柯西收敛准则的3种不同证法

柯西收敛准则的不同证法方法一:用定理2证明柯西收敛准则
证明：必要性:易知，当{ a
n }有极限时(设极限为a)，{ a
n
}一定是一个柯
西数列。

因为对任意的ε>0，总存在N(N为正整数)。

使得当n ，m>N时，有| a
n
-a|< ε， | a
m
-a|<ε
∴| a
n - a
m
|≤| a n -a|+| a m -a|<ε，即{ a n }是一个柯西数列。

充分性:先证明柯西数列{ a
n }是有界的。

不妨取ε=1，因{ a
n
}是柯西数
列，所以存在某个正整数N
0，当n > N
时有| a
n
–a
No+1
|<1，亦即当n ，N> N
时| a
n
|≤| a No+1 |+1即{ a n }有界。

不妨设{ a n }⊂[a ，b]，即a≤a n≤b，我们
可用如下方法取得{ a
n }的一个单调子列{ a
nk
}：
(1)取{ a
nk }⊂{ a
n
}使[a，a
nk
]或[a
nk
，b]中含有无穷多的{ a
n
}的项；
(2)在[a，a
nk ]或[a
nk
，b]中取得a
nk+1∈
{ a
n
}且满足条件(1)并使nk+1>nk；
(3)取项时方向一致，即要么由a→b要么由b→a。

由数列{ a
n }的性质可知以下三点可以做到，这样取出一个数列{ a
nk
}⊂{ a
n
}
且{ a
nk }是一个单调有界数列，必有极限设为a，下面我们证明{ a
n
}收敛于a。

因为lim
n→∞a
nk
=a,则对ε>0，正整数K，当k >K时| a
nk
-a|<
2
ε。

另一方面由于
{ a
nk }是柯西数列，所以存在正整数N，使得当n ，m>N时有| a
n
– a
m
|<
2
ε
，
取n
0=max(k+1，N+1)，有n
0≥n N+1>N以及 > k+1 >k。

所以当n >N时| a n-a|≤| a n
– a
m |+| a
m
-a|<ε。

∴{ a
n
}收敛于a。

方法二:用定理3证明柯西收敛准证
证明：必要性显然。

下证充分性。

设{x
n
}是柯西数列，即对任意的ε>0，存在N >0，使得当n ， m > N时，
有| x
n – x
m
| <ε (1)
令y
n =sup{ x
n+p
| p =1，2，…}
z n =inf { x
n+p
| p =1，2，…}
显然，y
n 是单调递减数列，z
n
是单调递增数列。

取M =max{ x
1
，x
2
，…，
x N , x
N
+1}。

由(1)，不难知x
n≤M， n =1，2，…。

于是，y n和z n都是有界数列。

根据单调有界原理，y
n 和z
n
都是收敛数列。

不妨设
y
n →a z
n
→b n→∞ (2)
由y
n 和z
n
的构造以及(1)，我们有
z
n≤x n≤y n n =1，2， (3)
y
n
-z
n
<εn > N (4)
于是由(4)，有a-b≤ε，而ε是任意正数，因此a = b (5) 最后，根据(2)，(3)和(5)，我们有x
n
→a (n→∞)。

这就完成了证明。

方法三:用定理4证明柯西收敛准则
证明：必要性是显然的。

下面只证充分性。

根据条件，对ε=1，存在n
0，当n ，m> n
时，有| x
n
–
x m | <1。

于是| x
n
|≤| x n– x n0+1 |+| x n0+1 |<1+| x n0+1|。

令M=max{| x1|，x2,…，
| x
n0 |，1+| x
n0+1
|}，则| x
n
|≤M(n=1，2，…)，故{ x n }有界。

因此存在收敛子
列{ x
nk }，设lim
n→∞
x
nk
=C，于是由下列不等式| x
n
-C|≤| x n - x nk |+| x nk -C|可
知lim
n→∞x
n
=C。

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