Cauchy收敛原理
cauchy收敛原理
cauchy收敛原理Cauchy收敛原理。
在数学分析中，Cauchy收敛原理是一条非常重要的定理，它为我们理解数列和函数的收敛性提供了重要的依据。
这一原理是由法国数学家Augustin Louis Cauchy在19世纪提出的，它对于我们理解数学分析中的收敛概念有着深远的影响。
Cauchy收敛原理的核心思想是，对于一个实数列来说，只要该数列满足柯西收敛条件，即数列中的任意两项之间的距离随着项的序号的增大而趋于零，那么这个数列就是收敛的。
换句话说，如果对于任意给定的正实数ε，存在正整数N，使得当n和m都大于N时，数列中第n项和第m项的距离小于ε，那么这个数列就是收敛的。
这一原理的重要性在于，它提供了一种判别数列收敛性的准则。
通过柯西收敛条件，我们可以判断一个数列是否收敛，而不需要提前知道它的极限是多少。
这对于数学分析中的许多问题都具有重要意义，特别是在实数系和函数空间中的收敛性问题上。
另外，Cauchy收敛原理也为我们理解实数系的完备性提供了重要线索。
实数系的完备性是指实数系中的每一个柯西数列都收敛于实数系中的一个数。
通过Cauchy收敛原理，我们可以很自然地理解这一性质，柯西收敛条件保证了数列中的项之间的距离逐渐缩小，从而使得数列趋于收敛。
在函数空间中，Cauchy收敛原理也有着重要的应用。
通过该原理，我们可以判断函数序列是否收敛于某个函数，从而为函数极限的研究提供了依据。
同时，Cauchy收敛原理也为我们理解函数空间的完备性提供了重要的线索，它告诉我们，如果一个函数序列满足柯西收敛条件，那么它就收敛于函数空间中的一个函数。
总之，Cauchy收敛原理是数学分析中的一条重要定理，它为我们理解数列和函数的收敛性提供了重要的依据。
通过柯西收敛条件，我们可以判断数列和函数序列是否收敛，从而为数学分析中的许多问题提供了解决的途径。
同时，该原理也为我们理解实数系和函数空间的完备性提供了重要线索，对于深入理解数学分析中的收敛性问题具有重要意义。
第十章 无穷级数1 柯西收敛原理与数项级数的概念
也收敛,并收敛于cS .
❖ 设有两级数 ak 与 bk .若存在一个 N ,使得
k 1
k 1
ak bk , 当 k N ,
则两个级数敛散性相同.
❖ 将收敛级数的项任意加括号所成的新级数,仍然收
敛到原级数的和. (反之不成立!)
Remark:
1. 级数收敛与否,与前有限项的取值无关.
2. 设 ak收敛, bk发散,则 (ak bk ) 一定发散.
k 1
k 1
k 1
设 ak发散, bk发散,则 (ak bk ) 不一定发散.
k 1
k 1
k 1
例如: (1)n 发散, (1)n1发散.
n1
n1
思考题
判断级数
1
n1 n(n 1)(n 2)
是否收敛;若收敛,求其和.
思考题答案
an
1 2
( n1
n
1
) 1
( n
1
1
n
1
2)
数学分析II
第十章 无穷级数
§1 柯西收敛原理与数项级数的概念
生物数学教研室
1. Cauchy收敛原理
定理 1 (Cauchy收敛原理)
Cauchy序列
设an是一个序列,则an有极限的充要条件是:
0, N , s.t. 当 n N , m N 时,有
an am .
定理 2 (函数的Cauchy收敛原理)
4 3
n1
P1
n 1,2,
An
An1
3{4n2
[(
1 )n1 9
A1
]}
A1
3
1 9
A1
3
4
(1)2 9
第5节实数的完备性：Cauchy收敛定理64197
nk N1， ank a 2
由an是基本列，N N *,m,n N时，
am an 2
nk，n maxN1, N，
an a an ank ank a
lim
n
an
a.
an ank ank a 2 2 .
例1
例１. q 1时, {qn }是基本列.
证：因为当q 1时, {qn }为无穷小, 所以对 0, N N* , 当n N时, q n .
2
因此当n N时, p N * qn qn p q n 1 q p
(1 q p )q n
2q n .
例2.
证
an
1
1 22
1 n2
bk ak
ba 2k
0,
k
取 xnk [ak , bk ];
[ak ,bk ], k 1, 2, 构成套, 且xnk [ak ,bk ], k 1, 2,
由闭区间套定理，
c, s.t
lim
k
ak
lim
k
bk
c.
由于ak xnk bk ,
由夹逼定理知
lim
k
xnk
c.
即 { xnk } 收敛.
sin(n 1)x
sin(n 2)x
sin(n p)x
(n 1)[n 1 sin(n 1)x] (n 2)[n 2 sin(n 2)x]
(n p)[n p sin(n p)x]
1
1
1
1
(n 1)(n 11) (n 2)(n 2 1)
(n p 1)(n p 11) (n p)(n p 1)
1 1 1 1 1 1 1 1
cauchy判别法
cauchy判别法Cauchy判别法是微积分中的一个重要定理，它可以用来判断数列的收敛性。
在本文中，我们将详细介绍Cauchy判别法的定义、证明及其应用。
一、Cauchy判别法的定义在数列中，如果对于任意的正实数ε，存在正整数N，使得当n,m>N时，有|anam|<ε，则称数列{an}为Cauchy数列。
换句话说，如果数列中任意两项之差越来越小，那么这个数列就是Cauchy数列。
二、Cauchy判别法的证明证明Cauchy判别法的基本思路是，利用数列收敛的定义，即对于任意的正实数ε，存在正整数N，使得当n>N时，有|ana|<ε，其中a为数列的极限。
首先，假设数列{an}是Cauchy数列，即对于任意的正实数ε，存在正整数N，使得当n,m>N时，有|anam|<ε。
我们需要证明数列{an}收敛，即存在一个实数a，使得对于任意的正实数ε，存在正整数N，使得当n>N时，有|ana|<ε。
为了证明这个命题，我们需要构造一个实数a，使得对于任意的正实数ε，存在正整数N，使得当n>N时，有|ana|<ε。
具体来说，我们可以利用Cauchy数列的定义，对于任意的正实数ε，存在正整数N，使得当n,m>N时，有|anam|<ε。
因此，我们可以选取一个正整数N，使得当n,m>N时，有|anam|<ε。
接下来，我们可以考虑对数列{an}中的每一个项进行操作，将其分成两部分，即an=aN+(anaN)。
由于aN是一个常数，因此我们只需要考虑后面的部分anaN。
由于数列{an}是Cauchy数列，因此对于任意的正实数ε，存在正整数N，使得当n,m>N时，有|anam|<ε。
因此，当n>N时，有|anaN|<ε/2，当m>N时，有|amaN|<ε/2。
将这两个不等式相加，可以得到：|anaN|+|amaN|<ε|anam|<ε由于|anam|<ε，因此对于任意的正实数ε，存在正整数N，使得当n>N时，有|anam|<ε。
cauchy收敛定理
cauchy收敛定理第一篇：Cauchy收敛定理Cauchy收敛定理是数学中非常重要的定理之一，它是数学分析的基础之一。
由法国数学家Augustin-Louis Cauchy在19世纪初提出，通过连续的函数来研究函数序列的极限，为后续的数学发展做出了巨大贡献。
Cauchy收敛定理的核心思想是基于函数序列的收敛性质。
在数学中，函数序列是一系列的函数组成的序列，通过对序列中每个函数的极限进行研究，我们可以得出关于序列整体极限的结论。
在Cauchy收敛定理中，关键在于序列的收敛性质。
一个函数序列如果满足Cauchy收敛准则，即序列中任意两个函数的差值可以任意小，那么这个函数序列就是Cauchy收敛的。
具体而言，设有函数序列{f_n(x)}，如果对于任意给定的正数ε，存在一个正整数N，使得当n,m>N时，对任意的x都有|f_n(x) -f_m(x)| < ε，那么函数序列{f_n(x)}就是Cauchy收敛的。
Cauchy收敛定理的证明过程比较复杂，需要运用到数学分析中的一些基本定理和方法。
通过逐步推导，我们可以得到Cauchy收敛准则的结论。
Cauchy收敛定理在实际应用中有着广泛的用途。
首先，在微积分中，我们经常需要研究函数极限的性质，而Cauchy收敛定理提供了一种有效的方法来判断函数序列的收敛性。
其次，Cauchy收敛定理在数论中也有着重要的地位。
实数的定义中就用到了Cauchy收敛定理，我们可以通过Cauchy收敛定理来构建实数的序列，并研究实数的性质。
此外，Cauchy收敛定理还在数学分析的其他领域中扮演着重要的角色。
在函数空间中，我们可以用Cauchy收敛定理来定义收敛的函数序列，进而研究函数空间的性质。
总结一下，Cauchy收敛定理是数学领域中的重要定理，它通过研究函数序列的极限性质，为我们理解和应用数学提供了强有力的工具。
无论是在微积分、数论还是其他数学分析领域，Cauchy收敛定理都有着广泛的应用和深远的影响。
函数极限的柯西收敛准则
函数极限的柯西收敛准则柯西（Cauchy）收敛准则是判断数列收敛性的一种常用方法，它是分析数学中非常基础且重要的定理之一，可用于证明数列的极限存在性。
柯西收敛准则的基本思想是：一个数列收敛的充分必要条件是该数列是柯西数列。
首先，我们来定义柯西数列。
对于一个实数数列{a_n}，若对任意给定的正实数ε，存在一个正整数N，使得当n,m>N时，有，a_n-a_m，<ε，则称该数列为柯西数列。
进一步解释，柯西数列的定义表明，当数列的后续项无限接近，趋于无穷大靠拢，无限接近一个常数时，该数列是柯西数列。
现在，我们来证明柯西收敛准则。
假设{a_n}是一个柯西数列，我们需要证明该数列收敛。
首先，由柯西数列的定义可知，对任意给定的正实数ε，存在一个正整数N，使得当n,m>N时，有，a_n-a_m，<ε。
这意味着数列中的后续项无限接近，也就是说，存在一个常数L，使得对任意给定的正实数ε，存在一个正整数N，使得当n>N时，有，a_n-L，<ε。
换言之，我们可以对任意小的正实数ε，找到一个正整数N，使得当数列的项数超过了N时，数列中的每一项与L的差值都小于ε。
这里的L就是数列的极限值。
所以，根据柯西数列的定义，我们可以得出结论：如果一个数列是柯西数列，那么该数列是收敛的，且极限值是该数列的柯西极限。
具体而言，柯西收敛准则说明了这个性质，对于任何收敛数列，它一定是柯西数列，而柯西数列不一定收敛。
另外，需要注意的是，柯西收敛准则只适用于完备度量空间，而不适用于不完备度量空间。
完备度量空间指的是该度量空间中的任何柯西数列都是收敛的。
总结来说，柯西收敛准则用于判断数列的极限是否存在，它是极限存在性的一个有效判据。
通过验证柯西收敛准则，能够判断数列是否收敛，并找到其极限值。
这一准则在实际问题中具有重要的意义，可用于证明一些数列收敛的性质及其应用。
第5节实数的完备性：Cauchy收敛定理
1 q ln x1 x0 0 1, N max 1,1 , n N , P N ： ln q
固有
xn p xn
实数系完备性的进一步解释
xn xn1 4 1 xn xn1 xn xn1 3 3 9 2 2 2 1 1 1 2 xn1 xn 2 n x1 x0 n1 2 2 2
xn p xn
( x
k 1
p
n k
x n k 1 )
x n k x n k 1
* *
0, N N * , m n N , p N *： am an
:
y
an
L
L L
O
n
1 1 例1. 证 an 1 2 2 是基本列. 2 n 1 1 证明： 由 0 an p an 2 ( n 1) ( n p)2
注：Cauchy收敛准则是判断数列收敛的重要方法 由例1：
1 1 1 an 1 2 2 2 收敛. 2 3 n
1 1 1 由例2： an 1 2 3 n 当 1发散.
例4：若数列满足下面情况，判断是否收敛
p (1)对n, p有 | an p an | . n p ( 2)对n, p有 | an p an | 2 . n
不单调
③
x2n ,x2n1单调，xn 2 xn1与xn xn1同号.
④ lim x2 n , lim x2 n1 存在 n n
xn 2
1 1 1 xn 1 x n 1 1 1 2 xn 1 xn
依测度收敛的cauchy准则
依测度收敛的cauchy准则在介绍依测度收敛的Cauchy准则之前，我们先来回顾一下数列的收敛性。
在实数集上，数列是由一系列实数按照一定顺序排列而成的。
如果一个数列存在一个实数L，使得对于给定的任意正数ε，总存在一个正整数N，使得当n>N时，数列的第n项与L之间的距离小于ε，那么我们称该数列收敛于L，记作lim an = L。
反之，如果不存在这样的实数L，我们称该数列发散。
然而，对于某些数列，我们无法直接找到一个实数L来判断其收敛性。
这时，依测度收敛的Cauchy准则就派上了用场。
依测度收敛的Cauchy准则是指：对于一个数列，如果对于任意给定的正数ε，总存在一个正整数N，使得当m,n>N时，数列的第m项与第n项之间的距离小于ε，那么这个数列是依测度收敛的。
换句话说，如果一个数列满足依测度收敛的Cauchy准则，那么它的项与项之间的距离会趋于零，也就是说，这个数列趋于一个极限值。
这个极限值可能是一个实数，也可能是无穷大。
所以依测度收敛的Cauchy准则对于判断数列的收敛性提供了一种更加灵活的方法。
需要注意的是，依测度收敛的Cauchy准则只是判断数列收敛性的一个条件，而不是数列收敛的充分必要条件。
也就是说，如果一个数列满足依测度收敛的Cauchy准则，我们可以推断它是收敛的，但反之不一定成立。
依测度收敛的Cauchy准则在实分析中有着广泛的应用。
它不仅可以用来判断数列的收敛性，还可以用来证明一些重要的数学定理。
例如，在实数集上，我们可以利用依测度收敛的Cauchy准则证明实数完备性定理，即实数集上的Cauchy数列一定收敛。
依测度收敛的Cauchy准则还可以推广到其他数学领域。
在函数空间中，我们可以定义依测度收敛的Cauchy准则来判断函数序列的收敛性。
在测度论中，我们也可以利用依测度收敛的Cauchy准则来定义测度的收敛性。
总结起来，依测度收敛的Cauchy准则是实分析中一个重要的概念，它为我们判断数列的收敛性提供了一种更加灵活的方法。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
Cauchy 收敛原理
“单调有界数列必有极限。
”与“夹逼定理：设有三个数列{}{}{}n n n z y x ,,满足
n n n z y x ≤≤，且c z x n n n n ==∞
→∞
→lim lim ，则c y n n =∞
→lim 。
”给出了数列收敛的充分条件
而不是必要条件，经过许多数学家的努力，终于由法国数学家Cauchy 获得了完善的结论——Cauchy 收敛原理，它从数列本身找到了能够判断数列收敛性的充分必要条件。
定理5 （Cauchy 收敛原理）数列{}n a 收敛的充分必要条件是：对任意的0>ε，都存在正整数N ，当N n m >,时，有
ε<-m n a a
证明 必要性：
设a a n n =∞
→lim ，则对0>∀ε，存在正整数N ，当N l >时，有
3
ε
<-a a l
从而当N n m >,时，有
εε
ε
<+
<-+-≤-+-=-3
3
m n m n m n a a a a a a a a a a
必要性得证。
充分性
先证明数列{}n a 有界。
取1=ε，由题设，必存在正整数0N ，当1,00+=>N m N n 时，有
110<-+N n a a 因而当0N n >时，有
11111000001++++++<+-≤+-=N N N n N N n n a a a a a a a a
当令{
} ,1,,,1100+=+N N a a a M ()(
)
,2,1=≤n M a n ，数列{}n a 有界。
由致密性定理，数列{}n a 存在收敛的子列{}
l n a ，设()∞→→l a a l n ，即对0>∀ε，存在正整数L ，
当L l >时，有
3
ε
<
-a a l n
令()1,1max ~++=N L l 。
则L l >~
，且N N n n N l
>+≥≥+11~，故当N n >时，有3
~ε
<
-l
n n a a ，从而
εε
ε
<+
<
-+-≤-3
3
~~a a a a a a l
l n n n n
即 a a n n =∞
→lim
充分性得证。
例4 设n
n x x x x x 12,,12,21121+=+==+ ，求n n x ∞→lim 。
解 明显，2≥n x ，故
2111
112
1212----+-≤-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+-+
=-n n n n n n n n n n x x x x x x x x x x 由递推公式及2
1
1112==
-x x x ，有 ()n
n n n n x x x x 2
1
2121212121<=-≤---+ （3－6－1） m m n n n n m n x x x x x x x x -++-+-≤-+---1211 这里m n >。
对0>∀ε，由（3－6－1）式，有
1212
1
2
11212121212121-------<⎪⎭⎫ ⎝⎛+++=+
++
≤
-m m n m n m m n n m n x x 要使
ε<-1
2
1m ，只须11
log 2
+>ε
m
取111
log 2+⎥⎦⎤
⎢⎣⎡
+=εN ，当N m n >,时，ε<-m n x x 成立。
由Cauchy 收敛原理知，
数列{}n x 收敛。
不妨设a x n n =∞
→lim ，则
⎪⎪⎭⎫
⎝
⎛+=∞→+∞→n n n n x x 12lim lim 1 即a
a 1
2+
=，解之得，21±=a ，由题意知2>a ，故21+=a 。
因此 21lim +
=∞
→n n x
Cauchy 收敛原理说明：若数列{}n a 收敛，则对任意0>ε，必存在正整数N ，在N a 这
一项以后的任意两项之差的绝对值小于ε。
反过来，如果对任意的正整数N ，在N a 这一项以后存在两项，他们之差的绝对值大于某个常数，则可判定该数列发散。
例5 设() ,3,2,113
12
11=+
++
+
=n n
y n ，证明数列{}n y 发散。
证明 对任意正整数m ，令m n 2=，有
m
m m m y y m n ++
+++
+=-12
11
1
2
2
22111>
=
++
+++
+≥
m m
m m
m m
m 因此，取2
2
=
ε，则对任意的正整数N ，都存在大于N 的正整数n m n 2,=，有 2
2>
-m n y y 由Cauchy 收敛原理知，数列{}n y 发散。
习 题
1 设() ,3,2,11
31211=++++
=n n
a n ，证明数列{}n a 发散。
2 利用柯西收敛原理分析下列数列的收敛性。
（1）()M c q q c q c q c c a k
n
n n ≤≤++++=,12
210 ；
（2）()n b n n 1
1312111+-+-+-
= （3）!
sin !33sin !22sin 11sin 1n n
y n +
++++= （4）n
z n 11+
= 3 有界数列{}n a 若不收敛，则必存在两个子列()()∞→→∞→→l b a k a a l
k
n n ,且()b a ≠。
4设(),10,112<<-≤-+++k x x k x x n n n n 证明数列{}n x 收敛。