，b 的坐标为 6，则向量 2a ＋b 的坐标是 ________． 答案： 10
()
(3)两向量差的坐标与两向量的顺序无关．
()
(4)点的坐标与向量的坐标相同．
()
答案：(1)√ (2)√ (3)× (4)×
2．若a ＝(2,1)，b ＝(1,0)，则3a ＋2b 的坐标是
()
A．(5,3) C ．(8,3)
B．(4,3) D．(0，－1)
答案： C
3．已知向量 a ＝(x＋3，x2－3x－4)与 ―AB→ 相等，其中 A(1,2)，
是直线l上的向量，则向量 a ＝5e，b ＝－4e的坐标分别是 ________ 、________.
(2)已知A，B，C为数轴上三点，且 xA＝－2，xB＝6，试求 符合下列条件的点 C的坐标．
①AC ＝10；② |―AC→|＝10；③ |―AC→|＝3|―BC→|.
[解析] (1)由于e的坐标是 1，故a＝5e的坐标为 5，向量 b＝ －4e的坐标是－ 4.
B (3,2) ，则 x ＝________.
解析： 易得 ―AB→ ＝(2,0) ，由 a＝(x ＋3， x 2－3x －4)与 ―AB→
相等得
??x ＋3＝2，x
－
4
＝
0，
解得 x ＝－ 1.
答案： － 1
知识点三 向量平行的坐标表示 (一)教材梳理填空
设a ＝(x1，y1)，b ＝(x2，y2)，则a ∥b ? x2y1＝x1y2 .
2．向量的坐标 一般地，给定平面内两个相互垂直的单位向量 e1，e2，对 于平面内的向量 a ，如果a ＝xe1＋ye2，则称(x, y)为向量 a 的坐 标，记作 a ＝(x, y)．
3．平面上向量的运算与坐标的关系 设a ＝(x1, y1)，b ＝(x2, y2)，u，v是两个实数． (1)平面上两个向量相等的充要条件是它们的坐标对应 _相__等__． (2)a ＋b ＝ (x1＋x2，y1＋y2) ；